正交匹配优化算法的Lamb波模态分离

张静; 刘蔚; 鲍明辉; 刘旭华; 赵鑫; 戴家昊; 付志红

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2507541

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (25) :10896-10908 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2507541

电工技术

正交匹配优化算法的Lamb波模态分离

张静 ¹ ,
刘蔚 ² ,
鲍明辉 ² ,
刘旭华 ¹ ,
赵鑫 ¹ ,
戴家昊 ¹ ,
付志红 ¹^,^*

作者信息 +

Lamb Wave Mode Separation Using Orthogonal Matching Pursuit Algorithm

ZHANG Jing ¹ ,
LIU Wei ² ,
BAO Ming-hui ² ,
LIU Xu-hua ¹ ,
ZHAO Xin ¹ ,
DAI Jia-hao ¹ ,
FU Zhi-hong ¹^,^*

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摘要

为应对接地网引下线中因边界条件、频散效应及几何结构引发的Lamb波多模态混叠问题,通过结合粒子群优化(particle swarm optimization,PSO)算法与正交匹配追踪(orthogonal matching pursuit,OMP)的混合方法,研究了复杂环境下Lamb波模态分离与识别机制。结果表明:以Lamb波波数函数k(ω)的二阶Taylor展开为核心理论基础,将模态分离问题转化为对(k₀,k₁,k₂)的稀疏估计问题,获得与频散曲线一致的可解释参数;同时利用PSO在连续参数空间中全局寻优原子以避免传统离散字典的误差,并借助OMP的正交化重构抑制强混叠条件下的模态重复选择与能量错配;在包含25%、50%、75%和100%模态混叠程度的仿真及实测信号验证中,该方法成功分离出A₀、A₁、A₂、S₀、S₁和S₂等混叠模态成分,且(k₀,k₁,k₂)参数估计精度较对比方法提升1~3个数量级。可见,该方法通过频散特性与波数展开系数的理论相关性,在一定程度上解决了多模态Lamb波信号解析的问题,为接地网引下线检测的精度提升和复杂Lamb波信号分析提供了系统性解决方案。

Abstract

In order to resolve the Lamb wave multi-modal aliasing in grounding grid down-conductors due to boundary conditions, dispersion effects, and geometric structures, a hybrid method combining particle swarm optimization (PSO) and orthogonal matching pursuit (OMP) was used to investigate the mechanisms of Lamb wave modal separation and identification in complex environments. The results show that by taking the second-order Taylor expansion of the Lamb wave wavenumber function k(ω) as the core theoretical foundation, the modal separation problem is transformed into a sparse estimation problem for (k₀,k₁,k₂), yielding interpretable parameters consistent with dispersion curves. Meanwhile, PSO is employed to globally search for atoms in the continuous parameter space, thereby avoiding errors associated with traditional discrete dictionaries. Additionally, OMP is utilized to suppress repeated modal selection and energy mismatch under strong aliasing conditions through orthogonalized reconstruction. In simulations and measured signal validations with modal aliasing degrees of 25%, 50%, 75%, and 100%, the method successfully separated aliased modal components such as A₀, A₁, A₂, S₀, S1, and S₂, and accurately extracted their dispersion characteristic parameters, and the estimation accuracy of parameters (k₀,k₁,k₂) is improved by 1-3 orders of magnitude compared to the benchmark methods. It is concluded that this method, through the theoretical correlation between dispersion characteristics and wavenumber expansion coefficients, partially resolves the issue of multi-modal Lamb wave signal analysis. It provides a systematic solution for enhancing the accuracy of grounding grid down-conductor detection and analyzing complex Lamb wave signals.

Graphical abstract

关键词

Lamb波多模态混叠 / 粒子群优化(PSO) / 正交匹配追踪(OMP) / 模态分离与识别 / 频散特性 / 波数

Key words

Lamb wave multi-modal aliasing / particle swarm optimization (PSO) / orthogonal matching pursuit (OMP) / modal separation and identification / dispersion characteristics / wavenumber

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张静, 刘蔚, 鲍明辉, 刘旭华, 赵鑫, 戴家昊, 付志红. 正交匹配优化算法的Lamb波模态分离[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(25): 10896-10908 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2507541

ZHANG Jing, LIU Wei, BAO Ming-hui, LIU Xu-hua, ZHAO Xin, DAI Jia-hao, FU Zhi-hong. Lamb Wave Mode Separation Using Orthogonal Matching Pursuit Algorithm[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(25): 10896-10908 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2507541

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线性金属材料(如铜、铝、镀锌钢)因其高导电性和机械强度,广泛用于多种工业场合,但长期工作后可能会形成开裂^[1],导致安全隐患。基于超声导波的结构健康监测可以很好地解决传统技术的这些弊端,其中Lamb波作为一种常见的超声导波更是得到广泛应用^[2]。在板状结构中,这种超声导波被称为Lamb波,由于其传播距离长和覆盖范围广等显著优势,已被广泛应用于板类结构的无损检测和健康监测领域^[3]。该技术因其在薄壁大尺度结构中传播距离远、衰减小的特性^[4],可有效实现结构健康监测(structural health monitoring,SHM)与无损评估(non-destructive evaluation,NDE)。相比漏磁、涡流和射线检测等传统方法,Lamb波检测在缺陷识别中更具潜力^[5],因其高效且无需复杂设备。

