面向机械臂时间最优轨迹规划的多策略沙猫群优化算法

鲁宇明 ,  周羽逵 ,  郭鑫 ,  孙江桦

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (21) :8927-8940

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科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (21) :8927-8940 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2600928
第二十八届中国科协年会学术论文

面向机械臂时间最优轨迹规划的多策略沙猫群优化算法

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Multi-strategy Sand Cat Swarm Optimization Algorithm for Time-optimal Trajectory Planning of Robotic Manipulators

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摘要

针对机械臂在工业生产中因完成复杂周期性动作耗时过长而制约生产效率的问题,提出一种多策略改进沙猫群优化算法(multi-strategy improved sand cat swarm optimization, MISCSO),用于实现机械臂的时间最优轨迹规划。算法设计了4种改进策略:Tent混沌映射-折射反向学习初始化种群策略、动态非线性灵敏度策略、自适应螺旋搜索策略以及沙猫伏击-突袭捕食策略,算法的求解精度与收敛性能得到显著提升。以六轴机械臂为实验对象,采用D-H参数法建立运动学模型,基于3-5-3多项式插值函数求解、构建机械臂关节运动轨迹,MISCSO将机械臂运动时间从12 s显著优化至8.663 1 s,降幅达27.8%,对比沙猫群算法综合性能提升达到9%。将MISCSO与4种较新的改进算法进行了对比实验,结果显示,在机械臂轨迹优化中,MISCSO的求解性能均优于所有对比算法,在多次运行中的求解标准差最小,展现出最优的稳定性和鲁棒性。MATLAB仿真证实,由此产生的关节运动曲线平滑、连续且无突变。

Abstract

To address the issue of reduced production efficiency caused by robotic arms taking too long to perform complex, repetitive motions in industrial production, a multi-strategy improved sand cat swarm optimization (MISCSO) algorithm was proposed to achieve time-optimal trajectory planning for manipulators. The algorithm includes four improvement strategies: the population initialization strategy combining Tent chaotic mapping and refraction opposition-based learning, dynamic nonlinear sensitivity strategy, adaptive spiral search strategy, and sand cat ambush-raid predation strategy. Four strategies have significantly improved the solution accuracy and convergence performance of the algorithm. Taking a six-axis manipulator as the research object, the kinematic model was established by the D-H parameter method, and the joint trajectory was constructed based on the 3-5-3 polynomial interpolation function. The motion time of the manipulators was significantly optimized from 12 s to 8.663 1 s by using the MISCSO. Compared with the sand cat swarm optimization algorithm, MISCSO achieves a 9% improvement in overall performance. Comparative experiments were conducted between MISCSO and four recently improved algorithms. The results demonstrate that, in the trajectory optimization of the manipulator, the solution performance of MISCSO is superior to all comparison algorithms, and the standard deviation of solutions in multiple runs is the smallest, indicating optimal stability and robustness. MATLAB simulation results illustrate that the resulting joint motion curves are smooth, continuous, and without sudden changes.

Graphical abstract

关键词

多策略改进沙猫群优化算法 / Tent混沌映射-折射反向学习初始化策略 / 动态非线性灵敏度策略 / 自适应螺旋搜索策略 / 沙猫伏击-突袭捕食策略 / 时间最优轨迹优化

Key words

multi-strategy improved sand cat swarm optimization / population initialization strategy combining Tent chaotic mapping and refraction opposition-based learning / dynamic nonlinear sensitivity strategy / adaptive spiral search strategy / sand cat ambush-raid predation strategy / time-optimal trajectory optimization

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鲁宇明, 周羽逵, 郭鑫, 孙江桦. 面向机械臂时间最优轨迹规划的多策略沙猫群优化算法[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(21): 8927-8940 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2600928
LU Yu-ming, ZHOU Yu-kui, GUO Xin, SUN Jiang-hua. Multi-strategy Sand Cat Swarm Optimization Algorithm for Time-optimal Trajectory Planning of Robotic Manipulators[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(21): 8927-8940 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2600928

