基于自适应Tube模型预测控制方法的轴向磁通永磁电机调速特性

鲍畅; 陈立学; 翟小飞; 刘勇

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2506975

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (23) :9965-9972 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2506975

电工技术

基于自适应Tube模型预测控制方法的轴向磁通永磁电机调速特性

鲍畅 ¹ ,
陈立学 ¹ ,
翟小飞 ² ,
刘勇 ²^,^*

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Adaptive Tube Model Predictive Control for Speed Regulation of Axial Flux Permanent Magnet Motor

BAO Chang ¹ ,
CHEN Li-xue ¹ ,
ZHAI Xiao-fei ² ,
LIU Yong ²^,^*

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摘要

轴向磁通永磁电机在运行中易受轴向力影响,导致气隙波动和参数变化,从而引发转速稳定性差、抗扰动能力不足等问题。提出一种结合扩展卡尔曼滤波器(extended Kalman filter,EKF)与自适应管状模型预测控制(tube model predictive control,Tube-MPC)的复合策略。EKF用于在线估计电机状态与参数,Tube-MPC基于动态最小扰动不变集(minimal robust positively invariant,mRPI)实时调整扰动边界和Tube半径,确保状态轨迹始终处于鲁棒可行域内。仿真结果表明,该方法在参数突变和外界扰动下仍能保持较高的跟踪精度和稳定性,显著提升了系统的适应性与鲁棒性。

Abstract

Axial flux permanent magnet (AFPM) motors are rendered susceptible to axial forces during operation, by which air gap fluctuations and parameter variations are induced. Consequently, issues such as diminished speed stability and inadequate disturbance rejection capabilities are precipitated. To address these challenges, a composite control strategy integrating an extended Kalman filter (EKF) with adaptive tube model predictive control (Tube-MPC) was proposed. The motor states and parameters were estimated online utilizing the EKF. Concurrently, the disturbance boundaries and tube radii were adjusted in real-time by the adaptive Tube-MPC based on dynamic minimal robust positively invariant (mRPI) sets, ensuring that the state trajectories are maintained within the robust feasible region. It is demonstrated by simulation results that high tracking accuracy and stability are sustained under conditions of abrupt parameter changes and external disturbances, whereby the adaptability and robustness of the system are significantly enhanced.

Graphical abstract

关键词

轴向磁通永磁电机 / 扩展卡尔曼滤波 / 模型预测控制 / 参数失配

Key words

axial flux permanent magnet motor / extended Kalman filter / model predictive control / parameter mismatch

引用本文

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鲍畅, 陈立学, 翟小飞, 刘勇. 基于自适应Tube模型预测控制方法的轴向磁通永磁电机调速特性[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(23): 9965-9972 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2506975

BAO Chang, CHEN Li-xue, ZHAI Xiao-fei, LIU Yong. Adaptive Tube Model Predictive Control for Speed Regulation of Axial Flux Permanent Magnet Motor[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(23): 9965-9972 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2506975

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轴向磁通永磁电机(axial flux permanent magnet motor, AFPM)因其结构紧凑、功率密度高和散热性能优异,已成为新能源汽车、航空电推进及高性能伺服系统中的研究热点^[1-4]。然而,与传统径向磁通电机相比,AFPM的磁路结构存在显著差异,其运行过程中受轴向力作用导致气隙波动,从而引起等效电感、气隙磁场等关键参数变化。这种参数时变性使得控制模型与实际系统产生偏差,进而降低控制精度和系统稳定性。

