基于修正ACM理论与新型变桨规律的垂直轴风力机翼型优化设计

汪泉; 倪杨; 王晓迪; 左明浩; 程鹏

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2506609

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (17) :7272-7282 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2506609

能源与动力工程

基于修正ACM理论与新型变桨规律的垂直轴风力机翼型优化设计

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Airfoil Optimization Design for Vertical Axis Wind Turbines Based on Modified ACM Theory and Novel Variable Pitch Law

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摘要

针对目前垂直轴风力机变桨控制与翼型相互独立的串行设计,不能最大限度地提升风力机的气动性能,提出了基于Beddoes-Leishman(B-L)模型和零风速阻力系数的修正致动圆柱模型(actuator cylinder model, ACM),并通过试验数据验证了该修正模型的准确性。其次,提出了基于修正ACM模型与新型双正弦变桨规律的垂直轴风力机翼型优化设计方法,并利用粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)对其进行优化设计,采用类别形状函数变换(class-shape transformation, CST)方法对翼型进行参数化表征,以CST系数及变桨三角函数系数作为设计变量,以功率系数的最大化为目标函数进行优化。优化结果表明:优化得到新翼型,其最大升力系数相比原始翼型提升了9.60%,平均升阻比相比原始翼型增加了20.82%。相比零桨距角和原始翼型的垂直轴风力机,同步优化翼型和变桨距角的垂直轴风力机,其功率系数为0.352 2,提升了20.66%。同步优化变桨距规律与翼型对性能提升的效果显著,验证了该方法的可行性,为垂直轴风力机变桨距规律与翼型的设计提供了新的思路。

Abstract

Aiming at the current serial design where the variable pitch control and airfoil of vertical axis wind turbines (VAWTs) are independent of each other, which fails to maximize the aerodynamic performance of wind turbines, a modified actuator cylinder model (ACM) based on the Beddoes-Leishman (B-L) model and the zero wind speed drag coefficient was presented. The accuracy of this modified model was verified by experimental data. Secondly, an airfoil optimization design method for VAWTs based on the modified ACM model and the novel dual-sinusoidal variable pitch regulation law was proposed. The particle swarm optimization (PSO) algorithm was used for the optimization design, and the class-shape transformation (CST) method was adopted to realize the parametric characterization of the airfoil. Taking the CST coefficients and variable pitch trigonometric function coefficients as design variables, and maximizing the power coefficient as the objective function, the optimization was carried out. The optimization results show that the new airfoil obtained by optimization has a maximum lift coefficient increases by 9.60% compared with the original airfoil, and an average lift-drag ratio increased by 20.82% compared with the original airfoil. Compared with the VAWT with zero pitch angle and original airfoil, the VAWT with synchronously optimized airfoil and variable pitch angle has a power coefficient of 0.352 2, which is increased by 20.66%. The synchronous optimization of variable pitch law and airfoil has a significant effect on performance improvement, verifying the feasibility of this method and providing a new idea for the design of variable pitch law and airfoil for VAWTs.

Graphical abstract

关键词

垂直轴风力机 / 致动圆柱模型 / 优化算法 / 翼型 / 变桨距规律

Key words

vertical axis wind turbine / actuator cylinder model / optimization algorithm / airfoil / variable pitch law

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汪泉, 倪杨, 王晓迪, 左明浩, 程鹏. 基于修正ACM理论与新型变桨规律的垂直轴风力机翼型优化设计[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(17): 7272-7282 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2506609

WANG Quan, NI Yang, WANG Xiao-di, ZUO Ming-hao, CHENG Peng. Airfoil Optimization Design for Vertical Axis Wind Turbines Based on Modified ACM Theory and Novel Variable Pitch Law[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(17): 7272-7282 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2506609

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垂直轴风力机(vertical axis wind turbine, VAWT)具有结构简单、安装简易便捷、成本低、寿命长、工作噪声小等特点。翼型设计是目前垂直轴风力机研究的重点之一。优异的气动性能(如高升力系数和高升阻比)不仅能降低风机的启动风速,还能在相同风速下显著提升发电效率。因此,翼型气动外形的优化设计至关重要。

