基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估研究进展与展望

姚飛 ,  张丹奕 ,  陈平 ,  高沛 ,  胡贤群 ,  杨秀芹

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (17) :7111-7122

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科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (17) :7111-7122 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2506858
天文学、地球科学

基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估研究进展与展望

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Progress of Compensatory Assessment of Runoff Abundance and Depletion in Water Diversion and Transfer Project Based on Copula Function

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摘要

归纳了基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估模型的建立和求解方法,总结了径流丰枯补偿性评估指标的计算和应用情况。研究结果表明,现有研究以引调水工程单一水源区和单一受水区的径流或降水数据建立二维Copula函数评估模型为主;常用相关指标法和极大似然法拟合得到最适用的分布为Clayton、Frank和Gumbel Copula函数,基于保证率法划分丰枯等级,计算9种丰-平-枯组合情景下的丰枯遭遇概率;以丰枯同步和丰枯异步、有利调水和不利调水的组合概率定量评估引调水工程径流丰枯补偿性,确定中国南水北调、引汉济渭和滇中引水等主要引调水工程都具有一定的丰枯补偿能力。提出的建议如下:使用免费开源Copula函数工具箱MhAST进行二维Copula函数参数拟合及其参数不确定性分析;使用距平百分率法划分径流序列丰枯等级,避免得到的丰枯遭遇概率、丰枯同步与丰枯异步组合概率、有利调水与不利调水组合概率不能清晰地表达水源区和受水区之间的丰枯补偿关系;将丰-丰遭遇事件看作有利调水的情景,将其发生的概率纳入有利调水的组合概率中。

Abstract

The establishment and solution methods for the assessment model of runoff high-low flow compensation in inter-basin water diversion projects, based on the Copula function, were summarized. The calculation and application of the assessment indicators for runoff high-low flow compensation were also summarized. The conclusions are as follows: existing research primarily focuses on establishing two-dimensional Copula function assessment models using runoff or precipitation data from a single water source area and a single water receiving area of a diversion project. The correlation index method and the maximum likelihood method were commonly used to fit parameters, with the Clayton, Frank, and Gumbel Copula functions identified as the most applicable distributions. The high-low flow encounter probabilities under nine combined scenarios (high-normal-low) were calculated based on runoff series classified by the assurance rate method. The high-low flow compensation capability was quantitatively assessed by the combined probabilities of synchronous/asynchronous high-low flows and favorable/unfavorable conditions for water diversion. It is determined that major water diversion projects in China, such as the South-to-North Water Diversion Project, the Hanjiang-to-Weihe River Water Diversion Project, and the Central Yunnan Water Diversion Project, all possess a certain degree of high-low flow compensation capacity. Recommendations are proposed as follows: the free and open-source Copula toolbox MhAST is suggested for parameter fitting and uncertainty analysis of two-dimensional Copula functions. The anomaly percentage method is employed to classify the flood and drought levels of runoff sequences, ensuring the obtained probabilities of flood-drought occurrences, synchronous and asynchronous flood-drought combinations, and favorable versus unfavorable water transfer combinations can clearly express the compensation relationship between water source and receiving regions. The high-high encounter event should be regarded as a favorable condition for water diversion, and its occurrence probability should be incorporated into the combined probability of favorable diversion.

Graphical abstract

关键词

Copula函数 / 引调水工程 / 径流丰枯补偿 / 评估指标

Key words

Copula function / water diversion project / runoff abundance compensation / evaluation indexes

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姚飛, 张丹奕, 陈平, 高沛, 胡贤群, 杨秀芹. 基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估研究进展与展望[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(17): 7111-7122 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2506858
YAO Fei, ZHANG Dan-yi, CHEN Ping, GAO Pei, HU Xian-qun, YANG Xiu-qin. Progress of Compensatory Assessment of Runoff Abundance and Depletion in Water Diversion and Transfer Project Based on Copula Function[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(17): 7111-7122 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2506858