但是Lamb波的传播形式非常复杂,这种复杂的传播特性主要体现在频散效应和多模态特性两方面。频散效应导致波速随频率变化,使信号在传播过程中逐渐展宽、能量分散,降低远距离检测的信噪比;多模态特性则使同一频率下存在多种传播模态,各模态速度不同且相互叠加,大幅增加信号分离与识别的难度。多模态特性是导波的核心特征,对检测性能产生重要影响。多模态特性一方面为识别不同损伤类型提供了多样化选择,另一方面也增加了信号模态提取的复杂性,降低了检测灵敏度^[6]。Lamb波的多模式现象会给波形分析造成一定的困难,甚至会干扰对缺陷信息的判断,导致误判。因此,Lamb波模态抑制方法一直是研究的热点^[7]。

为应对Lamb波模态提取的难题,国内外学者提出了多种导波模态的提取方法,主要包括超声斜入射直接产生导波的方法和信号后处理的提取方法^[8]。如艾春安等^[9]采用斜入射超声Lamb波技术对薄板钢结构实施检测,通过调整激励频率与入射角的组合,实现了对Lamb波模态的有效选取与控制。实验表明,该方法能够优化检测策略,提升对目标结构的检测效果,具备良好的工程应用前景;另一类是基于信号后处理的提取技术,包括如下方法。

频散补偿法。该方法通过构建补偿函数将频散信号恢复到激励信号状态^[10]。针对Lamb波检测中因多模与频散特性导致的信号混叠问题,倪龙等^[11]提出了一种基于分数阶微分的信号分离方法,首先通过时延建模将复杂时频混叠问题简化为部分模式混叠问题,进而利用分数阶微分提取特征参数、重建幅值谱,并结合相位谱重构实现模式分离与频散恢复。仿真与实验结果表明,该方法能有效分离多模Lamb波信号,且具有较高的分离精度,为复杂频散信号处理提供了有效途径。

时变匹配滤波法。针对板结构在服役中易产生裂纹等缺陷的问题,杨素方^[12]改进了Lamb波传感器阵列检测与成像方法,提出基于相位的矢量全聚焦成像算法,在传统矢量全聚焦基础上引入相位信息,提升了对裂纹方向与长度的定量识别精度;发展基于频散匹配滤波的模态分离技术,优化滤波参数以提取单模态信号,并进一步提出多模态复合成像方法,显著改善了成像效果与缺陷检出率;建立环/线形阵列传感器声场模型,通过调控阵元激励幅值与相位,实现单模态Lamb波的有效激发与控制。研究结果表明,上述方法在裂纹检测、模态分离与传感器设计方面均取得良好效果,提升了板结构缺陷检测的准确性与可靠性。

经验模态分解(empirical mode decomposition,EMD)系列方法。从Chauhan等^[13]的传统EMD,其具有很强的时频分析能力^[14],到Huang等^[15]提出的EEMD方法,再到改进的LMD方法^[16],均能将复杂信号拆解为一系列本征模态函数。

时频分析技术。在多模态分析方面,研究者们主要采用时频分析技术^[17-18]提取信号波包的时频特征,包括Wigner-Ville变换、连续小波变换(continuous wavelet transform,CWT)^[19]、短时傅里叶变换(short time Fourier transform,STFT)^[20]以及Mann等^[21]的Chirplet变换和Mallat等^[22]的匹配追踪算法^[23]。

稀疏表示法。针对超声阵列检测中Lamb波频散与多模态导致的信号分析难题,焦敬品等^[24]提出了一种基于稀疏表示的模态分离方法。该方法依据S和A模态的波形差异,构建单模态及复合字典,通过带相干性准则的最小角回归算法对信号进行稀疏分解,从而提取单模态成分。仿真与实验结果表明,该方法能有效实现金属板结构中多模态Lamb波的分离,为相关信号处理提供了新途径。

针对超声导波模态识别困难的问题,伍文君等^[25]提出一种基于频散特征的模态识别方法。该方法通过构造带时间斜变的Chirplet匹配原子库,对导波信号进行匹配追踪分解,估计波数在激励频率处的二次泰勒展开系数,进而依据频散关系区分不同模态。数值模拟与实验验证表明,该方法能有效识别导波模态,但在处理严重混叠信号时仍存在局限。该研究有助于提升复杂导波信号的解析能力,推动导波检测技术的应用。

尽管上述方法在模态分离方面取得了显著进展,但普遍存在计算复杂度高、参数依赖性强以及难以有效处理复杂多模态或严重混叠信号等不足。

最优化问题是指在给定条件下,在可行域中寻找一组解向量来求解目标函数最优值,即最大化或最小化问题^[26],并且由于噪声的干扰以及复杂传递路径的影响^[27],Zhang等^[28]提出的一种基于正交匹配追踪(orthogonal matching pursuit,OMP)与粒子群优化(particle swarm optimization,PSO)算法结合的方法,对Lamb波进行了稀疏分解与重构,消除了Lamb波信号的低频噪声,并且与多种降噪和重构算法进行比较,该算法计算效率与优势显著。

基于上述问题,结合PSO-OMP算法,搜索与检测信号匹配的最优Chirplet原子库,该原子库包含了Lamb波信号的激励频率处二阶Taylor展开系数的最优估计值,再根据各Lamb波模态的波数、频率频散关系分离和识别不同模态。将该方法应用在Lamb波检测中普遍存在的多模态强混叠与显著频散导致难分离、难识别、参数难稳定估计的问题上。将模态分离从传统的波形匹配转化为频散参数估计-稀疏重构的问题。算法以Chirplet原子为载体,在激励中心频率ω₀附近将Lamb波模态的波数函数表示为二阶Taylor近似并将(k₀,k₁,k₂)作为原子参数化与匹配的关键量,使寻找最匹配原子的过程等价为对各模态局部频散特征参数的最优估计。与依赖固定字典/离散网格搜索的传统MP/OMP不同,引入PSO在连续参数空间动态搜索并生成与当前残差信号最匹配的Chirplet原子,从根本上降低误差与参数失配,构建自适应原子库;随后结合OMP的正交化稀疏重构,对已选原子进行全局最小二乘系数更新并迭代消除其影响,有效抑制强相关模态下常见的重复选模态与能量错配现象,从而提升在严重混叠条件下的稳定分离能力。最终,通过将估计得到的(k₀,k₁,k₂)或等效的局部(k-ω关系)与各模态理论/数值频散曲线进行一致性匹配,实现不同Lamb波模态的分离与可解释识别。该方法的创新性体现在PSO的连续全局寻优用于选原子/定参数,OMP的正交投影用于去耦合/稳重构,二者与波数Taylor二阶展开的约束耦合,使算法既具备智能优化的自适应性,又具备稀疏表示的可分离性与频散反演的物理可校核性,从而显著增强对复杂混叠检测信号的解析精度与工程适用性。

