高压气体破岩应力场分布特征与裂纹断裂模式

付晓强 ,  杨仁树 ,  俞缙 ,  麻岩

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (28) :12094-12103

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科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (28) :12094-12103 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2600580
矿冶工程

高压气体破岩应力场分布特征与裂纹断裂模式

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Stress Field Distribution Characteristics and Crack Fracture Patterns of Rock Fragmentation by High-pressure Gas

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摘要

为明确高压气体破岩应力场分布特征与裂纹断裂模式,揭示其与传统乳化炸药爆破的差异,采用数值模拟、FracPaQ量化分析及模型试验相结合的方法,开展了高压气体致裂应力场和裂纹破断模式量化研究。结果表明:高压气体破岩具有“缓慢、持续、可控”特征,其径向均匀应力场起始平缓、发展持续、衰减缓慢,乳化炸药爆破具有“瞬时、剧烈、爆发式”特征,其形成复杂动态应力场,其应力场起始剧烈、发展迅速、衰减快速。高压气体破岩裂纹长度、扩展方向相对稳定,主裂纹起裂较长且方向集中,次生裂纹数量较少,主要由径向长裂纹主导,裂纹扩展形态更为宏观。乳化炸药爆破裂纹敏感性则更为复杂,裂纹主要集中在周向且杂乱分布,由短-中裂纹主导,裂纹层次更丰富,裂纹扩展形态更为微观。研究成果为复杂环境下高压气体破岩机理分析及方案比选提供技术支撑和数据参考。

Abstract

To clarify the distribution characteristics of the stress field and fracture patterns of high-pressure gas rock fracturing, and to reveal its differences from traditional emulsion explosive blasting, a quantitative study on the stress field and fracture patterns induced by high-pressure gas fracturing was conducted by combining numerical simulation, FracPaQ quantitative analysis, and model experiments. The results indicate that high-pressure gas rock-breaking exhibits characteristics of “slowness, persistence, and controllability”. Its radial uniform stress field starts gently, persists in development, and decays slowly. Emulsion explosive blasting, on the other hand, is characterized by “instantaneity, intensity, and explosiveness”, forming a complex dynamic stress field. This stress field starts intensely, develops rapidly, and decays quickly. The crack length and expansion direction of high-pressure gas rock-breaking are relatively stable, with the main crack initiating at a longer length and in a concentrated direction, and the number of secondary cracks being fewer, primarily dominated by radial long cracks, the crack propagation pattern is more macroscopic. The crack sensitivity of emulsion explosive blasting is more complex, with cracks mainly concentrated in the circumferential direction and distributed in a chaotic manner, dominated by short-to-medium cracks, resulting in a richer crack hierarchy,the crack propagation morphology is more microscopic. The research findings provide technical support and data reference for the analysis of high-pressure gas rock-breaking mechanisms and scheme comparison in complex environments.

Graphical abstract

关键词

高压气体破岩 / 裂纹扩展 / 数值模拟 / 断裂模式 / 模型试验

Key words

high-pressure gas rock fracturing / crack propagation / numerical simulation / fracture mode / model test

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付晓强, 杨仁树, 俞缙, 麻岩. 高压气体破岩应力场分布特征与裂纹断裂模式[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(28): 12094-12103 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2600580
FU Xiao-qiang, YANG Ren-shu, YU Jin, MA Yan. Stress Field Distribution Characteristics and Crack Fracture Patterns of Rock Fragmentation by High-pressure Gas[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(28): 12094-12103 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2600580