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在自动化生产中,机械臂得到广泛的发展和应用[1],它具有灵活性好、便携性强等优点[2]。机械臂的工作过程呈现复杂周期性的特点,降低机械臂在工作过程中的时间消耗已成为自动化生产领域的热门研究课题[3]。减少单个周期的运行时间能大幅度地减少生产的总时间,对提高自动化生产效率和减少能量消耗具有重要的意义。
近年来,多种新型群体智能优化算法被提出并得到广泛应用[4-5]。国内外学者引入智能算法对机械臂关节空间最优轨迹规划进行了许多研究。Liang等[6]提出了一种改进的自适应惯性权重与异步学习因子粒子群算法,该方法结合3-5-3多项式插值,在满足运动学约束的条件下,优化了空间机械臂采收沙棘果实的振动分离轨迹的时间规划。Wang等[7]提出一种改进的布谷鸟搜索算法,将步长控制因子设为可变常数,并将其应用于机械臂3-5-3插值轨迹规划中,可以加快算法的收敛速度,防止过早陷入局部最优解。吴继春等[8]提出了一种融合Tent混沌映射、莱维飞行与自适应阈值的改进金枪鱼群算法(improved tuna swarm optimization,ITSO),用于机械臂的时间最优轨迹规划。其结果表明,采用该算法后,机械臂的位移、速度及加速度曲线均呈现平滑、无突变的特性。王桂荣等[9]提出了一种多策略改进粒子群算法(multi-strategy improved PSO,MIPSO)。该算法融合了Tent混沌映射、动态变化学习因子、非线性递减惯性权重以及遗传算法变异操作,并将其应用于机械臂的3-5-3插值轨迹规划。仿真结果表明,经MIPSO优化后的关节运动曲线连续且无突变。胡江涛等[10]提出了一种基于改进灰狼算法(improved grey wolf optimizer,IGWO)的时间最优轨迹规划方法,用于机械臂的3-7-3多项式插值。该算法通过引入非线性控制因子并与天牛须搜索(beetle antennae search,BAS)算法相结合,以提高求解效率与精度。汤兆平等[11]提出了一种改进鲸鱼优化算法。该算法融合了引入Bernoulli映射和自适应的权重和改进收敛因子,并将其应用于机械臂的3-5-3插值轨迹规划。仿真结果表明,轨迹规划所需要的运行时间缩短了22.46%。
虽然不同的群智能优化算法在搜索效率方面各具特点,但在处理机械臂轨迹规划的问题上,需在满足运动学约束的条件下,进一步接近最优解。相较于其他群智能算法,沙猫群优化算法结构简单,在勘探与开发之间具备良好的自适应平衡机制,能够在求解过程中快速定位最优位置并高效收敛,具有较强的寻优能力,为机械臂高效、平稳的轨迹规划提供了一种新的有效途径。
Seyyedabbasi等[12]于2023年提出的沙猫群优化(sand cat swarm optimization,SCSO)算法已被应用于各种工程优化问题中。相关研究通过与基本的元启发式算法进行对比分析,验证了沙猫群算法在求解精度、收敛速度和稳定性方面的潜在优势[13]。韩文涛[14]提出了一种改进的沙猫群算法(improved sand cat swarm optimization, ISCSO),该算法融合了佳点集初始化、莱维飞行与小孔成像策略,并将其应用于七自由度冗余机械臂的3-5-3插值轨迹规划。仿真结果表明,ISCSO在关节空间轨迹和运动时间方面均获得了更优的规划结果。Wu等[15]提出了另一种改进的沙猫群算法,该算法采用游荡策略来提高沙猫的移动性并提高其全局搜索能力。Lu等[16]提出了一种融合了立体混沌映射、动态非线性灵敏度、精英池加权引导搜索、螺旋莱维飞行和沙猫警惕机制等多种策略的沙猫群算法,并将其应用于5-7-5多项式插值轨迹规划。实验结果表明,该方法有效提升了规划性能,使机械臂的角位移、角速度、角加速度及角加加速度曲线均平滑无突变。王康等[17]提出了一种改进的沙猫群优化算法,通过引入非线性调整与自适应Wright飞行机制,有效提升了算法在无人机三维轨迹规划中的性能,展现了其优越性。余修武等[18]提出的基于信号强度指示的沙猫群算法,通过采用Tent混沌映射优化初始种群、引入麻雀警戒机制实现参数非线性平衡,并结合高斯与柯西变异以跳出局部最优,有效提升了无线传感器网络定位算法的精度。
针对沙猫群优化(SCSO)算法存在的种群多样性不足、参数敏感性强、求解精度低及易陷入局部最优等缺陷,现提出一种多策略改进的沙猫群优化算法(multi-strategy improved sand cat swarm optimization, MISCSO)。算法融入4种改进策略。Tent混沌映射-折射反向学习初始化种群策略:针对沙猫群初始解多样性不足的问题,在种群初始化阶段,不仅引入混沌映射以提升初始解的多样性,还进一步融合折射反向学习策略进行贪婪选择,从而全面提高初始种群的质量。动态非线性灵敏度策略:针对沙猫群优化算法对灵敏度参数敏感的问题,提出动态非线性灵敏度公式,通过分析参数对搜索行为的影响,实现对灵敏度参数的精准调节。沙猫伏击-突袭捕食策略:针对沙猫群优化算法求解精度低的问题,在沙猫攻击阶段,融入了基于沙猫生物本能的伏击-突袭捕食策略,使算法更贴合其自然捕食特征,有效提升收敛精度与求解效率。自适应螺旋搜索策略:针对沙猫群优化算法易陷入局部最优,采用的自适应螺旋搜索策略突破现有方法的局限,不仅在沙猫搜索阶段发挥作用,更与伏击-突袭策略协同,在伏击阶段有效避免陷入局部最优,全面增强算法的优化性能。

1 沙猫群智能优化算法及其改进

1.1 沙猫群优化算法

1.1.1 种群初始化

沙猫群优化(SCSO)算法是一种模拟沙猫搜寻与捕食行为的智能优化算法。在该算法中,搜索空间中的候选解即为“猎物”,基于沙猫依靠敏锐听觉(可探测0~2 kHz低频噪声)定位猎物的生物特性,沙猫个体更新位置来逼近该猎物。SCSO算法主要包含全局搜索和局部开发两种机制,分别通过搜索猎物和攻击猎物完成。算法初始化时,根据问题维度在搜索空间中随机生成沙猫种群,其位置初始化如式(1)所示。

Pos(i)=lb+rand(0,1)(ub-lb)

式(1)中:Pos(i)为第i个沙猫个体的位置;rand(0,1)为0~1的随机数;ub和lb分别为位置空间的上限和下限。

1.1.2 搜索猎物阶段

猎物搜索机制模拟了沙猫定位猎物的过程,位置更新如式(2)所示。

Pos(t+1)=r[Posb(t)-rand(0,1)Posc(t)]