1 正交匹配追踪优化算法与Lamb波模态分离和识别

1.1 Chirplet OMP优化算法

Chirplet是一种广义的信号表示方法,用于描述具有时变频率和幅度的信号,它将信号分解为高斯-正弦波。Chirplet变换的核心在于找到一组Chirplet,使其最佳地逼近原始信号。Chirplet信号的典型数学表达式如式(1)所示。

(1)$\mathit{\varphi }\left(\mathit{t}\right)=\mathit{A}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-\mathit{\alpha }{(\mathit{t}-\mathit{\tau })}^{2}]\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{\mathrm{j}\right[\mathit{\varphi }+\mathit{f}(\mathit{t}-\mathit{\tau })+\frac{1}{2}\mathit{c}{(\mathit{t}-\mathit{\tau })}^{2}\left]\right\}$

式(1)中:A为振幅;τ为时间中心,控制信号在时间上的位置;α为时间宽度调节参数,控制Chirplet的时域分布;f为中心频率,表示信号的基频;c为频率调制率,即频率随时间变化的速率,c>0表示频率增加,c<0表示频率降低;ϕ₀为初始相位;j为虚数单位。

传统的Lamb波模态分离方法是利用匹配追踪(matching pursuit,MP)算法通过迭代从过完备字典(原子库)中选取与信号最匹配的基函数(Chirplet函数)原子,逐步逼近原始信号。虽然MP计算简单,但残差未正交化导致收敛慢、精度低。而正交匹配追踪(OMP)算法通过最小二乘法使得残差与已选原子正交且收敛速度较快。虽然OMP计算量较大,但能保证残差正交性,实现快速收敛和高精度重构。为了减少OMP计算量,利用PSO优化算法提高OMP算法在选择最匹配Chirplet原子库的计算速度,即找到一个最佳稀疏表示,如式(2)所示。

(2)$\mathit{s}\left(\mathit{t}\right)\approx \stackrel{\mathit{n}}{\sum _{\mathit{i}=1}}{\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}}{\mathit{s}}_{\mathit{\gamma }\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)\mathrm{ }$

式(2)中:α_i为系数;s_γi(t)为第i个Chirplet原子,通过PSO优化算法得到,如式(3)所示。

(3)$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{v}}_{\mathit{i}}^{(\mathit{t}+1)}=\mathit{\omega }{\mathit{v}}_{\mathit{i}}^{\left(\mathit{t}\right)}+{\mathit{c}}_{1}{\mathit{r}}_{1}[{\mathit{r}}_{\mathrm{p}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t},\mathit{i}}-{\mathit{r}}_{\mathit{i}}^{\left(\mathit{t}\right)}]+\\ \mathit{　}\mathit{　}\mathit{　}{\mathit{c}}_{2}{\mathit{r}}_{2}[{\mathit{r}}_{\mathrm{g}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t},\mathit{i}}-{\mathit{r}}_{\mathit{i}}^{\left(\mathit{t}\right)}]\\ {\mathit{r}}_{\mathit{i}}^{(\mathit{t}+1)}={\mathit{r}}_{\mathit{i}}^{\left(\mathit{t}\right)}+{\mathit{v}}_{\mathit{i}}^{(\mathit{t}+1)}\end{array}\right.$

式(3)中:ω为惯性权重;c₁、c₂为学习因子;r₁,r₂~U(0,1);r_pbest,_i和r_gbest,_i为局部和全局最优解。计算系数a_i和Chirplet原子s_γi(t)时可以将式(3)中的r_pbest,_i、r_gbest,_i和r_i^(t)替代为a_pbest,_i、a_gbest,_i和a_i^(t)以及s_pbest,_i、ϕ_rbest,_i和s_γi(t),可得到系数a_i和Chirplet原子s_γi(t)的全局最优解。再通过选择最优原子使得残差r(t)最小化,如式(4)所示。

(4)$\mathit{r}\left(\mathit{t}\right)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{e}={‖\mathrm{s}\left(\mathrm{t}\right)-\stackrel{\mathit{N}}{\sum _{\mathit{i}=1}}{\mathit{a}}_{\mathit{i}}{\mathit{s}}_{\mathit{\gamma }\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)‖}^{2}$

PSO-OMP算法流程图如图1所示。

1.2 频散特性与匹配原子的选择

震源激励为阶跃激励,数学表达式如式(5)所示。

(5)f(t)=Au(t)exp(t₀-t)

式(5)中:t₀为震源从幅值A快速衰减到0的时间。当该激励源垂直作用于线性金属时,由于频散效应的影响,产生的Lamb波在传播过程中,其传播速度v(f)会随着频率f的变化而变化。为处理频散效应,需要将时域信号转换为频域信号,将式(5)进行傅里叶变换可得式(6)。