近年来,国内外学者使用不同方法对翼型进行了设计优化。赵杰等^[1]以多岛遗传算法为核心,耦合翼型参数化、网格生成及计算流体力学(computational fluid dynamics, CFD),以升阻比为优化目标构建模型,并开发自动优化流程,旨在完成翼型优化设计与气动性能分析,获得适用于垂直轴风力机的优化翼型。Bedon等^[2]提出了一种包含遗传优化器、CFD计算、适应度计算器和翼型生成的循环算法优化方法,并将其应用于开发一种新的翼型。新翼型在正攻角的失速区附近表现出比原始翼型更高的升力系数,且比原始翼型产生了更大的扭矩。Ferreira等^[3]推导了升力斜率和阻力的函数表达式,并使用遗传算法结合推导出的函数表达式来优化垂直轴风力机翼型,在优化时采用感应场的势流解和XFOIL软件来计算翼型气动性能。结果表明,优化出的翼型具有更高的功率系数和升力斜率。Santos等^[4]探讨了基于神经网络的参数化方法,将为垂直轴风力机优化的最优翼型与NACA0015和NACA 0021这两种常用翼型相比,结果表明最优翼型使风机性能分别提高了20.5%和9.1%。Davari等^[5]在MATLAB中利用双致动盘多流管模型(double-multiple stream tube, DMST)进行优化,通过调整 NACA0015 翼面的厚度与弯度 (t、c) 提高了峰值C_p,从而使最大C_p提高了12.50%。然而,以上研究在设计优化翼型时均是基于零变桨的固定桨距角,并未考虑到使用变桨距角对优化翼型气动性能的影响。

对于垂直轴风力机的桨距角,同样也引起了各国学者的注意,并对其展开了持续研究。Zhang等^[6]计算了垂直轴风力机在运行时叶片最大切向力所对应的攻角,并利用此攻角得到变桨距规律。同时使用MATLAB中Cftool工具箱的傅里叶函数拟合变桨距规律,讨论了拟合曲线与X轴的角度对切向力的影响。结果表明:最优的变桨距规律的功率系数相比未变桨提升了14.56%。Guo等^[7]通过动态调整垂直轴风力机不同区域的桨距角,优化了各区域叶片的空气动力性能。各区域最佳桨距角的组合显著提高了VAWT的性能。赵振宙等^[8]以改善小攻角方位角叶片气动性能为出发点,提出的新型变桨方式提升了最大功率系数,增加了风机高性能覆盖区域。Xu等^[9]利用DMST模型获得的最佳叶片桨距角,在此基础上研究了最佳叶片桨距函数。最后进行了风洞试验,将最佳叶片桨距函数与固定桨距、正弦变桨距进行对比,发现最大功率系数提升了78%。Jain等^[10]利用DMST研究了正弦变桨距规律的幅值对不同叶尖速比下风机功率系数的影响。结果表明:在较大的风速和叶尖速比范围内,正弦变桨距规律的振幅必须随风速和叶尖速比的变化而变化,才能最大限度地提高功率系数。高约35°振幅的正弦变桨距规律在叶尖速比低于0.5时效果最好,当叶尖速比大于2.0时,变桨距规律的振幅应降至约10°。Li等^[11]提出了用5个控制参数表示最优变桨距规律的通用公式,构建了由遗传算法和CFD仿真模块组成的变桨距自动优化平台。同时也使用变桨距自动优化平台优化了单一正弦变桨距规律的幅值。结果表明:通用公式优化变桨距可使两种不同弦长VAWT的平均功率系数分别提高0.177和0.317。对于较低的叶尖速比,虽然优化正弦变桨距的功率系数要低于通用公式,但仍高于零变桨距。

近些年,也已有学者意识到了翼型与变桨控制串行设计的局限性,尝试开展两者的协同优化。如de Tavernier等^[12]在考虑翼型的气动性能和结构性能,利用气动和结构目标函数用于优化翼型形状的同时,尝试将翼型设计与变桨控制深度耦合。使用致动圆柱模型 (actuator cylinder model, ACM)和涡流模型分析了优化翼型与优化变桨距规律。结果表明变桨与翼型的协同优化使风机的性能有明显提升。