式(2)中:Pos(t+1)为更新的位置,t为当前迭代的次数;Posb(t)为当前种群最佳位置;Posc(t)为当前位置;r为个体沙猫对低频噪声感知的最大灵敏度值。为了区分个体的差异性和避免陷入局部最优,每只沙猫的最大灵敏度值r是不同的,r的计算公式如式(3)所示。

r=rGrand(0,1)

式(3)中:rG为沙猫种群中最大灵敏度值,rG随着迭代次数的增加,从2线性减小到0,rG的计算公式如式(4)所示。

rG=SM-$\frac{{S}_{\mathrm{M}}t}{{t}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}$

式(4)中:tmax为最大迭代数;SM为生物学中沙猫感知噪声频率的最大值,SM=2 kHz。

1.1.3 攻击猎物阶段

沙猫搜索猎物结束后保持自身位置,进入攻击猎物阶段,沙猫种群攻击猎物位置更新如式(5)所示。

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}=\left|\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\left(\mathrm{0,1}\right)\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{b}}\left(t\right)-\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{c}}\left(t\right)\right|\\ \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+1)=\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{b}}\left(t\right)-r\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{d}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \end{array}\right.$

式(5)中:θ为基于轮盘赌方式随机生成的0°~360°的任何角度;Posrand为在最佳位置和当前位置之间生成的随机位置。

1.1.4 适应因子R

该算法通过适应因子R平衡搜索猎物和攻击猎物阶段,适应因子R的计算公式如式(6)所示。

R=2rGrand(0,1)-rG

在搜索阶段(当$\left|R\right|$>1时),沙猫个体采用不同的搜索半径,这有效增强了算法的全局探索能力,避免陷入局部最优。在攻击阶段(当$\left|R\right|$≤1时),沙猫种群在较小的搜索范围内精准逼近猎物来完成攻击。算法整体的位置更新如式(7)所示。

$\begin{array}{l}\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+1)=\\ 　　\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{b}}\left(t\right)-r\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta,& \left|R\right|\le 1\\ r\left[\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{b}}\right(t)-\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}(\mathrm{0,1}\left)\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{c}}\right(t\left)\right],& \left|R\right|>1\end{array}\right.\end{array}$

1.2 多策略改进沙猫群优化算法

MISCSO算法主要设计了4种改进策略:Tent混沌映射-折射反向学习初始化种群策略、动态非线性灵敏度策略、自适应螺旋搜索策略和沙猫伏击-突袭捕食策略。

1.2.1 Tent混沌映射-折射反向学习初始化策略

针对SCSO算法在迭代早期种群多样性差,进而导致求解精度不足的问题,引入混沌算子来优化种群初始化。混沌算子因其兼具随机性、规律性和遍历性的特性,能有效提升算法性能。在多种混沌模型中,Tent映射因在一维分布上具有更优的均匀性[8]。通过Tent混沌序列生成初始种群,可显著增强种群的多样性和初始灵敏度,Tent混沌算子如式(8)和式(9)所示。

xn+1=f(xn)=$\left\{\begin{array}{ll}\frac{{x}_{n}}{\alpha },& {x}_{n}\in [0,\alpha )\\ \frac{1-{x}_{n}}{1-\alpha },& {x}_{n}\in [\alpha,1]\end{array}\right.$
${p}_{i}^{n}$=f(xn)(ub-lb)+lb, i=1,2,3,…,NP

式中:α为区间[0,1]的随机数;xn和xn+1为Tent混沌映射后的位置变量;${p}_{i}^{n}$为沙猫群初始化值;NP为粒子总数。

图1是二维空间里不同混沌映射后粒子的分布情况。为防止分布对称情况,此处设置α=0.499,ub=[1,1],lb=[0,0],NP=200。由图1可见,在二维空间中,circle混沌映射粒子主要集中分布在x∈[0.1,0.4],y∈[0.1,0.4]区间内,cubic混沌映射粒子和logistic混沌映射粒子主要集中分布在x∈[0.8,1.0],y∈[0.8,1.0]区间内,tent混沌映射粒子在整个二维空间内均匀分布。

Tent混沌映射初始化方法产生的结果随机多样性更好,分布更均匀,这有效地增加了种群的多样性,提高了算法的全局搜索能力,更快地找到全局最优解。

在应用Tent混沌映射生成初始解后,为进一步提升种群质量,引入了折射反向学习策略[19]。该策略受凸透镜成像原理启发,通过生成当前个体的反向解来扩展搜索范围。其核心机制是利用边界条件与周围个体的信息动态调整每个个体的位置,以此增大个体差异性与种群多样性,从而确保初始种群能覆盖更优质的搜索区域,原理如图2所示。

二维坐标系中,X轴表示整个搜索空间范围,Y轴显示为凸透镜。通过镜头成像原理,将物体A投影到X轴上A*。函数关系如式(10)所示。

$\frac{({l}_{\mathrm{b}}+{u}_{\mathrm{b}})/2-X}{{X}^{\mathrm{*}}-({l}_{\mathrm{b}}+{u}_{\mathrm{b}})/2}$=$\frac{h}{{h}^{\mathrm{*}}}$

通过转换公式[式(10)],逆解X*的表达式如式(11)所示。

X*=$\frac{{l}_{\mathrm{b}}+{u}_{\mathrm{b}}}{2}$+$\frac{{l}_{\mathrm{b}}+{u}_{\mathrm{b}}}{2k}$-$\frac{X}{k}$

式(11)中:X*为折射反向学习后获得的初始解的逆解;k为折射率参数,为使折射后位置解覆盖整个空间,折射率k取1。采用贪婪选择,在混沌映射的初始解和折射的逆解之间选择更好的个体作为初始种群,贪婪选择如式(12)所示。

