饱和输入约束下的气动肌肉拮抗关节T-S模糊模型预测控制

周坤; 梅江平; 宗庆涛; 王斌锐; 刘子祺

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2505757

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (15) :6468-6476 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2505757

自动化技术、计算机技术

饱和输入约束下的气动肌肉拮抗关节T-S模糊模型预测控制

周坤 ¹ ,
梅江平 ¹ ,
宗庆涛 ² ,
王斌锐 ² ,
刘子祺 ²^,^*

作者信息 +

T-S Fuzzy Model Predictive Control of Pneumatic Muscle Antagonist Joints under Saturated Input Constraints

Author information +

文章历史 +

摘要

为提升气动肌肉 (pneumatic muscle, PM) 拮抗关节系统在饱和约束条件下的控制性能,提出一种基于饱和约束项建立代价函数的Takagi-Sugeno (T-S) 模糊模型预测控制 (model predictive control, MPC) 策略。首先,在PM动力学模型基础上,建立T-S模糊模型,对其进行离散化后构建T-S模糊预测模型。其次,考虑PM的饱和输入约束,将饱和约束转换成饱和偏差函数,引入代价函数中,建立融合了输出误差项、控制输入项以及饱和输入约束项的代价函数,运用序列二次迭代法对其进行最优控制律的迭代求解。最后,为验证控制方法的有效性,对所提出算法进行仿真与实物实验验证。结果表明:该方法可在预测时域内有效约束控制输入,避免超越气压物理限值;验证了所设计控制器在动态响应速度与跟踪精度方面的有效提升。

Abstract

To improve the control performance of pneumatic muscle (PM) antagonistic joint systems under input saturation constraints, a Takagi-Sugeno (T-S) fuzzy model predictive control (MPC) strategy based on a cost function with saturation constraints was proposed. Firstly, based on the dynamic model of the pneumatic artificial muscle, a T-S fuzzy model was established through fuzzy approximation. After discretization, the T-S fuzzy prediction model was constructed. Secondly, the saturation constraint of the pneumatic muscle input was considered. The saturation constraint was converted into a saturation deviation function and introduced into the cost function. A cost function integrating output error, control input, and saturation constraint terms was established. The sequential quadratic programming method was used to iteratively solve the optimal control law. Finally, to verify the effectiveness of the control method, simulations and physical experiments were conducted. The results show that the method effectively constrains control input within the prediction horizon and avoids exceeding the physical pressure limits. The designed controller significantly improves dynamic response speed and tracking accuracy.

Graphical abstract

关键词

气动肌肉 / T-S模糊 / 模型预测控制 / 饱和输入约束

Key words

pneumatic muscle / T-S fuzzy / model predictive control / saturated input constraints

引用本文

引用格式 ▾

周坤, 梅江平, 宗庆涛, 王斌锐, 刘子祺. 饱和输入约束下的气动肌肉拮抗关节T-S模糊模型预测控制[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(15): 6468-6476 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2505757

ZHOU Kun, MEI Jiang-ping, ZONG Qing-tao, WANG Bin-rui, LIU Zi-qi. T-S Fuzzy Model Predictive Control of Pneumatic Muscle Antagonist Joints under Saturated Input Constraints[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(15): 6468-6476 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2505757

登录浏览全文

4963

注册一个新账户忘记密码

随着仿生机器人技术的快速发展,具有生物肌肉运动特性的执行器研究日益受到关注^[1]。其中气动肌肉 (pneumatic muscle, PM) 作为一种新型软体驱动元件,凭借其独特的生物仿生特性,正逐渐成为仿生机器人领域的研究热点^[2]。与传统刚性执行器相比,PM的功率质量比远超电机驱动系统,天然的柔顺性使其在人机交互场景中更加具有安全性,其收缩-膨胀的工作方式高度类似于人体骨骼肌的生理运动特性,能够实现更为自然的仿生运动,使其在仿生假肢、康复外骨骼、协作机器人等领域展现出广阔的应用前景^[3-4]。然而,尽管PM拥有诸多优势,但其固有的强非线性、迟滞特性和控制输入约束等问题仍然制约着其在高精度应用场景中的推广,这也正是本文研究的出发点。

