基于变截面臂杆参数化建模的协作机器人多目标结构优化

潘新安; 张雨奥; 杜天野; 袁兵兵; 凌烈; 王洪光

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2504332

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (19) :8243-8252 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2504332

自动化技术、计算机技术

基于变截面臂杆参数化建模的协作机器人多目标结构优化

潘新安 ¹ ,
张雨奥 ¹^,² ,
杜天野 ¹ ,
袁兵兵 ¹ ,
凌烈 ¹ ,
王洪光 ¹

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Multi-objective Structural Optimization of Collaborative Robots Based on Parametric Modeling of Variable Cross-section Links

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摘要

为在协作机器人轻量化设计中实现对变截面臂杆结构尺寸的直接优化,研究了一种基于参数化截面建模的多目标结构优化方法。首先,基于欧拉梁模型建立了臂杆变截面多个尺寸参数与其刚度矩阵之间的映射关系,结合有限元法构建并实时求解了整机任意位姿的静刚度模型和固有频率模型。随后,选取臂杆截面尺寸参数为优化变量,以最大固有频率、最小质量和最小静态变形构造了多目标优化模型,以多个工况位姿为基准点,选取非支配排序遗传算法Ⅱ(non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ,NSGA-Ⅱ)进行了多目标优化求解。优化结果表明,优化后在静态变形减小的情况下机器人质量降低了1.06 kg,五个位姿一阶固有频率提高了7.39%~11.62%,充分验证了本文方法的有效性。提出的基于参数化截面建模的多目标结构优化方法,可有效实现协作机器人变截面臂杆轻量化与动静态性能的协同提升,为协作机器人臂杆结构优化设计提供了一种高效、可行的技术路径。

Abstract

A multi-objective structural optimization method based on parametric cross-section modeling was investigated to enable the direct optimization of structural dimensions for variable cross-section links in lightweight collaborative robot design. First, the mapping between multiple dimensional parameters of variable cross-section links and their stiffness matrices was established based on the Euler-Bernoulli beam model. Combined with the finite element method, a static stiffness model and a natural frequency model for arbitrary postures of the entire robot were constructed and solved in real time. Subsequently, the cross-sectional dimensional parameters were selected as optimization variables. A multi-objective optimization model was formulated with the objectives of maximizing the natural frequency, minimizing the mass, and minimizing the static deformation. With several working-condition poses as reference points, the multi-objective optimization problem was solved using the NSGA-Ⅱ(non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ). The results show that the robot mass is reduced by 1.06 kg while the static deformation is decreased. Meanwhile, the first-order natural frequencies at five different postures are increased by 7.39% to 11.62%. The effectiveness of the proposed method is thus fully verified. The multi-objective structural optimization method based on parametric section modeling proposed can effectively realize the coordinated improvement of lightweight and dynamic-static performance of the variable-section arm of collaborative robots, and provides an efficient and feasible technical path for the optimal design of the arm structure of collaborative robots.

Graphical abstract

关键词

变截面 / 参数化建模 / 多目标结构优化 / 静刚度 / 固有频率

Key words

variable cross-section / parametric modeling / multi-objective structural optimization / static stiffness / natural frequency

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潘新安, 张雨奥, 杜天野, 袁兵兵, 凌烈, 王洪光. 基于变截面臂杆参数化建模的协作机器人多目标结构优化[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(19): 8243-8252 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504332

PAN Xin-an, ZHANG Yu-ao, DU Tian-ye, YUAN Bing-bing, LING Lie, WANG Hong-guang. Multi-objective Structural Optimization of Collaborative Robots Based on Parametric Modeling of Variable Cross-section Links[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(19): 8243-8252 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504332

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协作机器人是一种专为与人类在共享工作空间中直接协作而设计的机器人。其核心目标是通过安全、高效的人机交互,提升生产效率和灵活性^[1]。协作机器人因需满足人机协作的安全性要求,其结构设计面临轻量化与高性能的双重挑战。为确保安全交互,这类机器人需具备低惯量特性以限制运动过程中的动能阈值,这通常通过去除冗余材料实现。然而过度减材将导致静刚度衰减及固有频率下降,进而影响定位精度和动态响应能力,严重制约操作性能。尤其值得关注的是,协作机器人臂杆的截面尺寸参数对整机性能具有至关重要的影响。薄壁化的轻质臂杆在降低质量惯量的同时,其截面几何特征(如壁厚分布等)直接关联着构件的刚度及振动模态特性。当前设计难题的核心在于:如何构建复杂变截面臂杆的多维几何参数与静、动态性能之间的映射模型,并在此基础上应用多目标协同优化方法,实现质量惯量最小化与操作性能最优化的平衡。因此,亟需开发融合参数化建模、动静态刚度和智能优化算法的系统性设计框架,为协作机器人性能提升提供新的技术路径。

