山区卵砾石河道床面阻力的非完全自相似性

许晓阳; 王平; 张广明; 李婷; 郭彦; 耿旭

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2506763

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (21) :9235-9244 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2506763

水利工程

山区卵砾石河道床面阻力的非完全自相似性

许晓阳 ¹^,²^,³ ,
王平 ¹^,²^,³ ,
张广明 ¹^,²^,³ ,
李婷 ¹^,²^,³ ,
郭彦 ¹^,²^,³ ,
耿旭 ¹^,²^,³^,^*

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Incomplete Self-similarity Analysis of Bed Resistance in Mountainous Gravel-cobble Channels

XU Xiao-yang ¹^,²^,³ ,
WANG Ping ¹^,²^,³ ,
ZHANG Guang-ming ¹^,²^,³ ,
LI Ting ¹^,²^,³ ,
GUO Yan ¹^,²^,³ ,
GENG Xu ¹^,²^,³^,^*

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摘要

山区卵砾石河流床面阻力特性对泥沙运动力学的理论发展和水利工程的实际应用具有重要意义。与深水小粗糙度条件相比,浅水大粗糙度条件下的床面阻力规律更为复杂,以经典曼宁-斯特里克勒公式为代表的床面阻力系数公式难以直接应用。鉴于此,基于量纲分析方法,确定了浅水大粗糙度条件下床面阻力系数的函数关系式;基于非完全自相似原理,提出了一种新的床面阻力系数分析方法,建立了浅水大粗糙度条件下的床面阻力系数计算模型;以水槽实测数据和野外实测数据,对本文模型和文献中经典模型进行了参数率定,确定了各计算模型的最终表达式。采用实测资料对各模型进行了检验,结果表明:床面阻力系数可表示为相对光滑度、能坡和弗劳德数的指数函数;在不影响计算模型精度的情况下,表达式中相对光滑度可由雷诺数进行替换;本文模型的床面阻力系数计算精度最高,与文献中计算精度最高的Ferro模型相比,拟合优度提升了0.403%~0.413%,计算误差减小率为61.2%~63.7%(MER)和35.2%~36.5%(RMSE)。研究成果可为工程实际应用提供参考。

Abstract

The bed resistance characteristics of gravel-cobble rivers in mountainous areas are of great significance to the theoretical development of sediment transport mechanics and the practical application of water conservancy projects. Compared with the condition of small roughness in deep water, the law of bed resistance in shallow water with large roughness is more complex, and the classical Manning-Strickler formula is difficult to apply directly. In consideration of the aforementioned points, the functional relationship of the flow resistance coefficient in conditions of shallow water with substantial roughness was determined through dimensional analysis. Moreover, an analysis method for the flow resistance coefficient was proposed on the basis of the principle of incomplete self-similarity. This calculation model was established for the flow resistance coefficient in conditions of shallow water with substantial roughness. Based on the measured data of flume and field, the parameters of the model proposed and the classical model in the literature were calibrated, and the final expressions of the calculation models were determined. This process culminates in the determination of the final expressions for the calculation models. The findings indicate that the flow resistance coefficient can be expressed as an exponential function of the relative smoothness, the energy slope and the Froude number. Furthermore, it is demonstrated that the relative smoothness can be replaced by the Reynolds number without compromising the model’s precision. In comparison with the Ferro model which has the highest accuracy in the literature, the goodness of fit of the proposed model is improved by 0.403%~0.413%, and the calculation error is reduced by 61.2%~63.7% (MER) and 35.2%~36.5% (RMSE). The research results can provide reference for practical engineering application.

Graphical abstract

关键词

明渠流 / 浅水 / 大粗糙度 / 床面阻力 / 量纲分析 / 非完全自相似性

Key words

open-channel flow / shallow flow / large-scale roughness / flow resistance / dimensional analysis / non-complete self-similarity

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许晓阳, 王平, 张广明, 李婷, 郭彦, 耿旭. 山区卵砾石河道床面阻力的非完全自相似性[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(21): 9235-9244 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2506763

XU Xiao-yang, WANG Ping, ZHANG Guang-ming, LI Ting, GUO Yan, GENG Xu. Incomplete Self-similarity Analysis of Bed Resistance in Mountainous Gravel-cobble Channels[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(21): 9235-9244 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2506763