对于处理PM固有特性进而实现高精度控制这一难题,国内外许多学者取得了大量的理论与技术成果。Zhang等^[5]提出了一种基于迟滞补偿和高阶滑模微分器的鲁棒输出反馈预测控制方法,该方法简化了 PM 模型、降低了计算成本,并通过实验验证了其高效性和精确性。Lin等^[6]利用高阶滑模反馈控制器实现了对PM关节的圆形轨迹跟踪控制,实验结果证明了高阶滑模反馈控制器能够很好地抵抗外界干扰和建模不确定性。Yang等^[7]设计了一种新的基于学习的运动控制器,用于PM驱动的外骨骼机器人,以同时补偿模型不确定性、消除跟踪误差和满足预设运动限制。Duong等^[8]利用自适应模糊滑模控制方法实现了拮抗式PM关节的轨迹跟踪控制,该控制方法能够有效地消除建模时存在的未知干扰。Liu等^[9]设计了一种前馈迟滞补偿的比例-积分-微分(proportional-integral-derivative, PID)闭环控制方法,该方法通过利用迟滞模型补偿器对迟滞现象中的非线性进行线性处理,同时结合PID控制对PM关节的控制精度进行提高。Chen等^[10]利用模糊滑模控制所具有的鲁棒性,将其应用到了由PM驱动具有四自由度的上肢外骨骼机器人上,证实了模糊滑模控制在对PM关节进行控制时,具有良好的鲁棒性。上述研究在PM系统控制方面取得了重要进展,但缺乏对输入饱和约束的有效处理机制。对于受约束限制的PM非线性系统,相比于上述控制方法,预测控制 (model predictive control, MPC)作为处理约束优化问题的前沿控制算法,是能够为复杂受限约束系统提供在线求解最优控制策略的可靠方法^[11]。

而对于MPC算法来说,高精度的模型是重中之重。Zhang等^[12]针对由PM驱动的软体操作器提出了一种双串联部分的综合动态模型,可精确预测耦合滞后特性,并通过解耦逆补偿实现高精度控制,验证了模型的强泛化能力与补偿效果。Ma等^[13]基于前馈神经网络-二次非平行普朗特-伊斯利斯基模型提出了一种高精度PM滞回建模与控制方法,该模型能够精确刻画压力-位移关系并具备优异的泛化能力,通过前馈-反馈复合控制实现了对非线性滞回的有效补偿和高精度跟踪性能。Cao等^[14]针对PM下肢外骨骼机器人,提出了基于单层学习的预测控制策略,该方法对被动步态训练任务具有较高的跟踪精度。Chen等^[15]通过系统建模的方法建立了PM的精确模型,并将模糊滑模控制应用于PM驱动的四自由度上肢外骨骼机器人,最后证明了模糊滑模控制在PM驱动的四自由度上肢外骨骼机器人中的鲁棒性。尽管这些方法在PM系统控制领域取得了很大进展,但仍面临模型泛化能力不足或计算复杂度高的问题。在此背景下,基于T-S(Takagi-Sugeno)模糊模型的模型预测控制 (model predictive control, MPC)策略通过分段线性化,将复杂非线性系统转化为多个线性子系统的加权组合,以此得到精确模型,然后进行模型预测控制器设计,这种方法为PM系统提供了新的方案。陈诚等^[16]基于数据驱动方法建立PM柔性关节的T-S模糊模型并设计模型预测控制器,为建立PM关节的预测模型提供了参考。相较于单一神经网络,T-S模糊模型具有可解释性与自适应能力,进一步提升了系统的实时性,弥补了传统控制对非线性处理的不足,从而能为MPC建立一个高精度模型。

在实际的PM控制系统中,输入饱和约束是其不可避免的物理限制。PM驱动受到气源压力、比例阀特性等因素的限制。当控制信号超出这些限制时,会导致执行器饱和,进而引起系统性能恶化、跟踪精度下降,甚至可能导致系统不稳定等情况。现有的饱和约束处理方法主要包括饱和补偿、将有约束转换为无约束等方法,但是这些方法会引入额外的变量^[17]。针对上述问题,现在T-S模糊预测模型的基础上,提出一种将饱和输入约束直接作为饱和项引入代价函数中,并在求解过程中仍然加入饱和约束下的处理策略。从而达到双重限制的约束效果,避免执行器饱和现象以及在优化过程中平衡控制性能与约束满足之间的关系,以此来实现约束处理的灵活性。

1 T-S模糊模型

如图1所示,PM拮抗关节主要由两根PM构成。这两根PM一端固定,另一端分别连接到链条上,再通过链条与旋转齿轮相连。当向其中一根PM进行充气使其收缩时,另一根则进行放气使其伸长,以此拉动链条运动,从而对齿轮施加对抗力,进而驱动齿轮旋转。

1.1 动力学模型

基于文献[18]建立的PM拮抗关节动力学模型

(1)