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为推动新阶段水利高质量发展,水利部提出实施国家水网重大工程战略,引调水工程作为国家水网的骨干输排水通道,对防汛抗旱、供水灌溉、航运发电和生态环境等至关重要[1-2]。引调水工程径流丰枯补偿性评估通过分析区域间不同径流等级搭配出现的概率情况,可为工程规划设计和运行调度提供必要性支撑和可行性指导[3-11]。
根据《调水工程设计导则》(SL 430—2024)[12],调水工程是为满足供水、灌溉和生态等需水要求,兴建的跨水系、跨区域的水资源配置工程,国内的调水工程命名主要以调水工程或引水工程居多[13],下文则统称为“引调水工程”。据不完全统计,中国已建、在建和拟建的较大规模引调水工程共计400余项,其中已建工程约50%,在建工程约30%,拟建工程约20%[13-16]。以引调水工程为主干通道的国家水网工程已经缓解了62个城市的缺水情况,其中31个城市由缺水变为不缺水[17]。
引调水工程径流丰枯补偿性评估,主要分析不同地区的水资源在不同丰枯遭遇情景下的补偿概率大小[3-4,10,18-22],相较于传统水资源配置分析,基于丰枯遭遇概率分析的规划运营方案更加合理和灵活,提高了区域水资源统筹协调能力[4,7,23]。径流丰枯补偿性评估的关键技术为求解具有线性或非线性关系的多维变量联合分布问题[7,10,20,24-25],Copula函数作为构造多维变量联合分布的有效工具,于1959年由Sklar提出,并于2003年引入水文水资源领域,其主要特点为在保留变量间相关性信息的同时具有较强的灵活性、良好的适用性和不可替代的优越性[4,7,9,26-31]。众多学者使用不同区域的径流、降水数据构建并求解基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估模型,计算区域间丰-平-枯不同来水等级组合情景下的遭遇概率,以丰枯同步和丰枯异步、有利调水和不利调水等组合概率作为径流丰枯补偿性评估指标,定量评估了南水北调东线工程[32-33]、南水北调中线工程[5,9,19,27,34-37]、南水北调西线工程[20,38-41]、引汉济渭调水工程[18,23,25]、黔中调水工程[42-43]、滇中引水工程[44-45]、禹门口调水工程[46]、沭河至付疃河调水工程[28]和引江济淮工程[14]等引调水工程的径流丰枯补偿能力,为工程规划运营提供了必要性支撑,提出可以通过多区域联合调配等方式,缓解丰枯同步变化对引调水工程的影响,增强工程的韧性和抗风险能力。
综上分析,大量研究基于Copula函数对引调水工程径流丰枯补偿能力进行了评估,现总结已经形成的理论方法、技术体系和评估结果,找到当前理论方法中的分歧与不足,并就相关问题提出建议,以期形成更加完备的引调水工程径流丰枯补偿性评估体系,为从事引调水工程规划设计和调度运维的相关人员提供参考。

1 基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估模型构建与求解

1.1 模型构建与求解方法总结

1.1.1 评估区域、评估要素与评估时段

引调水工程的组成区域按照功能定位可以分为水源区和受水区,并且同一引调水工程可能同时具有多个水源区、多个受水区,目前基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估,大多使用二维Copula函数评估引调水工程单一水源区和单一受水区之间的径流丰枯补偿性[19,27,34-35,40]。也有研究借助高维Copula函数分析同一引调水工程多个水源区之间[20,32-33]、多个水源区和多个受水区之间[38-39,47]的径流丰枯补偿性。

因为径流量和降水量均能在一定程度代表区域水资源量的丰枯水平,所以现有研究在作引调水工程径流丰枯补偿性评估时既可以使用水文站实测径流数据[18,26,32,39],也可以使用气象站实测降水数据[26-27,40,42]或第五代欧洲中期天气预报中心再分析数据集(European centre for medium-range weather forecasts reanalysis v5,ERA5)等再分析降水数据[34],受人类活动等因素影响,若实测数据的一致性遭到破坏,则需要进行非一致性条件下的径流丰枯补偿性评估[20,26,48-50]。此外,也有学者使用第六次国际耦合模式比较计划(coupled model intercomparison project phase 6,CMIP6)中不同排放情景下的未来降水数据分析气候变化对引调水工程径流丰枯补偿能力的影响[19,35,44,48]。为建模方便,本研究不再严格区分径流量和降水量,而统称为“径流序列”。

现有研究大多同时分析全年、汛期和枯期3个时间尺度的径流丰枯补偿性[14,18-19,34,44],而分析逐月[14]、四季[40]等时间尺度的研究相对较少。为保证概率分布拟合效果,进行Copula函数参数拟合的径流序列样本容量不应小于30。

1.1.2 Copula函数模型的建立

基于n维Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估模型的数学描述为:假设引调水工程中n个待评估区域的径流序列为x1,x2,…,xn,则其概率密度函数为f1(x1),f2(x2),…,fn(xn),边缘分布函数为F1(x1)=u1,F2(x2)=u2,…,Fn(xn)=un,当不同区域的径流序列并不独立时,根据Sklar定理,n个区域径流序列的联合分布函数可以表示为

H(u1,u2,…,un)=${C}_{({\theta }_{1},{\theta }_{2},\dots,{\theta }_{l})}$[${F}_{1}^{-1}$(u1),${F}_{2}^{-1}$(u2),…,${\mathrm{F}}_{{}^{\mathrm{n}}}^{-1}$(un)]

式(1)中:C(·)为Copula函数;n为Copula函数的维数,当n≥3时,为高维Copula函数,目前在引调水工程径流丰枯补偿性评估中应用最广泛的是二维Copula函数;θ1,θ2,…,θl为Copula函数参数;${F}_{n}^{-1}$(un)为un的反函数,即${F}_{n}^{-1}$(un)=xn。特别地,现有研究大多通过计算Pearson线性相关系数(r)、Kendall秩相关系数(τ)和Spearman秩相关系数(ρ)来证明不同区域的径流序列具有显著相关性,进而间接证明径流序列之间并不独立[14,47,51-56]。

