电工技术基于数据驱动和改进斯坦麦茨方程的磁芯损耗预测

帅春燕; 蒙德芬; 张小七; 杨芳

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2504088

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (8) :3330-3337 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2504088

电工技术

电工技术基于数据驱动和改进斯坦麦茨方程的磁芯损耗预测

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Magnetic Core Loss Prediction Based on Data-driven Approach and Improved Steinmetz Equation

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摘要

磁性元件在电力电子设备中广泛应用,其磁芯损耗的精确预测对系统效率优化和热管理至关重要。传统斯坦麦茨方程未将温度变量纳入考量,在本质上难以刻画磁芯损耗随温度变化的非线性关系,因而在宽温域条件下的应用存在固有局限。为提高斯坦麦茨方程的预测精度,首先,在斯坦麦茨方程的基础上,利用数据分析手段估计温度如何影响磁芯损耗的变化,进而将温度融入斯坦麦茨方程。然后提出了一种单纯形法对改进的斯坦麦茨方程进行参数寻优的方法。通过设计并引入温度变量之后,构建了目标损失函数和误差损失函数,通过单纯形法进行参数寻优。通过误差损失函数结果和最优参数结果的对比,验证了温度改进斯坦麦茨方程的合理性和鲁棒性。最后,通过灵敏度分析验证了引入温度提升了斯坦麦茨方程输出结果的重要性和准确性。

Abstract

Magnetic components are widely used in power electronic equipment. Accurate prediction of core loss is considered crucial for system efficiency optimization and thermal management. However, the traditional Steinmetz equation does not incorporate the temperature variable. It inherently fails to characterize the nonlinear relationship between core loss and temperature variations. Thus, inherent limitations are presented when the equation is applied under wide temperature range conditions. To improve the prediction accuracy of the Steinmetz equation, firstly, temperature was integrated into the model based on data analysis. The effect of temperature on core loss variation was estimated. Then, a simplex method was proposed for parameter optimization of the modified Steinmetz equation. After the temperature variable was designed and introduced, objective and error loss functions were constructed. Parameter optimization was performed using the simplex method. The reasonableness and robustness of the temperature-modified Steinmetz equation were verified through comparison between the error loss function results and the optimal parameters. Finally, sensitivity analysis confirmed that the introduction of temperature enhanced the significance and accuracy of the output from the Steinmetz equation.

Graphical abstract

关键词

斯坦麦茨方程 / 单纯形法 / 温度 / 磁芯损耗 / 改进模型

Key words

Steinmetz equation / simplex method / temperature / core loss / improved model

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帅春燕, 蒙德芬, 张小七, 杨芳. 电工技术基于数据驱动和改进斯坦麦茨方程的磁芯损耗预测[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(8): 3330-3337 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504088

SHUAI Chun-yan, MENG De-fen, ZHANG Xiao-qi, YANG Fang. Magnetic Core Loss Prediction Based on Data-driven Approach and Improved Steinmetz Equation[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(8): 3330-3337 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504088

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随着国民经济发展和社会进步,基于电力电子技术的电能变换得到迅速发展,特别是在新能源和信息通信领域^[1]。电能变换技术在通讯电源、算力电源、数据中心、新能源功率变换、轨道交通、电动汽车、电气传动、智能电网等诸多方面具有广泛应用^[2]。随着第三代宽禁带半导体(如SiC、GaN)技术的成熟与普及,功率变换器正朝着高频化、高功率密度和高可靠性的方向快速发展^[3]。在此趋势下,磁性元件(如变压器、电感)作为实现磁能传递、存储与滤波的关键部件,其性能直接影响整个变换器的体积、重量、效率与成本^[4],因此对磁芯损耗进行精确建模显得尤为重要。

在电力系统持续追求高效、稳定与小型化的背景下,磁性元件的损耗特性,特别是磁滞损耗,已成为优化设备运行效率与寿命的关键研究课题^[5-6]。传统斯坦麦茨方程(Steinmetz equation,SE)为磁芯损耗计算提供了基础理论框架,但其固有形式未充分考虑温度变化对材料磁特性的影响^[7-10]。事实上,电气设备在运行过程中因绕组发热与铁心损耗会导致温度升高,而温度变化会显著改变磁性材料的微观结构和磁畴动力学行为,进而引起磁滞特性的非线性演变,使得传统模型在实际变温工况下的预测精度受限。