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高压气体破岩技术作为现代爆破工程中的重要分支,因其安全性高、环境污染小、能量可控等独特优势在矿山开采、隧道开挖等领域得到了广泛应用[1-3]。与传统炸药爆破相比,该技术尤其适用于对环境保护要求较高的区域,已逐渐成为传统炸药爆破的重要替代技术。近年来,随着信息化和智能化水平的提高,液态CO2相变致裂、液氧相变致裂和瞬态膨胀致裂等新型破岩技术相继涌现,进一步拓展和丰富了高压气体致裂的应用范围。CO2相变致裂方面,李嘉伟等[4]探究了CO2相变致裂技术对节理岩体的致裂效果,通过数值模拟对比了3种工况下节理参数及爆源距离等对岩体破裂的影响机制,重点通过应力波传播特征分析揭示了不同致裂器对节理裂纹扩展的作用规律。严少洋等[5]基于自主研发的高压气体破岩装置,开展了高压气体破岩诱发裂纹扩展及质点振动能量变化分析,为优化高压气体致裂和瓦斯抽采效果提供了重要指导。王岩[6]采用LS-DYNA数值模拟软件研究了不同地应力下CO2相变爆破裂纹扩展特征和振动效应。液氧相变致裂方面,方莹等[7]应用液氧相变致裂技术,成功探索出适用于隧道开挖的气体膨胀破岩施工方法。雷振等[8]依托贵州高速公路平整工程,开展了液氧相变致裂现场振动测试,分析了质点峰值振动速度变化规律及衰减特点,明确了小尺寸液氧药包致裂关键因素。王雁冰等[9]为探究液氧相变致裂过程中气体流场相变膨胀及结构特征,采用高速纹影试验和超压测试系统相结合的方法,研究液氧相变膨胀不同阶段所对应的流场脉动规律。瞬态膨胀致裂方面,付晓强等[10]采用精细化特征提取方法,揭示了瞬态致裂振动信号能量在时频域的分布特征。上述研究为高压气体破岩技术的应用和推广提供了极具价值的借鉴。
目前,对瞬态高压气体破岩应力场变化与断裂模式的研究尚未完全明确,裂纹扩展涉及微观损伤演化与宏观断裂行为的跨尺度耦合统一理论框架还未建立,缺乏有效的裂纹断裂模式量化分析手段。基于此,在阐述瞬态膨胀致裂机理的基础上,采用数值模拟对高压气体致裂应力场分布特征进行研究,同时量化分析了瞬态膨胀致裂与乳化炸药爆破裂纹破断模式,通过模型试验对瞬态高压气体膨胀致裂过程进行了多维度可视化和实践验证。以期为复杂环境下瞬态高压气体膨胀破岩技术的应用与推广提供技术支撑和数据参考。

1 瞬态膨胀致裂器

瞬态气胀致裂器(破岩气体发生器)借鉴了汽车安全气囊的工作原理,主要由产气筒、引发器和点火器三部分组成,具体结构如图1所示。

产气剂主要组分为超细硝酸胍、纳米体碱式硝酸铜,占比约80%以上,其他为黏合剂和2%硝酸钾。其中,硝酸胍为可燃剂,碱式硝酸铜为氧化剂,黏合剂作用是在反应过程中保持气体发生剂的形状和防止其破裂,硝酸钾为燃速调节剂,同时对反应氧平衡也有积极作用,其主体反应方程式为

9CH6N4O3+2[Cu(NO3)2·3Cu(OH)2]=9CO2+33H2O+20N2+8Cu

产气剂反应参数与常用炸药对比如表1所示,可知产气剂在装填密度为1.05 kg/m3时,单位质量产气剂完全反应释放能量及产气量分别达到TNT的79%和83%。根据表中产气剂参数,可得到破岩气体发生器管内产气剂完全反应生成高压气体产物的峰值压力可达500 MPa。

硝酸胍可燃剂-碱式硝酸铜氧化剂预混气体在爆炸过程中,由于起爆点脉冲放电在引燃瞬间产生大量能量,超过了预混气体最低点火能量,导致炮孔中心气团发生剧烈燃烧,当形成由“点-面-体”链分支连锁反应发生得足够频繁,致使自由基成倍增加并引起爆炸。伴随着化学反应的快速发生,气体分子快速运动并加快了彼此间的相互碰撞,从而形成高强气体冲击波,随后瞬间释放出大量高温高压气体作用于孔壁围岩,当作用在围岩体单位面积上的冲击力大于被爆岩体抗拉强度则岩体发生开裂。

2 应力场分布特征

2.1 单炮孔致裂

用FLUENT软件建立简化二维平面模型,设置炮孔直径为32 mm,围岩体直径为500 mm,岩体材料选用花岗岩,其密度(ρ)为2.09 g/cm3,弹性模量(E)为19.3 GPa,泊松比(v)为0.38,内摩擦角为27.8°,黏聚力为27.2 MPa,单轴抗压强度为 120 MPa,起爆点设置在炮孔中心处,如图2所示。

