数据驱动的渗流控制方程稀疏辨识

张凯; 党大峰; 张黎明; 刘丕养; 姚军; 严侠

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2506681

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (11) :4486-4497 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2506681

力学

数据驱动的渗流控制方程稀疏辨识

张凯 ¹^,² ,
党大峰 ¹ ,
张黎明 ¹ ,
刘丕养 ² ,
姚军 ¹ ,
严侠 ¹^,^*

作者信息 +

Data-driven Sparse Identification of Seepage Control Equations

ZHANG Kai ¹^,² ,
DANG Da-feng ¹ ,
ZHANG Li-ming ¹ ,
LIU Pi-yang ² ,
YAO Jun ¹ ,
YAN Xia ¹^,^*

Author information +

文章历史 +

摘要

随着高性能计算和传感器技术的进步,从数据中直接识别物理规律已成为可能,数据驱动的偏微分方程辨识方法虽在多个领域展现出潜力,但其在渗流问题中的适用性与有效性仍有待系统评估。对此,采用基于稀疏回归的利用深度学习从含噪声、数据量有限的数据中发现偏微分方程 PDE(partial differential equations)-LEARN框架,系统辨识了一维线性、二维线性和一维非线性渗流控制方程,探究了数据量和噪声水平对辨识精度的影响。结果表明该框架在数据量有限和噪声环境下仍能准确辨识方程结构,且方程系数误差较低,此外适度噪声通过随机共振效应能够提升方程辨识性能。进一步通过构建含高阶导数项的测试案例,对比辨识方程和全连接神经网络的预测性能,发现前者在外推预测中表现出显著优势。最后,通过变直径填砂管渗流实验,对方法在真实物理过程中的适用性进行了验证,结果显示模型预测结果与实验结果高度一致,揭示了该方法在实际渗流建模问题中的潜力。

Abstract

With the advancement of high-performance computing and sensor technology, it has become possible to directly identify physical laws from data. Although data-driven methods for identifying partial differential equations have demonstrated potential in various fields, their applicability and effectiveness in seepage problems still require systematic evaluation. For this, the PDE(partial differential equations)-LEARN framework based on sparse regression was employed to systematically identify the governing equations for one-dimensional linear, two-dimensional linear, and one-dimensional nonlinear seepage flows. The impacts of data volume and noise level on identification accuracy were investigated. The results indicate that the framework can accurately identify the equation structure even with limited data and under noisy conditions, while maintaining low errors in equation coefficients. Moreover, moderate noise is found to enhance equation identification performance through the stochastic resonance effect. Furthermore, by constructing test cases containing high-order derivative terms, the predictive performance of the identified equations is compared with that of fully connected neural networks, revealing that the former exhibits significant advantages in extrapolation predictions. Finally, the method's applicability to real physical processes is validated through variable-diameter sand-filled tube seepage experiments. The results show that the model predictions are highly consistent with experimental data, demonstrating the potential of this approach in practical seepage modeling.

Graphical abstract

关键词

稀疏回归 / PDE辨识 / 渗流 / 数据驱动 / 噪声鲁棒性

Key words

sparse regression / PDE identification / seepage / data-driven / noise robustness

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张凯, 党大峰, 张黎明, 刘丕养, 姚军, 严侠. 数据驱动的渗流控制方程稀疏辨识[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(11): 4486-4497 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2506681

ZHANG Kai, DANG Da-feng, ZHANG Li-ming, LIU Pi-yang, YAO Jun, YAN Xia. Data-driven Sparse Identification of Seepage Control Equations[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(11): 4486-4497 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2506681

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达西定律自提出以来,已成为油气勘探、环境地质及水文工程等领域的理论基础。当前,渗流分析在能源开发中发挥着核心作用,尤其体现在非常规油气藏高效开采、复杂生产条件下的动态预测、微纳尺度多相渗流机理等关键技术领域^[1-3]。

传统上,渗流系统的研究主要依赖于基于第一性原理的机理分析方法,通过推导控制方程以揭示其内在物理机制,该方法对理解问题本质具有重要意义。然而,随着传感器网络与高性能计算(high-performance computing, HPC)技术的快速发展,大规模、高精度渗流数据的采集已成为现实,推动了数据驱动建模方法在渗流力学中的兴起^[4-5]。

近年来,随着机器学习和深度学习方法的发展,研究者开始尝试以数据驱动的方式对渗流过程进行建模,其研究路径主要分为两类。一类是基于深度学习的渗流建模方法,如物理信息神经网络(physics-informed neural network, PINN),该方法通过数据驱动的方式学习渗流系统的输入和输出关系,可用于地下水流动、油气渗流及多相流等问题的预测,即便在缺乏完备方程或边界条件信息时,也能获得较好的压力与饱和度场结果,但可解释性较弱,在外推预测中的稳定性仍存在不足^[6-8]。