$\left\{\begin{array}{l}\stackrel{··}{\mathit{\theta }}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{a}}_{1}\stackrel{·}{\mathit{\theta }}\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{a}}_{2}\mathit{\theta }\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{b}}_{1}\mathit{u}\left(\mathit{t}\right)+\mathit{d}\left(\mathit{t}\right)\\ {\mathit{a}}_{1}=-{\mathit{\mu }}_{\mathit{v}}/\mathit{J}\\ {\mathit{a}}_{2}={\mathit{k}}_{0}{\mathit{u}}_{0}{\mathit{r}}^{2}(2{\mathit{k}}_{11}{\mathit{\epsilon }}_{0}{\mathit{L}}_{0}^{-1}+{\mathit{k}}_{12}{\mathit{L}}_{0}^{-1}+2{\mathit{k}}_{21}{\mathit{\epsilon }}_{0}{\mathit{L}}_{0}^{-1}+\\ \mathit{　}\mathit{　}{\mathit{k}}_{22}{\mathit{L}}_{0}^{-1})/\mathit{J}{\mathit{b}}_{1}={\mathit{h}}_{0}{\mathit{h}}_{\mathit{u}}\mathit{r}\{{\mathit{k}}_{11}{\mathit{\epsilon }}_{0}^{2}+{\mathit{k}}_{12}{\mathit{\epsilon }}_{0}+\\ \mathit{　}\mathit{　}{\mathit{k}}_{13}+{\mathit{k}}_{21}{\mathit{\epsilon }}_{0}^{2}+{\mathit{k}}_{22}{\mathit{\epsilon }}_{0}+{\mathit{k}}_{23}+\\ \mathit{　}\mathit{　}{\mathit{k}}_{11}\left[\mathit{r}\mathit{\theta }\right(\mathit{t}\left){\mathit{L}}_{0}^{-1}\right]+{\mathit{k}}_{21}\left[\mathit{r}\mathit{\theta }\right(\mathit{t}\left){\mathit{L}}_{0}^{-1}\right]\}/\mathit{J}\end{array}\right.$

式(1)中:$\stackrel{··}{\mathit{\theta }}$(t)、$\stackrel{·}{\mathit{\theta }}$(t)以及θ(t)分别为关节旋转角加速度、旋转角速度、旋转角度;u(t)为系统的控制输入信号;d(t)为系统的干扰项;J为PM转动惯量;r为关节齿轮半径;μ_v为拮抗关节阻尼系数;h₀为初始电压系数;h_u为电压系数;u₀为控制比例阀的初始电压;L₀为PM初始长度;ε₀为初始收缩率;k_i_,_j为PM的数学参数;k₀为气动肌肉内部压力与控制信号之间的线性系数。

为方便后续控制器的设计,将PM的拮抗关节动力学模型改为状态表达式,即

(2)

$\left\{\begin{array}{l}\stackrel{·}{\mathit{x}}\left(\mathit{t}\right)=\mathit{A}\mathit{x}\left(\mathit{t}\right)+\mathit{B}\mathit{u}\left(\mathit{t}\right)+\mathit{D}\mathit{d}\left(\mathit{t}\right)\\ \mathit{y}\left(\mathit{t}\right)=\mathit{C}\mathit{x}\left(\mathit{t}\right)\end{array}\right.$

式(2)中:x(t)=$\left[\begin{array}{l}{\mathit{x}}_{1}\left(\mathit{t}\right)\\ {\mathit{x}}_{2}\left(\mathit{t}\right)\end{array}\right]$为系统状态变量;x₁(t)、x₂(t)分别为关节角度和角速度;y(t)为系统输出变量;A=$\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ {\mathit{a}}_{1}& {\mathit{a}}_{2}\end{array}\right]$,B=$\left[\begin{array}{l}0\\ \mathit{b}\end{array}\right]$,C=[1],D=$\left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right]$。

1.2 T-S模糊模型

考虑模糊规则如下:

模糊规则1:IF δ₁(t) is ${\mathit{M}}_{1}^{1}$ and δ₂(t) is ${\mathit{M}}_{2}^{1}$ and … and δ_l(t) is ${\mathit{M}}_{\mathit{l}}^{1}$,THEN

(3)

$\left\{\begin{array}{l}\stackrel{·}{\mathit{x}}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{A}}_{1}\mathit{x}\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{B}}_{1}\mathit{u}\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{D}}_{1}\mathit{d}\left(\mathit{t}\right)\\ \mathit{y}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{C}}_{1}\mathit{x}\left(\mathit{t}\right)\end{array}\right.$

模糊规则2:IF δ₁(t) is ${\mathit{M}}_{1}^{2}$ and δ₂(t) is ${\mathit{M}}_{2}^{2}$ and … and δ_l(t) is ${\mathit{M}}_{\mathit{l}}^{1}$,THEN

(4)

$\left\{\begin{array}{l}\stackrel{·}{\mathit{x}}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{A}}_{2}\mathit{x}\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{B}}_{2}\mathit{u}\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{D}}_{2}\mathit{d}\left(\mathit{t}\right)\\ \mathit{y}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{C}}_{2}\mathit{x}\left(\mathit{t}\right)\end{array}\right.$

利用T-S模糊规则进行模糊化处理,通过分段线性化,将复杂非线性系统转化为多个线性子系统的加权组合。通过单点模糊化,乘积推理和中心平均反模糊化方法,将式(3)和式(4)表示为

(5)

$\left\{\begin{array}{l}\stackrel{·}{\mathit{x}}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{A}}_{\mathrm{\mu }}\mathit{x}\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{B}}_{\mathrm{\mu }}\mathit{u}\left(\mathit{t}\right)+{\mathit{D}}_{\mathrm{\mu }}\mathit{d}\left(\mathit{t}\right)\\ \mathit{y}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{C}}_{\mathrm{\mu }}\mathit{x}\left(\mathit{t}\right)\end{array}\right.$