综上可知,建立并求解基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估模型的关键在于确定边缘分布函数和Copula函数的类型并拟合出其最优参数。

1.1.3 边缘分布函数类型及其参数估计

现有研究在引调水工程径流丰枯补偿性评估中使用较多的边缘分布有P-Ⅲ、Gamma、Gumbel、Gaussian、Normal、LogNormal、Logistics、Weibull和GEV等[8-9,14,51],使用极大似然法[14,18,39]和线性矩法[35]对边缘分布进行参数估计,通过Kolmogorov-Smirnov(K-S)法进行显著性水平为5%的拟合优度检验,综合比较离差平方和(ordinary least squares,OLS)、赤池信息准则(Akaike information criterion,AIC)、贝叶斯信息准则(Bayesian information criterion,BIC)和均方根误差(root mean square error,RMSE)等拟合优度评价指标中的一个或多个得到最优边缘分布函数及其参数取值[3,14,18,20,32,39,57]。

1.1.4 Copula函数类型及其参数估计

以目前引调水工程径流丰枯补偿性评估中使用最广泛的二维Copula函数为例,大多研究仅仅拟合椭圆Copula函数簇中的Gaussian和t Copula函数,阿基米德Copula函数簇中的Clayton、Frank、Gumbel和Ali-Mikhail-Haq(AMH) Copula等6种Copula函数[14,18,23,35,42,44,47-48],拟合结果表明,大多径流序列满足Clayton、Frank和Gumbel Copula函数,其在具体引调水工程中的应用如表1所示。

常用的参数估计方法包括相关指标法和极大似然法[18,34,51],通过K-S法进行显著性水平为5%的拟合优度检验,综合比较OLS、AIC、BIC、RMSE和纳什效率系数(Nash-Sutcliffe efficiency coefficient,NSE)等拟合优度评价指标选出最优Copula函数,其中使用最多的两个指标为OLS和AIC[14,18,32,35,44,47,51,59]。此外,使用三维或四维Copula函数的研究较少,仅有Huang等[38]和王飞宇等[47]给出了常见的三维Copula函数概率分布函数和概率密度函数,冯平等[39]归纳总结了常用的四维Copula函数及其参数取值范围。

1.2 模型构建与求解方法存在的不足及建议

现有研究对基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估模型的数学描述已经较为完备,但存在Copula函数类型较少、参数拟合方法偏简单等问题,导致函数拟合精度不佳,不能真实描述径流序列的联合概率分布情况。

针对二维Copula函数参数估计中存在的不足,建议使用Sadegh等[60-61]提供的免费开源Copula函数工具箱MhAST,其不仅开发了可视化界面方便用户快速上手,还公开了所有源代码方便使用者做定制化开发。MhAST使用基于贝叶斯框架的蒙特卡罗混合进化算法(Markov Chain Monte Carlo,MCMC)拟合Gaussian、t Copula、Clayton、Frank、Gumbel、AMH、Joe、Farlie-Gumbel-Morgenstern(FGM)、Gumbel-Barnett、Plackett、Cuadras-Auge、Raftery、Shih-Louis、Linear-Spearman、Cubic、Burr、Nelsen、Galambos、Marshall-Olkin、Fischer-Hinzmann、Roch-Alegre、Fischer-Kock、BB1、BB5和Tawn等25种Copula函数,并通过极大似然值(M_L)、AIC、BIC、RMSE和NSE等拟合优度评价指标选出最优Copula函数,得到Copula函数参数估计值及其95%置信度下的置信区间,MhAST已在参数拟合精度、模型不确定分析和计算结果合理性分析等方面表现出优异性能[52,60-64]。

2 基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估指标定义与计算

2.1 引调水工程径流丰枯遭遇概率计算方法

2.1.1 径流序列丰枯等级划分标准

径流序列丰枯等级划分标准是界定区域水资源量丰枯水平的依据,是构建基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估指标的前提,常见的划分标准有保证率法和距平百分率法,目前使用较多的是保证率法。

1)保证率法

《水文基本术语和符号标准》(GB/T 50095—2014)[65]使用12.5%、37.5%、62.5%和87.5%等累积频率将径流序列分为特枯、枯、平、丰和特丰等5个丰枯等级,而《地表水资源调查和统计分析细则》[44](水利部水文局)使用12.5%、37.5%、62.5%和87.5%等超越频率将径流序列分为特丰、丰、平、枯和特枯等5个丰枯等级,按照冯平等[39]、Huang等[38]建议基于Copula函数进行引调水工程径流丰枯补偿性评估时应使用累积频率作为径流丰枯等级划分的临界值,将上述超越频率转化为累积频率后,得到如表2所示的统一划分标准。虽然王晓颖等[14]、陈锋等[19]和陈茜茜等[34]将径流序列划分为5个丰枯等级计算丰枯补偿性评估指标,但是更多研究选择使用累积频率为37.5%和62.5%作为枯-平、平-丰的临界值,将径流序列分为枯、平、丰3个等级构建径流丰枯补偿性评估指标体系[5,19,27,32-34,39,44-45,57]。