计算时采用四边形网格划分,最小网格尺寸不大于0.2 mm,网格正交质量为:核心区>0.6 mm,扩展区>0.5 mm,远场区≥0.3 mm;网格偏斜度为:核心区<0.4 mm,扩展区<0.6 mm,远场区≤0.8 mm。相邻区域网格尺寸过渡平滑,体积变化率≤1.5,避免网格突变导致的流场震荡,开启网格重构,保证无负体积。设置透射边界条件,产气剂与孔壁间为流固耦合并设置为自动接触。在临近炮孔壁面位置,产气药剂起爆产生的爆炸压力在孔壁法向变化剧烈,为了提高近孔壁面处爆炸压力上升速率计算的准确性,选用RNG k-ε壁面函数并对近壁面网格加密,如图3所示。

在炮孔壁约束条件下,起爆后不同时刻气体冲击波和爆生气体压力流场的演化过程如图4所示。

由图4可知,高压气体压力流场波动过程复杂且动态,涉及多个阶段的相互作用和变化,大体上分为三个阶段,具体如下。

(1)初始阶段。在致裂初期(t=10.3 μs),高压气体被释放并快速膨胀,形成一股强大的环形射流。此时,流场主要特征为连续、高环向动压的等压传递过程。该阶段压力急剧上升,形成初始压力峰值,气体压力变化剧烈,且由于与外界空气接触时间短,其压力变化主要局限于流场内部。产气管引爆后,药剂在瞬间会产生高温高压,使得药管与孔壁之间形成高压冲击波,产生的粉碎区范围虽很小,但消耗了冲击波的大部分能量。这一阶段,压力变化迅速且剧烈,是致裂过程的关键起裂阶段。

(2)过渡平台阶段。随着高压流场持续冲击(50.1~132.6 μs),压力逐渐达到并维持在相对稳定水平,形成压力平台期。该阶段射流动压及能量损耗较小,有效流场宽度变宽。同时,气相进一步扩大了岩体内部的破坏范围。该阶段压力波动较小,是破岩效果最为显著的阶段。

(3)最终阶段。在致裂后期(187.3 μs之后),随着裂纹进一步扩展贯通,压力开始逐渐下降。该阶段压力下降速率与裂纹扩展速度和岩体破碎程度密切相关,裂纹扩展越快,岩体破碎越严重,压力下降也越迅速。该阶段主要特征是有效流场的宽度进一步变大,但冲击动压已经显著降低。此时,岩石的破坏程度主要受到之前阶段形成的裂隙和破碎区域的影响,而流场射流本身的冲击作用已经相对较弱。

由上述阶段变化可知:高压气体破岩过程中,气体压力变化是驱动岩石破坏的主要因素。高压气体致裂压力呈现“快速上升-稳定平台-逐渐下降”的变化规律,反映了高压气体在岩体中的能量释放过程,对于理解破岩机理、优化破岩参数以及预测破岩效果具有重要意义。

2.2 群炮孔致裂

为了对比高压气体和炸药群孔起爆所形成应力场差异,建立群孔致裂计算模型,其中,模型场域为25 cm×25 cm,设置无反射边界。炮孔直径为 1 cm,炮孔数为10,不耦合系数1.67。其中高压气体采用Grüneisen(*EOS_GRU)状态方程,炸药采用JWL high explosive(*EOS_JWL)状态方程,采用流固耦合方式[11-13]。两种破岩方式下应力场具体波动过程如图5和图6所示。

在起爆初期,高压气体破岩应力场起始相对平缓,未出现急剧应力集中现象,如图5(a)、图5(b)所示。相反,乳化炸药起爆瞬间便产生显著应力集中,如图6(a)、图6(b)所示。随着时间推移(100~150 ms),高压气体应力场逐渐扩展,但应力值变化相对平缓,未出现剧烈波动,体现出其能量释放具有持续缓慢特征。乳化炸药应力场在发展初期迅速扩展,并在短时间内达到较高应力水平。随着时间推移(100~150 ms),应力场继续扩展且显著波动。多炮孔破岩会形成多个应力集中区域,这些区域通常分布在炮孔周围,如图5、图6(c)所示。随着高压气体进一步做功,产生的应力场分布更加不均匀且衰减比单炮孔更慢,多个应力波叠加会减弱应力场衰减和加速非线性变化,如图5、图6(d)、图6(e)所示。在后期应力场衰减阶段(200~250 ms),高压气体应力场逐渐减弱,但衰减速度相对较慢,而乳化炸药应力场在衰减阶段迅速减弱,两者均在炮孔周围形成“类蝶形”应力场。蝶形应力区是岩体破裂的主要区域,该区域应力值远高于周围区域,会导致岩石过度破碎或破碎不均匀,如图5、图6(f)所示。相对而言,高压气体蝶形应力区在前期的形成时间更晚,后期与炸药趋于一致。前者应力场起始平缓、发展持续、衰减缓慢;后者应力场起始剧烈、发展迅速、衰减快速,两种破岩方式应力场波动变化存在显著差异。