结构优化设计通过调整构件尺寸参数与材料分布实现性能提升,在机器人轻量化设计中发挥着关键作用。其核心目标是在保证结构强度的前提下,通过对材料分布的优化显著提高系统静、动态性能。该领域研究呈现从局部构件优化向全局系统设计、从静态指标向动态特性、从经验驱动向模型驱动的发展趋势。

早期研究聚焦于关键构件的独立优化,对单一部件施加边界条件等后利用有限元软件或解析模型进行优化。贾敏等^[2]和黄海新等^[3]率先采用有限元软件对机器人关键部件进行参数优化,建立了轻量化与刚度提升的基础方法。吕钦靖等^[4]通过Abaqus软件实施机械臂静力学与模态分析,结合拓扑优化技术实现构件刚度与动态性能的协同改进。刘延杰等^[5]创新性地将连杆等效为空心截面梁,以弹性变形为约束条件建立厚度优化模型,为晶圆搬运机器人提供了可量化设计路径。

随着研究深入,多目标优化方法成为主流。Hu等^[6]提出基于正交设计与有限元子结构法的多目标优化方法,以结构尺寸与关节参数为变量进行优化,为协作机器人设计提供指导。Feng等^[7]对7自由度协作机器人进行多目标优化,通过比较结构长度指数从解集中选取最优配置,显著提升了机器人的综合性能。张发海等^[8]通过方位特征集和矢量法建立了并联机器人运动学模型,分析了机构奇异条件等。以全域性能、工作空间及波动性为指标进行了多目标优化,验证了该机构综合性能。

针对时变工况挑战,胡明伟等^[9]提出基于实时模态求解的壁厚优化策略,有效提升协作机器人基频并降低质量。杨向东等^[10]针对工业机器人大臂,采用模糊满意度变权重分配方法进行多目标拓扑优化设计,通过实验验证结合动力学仿真,实现了刚度与固有频率的协同提升。赵金亮等^[11]为提升三段式轮足爬壁机器人的越障灵活性,通过多目标参数优化设计出一种紧凑型复合变磁力吸附模块,可在小体积内提供足够吸附力,满足时变工况需求。Cvitanic等^[12]构建动静刚度耦合的优化框架,通过频率自适应策略显著提升铣削机器人加工精度。Zhu等^[13]创新结合虚拟弹簧建模与智能算法,实现非对称机构刚度-运动性能的协同优化。

精准的刚度建模是优化的基础支撑。吕钦靖等^[4]通过有限元仿真获取高精度刚度模型。梁栋等^[14]将所提SCARA(selective compliance assembly robot arm)并联机器人刚度模型与有限元法(finite element method,FEM)结果对比,误差控制在10%以内,验证了理论模型。Yang等^[15]通过将分布重力等效为末端附加外载荷,成功分析了其对机构刚度的影响,实验验证了该思路的有效性。Wen等^[16]采用子结构缩聚与多体动力学融合建模,揭示关节位姿-结构模态的动态耦合机制,为振动敏感场景提供量化决策依据。

上述研究中大多对单一部件进行优化,且不能在整机任意位姿下进行多工况优化;不能建立全部截面参数与静、动态性能之间的映射关系,从而不能对其进行直接优化。为此,现提出一种基于参数化截面建模的协作机器人变截面结构件多目标优化方法。首先,结合欧拉梁模型与有限元法,建立臂杆变截面尺寸参数与刚度矩阵的映射关系,并构建可实时求解的整机静刚度模型和固有频率计算模型。在此基础上,以臂杆截面尺寸为优化变量,以最小静态变形、最大固有频率和最小质量为优化目标,建立多目标优化模型。采用非支配排序遗传算法Ⅱ(non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ,NSGA-Ⅱ)进行求解,并以性能测试位姿为基准点进行优化。研究成果一方面实现变截面臂杆全尺寸参数与整机性能的参数化建模,克服传统方法只能对单一部件或固定位姿进行优化的局限;另一方面通过多工况位姿下的多目标优化,同步提升机器人的轻量化水平、静态刚度与动态固有频率;同时所提框架具有通用性,可为各类具有复杂截面构件的机器人提供系统化的结构设计工具。

