基于量子近似优化算法的配电网故障恢复重构

王宝楠; 张安邦; 张伟娜; 薛梅; 张丹

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2504101

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (18) :7720-7729 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2504101

电工技术

基于量子近似优化算法的配电网故障恢复重构

王宝楠 ¹ ,
张安邦 ¹ ,
张伟娜 ¹ ,
薛梅 ¹^,^* ,
张丹 ²

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Reconstruction of Distribution Network Fault Recovery Based on Quantum Approximate Optimisation Algorithm

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摘要

配电网故障恢复重构是保障电力系统安全与稳定运行的重要任务。传统的优化算法在解决这一问题时,往往面临求解精度与计算效率之间的权衡。为此,提出了一种结合量子近似优化算法和交替方向乘子法的混合算法,旨在通过量子计算与经典优化技术的协同作用,提升配电网故障恢复重构的效率与精度。量子近似优化算法利用量子计算的优势,在全局优化过程中加速解的搜索,而交替方向乘子法则有效地处理大规模约束优化问题。将本文算法分别应用于33节点和69节点配电网中,在两个场景下分别使总成本下降了40.39%和50.82%,并且与其他传统算法进行对比,证明了本文算法具有良好的准确率和全局寻优能力,为配电网故障恢复重构问题提供了新的解决思路。

Abstract

Fault recovery and network reconfiguration in distribution systems are critical tasks for ensuring the secure and stable operation of power networks. Traditional optimization approaches are often limited by a trade-off between solution accuracy and computational efficiency when addressing this problem. To overcome these limitations, a hybrid algorithm integrating QAOA (quantum approximate optimization algorithm) with ADMM (alternating direction method of multipliers) was proposed. By combining the advantages of quantum computing and classical optimization techniques, both the efficiency and accuracy of the fault recovery and reconfiguration process were enhanced. QAOA was employed to accelerate the global search for optimal solutions through quantum parallelism, while ADMM was utilized to efficiently handle large-scale constrained optimization. The proposed algorithm were applied to the IEEE 33-bus and 69-bus distribution systems, achieving total cost reductions of 40.39% and 50.82%, respectively, under two test scenarios. Comparative experiments with conventional algorithms demonstrate the superior solution accuracy and global search capability of the proposed method, indicating its effectiveness as a novel solution framework for distribution network fault recovery and reconfiguration problems.

Graphical abstract

关键词

量子近似优化算法 / 配电网 / 交替方向乘子法 / 故障恢复重构

Key words

quantum approximate optimization algorithm / distribution network / alternating direction multiplier method / fault recovery reconfiguration

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王宝楠, 张安邦, 张伟娜, 薛梅, 张丹. 基于量子近似优化算法的配电网故障恢复重构[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(18): 7720-7729 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504101

WANG Bao-nan, ZHANG An-bang, ZHANG Wei-na, XUE Mei, ZHANG Dan. Reconstruction of Distribution Network Fault Recovery Based on Quantum Approximate Optimisation Algorithm[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(18): 7720-7729 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504101

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随着全球对电力系统可靠性和韧性的要求日益提高,配电网故障恢复重构问题已成为电力系统研究中的重要课题^[1-3]。配电网作为电力系统的末端网络,一旦发生故障,将直接影响用户的用电需求和社会的正常运行^[4]。配电网故障恢复重构是指在发生故障时,通过合理的网络拓扑调整,最大限度地恢复电网负荷并保证系统的稳定性^[5-6]。该过程不仅需要满足负荷恢复的高效性和稳定性要求,还要考虑优化算法的计算效率与精度^[7],因此,如何在有限时间内解决大规模配电网的故障恢复问题,成了一个亟待解决的挑战。

在传统的配电网重构算法中,启发式算法、数学规划方法以及人工智能算法已经取得了一定的成果。文献[8]提出了一种基于混合模拟退火布谷鸟搜索算法的配电网重构算法,通过引入模拟退火操作,提高算法收敛速度与精度。文献[9]提出了一种基于图论的遗传算法,以在基于光伏的分布式发电源存在下设计最佳重构。然而,随着配电网规模的扩大和问题复杂度的增加,这些传统方法在计算效率和全局最优解之间常常难以找到平衡。尤其是在大规模配电网中,传统算法往往面临计算时间过长、解的精度不足等问题。因此,迫切需要更高效、更精确的新型计算范式来支持配电网故障恢复的优化决策。