针对永磁同步电机的鲁棒控制问题,已有大量研究提出改进方法以提升转速控制性能。文献[5]基于扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter,EKF)实现了电机参数的在线辨识,从而提高了模型精度;文献[6]提出新型趋近律的滑模控制,缓解了传统滑模控制的抖振问题;文献[7]采用模糊逻辑逼近系统非线性与干扰,实现了有限时间内的高精度跟踪;文献[8]提出改进的主动干扰抑制控制电流解耦方法,在参数变化条件下仍能保持良好鲁棒性;文献[9]则将电流误差积分与模糊推理引入反步控制,实现了增益的在线整定,增强了伺服系统的动态响应能力。尽管上述方法提升了系统鲁棒性,但多数控制律未对快速变化的系统参数进行充分建模,难以在强扰动和大幅参数突变下保持稳定性能。文献[10]直接对系统状态误差设计高阶终端滑模面并对其进行分析。由于滑模控制(sliding mode control,SMC)对参数摄动和外部干扰的不变性是通过控制量的高频抖振换取的,故SMC在抑制抖振和扰动之间存在矛盾。二阶终端滑模控制(second-order sliding mode control,SOTSMC)虽然能够获得较好的抖振抑制性能,但其抗扰性能有所降低。文献[11]基于线性扩张状态观测器(linear extended state observer,LESO)设计改进线性自抗扰控制(linear active disturbance rejection control,LADRC),在矢量控制框架下实现了快速无超调调速,并增强了对负载扰动的抑制能力。然而,由于LADRC的扰动补偿依赖ESO的带宽设置,其性能仍受到系统参数变化和建模不确定性的影响,难以在强参数时变系统中获得最优效果。

近年来,模型预测控制(model predictive control,MPC)凭借多目标优化能力和快速动态响应,在电机控制中得到广泛应用^[12-15]。然而,标准MPC对模型精度极为敏感,在AFPM这类参数强时变系统中,当等效参数变化未能及时反映到预测模型时,容易引发预测误差累积、轨迹偏移甚至失稳的问题。因此,亟需一种能在参数动态变化与外界扰动共同作用下仍保持预测精度与鲁棒性的控制结构。

为解决上述问题,提出一种基于EKF与Adaptive Tube-MPC的复合控制策略。具体而言,EKF用于实时估计关键状态与参数,以快速响应电机的动态变化;在Tube-MPC框架下,引入基于动态最小扰动不变集(minimal robust positively invariant,mRPI)的自适应方法,通过在线更新反馈增益与Tube半径,系统在保持MPC快速预测特性的同时具备动态适应能力,确保实际轨迹始终约束在鲁棒可行域内,从而提升控制的精度与稳定性。

1 AFPM数学模型

如图1所示为轴向磁通永磁电机模型。AFPM在三相坐标系下的数学模型是一个多变量,强耦合的非线性系统。在d-p坐标系下,轴向磁通永磁电机的定子电压方程可以表示为

(1)$ \left\{\begin{array}{l}u_{d}=R_{\mathrm{s}} i_{d}+L_{d} \frac{\mathrm{~d} i_{d}}{\mathrm{~d} t}-\omega_{\mathrm{e}} L_{q} i_{q} \\u_{q}=R_{\mathrm{s}} i_{q}+L_{q} \frac{\mathrm{~d} i_{q}}{\mathrm{~d} t}+\omega_{\mathrm{e}}\left(L_{d} i_{d}+\psi_{\mathrm{f}}\right)\end{array}\right.$

式(1)中:u_d、u_q分别为定子直轴、交轴电压;i_d、i_q分别为定子直轴、交轴电流;L_d、L_q分别为直轴、交轴电感;R_s为定子电阻;${\psi }_{f}$为转子磁链;ω_e为转子电角速度。

因为研究对象是表贴式电机,所以存在L_d=L_q=L。式(1)变形可得到电机电流的状态方程,即

(2)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{d{i}_{d}}{dt}=-\frac{{R}_{s}}{L}{i}_{d}+\frac{1}{L}{u}_{d}+{\omega }_{e}{i}_{q}\\ \frac{d{i}_{q}}{dt}=-\frac{{R}_{s}}{L}{i}_{q}+\frac{1}{L}{u}_{q}-{\omega }_{e}{i}_{d}-\frac{{\psi }_{f}}{L}{\omega }_{e}\end{array}\right.$

通常,系统的采样频率极高,其周期就会很短,就可以使用一阶泰勒公式将式(2)左半边电流的微分离散化,得

(3)

$\left\{\begin{array}{l}{i}_{d}(k+1)={i}_{d}\left(k\right)+\frac{{T}_{s}{u}_{d}\left(k\right)}{L}-\frac{{T}_{s}{R}_{s}{i}_{d}\left(k\right)}{L}+\\ 　　　　　　\omega \left(k\right){T}_{s}{i}_{q}\left(k\right)\\ {i}_{q}(k+1)={i}_{q}\left(k\right)+\frac{{T}_{s}{u}_{q}\left(k\right)}{L}-\frac{{T}_{s}{R}_{s}{i}_{q}\left(k\right)}{L}-\\ 　　　　　　{T}_{s}{\omega }_{e}{i}_{d}\left(k\right)-\frac{{T}_{s}{\omega }_{e}{\psi }_{f}}{L}\end{array}\right.$