Pos(i)=$\left\{\begin{array}{ll}X\left(i\right),& f\left[X\right(i\left)\right]\le f\left[{X}^{\mathrm{*}}\right(i\left)\right]\\ {X}^{\mathrm{*}}\left(i\right),& f\left[X\right(i\left)\right]>f\left[{X}^{\mathrm{*}}\right(i\left)\right]\end{array}\right.$

式(12)中:Pos(i)为沙猫群体的初始位置信息;f[X(i)]和f[X*(i)]为当前位置的可行解。

1.2.2 动态非线性灵敏度策略

在SCSO算法中,搜索与攻击阶段的平衡由适应因子R决定,而R的取值又依赖于rG。较大的rG值促进全局搜索,较小的rG则偏向局部攻击。然而,传统的线性递减rG难以适应复杂多峰函数的优化,往往导致收敛精度不足。为此,提出动态非线性灵敏度策略,该策略利用灵敏度动态不确定性,使算法能更灵活地调节搜索过程,从而有效平衡全局探索与局部开发,提升获得高质量解的概率。数学模型如式(13)所示。

rG=SM${\left(\frac{{t}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-t}{{t}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}\right)}^{n}$

式(13)中:控制因子n∈[1,3],控制灵敏度的下降幅度。n越小,灵敏度的减小幅度越小,这有利于沙猫个体探索最优解,提高算法的局部开发能力和求解精度,更好地适应复杂的搜索过程。

初始灵敏度和动态非线性灵敏度的比较如图3所示。图3(a)是原始算法的线性灵敏度范围;图3(b)是n=2的动态非线性灵敏度范围;图3(c)是n=3的动态非线性灵敏度范围。

非线性灵敏度比线性灵敏度能更好地调节沙猫的搜索和攻击阶段,提高局部的开发精度。相较于n=3,n=2的动态非线性灵敏度减小幅度更小,能够进行更充分的全局搜索,有助于避免算法过早收敛至局部最优。本文选取n=2。

1.2.3 自适应螺旋搜索策略

鲸鱼优化算法[20]中,个体鲸鱼在迭代过程中采用螺旋搜索策略来更新其相对于猎物的位置。该方法既保证算法收敛速度,又扩大搜索范围,同时增加个体多样性。将螺旋搜索机制融合至SCSO算法中,以扩大搜索范围,增加全局搜索能力。

在沙猫搜索阶段引入螺旋搜索机制,当满足$\left|R\right|$>1时,采用新的位置更新公式[式(14)]替代SCSO算法中搜索猎物阶段的原有更新公式。

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+1)=\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{b}}\left(t\right)-\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\left(\mathrm{0,1}\right)(s-q)\\ s=\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{b}}\left(t\right)\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{c}}\left(t\right)\\ q=2\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{c}}\left(t\right){\mathrm{e}}^{zl}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(2\mathrm{\pi }l\right)\end{array}\right.$

式(14)中:螺旋因子z影响螺旋线圈密度;径向参数l决定了螺旋曲线各位置点的曲率半径。

固定的线圈密度与曲率半径制约了螺旋搜索策略的性能发挥,因此,实现参数的自适应调整成为该策略的核心改进方向。较大z值加速螺旋旋转速度并增大线圈密度,有利于算法在迭代初期进行快速精细的全局搜索。较小z值降低螺旋旋转速度并减小线圈密度,有助于在迭代后期扩展当前最优解的搜索范围,同时增强逃离局部最优解的能力,基于此提出自适应螺旋因子z,其表达式如式(15)所示。

z=hcos$\left[\mathrm{\pi }{\left(\frac{{t}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-t}{{t}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}\right)}^{b}\right]$

式(15)中:h、b为常数。

径向参数l决定了螺旋曲线各位置点的曲率半径,曲率半径越大,搜索范围的半径就越大。在迭代初期,设置较大的l值以增强全局探索能力,实现对解空间的广泛搜索。随着迭代进行,l逐步减小,使算法转向局部区域的精细开发,从而提升挖掘局部最优解的能力。通过对l的合理调控,算法最优位置的定位精度得以显著提高。径向参数l的数学表达式如式(16)所示。

l=2rand(0,1)-1-$\frac{t}{{t}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}$

径向参数l的值域随迭代进程动态变化:其初始范围为[-1, 1],并最终演变为[-2, 0]。逐渐缩小曲率半径,旨在算法后期引导更强的局部开发能力,从而有效提升收敛精度。

1.2.4 沙猫伏击-突袭捕食策略

在生物学中,沙猫采用伏击-突袭策略捕猎:先匍匐接近猎物(伏击),再伺机猛然出击(突袭)。这种突袭兼具随机性与方向性,既可能成功捕获猎物(找到局部最优),也可能失败而使搜索进入新区域(逃离局部最优)。然而,在SCSO算法中,这一捕食行为被简化为直接迅速逼近猎物,极易导致过早收敛并陷入局部最优,进而引发种群停滞、全局搜索能力差及求解精度不足等一系列问题。

沙猫的攻击行为包含连续的伏击与突袭两个阶段。为模拟伏击阶段中等待与伺机而动的特性,引入莱维飞行步长机制[21]。该机制通过短距离追踪与偶然长距离跳跃相结合的方式,赋予算法更强的探索能力。短距离步长利于局部精细搜索,安全地接近猎物以提高捕获成功率;而偶然的长距离跳跃则有助于逃离局部极值,避免早熟收敛。