式(5)中:A_μ=$\stackrel{2}{\sum _{\mathit{i}=1}}$m_i[x(t)]A_i、B_μ=$\stackrel{2}{\sum _{\mathit{i}=1}}$m_i×[x(t)]B_i、C_μ=$\stackrel{2}{\sum _{\mathit{i}=1}}$m_i[x(t)]C_i、D_μ=$\stackrel{2}{\sum _{\mathit{i}=1}}$m_i[x(t)]D_i分别为隶属函数归一化后的系统系数矩阵。

1.3 T-S模糊模型离散化

在上述建立的模型基础上,接下来将进行PM拮抗关节的T-S模糊模型预测控制器的设计。但在进行控制器设计之前,根据模型预测控制的原理,首先需要对模型运用零阶保持器(zero-order hold, ZOH)进行离散化处理,处理后的结果为

(6)

$\left\{\begin{array}{l}\mathit{x}(\mathit{k}+1)={\mathit{A}}_{\mathrm{z}}\mathit{x}\left(\mathit{k}\right)+{\mathit{B}}_{\mathrm{z}}\mathit{u}\left(\mathit{k}\right)+{\mathit{D}}_{\mathrm{z}}\mathit{d}\left(\mathit{k}\right)\\ \mathit{y}\left(\mathit{k}\right)={\mathit{C}}_{\mathrm{z}}\mathit{x}\left(\mathit{k}\right)\end{array}\right.$

式(6)中:A_z=e^A_μT, B_z=A_μ^-1(e^A_μT-1)B_μ, C_z=C_μ, D_z=A_μ^-1(e^A_μT-1)D_μ,为各变量的系数矩阵;T为系统采样时间。

2 T-S模糊预测模型控制器设计

MPC利用系统模型,根据系统当前状态对未来一段时间内的系统行为进行预测,并求解优化问题得到未来的控制量序列,选用第一个控制量作为系统控制输入,然后在每一个控制周期结束后,系统再对系统未来的输出进行重新预测,根据当前的实际状态对系统的实际状态进行优化后的控制。MPC的三个关键步骤分别是预测模型、滚动优化和反馈校正。

2.1 T-S模糊预测模型

首先建立预测模型,式(6)的T-S模糊模型转换成如下的预测模型形式

(7)

$\left\{\begin{array}{l}\mathit{x}(\mathit{k}+\mathit{n}\mathit{T}|\mathit{k})={\mathit{A}}_{\mathrm{z}}\mathit{x}[\mathit{k}+(\mathit{n}-1)\mathit{T}\left|\mathit{k}\right]+\\ \mathit{　}\mathit{　}{\mathit{B}}_{\mathrm{z}}\mathit{u}[\mathit{k}+(\mathit{n}-1\left)\mathit{T}\right|\mathit{k}]+\\ \mathit{　}\mathit{　}{\mathit{D}}_{\mathrm{z}}\mathit{d}[\mathit{k}+(\mathit{n}-1\left)\mathit{T}\right|\mathit{k}]\\ \mathit{y}(\mathit{k}+\mathit{n}\mathit{T}|\mathit{k})={\mathit{C}}_{\mathrm{z}}\mathit{x}(\mathit{k}+\mathit{n}\mathit{T}\left|\mathit{k}\right)\end{array}\right.$

式(7)中:x(k+nT|k)为状态信息是在kT时刻的x(k)向后预测nT时刻得到的状态信息x(k+n);x(k|k)=${\left[\begin{array}{ll}{\mathit{x}}_{1}\left(\mathit{k}\right|\mathit{k})& {\mathit{x}}_{2}\left(\mathit{k}\right|\mathit{k})\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$为离散后的PM拮抗关节的状态信息,x₁(k)为系统在kT时刻的角度信息,x₂(k)为系统在kT时刻的角速度信息;u(k|k)为系统在kT时刻的输入信号;y(k|k)为系统在kT时刻的输出量。

根据模型的可迭代性,推出系统在控制时域为dT,预测时域为nT时的T-S模糊预测模型(T-S MPC)为

(8)Y(k)=$\stackrel{-}{\mathit{A}}$x(k)+$\stackrel{-}{\mathit{B}}$U(k)+$\stackrel{-}{\mathit{H}}$Δ(k)

式(8)中:Y(k)为系统的输出序列;U(k)为系统控制输入序列;Δ(k)为系统干扰序列。其中:

Y(k)=${\left[\begin{array}{l}\mathit{y}(\mathit{k}+1\left|\mathit{k}\right.)\\ \mathit{y}(\mathit{k}+2\left|\mathit{k}\right.)\\ \mathit{︙}\\ \mathit{y}(\mathit{k}+\mathit{n}|\mathit{k})\end{array}\right]}_{\mathit{n}\times 1}$,U(k)=${\left[\begin{array}{l}\mathit{u}(\mathit{k}+1\left|\mathit{k}\right.)\\ \mathit{u}(\mathit{k}+2\left|\mathit{k}\right.)\\ \mathit{︙}\\ \mathit{u}(\mathit{k}+\mathit{d}|\mathit{k})\end{array}\right]}_{\mathit{d}\times 1}$,Δ(k)=${\left[\begin{array}{l}\mathit{d}(\mathit{k}+1\left|\mathit{k}\right.)\\ \mathit{d}(\mathit{k}+2\left|\mathit{k}\right.)\\ \mathit{︙}\\ \mathit{d}(\mathit{k}+\mathit{n}|\mathit{k})\end{array}\right]}_{\mathit{n}\times 1}$。$\stackrel{-}{\mathit{A}}$、$\stackrel{-}{\mathit{B}}$和$\stackrel{-}{\mathit{H}}$为模型的增益矩阵,具体形式为

$\stackrel{-}{\mathit{A}}$=${\left[\begin{array}{l}{\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}\\ {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{{\mathit{A}}^{2}}_{\mathit{z}}\\ \mathit{︙}\\ {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}^{\mathit{n}}\end{array}\right]}_{\mathit{n}\times 1}$,

$\stackrel{-}{\mathit{H}}$=${\left[\begin{array}{llll}{\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{D}}_{\mathit{z}}& 0& \dots & 0\\ {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}{\mathit{D}}_{\mathit{z}}& {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{D}}_{\mathit{z}}& \dots & 0\\ \mathit{︙}& \mathit{︙}& \mathrm{ }& \mathit{︙}\\ {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}^{\mathit{n}-1}{\mathit{D}}_{\mathit{z}}& {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}^{\mathit{n}-2}{\mathit{D}}_{\mathit{z}}& \dots & \mathrm{C}\mathrm{D}\end{array}\right]}_{\mathit{n}\times \mathit{n}}$,

$\stackrel{-}{\mathit{B}}$=${\left[\begin{array}{llll}{\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{B}}_{\mathit{z}}& 0& \dots & 0\\ {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}{\mathit{B}}_{\mathit{z}}& {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{B}}_{\mathit{z}}& \dots & 0\\ \mathit{︙}& \mathit{︙}& \mathrm{ }& \mathit{︙}\\ {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}^{\mathit{d}-1}{\mathit{B}}_{\mathit{z}}& {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}^{\mathit{d}-2}{\mathit{B}}_{\mathit{z}}& \dots & {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{B}}_{\mathit{z}}\\ {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}^{\mathit{d}}{\mathit{B}}_{\mathit{z}}& {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}^{\mathit{d}-1}{\mathit{B}}_{\mathit{z}}& \dots & \stackrel{1}{\sum _{\mathit{\upsilon }=0}}{\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}^{\mathit{\upsilon }}{\mathit{B}}_{\mathit{z}}\\ \mathit{︙}& \mathit{︙}& \mathrm{ }& \mathit{︙}\\ {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}^{\mathit{n}-1}{\mathit{B}}_{\mathit{z}}& {\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}^{\mathit{n}-2}{\mathit{B}}_{\mathit{z}}& \dots & \stackrel{\mathit{n}-\mathit{d}}{\sum _{\mathit{\upsilon }=0}}{\mathit{C}}_{\mathit{z}}{\mathit{A}}_{\mathit{z}}^{\mathit{\upsilon }}{\mathit{B}}_{\mathit{z}}\end{array}\right]}_{\mathit{n}\times \mathit{d}}$。

2.2 约束处理及代价函数设计

对于PM控制输入饱和约束特性,有饱和函数为

(9)U_sat(k)=$\left\{\begin{array}{ll}\left[\begin{array}{l}{\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ \mathit{︙}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}\right],& \mathit{U}\left(\mathit{k}\right)\le \left[\begin{array}{l}{\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ \mathit{︙}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}\right]\\ \mathit{U}\left(\mathit{k}\right),& \left[\begin{array}{l}{\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ \mathit{︙}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}\right]<\mathit{U}\left(\mathit{k}\right)<\left[\begin{array}{l}{\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ \mathit{︙}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{l}{\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ \mathit{︙}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}\right],& \mathit{U}\left(\mathit{k}\right)\ge \left[\begin{array}{l}{\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ \mathit{︙}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}\right]\end{array}\right.$

进而得到饱和偏差为

(10) ΔU_sat(k)=U(k)-U_sat(k)

代价函数组成通常由误差项和输入项两部分组成。为提升PM拮抗关节系统在饱和约束条件下的控制性能,设计代价函数

(11)J=${‖\frac{\mathit{　}}{\mathit{　}}\mathrm{Y}\left(\mathrm{k}\right)-{\mathit{Y}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}‖}_{\mathit{Q}}^{2}$+${‖\frac{\mathit{　}}{\mathit{　}}\mathit{U}\left(\mathit{k}\right)‖}_{\mathit{R}}^{2}$+${‖\frac{\mathit{　}}{\mathit{　}}\mathrm{\Delta }{\mathit{U}}_{\mathit{s}\mathit{a}\mathit{t}}\left(\mathit{k}\right)‖}_{\mathit{S}}^{2}$

