用于异型工件表面辊压的2T3R机构设计与分析

何宇凡; 房海蓉; 陈宇飞; 赫利涛

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2600676

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (29) :12593-12603 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2600676

机械、仪表工业

用于异型工件表面辊压的2T3R机构设计与分析

何宇凡 ¹^,² ,
房海蓉 ¹^,² ,
陈宇飞 ¹^,² ,
赫利涛 ¹^,²^,^*

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Design and Analysis of 2T3R Mechanism for Roll Forming on Surface of Irregular Workpieces

HE Yu-fan ¹^,² ,
FANG Hai-rong ¹^,² ,
CHEN Yu-fei ¹^,² ,
HE Li-tao ¹^,²^,^*

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摘要

航天异型工件表面预浸带基材的张紧是保障航天产品热防护性能和结构耐久性的关键工艺,以航天异型工件表面基材辊压张紧为目标,提出一种由两级机构串联而成的表面辊压装置。首先,基于辊压工艺开展需求分析,得到机构末端需满足的自由度数量并开展机构设计。通过将具有2T1R运动能力的连杆机构和具有3R运动能力的并联机构串联组合,实现任务所需的2T3R运动能力。其次,针对两个机构组成部分分别开展运动学分析,建立运动学模型并开展工作空间分析。接着,基于运动学灵巧度和动力学灵巧度分别提出其全局综合性能评价指标,利用NSGA-Ⅲ进行多目标尺度优化并完成原型机结构设计。最后,利用Adams虚拟环境对样机模型进行运动学仿真,验证机构运动性能。同时,基于Abaqus开展模态分析与谐响应分析,求解得到机构前六阶模态振型并验证其在工业环境中具有稳定运行能力。

Abstract

The tensioning of the prepreg strip substrate on the surface of aerospace special-shaped workpiece is the key process to ensure the thermal protection performance and structural durability of aerospace products. A surface rolling device composed of two-stage mechanism in series was proposed for the purpose of roller tensioning of the surface substrate of aerospace special-shaped workpiece. Firstly, based on the rolling process requirements, the number of degrees of freedom that the mechanism end needs to satisfy was obtained and the mechanism design was carried out. By combining the linkage mechanism with 2T1R motion capability and the parallel mechanism with 3R motion capability in series, the 2T3R motion capability required for the task was achieved. Secondly, kinematic analysis was carried out for each of the two mechanism components, the kinematic model is established and the workspace analysis was conducted. Then, based on the kinematic dexterity and dynamic dexterity, the global comprehensive performance evaluation indicators were proposed respectively, and the multi-objective scale optimization was carried out using NSGA-Ⅲ to complete the prototype structure design. Finally, the kinematic simulation of the prototype model was conducted using the Adams virtual environment to verify the motion performance of the mechanism. At the same time, modal analysis and harmonic response analysis were carried out based on Abaqus to solve the first six-order modal shapes of the mechanism and verify that it has the stable operation capability in the industrial environment.

Graphical abstract

关键词

机构设计 / 运动学分析 / 多目标优化 / 运动仿真分析 / 模态分析 / 谐响应分析

Key words

mechanism design / kinematic analysis / multi-objective optimization / motion simulation analysis / modal analysis / harmonic analysis

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何宇凡, 房海蓉, 陈宇飞, 赫利涛. 用于异型工件表面辊压的2T3R机构设计与分析[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(29): 12593-12603 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2600676

HE Yu-fan, FANG Hai-rong, CHEN Yu-fei, HE Li-tao. Design and Analysis of 2T3R Mechanism for Roll Forming on Surface of Irregular Workpieces[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(29): 12593-12603 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2600676

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随着计算技术及智能装备研发水平的日新月异,制造业精密程度及智能化程度得到了长足发展与进步^[1]。机械臂作为人类肢体的延伸,可在高温、高压、高化学污染等恶劣工况中取代人力劳动并保证高精度及高效率生产活动,目前已广泛应用于各类产品的制造中^[2-4]。

航天领域特种工件表面铺覆的预浸带基材能够对工件本体和内部零部件进行有效的热防护,是航天产品耐久性的根本保障。表面基材需要紧密贴合工件外轮廓以保证二者间无空腔、空鼓等异常现象。六轴工业机器人以其六自由度运动能力和大工作空间能力被用于规则工件的自动化辊压。但由于其灵巧空间不连续和末端刚度退化等原因,在特定工况下难以适用于异型工件表面辊压。并联机构凭借其高刚度、高灵巧度和高精度的特点,在航天制造领域的应用逐步增加。其中涌现出多种并联机构新构型、串并混联机构和可重构机构等^[5-7]。