2)距平百分率法

距平百分率反映某一时段径流量与同期平均状态的偏离程度,其计算方法为

Pi=$\frac{{x}_{i}-\stackrel{-}{x}}{\stackrel{-}{x}}$×100%

式(2)中:xi为某时段径流序列值;$\stackrel{-}{x}$为径流序列均值。

王飞宇等[47]、吴茂琳等[48]、高月娇等[18]参考《水文情报预报规范》(GB/T 22482—2008)[66]的中长期定性预报等级表划分径流序列丰枯等级,取距平百分率小于-10%为枯水,介于-10%~10%为平水,大于10%为丰水,刘一休等[59]则定义距平百分率大于20%为丰水,介于-20%~20%为平水,小于-20%为枯水。

距平百分率法需要先根据径流丰枯等级划分临界距平百分率得到对应的临界径流量,进而找到临界径流量在其最优边缘分布中对应的累积概率,以此作为径流丰枯补偿性评估模型的丰枯等级划分标准。使用保证率法和距平百分率法得到的径流丰枯等级划分结果有一个关键不同点:使用保证率法得到的水源区和受水区等不同区域的丰枯等级划分临界值相等,而使用距平百分率法得到的边缘分布丰枯等级划分临界值在不同区域间一般不相等。

2.1.2 丰枯遭遇概率计算方法

丰枯遭遇概率为不同区域间不同丰枯水平的组合事件同时发生的概率大小,若将n个区域的径流序列划分为m个丰枯等级,则有mn种丰枯遭遇情景,其遭遇概率计算方法可以根据n维联合分布概率计算原理推导出来。以现有研究使用较多的基于水源区和受水区的二维Copula函数在枯-平-丰3级划分标准下的9种遭遇情景为例,推导丰枯遭遇概率计算方法,设${x}_{1}^{\mathrm{k}\mathrm{p}}$、${x}_{1}^{\mathrm{p}\mathrm{f}}$和${x}_{2}^{\mathrm{k}\mathrm{p}}$、${x}_{2}^{\mathrm{p}\mathrm{f}}$分别为待评估引调水工程水源区和受水区的枯-平、平-丰的临界径流量,则其对应的边缘分布累积概率值为${u}_{1}^{\mathrm{k}\mathrm{p}}$、${u}_{1}^{\mathrm{p}\mathrm{f}}$和${u}_{2}^{\mathrm{k}\mathrm{p}}$、${u}_{2}^{\mathrm{p}\mathrm{f}}$,根据二维随机变量联合分布概率计算原理[67]得到的概率计算表达式如表3所示[5-6,19,24,48],显然,9种丰枯遭遇概率应满足Pff+Pfp+Pfk+Ppf+Ppp+Ppk+Pkf+Pkp+Pkk=1。

将丰枯等级划分为如表2所示的5个等级时,共计25种丰枯遭遇概率计算方法也可按照二维随机变量联合分布概率计算原理推导出来[14,19,44,67],不再赘述。此外,Huang等[38]、王飞宇等[47]、王智元等[20]总结了基于三维Copula函数的丰枯遭遇概率计算表达式,冯平等[39]介绍了四维Copula函数对应的81种场景的丰枯遭遇概率计算方法。

需要注意的是,使用保证率法确定的不同区域的枯-平、平-丰边缘分布临界值相同,即${u}_{1}^{\mathrm{k}\mathrm{p}}$=${u}_{2}^{\mathrm{k}\mathrm{p}}$=37.5%、${u}_{1}^{\mathrm{p}\mathrm{f}}$=${u}_{2}^{\mathrm{p}\mathrm{f}}$=62.5%,因为包括常用的6种Copula函数在内的Gaussian、t、Copula、Clayton、Frank、Gumbel、AMH、Joe、FGM、Gumbel-Barnett、Plackett、Cuadras-Auge、Shih-Louis、Cubic、Burr、Nelsen、Galambos、Fischer-Hinzmann、Roch-Alegre、Fischer-Kock、BB1和BB5等21种Copula函数具有C(u1,u2)=C(u2,u1)的性质,则必然存在丰枯遭遇概率Pfk=Pkf、Pkp=Ppk、Pfp=${{P}_{\mathrm{p}\mathrm{f}}}^{\left[\mathrm{14,33,54,57}\right]}$,可据此检验遭遇概率是否计算正确。

2.2 基于组合概率的径流丰枯补偿性评估指标体系

不同场景的丰枯遭遇概率作为引调水工程径流丰枯补偿性评估指标,尚且不能给出是否具有丰枯补偿性的结论。众多学者通过组合概率的方式构建了丰枯同步和丰枯异步、有利调水和不利调水等评估指标,可以据此定量评估补偿性的大小,得到是否具有丰枯补偿性的结论。