3 裂纹断裂模式分析

3.1 裂纹扩展模拟

为了体现高压气体破岩裂纹的发展演化过程,选择强度高、致密完整的花岗岩。基于Hoek-Brown准则的花岗岩材料参数如表2所示。

不同时刻裂纹演化及扩展2D数值模拟结果如图7所示。在初始阶段(0~10.3 μs),高压冲击波在材料内部传播,引发应力集中并导致初始微裂纹萌生并逐渐扩展。随着高压持续作用,形成准静态压力场,高压气体楔入裂纹,驱动裂纹扩展,裂纹进入稳定扩展阶段(50.1~132.6 μs),裂纹长度和宽度逐渐增加,形成较为明显的宏观裂纹。进入中期阶段(241.1~342.5 μs),裂纹扩展速度加快,分支裂纹开始出现,主裂纹与分支裂纹相互交织,此时,气体压力进一步驱使裂纹向岩石内部扩展,裂纹面逐渐增大。在后期阶段(391.6~503.4 μs),裂纹扩展进入非稳定阶段,裂纹扩展速度急剧增加,裂纹面迅速扩展并相互贯通,最终导致岩石破裂。

为了揭示高压气体破岩与常规乳化炸药爆破断裂模式差异,在模型参数不变条件下,采用JWL状态方程对炸药爆破过程进行模拟, 结果如图8所示。在爆炸初始阶段(t=10.3 μs),炸药爆炸产生的高压冲击波和爆生气体瞬间作用于岩石,导致岩体内部微裂纹萌生并迅速扩展。此时,裂纹扩展速度极快,但扩展距离相对较短。随着爆炸能量的持续释放(50.1~132.6 μs),裂纹进入稳定扩展阶段。此阶段,裂纹长度和宽度显著增加,形成较为明显的宏观裂纹。进入中期阶段(241.1~297.7 μs),裂纹扩展速度逐渐加快且裂纹分支现象开始显现,形成复杂裂纹网络。此时,爆炸能量进一步推动裂纹向岩石深处扩展,裂纹面逐渐增大。在后期阶段(342.5~391.6 μs),裂纹扩展进入非稳定阶段,裂纹扩展速度急剧增加,裂纹面迅速扩展并相互贯通。张拉剪切共同作用,裂纹呈现分支、扭曲等复杂形态,最终导致岩体大范围破裂。整个过程中,炸药爆炸产生的能量通过裂纹的扩展和贯通,实现对岩石的高效破碎。

对比图7、图8可知,高压气体致裂与炸药爆破裂纹扩展规律在裂纹萌生、非稳定扩展与破裂等方面存在一定相似性,但两者在能量释放方式与速度、裂纹扩展形态及对岩石破碎效果等方面存在显著差异。高压气体致裂能量释放相对平缓,裂纹扩展速度在整个过程中较为均匀,非稳定阶段裂纹扩展速度的增加相对渐进。炸药爆破能量释放极为迅速且剧烈,初始阶段裂纹扩展速度极快,非稳定阶段裂纹扩展速度的增加更为急剧,岩石破裂更为迅猛。高压气体致裂其粉碎区更小,裂纹以径向裂纹为主且扩展更快,裂纹扩展形态相对规则,分支裂纹较少且较为平直,裂纹网络相对简单,裂纹扩展形态更为宏观。炸药爆破裂纹类型更丰富,以径向和环向裂纹为主,形成纵横交错、内密外疏,内宽外细的裂隙网,裂纹扩展形态复杂多变,裂纹网络密集复杂,裂纹扩展形态更为微观。对岩石作用效果,高压气体致裂岩石破碎块度大,炸药爆破相对更小。上述差异决定了两者在不同工程领域中的适用性和效果。

