双层BCC点阵夹芯板振动特性分析

黄舟; 尹华莉; 雷雅稀; 黄鑫; 石先杰

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2505532

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (22) :9452-9459 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2505532

力学

双层BCC点阵夹芯板振动特性分析

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Vibration Characteristics of Double-layer BCC Lattice Sandwich Plate

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摘要

针对传统单层BCC点阵夹芯板在极端动态载荷下易失稳与能量耗散不足的问题,提出了一种双层BCC点阵夹芯板动力学分析模型,旨在揭示其振动特性规律并提升结构刚度与减振性能。基于三维弹性理论与谱几何法,结合修正均匀化等效原理与虚拟弹簧边界技术,建立了双层BCC夹芯板的动力学方程,并通过能量泛函推导了其固有频率与随机振动响应表达式。通过数值算例验证了模型的收敛性,并与有限元计算结果进行对比,对比结果验证了模型的正确性。在此基础上讨论了晶胞高度、晶胞尺寸、杆径等参数对双层BCC点阵夹芯板振动特性的影响规律,可为实际工程应用提供理论指导。

Abstract

Aiming at the problems of instability and insufficient energy dissipation of traditional single-layer BCC lattice sandwich panels under extreme dynamic loads, a dynamic analysis model of a double-layer BCC lattice sandwich panel was proposed, which was aimed at revealing the vibration characteristics and improving the structural stiffness and damping performance. Based on three-dimensional elasticity theory and spectral geometry method, and by incorporating the modified homogenization equivalence principle and virtual spring boundary technology, the dynamic equations for double-layer BCC sandwich plates were established. The natural frequency and random vibration response expressions were derived via energy functional. Numerical examples validate the model's convergence, and comparisons with finite element results confirm its accuracy. Additionally, the effects of unit cell height, cell size, and rod diameter on the vibration characteristics were discussed to provide theoretical guidance for practical engineering applications.

Graphical abstract

关键词

双层BCC点阵结构 / 夹芯板 / 三维弹性理论 / 谱几何法 / 随机载荷

Key words

double-layer BCC lattice structure / sandwich plate / three-dimensional elasticity theory / spectral geometry method / random loads

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黄舟, 尹华莉, 雷雅稀, 黄鑫, 石先杰. 双层BCC点阵夹芯板振动特性分析[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(22): 9452-9459 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2505532

HUANG Zhou, YIN Hua-li, LEI Ya-xi, HUANG Xin, SHI Xian-jie. Vibration Characteristics of Double-layer BCC Lattice Sandwich Plate[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(22): 9452-9459 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2505532

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随着航空航天、轨道交通等领域对轻量化、高强度结构的迫切需求,新型点阵夹芯结构因其优异的比刚度、能量吸收特性及多功能集成潜力备受关注。其中,体心立方(body-centered cubic,BCC)点阵夹芯板凭借其规则的拓扑构型和可控的力学性能,在飞行器蒙皮、高速列车车身等工程场景中展现出广阔的应用前景^[1-5]。然而,传统单层BCC夹芯板在极端动态载荷(如随机振动、冲击)下易出现局部失稳^[6-8]与能量耗散不足问题。为此,双层BCC夹芯板通过分层设计与几何参数优化,可显著提升结构的整体刚度、振动抑制和缓冲能力,成为新一代轻量化承载减振一体结构的候选方案。

尽管双层BCC夹芯板具有显著的工程应用价值,其振动特性分析仍面临理论瓶颈。现有研究多集中于单层BCC结构的静力学性能或简单模态分析,对双层构型的动力学建模与参数影响规律缺乏系统性探索。Shang等^[9]基于弹性模量线性假设提出了BCC夹层结构的等效模量理论模型;Yang等^[10]通过铁木辛柯梁理论推导了BCC网格的弹性模量;Kohsaka等^[11]基于六阶偏微分方程预测了BCC晶胞的等效剪切模量。然而这些研究均未考虑双层BCC结构的层间耦合效应与几何参数对等效刚度的影响。

在动力学研究领域,点阵夹层结构的振动特性分析仍面临方法局限性。Chen等^[12-13]基于一阶剪切变形理论与Zig-Zag理论,建立了简支边界下夹芯板的固有频率解析模型,但其适用性局限于低阶模态与简单载荷条件;Lou等^[14]通过实验揭示了局部缺陷对金字塔型夹芯板振型的影响,但未扩展到BCC构型的参数化分析;Chai等^[15-16]研究了弹性支承与非线性振动响应,但模型未覆盖随机激励下的宽频特性。蒋存存^[17]与张容国等^[18]结合多尺度有限元法(MsFEM),推导得出结构等效刚度和质量的表达式,以此建立能够预测结构频率的多尺度等效模型,实现结构固有频率的最优设计。此外,现有研究多采用经典板理论或有限元法^[17-19],难以高效处理复杂边界条件(如固支-自由混合约束)与多物理场耦合问题,导致预测精度与计算效率难以兼顾。

