双点接触内齿轮插齿刀设计及参数优化

梁栋; 崔京浩; 陈永鹏

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2504412

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (13) :5489-5500 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2504412

机械、仪表工业

双点接触内齿轮插齿刀设计及参数优化

梁栋 ¹ ,
崔京浩 ² ,
陈永鹏 ¹

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Design and Parameter Optimization of Shaper Cutter for Double Point Contact Internal Gear

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摘要

插齿工艺因其在刀具操作空间受限时的独特优势,被广泛应用于内齿轮加工领域,近年来备受关注。插齿刀的结构参数与工艺参数优化对改善加工质量与提高齿轮制造精度具有重要意义。首先,针对新型双点接触内齿轮,提出了一种专用加工插齿刀的齿廓设计与啮合面推导方法,设计了插齿刀的齿廓,推导了刀具齿面成形方程,并构建了插齿刀的三维实体模型。基于DEFORM有限元仿真,分析了标准结构下单齿切削过程的主切削力与切削温度特性;其次,针对刀具前角、后角与刀具切削速度参数对刀具主切削力与切削温度的影响,采用正交试验设计方法设计样本点,通过响应面法研究并建立关于主切削力与切削温度的二次多项式预测模型并验证其精度,揭示了前后角-切削速度耦合作用于切削性能的影响规律。最后,以最小化主切削力与切削温度为目标,采用多目标遗传算法优化刀具结构与工艺参数。结果表明:多元参数条件下,切削速度与前角的交互作用对主切削力与切削温度影响最为显著;在合理误差范围内,采用优化后的刀具结构参数与工艺参数可显著降低切削过程中的主切削力与切削温度,研究结果为双点接触齿轮加工精度提升与加工刀具参数选择提供了理论与方法参考。

Abstract

The gear insertion process is extensively utilized in the domain of internal gear machining, owing to its distinct advantages in scenarios where the operational space for tools was constrained. This method has garnered considerable attention in recent years. The optimization of both structural and process parameters of the gear shaping cutter is crucial for machining quality and the precision of gear manufacturing. Initially, for the novel double-point contact internal gears, a dedicated tooth profile design and meshing surface derivation method for gear shaper cutters was proposed. the tooth profile of the shaper cutter was designed, and the equations governing the tool tooth shaping were derived. Subsequently, a three-dimensional solid model of the shaper cutter was developed. Utilizing DEFORM finite element simulation, an analysis was conducted on the primary cutting force and temperature characteristics associated with the single-tooth cutting process under standard structural conditions. Furthermore, the impact of various parameters, including the tool’s front angle, back angle, and cutting speed, on the primary cutting force and temperature was examined. An orthogonal experimental design methodology was employed to establish sample points, and a quadratic polynomial prediction model for the primary cutting force and temperature was formulated through the response surface method to validate its accuracy. The influence mechanism of the angle-cutting speed coupling effect on cutting performance was revealed. Ultimately, predictions regarding the minimum primary cutting force and temperature were made. A multi-objective genetic algorithm was then applied to optimize the tool’s structural and process parameters, aiming to minimize both the primary cutting force and temperature. The findings indicate that, among multiple parameters, the interaction between cutting speed and rake angle exerts the most significant influence on the primary cutting force and temperature. Within an acceptable margin of error, the optimized structural and process parameters can substantially reduce the primary cutting force and temperature during the cutting process. The research results provide theoretical and methodological references for improving the machining accuracy of double-contact gears and selecting optimal cutting tool parameters.

Graphical abstract

关键词

插齿刀 / 切削力 / 切削温度 / 参数优化

Key words

gear shaping cutter / cutting force / cutting temperature / optimization of parameters

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梁栋, 崔京浩, 陈永鹏. 双点接触内齿轮插齿刀设计及参数优化[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(13): 5489-5500 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504412

LIANG Dong, CUI Jing-hao, CHEN Yong-peng. Design and Parameter Optimization of Shaper Cutter for Double Point Contact Internal Gear[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(13): 5489-5500 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504412

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内啮合齿轮因其结构紧凑、承载能力较强,广泛应用于汽车、航天、船舶等领域^[1]。插齿刀作为内齿轮加工常用刀具,其几何参数选择与工艺参数选择直接影响加工过程的切削力与切削温度,进而影响待加工齿轮的齿形精度,有效降低切削力与切削温度是提升齿轮加工精度的关键途径。