另一种是基于稀疏回归的数据驱动方程辨识方法,可直接从时空观测数据中恢复控制方程的结构与物理参数,具有较强的可解释性和外推能力,为渗流过程的建模与机理分析提供了新的途径。

目前,数据驱动的偏微分方程(partial differential equation, PDE)辨识已发展出多种方法,其中稀疏回归是应用最为广泛的核心算法。该领域的开创性工作之一是Brunton等^[9]提出的非线性动力学稀疏辨识(sparse identification of nonlinear dynamics, SINDy)算法,该算法成功应用于含有噪声的非线性动力系统的测量数据中并辨识出了其潜在的常微分方程,为解决更具挑战性的偏微分方程问题开辟了道路。随后,Rudy等^[10]基于序列阈值岭回归(sequential thresholded ridge regression, STRidge)算法,构建了一种名为PDE-FIND(partial diﬀerential equations functional identiﬁcation of nonlinear dynamics)的稀疏回归框架,能够仅依据时空测量数据自动辨识复杂系统的控制方程。然而,该方法对数据质量及采样点密度有严苛要求。为解决此问题,Stephany等^[11]提出了一种名为PDE-LEARN的PDE辨识框架,通过深度融合有理神经网络与自适应稀疏回归,并结合三段式训练策略自主筛选主导项,解决了强非线性系统中的项筛选失真、系数误差放大及数据稀疏性等问题。

得益于稀疏回归等控制方程辨识方法的快速发展,近年来,其在科学与工程领域的应用备受关注^[12-14]。针对地下水渗流问题,Chang等^[15]基于最小绝对收缩选择算子(least absolute shrinkage and selection operator, LASSO),通过结合稀疏回归、分区学习策略和噪声鲁棒的导数计算方法,成功辨识了非均质多孔介质中的地下水流动与污染物迁移方程。Jin等^[16]基于STRidge算法,在不同边界条件、数据量和噪声水平下,成功辨识了非线性瞬态传热过程的控制方程。江昊等^[17]基于PDE-FIND与LASSO方法,通过优化候选库构建、克服分组效应及优化流场区域策略,解决了强非线性Navier-Stokes方程辨识中的项筛选失真、系数误差放大与数据信息密度不足的问题,在四种典型流场中实现了高精度的稀疏辨识。Zeng等^[18]通过DLGA(deep learning and genetic algorithm)-PDE框架,首次从微观模拟数据中发现了黏性重力流短期行为的宏观控制方程,并揭示了现有理论模型因忽略垂向流动而导致的预测偏差。Song等^[19]利用稀疏回归方法,仅凭体积含水量数据即自动发现了土壤水分流动控制方程,为从数据层面直接识别关键物理参数提供了可行路径。

尽管数据驱动的PDE辨识方法已在多个领域展现出潜力,但其在渗流问题中的适用性尚缺乏系统性的评估。为此,现基于PDE-LEARN框架,对典型渗流问题的控制方程辨识进行系统研究。在一维、二维线性及一维非线性模型中,分析数据量与噪声水平对方程辨识精度的影响,并以包含高阶导数项的偏微分方程为测试案例,验证所辨识方程的稳定性与外推性能。此外,为验证方法在真实物理过程中的有效性,开展变直径填砂管单向渗流实验。基于实验测得的压力数据进行方程辨识与数值预测,并将模型预测结果与实验观测值进行对比,旨在验证数据驱动方程辨识方法在渗流问题中的适用性与外推能力,为数据驱动的渗流建模提供新思路。

1 渗流控制方程的辨识方法

1.1 渗流物理模型与数学描述

为了从数据中辨识渗流控制方程,首先考虑以下三种典型的渗流物理模型,即

(1)$\frac{\partial p}{\partial t}$=$\frac{k}{{\varphi }_{0}\mu {C}_{\mathrm{r}}}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial {x}^{2}}$

(2)$\frac{\partial p}{\partial t}$=$\frac{1}{{\varphi }_{0}\mu {C}_{\mathrm{r}}}\left({k}_{xx}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial {x}^{2}}+{k}_{yy}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial {y}^{2}}\right)$

(3)$\frac{\partial p}{\partial t}$=$\frac{1}{{\varphi }_{0}\mu {C}_{\mathrm{r}}}\frac{\partial }{\partial x}\left[k\left(p\right)\frac{\partial p}{\partial x}\right]$

式中:p为孔隙压力;t为时间;x、y为空间坐标;k为渗透率,在式(1)中被假定为常数;φ₀为参考孔隙度;μ为流体动力黏度;C_r为孔隙压缩系数;k_xx和k_yy分别为x和y方向上的主渗透率,且均为常数。