量子计算,作为一种颠覆传统计算极限的新兴技术,近年来在优化问题中的应用逐渐受到关注^[10]。量子计算利用量子比特的叠加性和纠缠性,能够在某些特定问题上实现指数级加速,展现出其在处理大规模组合优化问题中的潜力。量子计算的优势在于其并行计算能力和处理复杂计算问题的能力,尤其适用于那些具有多峰性和复杂约束条件的优化问题。文献[11]提出了一种用于遗传算法的可实现量子电路,称为平面-Weibull量子电路遗传算法。文献[12]提出了一种新的受自然启发的元启发式优化算法,称为量子萤火虫算法。然而,尽管量子计算在理论上具有强大的优势,其在硬件限制和算法适配性方面仍面临许多挑战。目前,量子计算的研究主要集中在两大领域:基于门电路的量子计算方法^[13]和基于量子退火的量子计算方法^[14]。前者依赖量子比特的叠加性和纠缠性,通过量子门操作进行计算,具有较强的理论基础^[15];而后者则利用量子退火原理解决优化问题,尤其适用于组合优化问题,已被多次应用于电力系统中的优化任务^[16]。

为了克服传统计算和量子计算各自的局限性,近年来混合量子-经典计算(hybrid quantum-classical, HQC)框架应运而生,该框架通过结合经典计算和量子计算的优势,能够高效求解大规模优化问题^[17]。HQC框架的基本思路是将复杂的优化问题分解为多个子问题,利用量子计算求解其中的离散优化子问题,而通过经典计算处理连续优化子问题,从而实现更高效的求解过程。在配电网优化领域,HQC算法已经取得了一定的应用成果^[18]。

然而,现有的基于HQC框架的算法主要依赖量子退火方法来求解离散优化问题^[19],尽管其在某些应用中表现出较好的性能,但在配电网故障恢复重构问题中,传统的量子退火算法仍面临诸如算法收敛速度慢、精度不高等问题。

因此,为了进一步提升求解性能,现提出一种基于量子近似优化算法(quantum approximate optimization algorithm, QAOA)和交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers, ADMM)相结合的新型混合量子-经典优化方法(QAOA-ADMM)。将QAOA引入配电网故障恢复重构问题,并与ADMM进行协同求解,对于探索量子计算在电力系统组合优化问题中的应用具有重要研究意义。

1 配电网故障恢复重构的数学模型

配电网故障恢复重构的目标是通过对配电网拓扑结构的合理调整,在发生故障后最大化恢复负荷的同时保证系统稳定性^[20]。为此,需要构建一个适应实际故障场景的优化模型,该模型既要考虑到传统的配电网拓扑约束,又要结合量子计算方法来提升求解效率和精度。

配电网的故障恢复重构问题可以视为一个组合优化问题^[21],其中目标是通过优化开关状态和其他控制变量来实现故障后的负荷恢复。模型中需要考虑的主要因素包括节点负荷、线路容量、拓扑结构以及电力流的约束。根据上述因素,提出了以下模型,包括目标函数以及约束条件。

1.1 目标函数

本文目标是最小化系统的总功率损耗和开关动作成本,即在保证网络稳定运行的前提下,尽可能恢复负荷并减少电网设备的切换操作成本。目标函数可以表达为

(1)

$\mathit{M}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{i}\mathit{m}\mathit{i}\mathit{z}\mathit{e}\begin{array}{ll}& \mathrm{Z}=\mathrm{C}\end{array}\stackrel{\mathit{n}}{\sum _{\mathit{i}=1}}{\mathit{P}}_{\mathrm{c}}\left(\mathit{i}\right)+\sum _{\mathit{j}\in \mathit{N}}{\mathit{P}}_{\mathrm{S},\mathit{j}}+\sum _{\mathit{l}\in \mathit{L}}{\mathit{C}}_{\mathit{l}}{\mathit{y}}_{\mathit{l},\mathit{p}}$

(2)

$\begin{array}{l}{\mathit{y}}_{\mathit{l},\mathit{p}}=\left|{\mathit{y}}_{\mathit{l},\mathit{p}}-{\mathit{y}}_{\mathit{l},\mathit{p}-1}\right|={\mathit{y}}_{\mathit{l},\mathit{p}}+{\mathit{y}}_{\mathit{l},\mathit{p}-1}-2{\mathit{y}}_{\mathit{l},\mathit{p}}{\mathit{y}}_{\mathit{l},\mathit{p}-1},\\ \mathit{l}\in \mathit{L}\end{array}$

式中:C为每单位失负荷的成本惩罚因子;P_c(i)为节点i的失负荷量,MW;N和P_S,j分别为节点集合和节点j的支路功率;C_l和y_l,p分别为开关动作成本因子和开关操作次数。

可以看到,目标函数由以下3部分组成:①

$\mathrm{C}\stackrel{\mathit{N}}{\sum _{\mathit{i}=1}}{\mathit{P}}_{\mathrm{c}}\left(\mathit{i}\right)$