当满足$\left|R\right|$≤1时,算法进入攻击猎物阶段。在此阶段,若进一步满足rand(0,1)≤t/tmax,则判定沙猫发起突袭,此时其位置更新如式(17)所示。

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+1)=\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{b}}\left(t\right)-ra\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{d}}\\ a=\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{b}}\left(t\right)-\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{c}}\left(t\right)\end{array}\right.$

若rand(0,1)>t/tmax,则沙猫进入伏击阶段,采取匍匐方式靠近猎物。在该阶段引入自适应螺旋搜索策略以增强种群的全局探索能力,其位置更新如式(18)所示。

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{s}(t+1)=\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{b}}\left(t\right)-rb\mathrm{P}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{d}}\\ b={\mathrm{e}}^{z\times l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(2\mathrm{\pi }l\right)\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{y}\left(D\right)\end{array}\right.$

式(18)中:Levy(D)为D维莱维随机步长向量,D为位置向量的维数。莱维系数表达式如式(19)所示。

Levy=$\frac{u}{{\left|v\right|}^{\frac{1}{\beta }}}$

式(19)中:u和v分别符合u~N(0,${\sigma }_{u}^{2}$),v~N(0,${\sigma }_{v}^{2}$)的正态分布;β的取值范围为1≤β≤3。σu和σv定义如式(20)所示。

$\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_{u}={\left[\frac{\Gamma (1+\beta )\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\mathrm{\pi }\beta }{2}\right)}{{2}^{\frac{\beta -1}{2}}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1+\beta }{2}\right)\beta \right]}^{\frac{1}{\beta }}\\ {\sigma }_{v}=1\end{array}\right.$

式(20)中:Γ为标准的伽马函数,其表达式如式(21)所示。

Γ=${\int }_{0}^{+\infty }\mathrm{ }$e-ttx-1dt

沙猫在搜索阶段结束后进入伏击-突袭攻击阶段。在伏击阶段,沙猫以匍匐方式靠近猎物,在自适应螺旋搜索策略和莱维飞行机制的辅助下,不仅保持较好的全局搜索能力,还能短距离跟踪猎物与偶然长距离跳跃逃离局部极值;在突袭阶段,沙猫猛然出击捕捉猎物,获得当前最优值。伏击-突袭阶段是通过随机数rand(0,1)与t/tmax判断沙猫的攻击状态,两种状态是随机切换的,能反复找到新的最优解,并避免陷入局部最优,在迭代后期更多的是快速收敛到最优值。

1.2.5 多策略改进沙猫群算法流程

算法流程如图4所示。

基于上述方法对标准沙猫群算法进行改进,改进沙猫群算法步骤如下。

步骤1 设置多策略改进沙猫群算法基本参数,种群数量NP,位置向量维数D,最大迭代次数tmax,搜索空间的上限ub和下限lb,SM沙猫感知噪声频率最大值SM=2,折射率k,控制因子n,Levy系数公式中的参数β,自适应螺旋因子z公式中的参数h和b。

步骤2 利用Tent混沌映射初始化沙猫群位置,再结合折射反向学习贪婪选择出更优质的沙猫初始位置。

步骤3 计算每只沙猫的适应度值,得到当前最优个体,并进行保存。

步骤4 根据式(7)计算适应因子R。

步骤5 $\left|R\right|$>1时,沙猫群进入搜索猎物阶段,依据公式(14)对沙猫位置进行更新。当$\left|R\right|$≤1时,沙猫群进入攻击猎物阶段,若rand(0,1)≤t/tmax,沙猫对猎物发起突袭,依据式(17)对沙猫位置进行更新。若rand(0,1)>t/tmax,沙猫匍匐前进靠近猎物,依据式(18)对沙猫位置进行更新。

步骤6 对更新的沙猫位置进行适应度计算,将计算最优值和保存的个体最优值进行比较,并更新个体最优值。

步骤7 判断是否达到最大迭代次数,若满足,则停止迭代,输出沙猫个体最优适应度值;否则,返回步骤3。

1.3 时间复杂度分析

定义种群规模(N)、问题维度(D)、最大迭代次数(T)和计算当前适应度值的评估成本(C)。原始沙猫群算法(SCSO)的具体时间复杂度计算步骤如下。

步骤1 初始化参数的时间复杂度为O(1)。

步骤2 种群初始化的时间复杂度为O(ND)。

步骤3 搜索和攻击阶段的位置更新和适应度计算的时间复杂度为O(TNDC)。

所以,原始沙猫群算法(SCSO)的时间复杂度如式(22)所示。

$\begin{array}{c}O\left(SCSO\right)=O\left(1\right)+O\left(ND\right)+O\left(TNDC\right)\end{array}$

多策略改进沙猫群算法(MISCSO)的具体时间复杂度计算步骤如下。

步骤1 初始化参数的时间复杂度为O(1)。

步骤2 种群初始化的时间复杂度包括三部分:Tent混沌映射O(ND),折射反向学习O(ND)和计算适应度值评估成本O(2NC)。种群初始化总时间复杂度为O(2ND+2NC)。

步骤3 基于自适应螺旋搜索和沙猫伏击-突袭捕食策略的时间复杂度为O(TNDC)。

所以,多策略改进沙猫群算法(MISCSO)的时间复杂度如式(23)所示。

O(MISCSO)=O(1)+O(2ND+2NC)+O(TNDC)

因为1≪ND,1≪NC,NC≪TNDC,ND≪TNDC。所以简化式为(24)和式(25)。

O(SCSO)=O(TNDC)
O(MISCSO)=O(TNDC)

