交通运输基于修正广义二阶Kelvin模型的环氧沥青混合料黏弹性参数拟合方法

王民; 王杰; 卢子豪; 梅迎军; 肖丽

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2505781

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (26) :11438-11449 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2505781

交通运输

交通运输基于修正广义二阶Kelvin模型的环氧沥青混合料黏弹性参数拟合方法

王民 ¹^,² ,
王杰 ³ ,
卢子豪 ³ ,
梅迎军 ¹^,^* ,
肖丽 ²

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Fitting Method for Viscoelastic Parameters of Epoxy Asphalt Mixtures Using Modified Generalized Second-order Kelvin Model

WANG Min ¹^,² ,
WANG Jie ³ ,
LU Zi-hao ³ ,
MEI Ying-jun ¹^,^* ,
XIAO Li ²

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摘要

针对传统方法获取环氧沥青混合料黏弹性参数存在精度不足的问题,基于动态蠕变响应特性,采用改进广义二阶Kelvin模型,通过构建不同荷载模式下材料的应变响应解析表达式,结合蠕变机理及黏弹性参数物理意义,从加载方式、拟合时段选取和拟合参数选取3个方面对黏弹性参数的拟合方法进行分析;并进一步将黏弹性参数转化为Prony级数进行静态贯入有限元数值模拟,基于偏差率分析及残差平方和对比验证,最终确定了基于麦夸特法和全局优化法的黏弹性参数拟合方法。结果表明:经优化后的拟合方法能显著提高在初始蠕变阶段的拟合度,数值模拟与试验结果平均误差为4.4%,残差平方和降低至0.003。该成果显著提高了环氧沥青混合料黏弹性参数表征精度,为环氧沥青混合料的本构模型构建提供了新的方法支持。

Abstract

In response to the insufficient accuracy of traditional methods for obtaining viscoelastic parameters of epoxy asphalt mixtures, based on dynamic creep response characteristics, a modified generalized second-order Kelvin model was utilized, and analytical expressions for strain response under various loading modes were constructed. By integrating the creep mechanism and the physical significance of viscoelastic parameters, the fitting method was analyzed from three perspectives: loading mode, selection of fitting period, and choice of fitting parameters. The viscoelastic parameters were further transformed into a Prony series for static penetration finite element numerical simulation. Through deviation rate analysis and residual sum of squares comparison, a fitting method incorporating the Levenberg-Marquardt and global optimization methods was ultimately established. The results indicated that the optimized fitting method significantly enhanced the fitting accuracy during the initial creep stage, with an average error of 4.4% between numerical simulation and experimental results, and a residual sum of squares reduced to 0.003. This work markedly improves the characterization precision of viscoelastic parameters for epoxy asphalt mixtures and offers a novel methodological approach for developing constitutive models of such materials.

Graphical abstract

关键词

环氧沥青混合料 / 二阶Kelvin模型 / 拟合方法 / 黏弹性参数

Key words

epoxy asphalt mixture / second-order kelvin model / parameter fitting methodology / viscoelastic parameters

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王民, 王杰, 卢子豪, 梅迎军, 肖丽. 交通运输基于修正广义二阶Kelvin模型的环氧沥青混合料黏弹性参数拟合方法[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(26): 11438-11449 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2505781

WANG Min, WANG Jie, LU Zi-hao, MEI Ying-jun, XIAO Li. Fitting Method for Viscoelastic Parameters of Epoxy Asphalt Mixtures Using Modified Generalized Second-order Kelvin Model[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(26): 11438-11449 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2505781

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环氧沥青混合料作为钢桥面铺装的核心材料,凭借其高强度、优异耐久性及抗疲劳特性,在复杂交通荷载下展现出独特的黏弹性力学行为^[1]。这种时间-温度-应力耦合的力学响应特性,本质上由材料黏弹性参数决定,其精确表征是构建本构模型、预测铺装层服役性能的关键。然而,现有黏弹性参数辨识方法存在模型适应性不足、优化算法局部收敛等问题,导致材料参数获取精度难以满足精细化建模需求。