表示失负荷惩罚,若有节点未能恢复负荷则计算惩罚成本;②

$\sum _{\mathit{j}\in \mathit{N}}{\mathit{P}}_{\mathrm{S},\mathit{j}}$

表示故障恢复前后系统的总功率消耗;③

$\sum _{\mathit{l}\in \mathit{L}}{\mathit{C}}_{\mathit{l}}{\mathit{y}}_{\mathit{l},\mathit{p}}$

表示线路开关操作成本。

1.2 约束条件

当配电网馈线受损时,配电网需要通过故障隔离、网络重构及电源调度,实现尽可能多的负荷恢复与安全运行。为实现上述目标,基于分支流潮流模型,结合网络拓扑约束与电气物理限制,构建了以下满足配电网故障恢复场景下的约束条件。

(3)

${\mathit{U}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le {\mathit{U}}_{\mathit{i}}\le {\mathit{U}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},\mathit{　}\forall \mathit{i}\in \mathit{I}$

(4)

$\left|{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{j}}\right|\le {\mathit{S}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{y}}_{\mathit{i}\mathit{j}},\mathit{　}\forall (\mathit{i},\mathit{j})\in \mathit{L}$

(5)

$\stackrel{\mathit{N}}{\sum _{\mathit{j}=1}}{\mathit{y}}_{\mathit{i}\mathit{j}}=1,\mathit{　}\forall \mathit{i}\in \mathit{I}$

(6)

${\mathit{P}}_{\mathit{i}}{\mathit{x}}_{\mathit{i}}\le {\mathit{P}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathit{x}}_{\mathit{i}},\mathit{　}\forall \mathit{i}\in \mathit{I}$

(7)

${\mathit{P}}_{\mathit{i}}=\sum _{\mathit{j}\in \mathit{N}\left(\mathit{i}\right)}{\mathit{P}}_{\mathit{i}\mathit{j}},\mathit{　}\forall \mathit{i}\in \mathit{I}$

(8)

${\mathit{Q}}_{\mathit{i}}=\sum _{\mathit{j}\in \mathit{N}\left(\mathit{i}\right)}{\mathit{Q}}_{\mathit{i}\mathit{j}},\mathit{　}\forall \mathit{i}\in \mathit{I}$

(9)

${\mathit{P}}_{\mathit{i}\mathit{j}}=\frac{{\mathit{r}}_{\mathit{i}\mathit{j}}}{{\mathit{r}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2}+{\mathit{x}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2}}({\mathit{r}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{U}}_{\mathit{i}}^{2}-{\mathit{r}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{U}}_{\mathit{i}}{\mathit{U}}_{\mathit{j}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}\mathit{j}}),\forall (\mathit{i},\mathit{j})\in \mathit{L}$

(10)

${\mathit{Q}}_{\mathit{i}\mathit{j}}=\frac{{\mathit{x}}_{\mathit{i}\mathit{j}}}{{\mathit{r}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2}+{\mathit{x}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2}}({\mathit{r}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{U}}_{\mathit{i}}^{2}-{\mathit{x}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{U}}_{\mathit{i}}{\mathit{U}}_{\mathit{j}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\theta }}_{\mathit{i}\mathit{j}}),\forall (\mathit{i},\mathit{j})\in \mathit{L}$

(11)

${\mathit{P}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2}+{\mathit{Q}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2}\le {\mathit{U}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2}{\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2}$

(12)

$\begin{array}{l}{\mathit{U}}_{\mathit{j}}={\mathit{U}}_{\mathit{i}}-2({\mathit{r}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{P}}_{\mathit{i}\mathit{j}}+{\mathit{x}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{Q}}_{\mathit{i}\mathit{j}})+({\mathit{r}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2}+{\mathit{x}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2}){\mathit{I}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{2},\\ \forall (\mathit{i},\mathit{j})\in \mathit{L}\end{array}$

式中:U_min和U_max分别为节点电压的最小和最大值;I_ij为线路ij的电流; x_i为节点i是否恢复,1表示恢复,0表示故障;y_ij为线路的ij开关状态,1表示状态变化,0表示无变化; S_l为线路l的传输能力;U_i为节点i的电压;r_l为线路l的电阻;x_l为线路l的电抗;θ_ij为节点ij之间的相位差。

式(3)表示每个节点的电压都在安全范围;式(4)表示每条线路的电流不超过其最大传输能力;式(5)限制每个节点有且仅有一个父节点,且各节点通过开关状态进行连接或断开;式(6)表示每个节点恢复的负荷不能超过其最大负荷能力;式(7)和式(8)表示节点的功率平衡约束;式(9)和式(10)为每条线路的流量约束;式(11)和式(12)为二阶锥约束。