上述方程描述了弹性多孔介质中不可压缩单相流体的等温渗流过程。式(1)为一维线性达西渗流控制方程;式(2)为二维线性达西渗流控制方程;式(3)为一维非线性渗流控制方程,其渗透率k(p)被视为压力p的函数,以描述压力敏感性效应,可用函数来描述为

(4)k(p)=k₀

${\mathrm{e}}^{\alpha (p-{p}_{0})}$

式(4)中:α为压力敏感系数;p₀为参考压力;k₀为压力p₀下的渗透率常数。针对压力扰动较小的渗流问题,渗透率k(p)可简化为

(5)k(p)=k₀[1+α(p-p₀)]

1.2 数据驱动的方程辨识原理

传统上,数据驱动的PDE辨识问题可被建模为一个线性回归问题^[9],故在数据驱动的PDE稀疏辨识框架中,首先需要构建一个由连续压力场p及其各类偏导数项组成的候选函数库,其中p在时空点(t,x,y)处的取值记为p(t,x,y)。例如,一个典型二维问题的候选函数库可表示为

(6)$\begin{aligned} \boldsymbol{\Theta}(p)= & {\left[1, p, p^{2}, \cdots, p_{x}, p p_{x}, p^{2} p_{x} \cdots,\right.} \\ & p_{x x}, p p_{x x}, p^{2} p_{x x}, \cdots, p_{y}, p p_{y}, \\ & \left.p^{2} p_{y}, \cdots, p_{y y}, p p_{y y}, p^{2} p_{y y}, \cdots\right] \end{aligned} $

式(6)中:p_x =

$\frac{\partial p}{\partial x}$

、p_y =

$\frac{\partial p}{\partial y}$

、p_xx =

$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial {x}^{2}}$

、p_yy =

$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial {y}^{2}}$

;Θ(p)表示基于连续压力场p构建的候选函数库。

由此,上述三种渗流控制方程可用通用形式表示为

(7)p_t=Θ(p)ξ

式(7)中:p_t = ∂p/∂t,表示连续压力场p对时间的一阶偏导数;ξ为候选函数项所对应的稀疏系数向量,ξ中的大部分元素为0,仅有与真实控制方程主导项对应的少数元素为非零。

给定在q个采样时刻t_i(i = 1,2,…,q)和n×m个空间采样点(x_j,y_k)(j = 1,2,…,n; k = 1,2,…,m)处的压力观测值p(t_i,x_j,y_k),将所有时空采样点处的压力观测值p(t_i,x_j,y_k)按固定顺序排列并组成列向量P,并将压力观测值对时间的一阶偏导数p_t(t_i,x_j,y_k)按相同顺序组成列向量P_t,则式(7)可改写为

(8)P_t=Θ(P)ξ

式(8)中:Θ(P)表示基于观测值排列组成的列向量P构建的候选函数库。

设M为候选函数库中总项数,候选函数库中第m项记为θ_m(P),其中m = 1,2,…,M。式(8)还可写为

(9)$\left[\begin{array}{l}{P}_{\mathrm{t},1}\\ {P}_{\mathrm{t},2}\\ ︙\\ {P}_{\mathrm{t},\mathrm{i}}\\ ︙\\ {P}_{\mathrm{t},\mathrm{N}}\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{llll}1& {P}_{1}& \dots & [{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{M}}{\left(P\right)]}_{1}\\ 1& {P}_{2}& \dots & [{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{M}}{\left(P\right)]}_{2}\\ ︙& ︙& & ︙\\ 1& {P}_{i}& \dots & [{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{M}}{\left(P\right)]}_{i}\\ ︙& ︙& & ︙\\ 1& {P}_{N}& \dots & [{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{M}}{\left(P\right)]}_{N}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\xi }_{1}\\ {\xi }_{2}\\ ︙\\ {\xi }_{m}\\ ︙\\ {\xi }_{M}\end{array}\right]$

式(9)中:N=n×m×q,表示时空采样点数;[θ_M(P)]_i为基于列向量P构建的候选函数库Θ(P)中第M个候选项θ_M(P)在第i个时空采样点处的取值;P_i为P在第i个时空采样点处的取值;P_t_,_i为P_t在第i个时空采样点处的取值。

由此,辨识控制方程的问题便转化为从式(9)中求解一个最优的稀疏系数向量ξ。为此,需要从预设的候选函数库中选择一组关键项来最小化残差R,表达式为

(10)$\min _{\xi}\|\boldsymbol{R}\|_{2}^{2}=\min _{\xi}\left\|\boldsymbol{P}_{t}-\boldsymbol{\Theta}(\boldsymbol{P}) \boldsymbol{\xi}\right\|_{2}^{2}$