中外许多研究人员对材料黏弹性参数拟合方法开展了大量研究。Hafeez等^[2]研究发现蠕变可以用黏弹性参数、蠕变顺应性或者J(t)来量化,J(t)是蠕变柔量关于时间和温度的函数,相当于蠕变实验中的应变与应力的比值;Ho等^[3]基于原始蠕变顺应性与拟合之间误差平方和的优化方法,得到了广义麦克斯韦模型的基本参数;Sun等^[4]用麦克斯韦模型描述了沥青混合料的黏弹性特性,并进行了动态模量测试,得到了三角形级数参数;Abu Al-Rub等^[5]建立热黏弹性损伤愈合模型,采用蠕变、蠕变恢复和重复蠕变恢复试验获得了模型参数;Zhang等^[6]基于沥青混合抖动模量的极值特性和线性黏弹性力学理论,提出了一种通过变换动模量确定沥青混合料Burgers模型参数的理论方法;尹应梅等^[7]采用经典Burgers模型与由Maxwell体和分数阶Kelvin体串联组合的分阶段导数Burgers模型对沥青混合料蠕变曲线进行拟合,表明后者能定量描述沥青混合料蠕变性能的非线性;Quan等^[8]基于AC典型分数黏弹性模型的推导复模量表达式,结合粒子群优化和内点算法,提出了一种用于分数式黏弹性模型参数辨识的全局优化算法;Pacheco等^[9]提出了一种基于实验数据通过Prony级数和一种基于遗传算法及非线性规划的混合优化方法对黏弹性材料的热流变学简单表征的方法。吕慧杰等^[10]通过单轴蠕变试验测定蠕变柔量,据此确定了广义Kelvin模型的Prony级数中的黏弹性参数,并将蠕变柔量转化为松弛模量,而后通过时温等效原理,得到了更长时间、更高温度的混合料松弛特性以描述沥青混合料的黏弹性。曲世琦等^[11]采用增强极限梯度提升算法对沥青混合料的动态模量和相位角进行预测,发现改进后的XGBoost模型在所有性能评价指标上都优于原模型。Huang等^[12]探究了离散谱模型与连续谱模型在松弛模量和蠕变柔量主曲线方面存在的差异,提出了两个模型高精度转换方法。

由此可知,当前沥青混合料黏弹性参数拟合方法的研究呈现从单纯数值拟合向基于力学理论的优化算法发展。基于此,基于Boltzmann叠加原理^[13]利用改进广义二阶Kelvin模型方程推导环氧沥青混合料在间歇性静态荷载和半正弦波形式荷载下的响应应变表达式,从加载方式、拟合时间段选取和拟合参数选取3个方面对黏弹性参数拟合方法进行研究,依据单轴动态蠕变试验数据,采用麦夸特法和全局优化法获取环氧沥青(epoxy asphalt,EA)黏弹性参数,利用数值模拟结果与室内试验对比优选出最佳拟合方法。研究结果可有效弥补传统全段拟合方法在初始蠕变阶段的精度短板,为环氧沥青混合料黏弹性参数的精准辨识提供新的技术路径。

1 单轴动态蠕变试验

1.1 试验方法与设计

热拌环氧沥青混合料EA10所用集料为玄武岩碎石,矿粉为石灰岩粉末,胶结料由TAF环氧树脂及A-70基质沥青制作而成,均满足《公路钢桥面铺装设计与施工技术规范》(JTG/T 3364-01—2019)性能要求,按照规范要求进行环氧沥青混合料配合比设计,级配组成如图1所示,确定最佳油石比为6.7%,其基本性能如表1所示。

单轴动态蠕变试验的试件成型方法:通过旋转压实法先成型直径150 mm、高度180 mm的旋转压实试件,而后对试件进行钻芯取样,试件的直径为100 mm、高度为150 mm,总共成型3个圆柱体试件。该试验采用UTM-100多功能试验仪,试验频率为10 Hz,试验温度为35 ℃,试验时采用最大荷载为0.4 MPa、最小荷载为0.02 MPa、周期1.0 s的半正弦波形式加载,其中加、卸载时间分别为0.1、0.9 s,加载方式如图2所示,试验加载次数为7 200次。