近年来,工业界和学术界基于各自的任务需求开展新机构设计研究。Ye等^[8]研制了一种平面变构机构,其作为并联机构的支链可实现动平台在5自由度、4自由度和3自由度之间切换,当动平台携带刀具对工件不同位置进行加工时,通过并联机构变构实现自由度转换以释放不同位置处所需的不同自由度数。Wang等^[9-10]基于delta机构支链进行改进,得到具有3R2T运动性能的机构,可满足绕3轴进行大范围角度转换的工程需求。医疗器械协助下的人体手术工作过程同加工复杂曲面工件有极大相似点,Li等^[11]、Zhang等^[12]提出2-CRRR-CRR并联机构以保障外科手术的精度与多姿态操作稳定性。刘辛军的团队基于并联机构深耕制造领域多年:其中,Xie等^[13]研发了一款与自由度并联加工机器人,并配套提出完整的运动控制方案;Xie等^[14]利用PUU和(PRR-PR)R两种支链组合,得到一种用于携带刀头的3自由度并联模块;Liu等^[15]对一种非典型并联机构进行运动性能分析,该机构利用单个平行四边形具有耦合2方向移动自由度的特点,组合两个平行四边形机构实现2方向独立的移动自由度,并首次将此机构应用到车架喷涂中;Chong等^[16]针对复杂曲面叶片加工,对文献[14]中构型和3-UCR机构进行组合,得到满足大范围移动和末端灵活转动的串并混联机械臂。韩涛等^[17]提出一种侧装于轮腿机器人的2T2R并联机构。

现有研究中,文献[8]提出的变自由度机构适用于简单空间加工任务,无法满足航天异型工件的复杂空间辊压需求;基于delta机构改进的3R2T机构转动范围大但移动行程有限,难以适配大尺寸航天工件的辊压;文献[14]提出的串并混联机构虽适用于复杂曲面加工,但不满足本文面向对象的使用需求。因此,基于现有研究的方案无法兼顾航天异型工件辊压的大行程移动、高精度转动、工业环境稳定运行三大核心需求。

现提出应用于航天异型工件表面辊压张紧任务的2T3R混联机构构型,通过2T1R连杆机构与3R并联机构串联实现。构建融合运动学与动力学灵巧度的全局综合性能评价指标,实现机构的多目标尺度优化,解决传统六轴工业机器人在异型工件辊压中灵巧空间不连续、末端刚度退化的问题。首先,进行任务分析明确涉及的自由度数量,并基于此将自由度拆解到两个机构中,通过机构组合实现合并运动自由度,最终满足任务需求。其次,开展运动学建模与分析,分别推导两个组成机构的运动学方程,并求解出工作空间。接着,基于运动学灵巧度和动力学灵巧度开展多目标尺度优化。最后,基于虚拟环境进行样机仿真,利用Adams环境验证设计机构的运动能力和前述运动学理论。利用Abaqus环境开展模态分析和谐响应分析,求解设计装置前六阶模态振型并验证其可在工业环境中平稳运行。以期对异型工件表面辊压任务提供全新的实现方案和理论依据。

1 任务需求分析及机构设计

1.1 任务需求

表面辊压工艺示意图如图1所示,压辊通过运动链与传送带旁地面固定连接,可实现若干运动能力。异型工件在旋转台的作用下原地旋转,压辊通过运动链实时调整位姿以保证与异型工件表面贴合。为保证辊压质量,所设计的运动链机构需要携带压辊实现二自由度移动和二自由度转动运动性能以适应异型工件表面变化。

设计运动链机构需要具有四自由度。如图2所示,运动链需要实现沿x轴移动、沿y轴移动、绕z轴转动和绕y轴转动的运动能力。运动范围需求如表1所示。

1.2 机构设计

为实现上述自由度需求,设计了一种两级调节机构,通过如图3所示的组合连杆机构实现沿x轴和y轴的移动和小范围绕z轴的转动(2T1R运动能力),在其末端固定连接如图4所示的4-RRR并联机构以实现绕x轴、绕y轴和绕z轴转动(3R运动能力),总共具有5自由度运动能力。