式(3)中:T_s为系统的离散化采样周期。

2 基于EKF的在线参数辨识

采用EKF进行电机实时参数辨识,并将输出量用于MPC。当永磁同步电机处于稳态工作状态时,其定子电流在d轴和q轴的分量i_d和i_q基本维持不变。因此,下一采样时刻的电流值i_d(k+1)可近似视为i_d(k),i_q(k+1)可近似等于i_q(k)。在采用i_d=0控制策略时,电机运行过程中定子电流的d轴分量仅在零值附近出现微小波动,这种波动通常可以忽略。根据上述分析,将式(3)修改为

(4)

$\left\{\begin{array}{l}{i}_{d}(k+1)=\frac{{\omega }_{e}{L}_{q}}{{R}_{s}}{i}_{q}\left(k\right)+\frac{{u}_{d}}{{R}_{s}}\\ {i}_{q}(k+1)=\frac{{u}_{q}}{{R}_{s}}-\frac{{\omega }_{e}{\psi }_{f}}{{R}_{s}}\end{array}\right.$

为了避免出现模型不可微分或不连续的情况,取a=1/L。将a和${\psi }_{f}$作为系统状态变量。结合式(4),可得状态方程为

(5)$ \left\{\begin{array}{l}\dot{\boldsymbol x}=\boldsymbol f(\boldsymbol x) \\\boldsymbol y=\boldsymbol H \boldsymbol x\end{array}\right.$

式(5)中:状态变量$ \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{llll}i_{d} & i_{q} & a & \psi_{\mathrm{f}}\end{array}\right)^{\mathrm{T}}$;输出变量$ \boldsymbol{y}=\left(\begin{array}{ll}i_{d} & i_{q}\end{array}\right)^{\mathrm{T}}$;系统状态方程为$f=({\stackrel{·}{i}}_{d}　{\stackrel{·}{i}}_{q}　\stackrel{·}{a}　{\stackrel{·}{\psi }}_{f}{)}^{T}=(-{R}_{s}a{i}_{d}+{\omega }_{e}{i}_{q}+{u}_{d}a　-{R}_{s}a{i}_{q}-{\omega }_{e}{i}_{d}+{u}_{q}a-{\omega }_{e}a{\psi }_{f}{　0　\left.0\right)}^{T}$;输出矩阵$\boldsymbol H= $$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$。

对状态方程进行离散化后得到扩展卡尔曼状态方程,即

(6)$\left\{\begin{array}{l}\hat{\boldsymbol{x}}_{k+1}^{-}=\hat{\boldsymbol{x}}_{k}+T_{\mathrm{s}} \boldsymbol{f}\left(\hat{\boldsymbol{x}}_{k}\right) \\\hat{\boldsymbol{y}}_{k+1}^{-}=\boldsymbol{H} \hat{\boldsymbol{x}}_{k+1}^{-}\end{array}\right. $

式(6)中:$ \hat{\boldsymbol{x}} $为估计值;y^-为先验估计。

EKF算法分为预测和校正两部分。

(1)预测步骤。

(7)$\left\{\begin{array}{l}\hat{\boldsymbol{x}}_{k+1}^{-}=\hat{\boldsymbol{x}}_{k}+T \boldsymbol{f}\left(\hat{\boldsymbol{x}}_{k}\right) \\\hat{\boldsymbol{y}}_{k+1}^{-}=\boldsymbol{H} \hat{\boldsymbol{x}}_{k+1}^{-} \\\boldsymbol{P}_{k+1}^{-}=\boldsymbol{F}_{k} \boldsymbol{P}_{k} \boldsymbol{F}_{k}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{Q}\end{array}\right.$

式(7)中:$ \boldsymbol{F}_{k}=\left.\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}\right|_{\hat{\boldsymbol{x}}_{k}}$为雅可比矩阵;P为协方差矩阵;Q为过程噪声协方差矩阵。

(2)校正步骤:

计算卡尔曼增益,公式为

(8)$\boldsymbol{K}_{\mathrm{f}, k+1}=\boldsymbol{P}_{k+1}^{-} \boldsymbol{H}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{H} \boldsymbol{P}_{k+1}^{-} \boldsymbol{H}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{R}\right)^{-1}$

更新估计值和协方差,公式为

(9)$\left\{\begin{array}{l}\hat{\boldsymbol{x}}_{k+1}=\hat{\boldsymbol{x}}_{k+1}^{-}+\boldsymbol{K}_{\mathrm{f}, k+1}\left(\boldsymbol{y}_{k+1}-\hat{\boldsymbol{y}}_{k+1}^{-}\right) \\\boldsymbol{P}_{k+1}=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}_{\mathrm{f}, k+1} \boldsymbol{H}\right) \boldsymbol{P}_{k+1}^{-}\end{array}\right.$

式中:I为单位矩阵;R为观测噪声协方差矩阵。

3 自适应Tube-MPC设计

3.1 Tube MPC原理

Tube-MPC的核心思想是将系统划分为标称系统与真实系统:在收紧约束条件下,首先对标称系统进行预测与优化,得到标称轨迹;随后通过设计反馈控制律,将真实系统的状态约束在以标称轨迹为中心的鲁棒正不变集(RPI)内,即Tube,从而保证在存在扰动和不确定性时系统仍能保持约束满足与稳定性。

RPI如图2所示,该集合是约束集合X的子集。下文将介绍标称系统与实际系统的建模。表达式分别为

(10)$\left\{\begin{array}{ll}\boldsymbol{x}_{k+1}= & A \boldsymbol{x}_{k}+B \boldsymbol{u}_{k}+\boldsymbol{\omega}_{k} \\\text { s. t. } & \boldsymbol{x}_{k} \in X \subseteq \mathbf{R}^{2}, \boldsymbol{u}_{k} \in \boldsymbol{U} \subseteq \mathbf{R}^{2} \\& \boldsymbol{\omega}_{k} \in \boldsymbol{W} \subseteq \mathbf{R}^{2}\end{array}\right.$

(11)$\left\{\begin{array}{l}\overline{\boldsymbol{x}}_{k+1}=\boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{x}}_{k}+\boldsymbol{B} \overline{\boldsymbol{u}}_{k} \\\text { s. t. } \quad \overline{\boldsymbol{x}}_{k} \in \overline{\boldsymbol{X}} \subseteq \mathbf{R}^{2}, \overline{\boldsymbol{u}}_{k} \in \boldsymbol{U} \subseteq \mathbf{R}^{2}\end{array}\right.$

式中: $\boldsymbol{x}_{k}$、$\boldsymbol{u}_{k}$分别为实际状态量、控制量; X、U分别为对应的集合$\bar{\boldsymbol x}_{k} $、$\bar{\boldsymbol u}_{k} $则为标称状态量、控制量, $\bar{\boldsymbol U} $、$\bar{\boldsymbol X} $为对应的集合;$ \boldsymbol{\omega}_{k} $为扰动序列,W为覆盖$\boldsymbol{\omega}_{k} $所有可能值以及原点的凸集;A、B分别为系统矩阵和输入矩阵。

Tube-MPC的控制量$\boldsymbol{u}_{k} $由标称控制和误差状态反馈控制组成,即

(12)$\begin{aligned}\boldsymbol{u}_{k} & =\overline{\boldsymbol{u}}_{k}+\boldsymbol{K}\left(\boldsymbol{x}_{k}-\overline{\boldsymbol{x}}_{k}\right) \\& =\overline{\boldsymbol{u}}_{k}+\boldsymbol{K} \boldsymbol{e}_{k}\end{aligned} $

式(12)中:K为通过线性二次型调节器(linear quadratic regulator,LQR)求解得到的反馈矩阵;e为实际系统与标称系统之间的误差。

由式(10)~式(12)得

(13)$\begin{aligned}\boldsymbol{x}_{k+1} & =\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_{k}+\boldsymbol{B}\left(\overline{\boldsymbol{u}}_{k}+\boldsymbol{K} \boldsymbol{e}_{k}\right)+\boldsymbol{\omega}_{k} \\& =\boldsymbol{A}\left(\overline{\boldsymbol{x}}_{k}+\boldsymbol{e}_{k}\right)+\boldsymbol{B} \overline{\boldsymbol{u}}_{k}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{K} \boldsymbol{e}_{k}+\boldsymbol{\omega}_{k} \\& =\boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{x}}_{k}+\boldsymbol{B} \overline{\boldsymbol{u}}_{k}+(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{K}) \boldsymbol{e}_{k}+\boldsymbol{\omega}_{k} \\& =\overline{\boldsymbol{x}}_{k}+(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{K}) \boldsymbol{e}_{k}+\boldsymbol{\omega}_{k}\end{aligned} $

