融合里程计与超声波观测的多约束图优化SLAM方法

苗兴汶; 祝宇鸿; 朱宏劲

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2504299

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (14) :6056-6063 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2504299

自动化技术、计算机技术

融合里程计与超声波观测的多约束图优化SLAM方法

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Fusion of Odometry and Ultrasonic Observations for Multi-constraint Graph Optimization SLAM

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摘要

针对传统超声波SLAM系统在复杂环境中因传感器分辨率低导致的定位漂移和建图质量不佳问题,提出了一种基于多约束图优化的鲁棒超声波SLAM算法。为保证线段特征提取的成功率,通过融合连续M次超声探测的时序信息,采用分裂-合并算法实现线段特征稳定提取。构建了包含里程计运动约束、超声波观测约束的图模型,其中各约束权重通过传感器不确定性动态调整,采用稀疏矩阵分解与Levenberg-Marquardt算法求解位姿与特征联合优化问题。仿真实验结果表明,与仅依赖里程计的航位推算方法及扩展卡尔曼滤波SLAM方法相比,平均定位精度分别提升了约83.8%与63.5%,且地图平均误差仅为1.19 cm,地图覆盖率达96%,最后搭建了实验平台并在实际环境中对算法进行了进一步验证。为低成本超声波SLAM系统提供了新思路,适用于资源受限设备或烟雾等极端场景。

Abstract

A robust ultrasonic SLAM algorithm based on multi-constraint graph optimization was proposed to address the issues of positioning drift and poor mapping quality in conventional ultrasonic SLAM systems caused by low sensor resolution in complex environments. To ensure successful line feature extraction, temporal information from consecutive M ultrasonic detections was fused, and a split-merge algorithm was employed to achieve stable line feature extraction. A graph model incorporating odometry motion constraints and ultrasonic observation constraints was constructed, where the weights of each constraint are dynamically adjusted based on sensor uncertainty. The joint optimization problem of pose and features was solved using sparse matrix decomposition and the Levenberg-Marquardt algorithm. Simulation results demonstrate that compared to odometry-based dead reckoning and extended Kalman filter SLAM methods, the average positioning accuracy is improved by approximately 83.8% and 63.5%, respectively, with an average map error of only 1.19 cm and a map coverage rate reaching 96%. An experimental platform was established to further validate the algorithm in real-world environments. This work provides a novel approach for low-cost ultrasonic SLAM systems, suitable for resource-constrained devices or extreme scenarios such as smoke-filled environments.

Graphical abstract

关键词

图优化 / SLAM / 超声波环境感知 / 分裂-合并算法 / 线段特征 / Levenberg-Marquardt

Key words

graph optimization / SLAM / ultrasonic environmental sensing / split-merge algorithm / line segment features / Levenberg-Marquardt

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苗兴汶, 祝宇鸿, 朱宏劲. 融合里程计与超声波观测的多约束图优化SLAM方法[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(14): 6056-6063 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504299

MIAO Xing-wen, ZHU Yu-hong, ZHU Hong-jin. Fusion of Odometry and Ultrasonic Observations for Multi-constraint Graph Optimization SLAM[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(14): 6056-6063 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504299

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同时定位与地图构建(simultaneous localization and mapping, SLAM)是自主移动系统在未知环境中实现环境感知与导航的核心技术,在军事侦察、无人系统自主作业以及室内服务机器人等领域具有广泛的应用价值^[1-2]。而超声波SLAM技术因其成本低、抗干扰性强,在黑暗、烟雾等复杂环境中具有独特优势^[3]。Wu等^[4]提出基于多超声波传感器的低成本SLAM方案,通过优化测量算法提升多机器人系统的定位与建图精度,实现了低成本SLAM的初步功能。陈远^[5]通过移动机器人在离散观测点进行超声波稀疏扫描并融合多帧测量数据,从而提取并重构环境轮廓信息,但该方法无法有效消除里程计误差。Krekovi