连杆机构有3个驱动源,分别是位于I点和J点间的移动副单元、位于E点和F点间的移动副单元和A点的转动副单元。两个移动副相互配合实现末端M点沿x轴与y轴的移动能力,转动副单元实现末端M点绕z轴转动能力。

4-RRR并联机构由静平台O、4条RRR运动链和动平台M₁M₂M₃M₄组成。OB_iM_i(i=1,2,3,4)组成机构的一条运动链,4条支链中有3条运动链(OB₁M₁, OB₂M₂和OB₃M₃)为驱动运动链,驱动源安装与O点所在转动副单元,另外一条运动链(OB₄M₄)为冗余运动链。同时,4条运动链靠近静平台端的转动副单元共轴,总共12个转动副轴线均相交于动平台中心点O₁。进而4-RRR并联机构可以O₁点为转动中心,实现绕x轴、绕y轴和绕z轴转动能力。

通过2T1R连杆机构和4-RRR冗余并联机构进行两级串联,实现大行程移动和高精度三维转动,构型上兼顾了大工作空间与高灵巧度,突破了单一连杆机构或并联机构在辊压任务中的性能局限。

2 运动学建模与分析

2.1 2T1R连杆机构运动学模型

为匹配辊压任务工作空间需求,通过几何法建立运动学模型。连杆机构末端的M点为机构运动输出点,各个连杆的长度为已知量,以连杆AD为例,L_AD表示连杆AD的长度,其余已知量数值如表2所示。

θ₁由电动推杆L_IJ进行驱动,θ₂由电机驱动,L_EF为电动推杆。设A点为坐标原点,I点坐标即为I(-800,800),进而B点和J点坐标可分别表示为:B[-L_ABcos(θ₁-π/4), -L_ABsin(θ₁-π/4)]、J[-L_ABcos(θ₁-π/4)-L_BJcos(θ₁-π/4+π-α₁), -L_ABsin(θ₁-π/4)-L_BJsin(θ₁-π/4+π-α₁)]。因此L_IJ的长度可表示为

(1)L_IJ={[-800+L_ABcos(θ₁-π/4)+L_BJcos(θ₁+3π/4-α₁)]²+[-800+L_ABsin(θ₁-π/4)+L_BJsin(θ₁+3π/4-α₁)]²}${}^{\frac{1}{2}}$

D点坐标可表示为D[-L_ADcos(π/4+θ₂), L_ADsin(π/4+θ₂)],进而H点坐标可表示为H(H_x,H_y),表达式为

(2)$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{H}}_{\mathit{x}}=-{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{D}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\pi }/4+{\mathit{\theta }}_{2})+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{H}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\mathit{\theta }}_{1}-\mathrm{\pi }/4)\\ {\mathit{H}}_{\mathit{y}}={\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{D}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }/4+{\mathit{\theta }}_{2})+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{H}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathit{\theta }}_{1}-\mathrm{\pi }/4)\end{array}\right.$

E点坐标为E(-800, 800),L_DE和L_FD可通过余弦定理求解,进一步∠FED可被求得,过程如式(3)~式(5)所示。

(3)$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}^{2}={\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{E}}^{2}+{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{D}}^{2}-2{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{E}}{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{D}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}\\ {\mathit{L}}_{\mathit{F}\mathit{D}}^{2}={\mathit{L}}_{\mathit{E}\mathit{F}}^{2}+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}^{2}-2{\mathit{L}}_{\mathit{E}\mathit{F}}{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{\angle }\mathit{F}\mathit{E}\mathit{D}\end{array}\right.$

(4)cos∠FED=$\frac{{\mathit{L}}_{\mathit{E}\mathit{F}}^{2}+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}^{2}-{\mathit{L}}_{\mathit{F}\mathit{D}}^{2}}{2{\mathit{L}}_{\mathit{E}\mathit{F}}{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}}$

(5)∠FED=arccos$\frac{{\mathit{L}}_{\mathit{E}\mathit{F}}^{2}+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}^{2}-{\mathit{L}}_{\mathit{F}\mathit{D}}^{2}}{2{\mathit{L}}_{\mathit{E}\mathit{F}}{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}}$

同理,∠DEA可表示为

(6)∠DEA=arccos$\frac{{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}^{2}+{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{E}}^{2}-{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{D}}^{2}}{2{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{E}}}$