近年来,中外学者对广义斯坦麦茨方程开展了大量研究,如改进型广义斯坦麦茨方程(improved generalized Steinmetz equation,iGSE)、扩展型广义斯坦麦茨方程(extended generalized Steinmetz equation,eGSE)等修正模型,并在特定频率与磁通条件下取得了较好进展^[11-15]。然而,经典Steinmetz模型以及改进模型侧重于研究磁芯损耗与频率、磁通密度的关系,而忽略了温度因素对磁芯损耗的影响。王宁等^[16]基于纳米晶材料提出一种考虑温度影响的Steinmetz损耗预测模型,该模型描述了在25~125 ℃下,采用温度对经典Steinmetz中的磁通密度峰值B_m项进行线性修正,后又引入温度项来表征温度与磁芯损耗之间的非线性关系,巨幅增大了模型求解的复杂度。Novak等^[17]提出了一种在高温(230 ℃)、低频率范围(30~2 000 Hz)和1.0 T高磁通密度下的简化预测模型,但未充分考虑低温、高频率与低磁通密度的耦合效应。值得注意的是,随着数据驱动方法的兴起,部分研究开始尝试将机器学习应用于磁芯损耗预测。姚启达等^[18]利用XGBoost建立了频率、磁通密度与损耗之间的黑箱模型,虽在特定数据集上表现良好,但未揭示温度对磁芯损耗的影响。

为此,基于数据驱动方法,系统分析了正弦波下不同温度(25~90 ℃)对磁芯损耗的影响,构建具备高精度、宽温度适应性,并适用于高频率与低磁通密度工况下磁芯损耗的预测模型,将温度作为关键自变量嵌入经典斯坦麦茨方程,突破了传统模型仅考虑频率与磁通密度的局限,实现了对温度与磁芯损耗非线性关系的准确刻画;采用数据驱动策略,基于实测数据与优化算法对模型参数进行精确拟合,以提升其在真实工况下的泛化能力;通过训练集与测试集的分离验证,不仅确保了模型的合理性和参数的鲁棒性,更在保持物理机理可解释性的前提下,实现数据驱动方法与机理模型的有效互补与协同。以期为宽温度范围内磁芯损耗的精准预测提供新方法,同时为高频、高功率密度变换器的优化设计以及电力电子设备的智能运维提供重要理论支撑,对推进能源领域绿色化、智能化发展具有积极意义。

1 斯坦麦茨方程

磁芯损耗(core loss),又称铁损(iron loss),是磁性材料在交变磁场作用下因磁畴壁移动和磁矩转向导致能量以热的形式耗散产生的功率损失,磁芯损耗可分成3个部分:磁滞损耗、涡流损耗和剩余损耗^[19]。据此产生了损耗分离的磁芯损耗模型,但是磁芯损耗分离模型计算过程繁琐、涉及参数较多、呈现非线性关系,在工程上容易造成混淆和计算失误。为了使得计算磁芯损耗变得更简便,在工程上通常采用基于实验数据和理论推导得出的经验公式来估算磁芯损耗。斯坦麦茨方程是最著名的经验计算模型之一。在正弦波励磁(励磁是指电流通过磁件的线圈产生磁场)下,斯坦麦茨方程磁芯损耗计算公式为

(1)P=k₁

${f}^{{\alpha }_{1}}{{B}^{{\beta }_{1}}}_{m}$

式(1)中:P为磁芯损耗;f为频率;B_m为磁通密度的峰值;k₁、α₁、β₁为根据实验数据拟合的系数,一般1<α₁<3,2<β₁<3。式(1)表明单位体积的磁芯损耗(磁芯损耗密度)P取决于频率f和磁通密度峰值B_m的幂函数。

但在非正弦波激励(如三角波、梯形波等)下,预测精度会显著下降。为此广义斯坦麦茨方程被提出,用于处理非正弦波激励的情况^[11-15],可表示为

(2)

$P=\frac{1}{T\text{'}}{\int }_{0}^{T\text{'}}{k}_{i}\left|\frac{dB}{dt}\right|{ }^{a}\Delta {B}^{b-a}dt$

式(2)中:T'为一个完整磁化周期的时长;t为一个周期内的每一个瞬时时刻;k_i为改进后的系数;a、b为等效频率下斯坦麦茨方程的系数;ΔB为磁通密度在一个周期内的峰峰值。