$\stackrel{\text{'}}{c}$

等^[6]提出了一种基于最小点距离特征提取和超声波阵列模糊建模的算法,降低了超声波测距误差和方向不确定性,但缺乏有效的环境轮廓检测和描述。袁帅等^[7]提出了一种基于三位置超声波检测的环境轮廓构建方法,并结合无迹卡尔曼滤波来融合超声波数据与机器人驱动模型。张文静^[8]采用渐进式概率霍夫变换提取环境轮廓,并基于扩展卡尔曼滤波融合里程计与超声波数据,实现对航位推算轨迹的误差修正。但基于滤波的方法受限于马尔可夫假设,难以修正历史误差。

近年来,随着稀疏矩阵求解及高效优化算法的发展^[9-12],图优化方法已逐渐成为SLAM后端优化的主流范式。相较于滤波方法,图优化框架在提高SLAM系统精度和鲁棒性方面更具优势^[13]。图优化技术在激光与视觉SLAM中已趋于成熟^[14-15],但在超声波SLAM领域仍存在研究空白,现有图优化框架未适配超声波数据特性。因此,直接将激光或视觉SLAM的图优化模型应用于超声波系统往往难以取得预期效果。

针对上述问题,现提出一种基于超声波SLAM的多约束融合模型。通过提取超声波的线段特征,将超声波观测的几何特性与里程计误差统一为图优化问题,实现线段特征与位姿估计的联合优化。旨在克服传统滤波类方法累积误差不可逆的局限性,探索超声波SLAM在精度提升方面的可行性。同时,尝试在保证定位精度的前提下,验证基于低成本超声波传感器的SLAM系统在实际应用中的可行性;以期为低成本传感器SLAM提供不依赖视觉或激光雷达的技术路径,将多约束图优化框架亦推广至其他里程计与低频感知设备的融合场景。

1 基于分裂-合并算法的线段提取

分裂-合并算法因计算效率高和线段提取准确性强,在计算机视觉领域被广泛用于特征提取^[16]。该算法通过递归分割和优化合并策略,能够鲁棒地从噪声数据中识别真实环境线段。

1.1 分裂-合并算法基本原理

如图1所示,分裂-合并算法采用极坐标参数化表示线段特征,其数学表达式为

(1)ρ=xcosα+ysinα

式(1)中:ρ为坐标原点到线段特征的法向距离;α为直线法线与X轴的夹角,范围为[-π,π)。

分裂-合并算法的核心思想是:通过拟合线段,检测出离线段最远的点;若该点距离大于阈值,则分裂数据集。该算法的具体流程如图2所示。

在完成所有点集的分裂操作后,对相邻线段进行共线合并优化。若两个线段之间的统计距离低于阈值,则合并为一条新线段,同时更新其参数。

1.2 最小二乘直线拟合

最小二乘法通过最小化误差平方和求解最优拟合直线,是统计学和机器学习中广泛应用的线性回归方法^[17]。

如图1所示,给定一个包含N个数据点的数据集{(x_i,y_i),i=1,2,…,N},需找到一条如式(1)的最优直线来描述这些数据的线性关系。对于数据点(x_i,y_i)到该直线的法向距离为

(2)Δd=$\left|\rho -{x}_{i}cos\alpha -{y}_{i}sin\alpha \right|$

则最佳拟合直线参数(ρ,α)应使数据点到直线的垂直距离之和最小,其数学表达式为

(3)S(ρ,α)=$\sum _{i=1}^{N}({x}_{i}cos\alpha +{y}_{i}{sin\alpha -\rho )}^{2}$

根据S(ρ,α)最小时直线参数(ρ,α)的偏导数为0的原则,从而得到线段特征的参数解为

(4)α=$\frac{1}{2}$arctan$\frac{-2{S}_{xy}}{{S}_{{y}^{2}}-{S}_{{x}^{2}}}$

(5)ρ=$\overline{x}$cosα+$\overline{y}$sinα

式中:

(6)$\overline{x}$=$\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}$x_i

(7)$\stackrel{-}{y}$=$\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}$y_i

(8)S_x²=$\sum _{i=1}^{N}({x}_{i}{-\overline{x})}^{2}$

(9)S_y²=$\sum _{i=1}^{N}({y}_{i}{-\overline{y})}^{2}$

(10)S_xy=$\sum _{i=1}^{N}$(x_i-$\overline{x}$)(y_i-$\overline{y}$)