此外,根据式(7)表示的F点坐标为F(F_x, F_y),可得到G点坐标为G(G_x, G_y),如式(8)所示。

(7)$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{F}}_{\mathit{x}}=-800+{\mathit{L}}_{\mathit{E}\mathit{F}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\angle }\mathit{F}\mathit{E}\mathit{D}+\mathrm{\angle }\mathit{D}\mathit{E}\mathit{A}-\mathrm{\pi }/4)\\ {\mathit{F}}_{\mathit{y}}=800+{\mathit{L}}_{\mathit{E}\mathit{F}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\angle }\mathit{F}\mathit{E}\mathit{D}+\mathrm{\angle }\mathit{D}\mathit{E}\mathit{A}-\mathrm{\pi }/4)\end{array}\right.$

(8)$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{G}}_{\mathit{x}}={\mathit{F}}_{\mathit{x}}+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{H}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\mathit{\theta }}_{1}-\mathrm{\pi }/4)\\ {\mathit{G}}_{\mathit{y}}={\mathit{F}}_{\mathit{y}}+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{H}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathit{\theta }}_{1}-\mathrm{\pi }/4)\end{array}\right.$

连杆GH中点K(K_x, K_y)表达式如式(9)所示。

(9)$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{K}}_{\mathit{x}}=\frac{1}{2}[-800+{\mathit{L}}_{\mathit{E}\mathit{F}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\angle }\mathit{F}\mathit{E}\mathit{D}+\mathrm{\angle }\mathit{D}\mathit{E}\mathit{A}-\\ \mathit{　}\mathit{　}\mathrm{\pi }/4)+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{H}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\mathit{\theta }}_{1}-\mathrm{\pi }/4)-\\ \mathit{　}\mathit{　}{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{D}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\pi }/4+{\mathit{\theta }}_{2})+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{H}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\mathit{\theta }}_{1}-\mathrm{\pi }/4)]\\ {\mathit{K}}_{\mathit{y}}=\frac{1}{2}[800+{\mathit{L}}_{\mathit{E}\mathit{F}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\angle }\mathit{F}\mathit{E}\mathit{D}+\mathrm{\angle }\mathit{D}\mathit{E}\mathit{A}-\\ \mathit{　}\mathit{　}\mathrm{\pi }/4)+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{H}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathit{\theta }}_{1}-\mathrm{\pi }/4)+\\ \mathit{　}\mathit{　}{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{D}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }/4+{\mathit{\theta }}_{2})+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{H}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathit{\theta }}_{1}-\mathrm{\pi }/4)]\end{array}\right.$

ADF由∠ADE和∠EDF组成,其中∠ADE和∠EDF可通过余弦定理求得,其推导过程如式(10)~式(12)所示。

(10)∠ADE=arccos$\frac{{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}^{2}+{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{D}}^{2}-{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{E}}^{2}}{2{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{D}}}$

(11)∠EDF=arccos$\frac{{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{F}}^{2}+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}^{2}-{\mathit{L}}_{\mathit{E}\mathit{F}}^{2}}{2{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{F}}{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}}$

(12)∠ADF=∠ADE+∠EDF

∠FDC可通过∠ADF-∠ADC算得,其中∠ADC与θ₁+θ₂互补,同时∠GHC=∠FDC,因此M点坐标M(M_x, M_y)可通过式(13)~式(15)推导出。

(13)∠GHC=∠FDC=∠ADF-∠ADC
=arccos$\frac{{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}^{2}+{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{D}}^{2}-{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{E}}^{2}}{2{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}{\mathit{L}}_{\mathit{A}\mathit{D}}}$+
arccos$\frac{{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{F}}^{2}+{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}^{2}-{\mathit{L}}_{\mathit{E}\mathit{F}}^{2}}{2{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{F}}{\mathit{L}}_{\mathit{D}\mathit{E}}}$-
(π-θ₁-θ₂)

(14)M_x=K_x-dcos(∠GHC-θ₁+π/4+π-α₂)

(15)M_y=K_y+dsin(∠GHC-θ₁+π/4+π-α₂)

对θ₁、θ₂分别进行[π/6,π/3]区间取值,同时对L_EF进行[3 400,3 700]区间取值并代入式(1)和式(2)即可得到M点在xoy平面内运动范围如图5所示。