根据结果可得,MISCSO算法和SCSO算法是相同的时间复杂度类别。

2 基于SCSO的机械臂轨迹规划

2.1 轨迹规划概述

轨迹规划的主要目的是确定机械臂在运动过程中的各关节角度、角速度和角加速度随时间的变化规律。合理的轨迹规划可以提高机械臂的运动效率,减少能量消耗,从而提高机械臂的工作性能和安全性。轨迹规划有关节空间轨迹规划和笛卡尔空间轨迹规划两种,关系图如图5所示。

关节空间轨迹规划的特点是只关注运动的起始位姿和目标位姿,减少计算量和避免经过奇异点。笛卡尔空间轨迹规划的特点是显示整个运动过程中机械臂末端的轨迹,可以完成避障规划,相对于关节空间轨迹规划计算量大,可能出现无解和多解的情况。

在关节空间对机械臂各关节进行规划,在已知起点和终点的情况下,添加两个中间路径点对机械臂进行时间优化。

2.2 六自由度机械臂运动学分析

机械臂正向运动学是给出6个关节角的度数,运用运动学正解求出机械臂末端位置。矩阵变换如式(26)所示。

${\mathrm{ }}_{　i}^{i-1}$T=Rot(zi-1,θi)Trans(zt-1,di)Trans(xi,ai)·Rot(xi,ai)=$\left[\begin{array}{llll}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i}& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{i}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{i}& {a}_{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i}\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{i}& -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{i}& {a}_{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i}\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{i}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{i}& {d}_{i}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

式(26)中:Trans(zi-1,di)、Trans(xi,ai)为平移矩阵,分别表示沿坐标系i-1的z轴方向移动di距离和沿坐标系i的x轴方向移动ai距离;Rot(zi-1,θi)、Rot(xi,αi)为旋转矩阵,分别表示绕坐标系i-1的z轴旋转θi角度和绕坐标系i的x轴旋转αi角度${;}_{i}^{i-1}$T为杆件i坐标系向i-1坐标系的齐次变换矩阵。

因此,末端执行器坐标系相对于基坐标系的变换矩阵如式(27)所示。

${\mathrm{ }}_{6}^{0}$T${=}_{1}^{0}{T}_{2}^{1}{T}_{3}^{2}{T}_{4}^{3}{T}_{5}^{4}{T}_{6}^{5}$T=$\left[\begin{array}{llll}{r}_{11}& {r}_{12}& {r}_{13}& {p}_{x}\\ {r}_{21}& {r}_{22}& {r}_{23}& {p}_{y}\\ {r}_{31}& {r}_{32}& {r}_{33}& {p}_{z}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

根据式(27),在已知各关节角度的情况下,可求得机械臂末端执行器的位姿。机械臂逆向运动学则是给出机械臂末端的最终置坐标,运用运动学逆解求出机械臂各关节角度。对比各种求解方法[22],使用解析法进行求解[23]。

2.3 机械臂轨迹时间优化数学模型

2.3.1 3-5-3 混合多项式插值函数

机械臂轨迹规划需确保角位移、角速度及角加速度3个运动量的连续性,在实际场景中选择4个路径点(起点、预抓取点、抓取点和终点)来构造平滑且可控的轨迹。机械臂轨迹规划的约束条件和约束边界有:起点的速度与加速度为0,终点的速度与加速度为0,预抓取点和抓取点的速度与加速度连续。根据约束条件和需要求解的问题个数,可确定三次多项式运用在第一和第三段求解角位移和角速度问题,五次多项式运用在第二段求解角位移、角速度和角加速度问题。如果使用更高次的多项式进行求解,也可以解决问题,但会增加求解计算量并可能引发龙格现象[24]。综上分析,采用3-5-3混合多项式插值进行轨迹规划,函数如式(28)所示。

$\left\{\begin{array}{l}{\theta }_{j1}\left(t\right)={a}_{j13}{t}_{j1}^{3}+{a}_{j12}{t}_{j1}^{2}+{a}_{j11}{t}_{j1}+{a}_{j10}\\ {\theta }_{j2}\left(t\right)={a}_{j25}{t}_{j2}^{5}+{a}_{j24}{t}_{j2}^{4}+{a}_{j23}{t}_{j2}^{3}+{a}_{j22}{t}_{j2}^{2}+\\ 　　　　{a}_{j21}{t}_{j2}+{a}_{j20}\\ {\theta }_{j3}\left(t\right)={a}_{j33}{t}_{j3}^{3}+{a}_{j32}{t}_{j3}^{2}+{a}_{j31}{t}_{j3}+{a}_{j30}\end{array}\right.$

式(28)中:θji(t)(i=1,2,3)为机械臂的第j关节在第i段轨迹规划中的角位移;tji为机械臂的第j关节在第i段轨迹规划中的时间,ajim(i=1,2,3; m=1,2,…,14)为机械臂的第j关节在第i段插值轨迹中的第m个未知系数。采用 3-5-3混合多项式对机械臂进行轨迹插值的原理示意图如图6所示。