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床面阻力特性问题是河流动力学中的一个重要课题^[1],是研究河流泥沙运动^[2-4]、河床演变和水沙数值模拟^[5]等问题的重要基础,其中山区卵砾石河流床面阻力特性对山区的洪水及泥石流预测、河道整治、栖息地恢复、山地景观演变和生物地球化学循环过程等具有重要意义^[6-9]。床面阻力一般采用谢才系数、曼宁系数和达西-韦斯巴赫阻力系数来量化,阻力系数的表达式虽有不同,但三者之间可以相互转化^[1]。在河流动力学中,一般是以相对光滑度r/k_s为量化指标(r为水力半径,k_s为床面粗糙度),将床面粗糙尺度划分为大、中和小粗糙度,不同的床面粗糙尺度具有不同的流速分布形式,致使床面阻力规律存在较大差异。在床面大、小粗糙度划分时,不同学者给出了不同的划分标准,一般可根据Smart^[10]、Cheng^[11]的研究成果来简单划分,如大粗糙度条件可定义为床面坡度s>0.03或相对光滑度r/k_s<1,小粗糙度条件可定义为床面坡度s<0.03或相对光滑度r/k_s>4。对于大粗糙度条件下的床阻力特性研究,较为经典的是山区卵砾石河道的床面阻力特性研究。山区卵砾石河道往往具有大比降和大粗糙度的特征,河道的S形流速分布偏离了对数或指数型流速分布形式,使床面阻力规律不同于中、小粗糙度条件。为此,学者们针对上述问题开展了诸多研究工作,以期将床面阻力系数计算公式拓展至浅水大粗糙度条件。

在早期研究中,主要以幂律函数或半对数函数来计算床面阻力系数,如曼宁-斯特里克勒公式^[11]、寇利根公式^[1]和Hey公式^[12]等,各公式均可表示为相对光滑度r/k_s的函数。基于上述方法的床面阻力系数公式已在常规水力学问题中普遍应用,但仍存在以下问题:一是公式低估了大粗糙度条件下的床面阻力,如Cheng^[11]通过与实测资料对比发现,在大粗糙度的浅水流动条件下,曼宁-斯特里克勒公式和寇利根公式与实测资料偏差较大;二是相对光滑度与床面阻力系数相关性较差。针对幂律模型和半对数模型适用性不佳的情况,学者们主要做了两点工作:①提出不同的假设,以解释幂律模型和半对数模型不再适用的原因;②提出不同的计算模型,以提高模型的适用性。对于幂律模型和半对数模型不再适用的原因,目前尚未形成统一的理论共识,不同学者给出了不同的见解,如Rickenmann等^[13]、Papanicolaou等^[14]和Cheng^[11]认为传统的边界层理论不适用于大粗糙度的明渠流动,大粗糙度元素产生的湍流涡,增强了质量和动量传递,与沙粒阻力相比,能量耗散主要表现为形状阻力、尾流干扰和波动阻力等;Katul等^[15]、Armanini等^[16]、Gregoretti^[17]和Kazem等^[18]认为在大粗糙度条件下,水流垂线流速分布偏离了对数或指数流速分布形式,使原有的床面阻力系数计算公式与大粗糙度下的S形流速分布形式不相匹配;Luo等^[19]、Deal^[20]、Ferguson等^[21]、Nicosia等^[22]和Houseago等^[23]认为,在大粗糙度条件下,水流能量耗散主要取决于床面粗糙度元素的形状、排列、密度及附加的形状阻力,与大水深条件下的水流能量耗散存在较大差异。对于计算模型的适用性,学者们根据不同的理论基础,提出了不同的床面阻力系数计算模型,如Fruson模型^[24]、Rickenmann模型^[13]、Cheng模型^[25]、Pagliara模型^[26]、Ferro模型^[27-28]、Colosimo模型^[29]、Ferro模型(2003)^[30]和Mendicino模型^[31]等。总的来说,现有的研究还存在以下问题:一是各模型所采用的无量纲参数各不相同,各模型的适用性也不相同,需在同一标准下检验各模型的适用性;二是在相对光滑度r/k_s和雷诺数Re的使用上存在较大分歧,如Ferro模型^[27-28]、Colosimo模型^[29]、Ferro模型(2003)^[30]和Mendicino模型^[31],需进一步确定相对光滑度r/k_s和雷诺数Re与床面阻力系数的关系;三是床面阻力规律的理论阐释尚不清晰,使公式的适用性存在较大限制,需进一步从理论角度提出新的床面阻力系数计算模型。因此,如何从理论上评估大、中和小粗糙度河道的床面阻力仍然具有较大挑战性。