1 变截面杆件参数化刚度建模

1.1 机器人三维模型与运动学建模

以一款自研的六自由度协作机器人为研究对象,其三维模型如图1所示。该机器人本体主要由基座、连杆、一体化关节等组成,其臂杆采用厢式变截面结构,材料为7075铝合金。该机型广泛应用于精密装配、柔性搬运、人机协作等场景,对轻量化、高刚度与高动态性能具有明确需求。由于连杆Ⅰ和连杆Ⅱ尺寸较大,其截面尺寸参数对机器人的重量、静态刚度和动态刚度均具有至关重要的影响,因此选取此二杆为优化对象,并以其中的变截面厢式结构为优化区域。

对协作机器人进行静态刚度和动态刚度建模时,将连杆Ⅰ和连杆Ⅱ等效为空间梁模型,建立其解析刚度和质量矩阵;将机器人其余结构件直接导入有限元软件,提取其刚度和质量;一体化关节的刚度和质量特性则通过解析与有限元相结合的方法获得。协作机器人的连杆坐标系如图2所示,其D-H参数(Denavit-Hartenberg参数)如表1所示。协作机器人的坐标变换矩阵和运动学方程分别为

(1)

${}_{\mathit{　}\mathit{i}}^{\mathit{i}-1}$

T=$\left(\begin{array}{llll}\mathit{c}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}& -\mathit{s}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}& 0& {\mathit{a}}_{\mathit{i}-1}\\ \mathit{s}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}\mathit{c}{\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}-1}& \mathit{c}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}\mathit{c}{\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}-1}& -\mathit{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}-1}& -{\mathit{d}}_{\mathit{i}}\mathit{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}-1}\\ \mathit{s}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}\mathit{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}-1}& \mathit{c}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}}\mathit{s}{\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}-1}& \mathit{c}{\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}-1}& {\mathit{d}}_{\mathit{i}}\mathit{c}{\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}-1}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

(2)

${}_{6}^{0}$

${=}_{1}^{0}{\mathit{T}}_{2}^{1}{\mathit{T}}_{3}^{2}{\mathit{T}}_{4}^{3}{\mathit{T}}_{5}^{4}{\mathit{T}}_{6}^{5}$

式(1)中:s表示正弦函数sin,c表示余弦函数

${;}_{\mathit{　}\mathit{i}}^{\mathit{i}-1}$

T为第i个模块坐标系到第i-1个模块坐标系的变换矩阵

${;}_{6}^{0}$

T为第6个坐标系(即末端坐标系)到第0个模块坐标系(即基坐标系)的变换矩阵,其余同理。

1.2 基于有限元法与结构矩阵法相结合的静刚度建模

协作机器人刚度建模的方法主要有三种:有限元法^[4]、虚拟关节法^[14]和结构矩阵法^[15]。有限元法具有最高的建模精度,但其计算时间较长,成本也较高。结构矩阵法则是最简单的建模方法,然而引入简单力学模型可能会降低建模精度。虚拟关节法在适度降低建模精度的同时提高了计算效率,但该方法需要建立虚拟关节模型,从而增加了建模的复杂性。因此,考虑到建模精度与计算效率的平衡,选择基于有限元法与结构矩阵法相结合的静刚度建模方法。

首先,采用有限元子结构法将机器人的每个部件视为一个超单元,每个超单元的分析和处理都是独立进行的。所有超单元被分为两类:一类是优化部件,即连杆Ⅰ和连杆Ⅱ的优化区域,这部分需要进行结构优化;另一类是非优化部件,这些部件在后续过程中不会进行结构优化,其刚度特性保持不变,相关参数将直接在有限元软件中提取。同时,利用结构矩阵法对优化部件进行建模,将其等效为空间梁模型,从而可以根据力学理论直接获得该部分的刚度特性。

基于有限元子结构法的机器人刚度模型,可以实时获取机器人在当前位姿下的刚度特性,从而实现机器人的全域结构优化。所获得的最优解不仅适用于某个特定位姿,而是适合于机器人整个工作空间。建立机器人刚度模型的有限元子结构法主要包括三个步骤:超单元的建立、单元刚度矩阵的获取以及整机刚度矩阵的整合。协作机器人的整机模型可以视为由多个独立模块(关节和连杆)串联拼接而成,每个模块被视为一个超单元。首先,通过有限元法提取非优化部件的刚度矩阵;接着,利用结构矩阵法求解优化部件的刚度矩阵。然后,将所有部件的刚度矩阵根据运动关系进行坐标变换,转换到整机坐标系下进行表示。最后,将所有部件的刚度矩阵依次叠加,得到整机刚度矩阵。需要说明的是,对于连杆Ⅰ和连杆Ⅱ,由于非优化区域和优化区域的坐标系方向一致,仅原点位置不同,因此其刚度矩阵可以按照串联弹簧总刚度公式进行计算^[17],即