2.2 4-RRR并联机构运动学模型

由于并联操作器的4条运动链结构一致,所以取其中一条运动链即可求解动平台的运动学方程通解。随机挑选一条运动链为例建立如图6(a)所示的机构简图,并标注出基坐标系O点到位于动平台的转动中心O₁点的运动链尺寸。运动链由基坐标系所在的转动副作为驱动关节,驱动量设为α₁,设动平台绕x、y和z轴的转动量分别为θ₁、 θ₂和θ₃。利用d₁和d₂恒垂直的几何关系建立方程,可得到输入驱动量与输出姿态量之间的关系表达式,如式(16)所示。

(16)$\frac{-{\mathit{d}}_{1}\mathit{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\alpha }}_{1}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}+{\mathit{d}}_{1}{\mathit{d}}_{3}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}}{{\mathit{d}}_{1}\sqrt{{\mathit{r}}^{2}+{\mathit{d}}_{3}^{2}}}$=0

经整理可得适用于全部运动链的运动学方程通解为

(17)sinα_i=ktanθ_j, i=1,2; j=2,1; k=$\frac{{\mathit{d}}_{3}}{\mathit{r}}$

式(17)中:α_i为驱动关节的转角,当i=1时,方程表示图6所示运动链的运动状态,此时动平台绕y轴转动;当i=2时,方程表示图6所示运动链相邻运动链的运动状态,此时动平台绕x轴转动。各个驱动关节同步运动即可使动平台绕z轴转动。

根据式(17)可知,4-RRR并联机构工作空间受结构尺度参数k影响,分别将k取值为0.5、1、2和4,得到驱动角与动平台输出角关系如图7(a)所示,XOY平面的工作空间投影如图7(b)所示。其中k=1时在上述4个取值中具有较优性能表现,预设并联机构绕z轴转动范围为±20°,即可绘制出k=1条件下机构三维转动工作空间如图7(c)所示。由分析结果可知,所设计机构能够满足压辊调节的功能需求。

3 基于运动学综合性能指标的多目标尺度优化

4-RRR并联机构与压辊基座直接相连,并联机构的灵巧度性能将直接影响压辊调节范围,因此需要针对并联机构开展多目标尺度优化,确定最优尺度参数k以获得综合最优性能。

3.1 运动学灵巧度综合性能

运动学机构灵巧度是衡量其工作空间内可执行各种动作的能力,通常利用雅可比矩阵的条件数对机构运动学灵巧度进行评价。根据式(17)所示运动学方程可进一步推导出4-RRR并联机构的雅可比矩阵为

(18)J=$\left[\begin{array}{ll}\frac{\partial {\mathit{\alpha }}_{1}({\mathit{\theta }}_{1},{\mathit{\theta }}_{2})}{\partial {\mathit{\theta }}_{2}}& \frac{\partial {\mathit{\alpha }}_{1}({\mathit{\theta }}_{1},{\mathit{\theta }}_{2})}{\partial {\mathit{\theta }}_{1}}\\ \frac{\partial {\mathit{\alpha }}_{2}({\mathit{\theta }}_{1},{\mathit{\theta }}_{2})}{\partial {\mathit{\theta }}_{2}}& \frac{\partial {\mathit{\alpha }}_{2}({\mathit{\theta }}_{1},{\mathit{\theta }}_{2})}{\partial {\mathit{\theta }}_{1}}\end{array}\right]$

条件数为矩阵谱范数与逆矩阵谱范数的乘积,雅可比矩阵的条件数则可表示为

(19)cond(J)=κ(J)=‖J‖‖J^-1‖

利用谱范数描述雅可比矩阵最大奇异值,因此有如下关系。

(20)$\left\{\begin{array}{l}\Vert \mathit{J}\Vert ={\mathrm{\sigma }}_{\mathit{m}\mathit{a}\mathit{x}}\\ \Vert {\mathit{J}}^{-1}\Vert =\frac{1}{{\mathrm{\sigma }}_{\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}}}\end{array}\right.$

(21)1≤κ(J)=‖J‖‖J^-1‖=$\frac{{\mathit{\sigma }}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{{\mathit{\sigma }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$<∞