因此误差状态更新为

(14)$\boldsymbol{e}_{k+1}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{K}) \boldsymbol{e}_{k}+\boldsymbol{\omega}_{k} $

由于K是通过LQR求解得到,可以保证$\boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{K} \text { Schur } $稳定。对于任意有界扰动,当误差状态处于RPI中,其状态演化也位于RPI中。定义Z为误差系统的RPI,用集合的语言可以表示为

(15)$\boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}} \boldsymbol{Z} \oplus \boldsymbol{W} \subset \boldsymbol{Z}$

式(15)中:$ \oplus $表示集合之间的Minkowski和运算,对于两个给定的集合$M, N \subseteq \mathbf{R}^{n} $,满足$M\oplus N=\{\left.m+n\right|m\in M,n\in N\}$。

进一步可以得到标称系统的状态量和控制量的约束为

(16)$\left\{\begin{array}{l}\overline{\boldsymbol{x}}_{k}=\boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{e}_{k} \in \boldsymbol{X} \ominus \boldsymbol{Z} \\\overline{\boldsymbol{u}}_{k}=\boldsymbol{u}_{k}-\boldsymbol{K} \boldsymbol{e}_{k} \in \boldsymbol{U} \ominus \boldsymbol{K} \boldsymbol{Z}\end{array}\right. $

式(16)中:$\ominus $为集合之间的Pontryagin差运算。对于两个给定的集合$M, N \subseteq \mathbf{R}^{n} $,满足$M \oplus N$=$\left\{p \in \mathbf{R}^{n} \mid p+n \in M, \forall n \in N\right\} $。

3.2 mRPI的在线优化设计

在传统Tube-MPC框架中,系统扰动通常被假设为有界且结构已知,通过构造固定的RPI来约束实际轨迹围绕标称轨迹的偏移。然而,在轴向磁通永磁同步电机控制中,复杂工况导致气隙波动,引起电机参数(如电感、磁链等)突变,呈现显著的时变性,从而影响系统的扰动传播特性。

若仍采用固定RPI,当系统进入非设计参数区域时,可能出现轨迹突破Tube边界的问题;而若取较大RPI以覆盖所有可能情况,则会导致控制保守、动态性能下降。为此,引入动态RPI方法,基于扩展卡尔曼滤波器(EKF)在线估计的系统参数计算扰动传播能力,并自适应缩放RPI,实现Tube边界的实时更新与调节。

更小的RPI会形成较小的约束收紧,同时也会使系统获得更好的鲁棒性和较低的保守性。而最小鲁棒正不变集(mRPI)包含在所有的RPI之中。考虑固定于参数${\theta }_{0}=({L}_{0},{\psi }_{f,0})$的误差系统,即

(17)$\boldsymbol{e}_{k+1}=\boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}, k}\left(\boldsymbol{\theta}_{0}\right) \boldsymbol{e}_{k}+\boldsymbol{\omega}_{k} $

mRPI集合的传统构造为

(18)$\boldsymbol{Z}=\oplus_{i=0}^{\infty} \boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}, k}^{i}\left(\boldsymbol{\theta}_{0}\right) \boldsymbol{W} $

Minkowski求和会导致顶点数随迭代呈指数级增长,从而增加在线计算负担。采用i_d=0的控制策略,d轴电流始终在零附近波动,闭环系统在dq坐标下可近似解耦。为了在Tube-MPC中既保持鲁棒性又兼顾实时性,将 mRPI简化为d轴与q轴误差集合的笛卡尔儿积,并结合EKF 输出的参数,实时更新Tube半径,实现快速的自适应估计。