上述研究在VAWT翼型优化设计及变桨控制等方面均做出了重要贡献。但仍有两个问题值得研究。其一,目前对于ACM理论在预测VAWT性能时仍有一定偏差,与试验数据相比,其理论计算结果往往偏高。因此,有必要对经典的ACM理论模型进行修改。现将B-L动态失速模型与零风速阻力系数引入ACM理论模型中,试图提高ACM模型的准确性。其二,目前的变桨控制采用单一正弦函数,且只通过改变函数的幅值进而优化风机性能,提升效果并不理想。现提出一种新的正弦变桨方式,即在风机的顺风区和逆风区采用不同的正弦变桨距规律。并将该变桨控制函数耦合到VAWT翼型廓线气动优化中去,实现VAWT叶片变桨角与二维翼型的同步优化设计方法。通过MATLAB编制基于修正ACM理论的VAWT气动性能计算程序,将粒子群优化算法与ACM程序相结合,采用类别形状函数变换 (class-shape transformation, CST)方法表达翼型的廓线,以最大化功率系数为目标函数,对风机新型正弦变桨方式与翼型进行同步优化,并对优化结果进行评价。以期为垂直轴风力机桨距角与翼型优化设计提供参考。

1 垂直轴风力机ACM理论

1.1 ACM理论计算流程

致动圆柱模型是一种用于模拟垂直轴风力机性能的准稳态欧拉模型。它最早由H.A.Madsen于1983年提出^[13]。该模型将水平轴风力机(horizontal axis wind turbine,HAWT)致动盘的概念扩展到 VAWT中。如图1所示,在ACM中,反作用力 Q_n和Q_t是由叶片法向力及切向力F_n和F_t产生,同时Q_n和Q_t分别是垂直于和相切于风机平面的体积力,并作用于气流。而叶片力F_n和F_t又取决于流场中的诱导速度,因此,Q_n和Q_t所引起的速度可以通过分析计算得出。

步骤1 ACM坐标系如图1所示。在自由流风速V_∞下,X轴与自由流风向重合,Y轴与之垂直。方位角从Y轴的正向开始沿逆时针方向测定,假设风机沿逆时针方向旋转。最初,AC被划分成N段,每段的长度均为Δθ=2π/N。通常情况下N=36,Δθ=10°。控制点设置在每一段的中点,控制点的属性表示相应截面的属性。为了避免在计算诱导速度时出现奇点误差,通过乘以一个小比例因子f,将这些控制点略微移到AC的内部或外部,比例因子一般为±5%。控制点的坐标为

(1)θ_i=iΔθ-$\frac{1}{2}$Δθ

(2)x_j=-fsin(jΔθ-$\frac{1}{2}$Δθ)

(3)y_j=fcos(jΔθ-$\frac{1}{2}$Δθ)

式中:i,j=1,2,…,N,i为方位角编号,j为控制点编号。

步骤2 方位角θ_i上的载荷对控制点(x_j,y_j)速度的影响程度由影响系数${R}_{{w}_{x}}$和${R}_{{w}_{y}}$描述,定义为

(4)${R}_{{w}_{x}}$(i,j)= ${\int }_{{\theta }_{i}-\frac{1}{2\mathrm{\Delta }\theta }}^{{\theta }_{i}+\frac{1}{2\mathrm{\Delta }\theta }}\mathrm{ }\frac{-({x}_{j}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i}+({y}_{j}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i}}{({x}_{j}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i}{)}^{2}+({y}_{j}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i}{)}^{2}}$dθ

(5)${R}_{{w}_{y}}$(i,j)= ${\int }_{{\theta }_{i}-\frac{1}{2\mathrm{\Delta }\theta }}^{{\theta }_{i}+\frac{1}{2\mathrm{\Delta }\theta }}\mathrm{ }\frac{-({x}_{j}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i}+({y}_{j}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i}}{({x}_{j}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i}{)}^{2}+({y}_{j}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{i}{)}^{2}}$dθ

这些影响系数仅取决于所选的控制点数量和方位角度,因此可以在迭代之外进行计算。

步骤3 计算每个方位角位置的局部流动条件并迭代,直到诱导速度w_x和w_y完全收敛。

局部速度V_x、V_y与法向、切向速度V_n、V_t是风速V_∞、旋转速度ω和诱导速度w_x、w_y的总和。

(6)V_x=V_∞+V_∞w_x_,_i+V_∞λcosθ_i

(7)V_y=V_∞w_y_,_i+V_∞λsinθ_i

(8)V_n=V_xsinθ_i-V_ycosθ_i

(9)V_t=V_xcosθ_i+V_ysinθ_i

根据局部速度,可获得相对速度V_r和攻角α分别为

(10)V_r= $\sqrt{{V}_{\mathrm{n}}^{2}+{V}_{\mathrm{t}}^{2}}$ = $\sqrt{{V}_{x}^{2}+{V}_{y}^{2}}$