近年来,中外学者在齿轮插齿加工研究和刀具设计与参数选择方面开展了大量研究。在齿轮插齿加工方面,Erkorkmaz等^[2]提出了预测插齿过程中切屑几何形状与切削力的新模型,并利用插齿机验证了其准确性。邹业明^[3]利用VERICUT建立了非对称直齿和斜齿轮插齿模型,验证了插齿加工非对称齿轮的可行性。Katz等^[4]提出了一个全面插齿模型,同时研究了沿切削刃的未变形切削几何形状,并对切削力预测算法进行了试验验证。Zschippang等^[5]进行了面齿轮插齿过程计算模拟,并确定合适的径向进给量和圆周进给量等工艺参数,从而实现稳定的加工。在刀具设计与参数选择方面,徐海波^[6]提出等切削前角插齿刀设计原理并基于有限元分析比较不同切削刃的切削性能,该研究为新型插齿刀设计提供了理论指导。Lin等^[7]讨论了新型无误差插齿刀设计原理与设计模型,开发改进了插齿刀齿形设计方法,有助于提高插齿刀的设计与制造。韩军等^[8]以插齿刀几何参数为研究对象,通过对刀具几何参数优化来减小加工过程中的切削力。Li等^[9]通过优化圆周进给速度,将插齿每个行程切削面积均匀化,从而减少插齿行程数量,显著提高了插齿加工效率。景艳等^[10]研究了双圆弧刚轮插齿刀顶刃后角对插齿刀可刃磨长度的影响规律,并得出设计时应在保证齿形精度的情况下,选择较大的顶刃前角和较小的顶刃后角的结论。

当前,外啮合点接触齿轮的成形制造普遍采用滚齿工艺,而内啮合点接触齿轮则主要依赖滚齿或车齿技术。Gao等^[11]针对三点接触共轭曲线齿轮副,通过建立滚刀齿条刀具参数化数学模型,完成了刀具三维构型设计,并通过切削实验与承载能力测试验证了该方案的可行性;Liang等^[12]进一步面向双点接触内啮合齿轮副展开研究,分别设计了凸齿小齿轮专用滚刀与凹齿内齿轮专用车刀,基于VERICUT平台构建了切削加工仿真,验证了刀具的有效性。传统渐开线内齿轮加工长期以插齿工艺为主导,然而对于双点接触内齿轮的插齿方法及其专用刀具设计,公开文献尚缺乏相关论述。

因此,现设计双点接触内齿轮插齿刀基本齿廓并推导刀具齿面方程,建立插齿刀的实体模型;基于DEFORM有限元仿真得到单齿刀切削过程的主切削力F与切削温度T;采用响应曲面法,以刀具几何参数(后角α、前角γ)与加工工艺参数(切削速度v)为影响因子,以主切削力F和切削温度T为响应变量,分别建立两个响应变量的二阶多项式数学预测模型并检验其精度,利用多目标遗传算法对所建立的响应模型预测进行优化,得到刀具最佳几何参数与加工最佳切削速度参数。首次系统性地将有限元方法、响应面法与多目标优化方法相结合,应用于双点接触齿轮插齿刀优化设计,旨在为实际生产中该类插齿刀具的几何参数选择与加工参数选择提供理论参考。

1 插齿刀设计

1.1 插齿刀基本齿廓设计

内齿轮插齿刀刀具齿廓如图1所示,其主要由三部分切削刃组成,凹齿齿根圆弧段(K₀K₁),对应切削刃Ⅰ,凹齿接触工作段(K₁K₂),对应切削刃Ⅱ和凹齿齿顶倒角段(K₂K₃),对应切削刃Ⅲ。P所在直线为节线,P_k1和P_k2为工作齿廓两个接触点。

刀具齿廓的齿根部分(K₀K₁)为圆弧段,x_nkI、y_nkI和z_nkI分别表示圆弧段任意点在法面坐标系S_n(x_n,y_n,z_n)下沿x_n、y_n、z_n的坐标分量,其表达式为

(1)${\mathit{r}}_{\mathrm{n}}^{\mathit{Ⅰ}}$=$\left[\begin{array}{l}{\mathit{x}}_{\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{I}}\\ {\mathit{y}}_{\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{I}}\\ {\mathit{z}}_{\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{I}}\\ 1\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{l}{\mathit{R}}_{\mathrm{k}}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{k}}-1)+{\mathit{h}}_{\mathrm{k}2}\\ \mp {\mathit{R}}_{\mathrm{k}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{k}}+\mathit{j}/2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

式(1)中:h_k2为齿根高;R_k为齿根圆弧半径;j为齿廓齿侧间隙;θ_k为齿根圆弧参数;∓表示齿轮法面齿廓位置,-表示齿轮左侧法面齿廓,+表示齿轮右侧法面齿廓。