斯坦麦茨方程及其广义模型具有计算简便、便于工程实现的优点,但只考虑了波形、频率、磁通密度的峰值,实际应用发现磁芯损耗还会随着温度、材料的变化而变化。为此,以数据为驱动,进一步研究在既定材料下和正弦波激励下磁芯损耗随着温度的变化情况。

2 斯坦麦茨方程改进估计

2.1 数据说明以及预处理

采集到的数据为4组温度下不同材料的正弦波数据,具体包括温度、频率、磁芯损耗和磁通密度如表1所示。

数据采集了磁性材料在确定工况下的温度(单位:℃)、频率(单位:Hz)、磁通密度峰值(单位:T)和磁芯损耗(单位:W/m³)数据。其中温度有4组,分别为25、50、70、90 ℃;频率的取值范围为50 000~500 000 Hz;第3列是磁芯损耗;第4列是磁通密度峰值(单位:T),共1 067个采样点。对数据进行离群值检测,并剔除异常值,后将数据分为训练和测试数据集。

2.2 相关性分析与方程估计

2.2.1 温度与磁芯损耗的相关性分析

式(1)表明磁芯损耗与频率和磁通密度指数相关,温度对磁芯损耗、磁通密度峰值和频率的影响未知,为分析温度与磁芯损耗的关系,引入Pearson相关系数(r)和Spearman相关系数(ρ),分别用于分析可能存在的线性和非线性相关性,其表达式为

(3)

$r=\frac{{\sum }_{i}^{}({x}_{i}-\stackrel{-}{x}\left)\right({y}_{i}-\stackrel{-}{y})}{\sqrt{{\sum }_{i}^{}\left({x}_{i}{-\stackrel{-}{x})}^{2}{\sum }_{i}^{}\right({y}_{i}{-\stackrel{-}{y})}^{2}}}$

式(3)中:x_i和y_i为两个变量的观测值;

$\stackrel{-}{x}$

和

$\stackrel{-}{y}$

为两个变量的均值。

(4)

$\rho =1-\frac{6{\sum }_{i}^{}{d}_{i}^{2}}{n({n}^{2}-1)}$

式(4)中:d_i为两个变量对应数据的秩次差;n为样本量。

如图1(a)和图1(b)显示了磁芯损耗、磁通密度峰值、频率、温度之间的Pearson相关系数和Spearman相关系数。可以看到,在两个相关系数下,磁芯损耗都正强相关于磁通密度峰值,负弱相关于温度;温度弱正相关于频率和磁通密度峰值。

图2(a)显示了磁芯损耗随频率的增大,磁芯损耗的变化幅度呈现先增后减,且在每组不同频率下都分别对应多个磁芯损耗值,随机抽取一组相同频率的数据都有如图2(b)所示的磁芯损耗vs.磁通密度峰值的变化趋势,进一步显示了不同温度下的磁芯损耗随着磁通密度峰值的变化。从图2(b)可以看出,在同一组温度下,磁芯损耗会随着磁通密度峰值呈现指数增长,且随着温度升高,同一磁通密度峰值下的磁芯损耗逐渐降低,说明温度对磁芯损耗的影响随着磁通密度峰值变化对应的指数函数的增长率逐渐减小且不是线性减小,而是呈现某种底不变温度变化的指数增长,具体应该表现为,随温度升高,每组温度下指数函数变化趋势不变,但是温度越高对应的指数函数增长率降低。

图3(a)显示了磁芯损耗随磁通密度峰值的增大,磁芯损耗的变化幅度逐渐增大,由于磁通密度峰值不固定,因此根据图3(a)随机抽取一组相似的磁通密度峰值对应数据都有如图3(b)磁芯损耗的变化趋势。图3(b)为磁芯损耗随着频率的变化。可以看出,在同一组温度下,磁芯损耗会随着磁通密度峰值呈现指数增长,且随着温度升高,同一组频率下磁芯损耗逐渐降低,说明温度对对磁芯损耗的影响随着频率变化对应的指数函数的增长率逐渐减小且不是线性减小,而是呈现某种底不变温度变化的指数增长,具体应该表现为,随温度升高,每组温度下指数函数变化趋势不变,但是温度越高对应的指数函数增长率降低。