(6)$\mathit{F}\left(\mathit{\omega }\right)={\int }_{-\mathit{\infty }}^{\mathit{\infty }}\mathit{f}\left(\mathit{t}\right)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\mathrm{j}\mathit{\omega }\mathit{t})\mathrm{d}\mathit{t}=\mathrm{ }\frac{\mathit{A}{\mathit{t}}_{0}}{1+\mathrm{j}\mathit{\omega }\mathit{t}}$

频域中,在频散介质的影响下,Lamb波的传播特征可由频域信号式(6)进行表示,如式(7)所示。

(7)U(k,ω)=F(ω)exp{-j[ωt-k(ω)x]}

要得到时间域中的传播函数f(t,x),即对式(7)进行傅里叶反变换,如式(8)所示。

(8)$\mathit{f}(\mathit{t},\mathit{x})=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\int }_{-\mathit{\infty }}^{\mathit{\infty }}\mathit{U}(\mathit{k},\mathit{\omega }){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathit{\omega }\mathit{t}}\mathrm{d}\mathit{\omega }$

将式(7)代入式(8)中,可得式(9)。

(9)$\mathit{f}(\mathit{t},\mathit{x})=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\frac{\mathit{A}}{1+\mathrm{j}\mathit{\omega }{\mathit{t}}_{0}}{\int }_{-\mathit{\infty }}^{\mathit{\infty }}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{-\mathrm{j}[\mathit{\omega }\mathit{t}-\mathit{k}\left(\mathit{\omega }\right)\mathit{x}\left]\right\}\mathrm{d}\mathit{\omega }$

式(9)中:k(ω)为波数,表示波的空间频率,定义为每单位长度内波的数目,根据Taylor公式在ω=ω₀处展开可得

(10)$ \begin{aligned} k(\omega)= & k\left(\omega_{0}\right)+\left.\frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{~d} \omega}\right|_{\omega=\omega_{0}}\left(\omega-\omega_{0}\right)+ \\ & \left.\frac{1}{2!} \frac{\mathrm{d}^{2} k}{\mathrm{~d} \omega^{2}}\right|_{\omega=\omega_{0}}\left(\omega-\omega_{0}\right)^{2}+\cdots+ \\ & \left.R_{n} \frac{1}{n!} \frac{\mathrm{d}^{(n)} k}{\mathrm{~d} \omega^{(n)}}\right|_{\omega=\omega_{0}}\left(\omega-\omega_{0}\right)^{n} \end{aligned} $

通常情况下,Lamb波在窄带激励下,频散曲线的局部变化主要由一阶(群速度)和二阶(频散量)主导,高阶项(三阶以上)对波数k(ω)的贡献可忽略,当信号带宽Δω<<ω₀,三阶项$\frac{1}{6}\frac{{\mathrm{d}}^{3}\mathit{k}}{\mathrm{d}{\mathit{\omega }}^{3}}$(Δω)³的量级远小于二阶项,故可忽略二阶以上的高阶项,所以可以得到波数的近似表达,如式(11)所示。

(11)$\begin{array}{c} k(\omega) \approx k\left(\omega_{0}\right)+\left.\frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{~d} \omega}\right|_{\omega=\omega_{0}}\left(\omega-\omega_{0}\right)+ \\ \left.\frac{1}{2!} \frac{\mathrm{d}^{2} k}{\mathrm{~d} \omega^{2}}\right|_{\omega=\omega_{0}}\left(\omega-\omega_{0}\right)^{2} \end{array}$

式(11)中:k(ω₀)为中心频率ω₀处的波数,k(ω₀)=$\frac{2\mathrm{\pi }{\mathit{\omega }}_{0}}{{\mathit{c}}_{\mathit{p}}}$;c_p为频率为ω₀处的相速度;$ \left.\frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{~d} \omega}\right|_{\omega=\omega_{0}}$为波数关于频率的一阶导数,表示群速度的变化,k₁(ω₀)=$\frac{\mathrm{d}\mathit{\omega }}{\mathrm{d}\mathit{k}}{|}_{\mathit{\omega }={\mathit{\omega }}_{0}}$=$\frac{1}{{\mathit{c}}_{\mathit{g}}}$;$\frac{1}{2!}\frac{{\mathrm{d}}^{2}\mathit{k}}{\mathrm{d}{\mathit{\omega }}^{2}}$为波数关于频率的二阶导数,表示频散效应;k₂(ω₀)=$\frac{\mathit{d}}{{\mathit{c}}_{\mathit{g}}\mathit{\tau }}$,d为频散量,反映了信号随时间的变化率,τ为信号传播时间,可以通过最优化Chirplet原子库得到。将式(11)代入式(9)可得到时域Lamb波的传播方程,如式(12)所示。

(12)$\begin{aligned} f(t, x)= & \frac{A}{2 \pi\left(1+\mathrm{j} \omega t_{0}\right)} \int_{-\infty}^{\infty} \exp (-\mathrm{j} \omega t) \times \\ & \exp \left\{-\left[k\left(\omega_{0}\right)+\left.\frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{~d} \omega}\right|_{\omega=\omega_{0}}\left(\omega-\omega_{0}\right)+\right.\right. \\ & \left.\left.\left.\frac{1}{2!} \frac{\mathrm{d}^{2} k}{\mathrm{~d} \omega^{2}}\right|_{\omega=\omega_{0}}\left(\omega-\omega_{0}\right)^{2}\right] x\right\} \mathrm{d} \omega \end{aligned}$

式(12)中体现的特征如下。

(1) 不同频率分量的Lamb波的波包以群速度c_g=$\frac{\mathrm{d}\mathit{\omega }}{\mathrm{d}\mathit{k}}{|}_{\mathit{\omega }={\mathit{\omega }}_{0}}$传播,决定了信号的能量传播速度。