针对上述问题,现建立一种基于三维弹性理论与谱几何法的双层BCC点阵夹芯板振动特性分析模型。通过引入修正均匀化等效原理与虚拟弹簧边界技术,系统性地分析晶胞参数、层间耦合与边界约束对结构动态特性的影响,为双层BCC夹芯板的设计与应用提供理论支撑。构建用于双层BCC点阵夹心板振动特性分析的高保真模型;实现高效计算,解决传统有限元法分析此类复杂结构振动特性时“计算成本巨大”的限制;揭示芯层晶格关键几何参数对结构等效刚度及随机振动特性的影响规律,为航空航天装备减振、高速运载工具噪声控制等工程问题提供关键设计依据,并具有重要的理论与应用价值。

1 理论推导

1.1 模型描述

BCC点阵晶胞结构示意图如图1所示,单胞的长和宽均为a_b,高为h_b,杆长为l_b,杆径为r_b,此外杆的倾角为θ_b。通过等效板理论将BCC结构层等效为一层拥有同等结构尺寸的均质层,如图2所示,夹芯板的长、宽分别表示为a_p和b_p,总厚度为H,点阵夹层的厚度和蒙皮层的厚度分别表示为h_m和h_p。

为了准确地表述模型的位置关系,建立了位于模型中面的坐标系O_xyz,设沿板(x, y, z)方向的位移分量用(u, v, w)表示。

1.2 能量方程

依据三维弹性理论,双层BCC点阵夹芯板每一层的应变-位移关系为

(1)

$\left\{\begin{array}{l}{\epsilon }_{x}^{k}=\partial {u}^{k}/\partial {x}^{k}\\ {\epsilon }_{y}^{k}=\partial {v}^{k}/\partial {y}^{k}\\ {\epsilon }_{z}^{k}=\partial {w}^{k}/\partial {z}^{k}\\ {\gamma }_{yz}^{k}=\partial {w}^{k}/\partial {y}^{k}+\partial {v}^{k}/\partial {z}^{k}\\ {\gamma }_{xz}^{k}=\partial {u}^{k}/\partial {z}^{k}+\partial {w}^{k}/\partial {x}^{k}\\ {\gamma }_{xy}^{k}=\partial {u}^{k}/\partial {y}^{k}+\partial {v}^{k}/\partial {x}^{k}\end{array}\right.$

式(1)中:u^k、v^k和w^k分别为在第k层的位移分量,其中k=1,2,…,5;ε_x、ε_y和ε_z为结构的法向应变分量;γ_yz、γ_xz和γ_xy为结构的剪切应变分量。

根据广义胡克定律,均质材料的应力可通过结构的应变和相应的弹性刚度系数表示为

(2)$\left[\begin{array}{l}{\sigma }_{x}^{k}\\ {\sigma }_{y}^{k}\\ {\sigma }_{z}^{k}\\ {\tau }_{yz}^{k}\\ {\tau }_{xz}^{k}\\ {\tau }_{xy}^{k}\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{llllll}{G}_{11}^{k}& {G}_{12}^{k}& {G}_{13}^{k}& 0& 0& 0\\ {G}_{12}^{k}& {G}_{22}^{k}& {G}_{23}^{k}& 0& 0& 0\\ {G}_{13}^{k}& {G}_{23}^{k}& {G}_{33}^{k}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {G}_{44}^{k}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {G}_{55}^{k}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {G}_{66}^{k}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\epsilon }_{x}^{k}\\ {\epsilon }_{y}^{k}\\ {\epsilon }_{z}^{k}\\ {\gamma }_{yz}^{k}\\ {\gamma }_{xz}^{k}\\ {\gamma }_{xy}^{k}\end{array}\right]$

式(2)中:σ和τ分别为模型的法向应力和剪切应力分量;

${G}_{ij}^{k}$

为第k层弹性刚度系数, 其中i,j=1,2,…,6。

(3)${G}_{11}^{k}$=${G}_{22}^{k}$=${G}_{33}^{k}$=$\frac{{E}^{k}(1-{\mu }^{k})}{(1+{\mu }^{k})(1-2{\mu }^{k})}$

(4)${G}_{12}^{k}$=${G}_{13}^{k}$=${G}_{23}^{k}$=$\frac{{\mu }^{k}{E}^{k}}{(1+{\mu }^{k})(1-2{\mu }^{k})}$

