电子技术、通信技术面向抗风扰的四旋翼无人机预设时间非奇异编队自适应神经网络控制

顾伶俐; 段司正; 袁家信; 王海生

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2508131

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (26) :11348-11358 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2508131

电子技术、通信技术

电子技术、通信技术面向抗风扰的四旋翼无人机预设时间非奇异编队自适应神经网络控制

顾伶俐 ¹ ,
段司正 ¹ ,
袁家信 ²^,^* ,
王海生 ³

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Predefined-time Nonsingular Formation Adaptive Neural Network Control of Quadrotor UAVs against Wind Disturbances

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摘要

针对四旋翼无人机编队在外部风扰和内部未建模动态作用下的稳定跟踪问题,提出了一种基于径向基函数(radial basis function,RBF)神经网络的预设时间非奇异抗风扰编队自适应控制方法。首先,构造预设时间参考信号估计器以生成并修正期望轨迹。其次,在虚拟控制律中引入预设时间滤波器,并设计连续可导的切换函数以避免传统反步设计中因幂次积分项引起的奇异性。进一步地,利用RBF神经网络逼近系统未建模动态,并结合所设计的预设时间扰动观测器,对风扰和神经网络逼近误差进行联合估计与补偿。最后,通过参考信号估计器、位置环控制器与姿态环控制器的分层设计,实现四旋翼无人机编队在预设时间内的稳定跟踪。实验结果表明,该方法在不同风扰和不确定性条件下依然能够保证系统的快速收敛性,验证了所提控制策略的有效性与优越性。

Abstract

To address the stable formation tracking problem of quadrotor UAVs (unmanned aerial vehicles) under external wind disturbances and internal unmodeled dynamics, a predefined-time nonsingular adaptive anti-disturbance formation control method based on RBF (radial basis function) neural networks was proposed. First, a predefined-time reference signal estimator was constructed to generate and adjust the desired trajectory. Then, a predefined-time filter was introduced into the virtual control law, and a continuously differentiable switching function was designed to avoid the singularity issue caused by power-integrator terms in conventional backstepping. Furthermore, RBF neural networks were employed to approximate the unmodeled dynamics, while a predefined-time disturbance observer was developed to jointly estimate and compensate for wind disturbances and neural network approximation errors. Finally, through a hierarchical design consisting of the reference estimator, position-loop controller, and attitude-loop controller, predefined-time stable formation tracking of quadrotor UAVs was achieved. Experimental results demonstrate that the method can still ensure fast convergence of the system under various wind disturbances and uncertainties, validating the effectiveness and superiority of the proposed control strategy.

Graphical abstract

关键词

四旋翼无人机编队 / 预设时间控制 / 非奇异反步控制 / RBF神经网络 / 抗风扰控制

Key words

quadrotor UAV formation / predefined-time control / nonsingular backstepping control / RBF neural networks / wind disturbance rejection control

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顾伶俐, 段司正, 袁家信, 王海生. 电子技术、通信技术面向抗风扰的四旋翼无人机预设时间非奇异编队自适应神经网络控制[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(26): 11348-11358 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2508131

GU Ling-li, DUAN Si-zheng, YUAN Jia-xin, WANG Hai-sheng. Predefined-time Nonsingular Formation Adaptive Neural Network Control of Quadrotor UAVs against Wind Disturbances[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(26): 11348-11358 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2508131

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近年来,四旋翼无人机因其结构简单、机动灵活以及广泛的应用前景,在灾害救援^[1-2]、环境监测^[3]、农业植保^[4]及空中组网通信^[5]等领域得到了广泛关注。尤其是在编队飞行任务中,多无人机协同作业能够显著提升任务执行效率和系统鲁棒性。然而,在实际环境中,四旋翼无人机编队控制仍面临诸多挑战。外部风扰等环境因素会引起系统状态快速变化,影响无人机轨迹跟踪精度;内部未建模动态及参数不确定性会导致系统出现非线性耦合和模型误差,从而削弱传统控制方法的有效性^[6]。上述因素叠加,使无人机编队在复杂环境下容易出现性能下降甚至任务失败。因此,设计一种既能有效抑制外部扰动和内部不确定性,又能保证收敛时间和系统稳定性的抗干扰编队控制方法显得尤为必要。

近年来,针对具有外部扰动和内部未建模动态的四旋翼无人机编队控制问题,学者们提出了多种控制方法。文献[7]针对姿态环提出了基于降阶扩张状态观测器的固定时间自抗扰控制方法,实现了对外部扰动的快速估计。文献[8]在此基础上对传统扩张状态观测器进行了改进,增强了对四旋翼无人机姿态环中扰动的补偿能力。文献[9]进一步考虑了位置环控制,通过设计固定时间滑模观测器实现对时变外部干扰的实时补偿,从而显著提高了位置跟踪精度和控制稳定性。在文献[10]中设计了一类有限时间扰动观测器,用以在有效时间内实现对干扰的估计补偿。文献[11]则利用径向基函数(radial basis function,RBF)神经网络的非线性函数逼近能力对系统未建模动态进行补偿。文献[12]提出了一种固定时间抗干扰编队控制方法,通过设计固定时间干扰观测器快速估计每个无人机的扰动并在控制器中进行补偿。文献[13]利用固定时间理论设计了两个扰动观测器,用以补偿双环中的外部扰动。而文献[14]研究了更为复杂的非均匀风场环境下的编队飞行控制问题,提出了针对复杂风场扰动的补偿策略,进一步增强了编队在实际环境中的适应能力。文献[15]则关注领导-跟随网络结构下的多四旋翼编队一致性问题,利用RBF神经网络逼近外部扰动,实现了编队中每个无人机的稳定协同跟踪,为复杂网络结构下的编队控制提供了新的解决方案。

尽管上述方法在一定程度上提升了系统动态性能和抗扰能力,但仍存在两方面不足:一是传统反步控制在处理幂次积分项时易引入奇异性问题,可能导致控制器出现抖振,限制了其在复杂任务中的应用。文献[16]提出非奇异快速终端滑模控制算法,通过约束滑模面幂次项有效避免了奇异性问题,但参数选择较为复杂。二是大多数方法仅能保证渐近收敛或有限时间收敛^[10,17],且收敛时间依赖系统初值;即便是固定时间方法^[7,12-13],其收敛上界通常受到多项控制参数和系统参数的影响,难以严格满足任务对收敛速度的要求。

基于以上分析,针对受外部风扰和内部未建模动态影响的四旋翼无人机编队系统,现提出一种基于RBF神经网络的预设时间非奇异抗风扰编队控制方法。该方法在预设时间稳定性理论框架下,通过构建参考信号估计器、非奇异控制律以及神经网络逼近与扰动观测补偿机制,以实现无人机编队在强风扰和系统不确定性条件下的快速、稳定跟踪。通过分层控制架构的设计,该方法不仅保证编队系统在预设时间内收敛至期望轨迹,同时有效避免传统反步控制中的奇异性问题。研究结果可为复杂风场环境下四旋翼无人机编队的高精度协同飞行提供一种具有明确收敛时间保证的控制方案,对提升无人机集群在灾害救援、环境监测和空中协同作业等任务中的安全性与可靠性具有一定意义。同时,所提出的非奇异预设时间控制框架也为不确定非线性系统的快速抗扰控制设计提供可借鉴的理论与方法参考。

1 四旋翼无人机动力学模型

1.1 图论

考虑一个具有N个顶点和m条边的无向图 G=(V,E),用于描述四旋翼无人机编队之间的通信关系,其中V=1,2,…,N为顶点集合,E⊆V×V为边的集合。邻接矩阵A=[a_ij]定义为:若无人机i与无人机j可通信,则a_ij=1,否则a_ij=0。度矩阵D=diag(d₁,d₂,…,d_N),其中${\mathit{d}}_{\mathit{i}}=\sum _{\mathit{j}=1}^{\mathit{N}}{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\mathit{。}$拉普拉斯矩阵定义为L=D-A。采用1个领导者和N个跟随者的编队形式,构建无向图$\stackrel{-}{\mathit{G}}$,编号为0的顶点表示领导者。定义邻接矩阵B=diag(b₁,b₂,…,b_N),当且仅当第i个无人机能够接收到领导者信息时b_i=1,否则b_i=0。