(2) 不同频率分量的Lamb波以相速度c_p=$\frac{\mathit{\omega }}{\mathit{k}}{|}_{\mathit{\omega }={\mathit{\omega }}_{0}}$传播,决定了单一频率信号的传播速度。

(3) 频散效应会导致波包随着传播距离x的增加而展宽,决定了单一频率信号的带宽。

通过这3种特征,结合频散曲线就可以识别出Lamb波各个模态。通过上述理论推导,得到了频散关系,即波数与频率之间的关系k(ω)或者逆关系ω(k),这决定了Lamb波在不同频率下的传播速度,是构建Chirplet原子的基础。为了满足导波的频散特性,Chirplet原子的中心频率f₀和频率调制率c需要与频散关系相关联。中心频率f₀与波数k通过频散关系ω(k)确定,即f₀=$\frac{\mathit{\omega }\left(\mathit{k}\right)}{2\mathrm{\pi }}$。调频率c可以通过频散关系的二阶导数来确定,以捕捉频率的变化趋势,如式(13)所示。

(13)$\mathit{c}=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\frac{{\mathrm{d}}^{2}\mathit{\omega }\left(\mathit{k}\right)}{\mathrm{d}{\mathit{k}}^{2}}\frac{\mathrm{d}\mathit{k}}{\mathrm{d}\mathit{t}}$

根据信号特征,融入频散特征的Chirplet 原子库的数学表达式为

(14)$ \begin{array}{c} s(t ; A, \alpha, \tau, \varphi, k)=A \exp \left[-\alpha(t-\tau)^{2}\right] \times \\ \exp (\mathrm{j}\{\varphi+\omega(k)(t-\tau)+ \\ \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2 \pi} \frac{\mathrm{~d}^{2} \omega(k)}{\mathrm{d} k^{2}} \frac{\mathrm{~d} k}{\mathrm{~d} t}\right](t-\tau)^{2}\}) \end{array}$

原子库表达式为

(15)$ \begin{array}{c} s_{i}\left(t ; A_{i}, \alpha_{i}, \tau_{i}, \varphi_{i}, k_{i}\right)=A_{i} \exp \left[-\alpha_{i}\left(t-\tau_{i}\right)^{2}\right] \times \\ \exp \left(\mathrm { j } \left\{\varphi_{i}+\omega\left(k_{i}\right)\left(t-\tau_{i}\right)+\right.\right. \\ \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2 \pi} \frac{\mathrm{~d}^{2} \omega\left(k_{i}\right)}{\mathrm{d} k_{i}^{2}} \frac{\mathrm{~d} k_{i}}{\mathrm{~d} t}\right]\left(t-\tau_{i}\right)^{2}\}) \end{array}$

式(15)中:参数{A_i,α_i,τ_i,ϕ_i,k_i}会通过PSO-OMP算法进行调整,以使Chirplet原子库能够最佳地描述导波信号的频散特性,然后根据Lamb波的频散曲线,辨识出相应的模态,实现模态分离。

2 算法验证与数值模拟

PSO-OMP算法将PSO的全局搜索能力与OMP的稀疏表示相结合,优化Chirplet多项式参数来实现混叠模态识别与分离。PSO-OMP是利用PSO的迭代优化来调整Chirplet参数,实现目标函数最小化。OMP部分通过贪心算法选择字典原子,每次迭代中选择最大内积的原子并正交投影,优化Chirplet多项式参数来实现混叠模态识别与分离。这种结合使得PSO-OMP算法具有较好的全局优化能力和局部精确性。

为验证本文算法的有效性,设计一个Lamb波仿真测试信号进行算法验证。主要参数为弹性模量E=200 GPa、泊松比ν=0.3、密度ρ=7 850 kg/m³,长度x=3 m。

测试信号采用具有复杂参数组合的正弦-高斯脉冲信号。各信号模态由不同幅值(A)、中心频率

(f)、时斜率(β)、带宽(σ)、相位(ϕ)以及时间延迟(τ)的正弦-高斯脉冲信号组成,表达式如式(16)、式(17)所示。

(16)$\mathit{l}\left(\mathit{t}\right)=\stackrel{8}{\sum _{\mathit{i}=1}}{\mathit{l}}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)$

(17)$ \begin{aligned} l_{i}(t)= & A_{i} \exp \left[\frac{-\left(t-\tau_{i}\right)^{2}}{2 \sigma_{\mathrm{i}}^{2}}\right] \exp \left\{\mathrm { j } \left[\varphi_{i}+\right.\right. \\ & 2 \pi f_{i}\left(t-\tau_{i}\right)+\frac{1}{2} \beta_{i}\left(t-\tau_{i}\right)^{2}]\} \end{aligned} $

多模态叠加信号由8个独立模态分量构成,并设置了20%、40%、60%和80% 4种模态混叠比例,采样率1 MHz,采样时间为2 ms。测试信号l(t)以及各模态分量l_i(t)以及参数如图2和表1所示。

为评估算法性能,分别采用匹配追踪(MP) Chirplet、正交匹配追踪(OMP) Chirplet以及基于PSO的正交匹配追踪(PSO-OMP) Chirplet 3种算法对测试信号进行模态分解与参数提取,旨在通过对比分析为Lamb波多模态信号的分离提供科学依据,对Chirplet多项式分量中的关键参数:幅值(A)、中心频率(f)、时斜率(β)、带宽(σ)、相位(ϕ)以及时间延迟(τ)进行定量统计分析。