分别将$\boldsymbol{A}_{k} $与$\boldsymbol{B}_{k} $离散化处理,得

(19)$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{A}_{d, k}=T_{\mathrm{s}} \boldsymbol{A}_{k}+\boldsymbol{I} \\\boldsymbol{B}_{d, k}=T_{\mathrm{s}} \boldsymbol{B}_{k}\end{array}\right. $

式(19)中:T_s为离散步长;I为单位矩阵。

由式(14)和式(19)可以得到离散误差系统为

(20)$\binom{e_{1, k+1}}{e_{2, k+1}}=\left(\begin{array}{cc}a_{d}\left(\boldsymbol{\theta}_{k}\right) & a_{q d}\left(\boldsymbol{\theta}_{k}\right) \\a_{d q}\left(\boldsymbol{\theta}_{k}\right) & a_{q}\left(\boldsymbol{\theta}_{k}\right)\end{array}\right)\binom{e_{1, k}}{e_{2, k}}+\binom{\omega_{1, k}}{\omega_{2, k}} $

式(20)中:$ \boldsymbol{\theta}_{k} $为k时刻EKF实时估计的电机参数$({L}_{k},{\psi }_{f,k})$;a为矩阵$\boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}} $的元素;ω_1,k和ω_2,k分别为k时刻d轴和q轴的有界扰动,满足$\boldsymbol W=\left\{\boldsymbol{\omega} \in \mathbf{R}^{2}| | \omega_{j} \mid \leqslant \overline{\boldsymbol{\omega}}_{j}, j=1,2\right\} $。

(1) $ \left|a_{q}\left(\theta_{k}\right)\right|<1 $

由于d轴参考电流值为0,d轴电流误差传递的影响可以忽略。因此直接利用EKF对i_d的在线估计误差结合外部扰动的上界确定d轴的mRPI。

设EKF输出的${\hat{i}}_{d}$估计方差为P_{i_d},在给定置信水平α的情况下,可通过高斯近似得到i_d的置信区间上界,即

(21)$e_{d, \max }^{(\mathrm{EKF})}=z_{\alpha} \sqrt{P_{i_{d}}} $

式(21)中:z_α为标准正态分布对应α置信水平的分位数(选择α=0.95对应z_α≈1.96)。

则d轴等效扰动上界为

(22)$\omega_{d, \text { max }}=e_{d, \text { max }}^{(\mathrm{EKF})}+\bar{\omega}_{1} $

基于该扰动上界,d轴最小扰动不变集可取为对称区间形式,即

(23)$Z_{d}=\left[-\omega_{d, \max }, \omega_{d, \max }\right]$

q轴误差系统为一维标量,即

(24)$e_{2, k+1}=a_{q}\left(\theta_{k}\right) e_{2, k}+\omega_{2, k}, \quad \omega_{2, k}<\bar{\omega}_{2}$

则q轴误差系统的mRPI集合为

(25)

${Z}_{q}=\left[-\frac{{\stackrel{-}{\omega }}_{2}}{1-\left|{a}_{q}\right|},\frac{{\stackrel{-}{\omega }}_{2}}{1-\left|{a}_{q}\right|}\right]$

证明:设区间[-r,r]为RPI集,则需满足

(26)

$\forall \left|e\right|\le r,\left|\omega \right|\le {\stackrel{-}{\omega }}_{2},\left|{a}_{q}e+\omega \right|\le r$

由于$\left|{a}_{q}e+\omega \right|\le \left|{a}_{q}\right|\left|e\right|+{\stackrel{-}{\omega }}_{2}$,移项得

(27)

$r(1-\left|{a}_{q}\right|)\ge {\stackrel{-}{\omega }}_{2}$

取最小值得

(28)

${r}^{*}=\frac{{\stackrel{-}{\omega }}_{2}}{1-\left|{a}_{q}\right|}$

若r＜r^*,则区间不满足不变性。最终得到的mRPI集合为

(29)

$Z=[-{\omega }_{d,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},{\omega }_{d,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}][-{r}^{*},{r}^{*}]$

这一结果计算简便,适合在dq轴解耦良好的条件下进行快速在线估计。

(2) $\left|{a}_{q}\left({\theta }_{k}\right)\right|\ge 1。$

若$\left|{a}_{q}\left({\theta }_{k}\right)\right|\ge 1$,单独依赖q轴不保证收敛性。这时考虑该时刻完整的闭环误差矩阵$\boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}}$满足谱半径$\rho\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}}\right)<1$,矩阵几何级数依然收敛且有解析和,即