(11)α=tan^-1$\left(\frac{{V}_{\mathrm{n}}}{{V}_{\mathrm{t}}}\right)$-θ_p

式中:θ_p为桨距角。

并由此计算出叶片法向力及切向力F_n、F_t和反作用力 Q_n、Q_t。

(12)C_n(α)=C_l(α)cosα+C_d(α)sinα

(13)C_t(α)=C_l(α)sinα-C_d(α)cosα

(14)F_n(θ)=0.5ρc${V}_{\mathrm{r}}^{2}$C_n

(15)F_t(θ)=0.5ρc${V}_{\mathrm{r}}^{2}$C_t

(16)Q_n(θ)=B $\frac{{F}_{\mathrm{n}}\left(\theta \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{p}}-{F}_{\mathrm{t}}\left(\theta \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{p}}}{2\mathrm{\pi }R}$

(17)Q_t(θ)=B $\frac{{F}_{\mathrm{t}}\left(\theta \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{p}}+{F}_{\mathrm{n}}\left(\theta \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{p}}}{2\mathrm{\pi }R}$

式中:ρ为空气密度;c为叶片弦长。

将计算得到方位角位置i=1,2,…,N的载荷乘以相应的影响系数,得出控制点j的诱导速度。

(18)w_x_,_j= $\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\sum _{i=1}^{N}$ Q_n,_i ${R}_{{w}_{x}}$ (i,j)+ ${{Q}^{\mathrm{*}}}_{\mathrm{n},j}$ - ${Q}_{\mathrm{n},N+1-j}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}$

(19)w_y_,_j=$\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\sum _{i=1}^{N}$Q_n,_i${R}_{{w}_{y}}$(i,j)

现在的解被称为线性解。在式(18)中,存在(*)和(**)项。这两项与控制点所处的位置有关,可见文献[14]的解释。

步骤4 计算功率系数。

根据Cheng等^[14]的研究,需要利用式(20)~式(22)在计算功率系数前进行相关修正,再通过式(23)计算功率系数。

(20)C_T=${\int }_{0}^{2\mathrm{\pi }}\mathrm{ }$[Q_n(θ)sinθ-Q_t(θ)cosθ]dθ

(21)a=0.089 2${C}_{\mathrm{T}}^{3}$+0.054 4${C}_{\mathrm{T}}^{2}$+0.251 1C_T-0.001 7

(22)k_a= $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{1-a},\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }a\le 0.15\\ \frac{1}{1-a}\{0.65+0.35\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-4.5(a-0.15)\left]\right\},\\ \mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }a>0.15\end{array}\right.$

(23)C_P= $\frac{\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\int }_{0}^{2\mathrm{\pi }}B\left[{F}_{t}\right(\theta )\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{p}}+{F}_{\mathrm{n}}(\theta \left)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{p}}\right]\omega \mathrm{d}\theta }{\rho {V}_{\mathrm{\infty }}^{3}}$

1.2 ACM理论模型修正

在垂直轴风力机的运行过程中,叶片攻角随着方位角的改变会呈现周期性的变化,从而产生严重的动态失速效应, 导致ACM的计算结果存在显著偏差。为了消除因为动态失速而造成的偏差,需要在ACM的计算中引入动态失速模型。

首次采用Sheng等^[15]在经典Beddoes-Leishman (B-L)模型基础上,针对垂直轴风力机攻角正负交替变化以及攻角大振幅波动工况所改进的B-L 动态失速模型。该模型已通过 Glasgow大学风洞实验验证,其对VAWT工况下动态失速预测精度显著优于传统B-L模型与Gormont模型。

将利用改进B-L模型计算得到的总法向力${C}_{{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}$、切向力系数${C}_{{\mathrm{T}}_{\mathrm{n}}}$通过几何转换,得到升力系数C_L、阻力系数C_D,并以此完成ACM的修正,相关公式如式(24)~式(27)所示。模型详细公式描述参见文献[16],文献中对阻力系数公式进行了扩展,增加零度攻角时的阻力系数C_d0。

(24) ${C}_{{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}$ = ${{C}^{\mathrm{f}}}_{{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}$ + ${{C}^{\mathrm{v}}}_{{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}$