采用0<1/κ(J)≤1作为评价指标,1/κ(J)越接近1表示机构灵巧度越高,越接近0表示机构的位置越接近奇异。可推导出运动学局部灵巧度表达式为

(22)$\begin{aligned} \frac{1}{\kappa(\boldsymbol{J})} & =\frac{\sigma_{\min }}{\sigma_{\max }} \\ & =\left\{\begin{array}{l} \frac{k \cos \theta_{1}}{1+\left(k \sin \theta_{1}\right)^{2}} /\left[\frac{k \cos \theta_{2}}{1+\left(k \sin \theta_{2}\right)^{2}}\right] \\ \text { s.t. } \frac{k \cos \theta_{1}}{1+\left(k \sin \theta_{1}\right)^{2}} \leqslant \frac{k \cos \theta_{2}}{1+\left(k \sin \theta_{2}\right)^{2}} \\ \frac{k \cos \theta_{2}}{1+\left(k \sin \theta_{2}\right)^{2}} /\left[\frac{k \cos \theta_{1}}{1+\left(k \sin \theta_{1}\right)^{2}}\right] \\ \text { s. t. } \frac{k \cos \theta_{1}}{1+\left(k \sin \theta_{1}\right)^{2}}>\frac{k \cos \theta_{2}}{1+\left(k \sin \theta_{2}\right)^{2}} \end{array}\right. \end{aligned}$

3.2 动力学灵巧度综合性能

动力学灵巧度用于衡量机构在特定位置下的加速性能,Cui等^[18]采用Asada^[19]为确定动态灵巧度提出的广义惯性椭圆(generalized inertial ellipse,GIE),建立了动态灵巧度指数。利用机构的质量矩阵M_n_×_n表示n维空间中的GIE。椭圆体的长轴为M的最大特征值平方根${\mathit{\lambda }}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{1/2}$,短轴为M的最小特征值平方根λ^1/2_min。当椭圆体越接近球体,机构的动力学性能越好。因此,局部动力学灵巧度指标(local dexterity index,LDI)可表示为式(23),1/κ(M)越接近1则动力学灵巧度越好。

(23)0<$\frac{1}{\mathit{\kappa }\left(\mathit{M}\right)}$=$\frac{{\mathit{\lambda }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{{\mathit{\lambda }}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}$≤1

质量矩阵可从机构末端动力学方程中获得。基于并联机构动平台动能和势能之差可建立拉格朗日函数为

(24)L=E_k-E_p

式(24)中:E_k为动平台动能,可利用雅可比矩阵求解;E_p为动平台势能,动平台仅受重力势能作用。对拉格朗日函数求偏导即可得到动力学方程如式(25)所示。

(25)F=$\left[\begin{array}{l}{\mathit{F}}_{1}\\ {\mathit{F}}_{2}\\ {\mathit{F}}_{3}\end{array}\right]$=M$\left[\begin{array}{l}{\stackrel{··}{\mathit{\alpha }}}_{1}\\ {\stackrel{··}{\mathit{\alpha }}}_{2}\\ {\stackrel{··}{\mathit{\alpha }}}_{3}\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{lll}\frac{\mathit{I}[1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}]}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}& 0& 0\\ 0& \frac{\mathit{I}[1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}]}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}& 0\\ 0& 0& \mathit{I}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\stackrel{··}{\mathit{\alpha }}}_{1}\\ {\stackrel{··}{\mathit{\alpha }}}_{2}\\ {\stackrel{··}{\mathit{\alpha }}}_{3}\end{array}\right]$

式(25)中:I为并联机构动平台转动惯量。

进而可求解得到动力学灵巧度条件数表达式为

(26)$\frac{1}{\mathit{\kappa }\left(\mathit{M}\right)}$=$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}\ge \frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}\ge 1\\ \frac{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}\ge \frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}\ge 1\\ \frac{[1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}{[1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}\ge 1\ge \frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}\\ \frac{[1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}{[1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}\ge 1\ge \frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}\\ \frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.1\ge \frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}\ge \frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}\\ \frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.1\ge \frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}\ge \frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}\end{array}\right.$

3.3 多目标尺度优化

对灵巧度的多目标优化中,通常根据局部灵巧度指数(LDI)计算全局灵巧度指数(global agility index,GDI)。然而灵巧度表达式为分段函数:运动学灵巧度为二分段函数,动力学灵巧度为六分段函数。因此采用计算GDI表达式作为目标函数的方式在本文研究中难以适用。