2 QAOA-ADMM算法在配电网故障恢复重构中的应用

在HQC框架的基础上,通过对配电网故障恢复重构模型的转化提出了由量子近似优化算法嵌入交替方向乘子法的全新算法,将其称为QAOA-ADMM算法,该算法采用经典计算和量子计算交替求解的迭代方式,为优化问题的求解提供了全新的思路。

2.1 量子近似优化算法原理

量子近似优化算法(QAOA)是一种基于变分量子本征求解器的量子优化算法,由Farhi等^[22]提出。QAOA主要用于求解离散组合优化问题,特别是涉及0-1变量的优化问题,如最大割问题(Max-Cut)、旅行商问题(TSP)、布尔可满足性问题(SAT)等。

QAOA的核心思想是将组合优化问题转换为一个量子态演化过程,通过构造一个参数化的量子电路来获得近似优化问题的最优解,其主要步骤如下。

(1)定义优化问题的目标函数。假设优化问题的目标函数可以写成

(13)

$\underset{\mathit{x}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\mathit{f}\left(\mathit{x}\right),\mathit{x}\in {\left\{\mathrm{0,1}\right\}}^{\mathit{n}}$

式(13)中:

$\mathit{x}=({\mathit{x}}_{1},{\mathit{x}}_{2},\dots,{\mathit{x}}_{\mathit{n}})$

为二进制变量;f(x)为优化目标。

(2)构造混合哈密顿量。在量子系统中,优化问题的目标函数需要转化成哈密顿量来表示。因此在QAOA中需要构造目标哈密顿量H_C和混合哈密顿量H_M。

目标哈密顿量H_C用于反映目标函数的能量。

(14)

${\mathit{H}}_{\mathrm{C}}=\sum _{\mathit{x}\in {\left\{\mathrm{0,1}\right\}}^{\mathit{n}}}\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)|\mathit{x}><\mathit{x}|$

式(14)中:|x>为量子态,对应每个可能的二进制变量x。

混合哈密顿量H_M用于探索解空间,使优化算法不容易陷入局部最优,一般来说,混合哈密顿量的选择为

(15)

${\mathit{H}}_{\mathrm{M}}=\stackrel{\mathit{n}}{\sum _{\mathit{i}=1}}{\mathit{\sigma }}_{\mathit{i}}^{\mathit{x}}$

式(15)中:

${\mathit{\sigma }}_{\mathit{i}}^{\mathit{x}}$

为Pauli X矩阵,用于超叠加态搜索的实现。

(3)构造QAOA量子电路。QAOA通过对目标哈密顿量H_C和混合哈密顿量H_M交替作用,构造出一个参数化的量子态演化,即

(16)|ψ(γ,β)>=U_M(β_p)U_C(γ_p)…U_M(β₁)U_C(γ₁)$|+{>}^{\otimes \mathit{n}}$

式(16)中:U_C(γ)=e^-iγH_C;U_M(β)=e^-iβH_M;

$|+{>}^{\otimes \mathit{n}}$

为初始态;γ和β为对角参数向量。

(4)经典优化更新参数。量子态在进行演化后,对量子比特进行测量,得到解x的概率分布,即

(17)

$\mathit{P}\left(\mathit{x}\right)={\left|<\mathit{x}\left|\mathit{\psi }\right(\mathit{\gamma },\mathit{\beta })>\right|}^{2}$

然后使用经典优化器对角参数向量γ、β进行更新,即

(18)

$\underset{\mathit{\gamma },\mathit{\beta }}{\mathit{m}\mathit{a}\mathit{x}}<\mathit{\psi }(\mathit{\gamma },\mathit{\beta })\left|{\mathit{H}}_{\mathrm{C}}\right|\mathit{\psi }(\mathit{\gamma },\mathit{\beta })>$

QAOA在迭代多次之后逐渐收敛至最优解。图1为QAOA的示意图,该QAOA量子线路由多层目标哈密顿量H_C和混合哈密顿量H_M组成。

2.2 交替方向乘子法原理

交替方向乘子法(ADMM)是一种高效的优化算法,能够在凸优化、非凸优化、组合优化等问题上广泛应用。其一般表达式为

(19)

$\left\{\begin{array}{l}\underset{\mathit{x}\in {\mathrm{R}}^{\mathit{n}},\mathit{y}\in {\mathrm{R}}^{\mathit{m}}}{\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}}\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)+\mathit{h}\left(\mathit{y}\right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathit{　}\mathit{A}\mathit{x}+\mathit{B}\mathit{y}=0\end{array}\right.$