通常可采用标准的最小二乘法优化系数ξ来降低残差,但会得到一个稠密的解,不仅计算成本高昂,也违背了控制方程内在的稀疏性物理假设。

1.3 基于稀疏回归的PDE-LEARN辨识框架

为了在PDE的辨识过程中实现系数的稀疏化同时增强对噪声的鲁棒性,采用由Stephany等^[11]提出的PDE-LEARN框架。它利用神经网络来近似PDE的解,能够在高噪声、稀疏的实验数据中稳健地辨识出稀疏的偏微分方程。

具体而言,PDE-LEARN的总损失函数Loss由数据拟合项损失Loss_Data、偏微分方程残差项损失Loss_Coll和稀疏正则化项损失Los

${\mathrm{s}}_{\mathrm{L}}^{p}$

加权构成,各项损失的权重系数在训练的不同阶段进行动态调整。其中:Loss_Data用于度量神经网络预测的压力值

$\stackrel{\wedge }{p}$

(t_i,x_j,y_k)与含噪声的压力观测值

$\stackrel{~}{p}$

(t_i,x_j,y_k)之间的均方误差(mean squared error, MSE),其中t_i为第i个采样时刻,(x_j,y_k)为空间采样点的坐标;Loss_Coll是PDE残差项损失,该项通过最小化PDE的残差,强制神经网络P的输出满足由稀疏系数ξ参数化的方程形式,最小化此损失项,可确保所学得的函数在整个问题域内都符合PDE约束;Loss^p_L是稀疏正则化项损失,该项的目标是通过引入一个近似的L^p范数(0≤p≤2)来惩罚稠密的系数向量,从而引导模型发现稀疏解。

2 渗流控制方程的辨识结果与分析

为了通过PDE-LEARN框架辨识渗流控制方程,使用Comsol Multiphysics软件生成渗流物理模型的压力场数据集,鉴于实际工程数据中普遍存在的噪声干扰,通过对观测值叠加高斯白噪声构建含噪数据集。对于原始压力观测值p(t_i,x_j,y_k),构建含噪声的压力观测值

$\stackrel{~}{p}$

(t_i,x_j,y_k)的方法为

(11)$\tilde{p}\left(t_{i}, x_{j}, y_{k}\right)=p\left(t_{i}, x_{j}, y_{k}\right)+q \epsilon \operatorname{std}(p)$

式(11)中:$\in$~N(0,1)代表标准正态分布的随机噪声样本;std(p)为原始信号的标准差;噪声水平系数q∈[0,1]则控制了噪声能量与信号能量的相对比例。

本文中,定义q=1为“100%噪声水平”,以此作为模拟实际渗流数据中极端噪声情况的量化基准。

2.1 一维线性渗流控制方程的辨识

在本节中,模拟详细设置如下,k = 0.2 μm²,μ= 1 mPa·s,φ₀ = 0.25,C_r= 8×10^-4 MPa^-1。两端采用定压边界条件,模拟空间区域为[0 m,10 m],空间步长为0.1 m,共101个空间点;时间区域为[0 s,10 s],时间步长为0.1 s,共101个时间点;共10 201个时空数据点。

基于上述设置,通过数值求解即可生成一维线性渗流的完整数据集,该数据集被视为真实解,其压力在整个时空域内的分布如图1所示。

2.1.1 不同数据量下方程辨识

训练数据量是影响数据驱动方法辨识精度的关键因素之一。为系统性地评估该影响,分别从完整数据集中随机抽取了10%、5%、0.5%及0.1%的数据点,构成四个训练子集。随后,将PDE-LEARN框架应用于这四个子集,以辨识其潜在的控制方程,随机抽取的数据点如图2所示。

方程的辨识结果如表1所示,对不同采样比例的时空数据点进行了测试,以评估该算法对数据量的鲁棒性。从结果可以看出,当数据采样比例从10%逐渐减少至0.5%时,算法均能准确辨识出正确的控制方程,且系数误差在1.05%~1.36%的较低水平。上述结果表明,在无噪声的数据质量条件下,该算法的性能对数据量并不敏感。即使仅使用总数据量的0.5%,算法依然能稳定地找到正确的偏微分方程,证明了其在数据量有限情况下的高效性。然而,当采样比例进一步降至0.1%时,算法辨识出的方程形式发生了显著变化,无法辨识出正确的方程结构,这说明存在一个数据量的临界值,低于此值算法性能会急剧下降。

