基于EID和改进MPC的机器人关节鲁棒控制

黄高; 赵博浩

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2504063

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (11) :4712-4721 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2504063

自动化技术、计算机技术

基于EID和改进MPC的机器人关节鲁棒控制

黄高 ¹^,² ,
赵博浩 ¹

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Robot Joint Control Based on EID and Improved MPC

HUANG Gao ¹^,² ,
ZHAO Bo-hao ¹

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摘要

在高精度运动控制中,外扰和建模误差显著影响系统性能,亟需兼顾鲁棒性与控制精度的高效控制方法。提出了一种结合等价输入干扰(equivalent input disturbance, EID) 与改进模型预测控制 (improved model predictive control, IMPC) 的EID-IMPC复合离散控制方法,进行精确的关节速度跟踪控制。该方法控制框架主要包括EID估计器和IMPC控制器,应用EID估计器做主动扰动抑制手段于MPC的滚动优化技术中。与传统的MPC控制器相比,所提出的控制方法同时利用EID估计值抵消扰动影响和滚动优化,在整个控制时域内对控制输入进行约束和求解最优控制序列。此外,在滚动优化过程中该方法引入误差扩展状态和设计带有惩罚的输入软约束项,有效提升跟踪精度和最优控制律的平滑性。最后,通过在MATLAB环境下构建的双关节耦合仿真模型,结果表明,所提出的EID-IMPC控制方法在复杂干扰环境中仍能保持优异的跟踪性能,控制输入平滑且满足约束。相较于传统MPC及其他对比控制方法,所提方法在跟踪精度、扰动抑制能力和控制输入平滑性方面均具有明显优势,验证了所提方法的有效性与优越性,为高精度运动控制系统的工程应用提供了一种可行的复合控制方案。

Abstract

External disturbances and modeling uncertainties significantly degrade system performance and require efficient control strategies that ensure both robustness and accuracy. A discrete composite control method, termed equivalent input disturbance-improved model predictive control (EID-IMPC), was proposed for precise joint velocity tracking in high-precision motion control. An equivalent input disturbance (EID) estimator and an improved model predictive control (IMPC) controller were integrated to form the proposed control framework. An EID estimator was employed to actively suppress disturbances within the rolling optimization process of model predictive control. Compared with conventional model predictive control, disturbance compensation by the EID estimate and the optimization capability of model predictive control were leveraged to generate constrained and optimal control sequences over the entire prediction horizon. An extended error state and a penalized input soft constraint were introduced in the optimization process to enhance tracking accuracy and ensure smoothness of the control law. Simulation results based on a dual-joint coupled model built in MATLAB demonstrate that the proposed EID-IMPC method maintains excellent tracking performance under complex disturbance conditions, with smooth control inputs that satisfy the imposed constraints. Significant advantages over conventional MPC and other benchmark controllers are demonstrated in terms of joint velocity tracking accuracy, disturbance rejection capability, and control input smoothness, which validates the effectiveness and superiority of the proposed approach. A viable composite control solution is thus provided for engineering applications in high-precision motion control systems.

Graphical abstract

关键词

模型预测控制 / 等效输入扰动 / 伺服系统 / 输入约束

Key words

model predictive control / equivalent input disturbance / servo system / input constraints

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黄高, 赵博浩. 基于EID和改进MPC的机器人关节鲁棒控制[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(11): 4712-4721 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504063

HUANG Gao, ZHAO Bo-hao. Robot Joint Control Based on EID and Improved MPC[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(11): 4712-4721 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504063

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随着智能制造与工业自动化水平的持续提升,机器人系统、自动化产线及智能装备对控制系统的性能提出了越来越高的要求,特别是在精度、响应速度和抗扰鲁棒性方面。当前工业控制系统广泛采用电驱动结构,其中以伺服电机为核心的关节驱动技术被应用于机器人、数控机床、协作机械臂等场景,其控制品质直接决定了系统的整体性能^[1-4]。在此背景下,如何在存在模型不确定性、外界扰动及物理输入约束的条件下,设计出具有高鲁棒性、高精度的控制器成为研究热点。

在扰动抑制研究中,等效输入扰动(equivalent input disturbance, EID)方法作为一种有效且结构简单的主动扰动抑制手段,引起了广泛关注^[5-6]。She等^[7]最早系统性地提出了EID方法,其核心思想是将外部扰动或模型不确定性等效为输入通道上的“假想扰动”,并通过设计观测器和估计器对其进行动态重建,在内环实现对扰动的主动补偿。后续研究围绕EID估计器展开,提出了多种先进的估计器设计思路,显著提升了系统的鲁棒性与控制精度。例如,Xie等^[8]提出了基于最小方差无偏估计的EID设计方法,通过对扰动和状态进行联合最优估计,有效降低了扰动观测误差,提高了补偿精度。Yu等^[9]则设计了基于非线性函数的可调估计器,通过引入可调参数机制,使估计器能够适应不同运行工况,增强了对时变扰动的跟踪能力;Yin等^[10]将滑模控制理论引入EID框架,构建滑模扰动观测器,利用其强鲁棒性实现对突变扰动的高频抖振抑制;Du等^[11]进一步提出了级联式EID观测器结构,通过多观测器串联方式分别处理不同类型扰动与噪声,实现了更精细的扰动分离与补偿。这些估计器在结构性和适应性方面的创新,极大地拓展了EID方法的应用范围。然而,传统EID控制框架通常以内模控制器和状态反馈控制器为核心,虽在扰动抑制方面表现优异,却难以高效处理系统中普遍存在的输入幅值、变化速率等物理约束,以及状态变量的范围限制,因此在需要同时满足扰动抑制与约束优化目标的跟踪控制问题中,仍存在明显的局限性。