综合以上条件,可以求得3-5-3多项式的14个未知系数ajim,求解公式如式(29)所示。

aj=${A}_{j}^{-1}$θj

式(29)中:aj为3-5-3插值函数中的多项式系数,其展开式如式(30)所示;θj为机械臂的第j关节的位置,其展开式如式(31)所示;Aj为根据约束条件和约束边界求出的转换矩阵,只和时间t有关,其展开式如式(32)所示。

aj=$[{a}_{j1}\mathrm{ }{a}_{j2}\mathrm{ }{a}_{j3}{]}^{\mathrm{T}}$

式(30)中:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{j}1}=\left[{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}13}\mathrm{ }{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}12}\mathrm{ }{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}11}\mathrm{ }{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}10}\right]\\ {a}_{\mathrm{j}2}=\left[{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}25}\mathrm{ }{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}24}\mathrm{ }{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}23}\mathrm{ }{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}22}\mathrm{ }{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}21}\mathrm{ }{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}20}\right]\\ {a}_{\mathrm{j}3}=\left[{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}33}\mathrm{ }{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}32}\mathrm{ }{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}31}\mathrm{ }{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}30}\right]\\ {\theta }_{j}=[0\mathrm{ }0\mathrm{ }0\mathrm{ }0\mathrm{ }0\mathrm{ }0{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}3}0\mathrm{ }0{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}0}0\mathrm{ }0{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}2}\mathrm{ }{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}1}{]}^{T}\end{array}\right.$
Aj=$\left[\begin{array}{lll}{A}_{11}& {A}_{12}& 0\\ 0& {A}_{22}& {A}_{23}\\ 0& 0& {A}_{33}\\ {A}_{41}& {A}_{42}& {A}_{43}\end{array}\right]$

式中:

A11=$\left[\begin{array}{llll}{t}_{j1}^{3}& {t}_{j1}^{2}& {t}_{j1}& 1\\ 3{t}_{j1}^{2}& 2{t}_{j1}& 1& 0\\ 6{t}_{j1}& 2& 0& 0\end{array}\right]$;

A12=$\left[\begin{array}{llllll}0& 0& 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -2& 0& 0\end{array}\right]$;

A22=$\left[\begin{array}{llllll}{t}_{j2}^{5}& {t}_{j2}^{4}& {t}_{j2}^{3}& {t}_{j2}^{2}& {t}_{j2}& 1\\ 5{t}_{j2}^{4}& 4{t}_{j2}^{3}& 3{t}_{j2}^{2}& 2{t}_{j2}& 1& 0\\ 20{t}_{j2}^{3}& 12{t}_{j2}^{2}& 6{t}_{j2}& 2& 0& 0\end{array}\right]$;

A23=$\left[\begin{array}{llll}0& 0& 0& -1\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& -2& 0& 0\end{array}\right]$;

A33=$\left[\begin{array}{llllllllll}{t}_{j3}^{3}& {t}_{j3}^{2}& {t}_{j3}& 13{t}_{j3}^{2}& 2{t}_{j3}& 1& 06{t}_{j3}& 2& 0& 0\end{array}\right]$;

A41=$\left[\begin{array}{llll}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$;

A42=$\left[\begin{array}{lllllll}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$。

根据以上推导可求解出机械臂各个关节的3-5-3混合多项式插值函数的系数,进而得到角位移、角速度和角加速度多项式。

2.3.2 时间优化目标函数

机械臂应用在工业生产中,通常需要完成一系列复杂周期性的动作。缩短单个路径运行时间不仅可以大幅度地减少能耗,还能提高生产效率。利用群智能优化算法求解最优时间时,能通过两种方式构建目标函数。第一种是采用第j个关节的三段插值时间来构成目标函数,算法维度为3维。第二种是选择未知系数ajim来构建目标函数,算法维度为14维。相比之下,第一种方法维度较低,大大降低了计算的时间复杂度,而且求解精度也高于14维方法。选择第一种方式构建目标函数,通过算法迭代出三维时间序列,再将时间序列代入已构建的公式中求解各关节角位移、角速度和角加速度。目标函数如式(33)所示。

f(t)=tj1+tj2+tj3

时间优化不仅要使各关节运行时间最小,还要使机械臂在满足角位移约束、角速度约束和角加速度约束的条件下正常平稳地工作。综上所述,带约束的目标函数如式(34)所示。

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f\left(t\right)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}({t}_{j1}+{t}_{j2}+{t}_{j3})\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\left|{\omega }_{j}\right|\le \theta {\text{'}}_{j\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ 　　\left|{a}_{j}\right|\le \theta {″}_{j\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}\right.$

式(34)中:ωj和aj分别为第j个关节的实时角速度和角加速度;θ'max和θ″max分别为第j个关节允许的最大角速度和角加速度。

当求得的解不满足约束条件时,设置罚函数,使这组适应度解加上1×104,使得这组适应度值足够大从而被淘汰。

3 实验仿真及分析

3.1 实验设计

以 ABB IRB 1200 -5/0.9 型六自由度机械臂作为实验对象,机械臂图如图7所示,D-H参数如表1所示。

各关节的最大角速度θ'max和最大角加速度θ″max约束如表2所示。

运动空间选择起点、预抓取点、抓取点和终点,信息如表3所示。根据机械臂逆运动学求解出各路径点所对应的关节角,如表4所示。

3.2 实验结果及分析

3.2.1 3-5-3多项式的验证

设置每个路径点之间的初始插值时间t1、t2、t3都等于4 s,得到6个关节的角位移、角速度和角加速度曲线如图8~图10所示,各关节都满足所有的约束条件。

3.2.2 基于MISCSO算法优化各关节时间

机械臂各关节基于3-5-3分段多项式插值的运动轨迹,其由MISCSO算法优化得到的时间如表5所示。

为保证机械臂稳定运行,且所有关节都能在满足位置约束、速度约束、加速度约束条件下完成运动任务,各关节每段的运动时间应保持一致。选取每段轨迹中运行时间的最大值作为所有关节的运动时间。机械臂3-5-3分段多项式运动轨迹规划每段时间t1=3.354 6 s,t2=2.671 0 s,t3=2.637 5 s,总时间t=8.663 1 s。