式(11)中的代价函数由角度输出跟踪误差项、控制输入项以及饱和偏差约束项组成,旨在最小化输出跟踪误差、抑制过大变化的控制输入以及抑制控制输入超出物理限幅,从而达到PM关节的高精度控制。Y_ref为参考角度,Q、R、S分别为输出序列、控制序列以及饱和偏差序列的权重矩阵,表达式为

Q=${\left[\begin{array}{llll}\mathrm{\alpha }& 0& \dots & 0\\ 0& \mathrm{\alpha }& \dots & 0\\ \mathit{︙}& \mathit{︙}& \mathrm{ }& \mathit{︙}\\ 0& 0& \dots & \mathrm{\alpha }\end{array}\right]}_{\mathit{n}\times \mathit{n}}$,

R=${\left[\begin{array}{llll}\mathrm{\beta }& 0& \dots & 0\\ 0& \mathrm{\beta }& \dots & 0\\ \mathit{︙}& \mathit{︙}& \mathrm{ }& \mathit{︙}\\ 0& 0& \dots & \mathrm{\beta }\end{array}\right]}_{\mathit{d}\times \mathit{d}}$,

S=${\left[\begin{array}{llll}\mathrm{s}& 0& \dots & 0\\ 0& \mathrm{s}& \dots & 0\\ \mathit{︙}& \mathit{︙}& \mathrm{ }& \mathit{︙}\\ 0& 0& \dots & \mathrm{s}\end{array}\right]}_{\mathit{d}\times \mathit{d}}$。

2.3 最优控制律求解

对于上述设计的代价函数进行优化求解,得到代价函数最小时(即在满足约束条件下,系统控制精度最高、误差最小)的最优控制律,优化问题为

(12)

$\left\{\begin{array}{l}\underset{\mathrm{U}\left(\mathrm{k}\right)}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\mathit{J}={\mathrm{J}}_{\mathit{t}\mathit{r}\mathit{a}\mathit{c}\mathit{k}}+{\mathrm{J}}_{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{n}\mathit{t}\mathit{r}\mathit{o}\mathit{l}}+{\mathrm{J}}_{\mathit{s}\mathit{a}\mathit{t}}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathit{　}\left[\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ {\mathrm{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ \mathit{︙}\\ {\mathrm{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}\right]\le \mathit{U}\left(\mathit{k}\right)\le \left[\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ {\mathrm{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ \mathit{︙}\\ {\mathrm{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}\right]\end{array}\right.$

式(12)中:J_track=(Y-Y_ref)^TQ(Y-Y_ref),J_control=U^TRU,J_sat=(U-U_sat)^TR(U-U_sat)。

采用序列二次迭代法(sequential quadratic programming, SQP)对优化问题进行迭代求解。

(1)代价函数的梯度:

(13) ∇J(U_k)=2H^TQ(HU_k+C)+2RU_k+2S(U_k-U_sat,_k)

(2)计算Hessian矩阵Β_k:

(14) ∇²J(U_k)=2H^TQH+2R+2S

(3)构建QP子问题:

(15)$\left\{\begin{array}{l} \min _{p_{k}} \frac{1}{2} \boldsymbol{p}_{k}^{\mathrm{T}} \nabla^{2} J\left(\boldsymbol{U}_{k}\right) \boldsymbol{p}_{k}+\nabla J\left(\boldsymbol{U}_{k}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}_{k} \\ \text { s.t. }\left[\begin{array}{c} u_{\min } \\ u_{\min } \\ \vdots \\ u_{\min } \end{array}\right]_{1 \times d} \leqslant \boldsymbol{U}_{k}+\boldsymbol{p}_{k} \leqslant\left[\begin{array}{c} u_{\max } \\ u_{\max } \\ \vdots \\ u_{\max } \end{array}\right]_{1 \times d} \end{array}\right.$

式中:p_k为搜索方向增量,目的是使代价函数在当前点U_k处的局部二次近似达到最小值,使得式(16)成立。

(16)J(U_k+p_k)≈J(U_k)+ ∇ J(U_k)^Tp_k+$\frac{1}{2}{{\mathit{p}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{k}}$∇²J(U_k)p_k

通过调整p_k,使得上述二次近似函数最小化,从而逼近原函数的最优解。

对目标函数的二次近似求导,得

(17)$\begin{array}{c} \nabla_{p_{k}}\left[\frac{1}{2} \boldsymbol{p}^{\mathrm{T}} \nabla^{2} J\left(\boldsymbol{U}_{k}\right) \boldsymbol{p}_{k}+\nabla J\left(\boldsymbol{U}_{k}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}_{k}\right]= \\ \nabla^{2} J\left(\boldsymbol{U}_{k}\right) \boldsymbol{p}_{k}+\nabla J\left(\boldsymbol{U}_{k}\right)=0 \end{array}$