为了建立新的浅水大粗糙度条件下床面阻力系数计算公式,首先,基于量纲分析原理,确定浅水大粗糙度条件下床面阻力系数的主要影响参数;其次,基于非完全自相似原理,提出一种新的床面阻力系数分析方法,建立浅水大粗糙度条件下的床面阻力系数计算模型;再次,采用水槽实测数据和野外实测数据,对本文模型和文献经典模型进行率定,确定各模型的最终表达式;最后,采用水槽实测数据和野外实测数据对各模型公式进行检验。研究成果不仅可以进一步丰富河流动力学的基础理论,还可为山区河流的灾害防治和河道治理提供技术支撑。

1 理论分析

1.1 床面阻力系数

床面阻力一般采用谢才系数、曼宁系数和达西-韦斯巴赫阻力系数来量化,三者之间存在关系^[1],表达式为

(1)$\frac{C}{\sqrt{g}}$=$\frac{{r}^{1/6}}{\sqrt{g}}\frac{1}{n}$=$\sqrt{\frac{8}{f}}$=$\frac{U}{u{\mathrm{ }}_{\mathrm{*}}}$

式(1)中:C为谢才系数;g为重力加速度;r为水力半径;n为曼宁系数; f为达西-韦斯巴赫阻力系数;U为水流平均流速;u_*为摩阻流速。

对于床面阻力系数的计算,学者提出了诸多模型。在早期,一般是以幂律函数或半对数函数来表示床面阻力系数,如曼宁-斯特里克勒公式^[11]、寇利根公式^[1]和Hey公式^[12]等,公式表达式分别为

(2)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=a

${\left(\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}\right)}^{1/6}$

(3)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=b+b₁lg$\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}$

式中:a、b、b₁为常数系数;k_s为床面粗糙度,一般取为D₅₀或D₈₄,分别为累积频率曲线上纵坐标取值50%、84%时所对应的粒径值。

式(2)、式(3)是最为经典的床面阻力系数计算公式,可表示为相对光滑度r/k_s的函数,如图1所示。由图1可知,对于相同的相对光滑度,床面阻力系数落于较宽的数据带内,表明相对光滑度并不能完全反映床面阻力系数的变化规律。

针对上述问题,一些学者又提出了Fruson模型^[24]、Rickenmann模型^[13]、Cheng模型^[25]、Pagliara模型^[26]和Ferro模型^[27-28]等,各模型的表达式如表1所示。

Fruson模型^[24]:

(4)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=$\frac{{c}_{1}{c}_{2}\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}}{{\left[{c}_{1}^{2}+{c}_{2}^{2}{\left(\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}\right)}^{5/3}\right]}^{1/2}}$

式(4)中:c₁、c₂为常数系数。

Rickenmann模型^[13]:

(5)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=d

${\left(\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}\right)}^{{d}_{1}}{\left[1+{\left(\frac{r}{{d}_{2}{k}_{\mathrm{s}}}\right)}^{{d}_{3}}\right]}^{{d}_{4}}$

式(5)中:d、d₁、d₂、d₃、d₄为常数系数。

Cheng模型^[25]:

(6)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=$\sqrt{\frac{8}{A{\left(\frac{{k}_{\mathrm{s}}}{r}\right)}^{1/3}{\left[1+(1-{A}_{1})\frac{{k}_{\mathrm{s}}}{r}\right]}^{2}}}$

式(6)中:A、A₁为常数系数。

Pagliara模型^[26]:

(7)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=B(B₁s+B₂)+(B₁s+B₂)ln$\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}$

式(7)中:B、B₁、B₂为常数系数;s为能坡。

Ferro模型^[27-28]:

(8)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=${\left[\frac{{2}^{1-\lambda }R{e}^{\lambda }\frac{{C}_{1}F{r}^{{C}_{2}}}{{s}^{{C}_{3}}}}{(1+\lambda )(2+\lambda )}\right]}^{2(1+\lambda )}$