2.2.1 丰枯同步和丰枯异步评估指标

关于丰枯同步和丰枯异步组合概率的定义,现已达成高度共识,即区域间丰枯状态完全一致的情景为丰枯同步,否则为丰枯异步。以使用较多的基于二维Copula函数的单一水源区和受水区丰-平-枯三级划分标准时的9种遭遇情景为例[32,40,48],其定义如下。

$\left\{\begin{array}{l}{P}_{\mathrm{f}\mathrm{k}\mathrm{t}}={P}_{\mathrm{f}\mathrm{f}}+{P}_{\mathrm{p}\mathrm{p}}+{P}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}\\ {P}_{\mathrm{f}\mathrm{k}\mathrm{y}}={P}_{\mathrm{f}\mathrm{p}}+{P}_{\mathrm{f}\mathrm{k}}+{P}_{\mathrm{p}\mathrm{f}}+{P}_{\mathrm{p}\mathrm{k}}+{P}_{\mathrm{k}\mathrm{f}}+{P}_{\mathrm{k}\mathrm{p}}\end{array}\right.$

显然,Pfkt+Pfky=1,一般认为,当Pfky>50%时,区域间具有丰枯补偿性,且丰枯异步的概率越大,区域间丰枯补偿性越强,当遭遇场景超过9种时,此计算方法和判定标准同样适用[39]。

如前文所述,基于二维Copula函数使用保证率法可能得到Pfk=Pkf、Pkp=Ppk、Pfp=Ppf,结合式(3)计算组合概率时,会出现从A区域向B区域调水的丰枯同步概率、丰枯异步概率分别等于从B区域向A区域调水的概率,即${P}_{\mathrm{f}\mathrm{k}\mathrm{y}}^{\mathrm{A}\to \mathrm{B}}$=${P}_{\mathrm{f}\mathrm{k}\mathrm{y}}^{\mathrm{B}\to \mathrm{A}}$、${P}_{\mathrm{f}\mathrm{k}\mathrm{t}}^{\mathrm{A}\to \mathrm{B}}$=${P}_{\mathrm{f}\mathrm{k}\mathrm{t}}^{B\to \mathrm{A}}$,此时该方法无法体现出A区域和B区域之间水源区和受水区的差别,导致水源区和受水区之间的补偿关系不明晰。

2.2.2 有利调水和不利调水评估指标

目前,基于水源区和受水区将9种遭遇情景划分为有利调水和不利调水的方法尚未完全统一且使用较少。郑红星等[6]在2000年分析南水北调东中两线不同水文区降水丰枯遭遇性时提出Pfk、Pfp、Ppk和Ppp4种情景对引调水工程而言是较为有利和可行的,高月娇等[18]、叶津辰等[32]、吴茂琳等[48]沿用了此定义,而王智元等[20]、冯平等[39]和王荣等[40]则认为除了上述4种情景外,水源区和受水区同为丰水时,代表了最理想的调水条件,即Pff也代表了有利调水的概率。据此总结出有利调水和不利调水的组合概率计算方法为

$\left\{\begin{array}{l}{P}_{\mathrm{y}\mathrm{l}}={P}_{\mathrm{f}\mathrm{f}}+{P}_{\mathrm{f}\mathrm{p}}+{P}_{\mathrm{f}\mathrm{k}}+{P}_{\mathrm{p}\mathrm{p}}+{P}_{\mathrm{p}\mathrm{k}}\\ {P}_{\mathrm{b}\mathrm{l}}={P}_{\mathrm{p}\mathrm{f}}+{P}_{\mathrm{k}\mathrm{f}}+{P}_{\mathrm{k}\mathrm{p}}+{P}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}\end{array}\right.$

显然,Pyl+Pbl=1,当Pyl>Pbl时,两区域之间具有径流丰枯补偿性。此外,基于二维Copula函数将丰枯等级划分为5级,有利调水的概率计算可以参见陈锋等[19]和王晓颖等[14]的研究;基于三维Copula函数将丰枯等级划分为3级,有利调水的概率计算可以参见Huang等[38]的研究;基于四维Copula函数将丰枯等级划分为3级,可以参见冯平等[39]的研究。若仅通过各个水源区之间的径流序列评估引调水工程有利调水和不利调水的能力,可以参见王智元等[20]的研究。

和丰枯同步与丰枯异步组合概率一样,使用保证率法得到各区域的丰枯等级划分临界值,也可能得到Pfk=Pkf、Pkp=Ppk、Pfp=Ppf,按照式(4)计算组合概率时,会出现从A区域向B区域调水的有利调水概率、不利调水概率分别等于从B区域向A区域调水的概率,即出现${P}_{\mathrm{y}\mathrm{l}}^{\mathrm{A}\to \mathrm{B}}$=${P}_{\mathrm{y}\mathrm{l}}^{\mathrm{B}\to \mathrm{A}}$、${P}_{\mathrm{b}\mathrm{l}}^{\mathrm{A}\to \mathrm{B}}$=${P}_{\mathrm{b}\mathrm{l}}^{\mathrm{B}\to \mathrm{A}}$的情况,此时该方法无法体现出A区域和B区域之间水源区和受水区的差别,导致水源区和受水区之间的补偿关系不明晰。