3.2 高压气体破岩裂纹量化分析

对裂纹破裂模式进行量化是揭示破岩机理的前提,裂纹断裂模式不仅与裂纹的方向、长度等有关,还与空间密度和连通性等密切相关[14-15]。因此,裂纹破裂模式完整表征需对上述特征属性进行综合分析。通过裂纹灰度图进行尺度无关的图像数据处理,可实现裂纹从微观尺度到宏观尺度的量化分析。对图7、图8中不同破岩形式下裂纹最终形态进行二值化处理,结果如图9所示。由图9可知,最终裂纹模式通常极为复杂,裂纹长度分布形成从亚微米到几厘米的跨量级尺度变化。同时,裂纹方向变化也存在差异,通常其空间密度是不均匀的。

量化分析高压气体致裂过程中的起裂角度、裂纹长度及敏感性等参数,有助于深入理解破岩机理。FracPaQ软件可通过程序生成裂纹模式定量分析结果,以反映形成裂缝的长度和方向以及裂缝分布密度、连通性。

由图10、图11(a)可知,高压气体致裂裂纹长度随气体压力增加而逐渐增长,扩展过程相对平缓, 其裂纹长度平均值较大,表明裂纹扩展较为均匀。图10、图11(b)中高压气体致裂裂纹轨迹多呈现出较为规则、集中的扩展路径。相比之下,乳化炸药爆炸能量集中且剧烈,能够在极短时间内推动裂纹快速扩展,裂纹分布轨迹则更为复杂和分散。由于炸药爆炸产生冲击波能量巨大且方向性多变,导致裂纹在多个方向上同时扩展,形成复杂的裂纹交织网络。在裂纹条数上,高压气体致裂产生的裂纹数量相对较少,这是因为高压气体作用相对平缓,能量释放较为均匀,而炸药爆破则能在极短时间内释放巨大能量,导致岩石内部产生大量微裂纹。图10、图11(c)中高压气体致裂的裂纹敏感性参数(裂纹长度、扩展方向)相对稳定,主裂纹起裂较长,次生裂纹数量较少,主要由竖向主导;炸药爆破的裂纹敏感性则更为复杂,裂纹主要集中在周向,逐渐向径向偏转,裂纹层次更丰富。由于炸药爆炸产生冲击波能量大且岩石内部应力分布不均匀,导致裂纹扩展过程中存在较大的不确定性。

给定每条迹线和各分割段的节点坐标,可有效计算裂纹网络群的长度、方向和连通性,进而对裂纹破裂强度、分布密度进行量化估算[15]。两种破岩形式下裂纹起裂角度与裂纹长度关系如图12、图13(a)所示,裂纹长度轨迹频率如图12、图13(b)所示,裂纹长度与累计频次如图12、图13(c)所示。

对比图12、图13可知,高压气体致裂产生的裂纹角度通常较为集中且稳定,相比之下,乳化炸药爆破裂纹角度则更为分散和多变,具有更强的随机性。高压气体致裂产生的裂纹长度通常较为均匀,总体长度相对较长,形成更为宏观破裂面。高压气体致裂长裂纹频率占比占据主导地位,随着裂纹长度的增加,频率占比逐渐降低,反映了高压气体致裂过程中裂纹扩展的平稳性和有限性。而炸药爆破则呈现出短裂纹与中裂纹频率占比均较高特点,尤其是短裂纹的频率占比显著高于高压气体致裂。这表明炸药爆破过程中裂纹扩展更为复杂剧烈,能够形成层次更为丰富的裂纹。高压气体致裂裂纹长度与累积频次的关系呈现出较为集中的曲线特征。由于高压气体作用能量释放相对均匀,裂纹扩展过程较为稳定,短裂纹分布受限,尺寸均一性强。随着裂纹长度的增加,累积频次增长逐渐放缓。这表明高压气体致裂产生的裂纹以稳定的长裂纹为主。炸药爆破裂纹累积频次分布范围更广,短裂纹和中裂纹累计频次均较高。特别是在裂纹长度达到一定阈值后,累积频次可能出现快速下降,反映出炸药爆破过程中裂纹扩展的剧烈性和多样性。