插齿刀的工作齿廓段(K₁K₂)为双点接触形式的抛物线曲线,其在坐标系S_n中的表达式为

(2)${\mathit{r}}_{\mathrm{n}}^{\mathit{Ⅱ}}$=$\left[\begin{array}{l}{\mathit{x}}_{\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{I}\mathrm{I}}\\ {\mathit{y}}_{\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{I}\mathrm{I}}\\ {\mathit{z}}_{\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{I}\mathrm{I}}\\ 1\end{array}\right]$=$\left[\pm \left(\begin{array}{l}\mathit{\epsilon }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}-\frac{{\mathit{\epsilon }}^{2}}{2{\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}+\mathit{S}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}\\ \mathit{\epsilon }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}+\frac{{\mathit{\epsilon }}^{2}}{2{\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}-\mathit{S}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}+{\mathit{l}}_{\mathrm{d}}\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\frac{\mathit{j}}{2}\right]$

式(2)中:ε为抛物线参数;α_kk为名义压力角;S为抛物线计算参数;l_d为齿形对称线到抛物线中心的距离;j为齿间侧隙。α_kk=(α_k1+α_k2)/2,σ=(α_k2-α_k1)/2,S=ρ_ksin²σ/(2cosσ)+ρ_kcosσ,ρ_k为齿廓圆弧曲率半径^[11]。

齿顶部分为倒角斜直线段(K₂K₃),其在坐标系 S_n中的表达式为

(3)${\mathit{r}}_{\mathit{n}\mathrm{ }}^{\mathit{Ⅲ}}$=$\left[\begin{array}{l}{\mathit{x}}_{\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}\\ {\mathit{y}}_{\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}\\ {\mathit{z}}_{\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}\\ 1\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{l}{\mathit{K}}_{2\mathit{x}}-\mathit{\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\delta }}_{\mathrm{k}}\\ {\mathit{K}}_{2\mathit{y}}\mp \mathit{\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\delta }}_{\mathrm{k}}\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

式(3)中:λ为切削刃Ⅲ上任意一点到点K₂的距离;δ_k为倒角斜直线段与坐标轴X_n的夹角;(K₂_x,K₂_y,0)为点K₂在坐标系S_n中的坐标值。

1.2 刀具齿面方程

基于齿轮齿条法,建立如图2所示空间坐标系。

根据坐标变换,将齿廓方程转换到齿轮端面,变换表达式如下。

(4)

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{r}}_{2}^{\mathit{Ⅰ}}={\mathit{M}}_{2\mathit{n}}\left(\mathit{\mu }\right){\mathrm{r}}_{\mathit{n}}^{\mathit{Ⅰ}}\\ {\mathit{r}}_{2}^{\mathit{Ⅱ}}={\mathit{M}}_{2\mathit{n}}\left(\mathit{\mu }\right){\mathrm{r}}_{\mathit{n}}^{\mathit{Ⅱ}}\\ {\mathit{r}}_{2}^{\mathit{Ⅲ}}={\mathit{M}}_{2\mathit{n}}\left(\mathit{\mu }\right){\mathrm{r}}_{\mathit{n}}^{\mathit{Ⅲ}}\end{array}\right.$

式(4)中:

(5)M_2n(μ)=$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\beta }& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathit{\beta }& \mathit{\mu }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathit{\beta }\\ 0& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathit{\beta }& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\beta }& \mathit{\mu }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\beta }\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

假设切削刃上共轭点分别为P₁、P₂和P₃,计算出各共轭点在坐标系S₂中的法向矢量,其表达式分别为

(6)n^I₂=$\frac{\frac{\partial {{\mathit{r}}^{\mathrm{I}}}_{2}}{\partial {\mathrm{\theta }}_{\mathit{k}}}\times \frac{\partial {{\mathit{r}}^{\mathrm{I}}}_{2}}{\partial \mathit{\mu }}}{\left|\frac{\partial {{\mathit{r}}^{\mathrm{I}}}_{2}}{\partial {\mathrm{\theta }}_{\mathit{k}}}\times \frac{\partial {{\mathit{r}}^{\mathrm{I}}}_{2}}{\partial \mathit{\mu }}\right|}$=$\left[\begin{array}{l}\mp \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{k}}\\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\beta }\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{k}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathit{\beta }\end{array}\right]$

(7)${\mathit{n}}_{2}^{\mathit{I}\mathit{I}}$=$\frac{\frac{\partial {\mathit{r}}_{2}^{\mathit{I}\mathit{I}}}{\partial \mathit{\epsilon }}\times \frac{\partial {\mathit{r}}_{2}^{\mathit{I}\mathit{I}}}{\partial \mathit{\mu }}}{\left|\frac{\partial {\mathit{r}}_{2}^{\mathit{I}\mathit{I}}}{\partial \mathit{\epsilon }}\times \frac{\partial {\mathit{r}}_{2}^{\mathit{I}\mathit{I}}}{\partial \mathit{\mu }}\right|}$=$\sqrt{1+\frac{{\mathit{\epsilon }}^{2}}{({\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma })}^{2}}}$×$\left[\begin{array}{l}\pm \left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}+\frac{\mathit{\epsilon }}{{\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}\right)\\ -\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}-\frac{\mathit{\epsilon }}{{\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\beta }\\ \left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}-\frac{\mathit{\epsilon }}{{\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathit{\beta }\end{array}\right]$