1.2 试验结果分析

环氧沥青混合料在35 ℃半正弦波形式加载下的时间-应变曲线如图3所示。由图3可知,随着施加应力的时间越长,应变的增速逐渐减缓,整个压缩蠕变试验过程仅存在蠕变的前两个阶段(即减速蠕变阶段和等速蠕变阶段),未达到蠕变的第三阶段(加速蠕变阶段)^[14]。

2 黏弹性本构模型及响应应变公式

目前,反映沥青混合料黏-弹-塑性性质的力学模型,通常是由弹性元件(弹簧)、黏性元件(黏壶)、塑性元件(滑块)以不同的组合方式而形成,应用较广的模型有Kelvin模型、Maxwell模型、Burgers模型等^[15]。根据文献[16]选用的修正广义二阶Kelvin模型是由一个弹簧元件和两个Kelvin单元串联而成,该模型可以较好地描述沥青混合料的蠕变与松弛特性,如图4所示。

修正广义二阶Kelvin模型中蠕变柔量J(t)随时间表达式为

(1)J(t)=

$\frac{1}{{\mathit{E}}_{1}}$

$\frac{1}{{\mathit{E}}_{2}}\left[1-\mathit{e}\mathit{x}\mathit{p}\left(-\frac{{\mathit{E}}_{2}}{{\mathit{\eta }}_{3}}\mathit{t}\right)\right]$

$\frac{1}{{\mathit{E}}_{3}}\left[1-\mathit{e}\mathit{x}\mathit{p}\left(-\frac{{\mathit{E}}_{3}}{{\mathit{\eta }}_{3}}\mathit{t}\right)\right]$

式(1)中:E₁为串联弹簧的弹性模量,代表沥青混合料在快速加载或瞬时加载下的弹性刚度;E₂、E₃分别为第1个和第2个并联弹簧的弹性模量,分别对应材料在中短期时间尺度和长期时间尺度下的弹性储能能力;η₂、η₃分别为第1个和第2个并联黏壶黏性系数,分别控制中短期阶段和长期阶段的黏性流动速率。

运用应力冲量等效定理将T~T+t₀时刻(T≥0)半正弦阶段加载方式等效为值为σ'的恒值,则整个加载过程可转化为间歇式静态加载方式,如图5所示。

(2)

$\left\{\begin{array}{l}\mathit{\sigma }\mathit{\text{'}}{\mathit{t}}_{0}=\mathit{\sigma }{\mathit{t}}_{0}+{\int }_{0}^{{\mathit{t}}_{0}}({\mathit{\sigma }}_{0}-\mathit{\sigma })\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathit{\pi }\mathit{t}}{{\mathit{t}}_{0}}\mathit{d}\mathit{t}\\ \mathit{\sigma }\mathit{\text{'}}=\frac{2{\mathit{\sigma }}_{0}}{\mathit{\pi }}+\left(1-\frac{2}{\mathit{\pi }}\right)\mathit{\sigma }\end{array}\right.$

式(2)中:σ'为等效荷载。

沥青混合料满足黏弹性力学性质,为有效表示其力学行为,利用积分本构方式,由Boltzmann叠加原理对其响应应变进行推导。根据Boltzmann叠加原理将应力进行等效,并推导动态蠕变试验下混合料累积应变随加载次数的表达式,即

(3)ε(t)=ε_A+ε_B

式(3)中:ε(t)为混合料的累积应变;ε_A为应力等效后,在初始施加应力σ下的响应应变;ε_B为试样在每个循环中承受Δσ载荷时产生的累积响应应变。

应力等效后,施加压力为σ时,试件的响应应变ε_A为

(4)ε_A=σJ(t)

试件受到每个周期施加的Δσ后,对n个周期末的响应应变ε_B为

(5)