(5)${G}_{44}^{k}$=${G}_{55}^{k}$=${G}_{66}^{k}$=G^k

式中:E^k、 μ^k和G^k分别为对应层材料的杨氏模量、泊松比和剪切模量,其中当k=2和4时,这些材料参数是点阵层等效后的材料参数E^*、 μ^*和G^*。

为了将BCC晶胞进行等效,需要对其进行力学分析,如图1所示,单个BCC晶胞可以视为4根倾斜的杆,其等效密度比值为4根杆的体积与单个晶胞长方体体积之比。然而当杆的半径较大时,杆末端与中间部分的重合部分占比增大,误差也随之增大。为了解决这一问题,文献[20]对等效密度进行了修正,修正后的公式可以表示为

(6)ρ^*=$\frac{(4\pi {r}_{b}^{2}{l}_{b}-39.2{r}_{b}^{3})\rho }{{a}_{b}^{2}{h}_{b}}$

式(6)中:ρ为基体材料的密度;ρ^*为等效材料密度。

而相应的其等效杨氏模量E^*、泊松比μ^*和剪切模量G^*也可以表示为

(7)E^*=$\frac{{\rho }^{*}}{\rho }$Esin⁴θ_b

(8)G^*=$\frac{{\rho }^{*}}{8\rho }$Esin²2θ_b

(9)μ^*=$\frac{{E}^{*}}{2{G}^{*}}$-1

式中:E为基体材料的杨氏模量。

拉格朗日方程可以描述为系统的能量与系统状态的函数关系,可以以此推导系统的动力学方程,因此,将通过拉格朗日方程对动力学特性进行计算。首先根据能量表达式对双层BCC点阵夹芯板的动能T^k和应变能

${U}_{s}^{k}$

进行表示,即

(10)T^k=$\frac{{\rho }^{k}}{2}{\int }_{0}^{{V}^{k}} $[${\left(\frac{\partial {u}^{k}}{\partial t}\right)}^{2}$+${\left(\frac{\partial {v}^{k}}{\partial t}\right)}^{2}$+${\left(\frac{\partial {w}^{k}}{\partial t}\right)}^{2}$]dV

(11)${U}_{s}^{k}$=$\frac{1}{2}{\int }_{0}^{{V}^{k}} $[${\sigma }_{x}^{k}{\epsilon }_{x}^{k}$+${\sigma }_{y}^{k}{\epsilon }_{y}^{k}$+${\sigma }_{z}^{k}{\epsilon }_{z}^{k}$+${\tau }_{yz}^{k}{\gamma }_{yz}^{k}$+${\tau }_{xz}^{k}{\gamma }_{xz}^{k}$+${\tau }_{xy}^{k}{\gamma }_{xy}^{k}$]dV

式中:∂t为对时间t的偏导;dV为对结构体积V的积分。

采用人工虚拟弹簧方法,通过布置虚拟弹簧,控制弹簧刚度来模拟约束双层BCC点阵夹芯板的边界条件。因此夹芯板的边界弹性势能

${U}_{b}^{k}$

可以通过虚拟弹簧刚度表示为

(12)${U}_{b}^{k}$=$\frac{1}{2}{\int }_{0}^{{S}^{k}} $[k_u(u^k)²+k_v(v^k)²+k_w(w^k)²]dS

式(12)中:k_u、k_v和k_w分别为在(u, v, w)方向的虚拟弹簧刚度;dS为对结构边界面积S的积分;S^k为第k层结构的边界面积。

为了保证每层之间位移的连续性,采用罚函数法将层间的接触条件转化为耦合罚势能

${{U}_{c}^{k}}$

^[21],即

(13)${U}_{c}^{k}$=$\frac{1}{2}{\int }_{0}^{{S}^{k}} $κ$\sum _{k=1}^{4}$[(u^k+1-u^k)²+(v^k+1-v^k)²+(w^k+1-w^k)²]dS

式(13)中:κ为相邻层之间的罚因子。

1.3 模型求解

采用谱几何法对位移分量进行表示,谱几何法具有出色的自适应分析能力,具有良好的收敛性和计算稳定性。通过谱几何法可以将位移分量表示为

(14)p^k=e^-i^wt

$\sum _{m=-2}^{M}\sum _{n=-2}^{N}\sum _{o=-2}^{O}$

P_mnoT_m(x)T_n(y)${T}_{o}^{k}$(z)