(3)$\boldsymbol{K}_{\text {连杆 }}=\left(\boldsymbol{K}_{\text {优 }}^{-1}+\boldsymbol{K}_{\text {非 } 1}^{-1}+\boldsymbol{K}_{\text {非 } 2}^{-1}\right)^{-1}$

式(3)中: K_连杆为连杆整体的刚度矩阵;K_优、K_非1、K_非2分别为连杆优化区域和两端非优化区域的刚度矩阵;

${\mathit{K}}_{\mathrm{优}}^{-1}$

、

${\mathit{K}}_{\mathrm{非}1}^{-1}$

、

${\mathit{K}}_{\mathrm{非}2}^{-1}$

分别为连杆优化区域和两端非优化区域刚度矩阵的逆,即柔度矩阵。

协作机器人的三维模型可以等效为7个超单元,8个主节点组成的超单元模型,其中e₃和e₄内部各存在3个子超单元,2个内部节点,如图3所示。其中,e₃和e₄为优化部件,将其等效为梁模型求解刚度矩阵,其他超单元可以导入有限元软件中直接提取刚度矩阵k_ei(i=1,2,…,7)。

对于超单元e₃和e₄的连杆优化部分,可以将其看作空间梁模型,根据欧拉梁模型力学理论,可以直接得到该部分基于超单元自身输出坐标系的刚度矩阵为

(4)k_ei=$\left[\begin{array}{llllll}\frac{\mathit{E}\mathit{A}}{\mathit{l}}& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& \frac{12\mathit{E}{\mathit{I}}_{\mathit{z}}}{{\mathit{l}}^{3}}& 0& 0& 0& -\frac{6\mathit{E}{\mathit{I}}_{\mathit{z}}}{{\mathit{l}}^{2}}\\ 0& 0& \frac{12\mathit{E}{\mathit{I}}_{\mathit{y}}}{{\mathit{l}}^{3}}& 0& \frac{6\mathit{E}{\mathit{I}}_{\mathit{y}}}{{\mathit{l}}^{2}}& 0\\ 0& 0& 0& \frac{\mathit{G}\mathit{j}}{\mathit{l}}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{6\mathit{E}{\mathit{I}}_{\mathit{y}}}{{\mathit{l}}^{2}}& 0& \frac{4\mathit{E}{\mathit{I}}_{\mathit{y}}}{\mathit{l}}& 0\\ 0& -\frac{6\mathit{E}{\mathit{I}}_{\mathit{z}}}{{\mathit{l}}^{2}}& 0& 0& 0& \frac{4\mathit{E}{\mathit{I}}_{\mathit{z}}}{\mathit{l}}\end{array}\right]$, i=4,7

式(4)中:E为杨氏模量;G为剪切模量;A为梁的截面积;l为梁的长度;I_z和I_y为xoy和xoz平面的截面惯性矩;J为扭转惯性矩。

超单元e₃和e₄主要优化的箱式变截面梁部分的详细结构尺寸如图4所示。这些变量沿着梁的长度方向呈线性变化。超单元e₃和e₄对应结构形状相同,只是尺寸有所不同。进一步求解这两个超单元的相关参数^[18]。

梁的截面积A为

(5)A=$\frac{{\mathit{A}}_{1}+{\mathit{A}}_{2}+\sqrt{{\mathit{A}}_{1}{\mathit{A}}_{2}}}{3}$

(6)A_i=B_iH_i-(B_i-2t)(H_i-2t), i=1,2

式(5)中:A₁和A₂为梁前端和后端的横截面积。

使用等效截面惯性矩I来进行简化计算,即

(7)$$I=\frac{I_1+I_2+\sqrt{I_1 I_2}+\sqrt[4]{I_1^3 I_2}+\sqrt[4]{I_1 I_2^3}}{5}$$

式(7)中:I₁和I₂为梁前端和后端的截面惯性矩;I为简化后等效截面惯性矩。

xoy和xoz平面的截面惯性矩I_z和I_y为

(8)I_yi=${\int }_{{\mathit{A}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}}$z²dA_out-${\int }_{{\mathit{A}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}}$z²dA_in=$\frac{{\mathit{B}}_{\mathit{i}}{\mathit{H}}_{\mathit{i}}^{3}-({\mathit{B}}_{\mathit{i}}-2\mathit{t})({\mathit{H}}_{\mathit{i}}{-2\mathit{t})}^{3}}{12}$, i=1,2