式(19)中: x、y为连续优化变量,

$\mathit{x}\in {\mathrm{R}}^{\mathit{n}},\mathit{y}\in {\mathrm{R}}^{\mathit{m}};\mathit{A}\mathit{x}+\mathit{B}\mathit{y}=0$

为连续变量的等式约束。

标准ADMM主要用于解决只包含连续变量的优化问题,但在许多实际应用中,优化问题是同时包含二元变量和连续变量的混合结构,如配电网故障恢复重构问题。

因此,混合二元ADMM被提出,它是一种扩展的ADMM变体,旨在解决同时包含二元变量和连续变量的优化问题。由于二元变量的存在,优化问题会显现出非凸性和离散性,应用标准ADMM时收敛性较差。所以使用混合二元ADMM通过分解策略、近似方法和增强约束处理技术来优化求解过程。

(20)

$\left\{\begin{array}{l}\underset{\mathit{x}\in {\left\{\mathrm{0,1}\right\}}^{\mathrm{n}},\mathit{y}\in {\mathrm{R}}^{\mathit{m}}}{\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}}\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)+\mathit{h}\left(\mathit{y}\right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathit{　}\mathit{A}\mathit{x}=\mathit{b},\mathit{F}\left(\mathit{y}\right)\le 0,\mathit{H}(\mathit{x},\mathit{y})\le 0\end{array}\right.$

式(20)中:x、y分别为二元优化变量和连续优化变量;Ax=b表示含二元优化变量的等式约束;F(y)≤0表示含连续变量的不等式约束;H(x,y)≤0表示同时包含二元变量和连续变量的不等式约束。

混合二元ADMM采用多块分解的方法,即优化变量被划分为多个独立的组,并在ADMM迭代中交替优化。因此,该方法也被称为M-ADMM-H^[24]。

2.3 QAOA-ADMM算法融合机制

M-ADMM-H通过分解优化变量并交替优化子问题来求解混合二元优化问题,其中的二元变量通常难以求解,而连续变量部分可以由经典优化算法进行高效处理。通常情况下,二元变量部分会被构造成为QUBO(quadratic unconstrained binary optimization)形式的问题^[25],QAOA作为一种专用于求解二元优化问题的量子算法,可以在量子计算机上近似求解QUBO形式的问题。因此,利用ADMM进行变量分解,将混合二元优化问题拆解成二元变量优化子问题和连续变量优化子问题两部分,并采用QAOA作为M-ADMM-H中的二元变量求解器,图2为QAOA-ADMM框架图。

2.4 QAOA-ADMM与故障恢复重构的具体结合

在明确了QAOA-ADMM算法的融合机制与整体流程后,进一步将其应用于配电网的故障恢复重构问题中。该问题本质上属于典型的混合整数优化问题,涉及支路开断状态等二元变量和节点电压、电流、潮流等连续变量。针对该问题的结构特性,采用QAOA-ADMM进行分布式求解:将支路状态等离散决策变量构造成QUBO形式,由QAOA在量子后端近似优化求解;而潮流平衡、电压约束等连续变量则交由经典优化器处理。在每一轮ADMM迭代中,通过协调量子子问题与经典子问题的解并不断更新拉格朗日乘子,最终实现对故障后网络拓扑的高效重构。其具体过程如下。

2.4.1 问题建模与变量划分

设故障恢复优化模型表示为

(21)

$\left\{\begin{array}{l}\underset{\mathit{z},\mathit{x}}{\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}}\mathit{　}\mathit{f}(\mathit{z},\mathit{x})\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathit{　}\mathit{g}(\mathit{z},\mathit{x})=0,\mathit{h}(\mathit{z},\mathit{x})=0,\mathit{z}\in {\left\{\mathrm{0,1}\right\}}^{\mathit{n}},\\ \mathit{x}\in {\mathrm{R}}^{\mathrm{m}}\end{array}\right.$

式(21)中:z表示支路开关状态,为离散变量;x为节点电压、注入功率、支路功率等连续变量;目标函数f(z,x)为负荷恢复率最大化与损耗最小化的加权组合。

为了适应ADMM结构,将优化模型等价重写为

(22)

$\left\{\begin{array}{l}\underset{\mathit{z},\mathit{x}}{\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}}\mathit{　}{\mathit{f}}_{1}\left(\mathit{z}\right)+{\mathit{f}}_{2}\left(\mathit{x}\right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathit{　}\mathit{A}\mathit{z}+\mathit{B}\mathit{x}=\mathit{c}\end{array}\right.$

其中约束通过线性化或罚函数形式进行转化。该分解方式将离散变量部分单独提取,便于QUBO建模并交由QAOA求解。

2.4.2 ADMM子问题结构与变量协调机制

为实现变量的分布式迭代更新,ADMM引入拉格朗日乘子及增广拉格朗日项,构造为

(23)