式(14)中:p^k=[u^k　v^k　w^k]^T为位移分量矩阵;P=[A B C]^T为未知级数展开系数矩阵,其中的A、B、C分别对应位移分量(u,v,w)方向的未知级数向量;m、n和o为模型的截断数,决定模型的计算精度;T_m、T_n和T_o为结构的模态约束振型;ω为结构的固有圆频率。

(15)T_m(x)=$\left\{\begin{array}{ll}cos{\lambda }_{m}x,& m\ge 0\\ sin{\lambda }_{m}x,& m<0\end{array}\right.$, λ_m=$\frac{m\pi }{{a}_{p}}$

(16)T_n(y)=$\left\{\begin{array}{ll}cos{\lambda }_{n}y,& n\ge 0\\ sin{\lambda }_{n}y,& n<0\end{array}\right.$, λ_n=$\frac{n\pi }{{b}_{p}}$

(17)${T}_{o}^{k}$(z)=$\left\{\begin{array}{ll}cos{\lambda }_{o}z,& o\ge 0\\ sin{\lambda }_{o}z,& o<0\end{array}\right.$, λ_o=$\frac{o\pi }{{h}^{k}}$

基于上述能量表达式,可以将双层BCC点阵夹芯板的能量泛函L表示为

(18)L=$\sum _{k=1}^{5}$(${U}_{s}^{k}$+${U}_{b}^{k}$+${U}_{c}^{k}$-T^k)

将位移函数代入,并对未知系数求偏导,即

(19)$\frac{\partial L}{\partial P}$=0

可以得到双层BCC点阵夹芯板的控制方程为

(20)(K-ω²M)P=0

式(20)中:K和M分别为刚度矩阵和质量矩阵。

参照文献[22-23]对本文模型设置随机激励,外部载荷对双层BCC点阵夹芯板做的功W^k可描述为

(21)W^k=-${\int }_{0}^{V} $ρ^keⁱ^ωt

$\sqrt{{S}_{g}\left(\omega \right)}$

w^kdV

式(21)中:S_g(ω)为功率谱密度。

将载荷做功代入能量泛函中,再经过偏导可以得到加入随机载荷后的控制方程为

(22)(K-ω²M)P=F

式(22)中:F为广义力向量。

2 数值验证与参数化分析

将通过数值算例验证本文模型的收敛性,随后本文模型与有限元模型的计算结果进行对比,以验证本文模型的有效性,在此基础上研究相关参数对双层BCC点阵夹芯板动力学性能的影响。除非另有说明,下文算例均采用以下属性参数,其中材料参数为:E =E⁽¹⁾=E⁽³⁾ =E⁽⁵⁾=210 GPa,μ⁽¹⁾=μ⁽³⁾=μ⁽⁵⁾=0.3,ρ =ρ⁽¹⁾=ρ⁽³⁾=ρ⁽⁵⁾=7 850 kg/m³;上角(1)、(3)、(5)分别为第1、第3、第5层。BCC晶胞尺寸参数为:a_b=10 mm、h_b=10 mm、r_b=1 mm。点阵夹芯板的尺寸参数为:a_p=2 m、b_p=1 m、h_m=0.002 m。对于自由状态下^[24-25],边界虚拟弹簧刚度为:k^u=k^v=k^w=0。对于固支边界下^[24-25],边界虚拟弹簧刚度为:k^u=k^v=k^w=10¹⁵。

2.1 收敛性分析

图3为在不同边界条件下双层BCC点阵夹芯板在不同截断数下的收敛情况。如图3所示,随着截断数M、N和O的逐渐增大,模型的固有频率逐渐收敛,并在M、N≥7,O≥4时几乎不再变化。为了保证计算准确度的同时兼顾计算效率,在下文中所有的计算算例均采用M=N=10,O=5。

2.2 有效性验证

为了验证本文模型的有效性和准确性,由于缺少对双层BCC点阵夹芯板的研究,将模型的模态结果与有限元计算得到的模态结果进行对比。有限元分析使用二次四面体单元(C3D10)进行精细化建模,网格全局布种尺寸为0.15 mm,模态分析选择线性摄动模块中的频率分析,随后在此基础上进行随机PSD参数设置,边界条件通过约束对应自由度来实现。

表1给出了在不同边界条件下双层BCC点阵夹芯板模态的对比。其中对比模型的尺寸参数为a_p=b_p=1 m。根据表1的对比结果可以发现,本文模型计算得到的结果与有限元结果最大的误差不超过1.3%,这表明所建立的模型可以准确地计算出双层BCC点阵夹芯板的振动特性。