2.2.2 方程的估计

整体上,磁芯损耗与温度呈现指数负相关关系,磁芯损耗随频率和磁通密度峰值呈现相似的指数增长变化趋势,但是随着温度的升高,磁芯损耗随频率和磁通密度峰值都分别呈现相似的指数增长率逐渐减小的变化趋势,表现为随着温度升高,磁芯损耗vs.磁通密度峰值和磁芯损耗vs.频率的指数增长率逐渐衰减,故可用温度进一步改进。由此可知,在实际应用中,温度对磁芯损耗仍有显著影响,考虑温度因素,故斯坦麦茨方程可以进一步改进为

(5)P_corrected=kλ^Tf^α${B}_{m}^{\beta }$, 0<λ<1

式(5)中:T为温度;k、λ、α、β为实验数据拟合得到的参数。

进一步,目标函数可以变化为

(6)Loss=lgP_corrected=lgk+Tlgλ+αlgf+βlgB_m

可以看出,式(6)是一个线性函数,为此引入单纯形法进行求解和参数寻优。

2.3 单纯形法

由于该改进方程涉及到多个参数且复杂,考虑到数据量足够,故采用单纯形法对参数进行寻优。该算法基于几何空间中的基本结构原理,如二维空间的三角形或三维空间的四面体等几何单元。在n维参数空间中,算法通过动态调整单纯形顶点的位置逐步逼近最优解。具体而言,每次迭代过程中,算法首先识别目标函数值最差的顶点(对应最大损失值),随后通过反射、扩展和收缩等几何变换生成新的单纯形结构,持续优化顶点分布直至满足收敛条件^[20-23],具体优化流程如图4所示。

步骤1 在4维参数空间内随机生成包含5个单纯形顶点X₁、X₂、X₃、X₄、X₅构成初始单纯形且每个顶点对应一组参数值(x₁,x₂,x₃,x₄),同时设定反射系数(α)、放大系数(β)和收缩系数(γ)。

步骤2 计算各个顶点的目标函数值。找出目标函数最大值点X_h和最小值点X_m。

步骤3 计算反射中心点

${X}_{0}=\sum _{i=1,i\ne h}^{5}\frac{{X}_{i}}{5}。$

根据反射系数α确定反射点X_r。如果f(X_m)<f(X_r)<f(X_h),利用X_r代替X_h并形成一个新的单纯形,返回步骤2。

步骤4 扩展单纯形。令X_e=γX_r+(1-γ)X₀,如果f(X_e)<f(X_m),则放大成功,用X_e代替X_h并形成一个新的单纯形。如果f(X_e)>f(X_m),则放大失败,仍然用X_r代替X_h返回步骤三,继续投影过程。

步骤5 收缩单纯形。如果对于除i=h外的所有点都有f(X_r)>f(X_i)以及f(X_r)>f(X_h),则用X_r代替X_h并对单纯形缩小:X_c=βX_h+(1-β)X₀。如果f(X_r)>f(X_h)仍然缩小单纯形,但不改变先前的被投影点X_h;如果f(X_c)<min[f(X_m),f(X_r)],则用X_e来代替原来的被投影点X_h,再继续进行投影过程;如果f(X_c)≥min[f(X_h),f(X_r)],则该收缩过程失败,此时用(X_i+X_m)/2来代替所有的X_i,然后继续进行投影过程。

如果顶点的相对误差满足给定的精度要求,则停止迭代,当前单纯形的形心即为最优点。

3 实验验证

3.1 损失函数和性能指标

令x₁=lgk,x₂=lgλ,x₃=α,x₄=β,进一步将目标损失函数修改为

(7)Loss(X)=lg(P_corrected) =x₁+x₂T+x₃lgf+x₄lgB_m

以温度、频率、磁通密度为输入,将目标函数变成参数的方差,通过数据驱动进行参数寻优。常用的性能评估指标包括平均绝对误差(mean absolute error,MAE)、均方根误差(root mean square error,RMSE)、平均绝对百分比误差(mean absolute percentage error,MAPE),计算公式分别为

(8)

$MAE=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}|Loss{\left(x\right)}_{actual,i}-Loss{\left(x\right)}_{predicted,i}|$

(9)

$RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}[Loss{\left(x\right)}_{actual,i}-Loss{\left(x\right)}_{predicted,i}{]}^{2}}$

(10)

$MAPE=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}|\frac{Loss{\left(x\right)}_{actual,i}-Loss{\left(x\right)}_{predicted,i}}{Loss{\left(x\right)}_{actual,i}}|\times 100\%$