$\begin{array}{l}{\mathit{L}}_{\mathrm{p}}=(\mathit{z},\mathit{x},\mathit{\lambda })={\mathit{f}}_{1}\left(\mathit{z}\right)+{\mathit{f}}_{2}\left(\mathit{x}\right)+{\mathit{\lambda }}^{\mathrm{{\rm T}}}(\mathit{A}\mathit{z}+\\ \mathit{B}\mathit{x}-\mathit{c})+\frac{\mathit{\rho }}{2}=\mathit{A}\mathit{z}+\mathit{B}\mathit{x}-\mathit{c}{=}^{2}\end{array}$

在算法每次迭代中,执行以下3个步骤。

(1)z-更新(QAOA子问题):保持x^k、λ^k固定,解

(24)

$\begin{array}{l}{\mathit{z}}^{\mathrm{k}+1}=\mathit{a}\mathit{r}\mathit{g}\underset{\mathit{z}}{\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}}{\mathit{f}}_{1}\left(\mathit{z}\right)+{\mathit{\lambda }}^{\mathrm{{\rm T}}}(\mathit{A}\mathit{z}+\mathit{B}{\mathit{x}}^{\mathit{k}}-\mathit{c})+\\ \frac{\mathit{\rho }}{2}=\mathit{A}\mathit{z}+\mathit{B}{\mathit{x}}^{\mathit{k}}-\mathit{c}{=}^{2}\end{array}$

(2)x-更新(经典优化子问题):保持z^k+1、λ^k固定,解

(25)

$\begin{array}{l}{\mathit{x}}^{\mathrm{k}+1}=\mathit{a}\mathit{r}\mathit{g}\underset{\mathit{x}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\mathit{f}}_{2}\left(\mathit{x}\right)+{\mathit{\lambda }}^{\mathrm{{\rm T}}}(\mathit{A}{\mathit{z}}^{\mathit{k}+1}+\mathit{B}\mathit{x}-\mathit{c})+\\ \frac{\mathit{\rho }}{2}=\mathit{A}{\mathit{z}}^{\mathit{k}+1}+\mathit{B}\mathit{x}-\mathit{c}{=}^{2}\end{array}$

(3)乘子更新。

(26)

${\mathit{\lambda }}^{\mathrm{k}+1}={\mathit{\lambda }}^{\mathit{k}}+\mathit{\rho }(\mathit{A}{\mathit{z}}^{\mathrm{k}+1}+\mathit{B}{\mathit{x}}^{\mathrm{k}+1}-\mathit{c})$

为了增强可行性恢复和收敛性,对ADMM核心参数做如下设置:ρ=1.0,表示增广拉格朗日惩罚因子;ε_abs=10^-3,表示绝对收敛容差;ε_rel=10^-4,表示相对收敛容差;K_max=200,表示最大迭代步数。

2.4.3 QAOA求解离散变量子问题

ADMM中的z-子问题为一个典型的01变量的二元优化问题,将其转化为QUBO形式,即

(27)

${\mathit{z}}^{\mathrm{k}+1}=\mathit{a}\mathit{r}\mathit{g}\underset{\mathit{z}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\mathit{z}}^{\mathrm{{\rm T}}}\mathit{Q}\mathit{z}+{\mathit{c}}^{\mathrm{{\rm T}}}\mathit{z}$

式(27)中:Q与c为由拉格朗日项与罚项组合构成的系数矩阵,适配QAOA电路中目标哈密顿量的参数化构建。

为了清晰展示QAOA-ADMM中QAOA子问题的求解过程,以一个简化的QUBO子问题为例,仅含3个量子比特来构建其量子电路结构,如图3所示。尽管故障恢复问题中的真实QUBO子问题涉及大量变量,但该局部电路可用于说明QAOA的量子演化原理和电路结构。完整的大规模电路将依赖于更多比特数及更复杂的参数门配置。

2.4.4 总体融合流程与收敛机制

量子电路通过测量给出最优支路状态配置候选,经典优化器基于当前拓扑更新电压电流潮流等连续变量,二者在ADMM的统一框架下协调更新,实现混合变量的高效联合求解,算法步骤如表1所示。

3 仿真结果分析

为验证所提出的QAOA-ADMM算法在配电网故障恢复重构问题中的可行性与有效性,在IEEE33节点和IEEE69节点的标准测试系统上开展了数值实验。实验所用数据来源于MATLAB软件中的MATPOWER工具包。算法在配置为Intel Core i8处理器(3.00 GHz)、16 GB内存、Windows11操作系统的计算平台上进行测试。经典部分基于Python编程语言实现,并调用CPLEX求解器进行连续变量的优化计算;量子部分则通过IBM Quantum Platform接入云量子计算机,实现对QUBO子问题的QAOA演化与测量求解。最终,结合经典与量子计算结果,对所提混合算法的收敛性与性能进行了仿真验证。