1.3 基于里程计运动补偿的超声波数据融合

本文算法是针对低成本、低数据率的超声波传感器设计的。如图3所示,采用12阵元超声波传感器环进行环境感知,相邻传感器间隔30°。单次探测能获取12个离散探测点。由于超声波环的单次探测所产生的有效数据点至多仅有12个,难以提取障碍物的轮廓信息。为此,采用一种基于运动补偿的多帧超声波数据融合方法,通过组合连续多个时序下的超声波环探测数据,以提高线段特征提取的成功率。

假设超声波环进行了M次的连续探测,这M次的探测数据对应的载体位姿为

(11)X_i=(x_i,y_i,θ_i)^T, i=1,2,…,M

超声波环在机器人位姿X_i下的12个观测数据的笛卡尔坐标为

(12)P_i=$({x}_{j}^{i},{y}_{j}^{i}{)}^{T}$, j=1,2,…,12

将机器人位姿X₁=(x₁,y₁,θ₁)^T的旋转矩阵记作R₁,机器人位姿X_M=(x_M,y_M,θ_M)^T的旋转矩阵记作R_M,则将位姿X₁下的观测点

$({x}_{j}^{1},{y}_{j}^{1}{)}^{T}$

转换至位姿X_M下的观测点p_1,_j可以表示为

(13)p_1,_j=${R}_{M}^{-1}$R₁$\left(\begin{array}{l}{x}_{j}^{1}\\ {y}_{j}^{1}\end{array}\right)$+${R}_{M}^{-1}\left(\begin{array}{l}{x}_{1}-{x}_{M}\\ {y}_{1}-{y}_{M}\end{array}\right)$

通过里程计测量补偿机器人位姿变化,将历史时刻t_1~t_M_-1的超声波观测数据转换至当前时刻t_M的载体坐标系下,最后通过分裂-合并算法从对齐后的超声波观测数据中提取线段特征。

2 基于图优化的超声波SLAM算法

2.1 图优化SLAM建模描述

图优化SLAM将SLAM问题建模为概率图模型,机器人位姿或环境特征被表示为图中的节点,观测信息在经过处理后转变为节点之间的约束关系,并通过连接节点间的边来表示^[18]。从形式上,图优化是对不确定性观测的最大似然估计,最终可转化成非线性最小二乘问题,其表达式为

(14)X^*=

$\underset{X}{argmin}$

F(X)=$\underset{X}{argmin}{\sum }_{(i,j)\in \epsilon }^{}{{e}^{T}}_{ij}$(X)Ω_ije_ij(X)

式(14)中:X=(X₁,X₂,…,X_N)为节点集合;e_ij(X)为误差函数;Ω_ij为误差函数e_ij的信息矩阵,且其值为协方差的逆矩阵;ε为图中所有约束边的集合。

由于待优化目标函数通常是非线性的,因此应将误差函数进行线性化处理为

(15)$\boldsymbol{e}_{i j}(\tilde{\boldsymbol{X}}+\Delta \boldsymbol{X})=\boldsymbol{e}_{i j}(\tilde{\boldsymbol{X}})+\boldsymbol{J}_{i j} \Delta \boldsymbol{X}$

式(15)中:J_ij为雅可比矩阵。

推导出的雅可比矩阵用于指导图优化的方向,基于误差项雅可比矩阵构建增量方程为

(16)HΔX^*=-b

式(16)中:H为海森矩阵。

(17)H=${\sum }_{(i,j)\in \epsilon }^{}{{J}^{T}}_{ij}$Ω_ijJ_ij

(18)b=${\sum }_{(i,j)\in \epsilon }^{}{{e}^{T}}_{ij}$Ω_ijJ_ij

通过解算式(16)可得到状态增量的解ΔX^*,以此来更新系统状态,其数学表达式为

(19)$X^{*}=\tilde{X}+\Delta X^{*}$

利用式(19)不断迭代,从而获得系统状态的最优估计。

2.2 里程计运动约束

根据里程计的航位推算模型,将i时刻的运动控制输入量记作u_i=

${\left[\begin{array}{lll}\Delta {x}_{i}& \Delta {y}_{i}& \Delta {\theta }_{i}\end{array}\right]}^{T}$