2.1.2 不同噪声水平下方程辨识

噪声水平是影响数据驱动方法辨识精度的关键因素之一。为系统性地评估该影响,基于10%采样比例的数据集构建了四个不同噪声水平的渗流观测数据集,噪声水平分别为5%、25%、50%和100%,应用PDE-LEARN框架来辨识其潜在的渗流控制方程。方程的辨识结果如表2所示。

如表2所示结果显示,当数据中的噪声水平从5%提升至100%时,辨识出的系数误差并非单调增加。在噪声水平为5%时,系数误差为1.15%。然而,噪声水平进一步提升至25%时,系数误差反而降低至0.69%,低于无噪声数据集上测试得到的系数误差1.05%。

上述现象表明,在特定条件下,适量的随机噪声可能会帮助数据驱动的辨识算法避免陷入局部最优解,从而提升整体的辨识性能。

然而,当噪声水平进一步提高,系数误差会明显增加,在50%和100%噪声水平下,系数误差分别为3.02%和3.33%。但即使在100%的极端噪声水平下系数误差也仍在5%以内。

2.2 二维线性渗流控制方程的辨识

在本节中,对二维线性渗流进行模拟,模拟详细设置如下:k_x = 0.1 μm²,k_y = 0.05 μm²,μ = 1 mPa·s,φ₀ = 0.25,C_r= 4×10^-3 MPa^-1。两端采用定压边界条件,模拟空间区域为[0 m,10 m]×[0 m,10 m],x、y方向上空间步长均为0.1 m,共10 201个空间点;时间区域为[0 s,100 s],时间步长为1 s,共101个时间点;共1 030 301个时空数据点。

基于上述参数可求解生成二维线性渗流的完整数据集,其不同时刻压力云图如图3所示。

2.2.1 不同数据量下方程辨识

在本节中,同样随机抽取10%、5%、0.5%及0.1%的时空数据点构成四个训练子集并进行方程辨识,方程的辨识结果如表3所示。

从表3中结果可以看出随着采样比例的逐渐降低,辨识性能基本呈现出一致的下降趋势。当采样比例为10%时,系数误差为(4.2%,2.0%),随着采样比例的下降,系数误差变为(3.3%,3.6%)和(8.0%,5.4%),整体误差水平上升。相比较一维线性渗流方程的辨识,二维情形下方程辨识对数据量的依赖性显著增强,显然数据维度的提升,大大增加了方程辨识的难度。

2.2.2 不同噪声水平下方程辨识

在本节中基于10%采样比例的二维线性渗流数据集构建了四个不同噪声水平的渗流数据集。噪声水平分别为5%、25%、50%和100%,然后同样进行方程辨识,方程辨识结果如表4所示。

从表4结果可以看出在5%的低噪声水平下,辨识结果的系数误差出乎意料地处于一个较高水平。然而,在噪声水平为25%时,系数误差却明显降低且低于无噪声数据集上测试得到的误差,这与不同噪声水平下一维线性渗流方程的辨识结果得到的规律基本相似。总体来说,二维方程辨识结果的系数误差要明显比一维情况下系数误差高得多。

其次,二维模型辨识结果中两项的系数误差并不是同步的,在50%的噪声水平下,y方向上的扩散项系数误差相对25%噪声水平时的误差显著增加,x方向的扩散项系数误差相对稳定,这说明不同方向上的物理特征可能对噪声敏感性不同。

2.3 一维非线性渗流控制方程的辨识

本节中,模拟详细设置如下:k₀ = 0.04 μm²,α = 0.5 MPa^-1,p₀= 1 MPa,μ = 1 mPa·s,φ₀ = 0.25,C_r= 8×10^-4 MPa^-1。两端采用定压边界条件,模拟空间区域为[0 m,10 m],空间步长为0.1 m,共101个空间点;时间区域为[0 s,10 s],时间步长为0.1 s,共101个时间点;共10 201个时空数据点。

基于上述参数可求解一维非线性渗流的完整数据集,其压力在整个时空域内的分布如图4所示。

2.3.1 不同数据量下方程辨识

同样从完整数据集中随机抽取10%、5%、0.5%及0.1%的数据点,构成四个训练子集并进行方程辨识。随机抽取的数据点如图5所示。

在Comsol Multiphysics软件中,渗透率k(p)按照式(4)所示指数形式进行设置,然而在实际辨识过程中,PDE-LEARN框架所得方程的各项与将渗透率k(p)近似为式(5)所示线性形式推导得到的控制方程各项一致,这表明该方法能够在不显式提供渗透率函数形式的情况下,从数据中自动辨识出与线性近似模型相符的控制方程结构。