为了进一步验证本文模型对于双层BCC点阵夹芯板振动特性计算的正确性,将所计算得到的双层BCC点阵夹芯板模型在随机载荷下的动力学响应与有限元计算得到的响应进行对比。图4给出了随机载荷作用下双层BCC点阵夹芯板固支边界条件的位移响应与速度响应的对比情况,其中随机载荷的主要参数为:激励范围1~800 Hz,激励幅值(power spectral density,PSD)为1 g²/Hz,阻尼比为0.05。从图4中可以看出,位移PSD和速度PSD曲线对比具有较好的一致性,结果表明,本文模型能准确地预测双层BCC点阵夹芯板的随机振动特性。

2.3 参数化分析

在验证了本文模型的正确性的基础上,本节将对相关尺寸参数对双层BCC点阵夹芯板动力学性能的影响进行分析。

图5给出了不同晶胞高度和不同杆径尺寸对双层BCC点阵夹芯板基频的影响规律。从图5中可以看出,晶胞杆径对夹芯板基频的控制效果比晶胞高度更为显著,从等效公式可以很容易看出,这与多孔材料等效公式Gibson-Ashby方程十分吻合,同时等效密度与母材密度之比本质上就是杆径与杆长之比,杆长的增加又引起晶胞高度的增加。等效刚度与杆径的平方成正比,与晶胞高度的平方成反比。这说明杆径的微小增加所能带来的刚度增幅,远超过晶胞高度同等比例变化所产生的影响。因此图6分析了不同晶胞杆径参数的双层BCC点阵夹芯板在随机载荷下的结构响应情况。值得注意的是,杆径均已经超过了在该结构尺寸下的等效密度和等效杨氏模量影响平衡值。从图6可以看出,在超越平衡点后,无论是固支边界还是简支边界条件下,晶胞杆径的增大都将导致随机载荷下的位移幅频曲线向低频偏移,并且每个峰值幅值也随之升高。因此在开展工程结构设计时,需要根据实际情况调整BCC晶胞的杆径。

从图5可以看出,随着晶胞高度的增大,双层BCC点阵夹芯板的基频也随之增大。这是因为高度的增加导致夹芯板整体厚度的增大,进而使板的弯曲刚度增大,最终导致夹芯板的基频一直增大。晶胞半径的增大将会导致夹芯板的基频先增大后减小。根据等效原理可以看出,杆径的增大将导致等效密度和等效杨氏模量的增大,等效密度的增大将导致夹芯板基频的下降,而等效杨氏模量的增大将导致夹芯板基频的增大。该现象意味着在杆径尺寸上存在一个平衡值,在达到该值时等效杨氏模量和等效密度对结构基频的影响达到平衡,在小于平衡值时等效杨氏模量对结构刚度影响更大,大于平衡值时等效密度对结构刚度的影响更大。而这在实际工程设计中应该着重考虑。

图7对不同晶胞长宽下双层BCC点阵夹芯板的随机载荷响应情况进行了分析。从图7中可以看出随着晶胞长宽的增大,随机载荷下的位移幅频曲线向高频偏移,并且每个峰值幅值也随之降低。根据等效公式可以得知,晶胞长宽的增大将导致等效密度的减小,而等效密度与等效杨氏模量和等效剪切模量成正比,因此等效杨氏模量与剪切模量随之下降,但由于点阵夹芯板的整体弯曲刚度主要由上下蒙皮及其间距决定,芯层刚度下降对整体刚度的影响相对较小,因此,在本文中的参数范围内,结构质量的下降幅度大于整体刚度的下降幅度,从而导致结构的整体比刚度升高,幅值曲线向高频移动,且幅值降低。这说明晶胞长宽对双层BCC点阵夹芯板的动态响应至关重要。

3 结论

根据等效板理论将BCC层等效成几何尺寸的均质虚拟材料,结合三维弹性理论与谱几何法建立双层BCC点阵夹芯板的动力学分析模型,并通过与有限元结果进行对比,验证了模型的有效性。在此基础上进一步探讨了晶胞参数对双层BCC点阵夹芯板动态特性的影响规律,并得到以下结论。

(1)所提出的动力学模型具有较高的求解精度,其计算结果与有限元结果的误差小于1.3%,且能准确预测随机载荷下的位移与速度响应,适用于多种边界条件分析。

(2)晶胞高度的增加显著提升了夹芯板的整体弯曲刚度,导致基频增大,同时随机载荷下的位移响应幅值降低。

(3)晶胞杆径的增大会同时提高等效杨氏模量与等效密度,但存在位移响应幅值升高。

(4)晶胞长宽的增大会降低等效密度与等效模量,导致结构整体比刚度升高,位移响应幅值升高,响应峰值向高频偏移。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

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