计算运动学灵巧度时求解得到两个特征值表达式,定义运动学局部综合灵巧度指标(kinematic local comprehensive agility index,KLCDI),当KLCDI越接近0时,机构运动学灵巧度越佳。

(27)KLCDI=$\left|{\mathit{\sigma }}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\mathit{\sigma }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right|$=$\left|\frac{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}}-\frac{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}}\right|$

进一步定义运动学全局综合灵巧度指标(kinematic global composite dexterity index,KGCDI)如式(28)所示。求解运动学灵巧度性能最优解即可等效为求解的KGCDI最小值。

(28)0≤KGCDI=$\frac{\sum _{{\mathit{\theta }}_{1}}\sum _{{\mathit{\theta }}_{2}}\mathit{K}\mathit{L}\mathit{C}\mathit{D}\mathit{I}}{{\int }_{\mathit{w}}^{}\mathit{d}\mathrm{w}}$<∞

式(28)中:w为灵巧空间面积(或体积)。

计算动力学灵巧度时求解得到3个特征值,根据特征值间的大小关系共有6种LDI表达式。定义动力学局部综合灵巧度指标(dynamic local composite dexterity index,DLCDI),当DLCDI越接近3时,GIE越接近于正圆,机构动力学灵巧度越佳。

(29)DLCDI=$\left|{\mathit{\sigma }}_{1}+{\mathit{\sigma }}_{2}+{\mathit{\sigma }}_{3}\right|$=$\left|\frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{1}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{1}}+\frac{1+(\mathit{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{2}{)}^{2}}{\mathit{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{2}}+1\right|$

进一步定义动力学全局综合灵巧度指标(dynamic global composite dexterity index,DGCDI)如式(30)所示。求解动力学灵巧度性能最优解即可等效为求解的DGCDI最小值。

(30)1≤DGCDI=$\frac{\sum _{{\mathit{\theta }}_{1}}\sum _{{\mathit{\theta }}_{2}}\mathrm{D}\mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{I}}{{\int }_{\mathit{w}}^{}\mathrm{d}\mathit{w}}$<∞

最终可以得到优化目标函数、优化变量和变量优化边界条件如式(31)所示。

(31)$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\begin{array}{l}{\mathit{f}}_{1}=\mathrm{K}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{I}\left[\mathit{k}\right(\mathit{r},{\mathit{d}}_{3}\left)\right]\\ {\mathit{f}}_{2}=\mathrm{D}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{I}\left[\mathit{k}\right(\mathit{r},{\mathit{d}}_{3}\left)\right]\end{array}\right.\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.100\le \mathit{r}\le 500\\ \mathit{　}\mathit{　}50\le {\mathit{d}}_{3}\le 500\end{array}\right.$

考虑到目标函数在定义域内具有高度非线性且不连续,因此采用NSGA3优化算法,算法参数设置如表3所示。

图8(a)为NSGA3算法的Pareto最优解平面,随着计算迭代次数的提升,最优解逐渐收敛于一点。图8(b)为f₁和f₂的优化过程。其中f₁的优化结果为0.14,f₂的优化结果为3.11。

根据两个目标函数的优化结果可以进一步追溯得到优化变量的取值,得到结构参数k=1.1。

基于上述分析可知,所设计机构能够满足表面辊压任务的最优功能需求,进而基于结构原理简图开展原型机设计开发,如图9所示。

4 虚拟样机仿真实验分析

4.1 运动学循迹仿真

为验证理论推导正确性,基于Adams虚拟环境对样机进行运动学循迹仿真实验。

首先,利用4-RRR并联机构压辊安装基座验证其3自由度转动能力,操作机构动平台在30 s内进行如图10所示轨迹并记录压辊安装基座末端运动数据。图11(a)为压辊安装基座末端坐标系相较于静平台坐标系的转动角度变化情况,观察可知该循迹过程涉及了3个自由度的转动。同时,图11(b)为压辊安装基座末端坐标系相较于静平台坐标系的移动距离变化情况,观察可知没有移动运动产生。基于上述实验结果,4-RRR并联机构的3自由度转动能力得到验证。