3.3 高压气体破岩裂纹量化特征

图14(a)中高压气体致裂过程中,裂纹分布呈现明显优势分布特征,可以发现裂纹多沿着岩石内部应力集中区域或高压气体注入孔道周围扩展,具有较好的方向性。图14(b)中玫瑰图量化了不同方向裂纹占比差异,显示裂纹主要沿着特定方向扩展,裂纹方向更为集中,破裂过程受高压气体方向性影响显著。图14(c)中裂纹张量分布相对集中,裂纹扩展具有较好一致性和可控性。裂纹张量在单一测度上包含了裂缝尺寸方向和空间密度信息,裂纹特征可通过2阶、4阶甚至更高张量进行评估。裂纹2阶张量(蓝色曲线)通过描述裂纹间的相互位置关系和连接情况, 进而精确反映了裂纹连通性。图14(d)裂纹分布密度估计表明高压气体致裂效果受气体压力和岩石应力状态影响显著,裂纹分布密度更为均匀。图14(e)裂纹连通三叉图清晰呈现了裂纹拓扑结构,直观反映高压气体驱动下主裂纹的扩展模式。高压气体破裂连通主裂纹的条数较多,裂纹连通区域(蓝色实心点)位于三叉图的底部,裂纹已形成一定规模连通网络,这种连通性反映了高压气体致裂过程中裂纹扩展连续性。

4 试验验证

1 m×1 m×1.2 m混凝土模型试验选择在江汉大学精细爆破国家重点实验室东山实验基地开展,高压气体参数选取如表3所示。

课题合作单位委托精细爆破国家重点实验室开展对比试验,混凝土模型高压气体致裂过程如图15[16]所示。在致裂初期(10 ms时),高压气体瞬间注入,模型内部因气体压力上升而产生应力集中,为裂纹萌生创造了条件。随着气体压力的持续作用(50 ms时),混凝土内部微裂纹初步扩展,裂纹首先出现在应力集中区域,标志着混凝土内部结构破坏开始。进入稳定扩展阶段(150 ms时),裂纹以相对稳定速度增长,长度、宽度显著增加,形成宏观长裂纹。此阶段裂纹扩展路径和形态受混凝土内部结构和应力状态影响。致裂末期(200 ms时),长裂纹扩展加速,不同方向的裂纹相互贯通,形成更大破裂面,混凝土模型完整性受到严重破坏。最终,随着裂纹进一步扩展和贯通,模型发生破裂,形成不规则破裂面和碎块分布。模型试验主要裂纹生长模式及损伤范围与数值模拟结果基本一致,体现了高压气体致裂破岩的可行性及类岩石材料在高压气体作用下的破断机制。

5 结论

(1)高压气体能量释放呈“缓慢、持续、可控”特征,气体压力逐步升高并维持稳定,能量以静压力形式作用于岩体,仅在能量集中的局部区域形成长度裂纹,角度集中于应力释放最优方向。乳化炸药能量释放呈“瞬时、剧烈、爆发式”特征,炸药爆炸产生的冲击波和爆生气体瞬时作用于岩体,能量密度极高,瞬间突破岩体强度极限,在冲击波和爆生气体共同推动裂纹持续延伸且角度分散。

(2)高压气体能量释放呈“缓慢、持续、可控”特征,气体压力逐步升高并维持稳定,能量以静压力形式作用于岩体,仅在能量集中的局部区域形成长度裂纹,角度集中于应力释放最优方向。乳化炸药能量释放呈“瞬时、剧烈、爆发式”特征,炸药爆炸产生的冲击波和爆生气体瞬时作用于岩体,能量密度极高,瞬间突破岩体强度极限,在冲击波和爆生气体共同推动裂纹持续延伸且角度分散。

(3)基于数值模拟、FracPaQ量化分析及混凝土模型试验多方法验证表明,高压气体破岩裂纹方向、长度、密度及连通性等量化特征具有良好的一致性与可靠性,研究成果明确了高压气体破岩的核心机理,为复杂场景下破岩方案比选及参数优化提供了技术支撑。

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基金资助

福建省自然科学基金联合资助项目(2024J01905)

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