3.1 算法性能验证

采用标准的IEEE33节点系统进行分析,假设配电网基准功率为10 MWA,额定电压为12.66 kV,部分线路上配置有分段开关和联络开关,其初始状态如图4所示。

QAOA-ADMM算法使用IBM Quantum Platform提供的量子计算机ibm_kyiv来求解模型中的QUBO问题,它由127个量子比特组成,具有较好的求解能力。

在IEEE33节点系统初始状态基础上,设置如下两个场景:场景1表示20~21、26~27区段故障;场景2表示8~9、12~13区段故障。在这两个场景下分别执行QAOA-ADMM算法进行配电网重构,恢复后的配电网拓扑图如图5所示。

IEEE33节点系统两个场景重构前后的成本明细如表2所示,可以发现,虽然重构在整个配电网故障恢复的过程中会引入额外的开关动作成本,但是负荷损失成本会大幅度下降,场景1中总成本将由48 981.39美元下降为29 194.41美元,下降了40.39%;场景2中总成本将由50 947.63美元下降为25 052.09美元,下降了50.82%,由此验证了本文算法的有效性。

图6展示了IEEE33节点配电网在场景1和场景2下,经过QAOA-ADMM算法重构后所得到的各节点电压分布情况。由图6可以明显观察到,在故

障发生后经过拓扑重构和潮流重新分配,节点电压水平整体得到了提升,尤其是在原本电压偏低的远端节点处改善更加显著。这表明QAOA-ADMM算法不仅具备良好的重构能力,还在电压支撑方面展现出一定优势,有助于提升系统运行的稳定性和供电质量。除此之外,节点电压的均衡性也有所改善,体现了在优化目标函数引导下,算法能够实现功率合理分配与拓扑结构的协同调节。该结果进一步验证了所提出方法在应对复杂故障场景下的适应性与有效性。

3.2 不同算法性能对比分析

在某时刻下分别使用粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)、遗传算法(genetic algorithm, GA)、模拟退火算法(simulated annealing, SA)、蚁群算法(ant colony optimization, ACO)、量子退火算法(quantum annealing, QA)、ADMM算法和QAOA-ADMM算法对IEEE33节点系统的场景1进行求解。其中PSO的粒子个数取30,惯性权重取0.7,学习因子均取1.5;GA的种群规模取50,交叉概率取0.8,变异概率取0.05;SA的初始温度取100,终止温度取0.1,冷却系数取0.95,每个温度下的迭代次数取50;ACO的蚂蚁数量取30,信息素重要度取1.0,信息素挥发系数取0.5;QA的初始温度取100,终止温度取0.1,退火步长取0.95;ADMM的初始拉格朗日乘子值取0,罚因子取1.0,收敛容差取10^-3;算法的最大迭代次数均为100,各算法的求解效率对比如表3所示。

在求解时间方面,QAOA-ADMM单次求解时间仅为0.011 s,显著优于ADMM、QA、PSO等对比方法,展现出极快的计算速度。然而,由于QAOA-ADMM结合了量子计算的特性,需要与IBM云平台进行信息交互,再加上网络延迟等因素,使其总计算时间达到了61.094 s。尽管如此,相较于ADMM方法,QAOA-ADMM进一步降低了目标函数值,表明量子优化的引入对结果质量有所提升。

各算法的目标函数迭代图如图7所示,从实验结果可以看出,在求解精度方面,QAOA-ADMM得到的目标函数值为2 251.68,优于其他所有对比算法,表明该方法在优化结果上具有更强的寻优能力。此外,在平均迭代次数方面,QAOA-ADMM仅需6.77次迭代即可收敛,远低于PSO、GA、SA等经典启发式算法,体现了较高的求解效率。

3.3 含分布式电源的多场景实验分析

为了验证QAOA-ADMM算法在含分布式电源的配电网重构问题中的性能和有效性,在IEEE69节点系统的基础上,提出以下3种含分布式电源的实验场景。①场景1:系统在随机节点安装分布式电源;②场景2:系统优先选择负荷较大的节点安装分布式电源;③场景3:系统同时进行最优网络重构和分布式电源的最优选址。