1.2 四旋翼无人机数学模型

四旋翼无人机通过调节4个旋翼实现位置与姿态的六自由度控制。由于其欠驱动特性,为准确刻画动力学行为,提出以下假设。

假设1 四旋翼无人机被视为刚体,其几何中心与质心重合;转子质量可忽略,因而不考虑陀螺效应;各转子产生的升力与转速成正比;作用于机体的气动阻力可等效为集中于质心的合力。

考虑四旋翼无人机结构如图1所示。

无人机i的位置与姿态向量分别为p_i₁=[x_i,y_i,z_i]^T与w_i₁=$[{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}},{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}},{\mathit{\psi }}_{\mathit{i}}{]}^{\mathit{T}}$。根据牛顿-欧拉法,四旋翼无人机动力学模型^[18]表示为

(1)$\left\{\begin{array}{l}{\ddot{\mathit{x}}}_{\mathit{i}}=-\frac{{\mathit{k}}_{\mathit{i}1}}{{\mathit{m}}_{\mathit{i}}}{\dot{\mathit{x}}}_{\mathit{i}}+\frac{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\psi }}_{\mathit{i}}+\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\psi }}_{\mathit{i}}}{{\mathit{m}}_{\mathit{i}}}{\mathit{u}}_{\mathit{i}1}+\\ {\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{x}}\left(\mathit{x}\right)+{\mathit{F}}_{\mathit{i}\mathit{x}}\\ {\ddot{\mathit{y}}}_{\mathit{i}}=-\frac{{\mathit{k}}_{\mathit{i}2}}{{\mathit{m}}_{\mathit{i}}}{\dot{\mathit{y}}}_{\mathit{i}}+\frac{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\psi }}_{\mathit{i}}-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\psi }}_{\mathit{i}}}{{\mathit{m}}_{\mathit{i}}}{\mathit{u}}_{\mathit{i}1}+\\ {\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{y}}\left(\mathit{y}\right)+{\mathit{F}}_{\mathit{i}\mathit{y}}\\ {\ddot{\mathit{z}}}_{\mathit{i}}=-\frac{{\mathit{k}}_{\mathit{i}3}}{{\mathit{m}}_{\mathit{i}}}{\dot{\mathit{z}}}_{\mathit{i}}-\mathit{g}+\frac{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}}{{\mathit{m}}_{\mathit{i}}}{\mathit{u}}_{\mathit{i}1}+{\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{z}}\left(\mathit{z}\right)+{\mathit{F}}_{\mathit{i}\mathit{z}}\end{array}\right.$

(2)$\left\{\begin{array}{l}{\ddot{\mathit{\varphi }}}_{\mathit{i}}=\frac{{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{y}}-{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{z}}}{{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{x}}}{\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{i}}{\dot{\mathit{\psi }}}_{\mathit{i}}-\frac{{\mathit{k}}_{\mathit{i}4}}{{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{x}}}{\dot{\mathit{\varphi }}}_{\mathit{i}}+\frac{1}{{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{x}}}{\mathit{u}}_{\mathit{i}2}+{\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{\varphi }}\left(\mathit{\varphi }\right)\\ {\ddot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{i}}=\frac{{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{z}}-{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{x}}}{{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{y}}}{\dot{\mathit{\varphi }}}_{\mathit{i}}{\dot{\mathit{\psi }}}_{\mathit{i}}-\frac{{\mathit{k}}_{\mathit{i}5}}{{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{y}}}{\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{i}}+\frac{1}{{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{y}}}{\mathit{u}}_{\mathit{i}3}+{\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{\theta }}\left(\mathit{\theta }\right)\\ {\ddot{\mathit{\psi }}}_{\mathit{i}}=\frac{{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{x}}-{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{y}}}{{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{z}}}{\dot{\mathit{\varphi }}}_{\mathit{i}}{\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{i}}-\frac{{\mathit{k}}_{\mathit{i}6}}{{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{z}}}{\dot{\mathit{\psi }}}_{\mathit{i}}+\frac{1}{{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{z}}}{\mathit{u}}_{\mathit{i}4}+{\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{\psi }}\left(\mathit{\psi }\right)\end{array}\right.$

式中:I_ix、I_iy、I_iz分别为无人机i在机体坐标系下的三轴转动惯量;k_ij为各通道阻力系数,j=1,2,…,6;g_ij(·)为无人机中各通道子系统中的未建模动态,j=x,y,z,ϕ,θ,ψ;F_ij为风扰,j=x,y,z;u_ij分别对应升力、滚转、俯仰和偏航力矩,j=1,2,3,4;m_i为无人机质量;g为重力加速度。

为便于后续控制器设计,将式(1)和式(2)整理为位置环和姿态环的向量形式。

(3)$\left\{\begin{array}{l}{\dot{\mathit{p}}}_{\mathit{i}1}={\mathit{p}}_{\mathit{i}2}\\ {\dot{\mathit{p}}}_{\mathit{i}2}={\mathit{f}}_{\mathit{i}\mathit{p}}\left(\mathit{p}\right)+{\mathit{R}}_{\mathit{T}}{\mathit{u}}_{\mathit{i}\mathit{p}}+{\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{p}}\left(\mathit{p}\right)+{\mathit{F}}_{\mathit{i}\mathit{p}}\left(\mathit{t}\right)\end{array}\right.$

(4)$\left\{\begin{array}{l}{\dot{\mathit{\omega }}}_{\mathit{i}1}={\mathit{\omega }}_{\mathit{i}2}\\ {\dot{\mathit{\omega }}}_{\mathit{i}2}={\mathit{f}}_{\mathit{i}\mathit{\omega }}\left(\mathit{\omega }\right)+{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{p}}^{-1}{\mathit{u}}_{\mathit{i}\mathit{\omega }}+{\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{\omega }}\left(\mathit{\omega }\right)\end{array}\right.$

式中:${\dot{\mathit{p}}}_{\mathit{i}1}$、${\dot{\mathit{w}}}_{\mathit{i}1}$和${\ddot{\mathit{p}}}_{\mathit{i}1}$、${\ddot{\mathit{w}}}_{\mathit{i}1}$分别为各个方向的速度与加速度;I_ip、I_ip、f_iω(·)、g_ip(·)、g_ip(·)、g_iω(·)、F_ip(t)、u_iω、R_T为引入的紧凑变量。

(5)$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{f}}_{\mathit{i}\mathit{p}}(·)=-{\mathit{m}}_{\mathit{i}}^{-1}[{\mathit{k}}_{\mathit{i}1}{\dot{\mathit{x}}}_{\mathit{i}},{\mathit{k}}_{\mathit{i}2}{\dot{\mathit{y}}}_{\mathit{i}},{\mathit{k}}_{\mathit{i}3}{\dot{\mathit{z}}}_{\mathit{i}}{-\mathit{g}]}^{\mathit{T}}\\ {\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{p}}=\mathit{d}\mathit{i}\mathit{a}\mathit{g}[{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{x}},{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{y}},{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{z}}]\\ {\mathit{f}}_{\mathit{i}\mathit{\omega }}(·)={\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{p}}^{-1}{\left[\begin{array}{l}({\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{y}}-{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{z}}){\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{i}}{\dot{\mathit{\psi }}}_{\mathit{i}}-{\mathit{k}}_{\mathit{i}4}{\dot{\mathit{\varphi }}}_{\mathit{i}}\\ ({\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{z}}-{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{x}}){\dot{\mathit{\varphi }}}_{\mathit{i}}{\dot{\mathit{\psi }}}_{\mathit{i}}-{\mathit{k}}_{\mathit{i}5}{\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{i}}\\ ({\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{x}}-{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{y}}){\dot{\mathit{\varphi }}}_{\mathit{i}}{\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{i}}-{\mathit{k}}_{\mathit{i}6}{\dot{\mathit{\psi }}}_{\mathit{i}}\end{array}\right]}^{\mathit{T}}\\ {\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{p}}(·)=[{\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{x}},{\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{y}},{\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{z}}{]}^{\mathit{T}}\\ {\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{\omega }}(·)=[{\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{\varphi }},{\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{\theta }},{\mathit{g}}_{\mathit{i}\mathit{\psi }}{]}^{\mathit{T}}\\ {\mathit{F}}_{\mathit{i}\mathit{p}}\left(\mathit{t}\right)=[{\mathit{F}}_{\mathit{i}\mathit{x}},{\mathit{F}}_{\mathit{i}\mathit{y}},{\mathit{F}}_{\mathit{i}\mathit{z}}{]}^{\mathit{T}}\\ {\mathit{u}}_{\mathit{i}\mathit{\omega }}=[{\mathit{u}}_{\mathit{i}2},{\mathit{u}}_{\mathit{i}3},{\mathit{u}}_{\mathit{i}4}{]}^{\mathit{T}}\\ {\mathit{R}}_{\mathit{T}}={\mathit{m}}_{\mathit{i}}^{-1}{\mathit{u}}_{\mathit{i}1}{\mathit{I}}_{3\times 3}\end{array}\right.$