(9)I_zi=$\frac{{\mathit{H}}_{\mathit{i}}{\mathit{B}}_{\mathit{i}}^{3}-({\mathit{H}}_{\mathit{i}}-2\mathit{t})({\mathit{B}}_{\mathit{i}}{-2\mathit{t})}^{3}}{12}$, i=1,2

扭转惯性矩J为

(10)$J=\frac{J_1+J_2+\sqrt{J_1 J_2}+\sqrt[4]{J_1^3 J_2}+\sqrt[4]{J_1 J_2^3}}{5}$

(11)J_i=β[B_iH_i-(B_i-2t)(H_i-2t)], i=1,2

式中:J₁和J₂为梁前端和后端的扭转惯性矩;箱型截面的扭转刚度系数β的值如表2所示。

将求出的超单元e₃和e₄的结构参数代入式(3)便可以得到这两个超单元的刚度矩阵,最终得到所有超单元的刚度矩阵。对单元刚度矩阵进行坐标变换,将所有矩阵变换到基坐标系^[10],得

(12)k_i=J^T_ik_eiJ_i=

$\left[\begin{array}{ll}{\mathit{k}}_{\mathrm{i}\mathit{A}\mathit{A}}& {\mathit{k}}_{\mathrm{i}\mathit{A}\mathit{B}}\\ {{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{i}\mathit{A}\mathit{B}}& {\mathit{k}}_{\mathrm{i}\mathit{B}\mathit{B}}\end{array}\right]$

式(12)中:k_iAA和k_iBB表示等子矩阵为6×6的矩阵;非对角子矩k_iAB表示超单元的耦合效应;J_i为第i个超单元的转换矩阵,即

(13)J_i=$\left[\begin{array}{llll}{}_{\mathit{i}}^{0}\mathit{R}& 0& 0& 0\\ 0& {}_{\mathit{i}}^{0}\mathit{R}& 0& 0\\ 0& 0& {}_{\mathit{i}}^{0}\mathit{R}& 0\\ 0& 0& 0& {}_{\mathit{i}}^{0}\mathit{R}\end{array}\right]$

式(13)中:_i⁰R为旋转矩阵(超单元自身坐标系转换到基坐标系),可以从机器人坐标变换矩阵[式(1)]中直接得

(14)

${}_{\mathit{i}}^{0}$

${=}_{1}^{0}{\mathit{T}}_{2}^{1}$

${\dots }_{\mathit{i}}^{\mathit{i}-1}$

T=$\left(\begin{array}{ll}& {}_{\mathit{i}}^{0}\mathrm{x}\\ {}_{\mathit{i}}^{0}\mathrm{R}& {}_{\mathit{i}}^{0}\mathrm{y}\\ & {}_{\mathit{i}}^{0}\mathrm{z}\\ 0& 1\end{array}\right)$

所有超单元的单元刚度矩阵k_i整合得到机器人的整机刚度矩阵K,叠加过程表示为

(15)K=$\left[\begin{array}{llll}{\mathit{k}}_{1\mathit{A}\mathit{A}}& {\mathit{k}}_{1\mathit{A}\mathit{B}}& 0& \dots \\ {{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}}_{1\mathit{A}\mathit{B}}& {\mathit{k}}_{1\mathit{B}\mathit{B}}+{\mathit{k}}_{2\mathit{A}\mathit{A}}& {\mathit{k}}_{2\mathit{A}\mathit{B}}& \dots \\ 0& {{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}}_{2\mathit{A}\mathit{B}}& {\mathit{k}}_{2\mathit{B}\mathit{B}}+{\mathit{k}}_{3\mathit{A}\mathit{A}}& \dots \\ \mathit{︙}& \mathit{︙}& \mathit{︙}& \end{array}\right]$

已知机器人整机刚度,则可得机器人末端弹性变形和外载荷之间的关系为

(16)Δx=K^-1F

式(16)中:Δx为末端弹性变形;F为末端广义力。

1.3 基于有限元和解析法相结合的实时模态分析

对于协作机器人的动态刚度建模,将有限元法和解析法结合,实现机器人的全域实时模态分析。同第1、2节介绍的内容,建立机器人超单元模型。针对非优化部件,采用有限元法,直接利用有限元软件提取这些超单元的质量矩阵m_ei;针对优化部件,采用解析法建立这些超单元的质量矩阵,将这些超单元看作空间梁模型,利用力学属性,可以直接得到其质量矩阵。最后,将所有超单元的质量矩阵进行整合,得到机器人整机质量矩阵M,然后结合整机刚度矩阵,求解模态方程。这里需要说明,针对连杆Ⅰ和连杆Ⅱ,将其优化区域的质量矩阵与非优化区域的质量矩阵直接整合,便可以得到连杆的质量矩阵。