其次,将表面辊压装置完整模型输入虚拟环境中以验证连杆机构的2T1R运动能力。锁定4-RRR并联机构运动副,仅通过连杆机构完成如图12所示的循迹过程。同样记录压辊安装基座末端运动数据如图12所示。图13(a)为压辊安装基座末端坐标系相较于连杆基座坐标系的角度变化情况,图13(b)为压辊安装基座末端坐标系相较于连杆基座坐标系的移动距离变化情况。观察可知,循迹过程涉及绕z轴转动能力和沿x轴、y轴移动能力,进而验证了连杆机构的运动能力。

4.2 模态分析及谐响应分析

模态分析通常用于分析设备共振情况,从而判断其运行稳定性。基于Abaqus线性摄动分析模块,针对机构的初始工作位姿开展模态分析。该位姿为航天异型工件表面辊压的典型工作位姿:2T1R连杆机构末端M点位于运动范围中心位置(x=750 mm,y=500 mm),4-RRR并联机构动平台处于水平初始状态(绕x、y、z轴转动角度均为0°),该位姿是机构辊压作业中最常用、最具代表性的位姿,分析结果可有效反映机构在实际辊压工作中的振动特性和运行稳定性。

在连杆机构基座处施加固定约束,得到前六阶振型及无量纲最大位移比例发生位置如图14(a)~图14(f)所示。观察可知,机构共振频率均在750 Hz内,第一阶~第三阶、第五阶模态共振造成最大位移位于压辊安装基座末端。

其中机构第一阶模态频率近乎0 Hz,属于刚体模态,其物理意义为机构在未施加完全固定约束下的刚体平动/转动,并非机构的弹性振动模态,不反映机构的固有振动特性,与机构的共振特性和工业运行稳定性无关。

第三阶和第六阶模态共振造成最大位移发生在4-RRR并联机构运动链处,最大位移比例均不超过0.7。

为探究不同频率的外载荷对机构的影响,在模态分析结果基础上进一步开展谐响应分析。

在压辊安装基座末端分别施加沿x轴、y轴和z轴方向的正弦载荷,幅值为50 N。在0~750 Hz范围内进行载荷扫频,得到实验结果如图15所示。x轴方向载荷在机构第二阶振型所对应的频率处产生了最大的位移量,为189.95 mm,其余共振频率位置产生的位移量均不超过15 mm。y轴和z轴方向载荷曲线接近,均在第一阶振型对应的频率处产生数值为8 444.24 mm和1 403.35 mm的最大位移量,其余共振频率位置产生的位移量同样均不超过15 mm。

第二阶共振频率为162.95 Hz,在实际工况振动频率范围外,因此所产生的超大数值位移量不作为指导优化设计的依据。在振动频率为50~100 Hz的工业环境中,此频率区间介于第一阶共振频率和第二阶共振频率之间,装置表现出良好的运行稳定性。

5 典型应用场景

基于所提出的2T3R应用于异型工件辊压任务示意如图16所示。直线模组移动单元上对称安装两台2T3R机构,分别用于异型工件左右侧复杂曲面表面辊压。

直线模组提供沿z轴移动能力以实现自底向上逐层辊压,2T3R机构提供沿x轴、y轴的移动能力和绕三坐标轴转动能力以保证压辊实时贴合异型工件表面。两台2T3R机构在异型工件两侧同时辊压,能够极大程度提高任务效率。

待图16中对称线一侧辊压任务完成后,异型工件在转台作用下旋转180°,随即按上述工艺流程开展另一侧辊压任务。

6 结论

(1) 根据辊压工艺需求,通过2T1R连杆机构和4-RRR并联机构串联,提出一种新型5自由度(2T3R)串并混联机构,将压辊安装于机构动平台末端,可实现具有大行程移动和高精度转动特点的位姿调节能力,满足基材表面辊压需求。

(2) 为获得运动学灵巧度和动力学灵巧度综合最优性能,基于NSGA-Ⅲ算法开展多目标尺度优化,得到满足最优综合性能对应的结构尺度参数并完成了样机设计。

(3) 针对连杆机构和并联机构分别开展运动学建模和仿真分析。求解得到机构工作空间,同时通过循迹实验印证两种机构的组合满足2T3R运动能力需求。

(4) 基于模态分析和谐响应分析对机构运动稳定性进行评估。求解得到前六阶模态振型,并通过在0~750 Hz扫频区间内分别施加3个方向的正弦外载以探究各阶振型对应的最大偏移位移量。结果表明,所设计机构能够保证在工业环境中稳定运行。

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