,则移动机器人在i+1时刻的位姿状态X_i₊₁=(x_i+1,y_i+1,θ_i+1)^T为

(20)$\begin{aligned}\boldsymbol{X}_{i+1} & =\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{X}_{i}, \boldsymbol{u}_{i}\right)+\boldsymbol{n}_{i} \\& =\left[\begin{array}{c}x_{i}+\Delta x_{i} \cos \theta_{i}-\Delta y_{i} \sin \theta_{i} \\y_{i}+\Delta x_{i} \sin \theta_{i}+\Delta y_{i} \cos \theta_{i} \\\theta_{i}+\Delta \theta_{i}\end{array}\right]+\boldsymbol{n}_{i}\end{aligned}$

式(20)中:非线性函数f(·)为系统的状态转移函数;n_i为随机噪声。

里程计运动约束的误差函数可表示为

(21)e^odom(X_i,X_i₊₁)=X_i₊₁-f(X_i,u_i₊₁)

根据一阶误差传播模型,将里程计约束的协方差矩阵表示为

(22)Σ_i=$\frac{\partial f}{\partial {X}_{i}}$C(X_i)${\frac{\partial f}{\partial {X}_{i}}}^{T}$+$\frac{\partial f}{\partial {u}_{i}}$C(u_i)${\frac{\partial f}{\partial {u}_{i}}}^{T}$

式(22)中:C(X_i)为状态变量X_i的协方差矩阵;C(u_i)为控制输入u_i的协方差矩阵。

2.3 超声波观测约束

当移动机器人在i时刻下观测到线段特征l_j时,相应观测模型可建模为

(23)z_ij=${\left[\begin{array}{ll}{r}_{ij}& {\varphi }_{ij}\end{array}\right]}^{T}$=h(X_i,l_j)+s_i

(24)h(X_i,l_j)=$\left[\begin{array}{l}\rho -{x}_{i}cos\alpha -ysin\alpha \\ \alpha -{\theta }_{i}\end{array}\right]$

式中:z_ij为观测值;(r_ij,ϕ_ij)为线段特征l_j在载体坐标系下的参数表示;s_i为随机噪声;h(X_i,l_j)为将线段特征l_j的当前估计值从全局坐标系转换至载体坐标系X_i下;(ρ,α)为线段特征在全局坐标系下的参数表示。

根据观测到的线段特征与当前位姿之间的关系,超声波观测约束的误差函数可表示为

(25)e^ultra(X_i,l_j)=z_ij-h(X_i,l_j)

假设构成线段特征的超声波探测点之间是相互独立的,则超声波观测约束的协方差Σ_ij为

(26)Σ_ij=$\sum _{k=1}^{N}$J_kC(p_k)J^T_k

式(26)中:J_k为最小二乘拟合函数S(ρ,α)相对于各个超声波探测点p_k的雅可比矩阵;C(p_k)为超声波探测点(d,ϕ)的协方差矩阵。

2.4 图优化超声波SLAM算法设计

基于前述约束模型,构建了如图4所示的图优化模型。该模型由各节点及连接这些节点的边共同构成。里程计运动约束通过关联相邻位姿节点,有效维持运动轨迹的局部连续性与平滑性,并在缺乏环境观测信息的短时间区间内提供可靠的位姿估计。超声波观测约束通过建立位姿节点与线段特征节点之间的连接,形成当前位姿与历史位姿之间的关联关系,从而修正里程计所产生的累积误差,并构建具有全局一致性的环境地图。

所提出的多约束图优化超声波SLAM算法的完整流程如图5所示。该系统以后端优化为核心,前端处理包括传感器数据采集、运动补偿和特征提取。

初始化阶段:算法开始时,设定并固定机器人的初始位姿节点。

前端数据处理循环:每当机器人移动并采集到新的里程计与超声波数据后,算法进入处理循环。首先,基于上一时刻的优化结果(或首次运行时基于航位推算)预测当前位姿,并将其作为新节点加入图模型。随后,对连续M次探测的超声波数据进行运动补偿,将其统一到当前坐标系下,并利用分裂-合并算法从融合后的点云中提取线段特征。