2.1 MP Chirplet算法的模态分解和参数提取

根据图3和表2可知,重构信号与测试信号相似,残差分布在-0.15~0.15,表明该算法的全局逼近能力较强,尤其对低混叠模态[如l₁(t)~l₄(t)]的幅值A、中心频率f和时间延迟τ的恢复较准,同时也表明该算法在中低混叠情况下具有较好的模态解耦能力。然而,相位ϕ、时斜率β以及带宽σ估计偏差等问题仍存在。但是混叠程度为75%和100%的严重混叠信号并没有被全部分离出来。由于模态间时间延迟差异微小(Δτ=0.01 ms)且频带间隔较窄(Δf=5 kHz),算法仅能分离出单一主导模态s₅(t)(157 kHz),其幅值A与相位ϕ表现为原始双模态的混合特征,表明算法在时频分辨率上存在固有局限。对于完全混叠(100%)的l₇(t)、l₈(t)模态,因时域完全重叠且幅值差异显著[l₈(t)为0.75,l₇(t)为0.20],算法仅能检测到高能量模态s₆(t)(205 kHz),而完全未能识别低能量模态l₇(t)。

MP Chirplet算法的局限性源于其残差更新的非正交性,即迭代中选择原子时未对已选原子集合正交化,导致残差中残留已匹配信号分量,在高混叠场景[如l₅(t)与l₆(t)、l₇(t)与l₈(t)]中加剧参数偏差[如s₅(t)相位异常]和弱模态遗漏[如l₇(t)]。因此,通过正交化残差更新强制每一步迭代与已选原子正交,成为改进方向,这正是OMP Chirplet的核心机制。

从MP与OMP算法的原理来看,在处理时间严重混叠的信号时,模态分量中的差异可归结为残差更新的正交性差异。MP Chirplet通过贪婪迭代选择与当前残差最相关的Chirplet基函数原子,并通过投影更新残差,如式(18)所示。

(18)${\mathit{r}}_{\mathit{k}}={\mathit{r}}_{\mathit{k}-1}-\frac{<{\mathit{r}}_{\mathit{k}-1},{\mathit{g}}_{\mathit{k}}>}{{‖{\mathit{g}}_{\mathit{k}}‖}^{2}}{\mathit{g}}_{\mathit{k}}$

式(18)中:g_k为由信号分量的参数构成的矩阵。

但因未对已选原子进行正交化,残差中仍可能包含已选原子成分。当模态时间混叠严重(如75%及以上重叠)时,原子间呈强相关性(<g_i,g_k>≠0),会导致残差交叉干扰,后续迭代错误选择或重复选择同一原子,无法分离混叠分量。而OMP在每一步通过正交投影消除已选原子空间的干扰。

设已选原子矩阵为Φ_k=(g₁,g₂,…,g_k),其中g_k=(f_k,σ_k,τ_k,a_k,ϕ_k,β_k),其系数由最小二乘解a_k=${{\mathit{\Phi }}^{†}}_{\mathit{k}}$y,其中†表示伪逆运算,y为原始信号。残差更新如式(19)所示。

(19)${\mathit{r}}_{\mathit{k}}=\mathit{y}-{\mathit{\Phi }}_{\mathit{k}}{\mathit{a}}_{\mathit{k}}=\mathit{y}-{\mathit{\Phi }}_{\mathit{k}}\mathrm{ }({{\mathit{\Phi }}^{†}}_{\mathit{k}}{\mathit{\Phi }}_{\mathit{k}}{)}^{-1}\mathit{y}$

此时残差r_k正交于Ф_k的列空间[r_k⊥span(Φ_k)],以确保后续迭代仅提取未被表示的分量。

正交化将信号分解转化为稀疏系数的全局优化问题,避免局部贪婪投影的累积误差。即使原子的时间混叠严重,只要其时频参数可分(如调频率差异),OMP的正交性保障了线性独立性条件r(Φ_k)=k。从而唯一地分离原始信号中的各模态。

而MP因缺乏正交性,残差中残留分量(<r_k,g_i>≠0,r≤k),导致算法陷入局部最优,无法解耦强相关原子。

2.2 OMP Chirplet算法的模态分解和参数提取

从图4和表3可以看出,OMP Chirplet算法在模态分离方面显著优于MP Chirplet算法,成功分离了测试信号中8个模态,而MP仅分离6个。特别是在完全混叠(100%)的l₇(t)和l₈(t)模态中分离出s₇(t)和s₈(t)。但其参数估计仍存在误差,即低混叠模态[l₁(t)~l₂(t)]虽分离出s₁(t)和s₂(t),但l₂(t)的中心频率f被误判为80 kHz(原85 kHz),幅值A的误差达15%[l₁(t)为1.00,s₁(t)为0.85],相位ϕ误差超1 rad[l₂(t)为1.05,s₂(t)为2.36 rad];中混叠[l₃(t)和l₄(t)]模态的中心频率f分别由100 kHz和105 kHz均变化至79 kHz;高混叠[l₅(t)和l₆(t)]模态的中心频率f分别由150 kHz和155 kHz变化至142 kHz和173 kHz。带宽σ异常增大至7.1 ms(原3.0 ms);完全混叠的l₇(t)的中心频率f为205 kHz(原200 kHz),幅值A为55%(0.20变化至0.31)。尽管OMP Chirplet算法通过正交化解决了模态遗漏问题,但时频分辨率仍受限于原子库参数适配性,对Δτ=0.01 ms,[l₅(t)和l₆(t)]和Δf=5 kHz,[l₇(t)和l₈(t)]的微小差异难以精准区分,导致频率混淆和相位失配,解决该问题需进一步优化原子时频特性或引入后处理校正以提升参数保真度。