式中:n为测试集数据;i为测试集中的第i条数据;Loss(x)_actual,_i为真实值;Loss(x)_predicted,_i为预测值。采用MAE进行参数寻优,即当MAE的值达到最小时,目标损失函数达到最小。

3.2 实验结果

为对比单纯形法的参数寻优效果是否更好,利用基于线性逼近的约束优化算法、逐次约束优化算法和单纯形法分别对改进前后的斯坦麦茨方程的参数进行寻优,对比3种改进前后的斯坦麦茨方程的预测效果,斯坦麦茨方程改进前后预测结果对比如表2所示。可以看出,单纯形法的寻参之后的预测效果优于基于线性逼近的约束优化算法和逐次约束优化算法,故后文实验结果均为单纯形法寻参之后的预测结果。

进一步的,通过表2预测结果可知,改进后的斯坦麦茨方程的MAE降低了63.67%,RMSE降低了62.77%,MAPE从33.984 2%降到了18.655 1%,且决定系数R²提高到了0.990 1。表明温度对斯坦麦茨方程的改进效果很明显,同时,也说明了该形式下温度对于斯坦麦茨方程的改进有助于该方程降低预测误差并提升预测效果。对于斯坦麦茨方程改进前后的最有参数对比如表3和表4所示。可以看出,温度与磁芯损耗呈指数负相关,与估计的一致。

获取的磁芯损耗预测结果的具体数值,对测试集各个样本的预测结果进行可视化对比,如图5所示。

3.3 灵敏度分析

为验证改进后的斯坦麦茨方程的鲁棒性并识别关键参数,采用局部灵敏度分析与全局Sobol方法^[24-25],量化常量(k)、温度系数(λ)、频率指数(α)、磁通密度峰值指数(β)这4个参数对模型输出的影响。通过扰动最优参数组合,评估模型对参数变化的敏感程度。

局部灵敏度分析中,对最优参数θ^σ=(k^σ,λ^σ,α^σ,β^σ)施加10%的扰动对称扰动(σ为最优解),固定其他参数,计算MAE的变化率如图6所示。局部灵敏度分析结果显示,各参数敏感度排序由高到低依次是:λ=25 555 692.285 6,α=897 959.909 3,β=73 611.415 9,k=12 985.471 5,温度系数(λ)对MAE的影响最为显著,高达25 555 692.285 6,相比之下,k对MAE的影响较低(12 985.471 5),由此可知,改进后的斯坦麦茨方程对k的校准容错性较高,而对λ的校准容错性较低。

全局分析采用Sobol方法,通过Saltelli采样生成2 000组参数组合,计算一阶敏感指数(S₁)和总敏感指数(S_T)如表5所示,表5显示了λ的S₁=0.064 3,S_T=0.965^*,说明λ对改进后的斯坦麦茨方程输出的独立影响和交互效应均占主导地位。

灵敏度分析表明,温度系数的高敏感性与磁性材料居里温度效应密切相关,其微小偏差将显著影响不同温度下的损耗预测精度。因此建议优先通过变温实验校准λ,而对低敏感参数k可采用理论计算值。

4 结论

针对温度对磁芯损耗计算的影响,用数据分析手段分析温度如何改进斯坦麦茨方程,从而通过斯坦麦茨方程的变型式提升磁芯损耗的预测效果,构建一种基于温度的斯坦麦茨方程与该方程变型的方法。在斯坦麦茨方程的基础上,利用数据分析手段推测温度如何影响磁芯损耗的变化,进而将温度融入斯坦麦茨方程。引入温度变量之后,构建了目标损失函数和误差损失函数,通过单纯形法进行寻参。通过误差损失函数结果和最优参数结果的对比,验证了温度改进斯坦麦茨方程的合理性和鲁棒性。最后通过灵敏度分析发现引入温度提升了斯坦麦茨方程输出结果的准确性。温度的加入一定程度上增加了方程的复杂性,但通过目标函数的构建和寻参方法的简化,中和了磁芯损耗的预测,尤其是巨幅地降低了预测误差并提升了磁芯损耗的预测效果。

由于数据的欠缺,对连续温度随磁芯损耗的影响还有待完善。未来可以探索连续温度对磁芯损耗的影响,并将温度、磁性材料等复杂因素同时考虑进斯坦麦茨方程中,进一步提高该方程在多种不同工况下对磁芯损耗的计算效果。

参考文献

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