(8)${\mathit{n}}_{2}^{\mathit{Ⅲ}}$=$\frac{\frac{\partial {\mathit{r}}_{2}^{\mathit{Ⅲ}}}{\partial {\mathrm{\theta }}_{\mathit{k}}}\times \frac{\partial {\mathit{r}}_{2}^{\mathit{Ⅲ}}}{\partial \mathit{\mu }}}{\left|\frac{\partial {\mathit{r}}_{2}^{\mathit{Ⅲ}}}{\partial {\mathrm{\theta }}_{\mathit{k}}}\times \frac{\partial {\mathit{r}}_{2}^{\mathit{Ⅲ}}}{\partial \mathit{\mu }}\right|}$=$\left[\begin{array}{l}\mp \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\delta }}_{\mathrm{k}}\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\delta }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\beta }\\ -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\delta }}_{\mathrm{k}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathit{\beta }\end{array}\right]$

式中:符号“×”表示三维向量的叉乘运算。

根据齿轮啮合原理,各共轭点在坐标系S₂中的相对速度表达式分别为

(9)v^I₂=-ω_m

$\left[\begin{array}{l}\mathit{r}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{w}}-\left(\mp {\mathit{R}}_{\mathrm{k}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{k}}+\frac{\mathit{j}}{2}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\beta }+\mathit{\mu }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathit{\beta }\\ {\mathit{R}}_{\mathrm{k}}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{k}}-1)+{\mathit{h}}_{\mathrm{k}2}\\ 0\end{array}\right]$

(10)${\mathit{v}}_{2}^{\mathit{I}\mathit{I}}$=-ω_m

$\left[\begin{array}{l}\mathit{r}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{w}}\mp \left(\mathit{\epsilon }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}+\frac{{\mathit{\epsilon }}^{2}}{2{\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}-\mathit{S}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}+{\mathit{l}}_{\mathrm{d}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\beta }-\mathit{\mu }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathit{\beta }\\ \mathit{\epsilon }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}-\frac{{\mathit{\epsilon }}^{2}}{2{\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}+\mathit{S}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}\\ 0\end{array}\right]$

(11)${\mathit{v}}_{2}^{\mathit{Ⅲ}}$=-ω_m

$\left[\begin{array}{l}\mathit{r}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{w}}-({\mathit{K}}_{2\mathit{y}}\mp \mathit{\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\delta }}_{\mathrm{k}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\beta }+\mathit{\mu }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathit{\beta }\\ {\mathit{K}}_{2\mathit{x}}-\mathit{\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\delta }}_{\mathrm{k}}\\ 0\end{array}\right]$

齿轮啮合方程为nv=0,将式(6)~式(11)结合啮合方程,推导出各切削刃的啮合方程,切削刃Ⅰ的表达式为

(12)∓rϕ_w+(h_k2-R_k)cosβtanθ_k±μsinβ±$\frac{\mathit{j}}{2}$cosβ=0

切削刃Ⅱ的表达式为

(13)±rϕ_w+$\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}+\frac{\mathit{\epsilon }}{{\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}\right)$∓$\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathit{\alpha }+\frac{\mathit{\epsilon }}{{\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}\right)$μsinβ-$\left[\mathit{\epsilon }+\frac{{\mathit{\epsilon }}^{3}}{2({\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma })}^{2}}\right]$-S$\frac{\mathit{\epsilon }}{{\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma }}$cosβ-$\left({\mathit{l}}_{\mathrm{d}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}+{\mathit{l}}_{\mathrm{d}}\frac{\mathit{\epsilon }}{{\mathit{\rho }}_{\mathrm{k}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathit{\sigma }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}\right)$cosβ=0

切削刃Ⅲ的表达式为

(14) ∓rϕ_w±K₂_ycosβ-λsinδ_kcosβ±μsinβ+(K₂_x-λcosδ_k)cotδ_kcosβ=0

将各部分啮合方程结合所得坐标变换方程,联立得到插齿刀具齿面啮合方程,各部分表达式如下。

(15)