式(8)中:C₁、C₂、C₃为常数系数;Re=rU/ν为雷诺数,ν为运动黏滞性系数;Fr=U/

$\sqrt{gh}$

为弗劳德数;h为平均水深;λ=1.5/lnRe为雷诺数的函数。

式(2)~式(8)是较为经典的床面阻力系数计算模型。为便于分析,将各模型的主要影响因素汇总在表1,在表1中额外补充了Colosimo模型^[29]、Ferro模型(2003)^[30]和Mendicino模型^[31]。由表1可知,床面阻力系数的影响因素主要有弗劳德数Fr、相对光滑度r/k_s、能坡s和雷诺数Re等。

1.2 量纲分析

为简化起见,在床面阻力分析时做如下假设:①水流为明渠均匀流;②无泥沙输移;③无植被影响。根据上述假设,量纲分析结果表明,床面阻力系数^[26,29-31]可表示为

(9)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=F

$\left(Fr,\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}},s,Re\right)$

式(9)中:F(·)为函数关系式。式(9)表明床面阻力系数主要依赖于弗劳德数、相对光滑度、能坡和雷诺数。

Colosimo等^[29]、Graf等^[32]和Pagliara等^[26]认为在紊流粗糙区,雷诺数不影响床面阻力系数,因此,式(9)可表示为

(10)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=F

$\left(Fr,\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}},s\right)$

Ferro等^[27-28]通过自相似性评估认为,床面阻力系数为弗劳德数、能坡和雷诺数的函数,因此,式(9)可表示为

(11)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=F(Fr,s,Re)

式(10)和式(11)的主要区别在于相对光滑度和雷诺数。床面阻力系数^[21]还可以表示为

(12)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=$\frac{U}{{u}_{\mathrm{*}}}$=$\frac{U}{\sqrt{ghs}}$=$\frac{Fr}{\sqrt{s}}$

在式(12)的基础上,Pagliara等^[26]认为雷诺数不影响床面阻力系数,因此,式(9)可表示为

(13)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=F

$\left(Fr,\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}\right)$

(14)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=F

$\left(s,\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}\right)$

式(13)和式(14)的主要区别在于弗劳德数和能坡。式(10)、式(11)和式(13)、式(14)为浅水大粗糙度条件下的床面阻力系数函数关系。

2 非完全自相似原理

Cheng^[33]在解释完全相似和非完全相似原理时,提出了如下关系式,即存在一个自变量参数时,有

(15)y=F(x)

式(15)中:x、y为无量纲参数。

对于式(15),当x 趋近无穷大或无穷小时,y存在某个非零的极限值,则称为完全相似,若y不存在某个非零的极限值,则称为非完全相似。由式(10)、式(11)和式(14)、式(15)的函数关系可知,浅水大粗糙度条件下床面阻力系数与各无量纲参数的关系为非完全相似。

Cheng^[33]、程年生等^[34]在研究输沙率和水流挟沙力时,以非完全相似原理为基础,选择幂律函数模型来描述无量纲参数之间的关系,建立了各变量参数间的相互关系式。对于N个变量参数,各变量参数间的相互关系式为

(16)lnz_N=$\stackrel{1}{\sum _{{n}_{1}=0}}\stackrel{1}{\sum _{{n}_{2}=0}}$…$\stackrel{1}{\sum _{{n}_{N-1}=0}}{\alpha }_{{n}_{1}{n}_{2}\dots {n}_{N-1}}(\mathrm{l}\mathrm{n}{x}_{1}{)}^{{n}_{1}}$×$(\mathrm{l}\mathrm{n}{x}_{2}{)}^{{n}_{2}}$…$(\mathrm{l}\mathrm{n}{x}_{N-1}{)}^{{n}_{N-1}}$

式(16)中:z_N为因变量;x₁,x₂,…,x_N-1为自变量。

作为某一工况条件,当N=3和N=4时,变量参数间的关系式可分别表示为

(17)z₃=a₁

${x}_{1}^{{a}_{2}}{x}_{2}^{{a}_{3}\mathrm{l}\mathrm{n}{x}_{1}+{a}_{4}}$

(18)z₄=e₁

${x}_{1}^{{e}_{2}}{x}_{2}^{{e}_{3}+{e}_{4}\mathrm{l}\mathrm{n}{x}_{1}}{x}_{3}^{{e}_{5}+{e}_{6}\mathrm{l}\mathrm{n}{x}_{1}+{e}_{7}\mathrm{l}\mathrm{n}{x}_{2}+{e}_{8}\mathrm{l}\mathrm{n}{x}_{1}\mathrm{l}\mathrm{n}{x}_{2}}$