(25)${C}_{{\mathrm{T}}_{\mathrm{n}}}$=η${C}_{{\mathrm{N}}_{\alpha }}{\alpha }_{{\mathrm{E}}_{\mathrm{n}}}^{2}$($\sqrt{f″{\mathrm{ }}_{n}}$-E₀)

(26)C_L=${C}_{{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}$cosα+${C}_{{\mathrm{T}}_{\mathrm{n}}}$sinα

(27)C_D=${C}_{{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}$sinα-${C}_{{\mathrm{T}}_{\mathrm{n}}}$cosα+C_d0

式中:${C}_{{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}^{\mathrm{f}}$为尾缘分离法向力系数;${C}_{{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}^{\mathrm{v}}$为脱落涡法向力系数;η为效率因子;${\alpha }_{{\mathrm{E}}_{\mathrm{n}}}$为等效攻角;${C}_{{\mathrm{N}}_{\alpha }}$为附着流法向力系数斜率;E₀为无量纲数。

另外,该模型经验常数的选取对结果的准确性具有关键影响,模型涉及包括T_p、T_f、T_v、T_vl、T_α、α_ds0、α_ss、r₀、B₁、y、E₀等多种常数。根据文献[16]的解释:除了与延迟压力响应和分离点延迟相关的T_p、T_f分别为1.7和3的固定值外,其余的包括与脱落涡相关的T_v和T_vl、攻角延迟常数T_α、恒定临界失速起始攻角α_ds0等,均需根据文献[16]中Glasgow大学的实验数据,依据不同翼型厚度选取,具体数据如表1所示。

需特别指出的是,实验数据表1中仅涵盖不同厚度的 NACA 翼型数据,且该类数据的获取需要通过风洞实验完成;但在后续优化过程中,翼型种群生成具有随机性,翼型厚度是唯一可确保的参数。因此在后续计算中,B-L 模型的经验常数需依据表1中对应不同厚度的参数进行选取。

除了动态失速效应,ACM也忽略了叶片表面粗糙度、塔架、轮辐等对风机产生的影响,导致对风机的阻力估计不足,所以可通过修正风机叶片的阻力系数来提升ACM模型的计算准确性。1980年,Sheldahl等^[17]测量了Sandia 5 m和Sandia 2 m风机零风速时,不同转速下的功率损耗值,并将其换算成无因次系数C_d0,称之为零风速阻力系数,不同雷诺数Re下的系数如图2所示,同时包括利用二维翼型获得的系数数据。将该系数作为附加阻力系数加入ACM模型中,修正ACM的计算结果。

经过上述流程,完成ACM的建立及修正,完整的计算迭代流程图如图3所示。

1.3 修正ACM理论算例验证

利用MATLAB对修正ACM理论进行编程,为了验证所编写的ACM的正确性,选用NACA0015翼型计算两叶片风机在实度为0.1、叶尖速比为4的情况下的性能,其中NACA0015翼型的升力系数为2πα,阻力系数为0^[18-19]。

如图4所示为本文计算结果的气动性能与文献[19]的ACM计算的气动性能对比。通过比较包括攻角分布α、法向载荷Q_n、切向载荷Q_t和相对速度V_r这四项ACM所迭代出的主要参数结果(Q_n和Q_t在ACM的计算过程中被无量纲化),发现这些参数在上风区和下风区位置都有着较高的匹配精度,与文献[19]有着良好的一致性,而这四项参数又是ACM在计算诱导速度和风机功率系数的关键参数,由此可以说明ACM模型建立正确。

文献[20]所示为瑞典的T1垂直轴风力机的相关实验数据,通过将T1风机尺寸数据代入修正后的ACM模型进行计算,可以验证修正ACM在计算垂直轴风力机气动性能上的可靠性,修正ACM模型中B-L经验系数查表1所得。

修正ACM模型的计算结果与文献的实验结果对比如图5所示。通过对比可以看出,经典的ACM理论计算出来的结果与实验数据偏差较大,而修正的ACM模型与实验结果之间的吻合度较高, 其中平均功率系数误差为0.008 9,最大误差为0.023 4,能够较为准确地预测垂直轴风力机的性能。

2 变桨距规律与翼型同步优化

2.1 新型正弦变桨距规律

垂直轴风力机的叶片变桨控制是通过改变不同方位角的桨距角进而改变攻角,从而可以提高自启动能力,提升叶片的升力,最大限度地提高功率输出。如图6所示为VAWT运行到某一方位角θ时,作用在VAWT上的叶片气动力和速度的关系图,显示了变桨前后风机叶片的角度变化。