推力向量u_ip=[u_ix,u_iy,u_iz]^T具体可表示为

(6)$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{u}}_{\mathit{i}\mathit{x}}=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\psi }}_{\mathit{i}}+\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\psi }}_{\mathit{i}}\\ {\mathit{u}}_{\mathit{i}\mathit{y}}=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\psi }}_{\mathit{i}}-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\psi }}_{\mathit{i}}\\ {\mathit{u}}_{\mathit{i}\mathit{z}}=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}\end{array}\right.$

对于位置环,为使四旋翼无人机按照预定编队飞行,设计虚拟控制输入(u_ix,u_iy,u_iz)以产生所需升力,同时通过式(6)计算期望姿态角,从而驱动姿态环控制器使无人机达到该姿态角。

2 控制器设计

2.1 问题描述

针对如式(3)和式(4)所示的四旋翼无人机系统模型,该模型同时存在外部风扰和内部未建模动态。所研究的控制目标在于设计合适的控制律,使四旋翼无人机跟随者不仅能够形成预期的编队队形,而且能够对领导者位置向量p₀进行有效跟踪。为了保证所提出的编队跟踪控制问题具有实际可行性,特提出以下假设条件。

假设2 领导者传出的位置信息p₀=[x₀,y₀,z₀]^T连续可微,并且其导数存在一个上界$\left\|\dot{\boldsymbol{p}}_{0}\right\| \leqslant \bar{p}$,$\stackrel{-}{\mathit{p}}$为未知的正数。

引理1^[19] 对任意的x,y∈R,及r₁,r₂,r₃>0,有(r₁+r₂)|x|^r₁|y|^r₂≤r₁r₃|x|^r₁+r₂+r₂${\mathit{r}}_{3}^{-{\mathit{r}}_{1}/{\mathit{r}}_{2}}\left|\mathit{y}\right.{|}^{{\mathit{r}}_{1}+{\mathit{r}}_{2}}$。

引理2^[20] 对任意的x,y∈R,和r>1,有y(x-y)^r≤r/(r+1)(x^r⁺¹-y^r⁺¹)。

2.2 实用预设时间稳定

考虑如下非线性系统,即

(7)$\dot{\mathit{x}}$=g(x,t), x∈R_A⊆Rⁿ

式(7)中:x为系统状态;g(x,t)为连续可微函数,且满足g(0,t)=0;初始状态x(0)∈R_A,R_A为系统的吸引域。

引理3^[19] 针对系统(7),若存在连续可微且正定的Lyapunov函数V(x),并存在常数η∈(0,1),T>0,Δ>0,使其满足

(8)$\stackrel{·}{\mathit{V}}$(x)≤-$\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}$(${\mathit{V}}^{1-\frac{\mathit{\eta }}{2}}$+${\mathit{V}}^{1+\frac{\mathit{\eta }}{2}}$)+Δ

则系统(7)是使用预设时间稳定的。具体而言,系统状态x将在不超过$\sqrt{2}$T的时间内收敛至集合$\Omega \triangleq \left\{x \mid V \leqslant \min \left[\bar{\Delta}^{2 /(2-\eta)}, \bar{\Delta}^{2 /(2+\eta)}\right]\right\}$,${\stackrel{-}{\mathit{\Delta }}}^{2/(2+\mathit{\eta })}$]},其中$\stackrel{-}{\mathit{\Delta }}$=2ηTΔ/π。

2.3 RBF神经网络

对于未建模的未知函数g(x),采用RBF神经网络逼近,其形式为$\widehat{\mathit{g}}$(x)=δ^TΨ(x),其中δ∈R^q为权值向量,Ψ(x)=$[{\mathit{\Psi }}^{1},{\mathit{\Psi }}^{2},\dots,{\mathit{\Psi }}^{\mathit{q}}{]}^{\mathit{T}}$为高斯径向基函数向量,第k个分量为Ψ^k=exp[-|x^k-c^k|²/(b^k)²],c^k和b^k分别为中心和带宽。在定义域R_A内,存在最优参数δ^*和逼近误差$\epsilon$使得g(x)=(δ^*)^TΨ(x)+$\epsilon$,其中$\epsilon$=g(x)-g(x|δ^*)。

假设3^[21] RBF逼近误差存在未知上界$\stackrel{-}{\mathit{Ơ}}$。

2.4 预设时间参考估计器

为了使每架四旋翼无人机能够在预设时间内准确跟踪领导者并保持编队队形,在提出控制器之前,设计一种预设时间参考信号估计器。该估计器能够在预设时间内对领导者的期望轨迹进行估计与修正,从而为后续的编队控制律设计提供参考信号。其具体形式为

(9)$\begin{array}{l}{\stackrel{·}{\hat{\mathit{p}}}}_{\mathit{i}0}=-{\mathit{l}}_{1}\sum _{\mathit{j}=1}^{\mathit{N}}{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\mathit{s}\mathit{i}{\mathit{g}}^{1-\mathit{\eta }}({\hat{\mathit{p}}}_{\mathit{i}0}-{\hat{\mathit{p}}}_{\mathit{j}0}-{\mathit{h}}_{\mathit{i}\mathit{j}})-\\ {\mathit{l}}_{2}\sum _{\mathit{j}=1}^{\mathit{N}}{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\mathit{s}\mathit{i}{\mathit{g}}^{1+\mathit{\eta }}({\hat{\mathit{p}}}_{\mathit{i}0}-{\hat{\mathit{p}}}_{\mathit{j}0}-{\mathit{h}}_{\mathit{i}\mathit{j}})-\\ {\mathit{c}}_{\mathit{i}}{\mathit{b}}_{\mathit{i}}({\hat{\mathit{p}}}_{\mathit{i}0}-{\mathit{p}}_{0}-{\mathit{h}}_{\mathit{i}0})\end{array}$

式(9)中:sig^α(·)=|·|^αsign(·),其中sign(·)为符号函数;c_i为正的增益参数;h_ij=[h_ijx,h_ijy,h_ijz]^T为无人机i与j之间的期望距离向量;h_i₀=[h_i0x,h_i0y,h_i0z]^T为无人机i与领导者的期望距离向量;l₁=π[4λ₂(L₁)]^-(2-^η⁾^/²/(ηT);l₂=[4λ₂(L₂)]^-(2+^η⁾^/²/(ηT),其中λ₂(·)为矩阵的第二小特征值;L₁与L₂分别为邻接矩阵[${\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2/(2-\mathit{\eta })}$]与[${\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2/(2+\mathit{\eta })}$]的拉普拉斯矩阵,且其结构与[a_ij]相同。

定理1 考虑所设计的预设时间信号估计器[式(9)],满足假设1和假设2,则能确保估计器能够在时间$\sqrt{2}$T内估计出四旋翼无人机的参考信号。

证明首先,定义估计误差${\tilde{\mathit{p}}}_{\mathit{i}}$=(${\hat{\mathit{p}}}_{\mathit{i}0}$-p₀-h_i₀),构造Lyapunov函数V₀为