式中:a₁、a₂、a₃和a₄为常数系数;e₁、e₂、e₃、e₄、e₅、e₆、e₇和e₈为常数系数。

式(17)、式(18)分别为3个、4个变量参数之间的相互关系式。在式(16)~式(18)的应用过程中,公式的最终计算精度与各自变量的顺序无关。

3 床面阻力系数的计算公式

浅水大粗糙度条件下的床面阻力系数函数关系为式(10)、式(11)时,可采用相应的非完全自相似原理相互关系式(18),则床面阻力系数计算公式分别为

(19)

$\begin{array}{c}\sqrt{\frac{8}{f}}={e}_{1}F{r}^{{e}_{2}}{\left(\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}\right)}^{{e}_{3}+{e}_{4}\mathrm{l}\mathrm{n}Fr}{s}^{{e}_{5}+{e}_{6}\mathrm{l}\mathrm{n}Fr+{e}_{7}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}+{e}_{8}\mathrm{l}\mathrm{n}Fr\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}}\end{array}$

(20)

$\begin{array}{c}\sqrt{\frac{8}{f}}={e}_{1}F{r}^{{e}_{2}}R{e}^{{e}_{3}+{e}_{4}\mathrm{l}\mathrm{n}Fr}{s}^{{e}_{5}+{e}_{6}\mathrm{l}\mathrm{n}Fr+{e}_{7}\mathrm{l}\mathrm{n}Re+{e}_{8}\mathrm{l}\mathrm{n}Fr\mathrm{l}\mathrm{n}Re}\end{array}$

式(19)、式(20)中的常数系数e₁、e₂、e₃、e₄、e₅、e₆、e₇和e₈可由实测资料确定。式(19)是以弗劳德数、相对光滑度和能坡为变量的浅水大粗糙度条件床面阻力系数计算模型。式(20)是以弗劳德数、雷诺数和能坡为变量的浅水大粗糙度条件床面阻力系数计算模型。

浅水大粗糙度条件下的床面阻力系数函数关系为式(13)、式(14)时,可采用相应的非完全自相似原理相互关系式(17),则床面阻力系数计算公式分别为

(21)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=a₁F

${r}^{{a}_{2}}{\left(\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}\right)}^{{a}_{3}+{a}_{4}\mathrm{l}\mathrm{n}Fr}$

(22)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=a₁

${s}^{{a}_{2}}{\left(\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}\right)}^{{a}_{3}+{a}_{4}\mathrm{l}\mathrm{n}s}$

式(21)、式(22)中的常数系数a₁、a₂、a₃和a₄可由实测资料确定。式(21)是以弗劳德数和相对光滑度为变量的浅水大粗糙度条件床面阻力系数计算模型。式(22)是以能坡和相对光滑度为变量的浅水大粗糙度条件床面阻力系数计算模型。式(19)~式(22)为浅水大粗糙度条件下床面阻力系数的计算关系式。实际上,从上述推导过程来看,式(19)~式(22)包含因素较为全面,其应适用于大、中和小粗糙度条件下的床面阻力系数计算。

4 公式验证

4.1 床面阻力系数的实测资料

为检验浅水大粗糙度条件下床面阻力系数计算关系式(19)~式(22)的适用性,收集、整理了水槽实测数据(Recking^[35]的实测资料,及其收集的Gilber^[36]、Casey^[37]、Ho^[38]、Paintai^[39]、Cao^[40]、Graf等^[41]实测资料;Bathurst等^[42]的实测资料;Rice等^[43]的实测资料)及野外实测数据(Reid等^[44]、Mendicino等^[31]的实测资料)。实测资料的参数范围如表2所示。

由表2可知,傅汝德数的范围为0.06~2.01,相对光滑度的范围为0.27~111.29,能坡的范围为0.000 7~0.227,雷诺数的范围为1 224~840 525,实测资料基本涵盖了一般的工况条件,可更好地检验计算模型的适用性。实际上,在后续的公式应用过程中,也可由上述实测资料参数范围来确定公式的应用范围。