${\mathit{\epsilon }}_{\mathit{B}}=\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{\epsilon }}_{\mathit{i}}$

第i个周期施加的Δσ,对n个周期末的响应应变ε_i为

(6)

${\mathit{\epsilon }}_{\mathit{i}}=\mathit{\sigma }\left(\mathit{t}\right){\mathit{J}}_{0}+{\int }_{(\mathit{i}-1)\mathit{T}}^{(\mathit{i}-1)\mathit{T}+{\mathit{t}}_{0}}\mathit{\sigma }\left(\mathit{\xi }\right)\mathit{J}\mathit{\text{'}}(\mathit{t}-\mathit{\xi })\mathit{d}\mathit{\xi }$

联立式(2)~式(6),可解得基于修正广义二阶Kelvin模型在间歇式静态荷载形式作用下的ε(t)₁。

(7)$\begin{aligned} \varepsilon(t)_{1}= & \varepsilon_{\mathrm{A}}+\varepsilon_{\mathrm{B}} \\ = & \frac{\sigma_{0}}{E_{1}}+\frac{\sigma_{0}}{E_{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{E_{2}}{\eta_{2}} t}\right)+\frac{\sigma_{0}}{E_{3}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{E_{3}}{\eta_{3}} t}\right)+ \\ & \frac{\Delta \sigma}{E_{2}}\left(\mathrm{e}^{\frac{E_{2}}{\eta_{2}} t_{0}}-1\right) \frac{\mathrm{e}^{-\frac{E_{2}}{\eta_{2}} t}-1}{1-\mathrm{e}^{\frac{E_{2}}{\eta_{2}} T}}+ \\ & \frac{\Delta \sigma}{E_{3}}\left(\mathrm{e}^{\frac{E_{3}}{\eta_{3}} t_{0}}-1\right) \frac{\mathrm{e}^{-\frac{E_{3}}{\eta_{3}} t}-1}{1-\mathrm{e}^{\frac{E_{3}}{\eta_{3}} T}} \end{aligned}$

在半正弦波形式荷载作用下,σ(ξ)不再为等效定值,而是随时间在变化的应力函数,亦可根据相同的原理,解出基于修正广义二阶Kelvin模型在半正弦波形式荷载作用下的ε(t)₂。

(8)$\begin{aligned} \varepsilon(t)_{2}= & \frac{\sigma_{0}}{E_{1}}+\frac{\sigma_{0}}{E_{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{E_{2}}{\eta_{2}} t}\right)+\frac{\sigma_{0}}{E_{3}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{E_{3}}{\eta_{3}} t}\right)+ \\ & \frac{\Delta w}{\eta_{2}\left(w^{2}+\tau_{2}^{2}\right)}\left(\mathrm{e}^{\tau_{2} t_{0}}-1\right) \frac{\mathrm{e}^{-\tau_{2} t}-1}{1-\mathrm{e}^{\tau_{2} T}}+ \\ & \frac{\Delta w}{\eta_{2}\left(w^{3}+\tau_{2}^{3}\right)}\left(\mathrm{e}^{\tau_{3} t_{0}}-1\right) \frac{\mathrm{e}^{-\tau_{3} t}-1}{1-\mathrm{e}^{\tau_{3} T}} \end{aligned}$

式(8)中:τ₂=E₂/η₂,τ₃=E₃/η₃,可表征混合料抵抗蠕变变形的延迟时间;Δ为最大荷载和最小荷载的差值;w为半正弦波的角速度。

3 黏弹性参数拟合

根据动态蠕变试验中加载方式的特殊性,经由应力冲量等效定理,将半正弦荷载等效为恒载后推导而得的累积应变表达式称为“静载”;采用动态蠕变试验中半正弦加载形式推导的累积应变表达式称为“动载”。将单轴动态蠕变试验条件σ=0.02 MPa,σ₀=0.4 MPa,T=1 s,t₀=0.1 s代入式(7)和式(8)时,可获得EA分别在静载和动载加载条件下的累积应变随加载次数的表达式。