对于优化部件的超单元e₃和e₄,将其看作空间梁模型,利用力学理论可以直接得到该部分的质量矩阵为

(17)m_ei=$\frac{\mathit{\rho }\mathit{A}\mathit{l}}{210}\left[\begin{array}{llllll}70& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 78& 0& 0& 0& 11\mathit{l}\\ 0& 0& 78& 0& -11\mathit{l}& 0\\ 0& 0& 0& 70\mathit{J}/\mathit{A}& 0& 0\\ 0& 0& -11\mathit{l}& 0& 2{\mathit{l}}^{2}& 0\\ 0& 11\mathit{l}& 0& 0& 0& 2{\mathit{l}}^{2}\end{array}\right]$, i=4,7

式(17)中:ρ为材料密度。

对协作机器人各个超单元的单元质量矩阵进行坐标变换,得到整机坐标系下的质量矩阵为

(18)m_i=J^T_im_eiJ_i=$\left[\begin{array}{ll}{\mathit{m}}_{\mathrm{i}\mathit{A}\mathit{A}}& {\mathit{m}}_{\mathrm{i}\mathit{A}\mathit{B}}\\ {{\mathit{m}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{i}\mathit{A}\mathit{B}}& {\mathit{m}}_{\mathrm{i}\mathit{B}\mathit{B}}\end{array}\right]$

最后,将各个单元质量矩阵整合成整机质量矩阵,方法为

(19)M=$\left[\begin{array}{llll}{\mathit{m}}_{1\mathit{A}\mathit{A}}& {\mathit{m}}_{1\mathit{A}\mathit{B}}& 0& \dots \\ {{\mathit{m}}^{\mathrm{T}}}_{1\mathit{A}\mathit{B}}& {\mathit{m}}_{1\mathit{B}\mathit{B}}+{\mathit{m}}_{2\mathit{A}\mathit{A}}& {\mathit{m}}_{2\mathit{A}\mathit{B}}& \dots \\ 0& {{\mathit{m}}^{\mathrm{T}}}_{2\mathit{A}\mathit{B}}& {\mathit{m}}_{2\mathit{B}\mathit{B}}+{\mathit{m}}_{3\mathit{A}\mathit{A}}& \dots \\ \mathit{︙}& \mathit{︙}& \mathit{︙}& \end{array}\right]$

依据推导得到的机器人刚度及质量矩阵,忽略阻尼,可得到机器人的无阻尼自由振动方程,进一步求解得到固有频率。该方程为

(20)(K-ω²M)Φ=0

式(20)中:Φ为节点振幅列向量;ω为系统的固有圆频率。

求解式(20)的广义特征值,得到n个特征值

${\mathit{\omega }}_{1}^{2}$

${\mathit{\omega }}_{2}^{2}$

,…,

${\mathit{\omega }}_{\mathit{n}}^{2}$

,特征值的平方根ω_i(i=1,2,…,n)为机器人的n阶固有圆频率,协作机器人的第i阶固有频率f_i(Hz)计算公式为

(21)f_i=ω_i/(2π)

2 协作机器人结构优化

优化主要对象为协作机器人的两个厢式梁连杆。优化目标为轻质、高刚度和高固有频率,即在保证静刚度和动刚度的前提下完成机器人的轻量化设计。

2.1 优化变量

优化变量设计优化过程中所涉及的参数主要用于表征机器人连杆的拓扑结构。由图4可知,机器人的变截面连杆由5个参数描述。两个连杆的优化变量定义为

(22)X=$[{\mathit{x}}_{1}{\mathit{x}}_{2}\dots {\mathit{x}}_{10}{]}^{\mathrm{T}}$

式(22)中:x₁~x₅为大连杆的五个设计变量,分别表示大端截面宽H₁、高B₁、小端截面宽H₂、高B₂、截面厚度T;x₆~x₁₀为远离机器人基座的连杆的五个设计变量,含义同x₁~x₅。变量的主要变化范围如表3所示。

2.2 优化目标

本文中对机器人进行尺寸优化,主要目的是提升机器人的静态刚度和动态刚度,并减小整机质量,属于多目标优化的范畴。首先选取基准位姿,参照国标《工业机器人性能规范及试验方法》GB/T 12642—2013,选边长为400 mm的立方体,相对于基坐标系的中心点为(500,-151.5,250) mm,选取平面C₁-C₂-C₇-C₈作为测量平面,所选取的5个位姿对应的关节角度^[19]为

(23)