至此,基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估理论方法和指标体系已基本形成,可以得到如图1所示的技术流程图。

3 基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估结果分析与总结

3.1 丰枯遭遇概率计算结果分析

在丰枯遭遇概率计算结果中,Pff和Pkk明显更大,目前的研究比较关心的是Pkk的值,认为其代表极端枯水条件下最不利调水事件发生的概率。在南水北调东线,叶津辰等[32]和刘为锋等[33]指出,水源区大通站和受水区五大湖之间的Pkk在不同的时间尺度介于13.0%~17.0%;在南水北调中线,闫宝伟等[5]、熊其玲等[36]、陈锋等[19]和陈茜茜等[34]的研究结果表明,汉唐遭遇、汉黄遭遇和汉海遭遇在不同时间尺度下Pkk的大小分别介于25.5%~30.1%、21.4%~26.4%、14.7%~19.6%;在南水北调西线,丁志宏等[41]和王智元等[20]使用断面径流数据发现水源区和受水区在不同时间尺度的Pkk介于11.4%~25.3%,王荣等[40]使用水源区和受水区274个气象站点实测降水数据,得到西线工程Pkk介于9.7%~16.1%。此外,滇中引水[45]、引江济淮[14]、引汉济渭工程[18]和黔中调水[42]等主要引调水工程的Pkk大多介于10%~20%。综上,引调水工程发生枯-枯遭遇的可能性是存在的,区域间距离越远、大气环流和下垫面条件差异越大,发生枯-枯遭遇的可能性就越小,如何给出枯-枯遭遇情景下的实时调度方案,是未来研究需要着重解决的难题之一。

3.2 基于组合概率的径流丰枯补偿性评估结果分析

3.2.1 丰枯同步与丰枯异步评估结果分析

在南水北调东线工程,叶津辰等[32]基于实测径流资料,发现大通站与五大湖丰枯异步概率均大于60.0%,刘为锋等[33]基于径流数据指出大通站与洪泽湖丰枯异步概率为59.7%,可见南水北调东线工程水源区和受水区之间具有较强的丰枯异步补偿能力。

在南水北调中线工程,闫宝伟等[5]使用16个雨量站实测降水数据发现汉唐遭遇、汉黄遭遇的丰枯异步概率分别为39.64%、44.58%,汉海遭遇则为59.98%;熊其玲等[36]使用28个雨量站实测降水数据则发现水源区与受水区在年尺度的丰枯异步概率为50.8%,在二季度、三季度和四季度的平均值为50.97%,仅在一季度丰枯异步概率为41.3%;陈锋等[19]使用752个站点的降水数据,指出汉唐遭遇、汉黄遭遇和汉海遭遇在年尺度上的丰枯异步概率分别为53.15%、64.12%和77.53%;陈茜茜等[34]则使用ERA5再分析降水数据,指出水源区和受水区之间在汛期和非汛期丰枯异步的概率为66.71%和68.17%;综合以上研究成果,可见南水北调中线工程水源区和受水区之间是具有丰枯异步补偿能力的。

近年来,不少学者对处于规划论证阶段的南水北调西线工程进行了丰枯异步补偿能力评估。冯平等[39]和丁志宏等[41]使用道孚、足木足、绰斯甲及兰州站等4个水文站近40年的天然径流系列,分别使用四维Copula函数和二维Copula函数,指出南水北调西线工程水源区和受水区河流之间的丰枯异步概率分别为72.2%和56.6%;王荣等[40]使用274个气象站点实测降水数据,发现水源区和受水区丰枯异步频率普遍在60%以上,王智元等[20]使用径流数据,分别计算3种工程方案的丰枯异步概率分别为48.0%、52.2%和50.4%。虽然南水北调西线工程具体工程方案还未确定,但是从上述分析可知,西线工程水源区和受水区之间具有丰枯异步补偿能力。

关于滇中引水工程,何静等[44]就水源区4个站点、受水区11个站点1960—2021年的降水数据,发现其年尺度丰枯异步的概率为36.7%;陈晶等[45]则基于水源区石鼓水文站和受水区黄坪、小黄瓜园、蔡家村、西山、南桥水文站1960—2020年的逐月天然流量,指出其丰枯异步概率介于60.3%~65.3%,陈晶等[45]使用的数据更具代表性,方法也比较严谨,能真实反映滇中引水工程水源区和各受水区之间的径流丰枯异步补偿能力。此外,引江济淮工程[14]在全年、汛期和枯期丰枯异步的概率为54.5%、52.5%和52.2%;引汉济渭工程[18]在全年、汛期和枯期的丰枯异步概率介于54.1%~57.2%,还有沭河至付疃河调水工程[28]、黔中调水工程[42]、禹门口调水工程[46]和西江干流与粤西诸小河调水工程[58]等引调水工程的水源区和受水区之间都具有一定的径流丰枯异步补偿能力。