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{\varphi }}_{2}^{\mathit{Ⅰ}}={\mathit{M}}_{42}\left({\mathrm{\varphi }}_{\mathit{w}}\right){\mathit{M}}_{2\mathrm{n}}\left(\mathit{\mu }\right){\mathit{r}}_{2}^{\mathit{Ⅰ}}\\ {\mathit{\psi }}_{2}^{\mathit{Ⅰ}}={{\mathit{n}}^{\mathrm{I}}}_{2}{{\mathit{v}}^{\mathrm{I}}}_{2}=0\end{array}\right.$

(16)

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{\varphi }}_{2}^{\mathit{Ⅱ}}={\mathit{M}}_{42}\left({\mathrm{\varphi }}_{\mathit{w}}\right){\mathit{M}}_{2\mathrm{n}}\left(\mathit{\mu }\right){\mathit{r}}_{2}^{\mathit{Ⅱ}}\\ {\mathit{\psi }}_{2}^{\mathit{Ⅱ}}={\mathit{n}}_{2}^{\mathit{Ⅱ}}{\mathit{v}}_{2}^{\mathit{Ⅱ}}=0\end{array}\right.$

(17)

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{\varphi }}_{2}^{\mathit{Ⅲ}}={\mathit{M}}_{42}\left({\mathrm{\varphi }}_{\mathit{w}}\right){\mathit{M}}_{2\mathrm{n}}\left(\mathit{\mu }\right){\mathit{r}}_{2}^{\mathit{Ⅲ}}\\ {\mathit{\psi }}_{2}^{\mathit{Ⅲ}}={\mathit{n}}_{2}^{\mathit{Ⅲ}}{\mathit{v}}_{2}^{\mathit{Ⅲ}}=0\end{array}\right.$

式中:

(18)M₄₂(ϕ_w)=$\left[\begin{array}{llll}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{w}}& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{w}}& 0& \mathit{r}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{w}}+{\mathit{\varphi }}_{1}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{w}})\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{w}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{w}}& 0& \mathit{r}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{w}}-{\mathit{\varphi }}_{1}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{w}})\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

1.3 插齿刀实体模型建立

基于求得的齿面方程,利用MATLAB软件生成插齿刀具齿面的数据点云,如图3所示。

再运用UG三维建模软件的点云构面功能,将所得数据点构建曲面并建立插齿刀具三维实体模型,如图4所示。

插齿刀具体几何参数如表1所示。

2 插齿加工有限元仿真

2.1 切削性能评价指标

切削力是评价刀具性能的重要指标,切削过程中,刀具所受合力的大小与方向随时间变化,合力在切削速度方向的分力称为主切削力,主切削力几乎占据切削过程的总功率^[13]。切削温度影响刀具寿命,由切削理论可知,切削过程的能量大部分转化为热量,切削温度过高会使刀具寿命降低。为了减少目标因素外的影响,对刀具主切削力与切削温度进行分析。

2.2 模型建立装配与网格划分

插齿刀将齿圈加工成完整齿轮的过程极为复杂,涉及插齿刀的往复插削运动、径向进给运动、让刀运动以及刀具与工件的回转运动,这些运动严格相互配合才能切削出完整的齿轮,插齿是典型的多刃间断切削,且每个刀齿的切削过程较为独立。在单次插削过程中,每个刀齿所切除的齿坯截面形状都不同,而且各个刀齿间也不易产生干扰。在运用有限元仿真软件模拟插齿加工过程时,若所建立的有限元模型可以模拟单个刀齿切除与之对应的齿坯截面形状的插齿加工过程,就能获得插齿加工过程的切削力以及切削温度^[14]。

在保证仿真计算精度的前提下,为了节省仿真实验时间,考虑到插齿加工的周期性特征,将插齿刀具模型和齿圈模型适当简化,采用单齿刀具-齿圈模型装配后导入DEFORM软件。在金属切削中,为避免在模拟过程中出现不收敛现象,采用DEFORM网格自动重新划分来提高收敛性与仿真精度,接触部分进行网格加密,将网格加密区域与外部区域的单元尺寸比设为1∶100,插齿刀和齿圈均采用四面体网格划分,刀具网格单元数目为50 000,齿圈网格单元数目为150 000,如图5所示。

2.3 材料本构模型及断裂准则

在插齿加工齿轮过程中,材料本构模型与断裂准则是揭示切削动态行为及失效机制的理论基础。材料本构模型通过数学方程描述材料在高速、高温、大变形等复杂载荷下的应力-应变关系;金属加工断裂准则基于应力、应变、能量等理论建立,通过设定临界值,结合材料特性与加工条件,判断金属是否会发生断裂。

45钢具有良好的切削加工性,易于塑性成型,适合于复杂齿形的高效加工,WC硬质合金兼具高硬度与耐磨性,可高效切削高硬度材料,其作为刀具材料,广泛应用于金属加工领域,仿真实验选用45钢作为齿圈工件材料,WC硬质合金作为刀具材料,具体材料属性如表2所示。