2.3 PSO-OMP Chirplet算法的模态分解和参数提取

20种PSO-OMP参数的组合方式及不同参数对计算结果的影响如表4所示。

通过全局搜索,最终选定最优参数为第7行的参数集(Size=50,T₁=50,T₂=100,N₁=200,ω=0.5,C₁=2.0,C₂=1.5)。首先,PCC高达99.93%,说明重构信号与原始信号结构高度一致,进一步验证了该组合在重建质量上的优势。此外,均方根误差(RMSE)为0.015 3,均方误差(MSE)低至0.000 23,表明重建误差极小,重建精度优异。从计算成本角度看,第7行的Size设置较小,其他参数(如T₁、T₂、N₁等)配置合理,避免了过重的计算负担。相比之下,虽然第18行(Size=200,T₁=200,T₂=200,N₁=100,ω=0.9, C₁=2.0, C₂=1.5)在指标RMSE上表现同样出色,但由于其数据维度更大、计算成本相对较高,可能需要更多时间和计算资源。因此,第7行的参数组合不仅在重建质量上具有显著优势,同时保持了良好的计算效率平衡,成为在确保高质量重建的同时避免过度计算负担的最佳选择。

PSO-OMP Chirplet算法分离测试信号如图5和表5所示。

上述3种模态分离算法的统计学指标如表6所示。

从表6统计学指标结果可知,PSO-OMP Chirplet算法优势明显:其误差指标(均方误差MSE=0.002 V²,均方根误差RMSE=0.046 V,平均绝对误差MAE=0.017 V)较MP与OMP算法降低1~3个数量级,最大绝对误差Max Error=0.320表明有显著优化的效果,同时保持优异的保真度SSIM=0.888。OMP Chirplet通过正交化改进使MSE从21.25 V²降至0.017 V²,但弱于PSO-OMP Chirplet算法。传统MP Chirplet因误差累积导致性能局限(结构相似性指数SSIM=0.640)。结果表明,PSO-OMP Chirplet通过正交化与参数优化的共同协调机制实现了最优重构精度。

为提高引下线扁钢Lamb波模态识别与重构精度,信号预处理阶段的降噪处理至关重要。将PSO-OMP算法与常见的几种降噪算法进行对比,包括基于稀疏字典重构信号的滤波效果,具体分析比较了稀疏字典学习(K-SVD)、低秩矩阵恢复(LRMR)、时频分析(Wavelet)、自动编码器(AE)、线性残差学习(LRL)、自适应残差学习(ARL)、多项式残差学习(PRL)、Savitzky-Golay滤波(SG)、奇异谱分析(SSA)、隐马尔可夫模型(HMM)、高斯过程回归(GPR)、稀疏贝叶斯学习(SBL)、时序卷积网络(TCN)、1D卷积神经网络(1D-CNN)、扩散模型(DM)。本实验在上述测试信号的基础上分别添加5 dB和15 dB的噪声作为降噪算法比较的测试信号,如图6所示,降噪算法统计学指标如表7所示。

如表7所示,在双重噪声(15 dB/5 dB)测试场景下,PSO-OMP算法降噪后的峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio,PSNR)分别达到32.1 dB和29.2 dB,较次优的TCN算法(30.5 dB/28.5 dB)实现5.2%和2.5%的相对提升,并显著超越传统时频分析(Wavelet:27.2 dB/26.4 dB)及深度自动编码器(AE:26.8 dB/28.3 dB)。在信号相关性保持方面,其皮尔逊相关系数(PCC)高达99.3%(15 dB)和99.2%(5 dB),较稀疏贝叶斯学习(SBL:98.3%/98.7%)提升1%以上,证明其对原始信号特征具有强保持能力。

误差指标验证了算法的精确性控制优势,15 dB噪声下PSO-OMP的均方误差(MSE=0.000 8 V²)仅为K-SVD的66%,5 dB极端条件下的MSE(0.001 4 V²)显著优于小波(0.002 0 V²)和SG滤波(0.002 7 V²)。其均方根误差(RMSE)在15 dB/5 dB环境分别降至0.028 V和0.038 V,保持全测试集最低记录。尽管SNR指标在15 dB时(14.1 dB)稍逊于TCN(14.9 dB),但在5 dB高噪声下以4.8 dB逼近自适应残差学习(ARL:4.9 dB),凸显其在恶劣环境下的鲁棒性。

相较于传统降噪方式,PSO-OMP通过引入粒子群优化策略重构了正交匹配追踪的搜索路径,在无需预训练的条件下实现字典原子的智能筛选。这种混合优化框架不仅克服了K-SVD、SBL等传统稀疏表示算法易陷入局部最优的缺陷,更通过动态权重调整平衡了全局探索与局部开发的能力。与依赖大数据训练的深度模型(TCN、1D-CNN、DM)相比,其参数自适应特性有效避免了过拟合风险,在有限样本场景下仍维持99%以上的PCC。

3 试验验证

在变电站进行现场试验。试验如图7所示,图7(a)为检测引下线扁钢Lamb波信号示意图,激发频率为5 MHz的磁致伸缩震源放在扁钢的一侧,传感器放在离震源200 mm处,用于接收入射波和回波信号,图7(b)为仪器主机,图7(c)为现在验证测试。根据图8(a)、图8(b)可知,当激励频为5 MHz时,可以激发出S₀、S₁、S₂以及A₀、A₁、A₂模态的Lamb波。

图9为Lamb波检测信号,可知,该检测信号包含了8个模态和1个入射波,部分模态发生了混叠,其中模态2与3混叠最为严重。

从表8中的k₂可以看出,在对称模态中S₀轻微频散,而S₁和S₂频散比较明显。在反对称模态中A₀和A₂频散较轻,而A₁亦比较明显。尽管这几个模态频散显著,但由于其群速度c_p的差异,在窄带激励(如5 MHz)作用下,不同模态波包到达时间的偏移量仍大于频散导致的波形展宽,使得时域波形中频散严重模态的波形能够被清晰地辨识出来。