3.2.3 不同改进策略的分析

为验证各个改进策略对算法有效性的影响,将不包含任何改进原始算法(记作SCSO1),包含Tent混沌映射-折射反向学习初始化(记作SCSO2)、包含Tent混沌映射-折射反向学习初始化和动态非线性灵敏度改进(记作SCSO3)、包含Tent混沌映射-折射反向学习初始化、动态非线性灵敏度和自适应螺旋捕食策略(记作SCSO4)与所提出的MISCSO进行对比实验。实验采用各轨迹段中6个关节的最大时间值作为评估标准。实验种群数为50,最大迭代次数30,Tent混沌参数α=0.499,折射率k=1,控制因子n=2,莱维分布参数β=1.5,螺旋因子z的参数h=1,b=1,对机械臂三段轨迹规划总时间进行寻优,重复10次实验。实验结果如表6所示。

由表6可知,各改进算法相较于SCSO1基准均取得了显著的性能提升:SCSO2、SCSO3、SCSO4和MISCSO算法的平均优化效果分别提升了4.9%、5.2%、7%和9%。这表明所有改进策略均有效。为直观对比不同策略对算法收敛过程的影响,图11绘制了其适应度值随迭代次数的变化曲线。

由图11可知,相较于SCSO1算法,SCSO2算法在优化结果与收敛精度上均保持领先。SCSO3算法虽在优化结果上与SCSO2相差不大,但进一步提高了收敛精度。SCSO4算法则在以上基础上,同时提升了优化结果与收敛精度。而MISCSO算法不仅继承了前述改进的全部优势,还表现出更强的跳出局部最优、搜寻全局最优解的能力。

3.2.4 MISCSO与其他改进算法对比

MISCSO算法与当前几种性能较好的算法比较,选取了以下5种算法进行实验:沙猫群优化算法(SCSO)[12]、改进沙猫群优化算法(ISCSO)[14]、改进灰狼优化算法(IGWO)[10]、改进金枪鱼群算法(ITSO)[8]、多策略改进粒子群算法(MIPSO)[9]。各算法的具体参数设置如表7所示。

为降低不确定性与随机性的潜在影响,实验统一设置:种群数量为50,最大迭代次数为30,独立重复运行次数为10次。实验结果使用以下统计指标进行衡量:最优值、平均值和标准差。结果如表8所示。

表8的实验结果表明,MISCSO算法的求解效率均优于对比算法,其平均优化时间相较于SCSO、ITSO、MIPSO、IGWO和ISCSO算法分别减少了9%、2.21%、0.70%、0.36%和0.57%。此外,其标准差最小,展现出最稳定的求解性能。为了进一步了解不同改进算法的收敛情况,绘制不同算法的适应度值曲线变化图,如图12所示。

由图12可知,MISCSO算法在进行最优时间的求解时,相比于其他算法,它的求解精度更高,全局寻优能力较强,求解效率也更高。

选择MISCSO算法实验中最优时间分段进行计算,可以求得各关节位移、速度、加速度轨迹规划的运动情况曲线图,分别如图13~图15所示。同时可以得到机械臂末端在笛卡尔空间的运动路径图,如图16所示。可以看出,在MISCSO算法优化下,机械臂中每个关节的轨迹不仅遍历每个路径点,而且将运行时间从12 s显著缩短到8.663 1 s,降幅达27.8%。机械臂运动的角位移、角速度和角加速度满足约束条件,且它们的曲线是平滑、连续、无突变的,说明机械臂运动过程具有良好的稳定性和安全性,验证了改进算法方案的可行性和准确性。

3.3 基于MISCSO算法的机械臂轨迹规划方法仿真验证

为验证MISCSO算法的实际应用可行性,基于ABB IRB 1200-5/0.9型六自由度机械臂进行了实验。实验在搭载英特尔Core(TM) i7处理器的PC机上,利用MATLAB仿真平台进行。图17展示了在MATLAB中生成的轨迹仿真。

仿真结果显示,所设计控制算法能够控制机械臂顺次到达全部预设路径点,无漏点、轨迹无偏移;轨迹光滑连续无突变,关节速度与加速度变化平缓,可为工业机械臂现场作业提供可靠仿真参考。

4 结论

设计了多策略改进沙猫群算法(MISCSO)。通过Tent混沌映射-折射反向学习初始化策略、动态非线性灵敏度策略、自适应螺旋搜索策略以及沙猫伏击-突袭捕食策略四种策略改进,算法性能得到提高。针对机械臂时间最优轨迹规划问题,基于3-5-3混合多项式插值规划轨迹,并在满足关节角位移、速度及加速度约束的前提下,利用MISCSO进行时间最优规划。依托ABB IRB 1200-5/0.9型六自由度机械臂平台,将改进算法与SCSO、ITSO、MIPSO、IGWO及ISCSO算法进行对比,实验结果表明,MISCSO具有更高的寻优精度和更强的跳出局部最优的能力。仿真所得各关节角位移、速度及加速度曲线均平滑无突变。针对同一任务,在满足运动学约束条件下,MISCSO将机械臂运动时间从12 s优化至8.663 1 s,降幅达27.8%,显著提升了工作效率。仿真与实物实验共同验证了该算法的工程可行性。

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江西省自然科学基金(面上)项目(20242BAB25094)

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