(10)${\mathit{V}}_{0}=\frac{1}{2}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}{{\tilde{\mathit{p}}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}{\tilde{\mathit{p}}}_{\mathit{i}}$

对式(10)求导可得

(11)${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{0}=\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}{{\tilde{\mathit{p}}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}({\stackrel{·}{\hat{\mathit{p}}}}_{\mathit{i}0}-{\dot{\mathit{p}}}_{0})$

将式(9)代入式(11),结合向量变换h_ij-h_i₀=h_j₀和Young不等式可得

(12)$\begin{array}{l}{\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{0}\le -{\mathit{l}}_{1}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}{\left[{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{\frac{2}{2-\mathit{\eta }}}({\tilde{\mathit{p}}}_{\mathit{i}}-{\tilde{\mathit{p}}}_{\mathit{j}}{)}^{2}\right]}^{\frac{2-\mathit{\eta }}{2}}-\\ {\mathit{l}}_{2}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}[{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{\frac{2}{2+\mathit{\eta }}}({\tilde{\mathit{p}}}_{\mathit{i}}-{\tilde{\mathit{p}}}_{\mathit{j}}{)}^{2}{]}^{\frac{2+\mathit{\eta }}{2}}-\\ \sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}\left({\mathit{c}}_{\mathit{i}}{\mathit{b}}_{\mathit{i}}-\frac{1}{2}\right)={\tilde{\mathit{p}}}_{\mathit{i}}={\mathit{ }}^{2}-\\ \sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}{{\tilde{\mathit{p}}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}{\dot{\mathit{p}}}_{0}+\frac{\mathit{N}}{2}{\stackrel{-}{\mathit{p}}}^{2}\end{array}$

选择c_i≥0.5,并结合式(10),有

(13)${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{0}$≤-$\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}{\mathit{V}}_{0}^{1-\frac{\mathit{\eta }}{2}}$-$\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}{\mathit{V}}_{0}^{1+\frac{\mathit{\eta }}{2}}$+$\frac{\mathit{N}}{2}{\stackrel{-}{\mathit{p}}}^{2}$

根据引理3可知,在预设时间$\sqrt{2}$T内,估计器对领导者信息的估计误差${\tilde{\mathit{p}}}_{\mathit{i}}$将会收敛至一个小邻域Ω₁内,该邻域为

(14)Ω₁{${\tilde{\mathit{p}}}_{\mathit{i}}$|V₀≤min{${\mathit{\Delta }}_{1}^{\frac{2}{2-\mathit{\eta }}}$,${\mathit{\Delta }}_{1}^{\frac{2}{2+\mathit{\eta }}}$}}

式(11)中:Δ₁=ηTN${\stackrel{-}{\mathit{p}}}^{2}$/π。

由此可以得到估计器能够在预设时间$\sqrt{2}$T内实现实用预设时间稳定,定理1证明完毕。

2.5 非奇异预设时间位置环控制器

通过所设计的预设时间参考估计器[式(9)]能够为每个无人机提供一个参考估计信号,为此,定义第i个无人机的跟踪误差为

(15)$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{z}}_{\mathit{i}1}={\mathit{p}}_{\mathit{i}1}-{\mathit{\vartheta }}_{\mathit{i}1}\\ {\mathit{\chi }}_{\mathit{i}1}={\mathit{\vartheta }}_{\mathit{i}1}-{\hat{\mathit{p}}}_{\mathit{i}0}\\ {\mathit{z}}_{\mathit{i}2}={\mathit{p}}_{\mathit{i}2}-{\mathit{\vartheta }}_{\mathit{i}2}\\ {\mathit{\chi }}_{\mathit{i}2}={\mathit{\vartheta }}_{\mathit{i}2}-{\mathit{p}}_{{\mathit{i}}^{\mathit{*}}}\end{array}\right.$

式(15)中:ϑ_i₁、ϑ_i₂为滤波器;p_i^*为虚拟控制律;z_i₁、z_i₂分别为位置跟踪误差、速度跟踪误差。

(16)p_i^*=-$\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}$[Φ(z_i₁)+sig¹⁺^η(z_i₁)]-z_i₁+ϑ_i₁

在传统的反步过程中,为了实现预设时间收敛,虚拟控制律中设计的幂次积分sig^1-^η(z_i₁),由于1-η∈(0,1),会导致在对其求导时出现负次幂从而当误差z_i₁=0处会发生奇异性问题。因此为了避免该问题,在式(16)中引入了一个连续可导的切换函数Φ(z_i₁),用以避免虚拟控制律中的奇异性问题,其定义为:存在一个正常数κ≤1,当|z_i₁|≥κ时,Φ(z_i₁)=sig^1-^η(z_i₁);当|z_i₁|≤κ时,Φ(z_i₁)=κ^-^η(1+0.5η)z_i₁-0.5ηκ^-^η^-2${\mathit{z}}_{\mathit{i}1}^{3}$。

当误差z_i₁趋于0时,满足|z_i₁|≤κ,为此dΦ(z_i₁)/dt=κ^-^η(1+0.5η)${\dot{\mathit{z}}}_{\mathit{i}1}$-1.5ηκ^-^η^-2${\mathit{z}}_{\mathit{i}1}^{2}{\dot{\mathit{z}}}_{\mathit{i}1}$,当z_i₁=0时,dΦ(z_i₁)/dt≠∞,从而避免了奇异性问题。

预设时间滤波器设计为

(17)$\left\{\begin{array}{l}{\dot{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}1}=-\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}\left[\mathit{\Phi }\right({\mathit{\chi }}_{\mathit{i}1})+\mathit{s}\mathit{i}{\mathit{g}}^{1+\mathit{\eta }}({\mathit{\chi }}_{\mathit{i}1}\left)\right]-\frac{1}{2}{\mathit{\chi }}_{\mathit{i}1}\\ {\dot{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}2}=-\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}\left[\mathit{\Phi }\right({\mathit{\chi }}_{\mathit{i}2})+\mathit{s}\mathit{i}{\mathit{g}}^{1+\mathit{\eta }}({\mathit{\chi }}_{\mathit{i}2}\left)\right]-{\mathit{\chi }}_{\mathit{i}2}\end{array}\right.$

式(17)中:${\dot{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}1}$、${\dot{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}2}$分别为ϑ_i₁、ϑ_i₂的一阶导数。

RBF神经网络权值更新律设计为

(18)${\dot{\mathit{\delta }}}_{\mathit{i}}$=${{\mathit{\Psi }}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}$z_i₂-$\frac{\mathit{\pi }{2}^{1-\frac{\mathit{\eta }}{2}}}{\mathit{\eta }\mathit{T}}$δ_i-$\frac{(\mathit{\eta }+2)\mathit{\pi }}{(\mathit{\eta }+1)\mathit{\eta }\mathit{T}}$sig¹⁺^η(δ_i)

预设时间扰动观测器设计为

(19)${\dot{\mathit{\Theta }}}_{\mathit{i}}$=γ_iz_i₂-$\frac{\mathit{\pi }{2}^{2-\frac{\mathit{\eta }}{2}}}{\mathit{\eta }\mathit{T}}$Θ_i-$\frac{(\mathit{\eta }+2)\mathit{\pi }}{(\mathit{\eta }+1)\mathit{\eta }\mathit{T}}$sig¹⁺^η(Θ_i)

式(19)中:γ_i为扰动观测增益。

位置环的控制输入设计为

(20)u_ip=${\mathit{R}}_{\mathit{T}}^{-1}${-$\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}$[sig^1-^η(z_i₂)+sig¹⁺^η(z_i₂)]-$\frac{1}{2}$z_i₂-${{\mathit{\delta }}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}$Ψ_i-Θ_i-f_ip(p)+${\dot{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}2}$}