桨距角按正弦曲线变化是一种简单且常用的桨距调节方式,但通常来说,单一正弦曲线对风机功率的提升是有限的。所以为了提高功率,考虑在风机的顺风和逆风处采用不同的正弦曲线。

在顺风处和逆风处采用式(28)作为变桨距规律函数L(θ_i)。

(28)L(θ_i)= $\left\{\begin{array}{ll}{a}_{1}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i}+{b}_{1},& 0°\le {\theta }_{i}<180°\\ {a}_{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i}+{b}_{2},& 180°\le {\theta }_{i}<360°\end{array}\right.$

式(28)中:a₁、a₂为曲线的幅值;b₁、b₂为曲线的垂直位移;θ_i为方位角。

2.2 翼型参数化

CST参数化方法由Kulfan和Bussoletti提出,其原理是先由类函数(class function)确定翼型类别,如亚音速翼型为前圆后尖翼型,而超音速为前尖后尖翼型;再由形函数(shape function)系数确定唯一翼型形状,对其定量描述。参数化公式为

(29)y=C(x)S(x)+xΔy_te

式(29)中:x、y为翼型的表面坐标点;C(x)、S(x)为类函数与形函数;Δy_te为尾缘相对厚度。

上下翼面坐标具体展开形式为

(30)$\left\{\begin{array}{l}{y}_{\mathrm{u}}={C}_{{N}_{2}}^{{N}_{1}}\left(x\right){S}_{\mathrm{u}}\left(x\right)+x{y}_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{u}}\\ {y}_{\mathrm{l}}={C}_{{N}_{2}}^{{N}_{1}}\left(x\right){S}_{\mathrm{l}}\left(x\right)+x{y}_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}}\end{array}\right.$

式(30)中: 下角标u、l分别表示翼型上、下表面。

类函数定义为

(31) ${C}_{{N}_{2}}^{{N}_{1}}$ (x)= ${\left(x\right)}^{{N}_{1}}{(1-x)}^{{N}_{2}}$

式(31)中:N₁、N₂为翼型几何外形的类别。

上下表面形函数定义为

(32)S_u(x)=$\sum _{0}^{{n}_{\mathrm{u}}}$A_u(x)${B}_{{n}_{\mathrm{u}}}^{i}$(x)

(33)S_l(x)=$\sum _{0}^{{n}_{\mathrm{l}}}$A_l(x)${B}_{{n}_{\mathrm{l}}}^{i}$(x)

式中:i为多项式指数;n_u、n_l为多项式阶数;A_u、A_l分别为上下表面形函数系数,其组成几何外形的参数向量;${B}_{n}^{i}$为Bernstein多项式,具体定义为

(34)$\left\{\begin{array}{l}{B}_{n}^{i}={K}_{n}^{i}{\left(x\right)}^{i}{(1-x)}^{n-i}\\ {K}_{n}^{i}=\frac{n!}{i!(n-i)!}\end{array}\right.$

式(34)中:${K}_{n}^{i}$为组合数。

在一定范围内,使用高阶的Bernstein多项式定义形状函数可以有效地提高CST参数化方法对几何外形的表示精度,但是过高阶的多项式的阶数将使参数化过程病态化。一般应使用4阶以上、10阶以内的Bernstein多项式定义形状函数,在保证对几何外形的表示精度的同时,避免病态问题的出现和限制设计变量数量^[21]。

选用 5 阶 Bernstein 多项式对翼型上下表面分别进行参数化表达,通过改变形函数系数即可对翼型曲线进行控制,共有 12个设计变量。

利用CST参数化方法对Delphine De Tavernier设计DU17VAWT250^[19]翼型进行拟合,上下表面各取80个坐标点来拟合翼型。图7为拟合的翼型与原始翼型对比。此时,拟合误差平方和为4.631 6×10^-5,采用 5 阶 CST参数化方法拟合翼型满足对翼型几何形状的表征。

2.3 目标函数建立及算法流程

以文献[19]中Delphine De Tavernier设计DU17VAWT250为优化对象,优化设计相对厚度为25%的翼型。ACM参数设置如表2所示。

(1)目标函数。以最大化垂直轴风力机的功率系数为目标函数。

(35)f(x)=max(C_p)