后端图优化循环:将提取到的线段特征作为新的地图节点,并构建两类约束边,即相邻位姿节点间的里程计运动约束,以及位姿节点与地图节点间的超声波观测约束。各约束的信息矩阵根据其传感器不确定性动态调整。算法将SLAM问题构建为一个非线性最小二乘问题,并采用Levenberg-Marquardt算法进行迭代求解。在每次迭代中,系统计算状态增量ΔX^*并更新全局状态,该过程循环直至满足收敛条件。最终,输出当前时刻优化后的机器人位姿与环境地图。

设系统优化变量为所有时刻的状态变量,表示为

(27)X^*=[${X}_{1}^{*}$,${X}_{2}^{*}$,…,${X}_{n}^{*}$,${l}_{1}^{*}$,${l}_{2}^{*}$,…,${l}_{m}^{*}$]

式(27)中:

${X}_{i}^{*}$

为机器人位姿状态的最优估计,其中i=1,2,…,n;

${l}_{j}^{*}$

为环境特征状态的最优估计,其中j=1,2,…,m。

优化的目标函数是图模型所有误差平方和,则系统待优化目标函数为

(28)F(X)=

${\sum }_{(i,j)\in {\epsilon }_{o}}^{}{‖\frac{ }{ }{e}^{odom}({X}_{i},{X}_{i+1})‖}_{{\Sigma }_{i}}^{2}$

+${\sum }_{(i,j)\in {\epsilon }_{u}}^{}{‖\frac{ }{ }{e}^{ultra}({X}_{i},{l}_{j})‖}_{{\Sigma }_{ij}}^{2}$

式(28)中:ε_o为相邻位姿边集;ε_u为超声波观测边集。

本文算法的总体复杂度主要受限于后端图优化的求解。若不考虑SLAM问题的稀疏性并假设节点数为n,Levenberg-Marquardt算法的时间复杂度为O(n³),难以满足实时要求。实际求解中,为保证收敛稳定性的同时提高优化效率,通过稀疏矩阵分解(如QR分解)实现非线性最小二乘求解,其最佳复杂度可达O(n)。

3 仿真与实验分析

为验证所提基于图优化的超声波SLAM算法的有效性,首先通过仿真测试其定位与建图精度,随后在真实室内环境中进行实际验证。

3.1 仿真验证

在仿真软件MATLAB R2021b中搭建如图6所示的矩形实验环境,移动机器人采集仿真环境轮廓信息。机器人沿设定的测量点路线移动,在每个预设位置采集周围环境的12个探测数据。该设置是为了模拟实际采用的12阵元超声波环形传感器硬件(图3)。为模拟实际传感器噪声特性,在里程计与超声波数据中添加了高斯噪声。其中,参考典型传感器标称精度,超声波噪声均值设为0 m,方差设为0.01 m。为模拟系统性误差(如位姿漂移),里程计噪声均值设为-0.2 m,方差设为0.1 m。

为系统验证本文算法的有效性,在相同实验环境下开展了与里程计航位推算(odometry-based dead reckoning)及扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter, EKF)算法的对比实验。为确保对比的一致性,所有算法采用统一的参数配置:在线段提取阶段,设定线段长度阈值为0.4 m,构成线段所需的最少超声波探测点数为5,该设置旨在有效提取环境结构特征的同时,抑制噪声引起的伪线段干扰;在数据预处理阶段,融合连续5个位姿时刻的超声波探测数据,以提供足够密度的点云用于稳定特征提取。

在对比算法配置方面,EKF算法的过程噪声协方差设为Q=diag

${\left(\begin{array}{lll}0.1& 0.1& 0.01\end{array}\right)}^{2}$

,观测噪声协方差设为R=diag

${\left(\begin{array}{ll}0.01& 0.01\end{array}\right)}^{2}$

,该参数设置参考了EKF-SLAM框架中对于传感器不确定性的典型建模方式。对于本文提出的多约束图优化算法,Levenberg-Marquardt优化过程的最大迭代次数设为15,并固定机器人初始位姿以增强数值稳定性。