所设计的预设时间扰动观测器[式(19)]通过自适应调整用以估计并补偿位置环中所受的风扰和RBF神经网络的逼近误差之和。

假设4^[22]:滤波器[式(17)]的滤波估计误差χ_ij存在一个正的未知上界$\stackrel{-}{\mathit{\chi }}$。

定理2 考虑受外部风扰和内部未建模非线性动态影响的四旋翼无人机位置环子系统[式(3)],在假设1~假设4及参考信号估计器[式(9)]条件下,所设计的滤波器[式(17)]、神经网络权值更新律[式(18)]和扰动观测器[式(19)]、控制器[式(20)],可保证该子系统在预设时间$\sqrt{2}$T内实现风扰补偿,并使位置环状态误差收敛至小邻域内。

证明首先构造Lyapunov函数为

(21)${\mathit{V}}_{1}=\frac{1}{2}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}({{\mathit{z}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}1}{\mathit{z}}_{\mathit{i}1}+{{\mathit{\chi }}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}1}{\mathit{\chi }}_{\mathit{i}1})$

对(21)求导可得

(22)$\begin{array}{l}{\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{1}=\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}[{{\mathit{z}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}1}({\mathit{z}}_{\mathit{i}2}+{\mathit{\chi }}_{\mathit{i}2}+{\mathit{p}}_{{\mathit{i}}^{\mathit{*}}}-{\dot{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}1})+\\ {{\mathit{\chi }}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}1}({\dot{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}1}-{\stackrel{·}{\hat{\mathit{p}}}}_{\mathit{i}0})]\end{array}$

由Young’s不等式,可得

(23)$ \begin{aligned} z_{i 1}^{\mathrm{T}}\left(z_{i 2}+\boldsymbol{\chi}_{i 2}\right) & \leqslant z_{i 1}^{\mathrm{T}} z_{i 1}+\frac{1}{2} z_{i 2}^{\mathrm{T}} z_{i 2}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\chi}_{i 2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\chi}_{i 2}-\boldsymbol{\chi}_{i 1}^{\mathrm{T}} \dot{\hat{\boldsymbol{p}}}_{i 0} \\ & \leqslant \frac{1}{2} \boldsymbol{\chi}_{i 1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\chi}_{i 1}+\frac{1}{2}\left\|\dot{\hat{\boldsymbol{p}}}_{i 0}\right\|^{2} \end{aligned} $

根据定理1可知,$\stackrel{·}{\hat{\mathit{p}}}$_i₀连续有界,存在一个正常数${\stackrel{-}{\mathit{p}}}_{\mathit{i}}$使得$ \left|\dot{\hat{\boldsymbol{p}}}_{i 0}\right| \leqslant \bar{p}_{i} $。将虚拟控制律[式(16)]、预定义时间滤波器[式(17)]和不等式(23)代入式(22),有

(24)${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{1}\le \sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}({{\mathit{z}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}1}\left\{-\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}\left[\mathit{\Phi }\right({\mathit{z}}_{\mathit{i}1})+\mathit{s}\mathit{i}{\mathit{g}}^{1+\mathit{\eta }}({\mathit{z}}_{\mathit{i}1}\left)\right]\right\}+{{\mathit{\chi }}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}1}\{-\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}[\mathit{\Phi }\left({\mathit{\chi }}_{\mathit{i}1}\right)+\mathit{s}\mathit{i}{\mathit{g}}^{1+\mathit{\eta }}\left({\mathit{\chi }}_{\mathit{i}1}\right)\left]\right\}+\frac{1}{2}{{\mathit{z}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}2}{\mathit{z}}_{\mathit{i}2}+\frac{1}{2}{{\mathit{\chi }}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}2}{\mathit{\chi }}_{\mathit{i}2}+\frac{1}{2}{\stackrel{-}{\mathit{p}}}_{\mathit{i}}^{2})$

式(24)中:对z^T_i1Φ(z_i₁)进行推导,当$ \left|z_{i 1}\right| \leqslant \kappa $时,有

(25)$ \begin{aligned} -z_{i 1}^{\mathrm{T}} \Phi\left(z_{i 1}\right) & \leqslant-\frac{2+\eta}{2} \kappa^{-\eta} z_{i 1}^{2}+\frac{\eta}{2} \kappa^{-\eta-2} z_{i 1}^{4} \\ & \leqslant-\frac{2+\eta}{2} \kappa^{-\eta} z_{i 1}^{2}+\frac{\eta}{2} \kappa^{-\eta} z_{i 1}^{2} \\ & \leqslant-\kappa^{-\eta} z_{i 1}^{2} \\ & \leqslant-\left(\left\|z_{i 1}\right\|^{2}\right)^{1-\frac{\eta}{2}}+\kappa^{2-\eta} \end{aligned} $

当|z_i₁|≥κ时,$-z_{i 1}^{\mathrm{T}} \Phi\left(z_{i 1}\right)=-\left(\left\|z_{i 1}\right\|^{2}\right)^{1-\eta / 2}$。同理,对χ^T_i1Φ(χ_i₁)进行类似处理,式(24)可改写为

(26)$\begin{aligned} \dot{V}_{1} \leqslant & \sum_{i=1}^{N}\left[-\frac{\pi}{\eta T}\left(\left(\left\|z_{i 1}\right\|^{2}\right)^{1-\frac{\eta}{2}}+\left(\left\|z_{i 1}\right\|^{2}\right)^{1+\frac{\eta}{2}} \times\right.\right. \\ & \left.\left(\left\|\boldsymbol{\chi}_{i 1}\right\|^{2}\right)^{1-\frac{\eta}{2}}+\left(\left\|\boldsymbol{\chi}_{i 1}\right\|^{2}\right)^{1+\frac{\eta}{2}}\right)+\frac{1}{2} \boldsymbol{z}_{i 2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{z}_{i 2}+ \\ & \left.\frac{1}{2} \boldsymbol{\chi}_{i 2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\chi}_{i 2}+\frac{1}{2} \bar{p}_{i}^{2}+\frac{2 \pi}{\eta T} \kappa^{2-\eta}\right] \end{aligned}$

构造Lyapunov函数V₂形式为

(27)${\mathit{V}}_{2}={\mathit{V}}_{1}+\frac{1}{2}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}({{\mathit{z}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}2}{\mathit{z}}_{\mathit{i}2}+{{\mathit{\chi }}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}2}{\mathit{\chi }}_{\mathit{i}2}+{{\tilde{\mathit{\delta }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}{\tilde{\mathit{\delta }}}_{\mathit{i}}+{{\tilde{\mathit{\Theta }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}{\tilde{\mathit{\Theta }}}_{\mathit{i}})$

式(27)中:${\tilde{\mathit{\delta }}}_{\mathit{i}}$=${\mathit{\delta }}_{\mathit{i}}^{\mathit{*}}$-δ_i表示RBF神经网络权值向量的逼近误差;${\tilde{\mathit{\Theta }}}_{\mathit{i}}$=${\mathit{\Theta }}_{\mathit{i}}^{\mathit{*}}$-Θ_i表示对${\mathit{\Theta }}_{\mathit{i}}^{\mathit{*}}$的观测误差,其中${\mathit{\Theta }}_{\mathit{i}}^{\mathit{*}}$是对F_ip(t)+$\epsilon$上界的估计。