材料的本构模型决定了材料的力学行为,插齿加工中,工件材料产生高温与高切削力,发生较大的弹性应变。Johnson-Cook模型适用于金属材料在高温与高应变率下的变形,故选用Johnson-Cook模型作为本构模型,其屈服应力方程^[15]为

(19)$\overline{\mathit{\sigma }}$=(A+Bε^n')$\left(1+\mathit{C}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{\stackrel{·}{\mathit{\epsilon }}}{\stackrel{·}{{\mathit{\epsilon }}_{0}}}\right)\left[1-{\left(\frac{\mathit{T}-{\mathit{T}}_{\mathrm{r}}}{{\mathit{T}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{T}}_{\mathrm{r}}}\right)}^{\mathit{m}}\right]$

式(19)中:A为屈服应力;B为硬化系数;ε为塑性应变;

$\stackrel{·}{\mathit{\epsilon }}$

为等效应变速率;

$\stackrel{·}{{\mathit{\epsilon }}_{0}}$

为初始塑性应变率;C为应变率灵敏系数;n'为应变硬化指数;T为工件温度;T_r为加工环境温度;T_m为工件的融化温度;m为温度软化指数。具体参数如表3所示。

Johnson-Cook断裂准则能够综合考虑插齿过程中应变、应变率和温度对材料断裂的影响,因此断裂准则采用Johnson-Cook断裂准则,其相关表达式为

(20)$\overline{{\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{p}\mathrm{l}}}$=(d₁+d₂${\mathrm{e}}^{{\mathit{d}}_{3}\frac{\mathit{p}}{\mathit{q}}}$)$\left(1+{\mathit{d}}_{4}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{\overline{{\mathit{\epsilon }}^{\mathrm{p}\mathrm{l}}}}{{\mathit{\epsilon }}_{0}}\right)$(1+d₅θ)

式(20)中:p为正压力;q为等效应力;ε₀为材料参考应变率;θ为参考温度;d₁~d₅为材料断裂参数。具体参数如表4所示。

2.4 插削加工参数设置

研究聚焦于首次切削过程的瞬时机理分析,为简化复杂变量而暂未纳入刀具磨损动态过程,并忽略了热累积效应,采用单次切削加工,即刀具一次冲程加工产生的切削力与切削温度。在仿真设置中,将插齿刀定义为刚体,并约束工件在X、Y、Z共3个方向的自由度,设定刀具沿Z轴负方向进行主切削运动,根据工件与刀具材料,参考《金属切削手册》,采用切削速度为400 mm/s,根据切削速度与刀具半径参数求得刀具圆周角速度为1.817 5 r/s,传热系数设为1,研究插齿刀具第一次冲程进刀加工时,采用一般室温情况,设初始温度为20 ℃。根据Zorev提出的切削摩擦模型,刀具与工件之间的剪切摩擦因数设为0.3^[3]。

2.5 切削力与温度结果分析

通过DEFORM建立切削仿真加工分析,加工过程如图6所示。

插齿刀单次加工工件主切削力与加工时间的关系如图7所示,可知,在刀具切入工件的初始阶段,刀具与工件的接触面积迅速增大至最大,导致主切削力达到峰值52 383.2 N。主切削力在切削过程中呈现波动特性,这与材料的塑性变形、切屑形成与断裂过程有关。随着切削过程的进行,材料被逐步去除,刀具与工件的接触面积逐渐减小,切削力随之降低,当刀具脱离工件后,切削力变为0 N。

仿真得到刀具的切削温度变化如图8所示。刀具刚切入工件,前刀面与工件材料剧烈摩擦,刀具温度迅速升高,随着切削过程进行,刀具温度保持较为平稳的波动上升并达到峰值177.9 ℃,当刀具脱离工件后,刀具温度迅速下降并逐渐接近环境温度。

3 几何与工艺参数优化

3.1 响应曲面法建立近似模型

插齿加工仿真每次试验都需要大量时间,对于后续算法优化,需要大量数据进行优化分析。采用中心复合设计(Box-Behnken design,BBD)的响应曲面法(response surface methodology,RSM)建立近似模型,能够在参数范围内,利用较少试验样本点,通过多项式较为准确地拟合输入变量和响应变量之间的关系,建立响应面近似模型,利用近似模型对响应变量进行预测,可以显著提高优化效率。

考虑刀具寿命与加工精度等因素,选取插齿刀具几何参数与工艺参数水平范围如表5所示。

为建立输入变量与响应变量之间的函数关系,需采用合理的实验方法采取样本点。根据中心复合设计响应曲面设计方案得到17组插齿加工参数组合,并通过仿真试验得到相应主切削力与切削温度数值,试验结果如表6所示,表6中编号10和17的前刀面温度分布如图9(a)和图9(b)所示。