通过动态蠕变实验数据,采用传统方法利用非线性回归对EA10的累积应变表达式进行拟合,如图6所示。可知,EA10在静载条件下的拟合误差整体上要小于动载,两者拟合结果虽都能达到数学规定精度,但在拟合前段0~1 200 s段试验数据拟合精度较低,在1 200~1 800 s,拟合数据曲线逐渐趋近原始数据曲线,最后在原始数据曲线很小的范围内上下波动。

根据EA10响应应变公式,取t=0时,可知材料响应应变初值仅与E₁有关。但最初的加载时间中,材料的黏弹性特性会由于混合料中存在的空隙发生“改变”,所以仅利用初值对材料的瞬时弹性模量进行拟合不准确,根据参数物理意义可知黏滞系数E₂、η₂、E₃、η₃对拟合结果也会造成影响,但影响相对较小,相较而言,E₂、η₂更能体现材料应变初中期的黏弹性特性,因此选取第一个Kelvin元件的E₂、η₂作为主要的研究参数。从不同加载方式、拟合时间选取及拟合参数选取对EA10的黏弹性参数拟合方法进行研究,具体拟合方法如表2所示。

根据沥青混合料蠕变3个阶段及全段拟合结果,第一段拟合时间T₁选择200、400、600、1 000、1 600、2 400、3 600 s共7种情况,依据上述拟合方法对EA10累积应变随加载次数的表达式进行拟合,基于拟合时间的EA10的累计应变拟合曲线如图7和图8所示。

由图7和图8可知,静态加载条件下的响应应变公式的拟合数据的精度整体高于动态加载条件得出的拟合数据。在静态荷载拟合中,当T₁<1 000 s 时,通过方法3和方法4得出的拟合数据早于试验数据进入蠕变的第二阶段,且拟合数据变化速度大于试验数据。当T₁>1 600 s时,4种方法的拟合精度都比较高,且相关系数之平方均高于0.95,但是随着T₁变大,通过响应应变公式得出的拟合数据初始阶段与试验数据差异性超过30%,最大差值的差异性为48%,未解决试验初始阶段拟合精度不足的问题。在动态荷载拟合中,方法3及方法4得出的拟合数据进入蠕变第二阶段的时间早于试验结果,蠕变第二阶段拟合数据变化速度大于试验数据的速度。当T₁<1 000 s时,方法1拟合数据不同蠕变阶段的时间点虽然与试验数据相同,但是变形速率存在差异,约为15%。EA10黏弹性参数拟合结果如表3和表4所示。

由表3和表4可知,采用相同方法拟合所得黏弹性参数时,不同T₁的选取,会使黏弹性参数发生较大的改变;静载和动载条件下,在选取T₁=200 s时,E₁均为最大,混合料在瞬时加载下的弹性变形能力最强;在静载条件下,在选取相同的T₁时,除全段拟合结果外,选用方法1得出表征混合料抵抗蠕变变形延迟时间的E₂/η₂均最小;在动载条件下,在T₁=200 s时,选用方法2得出的E₂、η₂和E₂/η₂都为最小,表明混合料弹性储能能力小,易流动的特征。

4 参数验证及数值分析

利用相关系数无法定量评判黏弹性参数正确与否,建立静态贯入数值模拟试验,将试验模拟数据与室内试验数据进行对比分析,从而评判黏弹性参数拟合方法的优劣。在有限元软件中进行材料黏弹性建模时,通常依据蠕变试验获得的应力-应变数据拟合其松弛特性。这一过程需要基于松弛模量建立体积模量与剪切模量之间的关联关系,进而将这些黏弹性材料参数转换为Prony级数的表达形式,以便在数值模拟中进行实现^[17]。