(30)$\boldsymbol{S}=\sum_{i=0}^{\infty} \boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}}^{i}=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}}\right)^{-1}$

因为扰动集合为对称多面体,则mRPI可表示为

(31)$Z=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}}\right)^{-1} \boldsymbol{W}$

考虑扰动集合为分量独立的区间框,则Z可以写为:

(32)$e_{i} \in\left[-\sum_{j=1}^{n}\left|s_{i j}\right| \bar{\omega}_{j}, \sum_{j=1}^{n}\left|s_{i j}\right| \bar{\omega}_{j}\right]$

对于n=2的情形,给出显式且易算的Tube半径,即

(33)

$\left\{\begin{array}{l}{r}_{d}=\left|{s}_{11}\right|{\stackrel{-}{\omega }}_{1}+\left|{s}_{12}\right|{\stackrel{-}{\omega }}_{2}\\ {r}_{q}=\left|{s}_{21}\right|{\stackrel{-}{\omega }}_{1}+\left|{s}_{22}\right|{\stackrel{-}{\omega }}_{2}\end{array}\right.$

最终得到的mRPI为

(34)

$Z=[-{r}_{d},{r}_{d}][-{r}_{q},{r}_{q}]$

该方法能严格保证mRPI的存在性,并在参数扰动较大时提供稳定的Tube半径估计。

3.3 基于Tube-MPC求解问题的构建

模型预测控制(MPC)是一种基于优化的控制策略,其核心思想是通过在线求解最优控制问题来生成控制指令。在每一个采样时刻,控制器根据当前系统状态预测未来一段时间内的状态演变轨迹,并基于预设的性能指标和参考轨迹,计算出最优控制输入序列。通常,仅将该序列的第一个控制量应用于被控对象。mRPI在MPC优化问题中用于重新定义约束条件,确保实际系统与标称系统在初始时刻的偏差始终处于mRPI范围内,从而维持算法的可行性。此外,mRPI还能够收紧状态和控制输入的约束边界,进一步提升控制策略的鲁棒性能。关于轴向磁通永磁电机转速控制的Tube-MPC具体构建为

(35)$\left\{\begin{array}{l}\min J=\sum_{k=0}^{N-1}\left(\left\|\overline{\boldsymbol{x}}_{k}-\boldsymbol{x}_{\mathrm{ref}}\right\|_{\boldsymbol{Q}_{\mathrm{c}}}^{2}+\left\|\overline{\boldsymbol{u}}_{k}\right\|_{\boldsymbol{R}_{\mathrm{c}}}^{2}\right)+ \\\quad\left\|\overline{\boldsymbol{x}}_{N}-\boldsymbol{x}_{\mathrm{ref}}\right\|_{\boldsymbol{P}}^{2} \\\text { s. t. } \overline{\boldsymbol{x}}_{0} \in \boldsymbol{x}_{0} \oplus Z \\\quad \overline{\boldsymbol{x}}_{k+1}=\boldsymbol{A}_{d, k} \overline{\boldsymbol{x}}_{k}+\boldsymbol{B}_{d, k} \overline{\boldsymbol{u}}_{k}, \quad \forall k \in\{0, \cdots, N-1\} \\\quad \overline{\boldsymbol{x}}_{k} \in X \ominus Z, \quad \forall k \in\{0, \cdots, N\} \\\quad \bar{u}_{k} \in U \ominus K_{k} Z, \quad \forall k \in\{0, \cdots, N-1\}\end{array}\right.$

式(35)中:N为预测步长;$ \boldsymbol Q_{\mathrm{c}} $、$\boldsymbol R_{\mathrm{c}} $和P分别为标称状态量、标称控制量和终端代价权重矩阵;Z为通过3.2节方式求解的mRPI;$ \boldsymbol{x}_{\mathrm{ref}}=\left(\begin{array}{cc}i_{d}^{\mathrm{ref}} & i_{q}^{\mathrm{ref}}\end{array}\right)^{\mathrm{T}} $为标称系统参考状态。