基于试验得到的样本数据建立切削力与温度的响应面近似模型,其表达式^[16-17]为

(21)Y=a₀+$\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}$b_ix_i+$\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}$c_i${\mathit{x}}_{\mathit{i}}^{2}$+${\sum }_{\mathit{i}\ne \mathit{j}}^{}$d_ijx_ix_j+ε_r

式(21)中:n为输入变量个数;a₀为常数项;b、c、d为多项式系数;ε_r为误差项。由于研究设计3种参数对切削力与切削温度的影响,式(21)中n取值为3。

将表6中不同参数条件下的切削力代入式(21),得到切削力F预测模型为

(22)F=69 278.9+209.09α+234.005γ-107.062v+61.28αγ-2.951αv-1.990 5γv-14.296α²-66.714γ²+0.247 24v²

同理,切削温度T预测模型为

(23)T=215.112-8.37α+3.152 5γ-0.052 625v+0.324αγ+0.003 2αv-0.011 95γv+0.102α²-0.237 5γ²+0.000 371 25v²

3.2 交互作用影响分析

利用响应曲面图分析各参数对切削力与切削温度的交互影响。各参数与主切削力的响应关系如图10所示。由图10(a)和图10(b)可知,当γ增大时,主切削力比较显著地减小;由图10(a)和图10(c)可以得到,当α增大时,主切削力逐渐缓慢减小,变化程度不大;由图10(b)和图10(c)可以得到,当切削速度增大时,主切削力显著增大。综合观察图10(a)~图10(c),主切削力最大值与最小值均位于图10(b)中,表明在选定参数范围内,对主切削力影响最显著的是v-γ。

各参数与切削温度的响应关系如图11所示。由图11(a)和图11(b)可知,当γ增大时,切削温度缓慢地减小;由图11(a)和图11(c)可知,当α增大时,切削温度变化程度不大;由图11(b)和图11(c)可以得到,当切削速度增大时,切削温度明显升高。综合观察图11(a)~图11(c),切削温度最大值与最小值均位于图11(b)中,表明在选定参数范围内,对切削温度影响最显著的是v-γ。

前角增大会减小切削变形和摩擦阻力,从而降低切削力和切削热的产生,但随着切削速度提高,刀头导热面积和容热体积的不足会导致热量积聚,反而使切削温度升高;同时,前角增大削弱了切削刃强度,进一步加剧热-力耦合效应,所以二者交互作用对切削力以及切削温度影响较为显著。

3.3 模型精度检验分析

对切削力F与切削温度T试验结果进行方差分析(ANOVA),F用于检验近似模型的显著性;P用于检验近似模型项是否显著^[18]。使用P与F进行方差检验,分析各因素对响应变量的影响程度。

建立的切削力近似模型方差分析结果如表7所示。本文模型F为23.87,大于标准值3.02,并且本文模型的P小于预定显著性水平值0.05,则一次项与交互项均为显著项目,说明本文研究基于试验样本点建立的近似模型置信度高;R²越接近1,拟合效果越好;调整后的决定系数Adjusted R²通常比R²小,它提供了模型拟合数据效果的更真实反映。本文模型R²与Adjusted R²均较高,分别为0.968 4和0.927 9,且二者比较接近,进一步说明近似模型精度高,拟合度高。按同样的方法对切削温度的结果进行方差分析同样满足要求,如表8所示。

通过响应面模型可以反映出3个设计参数对两个指标的影响规律,为了匹配较好的设计参数,采用多目标遗传算法对插齿刀切削加工工艺性能进行多目标优化和相关参数的设计。

3.4 多目标遗传算法参数优化

多目标遗传算法(MOGA)可以生成非支配解集,提供多维权衡方案,决策者可以根据实际情况灵活选择,具有很好的多样性^[19]。多目标遗传算法优化流程图如图12所示。

多目标参数优化目标是建立参数变量、约束条件与优化目标之间的函数方程。

多目标优化问题的数学表述^[20]为

(24)$\begin{array}{l} \operatorname{Max}\left\{\begin{array}{l} y=f(x)=\left[f_{1}\left(x_{1}\right), f_{2}\left(x_{2}\right), \cdots, f_{n}\left(x_{n}\right)\right] \\ y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}\right) \end{array}\right. \\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} e(x)=\left[e_{1}(x), e_{2}(x), \cdots, e_{l}\left(x_{l}\right)\right]<0 \\ e(x)=\left[e_{1}(x), e_{2}(x), \cdots, e_{l}\left(x_{l}\right)\right]=0 \end{array}\right. \end{array}$