根据《公路钢桥面铺装设计与施工技术规范》(JTG/T 3364-01—2019)中附录J,静态贯入试验试件模型尺寸为70.7 mm×70.7 mm×70.7 mm正方体,EA单元类型为solid185,根据文献假定材料的泊松比为0.25;加载杆为直径为25.2 mm、厚度为 5 mm 的钢块,加载杆单元类型为mesh200。贯入试验三维有限元模型如图9所示,模型以及贯入杆均采用六面体映射网格划分,模型单元数量为120 204个。对模型底面采用固结约束,限制其所有位移;四周采用对称约束,限制指向边界的移动和绕边界的转动。实验过程中,对贯入杆施加0.049 MPa的阶段荷载进行预加载,时间为600 s,然后对预加载结束后的贯入杆施加1.033 MPa阶跃荷载并开始记录试件变形,总时间为3 600 s,有限元模型总位移如图10所示。最终将数值模拟结果与室内静态贯入试验数据进行对比,结果如图11和图12所示。

由图11和图12可知,EA10全段拟合有限元分析结果与试验曲线线型趋势接近实测试验,但是模拟结果与试验结果相差超过了25%,所以认定全段拟合得到的黏弹性参数精度不足。在相同的T₁下,EA10动载条件下得出的模拟结果大于静载条件下模拟结果,但二者均存在与试验结果相符的黏弹性参数。静载条件下,当第一段拟合时间段T₁取600~1 000 s时,数值分析结果与试验结果差值小于10%;动载条件下,当第一段拟合时间段T₁取200~400 s时,数值分析结果与试验结果差值小于10%。由图11(c)和图11(d)可知,EA10的方法3和方法4的数值分析结果进入蠕变第二阶段的时间早于试验结果,且在第二阶段的斜率高于试验结果,可以得出方法3和方法4得出的黏滞性参数、塑性模量与实际材料存在差异,方法1和方法2整体趋势与室内试验曲线相符;由图12(a)和图12(b)可知,图12(a)中的方法1、方法2及图12(b)中的方法3、方法4拟合曲线整体趋势与室内试验曲线相符。

利用静态贯入试验有限元分析结果中贯入度偏差率、贯入度增量偏差率及残差平方和对黏弹性参数拟合方法进行定量分析,如表5和表6所示。拟合参数偏差率=贯入度偏差率×50%+贯入度增量偏差率×50%,当拟合参数偏差率相同时,比较模拟结果与试验结果间的残差平方和。由表5和表6可知,动载条件下T₁=200 s的方法1的拟合参数偏差率仅为4.4%,贯入度和贯入度增量偏差分别为3%和6.1%,残差平方和也仅为0.003,因此可确定EA黏弹性参数获取的最佳拟合方法为动态加载、T₁=200 s的方法1。

5 结论

根据修正广义二阶Kelvin模型推导EA10在不同加载条件下的响应应变公式,利用第一段拟合时间段T₁选取和拟合参数选取,并结合贯入数值模拟试验,对响应应变公式拟合方法进行研究,得出以下结论。

(1)基于修正广义二阶Kelvin模型黏弹参数的响应应变公式,获取的黏弹性参数能有效地表征EA的蠕变特性。

(2)第一阶段拟合时间段T₁选择越早,初始阶段拟合精度越高,瞬时弹性模量E₁越大,EA抵抗瞬时变形能力越强;在静载条件下时,在选取相同的拟合时间段T₁时,第一段只拟合E₁,第二段全段拟合时,得出表征混合料抵抗蠕变变形延迟时间的E₂/η₂最小。

(3)依据EA黏弹参数物理意义,将参数拟合设计成4种拟合方法;通过蠕变的前两个阶段,选择7种时间段进行黏弹参数推导。综合考虑拟合黏弹参数的相关系数的平方、静态贯入试验有限元分析结果中拟合参数偏差率及残差平方和,确定EA在动态加载下,第一段拟合时间T₁=200 s且仅确定参数E₁,第二段全段拟合的方法最佳,以此得到的EA黏弹参数精度最高。

(4)通过改善拟合方法得出的数据曲线可知,优化的方法可以解决传统方法对单轴压缩蠕变试验初始阶段拟合精度不足的问题。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

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