状态集合X为dq轴电流约束。轴向磁通电机通常限制定子电流幅值以避免磁饱和与过热,且d轴维持在弱磁状态附近。因此设定电流约束为

(36)$X=\{\boldsymbol{x}=\binom{i_{d}}{i_{q}} \in \mathbf{R}^{2}| | i_{d}\left|\leqslant i_{d, \max },\left|i_{q}\right| \leqslant i_{q, \max }\right\} $

实际设置选择i_d,max=5 A,i_q,max=300 A。

输入集合U为dq轴电压约束。其限制来源于逆变器的直流母线电压V_dc以及调制方式。因此设定电压约束为

(37)$U=\left\{\left.\boldsymbol{u}=\binom{u_{d}}{u_{q}} \in \mathbf{R}^{2} \right\rvert\, u_{d}^{2}+u_{q}^{2} \leqslant\left(\frac{\sqrt{3}}{2} V_{\mathrm{dc}}\right)^{2}\right\} $

式(37)中:$\frac{\sqrt{3}}{2}{V}_{\mathrm{d}\mathrm{c}}$为SVPWM最大线性调制圆的半径;V_dc=311 V。

由于EKF所估计的系统状态与测量得到的系统状态相比方差更小,所以采用估计值作为真实系统状态。系统的控制框图如图3所示。Tube-MPC的整体流程如表1所示。

4 仿真验证

在MATLAB/Simulink中对Tube-MPC方法进行仿真分析,采样时间间隔为1 μs,电机额定转速为1 500 r/min,仿真时长为1 s。电机的仿真参数设置如表2所示。

工况一:在0.5 s时,使dq轴电感与转子磁链分别增加约10%和6%;随后在0.75 s时进行第二次参数突变,将d、q轴电感和转子磁链降低约12%。

如图4和图5所示,在参数突变的情况下,EKF的辨识值能够很快收敛到真实值上。

工况二:电机带载10 N·m启动,在0.5 s时将负载突增到75 N·m,同时将电感和转子磁链分别减少10%和6%。在四种控制策略(二阶终端滑模控制、改进线性自抗扰控制、扩展卡尔曼滤波加模型预测控制以及管状模型预测控制)下,观察电机速度响应。

如图6所示,四种控制策略在0.2 s时均能将转速调节至额定值,但在复合扰动发生后表现存在明显差异。SOTSMC的抗扰能力相对较弱,出现了最大的转速跌落,最大偏差49.06 r/min;MLADRC的动态性能有所改善,最大偏差减小至29.81 r/min;EKF+MPC的表现进一步提升,最大偏差降至 20.17 r/min,恢复过程较为平稳;相比之下,Tube-MPC的响应最为稳定,最大偏差仅为 15.23 r/min,能够快速抑制扰动引起的速度偏差并保持良好的稳态性能。由此可见,Tube-MPC在同时存在外部负载突变和参数突变的情况下,展现出比SOTSMC、MLADRC和EKF+MPC更强的鲁棒性。

工况三:在观测器端添加最大值为5 A的干扰信号,模拟实际情况下可能遇到的干扰,电机负载为恒定值75 N·m。

如图7所示,与MPC相比Tube-MPC在收到外部干扰时,动态变化的标称约束能始终保证模型预测控制的终端状态不会超出电气量的物理限制。使得Tube-MPC在外部干扰条件下响应速度更快,转速波动更小。四种控制策略在启动阶段均能快速达到额定转速。然而,在稳态运行阶段(0.7~0.8 s的放大图)可以明显看出,由于观测器端的干扰信号存在,各策略的转速波动情况存在显著差异。前三种控制策略均表现出较为明显的转速波动,说明它们对观测器噪声的抑制能力有限。相比之下,Tube-MPC的转速曲线最为平滑,稳态速度波动最小。这是因为Tube-MPC动态变化的标称约束能够始终保证系统的终端状态不会超出电气量的物理限制。因此,在外部干扰条件下,Tube-MPC展现出更强的鲁棒性和抗干扰能力,响应更加稳定,转速波动显著更小。

5 结论

针对轴向磁通永磁电机运行中因轴向力引起的气隙波动及参数时变问题,提出了EKF与自适应Tube-MPC相结合的控制方法。仿真结果表明,该方法在负载突变和参数扰动下依然能够保持较高的转速跟踪精度和稳定性,较其他三种控制策略展现出更强的抗扰动能力和适应性,为解决轴向力导致的鲁棒性问题提供了一种有效途径。

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