4.2 各模型与实测资料的比较

采用表2的实测资料,以式(19)~式(22)为公式结构,分别率定出浅水大粗糙度条件下床面阻力系数的经验方程为

(23)$\begin{aligned} \sqrt{\frac{8}{f}}= & 0.99397 F r^{1.01052}\left(\frac{r}{k_{\mathrm{s}}}\right)^{-0.0112-0.00536 \ln F r} \times \\ & s^{-0.50381+0.00645 \ln F r-0.00154 \ln \frac{r}{k_{s}}-0.00299 \ln F r \ln \frac{r}{k_{s}}} \end{aligned}$

(24)$\begin{aligned} \sqrt{\frac{8}{f}}= & 1.09937 F r^{1.31836} R e^{-0.00815-0.03046 \ln F r} \times \\ & s^{-0.46315+0.07287 \ln F r-0.00339 \ln R e-0.00681 \ln F r \ln R e} \end{aligned}$

(25)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=4.662 65Fr⁰^.^{743 22}

${\left(\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}\right)}^{0.341\mathrm{ }69-0.232\mathrm{ }47\mathrm{l}\mathrm{n}Fr}$

(26)$\sqrt{\frac{8}{f}}$=0.455 77s^-0^.^{478 09}

${\left(\frac{r}{{k}_{\mathrm{s}}}\right)}^{1.076\mathrm{ }49+0.156\mathrm{ }14\mathrm{l}\mathrm{n}s}$

式(23)~式(26)的计算值与实测值的对比如图2~图5所示,其中R为皮尔逊相关系数。由图2~图5可知,式(23)、式(24)与式(25)、式(26)相比,公式计算精度显著提升;图2、图3表明,相对光滑度和雷诺数的互换不会明显改变计算模型的计算精度;图4、图5表明,弗劳德数、相对光滑度组合比弗劳德数、能坡组合具有更好的适应性。图2、图3显示,Mendicino等^[31]实测资料的计算值和实测值稍显离散,从泥沙运动的随机性角度来看,原因在于其实测资料的选取是以希尔兹数小于临界希尔兹数为标准的,在床面阻力系数中包含了少量泥沙输移的影响,因此,会造成模型计算值与实测值存在一定的偏离。

5 讨论

5.1 各经典计算模型的检验

为证明本文模型的适用性,采用本文收集的实测资料,重新确定了计算模型式(2)~式(8)中的常数参数,率定结果如表3所示。

式(2)~式(8)计算模型的计算值与实测值的对比分别如图6~图12所示。由图6~图12可知,幂律模型^[11]、半对数模型^[12]、Fruson模型^[24]、Rickenmann模型^[13]、Cheng模型^[25]和Pagliara模型^[26]的适应性较差,无法完全反映床面阻力的变化规律,而Ferro模型^[27-28]的适应性最好,能够较好地反映床面阻力的变化规律。

总的来说,图2~图12可直观表明,在本文计算模型中,式(23)、式(24)的适应性最好;在文献计算模型中,Ferro模型的适应性最好;本文模型式(23)、式(24)与文献Ferro模型^[27-28]相比,本文模型的适用性更好。

5.2 各计算模型的精度评估

为量化本文模型的优越性,与幂律模型^[11]、半对数模型^[12]、Fruson模型^[24]、Rickenmann模型^[13]、Cheng模型^[25]、Pagliara模型^[26]和Ferro模型^[27-28]进行了精度对比,主要以拟合优度R²、平均相对误差(mean relative error,MER)和均方根误差(root mean squared error,RMSE)为指标来评价各计算模型的精度,计算结果如表4所示。

由表4可知,简单的幂律模型^[11]、半对数模型^[12]预测能力最差;分别以弗劳德数、能坡、相对光滑度组合和弗劳德数、能坡、雷诺数组合为变量时,床面阻力系数的计算精度显著提升;本文模型式(23)、式(24)的计算精度相当,表明在本文的实测资料范围内相对光滑度和雷诺数选择其一即可;本文模型式(23)、式(24)的计算精度最高,与文献中计算精度最高的Ferro模型^[27-28]相比,拟合优度提升了0.403%~0.413%,计算误差减小率为61.2%~63.7(MER)和35.2%~36.5%(RMSE);各计算模型精度由高到低依次为:式(24)>式(23)>Ferro模型^[27-28]>式(25)>Rickenmann模型^[13]>Fruson模型^[24]>式(26)>Cheng模型^[25]>Pagliara模型^[26]>半对数模型^[12]>幂律模型^[11]。