解得

(18) ∇²J(U_k)p_k=-∇J(U_k)

当∇²J(U_k)为正定矩阵时,p_k=$-\left[\nabla^{2} J\left(\boldsymbol{U}_{k}\right)\right]^{-1} \nabla J\left(\boldsymbol{U}_{k}\right)$。

(4)迭代更新:

(19) U_k₊₁=U_k+α_kp_k

式(15)中:α_k为搜索步长。

(5)选取最优控制序列的第一项作为最优控制律,即

(20) u(k)=LU_k

式(20)中:L=[1,0,…,0]。

3 仿真与实验

3.1 仿真验证

通过测试平台对PM拮抗关节所使用的Festo DMSP-20型的PM进行参数辨识,PM拮抗关节的相关参数如表1所示。

通过对上述理论分析及建模方面综合考虑,确定设计的T-S模糊模型预测控制器的相关参数:输出序列矩阵系数α=30, 控制输入序列矩阵系数β=0.1,饱和偏差序列矩阵系数s=10,预测时域n=20,控制时域d=10。选取S型隶属函数作为T-S模糊系统的隶属函数,同时假设系统的扰动项为d(t)=0.1 sin(0.1πt)-0.2 cos(0.2πt)。根据表1可建立T-S模糊模型为A₁=$\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ -1.67& -31.12\end{array}\right]$,A₂=$\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ -1.61& -31.61\end{array}\right]$,B₁=$\left[\begin{array}{l}0\\ 11.9\end{array}\right]$,B₂=$\left[\begin{array}{l}0\\ 11.95\end{array}\right]$。

通过对不同周期不同幅值的正弦曲线进行角度轨迹跟踪仿真实验,用所建立的带饱和约束的T-S MPC对比未经过T-S模糊化的MPC,仿真图如图2~图5所示,并将仿真数据记录在表2中。

由仿真图2~图5以及表2中的数据可知,在饱和约束与上述周期、幅值条件下,T-S MPC相较于对比的MPC,其误差范围及均方根误差均相对较小,误差率整体范围降低了64.5%~66.2%,从而证实了所设计的T-S模糊模型预测控制器的有效性与有界稳定性。

为了验证将饱和约束引入代价函数中作为饱和约束项对于系统控制精度的有效性。现在控制输入约束条件下,对比有饱和项和无饱和项的两种代价函数进行角度轨迹跟踪仿真实验,并且为了贴合仿生角度,引用文献[19]中人体运动时膝关节的运动变化曲线作为参考角度轨迹,仿真结果如图6所示。仿真数据如表3所示。

从图6以及表3中的数据可以看出,在上述角度轨迹跟踪实验条件下,代价函数中加入饱和项比不加饱和项的误差率降低了9.66%。可以得出加入饱和项后,系统的控制精度得到了小幅度提升。

3.2 实验验证

实物平台如图7所示,使用个人计算机与STM32单片机通信,单片机发出控制信号,经过电压线性放大器将0~3.3 V电压放大到能被气压比例阀接收的0~10 V电压信号。气泵接入气压比例阀进气口,经控制信号控制比例阀阀门开度,控制气体从出气口输送给PM拮抗关机的两根PM,使其中一根做充气收缩,另一根做放气伸长运动,带动关节上的齿轮转动。齿轮上的角度编码器产生角度信息,发送给单片机存储。

在3.1节中,通过仿真验证了饱和约束下的T-S模糊模型预测控制算法的有效性和稳定性。为了进一步验证所提出的算法,下面在拮抗关节实验平台对其进行了实验。实验结果如图8~图10所示,结果数据如表4所示。

从图8~图10以及表4中的数据可以看出,饱和约束下的T-S MPC比MPC的整体实验效果要好。在幅值为0.35 rad,周期为5 s与10 s的条件下,T-S MPC的误差率平均比MPC降低了18.7%和15.6%。而在幅值为0.1 rad,周期为10 s时,误差率降低了44%。

4 结论

针对饱和约束下PM拮抗关节的高精度控制问题,提出了一种融合输出跟踪误差项、控制输入项以及饱和偏差项的T-S MPC策略。首先,在PM动力学模型的基础上建立T-S模糊模型,通过分段线性化实现复杂非线性系统的多子系统加权组合,获得更高精度的预测模型。其次,将饱和输入约束项显式引入代价函数,并采用SQP方法进行优化求解,实现了对控制输入的物理限幅约束与性能优化的平衡。通过仿真与实物实验验证,结果表明该方法能有效避免执行器饱和现象,提升了系统的动态响应速度和轨迹跟踪精度,相较于传统MPC算法,误差降低幅度达15%~45%,验证了所设计控制器的可行性和鲁棒性。

未来的研究工作将从以下几个方面展开:一是引入自适应模糊权重调整机制,以进一步提升控制器对外部扰动与系统参数变化的适应性;二是探索数据驱动与模型驱动相结合的T-S MPC框架,以降低计算复杂度并增强模型的泛化能力;三是将所提出的控制方法应用于多自由度柔性机器人系统,研究不同关节耦合条件下的协同控制特性,为气动驱动康复外骨骼及仿生机器人系统的高性能控制提供理论与实验依据。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

[1]	Wu S, Ze Q J, Dai J Z, et al. Stretchable origami robotic arm with omnidirectional bending and twisting[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2021, 118(36): e2110023118.