综合上述实例评估结果可以总结出在降雨-产流条件相似和能力较强的时间地点,径流序列的丰枯异步概率较小,丰枯异步补偿能力较弱,即丰枯异步概率在跨流域、长距离引调水工程中能取得较大值。当使用降水数据评估引调水工程径流丰枯补偿性时,如果使用的站点数量较少且分散稀疏时,可能会因为降水数据代表性不足导致评估结果不准确[5,44]。

3.2.2 有利调水和不利调水评估结果分析

在南水北调东线工程中,叶津辰等[32]指出水源区大通站与五大受水区在年尺度的有利调水概率介于53.0%~54.0%,在非汛期的有利调水概率介于52.0%~54.0%;刘为锋等[33]的研究也表明大通站与洪泽湖之间在年尺度、汛期和非汛期的有利调水概率介于53.2%~53.8%,说明南水北调东线工程水源区和受水区之间是有利调水的。

就南水北调中线工程而言,陈锋等[19]得到不同时间尺度的汉唐遭遇、汉黄遭遇、汉海遭遇的最有利调水概率(水源区为丰水、偏丰、平水,而受水区为平水、偏枯、枯水)分别介于27.6%~27.8%、31.2%~33.2%、33.4%~38.6%,陈茜茜等[34]使用ERA5再分析降水数据得到的最有利调水概率在汛期和非汛期分别为30.6%和29.21%,若按照式(4)计算有利调水概率,则陈锋等[19]和陈茜茜等[34]的计算结果均大于50%;根据熊其玲等[36]的丰枯遭遇概率和式(4)计算得到的有利调水概率在全年和四季均大于70%。综合以上分析,可以说明南水北调中线工程水源区和受水区之间也是有利调水的。

就南水北调西线工程而言,王晓颖等[14]的研究表明道孚、绰斯甲、足木足3个水源区水文站分别与受水区兰州水文站按照式(4)计算得到的有利调水概率分别为52.8%、52.7%和52.4%,而冯平等[39]使用相同的数据,基于三维Copula函数下的有利调水指标定义,指出有利于调水的丰枯遭遇概率可达77.8%。王智元等[20]使用三维Vine Copula函数得到西线工程3种调水方案的有利调水概率分别为62.3%、63.3%和69.3%;而王荣等[40]基于南水北调西线工程区域内274个国家气象站1961—2022年逐日降水资料,按照式(4)计算得到的全年和四季有利调水概率介于51.6%~59.6%。通过以上分析可知,虽然西线工程还未确定最终调水方案,但水源区和受水区之间是有利于调水的。

吴辉明等[42]和唐珊珊等[43]基于黔中调水工程水源区和受水区的长序列降水资料计算出丰枯遭遇概率,按照式(4)计算得到的有利调水概率介于50.1%~56.2%,滇中引水工程[45]水源区和不同受水区之间的有利调水概率介于53.2%~53.5%,引江济淮工程[14]在年尺度、汛期和枯期有利调水的概率分别为72.7%、73.7%、73.9%,引汉济渭工程[18]利调水的概率则介于60.4%~62.7%。此外,沭河至付疃河调水工程[28]、禹门口调水工程[46]和西江干流与粤西诸小河调水工程[58]等工程有利调水的概率都大于50%,说明这些工程都是调水有利的。

现有结果表明,使用丰枯同步与丰枯异步、有利调水与不利调水等两套常用的引调水工程径流丰枯补偿性评估指标得到的结论往往是一致的,只是从不同的角度阐述了补偿能力的大小。

4 讨论与展望

虽然基于二维Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估已经形成了较为成熟的理论方法和指标体系,但是伴随着气候变化和人类活动的影响,引调水工程在规划论证和运行管理中遇到的径流丰枯遭遇情景越来越复杂多变,应根据需要改进升级Copula函数建模方法和评估指标体系,进一步探索其在实际工程调度中的应用。

(1)Copula函数的类型及其参数估计。目前规划的引调水工程大多线路复杂,水源区和受水区的划分灵活多变,二维Copula函数很难满足研究需要,亟须研发高维Copula函数及其参数拟合工具箱,构建基于高维Copula函数的径流丰枯补偿性评估理论方法和指标体系。现有研究主要通过直接使用高维Copula函数[38,47]、将高维联合分布分解为一系列二维Copula函数[20]等方法进行多区域径流丰枯补偿性评估,但是存在Copula函数类型较少和拟合精度不佳等问题[68],基于高维Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估指标体系也不够完善。