模型预测控制(model predictive control, MPC)是一种基于滚动优化思想的先进反馈控制策略,其核心原理在于每一采样时刻根据系统的当前状态,利用预测模型对未来有限时域内的系统行为进行预测,在此基础上通过求解一个带约束的优化问题,得到该时域内的最优控制序列,并将序列中的第一个控制量实际施加给被控对象^[12]。这种“预测-优化-滚动”的机制使MPC能够及时响应系统变化,并具有前瞻性地调整控制动作。

MPC最显著的优势在于能够显式地处理系统状态与输入变量中的各种约束,例如执行机构的物理限幅、状态变量的安全范围等。在化工过程控制中^[13],MPC用于管理反应温度、压力及流量在多约束条件下的协同操作;在自动驾驶系统^[14-15]中,它承担路径跟踪与避障决策任务,妥善处理车辆动力学约束与环境限制;在航天领域^[16-17],MPC被用于航天器姿态控制与轨道交会,应对苛刻的燃料和控制精度约束;在机器人运动控制^[18-20]中,它则用于实现高精度、多约束条件下的轨迹规划与关节协调。

然而,MPC的性能高度依赖预测模型的准确性。当系统存在未建模动态、参数摄动或外部未知扰动时,模型预测输出与实际系统响应之间会出现偏差。这种偏差会导致基于模型求解出的“最优”控制量实际控制效果下降,表现为跟踪轨迹偏离、稳态误差增大,甚至引起系统振荡或不稳定^[21-22]。为提高MPC在不确定性下的鲁棒性,研究人员发展了多种增强策略:鲁棒MPC(robust model predictive control, RMPC)^[23]通过考虑最坏情况下的扰动范围,采用 min-max 优化保证系统在不确定性集合内的稳定性;分布式MPC(distributed model predictive control, DMPC)^[24]将大系统分解为若干子系统,通过子系统间的协调来降低模型不确定性的整体影响;自适应MPC(adaptive model predictive control, AMPC)^[25]则通过在线更新模型参数,使预测模型不断逼近实际系统动态。然而,从控制结构上看,上述方法仍主要依赖于反馈校正和模型本身的调整来抑制扰动,可视为仅利用了“单一自由度”进行鲁棒性设计。它们缺乏对扰动的主动、前馈式补偿机制,难以实现对扰动的快速响应与动态抵消,这在一定程度上限制了其在强扰动、快变化环境中的控制性能。

此外,传统模型预测控制在轨迹跟踪任务中往往存在稳态误差问题。这一现象的根本原因在于,其代价函数通常致力于在有限预测时域内最小化动态跟踪误差,而未显式引入无限时域下的积分作用,因此难以完全消除静态误差。为克服这一局限,研究者提出了状态扩展策略,通过将积分误差项或与参考轨迹相关的增量状态引入预测模型,构建具有积分功能的改进型MPC(improved model predictive control, IMPC)。这种结构能够有效提升系统对常值扰动和参考信号的跟踪精度,并被证实具有良好的鲁棒性能^[26]。然而,IMPC本质上仍依赖于模型的准确性。当存在模型失配时,其预测模型与真实系统之间会出现偏差,而该结构缺乏对这类偏差的在线辨识与主动补偿能力,导致优化所基于的预测状态偏离实际,进而影响控制器的跟踪精度甚至闭环稳定性。

鉴于EID方法在扰动估计与补偿方面的优势,将其与MPC策略相结合以构建新型鲁棒预测控制器,已成为近年来一个重要研究方向。Lei等^[27]尝试将EID估计出的扰动前馈补偿至MPC的前馈通道中,用于高精度波形跟踪控制,该工作验证了EID与MPC结合的可行性。但其补偿结构并未充分融入MPC的滚动优化机制,未将扰动补偿与输入约束统一求解,导致跟踪控制与抗扰控制间可能存在冲突,在实际约束条件下难以保证整体控制律的最优性与可行性。Miyamoto等^[28-29]在此基础上做出改进,将EID的实时估计值作为补偿量引入MPC优化问题的目标函数或约束条件中,实现了扰动抑制与约束控制的初步融合。该方法能够在优化过程中动态调整输入约束,从而保证综合控制量满足执行机构物理限制。但其仍存在一个关键问题:MPC的约束通常仅在每一步优化的第一个控制时域点被严格施加,若仅依赖硬约束,在强扰动或参考突变时,控制量可能在时域边界剧烈跳变,导致控制序列平滑性较差,不利于执行机构的平稳运行。