[2]	Della S C, Duriez C, Rus D. Model-based control of soft robots: a survey of the state of the art and open challenges[J]. IEEE Control Systems Society, 2023, 43(3): 30-65.

[3]	Li L B, Zhu L J, Huang J. Stable locomotion of biped robot with gaits of sinusoidal harmonics[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2024, 32(3): 805-817.

[4]	Yan L X, Ma B L, Jia Y M, et al. Observer-based trajectory tracking control of nonholonomic wheeled mobile robots[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2024, 32(3): 1114-1124.

[5]	Zhang X, Sun N, Liu G, et al. Disturbance preview-based output feedback predictive control for pneumatic artificial muscle robot systems with hysteresis compensation[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2024, 29(5): 3936-3948.

[6]	Lin C J, Sie T Y, Chu W L, et al. Tracking control of pneumatic artificial muscle-activated robot arm based on sliding-mode control[J]. Actuators, 2021, 10(3): 66.

[7]	Yang T, Chen Y H, Sun N, et al. Learning-based error-constrained motion control for pneumatic artificial muscle-actuated exoskeleton robots with hardware experiments[J]. IEEE Transactions on Automation Science and Engineering, 2021, 19(4): 3700-3711.

[8]	Duong M D, Pham Q T, Vu T C, et al. Adaptive fuzzy sliding mode control of an actuator powered by two opposing pneumatic artificial muscles[J]. Scientific Reports, 2023, 13(1): 8242.

[9]	Liu Y X, Zang X Z, Li C L, et al. Design and control of a pneumatic-driven biomimetic knee joint for biped robot[C]// Proceedings of IEEE International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics(AIM). New York: IEEE, 2017: 70-75.

[10]	Chen C T, Lien W Y, Chen C T, et al. Implementation of an upper-limb exoskeleton robot driven by pneumatic muscle actuators for rehabilitation[J]. Actuators, 2020, 9(4): 106.

[11]	安小宇, 梅永祥, 郭磊磊, 等. 基于模型预测转速估计器的感应电机无传感器控制[J]. 科学技术与工程, 2024, 24(25): 10783-10789.

[12]	An Xiaoyu, Mei Yongxiang, Guo Leilei, et al. Sensorless control of induction motor based on model predictive speed estimator[J]. Science Technology and Engineering, 2024, 24(25): 10783-10789.

[13]	Zhang Y, Cheng Q, Chen W, et al. Dynamic modelling and inverse compensation for coupled hysteresis in pneumatic artificial muscle-actuated soft manipulator with variable stiffness[J]. ISA Transactions, 2024, 145: 468-478.

[14]	Ma G, Jia H, Xia D, et al. Hysteresis compensation and trajectory tracking control model for pneumatic artificial muscles[J]. Applied Sciences, 2024, 14(21): 9684.

[15]	Cao Y, Huang J, Xiong C H. Single layer learning based predictive control with echo state network for pneumatic muscle actuators driven exoskeleton[J]. IEEE Transactions on Cognitive and Developmental Systems, 2021, 13(1): 80-90.

[16]	Chen Y H, Sun N, Liang D K, et al. A neuroadaptive control method for pneumatic artificial muscle systems with hardware experiments[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2021, 146: 106976.

[17]	陈诚, 黄剑, 刘磊, 等. 基于数据驱动的气动柔性关节Takagi-Sugeno模糊系统建模与预测控制[J]. 控制理论与应用, 2022, 39(4): 633-642.

[18]	Chen Cheng, Huang Jian, Liu Lei, et al. Data-driven modeling and predictive control of pneumatic flexible joint using Takagi-Sugeno fuzzy systems[J]. Control Theory and Applications, 2022, 39(4): 633-642.

[19]	Diao S. Prescribed-time adaptive fuzzy control for pneumatic artificial muscle-actuated parallel robots with input constraints[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2024, 32(4): 2039-2051.

[20]	张传强, 周坤, 崔小红, 等. 基于T-S模糊建模的气动肌肉拮抗关节预测角度控制[J]. 中国计量大学学报, 2024, 35(2): 222-232.

[21]	Zhang Chuanqiang, Zhou Kun, Cui Xiaohong, et al. Predictive angle control of antagonistic pneumatic muscle joints based on T-S fuzzy modeling[J]. Journal of China Jiliang University, 2024, 35(2): 222-232.