(2)设计变量。以CST参数化翼型的12个形函数系数和新型正弦变桨距规律函数L(θ_i)的幅值和位移参数为设计变量。

(36)X=(V_u1,V_u2,V_u3,V_u4,V_u5,V_u6,V_l1,V_l2,V_l3,V_l4,V_l5,V_l6,a₁,a₂,b₁,b₂)

式(36)中:V_u为上翼面形函数系数;V_l为下翼面形函数系数;a₁、a₂为曲线的幅值;b₁、b₂为曲线的垂直位移。

(3)约束条件。为了保证生成翼型的形状,需要对设计变量取值范围进行约束。

(37)X_min≤X≤X_max

在进行优化时,需要对厚度进行约束。

(38)0.98t₀≤t≤1.02t₀

式(38)中:t为优化翼型相对厚度;t₀为原翼型相对厚度。

翼型的气动性能与翼型最大厚度所处的弦向位置p_max有着很大的关系,当最大厚度位置靠前时,升力增大的同时阻力也会增大。将翼型最大厚度所处的弦向位置约束为

(39)0.25≤p_max≤0.45

新型正弦变桨距规律函数由两个不同参数的正弦函数组合而成,优化过程中所生成的不同函数参数可能会使桨距角在0°、180°、360°的方位角处发生突变,这在实际的工作中并不理想,不仅会造成扭矩的波动和叶片表面的附着流被破坏,而且在物理和机械的层面上难以实现^[22],需要对变桨距规律函数参数进行约束。

(40)$\left\{\begin{array}{l}0\le {a}_{1}\le \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(\alpha \right)+5\\ 0\le {a}_{2}\le \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(\alpha \right)+5\\ -1\le {b}_{1}-{b}_{2}\le 1\end{array}\right.$

式(40)中:α为攻角。

此外,因正弦函数自身的数学特性,为确保双正弦变桨距规律曲线的光滑性,需在优化计算过程中对构成该规律的两个正弦函数进行拟合处理。具体拟合操作流程如下:首先提取双正弦变桨距规律对应的离散数据,然后以叶片方位角作为自变量,调用MATLAB中 CFTool 工具箱的 Smoothing Spline 命令,对上述离散数据进行拟合,最终获得连续光滑的变桨距规律曲线,再以该曲线作为同步优化时的变桨距规律。

粒子群优化算法(particle swarm optimization, PSO)在求解问题时的速度较快,因此选择粒子群算法作为优化算法。算法参数设置:学习因子C₁、C₂均为0.5,惯性因子W为0.85,种群大小为35,最大迭代次数为100。将粒子群算法与ACM程序结合进行优化,程序将在满足最大迭代次数时,或者多次迭代适应度值相等时累加记录至40次时完成迭代。如图8所示为变桨距规律与翼型优化设计流程。

3 优化结果分析

如图9所示为优化迭代过程图。经过粒子群算法与修正ACM的耦合优化,适应度值有较大提升,最终经过80次的迭代后适应度值收敛于0.352 2。

3.1 优化翼型及变桨角分析

通过上述的优化流程,得到气动性能的更佳的优化翼型,并将其命名为OPT_25。优化翼型与原始翼型的对比如图10所示。不难看出,优化翼型的中弧线发生显著变化,具体表现为翼型弯度增加。同时,优化翼型的最大厚度位置后移,相比原始翼型的0.252 5移动到0.282 8处。另外,从数值上看,原始翼型的最大相对厚度为0.248 9,优化翼型的最大相对厚度为0.252 5,优化结果满足几何约束条件。

为了说明优化翼型相比原翼型的气动性能更优,通过Xfoil软件在相同的工况下(其雷诺数设置为0.5×10⁶,马赫数设置为0)计算优化翼型与原始翼型的升、阻力系数。图11为优化翼型与原始翼型气动性能对比。

结合图11与表3共同分析可知,优化翼型的最大升力系数有所提高,优化翼型最大升力系数C_lmax为1.712,相对于原始翼型提升了9.60%。优化翼型的最大升力系数在16°攻角出现,而原始翼型出现的攻角位置均在15°,优化翼型表现出失速延迟,失速攻角后移了1°。计算优化翼型正攻角时的平均升阻比$({C}_{\mathrm{l}}/{C}_{\mathrm{d}}{)}_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}}$也有增加,平均升阻比为52.510,相比原始翼型增加了20.82%。优化翼型的最大升阻比出现的攻角位置为11°,而原始翼型出现在13°。虽然优化翼型最大升阻比提前出现,但总体上来说,升阻比仍优于原始翼型。