根据表5所示结果可知,当数据采样比例为10%、5%时,算法均能正确辨识出方程的各项包括非线性项,然而当采样比例进一步降低至0.5%时,辨识结果中的方程结构虽然仍包含关键的非线性项,但二阶导数项未能正确辨识。与前述一维线性渗流方程、二维线性渗流方程在不同采样比例下的方程辨识结果进行对比,发现非线性项的引入使得方程辨识对数据量的依赖性增强。因此,在实际应用中,应根据问题的复杂程度和非线性特征,合理评估所需的数据量,以确保辨识结果的可靠性。

2.3.2 不同噪声水平下方程辨识

在本节中基于10%采样比例的一维非线性渗流数据集构建了四个不同噪声水平的渗流数据集。噪声水平分别为5%、25%、50%和100%。然后同样进行方程辨识,方程辨识结果如表6所示。

从表6结果可以看出,与一维线性以及二维线性渗流方程在不同噪声水平下的辨识结果类似,一维非线性渗流方程的辨识性能也受到噪声水平的显著影响。

在噪声水平为5%时,辨识结果的系数误差分别为(15.8%,6.9%,4.8%)。然而,当噪声水平增加到25%时,系数误差反而显著降低至(3.5%,0.7%,0.8%)。这一有趣的现象与之前对线性渗流方程的分析结果一致,并且在其他相关研究中也得到了印证。

例如,Xu等^[20]在利用深度学习辨识参数化偏微分方程时也观察到,对于伯格斯方程(Burgers' equation),5%和10%噪声下的辨识误差低于使用无噪声数据时的结果。这种适度噪声反而有益的现象,在机器学习领域被称为随机共振(stochastic resonance)效应,其背后的机理在于,噪声的引入可以等效于一种正则化手段,帮助数据驱动的辨识算法在优化过程中探索更广阔的参数空间,从而有效跳出局部最优解,收敛到更精确的结果^[21]。

当然,上述提到的这种积极作用是有限度的,当噪声水平进一步提高到50%和100%时,辨识结果的系数误差也随之明显增大,这表明过高的噪声会淹没数据中的有效物理信息,最终导致辨识精度明显下降。

3 含高阶导数项偏微分方程的辨识与预测分析

基于前述对一维和二维渗流问题的研究,PDE-LEARN框架在处理经典渗流控制方程上展现了良好的辨识性能。然而,在实际工程中,数据驱动模型的最终价值不仅体现在对已知数据的拟合能力,更体现在对未来状态的预测能力。为了深入探讨不同数据驱动范式在外推性能上的根本差异,将对比以下两种核心思路。

首先是纯数据驱动的函数逼近方法,以全连接神经网络(fully connected neural network, FCNN)为代表,该方法旨在学习输入(x,t)到输出p的直接映射关系,而不探究其内在的物理机理。其次是数据驱动的物理规律发现方法,以PDE-LEARN框架为代表,物理规律发现方法旨在从数据中辨识出生成这些数据的底层控制方程,构建一个具有物理解释性的模型。

3.1 模型构建与数据生成

首先,构建的含高阶导数项的线性PDE为

(12)$\frac{\partial p}{\partial t}$=α$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial {x}^{2}}$+β

$\frac{{\partial }^{3}p}{\partial {x}^{3}}$

式(12)中:p(x,t)为在空间位置x和时间t上的压力;α = 0.1 m²/s和β = 0.2 m³/s均为各项系数。

为评估两种方法对边界突变效应的响应灵敏度,引入了动态边界条件。模拟的前3 s,区域两端均采用封闭边界条件。从第3秒开始,左边界(x = 0 m)设置为定压力梯度边界条件,其压力梯度为2 MPa/m,而右边界则保持封闭边界条件。

根据谱方法求解得到该PDE的完整数据集,其压力在整个时空域内的分布如图6所示。

构建的FCNN模型以时空坐标(x,t)作为输入,压力p作为输出,包含一个输入层,一个输出层,四个隐藏层。四个隐藏层的神经元数量依次为256、512、512、256,所有隐藏层均采用ReLU激活函数。

3.2 结果分析

为了对比两种方法,使用真实数据集中[0 s,5 s]时间段的数据集作为训练集,对于纯数据驱动方法训练了一个FCNN模型,对于物理规律发现方法则应用PDE-LEARN框架辨识控制方程。PDE-LEARN框架最终辨识出的PDE为

(13)$\frac{\partial p}{\partial t}$=0.094 0$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial {x}^{2}}$+0.187 4$\frac{{\partial }^{3}p}{\partial {x}^{3}}$

通过对PDE-LEARN辨识的方程进行求解,得到了如图7所示的压力时空分布图,FCNN模型的压力时空分布如图8所示。

结果显示,FCNN的预测结果在训练数据区域内(t∈[0 s,5 s])与真实解吻合度高,其均方根误差(root mean square error, RMSE)仅为0.005 1 MPa。然而,在外推预测阶段(t∈[5 s,15 s]),FCNN的RMSE急剧增加至0.249 5 MPa。