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{P}}_{1}=[0°28.53°106.67°-90.2°-90°0°]\\ {\mathit{P}}_{2}=[14.42°56.96°25.25°-36.3°\\ \mathit{　}\mathit{　}100.14°20.1°]\\ {\mathit{P}}_{3}=[-15.15°40.11°55.01°-49.11°-\\ \mathit{　}\mathit{　}79.35°40.9°]\\ {\mathit{P}}_{4}=[-32.45°47.09°141.41°-138.67°-\\ \mathit{　}\mathit{　}67.7°3.2°]\\ {\mathit{P}}_{5}=[26.87°48.49°119.05°119.28°-\\ \mathit{　}\mathit{　}108.63°6.5°]\end{array}\right.$

对三个优化目标进行建模,机器人的静刚度由式(15)表示,即追求机器人整机刚度最大,末端弹性变形向量的模最小。关于刚度的优化目标为

(24)f₁(X)=min|Δx|

式(24)中:|Δx|为5个基准位姿的三个方向的总末端弹性变形。

机器人的动刚度目标追求机器人的一阶固有频率最大,可表示为

(25)f₂(X)=maxf₁

式(25)中:f₁为5个基准位姿的平均一阶固有频率。

机器人的质量目标可表示为

(26)f₃(X)=minm=min(m₁+m₂+m₃)

式(26)中:m_i(i=1,2,3)为两连杆质量和其他质量,其他质量通过建模软件直接提取得到,连杆质量计算公式为

(27)

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{m}}_{\mathit{i}}=\mathit{\rho }\mathit{V}=\mathit{\rho }\frac{({\mathit{S}}_{1}+{\mathit{S}}_{2}+4{\mathit{S}}_{0})\mathit{l}}{6}\\ {\mathit{S}}_{1}={\mathit{B}}_{1}{\mathit{H}}_{1}-({\mathit{B}}_{1}-2\mathit{t})({\mathit{H}}_{1}-2\mathit{t})\\ {\mathit{S}}_{2}={\mathit{B}}_{2}{\mathit{H}}_{2}-({\mathit{B}}_{2}-2\mathit{t})({\mathit{H}}_{2}-2\mathit{t})\\ {\mathit{S}}_{0}=\frac{({\mathit{H}}_{1}+{\mathit{H}}_{2})({\mathit{B}}_{1}+{\mathit{B}}_{2})-({\mathit{H}}_{1}+{\mathit{H}}_{2}-4\mathit{t})({\mathit{B}}_{1}+{\mathit{B}}_{2}-4\mathit{t})}{4}\end{array}\right.$

多目标设计优化问题表示为

(28)目标函数$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathit{m}\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{\mathit{f}}_{1}\\ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left|\mathrm{\Delta }\mathit{x}\right|\end{array}\right.$

2.3 约束条件

在优化变量确定后,连杆Ⅰ和连杆Ⅱ的各自五个变量之间应满足相应的大小关系。除了取值范围的约束外,设计变量的其他约束为

(29)

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{H}}_{1}>{\mathit{H}}_{2}\\ {\mathit{B}}_{1}>{\mathit{B}}_{2}\\ {\mathit{h}}_{1}>{\mathit{h}}_{2}\\ {\mathit{b}}_{1}>{\mathit{b}}_{2}\end{array}\right.$

2.4 优化方法的选择

NSGA-Ⅱ是一种基于Pareto最优解的多目标遗传算法。综合考虑不同优化目标的约束以及优化目标之间的耦合和竞争关系。个体的适应度体现在非支配排序水平和拥挤距离两个指标上,可以搜索最优解集,使每个目标函数尽可能大或小。为各种目标函数之间的权衡分析提供了有效工具^[20]。假设最大值问题有k个目标函数,两个任意决策变量x_a、x_b∈U^[7]。

(1)当且仅当∀i∈{1,2,…,k}:f_i(x_a)>f_i(x_b),x_a支配x_b。

(2)当且仅当∀i∈{1,2,…,k}:f_i(x_a)≥f_i(x_b)且∃i∈{1,2,…,k}:f_i(x_a)>f_i(x_b),x_a弱支配x_b。

(3)当且仅当∀i∈{1,2,…,k}:f_i(x_a)≥f_i(x_b)且∃j∈{1,2,…,k}:f_j(x_a)<f_j(x_b),二者不互相支配。

对于多目标优化,很难找到一个同时优化所有目标函数的最优解。通常存在一个解集,即Pareto最优解集,它不能在不削弱至少一个其他目标函数的情况下改进任何目标函数。最优解集在目标空间中形成的曲面称为Pareto前沿。基于优化参数、优化函数及算法的适应性等,决定使用NSGA-Ⅱ算法进行多目标优化,使用MATLAB软件,NSGA-Ⅱ的优化过程如图5所示。