除了优化翼型外,同步优化的新型变桨规律曲线为图12所示的优化双正弦曲线。

同时,为了说明本文新型变桨规律相比单一正弦的优越性,以文献[12]为例的单一正弦函数S(x)=Asinθ为函数变量,使用OPT_25翼型优化函数幅值A,其中幅值A的约束条件为:0°≤A≤Max(α)+5°。最终优化结果为图12所示的单一正弦曲线。

桨距角的变化直接影响风机攻角的变化。从图12中不难看出,优化双正弦曲线在上风区(0°~180°)的桨距角变化范围更大,为-4°~2.5°,而单一正弦的范围为0°~2.4°。双正弦可通过负桨距避免攻角骤升并失速,又可使攻角落在优化翼型最大升阻比区间。

在下风区(180°~360°)优化双正弦曲线桨距角的变化范围为-6°~-4°,单一正弦与上风区相反,范围为-2.4°~0°。双正弦的深负桨距角可减小攻角,从而降低下风区阻力系数。

3.2 优化结果对比

在完成全部优化后,使用表2所示的ACM参数设置,在优化双正弦变桨、单一正弦变桨和桨距角为零的定桨情况下对优化翼型与原始翼型分别计算并进行对比,对比如图13所示。

从图13中不难看出,双正弦的优化变桨距规律相比单一正弦对功率系数有明显提升。使用双正弦变桨距规律的优化翼型功率系数为0.352 2,相比单一正弦变桨的0.328 7,提升了7.15%。再将双正弦变桨距规律与定桨进行详细数据分析,分析结果如表4所示。

由表4可知,在定桨距角的情况下,相比采用DU17VAWT250翼型的原始垂直轴风力机,采用优化翼型的垂直轴风力机,其功率系数为0.318 0,提升了8.94%;在变桨距角情况下,相比原始垂直轴风力机,优化翼型及桨距角的风力机功率系数为0.352 2,提升了近15.06%。而相比定桨距角的垂直轴风力机(优化翼型)而言,变桨距角的垂直轴风力机,其功率系数提升了近10.75%。表明采用优化翼型及变桨规律的垂直轴风力机,其气动性能及功率特性有了明显的提高。

优化前后的各参数对比如图14所示。在图14(b)攻角分布的上风区中,因为变桨的存在,优化翼型的攻角在最大升阻比区域的占比更大,且上风区正是风机产生功率的主要区域。

又因为垂直轴风力机的旋转源自叶片上的切向载荷,在图14(d)风机的切向载荷变化图的上风区中,虽然优化后的切向载荷的极值相比优化前较小,但优化后风机的上风区的平均切向载荷更大,相比优化前增加了29%,使优化后的性能更佳。

综上,优化的新变桨距规律和新翼型都对风机的性能产生了积极的影响,功率系数均有增加,证明了该优化方法的可行性。

4 结论

提出一种新的正弦变桨距规律,即在风机的顺风区和逆风区选择两个不同参数的正弦函数作为变桨曲线,并将该双正弦变桨距规律耦合到修正ACM理论与粒子群优化算法的二维翼型优化进程中去,进行VAWT变桨距规律与翼型的同步优化,得到了新的优化翼型与变桨距规律曲线。得到的主要结论如下。

(1)原始ACM在计算风机性能时有较大的误差,采用动态失速结合附加阻力系数去修正ACM减小了修正结果与实验结果之间的误差,平均功率系数误差为0.008 9,最大误差为0.023 4。

(2)不管对于优化翼型,还是原始翼型来说,优化得到的双正弦变桨距规律的功率系数的提升幅度都是要大于单一正弦和桨距角为零的定桨情况,其中使用双正弦变桨距规律优化翼型的功率系数相比单一正弦变桨提升了7.15%。优化翼型最大升力系数与平均升阻比都有所提升,相比原始翼型提升了9.60%和20.82%。同步优化得到的翼型和变桨距角相比零桨距角的原始翼型使风机的功率系数提升了20.66%。

(3)本文研究同样存在一些局限性。首先,由于ACM理论模型为二维模型,在计算时忽略了叶尖涡流、塔架阴影等三维流动效应。其次,所研究的优化是针对特定叶尖速比进行的,其在非设计工况下的普适性有待验证。最后,优化时仅考虑了气动性能,未对新翼型的结构强度进行校核。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

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