对式(27)求导,并且代入滤波器[式(17)],权值更新律[式(18)],扰动观测器[式(19)],和位置环控制输入[式(20)],可得

(28)$\begin{aligned} \dot{V}_{2} \leqslant & \sum_{i=1}^{N}\left[-\frac{\pi}{\eta T}\left(\left\|\boldsymbol{z}_{i 1}\right\|^{2}\right)^{1-\frac{\eta}{2}}+\left(\left\|\boldsymbol{z}_{i 1}\right\|^{2}\right)^{1+\frac{\eta}{2}}+\right. \\ & \left(\left\|\boldsymbol{z}_{i 2}\right\|^{2}\right)^{1-\frac{\eta}{2}}+\left(\left\|\boldsymbol{z}_{i 2}\right\|^{2}\right)^{1+\frac{\eta}{2}}+ \\ & \left(\left\|\boldsymbol{\chi}_{i 1}\right\|^{2}\right)^{1-\frac{\eta}{2}}+\left(\left\|\boldsymbol{\chi}_{i 1}\right\|^{2}\right)^{1+\frac{\eta}{2}}+ \\ & \left.\left(\left\|\boldsymbol{\chi}_{i 2}\right\|^{2}\right)^{1-\frac{\eta}{2}}+\left(\left\|\boldsymbol{\chi}_{i 2}\right\|^{2}\right)^{1+\frac{\eta}{2}}\right)+ \\ & \frac{1}{2}\left(\bar{p}_{i}^{2}+\left\|\dot{\boldsymbol{p}}_{i^{*}}\right\|^{2}\right)+\frac{2 \pi}{\eta T} \kappa^{2-\eta}- \\ & \left(\gamma_{i}-1\right) \boldsymbol{z}_{i 2}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_{i}+\frac{\pi 2^{1-\frac{\eta}{2}}}{\eta T} \widetilde{\boldsymbol{\delta}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\delta}_{i}+ \\ & \frac{(\eta+2) \pi}{(\eta+1) \eta T} \widetilde{\boldsymbol{\delta}}_{i}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}^{1+\eta}\left(\boldsymbol{\delta}_{i}\right)+\frac{\pi 2^{2-\frac{\eta}{2}}}{\eta T} \widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Theta}_{i}+ \\ & \left.\frac{(\eta+2) \pi}{(\eta+1) \eta T} \widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_{i}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}^{1+\eta}\left(\boldsymbol{\Theta}_{i}\right)\right] \end{aligned}$

根据Young’s不等式,有以下不等式成立,即

(29)${{\tilde{\mathit{\delta }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}$δ_i≤-$\frac{1}{2}{{\tilde{\mathit{\delta }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}{\tilde{\mathit{\delta }}}_{\mathit{i}}$+$\frac{1}{2}$(${\mathit{\delta }}_{\mathit{i}}^{\mathit{*}}$)^T${\mathit{\delta }}_{\mathit{i}}^{\mathit{*}}$

根据引理1和引理2,有以下不等式成立,即

(30)${\left(\frac{1}{2}{{\tilde{\mathit{\delta }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}{\tilde{\mathit{\delta }}}_{\mathit{i}}\right)}^{1-\frac{\mathit{\eta }}{2}}$≤$\frac{1}{2}{{\tilde{\mathit{\delta }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}{\tilde{\mathit{\delta }}}_{\mathit{i}}$+ξ$\frac{\mathit{\eta }+2}{\mathit{\eta }+1}{{\tilde{\mathit{\delta }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}$sig¹⁺^η(δ_i)≤[(${\mathit{\delta }}_{\mathit{i}}^{\mathit{*}}$)^T${\mathit{\delta }}_{\mathit{i}}^{\mathit{*}}{]}^{1+\frac{\mathit{\eta }}{2}}$- (${{\tilde{\mathit{\delta }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}{\tilde{\mathit{\delta }}}_{\mathit{i}}{)}^{1+\frac{\mathit{\eta }}{2}}$

式(30)中:ξ=η[2/(2-η)]⁽^η^-2)^/η/2。

由于${{\tilde{\mathit{\Theta }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}$Θ_i、${{\tilde{\mathit{\Theta }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}$sig¹⁺^η(Θ_i)与式(29)、式(30)有相同结构,则也有类似的不等式成立。

结合式(29)和式(30),取γ_i≥1,在不失一般性的前提下,可得

(31)${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{2}$≤-$\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}{\mathit{V}}_{2}^{1-\frac{\mathit{\eta }}{2}}$-$\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}{\mathit{V}}_{2}^{1+\frac{\mathit{\eta }}{2}}$+Δ₂

式(31)中:$\Delta_{2}=\sum_{i=1}^{N}\left[\left(\bar{p}_{i}{ }^{2}+\left\|\dot{p}_{i^{*}}\right\|^{2}\right) / 2+\left(2 \pi \kappa^{2-\eta}+\right.\right. 3 \pi 2^{1-\eta / 2} \xi+\pi\left(\left\|\boldsymbol{\delta}_{i}^{*}\right\|^{2}\right)^{1+\eta / 2}+\boldsymbol{\pi}\left(\left\|\boldsymbol{\Theta}_{i}^{*}\right\|^{2}\right)^{1+\eta / 2}+ $
$\left.\pi 2^{-\eta / 2}\left\|\boldsymbol{\delta}_{i}^{*}\right\|^{2}+\pi 2^{1-\eta / 2}\left\|\boldsymbol{\Theta}_{i}^{*}\right\|^{2}\right] /(\eta T) 。 $

根据引理3,可以得出在$\sqrt{2}$T的时间内,跟踪误差z_i₁、z_i₂,滤波误差χ_i₁、χ_i₂,RBF权值误差${\tilde{\mathit{\delta }}}_{\mathit{i}}$,以及扰动观测误差${\tilde{\mathit{\Theta }}}_{\mathit{i}}$都将收敛至一个小的邻域Ω₂内,该邻域为

(32)Ω₂$\left\{{\mathit{V}}_{2}\le \mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}\left[{\left(\frac{\mathit{\eta }\mathit{T}{\mathit{\Delta }}_{2}}{\mathit{\pi }}\right)}^{\frac{2}{2-\mathit{\eta }}},{\left(\frac{\mathit{\eta }\mathit{T}{\mathit{\Delta }}_{2}}{\mathit{\pi }}\right)}^{\frac{2}{2+\mathit{\eta }}}\right]\right\}$

这意味着所设计的位置环控制器能够使位置环子系统在预设时间$\sqrt{2}$T内实现使用预设时间稳定,定理2证明完毕。

2.6 非奇异预设时间姿态环控制器

为实现四旋翼无人机对领导者的编队跟踪,需要保证每架无人机的姿态角能够在预设时间内准确跟踪其期望姿态,从而驱动整体编队完成对领导者的跟踪任务。为此,通过式(6)可以解耦出无人机对应的期望姿态角形式为

(33)$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}\mathit{r}}=\mathit{a}\mathit{r}\mathit{c}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left[\mathit{t}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{h}\right(-{\mathit{u}}_{\mathit{i}\mathit{y}}\left)\right]\\ {\mathit{\theta }}_{\mathit{i}\mathit{r}}=\mathit{a}\mathit{r}\mathit{c}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left[\mathit{t}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{h}\left(\frac{{\mathit{u}}_{\mathit{i}\mathit{x}}}{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}\mathit{r}}}\right)\right]\\ {\mathit{\psi }}_{\mathit{i}\mathit{r}}=0\end{array}\right.$

定义第i个四旋翼无人机的期望姿态向量 ω_ir=$[{\mathit{\varphi }}_{\mathit{i}\mathit{r}},{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}\mathit{r}},{\mathit{\psi }}_{\mathit{i}\mathit{r}}{]}^{\mathit{T}}$,由式(33)可知,存在一个正的常数$\stackrel{-}{\mathit{\omega }}$,满足|${\dot{\mathit{\omega }}}_{\mathit{i}\mathit{r}}$|≤$\stackrel{-}{\mathit{\omega }}$。

第i个无人机的姿态跟踪误差为

(34)$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{e}}_{\mathit{i}1}={\mathit{\omega }}_{\mathit{i}1}-{\stackrel{}{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}1}\\ {\stackrel{}{\mathit{\chi }}}_{\mathit{i}1}={\stackrel{}{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}1}-{\mathit{\omega }}_{\mathit{i}\mathit{r}}\\ {\mathit{e}}_{\mathit{i}2}={\mathit{\omega }}_{\mathit{i}2}-{\stackrel{}{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}2}\\ {\stackrel{}{\mathit{\chi }}}_{\mathit{i}2}={\stackrel{}{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}2}-{\mathit{\omega }}_{{\mathit{i}}^{\mathit{*}}}\end{array}\right.$

式(34)中:${\stackrel{}{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}1}$、${\stackrel{}{\mathit{\vartheta }}}_{\mathit{i}2}$为滤波器;ω_i^*为虚拟控制律。