式(24)中:x_n为第n个决策变量;y_m为第m个目标向量;e(x)为约束条件。

基于MATLAB采用遗传算法对插齿刀具的切削性能进行多目标优化和结构参数与工艺参数的设计^[21],设计以下约束条件,参数表达式为

(25)X=$({\mathit{x}}_{1},{\mathit{x}}_{2},{\mathit{x}}_{3}{)}^{\mathrm{T}}$

式(25)中:x₁为后角α;x₂为前角γ;x₃为切削速度v。后角α的参数约束范围为5°~10°,前角γ的参数约束范围为5°~15°,切削速度v的参数约束范围为300~500 mm/s。

对插齿刀切削加工建立三因素两水平目标优化,以最小切削力和切削温度为优化目标,获得刀具最佳结构参数后角α、前角γ和最佳工艺参数切削速度v。设置初始种群数量为500个,最大迭代次数为200次,交叉率为0.9,变异率为0.01,保留0.7的非支配解来维持Pareto多样性。在该条件下种群不断交叉、变异与进化,获得不断改进的种群,得到最优解。

采用多目标遗传算法,获得350组Pareto解集,多目标优化结果的Pareto解分布如图13所示。优化结果并不能使切削力与切削温度两个优化目标同时达到最小值,可以根据实际加工需求来选择参数组合。

在多目标优化过程中,考虑到切削力对表面粗糙度及几何精度的即时影响更为显著,在实际加工中,切削力对表面粗糙度、几何精度的即时影响更直接,需优先控制。因此优先以“切削力最小化”作为决策目标,以确保优化方案的加工可行性。选取插齿刀几何结构参数后角α=9.77°,前角γ=14.98°,建立优化后刀具模型如图14所示。利用模型,设置加工工艺参数切削速度v=327 mm/s进行仿真计算,得到优化理论值与仿真值对比如表9所示。

两个指标的误差值分别为2.62%和4.67%,均小于5%,符合模型精度要求,表明经过响应面建立的二次多项式代理模型的各响应指标优化精度均满足要求。

优化前后插齿加工主切削力与切削温度随时间变化曲线如图15、图16所示。可以看出,优化前后主切削力变化趋势基本一致,但优化后切削力波动范围值明显减小,且峰值降低。主切削力降低可以降低刀具振动,为提高齿轮制造精度提供参考。

前刀面切削温度如图17所示。可以看出,优化前后切削温度变化趋势基本一致,均在0.05 s后切削温度逐渐升高,在0.09 s时出现最大值,且优化后最大值较小。在之后的切削过程中,优化后的切削温度小于优化前的切削温度,切削温度降低能减少因高温带来的加工误差,理论上提高齿轮加工精度。

对比优化前后的主切削力与切削温度,如表10所示。可以看出,优化后的刀具切削加工,得到的主切削力峰值降低了22.4%,切削温度峰值降低了15.1%,插齿加工的参数优化效果明显。

4 结论

以新型双点接触内齿轮为对象,提出了一种专用加工插齿刀的齿廓设计与啮合面推导方法,揭示了前角-切削速度耦合作用于切削性能的主导影响规律,实现了刀具几何参数与工艺参数的协同优化,为双点接触内齿轮插齿刀的设计与工程应用提供理论参考。主要结论如下。

(1)设计了双点接触内齿轮插齿刀基本齿廓,根据齿轮齿面成形原理,推导了其啮合方程与啮合齿面方程;通过MATLAB和UG软件建立了插齿刀三维实体模型,并完成了刀具结构设计。

(2)基于响应曲面法对插齿刀几何参数(α、γ)与加工参数(v)进行了试验设计,建立了后角α、前角γ和切削速度v与主切削力F、切削温度T之间的函数模型,通过方差分析验证了模型的精度,通过响应曲面图分析各参数及其交互作用对主切削力与切削温度的影响,结果表明,前角与切削速度(γ-v)的交互作用对切削力与切削温度影响最显著。

(3)采用多目标遗传算法对建立的代理预测模型进行优化,获得了插齿刀后角α、前角γ和切削速度v在一定范围内的最优组合,优化结果对应的主切削力与切削温度预测值与有限元仿真验证值相比,误差控制在5%以内,验证了代理模型的可靠性。有限元仿真验证表明,采用优化后的几何参数和工艺参数,较优化前显著降低了主切削力与切削温度,研究可为双点接触内齿轮插齿刀几何参数选择与加工工艺参数设定提供理论指导,但实际加工性能需通过后续切削力与温度实验进一步验证。

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基金资助

国家自然科学基金(52575053)

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2025-06-13	2026-05-08	2025-11-26
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2026-08-06

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