如图7所示,对比了基于里程计的航位推算、扩展卡尔曼滤波及所提多约束图优化(multi-constraint graph optimization, MCGO)方法的移动轨迹估计效果。实验结果表明,相较于里程计与EKF方法,MCGO算法估计的移动轨迹与真实轨迹吻合度最高,能够有效抑制里程计累积误差,提升机器人定位精度。图8进一步展示了3种方法的定位误差曲线。可以看出,MCGO算法的定位误差远低于里程计与EKF方法。定量分析表明,里程计航位推算的平均定位误差为12.95 cm,EKF方法为5.75 cm,而MCGO方法仅为2.1 cm,定位精度分别提升了约83.8%与63.5%,验证了所提算法在提升系统定位精度方面的有效性。

为评估环境地图的构建质量,定义线段误差与平均地图误差两种误差指标。线段误差:计算某一线段特征的两个端点到真实环境边界的最短距离(d₁,d₂),取其均值作为该线段误差ρ_i=(d₁+d₂)/2。全局误差:对所有m条地图特征线段的误差取均值ρ。如表1所示,6条线段特征的误差分布在0.06~1.98 cm,地图平均误差为1.19 cm。图9为经过本文算法优化后的机器人定位与建图结果,地图覆盖率达到了96%,实验结果证明了本文算法在提高系统定位与建图精度方面的有效性。

3.2 实验环境

在仿真验证后,基于SCOUT 2.0移动机器人平台开展实物实验验证。环境感知采用由12个DYA-49-08E超声波传感器组成的直径30 cm环形阵列,单个传感器的性能参数如表2所示。

另外,系统搭载了NAV6132B型惯性测量单元(inertial measurement unit, IMU)传感器,该IMU内置加速度计与陀螺仪,可通过航位推算为载体提供一个初始的里程信息。图10为装配好的四轮差速机器人移动平台,该机器人的尺寸为93 cm×70 cm×35 cm。实验在实验楼的走廊进行,实验楼的走廊环境如图11所示。

3.3 实验分析

如图12所示,实验在长73 m的直线长廊环境中进行。机器人沿长廊中轴线方向行进。在行进过程中,机器人通过多次航向调整,确保与两侧墙壁保持一定的距离。以长廊起点为全局坐标系原点,前进方向为X轴正方向,左侧墙壁垂直方向为Y轴正方向。

图13展示了仅靠IMU航位推算的机器人定位与长廊建图结果。实验结果表明,地图特征呈现系统性向下弯曲畸变(最大偏移量达1.679 m,对应航程的2.3%)。这种畸变源于两个耦合误差源:IMU航向角积分误差随时间累积;定位误差导致线段提取算法在极坐标系转换时产生非线性失真。实验数据表明未补偿的惯性导航误差会通过特征提取过程放大建图畸变。

图14对比了基于里程计航位推算、EKF及本文算法的机器人定位与建图效果。实验结果表明,本文算法在定位于建图两方面均表现出显著优势。在建图质量方面,本文算法有效改善了地图畸变,使地图估计与实际环境轮廓更加吻合,地图特征的最大偏移量降低至0.429 m。在定位方面,MCGO算法优于里程计与EKF方法,在一定程度上修正了由IMU漂移引起的累积误差,实现更稳定的位姿估计。这证明了本文算法能够显著提升超声波SLAM系统精度。

4 结论

提出了一种基于多约束图优化的鲁棒超声波SLAM算法,解决了超声波SLAM系统长期存在的定位漂移、建图质量不佳问题。在仿真实验中,与仅依赖里程计的航位推算方法及扩展卡尔曼滤波SLAM方法相比,平均定位精度分别提升了约83.8%与63.5%,且地图平均误差仅为1.19 cm,地图覆盖率达96%。在实际实验中,本文算法有效修正了因IMU误差导致的建图畸变,将长廊环境地图的最大偏移量从1.679 m降至0.429 m,得到了与真实环境结构一致的地图。

综上所述,多约束图优化超声波SLAM算法在定位精度和建图全局一致性方面,均显著优于传统EKF方法。这验证了图优化方法在充分利用历史观测数据、全局优化机器人位姿与地图方面更具优势。该研究为低成本自主系统在GPS拒止环境下的可靠导航提供了新的参考,特别适用于仓储物流、地下勘探等特殊场景。在后续研究中,可考虑引入激光SLAM获取高精度基准数据,以进一步量化评估本方法的定位与建图误差性能。

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原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

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