2.5 优化过程

NSGA-Ⅱ的相关参数,包括种群规模、迭代次数、交叉概率等,如表4所示。

使用MATLAB,借助Plat EMO多目标优化平台,所选定机器人实验位姿见第2.2节,Pareto最优解集将通过多次迭代获得,每次迭代涉及选择、交叉、变异等。在单次迭代中,目标函数的计算过程如下:

(1)每个自变量生成随机值,依据约束条件添加惩罚,确保在各自范围内。

(2)计算部件k_ei和m_ei,组装得到整机K、M。

(3)依据目标函数公式分别计算三个目标函数|Δx|、f₁、m的值。

3 优化结果分析

使用NSGA-Ⅱ得到Pareto前沿,每个黑色菱形代表一个最优解,如图6所示。

为了便于比较和分析,展示每对指标的相互影响,如图7所示。f₁随着m的减小而增加,这与优化的目标是一致的。因此,应选择m较小、f₁较大的方案,m和t负相关,如图8所示。然而,这与最大化m和最小化t的最优目标相反。因此,为了确保更好的整体性能,从对应于图8中红色菱形的左下角区域中选择理想的解决方案,t和f₁正相关,如图9所示,即t随着f₁的增大而增大,与预期目标相反,从对应于9中红色菱形的右下角区域中选择理想的解决方案。

考虑图6~图9中指标的分布情况,选取Pareto前沿中的5个解进行进一步优化。如表5所示,五个方案在总质量m、基频f₁和末端总变形t三个评价指标方面均处在允许范围内,其中方案1优化质量最小,基频最高;方案5总质量较大,但仍优于初始模型,且在基频f₁增加的同时末端变形明显优于其余4组方案;本次优化以质量最小和高基频为优化目的,选取方案1为优化结果,自变量圆整后如表6所示。

4 样机研制实例与实验对比

基于方案1圆整后的设计变量,建立协作机器人整机结构优化模型,并完成配套关节的样机研制,用于后续试验验证。优化后的机器人样机模型如图10(a)所示。

为验证优化方法的有效性,开展有限元仿真与实验对比验证,重点考察一阶固有频率与末端弹性变形两项性能指标。有限元分析采用ANSYS软件,通过模态分析模块和静态结构模块分别进行仿真求解;实验验证中,模态测试采用单点激励-多点响应(single input, multiple output,SIMO)方法,搭建振动测试系统获取机器人一阶固有频率;末端弹性变形测试参考国标《工业机器人性能规范及其试验方法》GB/T 12642—2013规定的静态柔顺性测试方法,利用加载架、砝码、激光跟踪仪及靶球完成测量。仿真及实验搭建如图10(b)~图10(d)所示。

仿真分析与实验测试的对比结果如表7所示。其中,优化前的性能数据基于有限元仿真获得,优化后的数据来自样机实测。优化后,机器人整机质量成功降低1.06 kg;在五个典型位姿下,一阶固有频率的提升幅度达到7.39%~11.62%,同时末端弹性变形亦呈现不同程度减小,表明静刚度与动态特性均获得实质性改善。综上,本文方法在提升机器人静刚度、动态响应能力及轻量化水平方面实现了协同优化,充分验证了其有效性、可行性及工程实用价值。

5 结论

(1)建立了机器人静态刚度和动态刚度关于变截面臂杆结构参数的参数化数学模型,实现了机器人结构尺寸参数与静态变形和模态之间的直接关联,为结构尺寸参数的直接优化提供了基础。

(2)提出了一种基于NSGA-Ⅱ算法的综合考虑静刚度、动刚度和质量的多参数、多目标、多工况的结构优化方法。应用该方法优化后的机器人各项性能指标均得到显著提升:质量减轻1.06 kg,5个位姿的一阶固有频率提升幅度达7.39%~11.62%,有效提升了机器人的动态性能和静态性能。

(3)提出的参数化建模与多目标优化框架具有较强的适用性,除用于协作机器人外,亦可用于工业重载机器人、航天机械臂、手术机器人等具有复杂截面构件的装备轻量化与刚度强化设计。

未来结合材料分布优化与拓扑优化技术,有望形成结构材料一体化设计方法,为高性能智能装备研发提供有效技术支撑。本文研究的不足之处主要在于目前仅针对基准位姿进行优化,尚未实现全域结构优化。后续研究将致力于开展机器人全域结构优化工作,以期获得更加全面和理想的优化效果。

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