(35)ω_i^*=-$\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}$[Φ(e_i₁)+sig¹⁺^η(e_i₁)]-e_i₁+${\stackrel{·}{\stackrel{}{\mathit{\vartheta }}}}_{\mathit{i}1}$

预定义时间滤波器设计为

(36)$\begin{array}{l} \dot{\boldsymbol{\vartheta}}_{i 1}=-\frac{\pi}{\eta T}\left[\Phi\left(\boldsymbol{\chi}_{i 1}\right)+\operatorname{sig}^{1+\eta}\left(\boldsymbol{\chi}_{i 1}\right)\right]-\frac{1}{2} \boldsymbol{\chi}_{i 1} \\ \dot{\boldsymbol{\vartheta}}_{i 2}=-\frac{\pi}{\eta T}\left[\Phi\left(\boldsymbol{\chi}_{i 2}\right)+\operatorname{sig}^{1+\eta}\left(\boldsymbol{\chi}_{i 2}\right)\right]-\boldsymbol{\chi}_{i 2} \end{array}$

RBF神经网络权值更新律设计为

(37)${\stackrel{·}{\stackrel{}{\mathit{\delta }}}}_{\mathit{i}}$=${{\mathit{\Psi }}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}$e_i₂-$\frac{\mathit{\pi }{2}^{1-\frac{\mathit{\eta }}{2}}}{\mathit{\eta }\mathit{T}}{\stackrel{}{\mathit{\delta }}}_{\mathit{i}}$-$\frac{(\mathit{\eta }+2)\mathit{\pi }}{(\mathit{\eta }+1)\mathit{\eta }\mathit{T}}$sig¹⁺^η(${\stackrel{}{\mathit{\delta }}}_{\mathit{i}}$)

预设时间扰动观测器设计为

(38)${\stackrel{·}{\stackrel{}{\mathit{\Theta }}}}_{\mathit{i}}$=${\stackrel{}{\mathit{\gamma }}}_{\mathit{i}}$e_i₂-$\frac{\mathit{\pi }{2}^{2-\frac{\mathit{\eta }}{2}}}{\mathit{\eta }\mathit{T}}{\stackrel{}{\mathit{\Theta }}}_{\mathit{i}}$-$\frac{(\mathit{\eta }+2)\mathit{\pi }}{(\mathit{\eta }+1)\mathit{\eta }\mathit{T}}$sig¹⁺^η(${\stackrel{}{\mathit{\Theta }}}_{\mathit{i}}$)

式(38)中:${\stackrel{}{\mathit{\gamma }}}_{\mathit{i}}$为扰动观测增益。

姿态环控制输入设计为

(39)u_iω=I_ip{-$\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}$[sig^1-^η(e_i₂)+sig¹⁺^η(e_i₂)]-$\frac{1}{2}$e_i₂-${{\stackrel{}{\mathit{\delta }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}$Ψ_i-${\stackrel{}{\mathit{\Theta }}}_{\mathit{i}}$-f_iω(ω)+${\stackrel{·}{\stackrel{}{\mathit{\vartheta }}}}_{\mathit{i}2}$}

定理3 考虑受内部未建模非线性动态影响的四旋翼无人机姿态环子系统[式(4)],在假设1~假设4下,采用滤波器[式(36)]、神经网络权值更新律[式(37)]和扰动观测器[式(38)]、控制器[式(39)],可保证该子系统在预设时间$\sqrt{2}$T内使位置环状态误差收敛至小邻域内。

证明定理3的证明过程与定理2证明过程类似。首先构造Lyapunov函数为

(40)${\stackrel{}{\mathit{V}}}_{1}=\frac{1}{2}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}({{\mathit{e}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}1}{\mathit{e}}_{\mathit{i}1}+{{\stackrel{}{\mathit{\chi }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}1}{\stackrel{}{\mathit{\chi }}}_{\mathit{i}1})$

(41)${\stackrel{}{\mathit{V}}}_{2}={\stackrel{}{\mathit{V}}}_{1}+\frac{1}{2}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}({{\mathit{e}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}2}{\mathit{e}}_{\mathit{i}2}+{{\stackrel{}{\mathit{\chi }}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}2}{\stackrel{}{\mathit{\chi }}}_{\mathit{i}2}+{{\stackrel{\sim }{\stackrel{}{\mathit{\delta }}}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}{\stackrel{\sim }{\stackrel{}{\mathit{\delta }}}}_{\mathit{i}}+{{\stackrel{\sim }{\stackrel{}{\mathit{\Theta }}}}^{\mathit{T}}}_{\mathit{i}}{\stackrel{\sim }{\stackrel{}{\mathit{\Theta }}}}_{\mathit{i}})$

式(41)中:${\stackrel{\sim }{\stackrel{}{\mathit{\delta }}}}_{\mathit{i}}$=${\stackrel{}{\mathit{\delta }}}_{\mathit{i}}^{\mathit{*}}$-${\stackrel{}{\mathit{\delta }}}_{\mathit{i}}$为RBF神经网络最优权值的估计误差;${\stackrel{\sim }{\stackrel{}{\mathit{\Theta }}}}_{\mathit{i}}$=${\stackrel{}{\mathit{\Theta }}}_{\mathit{i}}^{\mathit{*}}$-${\stackrel{}{\mathit{\Theta }}}_{\mathit{i}}$为RBF神经网络逼近误差的估计。

通过证明步骤[式(21)~式(31)],可类推得

(42)${\stackrel{·}{\stackrel{}{\mathit{V}}}}_{2}$≤-$\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}{\stackrel{}{\mathit{V}}}_{2}^{1-\frac{\mathit{\eta }}{2}}$-$\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{\eta }\mathit{T}}{\stackrel{}{\mathit{V}}}_{2}^{1+\frac{\mathit{\eta }}{2}}$+${\stackrel{}{\mathit{\Delta }}}_{2}$

式(42)中:$\Delta_{2}=\sum_{i=1}^{N}\left[\left(\bar{\omega}_{i}^{2}+\left\|\dot{\boldsymbol{\omega}}_{i^{*}}\right\|^{2}\right) / 2+2 \pi \kappa^{2-\eta}+\right. 3 \pi 2^{1-\eta / 2} \xi+\pi\left(\left\|\boldsymbol{\delta}_{i}^{*}\right\|^{2}\right)^{1+\eta / 2}+\pi\left(\left\|\boldsymbol{\Theta}_{i}^{*}\right\|^{2}\right)^{1+\eta / 2}$
$+\left.\pi 2^{-\eta / 2}\left\|\boldsymbol{\delta}_{i}^{*}\right\|^{2}+\pi 2^{1-\eta / 2}\left\|\boldsymbol{\Theta}_{i}^{*}\right\|^{2}\right] / \eta T$ 。

根据引理3,可以得出在$\sqrt{2}$T的时间内,误差信号e_i₁、e_i₂、${\stackrel{}{\mathit{\chi }}}_{\mathit{i}1}$、${\stackrel{}{\mathit{\chi }}}_{\mathit{i}2}$、${\stackrel{\sim }{\stackrel{}{\mathit{\delta }}}}_{\mathit{i}}$和${\stackrel{\sim }{\stackrel{}{\mathit{\Theta }}}}_{\mathit{i}}$都将收敛至邻域Ω₃内,该邻域为

(43)$\Omega_{3} \triangleq\left\{V_{2} \leqslant \min \left\{\left(\frac{\eta T \Delta_{2}}{\pi}\right)^{\frac{2}{2-\eta}},\left(\frac{\eta T \Delta_{2}}{\pi}\right)^{\frac{2}{2+\eta}}\right]\right\}$

这意味着所设计的姿态环控制器能够使姿态环子系统在预设时间$\sqrt{2}$T内实现使用预设时间稳定,定理3证明完毕。

需要额外指出的是,在实际复杂环境下,风扰会通过气动不平衡性对姿态环产生耦合力矩^[23]。考虑到四旋翼结构的对称性以及姿态内环的高频响应特性,将该部分耦合力矩统一纳入姿态环中的未建模动态g_ij(·)中。通过RBF神经网络对非线性映射的能力,以及预设时间观测器[式(38)]对逼近误差的快速估计,可以实现对姿态环隐含扰动的有效补偿。