(2)非一致性条件下的Copula函数建模方法研究。受气候变化和人类活动影响,径流序列的一致性可能遭到破坏,深入开展非一致性条件下的Copula函数建模方法研究变得越来越重要[26]。在建模分析前,需要对径流序列进行变异诊断,当径流序列一致性遭到破坏时,可以采用分段构建联合分布[50]、时变Copula函数[26,49]和似然比率法(conditional likelihood ratio,CLR)[48]等方法构建非一致性条件下引调水工程径流丰枯补偿性评估模型,分析比较径流序列变异前后的丰枯补偿性评估指标变化情况。相关方法还存在不同区域径流序列变异诊断结果不一致、时变Copula函数法和似然比率法求解难度较大等困难。

(3)评估结果的不确定性分析。基于Copula函数的径流丰枯补偿性评估结果不仅受数据来源及其类型、径流序列时间长度、丰枯等级划分标准等输入因素影响[26],还受Copula函数类型选取、参数估计方法、拟合优度检验等技术方法影响,进行评估结果的不确定性分析可以更加深刻地认识区域间径流丰枯补偿性大小[61]。目前关于评估结果不确定性分析的成果还比较少,实际上,Sadegh等[60]研发的Copula函数工具箱MhAST可以基于贝叶斯框架定量评估参数估计的不确定性程度。

(4)引调水工程径流丰枯补偿能力变化的归因分析。使用Copula函数可以从概率统计的角度指出丰枯补偿能力的演变规律,可在此基础上进行归因分析,进一步探索其变化的物理机制。相关研究已取得的成果较少,吴茂琳等[48]采用小波分析法分析大气环流因子与径流序列相依结构之间的遥相关关系,揭示不同丰枯组合事件的影响因子;高月娇等[18]用CLR构建动态相依结构序列,并用小波相干性分析遥相关因子对丰枯遭遇变化的影响,发现年和汛期的丰枯遭遇概率变化主要受北极涛动影响,在非汛期的变化主要由厄尔尼诺现象主导。

(5)极端枯水条件下的引调水工程调度问题。引调水工程虽能在一定程度上缓解区域间水资源短缺问题,但是当水源区和受水区同时出现极端枯水时,引调水工程的运行调度将面临巨大考验[5,14,20,32-33,40]。在数字孪生赋能水利高质量发展的背景下,应强化Copula函数模型在极端枯水条件下的调度分析能力,通过建立多水源联合优化调度模型,进一步打通各个区域间的水量调配和库容补偿能力,通过工程措施与非工程措施结合,保障极端枯水条件下的供水保障能力。

5 结论

现有研究初步构建了基于Copula函数的引调水工程径流丰枯补偿性评估的理论方法和指标体系,并基于大量实例分析,充分论证了中国南水北调、引汉济渭和滇中引水等主要引调水工程在径流丰枯补偿能力方面的优势,为工程规划设计和运维调度提供了必要性支撑和可行性指导。在系统梳理现有研究的基础上,得到的主要结论如下。

(1)评估的区域与要素。现有研究大多基于二维Copula函数评估引调水工程单一水源区和单一受水区之间的径流丰枯补偿性,仅部分研究使用高维Copula函数评估同一引调水工程多个水源区之间、多个水源区和多个受水区之间的径流丰枯补偿性。评估要素以径流数据和降水数据为主,若评估要素的一致性遭到破坏,需建立非一致性条件下的评估模型。

(2)模型的建立与求解。现有研究大多使用相关指标法和极大似然法拟合Gaussian、t、Clayton、Frank、Gumbel和Ali-Mikhail-Haq(AMH)等6种Copula函数,建议使用免费开源Copula函数工具箱MhAST对26种二维Copula函数进行参数拟合,亟须研发基于高维Copula函数的参数拟合工具箱。

(3)指标的构建与选择。当丰枯异步概率大于丰枯同步概率、有利调水概率大于不利调水概率时,区域间具有径流丰枯补偿性。建议使用距平百分率法进行径流序列丰枯等级划分,避免得到的径流丰枯补偿性评估指标不能清晰地表达水源区和受水区之间的丰枯补偿关系;建议将丰-丰遭遇事件看作有利调水的情景,将其发生的概率纳入有利调水的组合概率中。

(4)实例评估的应用成效。中国南水北调、滇中引水、引汉济渭和引江济淮等引调水工程水源区和受水区之间都具有一定的径流丰枯补偿能力,其补偿能力的大小主要受大气环流、下垫面条件和人类活动的影响,在降雨-产流条件相似和能力较强的时间空间,径流序列的丰枯同步概率较大,有利调水的概率则受时间空间不同导致的水文异质性影响较大。

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基金资助

中国电力建设股份有限公司科技项目(DJ-HXGG-2025-02)

中国电力建设股份有限公司科技项目(DJ-ZDXM-2024-35)

中国电力建设股份有限公司科技项目(DJ-HXGG-2021-04)

中国电力建设股份有限公司科技项目(DJ-ZDXM-2021-45)

中国工程院-云南省政府院地合作重点项目(2024YNZH4)

云南省科技计划(202305AK340003)

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