根据PDE-LEARN辨识得到的方程进行求解所得结果在训练数据区域内的RMSE为0.016 1 MPa,但在外推预测阶段的RMSE仅为0.034 8 MPa,且误差在整个时空域内分布均匀,有效避免了FCNN在边界区域出现的局部误差集中现象。

由上述分析可知,基于物理约束的方程辨识方法不仅能够准确重构复杂方程结构及其系数,辨识得到的方程还在外推预测场景中表现出显著的稳定性和可靠性,凸显了其在工程应用中的巨大潜力。

4 达西渗流实验的控制方程辨识

在前文中,对于数值模拟生成的数据,PDE-LEARN框架展现了良好的方程辨识与预测能力。为进一步验证该方法在真实物理过程中的适用性与鲁棒性,基于变直径填砂管单向渗流实验装置开展了瞬态渗流实验。通过对不同时间与空间位置下的压力实测数据进行方程辨识与预测分析,旨在探讨PDE-LEARN框架在真实渗流条件下对控制方程形式与参数的恢复能力,并对模型的预测性能进行定量评估。

4.1 实验装置与测试方案

实验采用变直径填砂管单向渗流实验装置,实验装置示意图和实物图分别如图9和图10所示。

装置主要部件功能:测压管1~10主要用于记录沿程不同位置的压力;供液阀11与供液筒12共同组成供液系统,用于维持恒定供液压力;溢流管13用于稳定液面;供液控制阀14用于调节流量;粗段水平单向填砂渗流管15和细段水平单向填砂渗流管17主要用于构建变直径渗流通道;支架16用于支撑整个装置;出口控制阀18用于调节出口端压力与流量;量筒19用于测量流体流量。

如图9示意图所示,装置整体结构为两段串联填砂管,填砂管粗端直径为9.0 cm,长度为52.0 cm,填砂管细端直径为4.5 cm,长度为51.0 cm。沿流动方向共设置10个测压点,以获取变直径填砂管内压力沿程分布信息,为更准确反映粗、细段交界处的压力变化,第5、6号测压管间距缩短为3.0 cm,其余相邻的测压点中心间距约为12.5 cm。

虽然实验装置为变直径结构,但本研究的重点并非分析不同地层间的渗透率差异。为保证研究条件的可控性,两段填砂管均填充相同砂样,保持一致的渗透率与孔隙结构,因此可将系统视为渗透率均质,但填砂管直径可变的一维渗流系统。

实验采用密度约875 kg/m³、黏度约0.03 Pa·s的流体作为工作介质。填砂介质在低应力范围内具有弱可压缩性。

实验系统整体处于大气环境中,所有压力均以表压(相对大气压)计,实验开始前,管内充满流体并处于静止状态,沿程各测点压力均为0 Pa。实验开始时,在入口端施加恒定压力5 000 Pa,出口端保持与大气连通。在0~40 s时间段内记录沿程10个测压点的压力数据。采样时刻为3、8、13、18、23、27、30、35、40 s,为后续控制方程辨识与预测分析提供数据。

4.2 方程辨识结果分析

基于前述的测试方案,测得了0~40 s时间段内9个时间快照、10个空间测点的压力数据,共计90个压力数据点。

这些数据反映了体系在恒定边界压力条件下的非稳态渗流过程,如图11所示为实验测得的压力沿程分布随时间的演化规律。可以看出,压力沿流向由入口向出口逐渐衰减,并随时间推移逐步趋于稳定,第30秒后,各曲线之间的差异显著减小,压力随时间变化缓慢,说明压力扩散过程基本完成。

此外,从空间分布来看,压力曲线在后半段(细管区域)斜率明显增大,说明该区域的压力梯度更大。这是由于装置两端压力恒定、流体不可压缩,沿程流量保持一致,而细管段截面积较小,故压力梯度随之增大,体现出典型的变截面积非稳态达西渗流特征。

4.2.1 PDE-LEARN方程辨识结果

利用前8个时间快照的10个测点的压力数据(共80个压力数据点)作为输入,基于PDE-LEARN框架对系统的控制方程进行辨识。经稀疏回归筛选后,算法辨识出的控制方程为

(14)$\frac{\partial p}{\partial t}$=D$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial {x}^{2}}$=0.006 8$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial {x}^{2}}$