鉴于所设计的非奇异预设时间编队控制器引入了符号函数,可能引起控制器的抖振,这对于实际无人机的执行器是具有挑战性的。为了减轻这些控制器中的抖振,在原有控制器[式(20)和式(39)]中引入了平滑符号函数,即

(44)Π(s,α)=$\frac{\mathit{e}\mathit{x}\mathit{p}\left(\mathit{\alpha }\mathit{s}\right)-1}{\mathit{e}\mathit{x}\mathit{p}\left(\mathit{\alpha }\mathit{s}\right)+1}$

式(44)中:s为输入信号;α为光滑度参数,α越大则Π(s,α)越接近sign(s)。

3 仿真验证

3.1 仿真配置

基于MATLAB平台考虑包含一个领导者和3个跟随无人机的编队任务,主要队形为3架无人机形成一个边长为2 m的正三角形,并且领导者位于中心的位置。通信结构如图2所示,第i架无人机的物理参数如表1所示。

给定三架四旋翼无人机的初始位置分别为:p₁₁(0)=(1,0,0),p₂₁(0)=(-1,0,0),p₃₁(0)=(0,0,0)。领导者运动轨迹为:x₀=3sin(0.4t),y₀=3cos(0.4t),z₀=0.25(t+2)。给定期望偏航角为ψ₀=0。配置四旋翼无人机(i=1,2,3)所受扰动为

(45)$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{\mathit{F}}_{\mathit{i}\mathit{x}}=3\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{t},\mathit{　}\mathit{t}\in \left[\mathrm{0,20}\right]\\ {\mathit{F}}_{\mathit{i}\mathit{y}}=3\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{t},\mathit{　}\mathit{t}\in \left[\mathrm{0,20}\right]\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{ll}1.5(\mathit{t}-3),& \mathit{t}\in \left(\mathrm{3,5}\right]\\ 3,& \mathit{t}\in \left(\mathrm{5,7}\right]\\ 1.5\{1-\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}[2\mathit{\pi }(\mathit{t}/3-3)\left]\right\},& \mathit{t}\in \left(\mathrm{9,12}\right]\\ 3\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\left(0.2\right.\mathit{t}\left)\mathit{r}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{d}\right(-1.1),& \mathit{t}\in \left(\mathrm{15,18}\right]\\ 0,& \mathit{其}\mathit{他}\end{array}\right.\end{array}$

为了验证所设计控制方案的有效性,将与基于有限时间扩张状态观测器的主从编队控制策略(FTESO-LFFC)^[10]和固定时间抗扰四旋翼无人机编队控制策略(AD-UAVFC)^[12]进行对比仿真。所设计的四旋翼无人机预设时间非奇异抗风扰编队控制算法参数具体如下:预设时间选择为T=3,并且η=0.5;预设时间参考估计器的控制增益选择为c_i=3.5;预设时间扰动估计器增益选择为γ_i=${\stackrel{}{\mathit{\gamma }}}_{\mathit{i}}$=1 500;RBF神经网络选择为11个节点,中心选c^k=[-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1]^T,且带宽b^k=5;切换函数Φ(z_i₁)的参数选择为κ=0.05;光滑度参数α=4。FTESO-LFFC与AD-UAVFC的参数选择参考文献[10,12]配置。

3.2 结果分析

数值仿真结果如图3~图11所示。从位置环的三维轨迹跟踪情况来看,图3给出了四旋翼无人机编队在X、Y、Z 3个方向上,在不同风扰作用下的轨迹演化过程。可以看出,在外部扰动存在的情况下,跟随无人机的轨迹能够快速收敛并保持编队维持。图4展示了3个跟随无人机与领导者之间的相对位置误差轨迹。在仿真中,预设时间被设定为 3 s,根据定理1~定理3可知,其收敛上界应不超过3$\sqrt{2}$ s。从图3可以观察到,误差曲线均在该时间范围内快速下降,并最终收敛至一个小邻域内。

此外,在图5中可以观察到,所提的预设时间算法能够严格保证在预设时间内实现收敛,相比FTESO-LFFC和AD-UAVFC方案来说具有更强的可控性,且所提方案的收敛时间仅由单一控制参数决定,具有更强的可调性和确定性。表2给出了3种方案的整体运行阶段的RMSE,MAE和最终收敛时间,这意味着本文方法具有更快的收敛性能和更小的跟踪误差。图6(a)和图6(b)中分别展示了3种方案在不同时间段的RMSE和MAE,可以观察到本文方法在第二阶段(5~10 s)已经稳定收敛。

图7给出了3个四旋翼无人机在姿态环控制中的偏航角、俯仰角和横滚角的轨迹。结果表明,在外部扰动和非线性不确定性作用下,所设计的非奇异姿态控制器能够有效保证系统的稳定性,使得姿态角在短时间内实现平稳跟踪而不出现抖振。图8~图10展示了3个无人机在不同风扰条件下的扰动估计与补偿效果。从仿真结果来看,所构造的预设时间扰动观测器能够在预设时间内准确估计外部风扰,并通过补偿环节传递至控制律,从而显著降低了扰动对系统性能的影响。

图11给出了3个跟随者的4个控制输入变化曲线。可以清晰看到,当位置环受到外部风扰冲击时,控制输入信号在3~7 s、9~12 s以及15~18 s等时段均出现了明显波动。这一现象与外部扰动的作用时间相对应,表明控制器在扰动作用下主动进行了补偿调节。为了更加清晰地衡量控制输入的幅值上界与抖振频率,定义量化指标MaxAbs,RMS与MDSS,分别表示控制输入最大绝对幅值,整体控制输入强度和控制输入变化速度。其分别定义为

(46)$\left\{\begin{array}{l}\mathit{M}\mathit{a}\mathit{x}\mathit{A}\mathit{b}\mathit{s}=\mathit{m}\mathit{a}{\mathit{x}}_{\mathit{t}}\left|{\mathit{u}}_{\mathit{i},\mathit{j}}\right(\mathit{t}\left)\right|\\ \mathit{R}\mathit{M}\mathit{S}={\left[\frac{1}{20}{\int }_{0}^{20}{\mathit{u}}_{\mathit{i},\mathit{j}}^{2}\left(\mathit{t}\right)\mathit{d}\mathit{t}\right]}^{\frac{1}{2}}\\ \mathit{M}\mathit{D}\mathit{S}\mathit{S}=\frac{1}{20}{\int }_{0}^{20}|{\dot{\mathit{u}}}_{\mathit{i},\mathit{j}}\left(\mathit{t}\right)|\mathit{d}\mathit{t}\end{array}\right.$

从表3~表5的结果来看,控制输入最大幅值上界为54.31,从图11的结果来看,控制输入在扰动作用下呈现一定的波动,通过计算MaxAbs和RMS可以发现其整体幅值保持在合理范围内,并且根据MDSS指标可知控制输入的相对变化速度较小,未出现过度抖振或发散情况,这说明提出的非奇异方案能够有效抑制外部风扰,保证系统的稳定性。

4 结论

针对四旋翼无人机编队在外部风扰和内部未建模动态作用下的稳定跟踪问题,提出了一种基于RBF神经网络的预设时间非奇异抗风扰编队控制方法。通过构造预设时间参考信号估计器、引入非奇异虚拟控制律及滤波器设计,并结合RBF神经网络对未建模动态进行逼近与扰动观测补偿,实现了编队系统在预设时间内的快速稳定收敛。仿真结果表明,所提方法能够有效抑制外部风扰对位置和姿态跟踪的影响,同时保持控制输入平滑稳定。在与FTESO-LFFC和AD-UAVFC方案的对比中,所提方法不仅实现了预设时间内收敛,而且收敛时间仅依赖于单一控制参数,具有更高的收敛精度和更强的可调性与鲁棒性。

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