表4为QAOA-ADMM算法在IEEE69节点系统的3个不同场景下得到的最优重构方案。重构前,IEEE69节点系统的初始网络损耗为225.616 5 kW,在64区段中得到最低总线电压,为0.907 2 p.u.;在场景1中,系统在随机节点安装分布式电源,在这种情况下,断开开关的数量为5,重构后网络损耗减少至98.851 2 kW,相比于初始状态损耗减少了约56.18%,最小电压也从0.907 2 p.u.增加到0.947 6 p.u.;在场景2中,3个分布式电源位于配电网负荷较大的节点上,即26节点、45节点、64节点上,与重构前相比,重构后的网络损耗减少至87.579 2 kW,降低了约61.18%;与场景1相比,降低了约11.4%;在场景3中,同时考虑分布式电源和最优网络重构,3个分布式电源都集中在60节点上,在这种情况下,网络损耗为73.967 8 kW,与重构前、场景1和场景2相比分别减少了67.22%、25.17%、15.54%,验证了QAOA-ADMM在含分布式电源的配电网环境下的有效性。

3.4 算法鲁棒性分析

为了深入分析所提出的QAOA-ADMM算法在不同参数配置下的性能稳定性与鲁棒性,从量子部分关键参数出发,设计了系统性的参数消融实验,重点考察QAOA的采样次数与量子电路深度对算法计算效率与收敛特性的影响。以IEEE33节点系统在场景1的故障恢复重构问题为测试场景,使用IBM Qiskit平台中的模拟器作为量子后端,通过固定其他优化设置,仅调整上述两个参数,观察算法行为的变化。

采样次数设置为[256, 512,1 024,2 048,4 096],电路深度设置为[1,2,3,4,5]。对于每组参数组合,分别进行30次独立运行,并记录每次运行的计算耗时与准确率表现。为了更直观地展现实验趋势,图8以三维柱状图形式展示了不同采样次数与电路深度组合下的计算耗时中位数,同时以颜色映射表示相应准确率水平。

可以看到,计算时间整体随采样次数和电路深度的增加而上升。尤其当深度≥3时,计算耗时增长尤为显著,表明电路复杂度对算法运行成本具有指数级影响;而在电路深度较低时,虽然计算时间明显降低,但同时准确率也会相对应地下降,无法达到预期,因此在需要精确度较高的场景下需要使用深度较高的量子电路。

在实验中,QAOA-ADMM算法在QAOA电路深度p=3且采样次数为1 024或2 048时,准确率接近最优,计算耗时仍处于可控范围内,在场景1中达到了最优的0.011 s,这说明该算法存在性能准确率平衡区间,显示出该参数组合具有良好的实际应用性。

综上所述,参数消融实验表明,QAOA-ADMM算法对量子电路深度与采样次数高度敏感,不同组合显著影响其计算效率和优化精度。合理设置电路层数和采样规模,对于在量子硬件资源有限的条件下实现高效可靠的优化求解至关重要。实验验证了算法在多种参数下仍具较高准确性和稳定性,展现其在复杂配电网重构中的良好适应性与应用潜力。

4 结论与展望

针对配电网故障恢复重构问题,提出了一种基于QAOA-ADMM的求解方法,以实现重构成本最小化,并采用IBM公司提供的IBM Quantum Platform平台进行仿真研究。在满足配电网运行约束的条件下,QAOA-ADMM算法利用QAOA强大的全局搜索能力和ADMM分布式优化的优势,提高了求解的准确性和计算效率,并在IEEE33节点和IEEE69节点配电网上进行了仿真实验,实验结果表明与传统的优化算法相比,QAOA-ADMM在收敛速度、全局最优解的获取能力以及计算稳定性方面均表现优异,且在含分布式电源的复杂场景中仍然能够完成任务,验证了基于量子计算的配电网故障恢复重构方法的有效性和灵活性,为电力系统优化问题提供了一种创新型的解决方案。但在以下方面还存在一定的局限性。

(1)量子比特资源受限:目前可用于实际计算的量子硬件仍处于NISQ(noisy intermediate-scale quantum)阶段,其最大限制之一在于量子比特数量有限,且稳定性和保真度均不理想。在大多数主流量子平台中,可编程的量子比特数目通常在几十个以内。此外,量子比特之间的纠缠关系受限于硬件的物理连接结构,进一步制约了算法在大规模问题中的表达能力与计算能力。

(2)电路深度与噪声敏感性:QAOA的性能通常随着电路层数的增加而逐步提升,理论上更深的电路可以表达更复杂的量子态,从而更好地逼近问题的全局最优解。然而,目前的NISQ设备尚不具备足够的容错机制,难以在深电路下保持量子态的稳定性。这种噪声敏感性限制了QAOA在高精度、大规模问题中的应用空间,也使得算法效果在实际部署中可能大打折扣。

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基金资助

国家自然科学基金(62402307)

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Received	Published	Revised
2025-06-03	2026-06-28	2026-01-07
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2026-07-29

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