由于实验数据中的空间与时间变量分别以米和秒为单位,且压力单位在方程两侧相互抵消,因此辨识得到的导压系数D = 0.006 8 m²/s。

本实验的10个测压点分布在粗、细两段填砂管内,数据覆盖了整个流动区域。由于两段填砂管的渗透率与孔隙结构一致,而直径在各段内为常数,体系可视为在不同截面积下的分段一维达西流动。PDE-LEARN在全域数据上进行拟合,所辨识出的方程可理解为在平均意义下的有效压力扩散方程,其导压系数D反映了体系的扩散能力。由于导压系数仅与介质和流体物性有关,而与几何边界无关,因此该导压系数值可直接用于描述变直径填砂管的整体压力扩散行为,并用于后续数值求解验证。

4.2.2 基于辨识方程的数值求解

将辨识得到的导压系数D代入变截面积达西渗流方程

(15)$\frac{\partial p}{\partial t}$=$\frac{D}{A\left(x\right)}\frac{\partial }{\partial x}\left[A\left(x\right)\frac{\partial p}{\partial x}\right]$

式(15)中:A(x)为渗流管在轴向位置x处的截面积分布。对于由大直径段与小直径段组成的变直径填砂管,可近似取分段常数:在粗段为A₁,在细段为A₂;数值求解时在段间界面自动满足压力与流量连续条件。

基于此方程,采用与实验一致的边界条件和初始条件,进行数值求解以获得压力的时空分布。求解所得压力在整个时空域内的分布如图12所示,可以看出,压力沿流向逐渐衰减并随时间扩散至全域,整体趋势与实验数据一致。数值求解所得压力分布曲线如图13所示,可与实验所得压力曲线直接对比。

4.2.3 模型预测与实验对比

在前述研究中,已将前8个时间快照的数据作为PDE-LEARN框架的输入,用于控制方程的辨识。为进一步验证模型的外推能力,本节选取未参与训练的第9个时间快照(第40秒)的实验数据作为独立验证集,对辨识方程的预测性能进行评估。

如图14所示为t=40 s时的数值求解结果(连续曲线)与实验测得压力(散点)的对比情况。可以看出,模拟所得压力曲线与实验数据整体吻合较好。

同时为了定量评估模型的预测精度,计算了RMSE、归一化均方根误差(normalized root mean square error, NRMSE)以及纳什效率系数(Nash-Sutcliffe efficiency coefficient, NSE)。

计算所得RMSE=0.19 kPa、NRMSE=3.93%、NSE=0.98,说明t=40 s时模型的压力预测结果与实验测量值高度一致,PDE-LEARN辨识得到的扩散方程能够准确刻画体系的非稳态渗流特征,并表现出良好的时间外推预测能力。

5 结论

基于PDE-LEARN框架,对典型渗流问题的控制方程辨识进行了系统性研究。通过对一维线性、二维线性及一维非线性模型的分析,评估了数据驱动方程发现方法在不同数据量与噪声水平下的表现,并进一步探讨了其在复杂方程与真实渗流实验中的外推预测能力。得到如下主要研究结论。

(1)在无噪声或低噪声条件下,即使训练数据量减少至总数据量的0.5%,即一维问题仅需约51个数据点,二维问题约5 152个数据点,仍能准确辨识出一维及二维线性渗流控制方程的结构与系数;对于非线性渗流问题,在数据量充足,即使用总数据量的5%(约510个数据点)进行训练时,也能较好地还原方程形式。

(2)数据量的减少会降低方程辨识的稳定性,尤其对非线性系统影响更为显著;适量噪声(如25%)由于随机共振效应反而提升辨识精度,但过高噪声(≥50%)会导致系数误差显著增大。

(3)相比纯数据驱动的神经网络模型,基于稀疏回归辨识出的控制方程在外推预测中表现出更优的稳定性和准确性,尤其能有效避免边界区域误差累积问题。

(4)在变直径填砂管非稳态达西渗流实验中,基于有限实测压力数据准确辨识出控制方程及导压系数。数值求解结果与实验数据高度吻合(RMSE=0.19 kPa、NRMSE=3.93%、NSE=0.98),验证了数据驱动的方程辨识方法在真实渗流体系中的有效性。

综上,针对渗流领域,对先进的数据驱动方程发现方法进行了一次系统的评估,清晰揭示了其鲁棒性、局限性及其在外推预测中的不可替代价值。该方法在数值模拟与实验验证中均表现出较高的精度、稳定性以及外推性,为复杂渗流问题提供了一种高效且可解释的建模途径。未来可进一步拓展至多相流、非牛顿流体及非均质介质渗流问题。

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基金资助

国家自然科学基金(52474067)

国家自然科学基金(52441411)

国家自然科学基金(52325402)

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Received	Published	Revised
2025-09-16	2026-04-18	2025-11-27
Online Date
2026-06-08

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