采用非完全自相似原理,建立了床面阻力系数计算模型,在公式率定过程中,各公式采用了相同的数据集,避免了因公式率定数据集不同而造成的计算精度差异。经过拟合优度R²、平均相对误差MER和均方根误差RMSE等指标的评价,显示本文计算公式计算精度最高,表明非完全自相似原理在床面阻力系数计算中具有优势。基于非完全自相似原理构建的床面阻力系数模型有着更加复杂的系数项和指数项,其由多个无量纲参量共同决定,实际上,往往是包含因素更多的模型适应性更好,这与杨洋等^[45]在分析渭河下游挟沙力模型的结论是一致的。以式(23)和经典的曼宁-斯特里克勒公式为例进行说明,曼宁-斯特里克勒公式^[11]中相对光滑度r/k_s的系数和指数均为常数,而式(23)中相对光滑度r/k_s的系数为弗劳德数的函数和指数为弗劳德数、能坡和相对光滑度的函数,显然式(23)的变化系数和变化指数更符合床面阻力系数的变化规律。这也意味着本文模型以非完全自相似原理构建的床面阻力系数模型具有更好的预测精度。

5.3 本文公式的实际应用

为证明本文计算模型的优越性,现将本文公式应用于黄河下游过渡型河段的床面阻力计算。张广明等^[46]在2023年黄河调水调沙期间在孙口水文站下游约1 km主河槽范围内展开野外测量,择机选择在6月24日、7月4日和7月16日对观测段的水力要素进行观测,床沙级配和水力坡降采用孙口水文站常规观测数据,其中孙口水文站位于黄河下游过渡型河段,下距陶城铺约34 km,是过渡型河段的代表水文站。鉴于式(23)和式(24)计算精度相当,在公式实际应用时以式(23)为例进行说明。实测数据和本文公式计算值如表5所示。

由表5可知,黄河下游过渡型河段实测资料的相对光滑范围为30 560.000 0~58 333.333 3,远远大于本文在公式验证时的0.27~111.29(表2),但本文公式的计算误差可控制在±18%以内,表明本文公式可应用于黄河下游过渡型河段的床面阻力计算,且公式具有良好的适用性,说明本文公式可应用于公式验证数据参数范围外的床面阻力计算。

为进一步证明本文计算模型的优越性,现将本文公式应用于明渠水槽的床面阻力计算。采用许晓阳^[47]开展的大粗糙度条件下床面阻力特性试验实测资料,其相对光滑度介于0.412 3~3.655 5。同样采用式(23)进行计算,计算结果如图13所示。

由图13可知,本文公式计算值与实测资符合良好,相对误差可控制在±6%以内。总的来说,上述野外应用实例和水槽应用实例表明,本文公式可同时适用于野外和水槽条件,这也进一步证明了本文公式的合理性和实用性。

6 结论

基于量纲分析原理和非完全自相似原理的深入分析,以及采用水槽实测资料和野外实测资料对本文和经典床面阻力计算公式的计算与比较,得出了以下主要结论。

(1)床面阻力系数可表达为相对光滑度和能坡的指数函数,系数为弗劳德数的幂函数,指数分别为弗劳德数的对数函数和弗劳德数、相对光滑度的对数函数。

(2)床面阻力系数还可表达为雷诺数和能坡的指数函数,系数为弗劳德数的幂函数,指数分别为弗劳德数的对数函数和弗劳德数、雷诺数的对数函数。

(3)弗劳德数、能坡、相对光滑度组合与弗劳德数、能坡、雷诺数组合相比,模型的计算精度相当,在不影响计算模型精度的情况下,相对光滑度可由雷诺数进行替换。

(4)分别以弗劳德数、能坡、相对光滑度组合和弗劳德数、能坡、雷诺数组合为变量时,床面阻力系数的计算精度显著提升,与文献中计算精度最高的Ferro模型^[27-28]相比,拟合优度提升了0.403%~0.413%(R²),计算误差减小率为61.2%~63.7%(MER)和35.2%~36.5%(RMSE)。

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