采用所提出的PSO-OMP Chirplet算法,对图8中标识出来的回波信号进行模态识别与分离。k₀(ω₀)=$\frac{{\mathit{\omega }}_{0}}{{\mathit{c}}_{\mathrm{p}}}$,k₁(ω₀)=$\frac{\mathrm{d}\mathit{\omega }}{\mathrm{d}\mathit{k}}\left|{}_{\mathit{\omega }={\mathit{\omega }}_{0}}\right.$=$\frac{1}{{\mathit{c}}_{\mathrm{g}}}$,k₂(ω₀)=$\frac{\mathit{d}}{{\mathit{c}}_{\mathrm{g}}\mathit{\tau }}$,中心频率(f)、时间延迟(τ)以及时斜率(β)可以通过k₀、k₁和k₂来表示。最优估计值如表9所示。

根据表9可知,基于Lamb波二阶频散特性与PSO-OMP Chirplet方法,首先从表9中各回波信号的k₁、k₂最优估计入手,通过c_g=1/k₁计算群速度,并根据k₂的正负判断频散曲线的凹凸走向,进而完成多模态导波的精准识别与分离。具体来看,回波1、6的群速度约为588 m/s,且k₂<0,正好对应A₀模态在低频段的低速、下凹频散特点;回波3(群速度3 571 m/s,k₂<0)与回波7(群速度3 030 m/s,k₂微正)两者高群速、高k₀值以及微弱频散变化,与S₀基模的高速、弱频散特性高度契合;回波2、8(群速度2 128~2 273 m/s,k₂>0)则落在S₁基模的频散上升段;经k₁修正后,回波4(群速度1 493 m/s,k₂<0)与回波5(群速度1 786 m/s,k₂>0)进一步覆盖了S₁在低频段频散下降与高频段频散上升的“驼峰”演化过程,与理论频散曲线高度重合。

通过k₁、k₂的联合分析,该方法有效克服了复杂工况干扰,验证了二阶频散PSO-OMP Chirplet算法在Lamb波模态识别中的工程实用性,为工业无损检测中多模态信号的快速解耦与缺陷定位提供了理论依据。

4 结论

(1) 基于接地网引下线中Lamb波因多模态时域叠加与随频率变化的相位/群速度引起的频散,共同导致的模态难以辨识、参数难以稳定估计等工程识别难题,提出一种基于频散参数的PSO-OMP Chirplet稀疏分解智能算法。其核心在于不再以Chirplet作为一般原子用于拟合波形,而是将其与Lamb波的波数函数k(ω)的主要信号成分建立对应关系,通过在激励中心角频率ω₀附近对k(ω)作二阶Taylor展开,把k₀、k₁和k₂作为描述模态传播(相速度、群延迟与频散曲率)的关键参数嵌入原子参数中,从而使原子匹配直接转化为模态波数的Taylor二阶展开参数的估计问题。为避免传统Chirplet分解依赖全局遍历导致的计算量大与参数不匹配的问题,采用了粒子群优化(PSO)在参数空间中对原子进行全局寻优,以最匹配残差信号的原子作为迭代选择对象,进而保证在工程上具有可解释性的同时显著提升计算效率与适应性。

(2) 在分解策略上,将PSO的全局寻优与OMP的正交化稀疏重构机制耦合,形成PSO选原子、OMP正交投影更新残差的迭代过程。PSO用于在连续空间中搜索使相关度最大的Chirplet原子,OMP则通过最小二乘正交投影对已选原子系数进行整体更新并从残差中剔除其贡献,从机理上抑制传统MP在强相关原子/强混叠条件下容易出现的模态重复选择、能量分配错误与弱模态漏检问题。更重要的是,OMP的正交化更新使得每次迭代得到的原子参数估计更加稳定,能够在多模态强重叠背景下对k(ω)二阶Taylor系数(k₀、k₁、k₂)进行精确估计,并据此完成模态区分。其中k₀关联相位传播特征,k₁表征群延迟/到时斜率,而k₂则刻画局部频散曲率,三者与理论频散曲线一一对应,构成可验证的模态判断依据。测试信号结果表明:在时间重叠度达到75%及以上的严重混叠条件下,该方法仍可实现多模态有效分离,(k₀、k₁、k₂)的估计误差相较传统方法降低1~3个数量级;并且通过将估计得到的波数Taylor二阶展开参数与频散特性匹配,可准确识别S₀、A₀等低频模态以及高阶混叠模态,验证了在强混叠模态分离与频散参数可解释估计上的创新性与有效性。

(3) 在引下线扁钢的端部反射、多路径传播及噪声共同存在的复杂工况下,该方法仍能够对采集信号进行稀疏分解并稳定提取出6个回波模态分量,包括A₀、A₁、A₂、S₀、S₁与S₂。具体而言,PSO-OMP Chirplet通过对各回波分量匹配的波数函数在中心频率处的二阶Taylor展开系数(k₀、k₁、k₂)进行估计,得到每一模态的局部相位传播特征、群延迟特征及频散特征;随后将估计参数与理论/数值计算的频散曲线进行匹配,实现对强混叠回波中各模态的一致性判别,从而避免仅凭时域波形造成的误判。结果表明,在引下线扁钢这种模态转换明显的工程对象中,该方法不仅能够完成多模态分离,还能对混叠模态的频散特性进行可解释分析,使后续基于单模态回波的到时提取、传播距离估计与缺陷定位更加稳定可靠。现场试验验证说明该方法具备良好的工程鲁棒性与可迁移性,可为电力接地系统等结构的缺陷定位与健康监测提供高精度、高可靠性的信号处理支撑。

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