在实际工业系统中,执行机构的输入往往受到严格的幅值、速率等硬约束,传统MPC在处理此类约束时,一旦优化问题因扰动或目标冲突而无可行解,将无法给出合理的控制量,可能引发系统性能急剧下降甚至失稳。为增强控制器的实用性与鲁棒性,近年来学者广泛采用软约束机制,即通过在原代价函数中添加与约束违反程度相关的惩罚项,将部分严格硬约束转化为可暂时违反但需付出优化代价的软约束^[30]。这种设计不仅提高了优化问题的可行性,在非预期扰动或参考指令剧烈变化时,也能够通过“以性能换可行”的方式,平滑过渡控制动作,显著提升系统动态响应过程中的平稳性和安全性。

针对上述挑战,现提出一种将EID主动抗扰机制与IMPC优化控制相结合的EID-IMPC复合控制方法。该方法构建融合EID估计器与IMPC控制器的控制架构,旨在存在外部扰动和模型不确定性的条件下,实现高精度关节速度跟踪,同时兼顾输入约束的可行性与控制律的平滑性。为此,在IMPC设计中引入误差扩展状态及带惩罚项的输入软约束机制,并将实时EID估计值嵌入滚动优化过程。最后,将通过双关节耦合系统的MATLAB仿真,对所提方法的有效性与鲁棒性进行验证。

1 问题描述

1.1 单关节模组传动数学模型

在机器人关节系统中,单关节电机传动结构通常由伺服电机与减速器组合构成。其中,伺服电机多选用响应速度快、控制精度高的永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor,PMSM),同时,通过闭环控制实现对其转矩、速度或位置的精确控制。减速器是以降低输出转速的方式来提升输出转矩,以满足关节对驱动力的需求。关节传动示意图如图1所示。

通过引入两相d-q轴旋转坐标系,可得永磁同步电机(PMSM)系统模型。该坐标系下,电气参数与机械参数之间的耦合关系可描述为

(1)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{i}_{d}}{\mathrm{d}t}=-\frac{R}{{L}_{d}}{i}_{d}+\frac{{L}_{q}}{{L}_{d}}{n}_{\mathrm{p}}\stackrel{·}{\theta }{i}_{q}+\frac{{u}_{d}}{{L}_{d}}\\ \frac{\mathrm{d}{i}_{q}}{\mathrm{d}t}=-\frac{R}{{L}_{q}}{i}_{q}-\frac{{L}_{d}}{{L}_{q}}{n}_{\mathrm{p}}\stackrel{·}{\theta }{i}_{d}-{n}_{\mathrm{p}}\stackrel{·}{\theta }\frac{{\psi }_{\mathrm{f}}}{{L}_{q}}+\frac{{u}_{q}}{{L}_{q}}\\ \stackrel{··}{\theta }=\frac{\tau }{J}-\stackrel{·}{\theta }\frac{B}{J}-\frac{{T}_{\mathrm{l}\mathrm{p}}}{J}\end{array}\right.$

式(1)中:i_d和i_q分别为定子d轴和q轴电流;u_d和u_q分别为定子d轴和q轴电压;L_q和L_d分别为定子d轴和q轴电感;R为定子电阻;ψ_f为转子磁链;n_p为极对数;J为转动惯量;B为黏滞摩擦系数;τ和T_lp分别为电磁转矩和电机负载转矩;θ、

$\stackrel{·}{\theta }$

、

$\stackrel{··}{\theta }$

分别为转子的角位移、角速度和角加速度。

进一步,电磁转矩可以表示为

(2)τ=$\frac{3}{2}$n_pi_q[ψ_f+(L_d-L_q)i_d]

由于机器人关节电机通常为表贴式,即L_d=L_q,且PMSM的控制通常采用i_d=0的控制策略,则式(2)可以简化为

(3)τ=K_Ti_q

式(3)中:K_T为转矩系数。则式(1)可以进一步表示为

(4)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{i}_{q}}{\mathrm{d}t}=-\frac{R}{L}{i}_{q}-\stackrel{·}{\theta }\frac{{n}_{\mathrm{p}}{\psi }_{\mathrm{f}}}{L}+\frac{{u}_{q}}{L}\\ \stackrel{··}{\theta }=\frac{\tau }{J}-\stackrel{·}{\theta }\frac{B}{J}-\frac{{T}_{\mathrm{l}\mathrm{p}}}{J}\end{array}\right.$

由式(4)可得关节传动机构的动力学方程为

(5)J$\stackrel{··}{\theta }$+B$\stackrel{·}{\theta }$+T_lp=τ

考虑减速器的传动比λ和传动效率η,式(5)可以写为

(6)J$\stackrel{··}{\theta }$+B$\stackrel{·}{\theta }$+$\frac{{T}_{\mathrm{L}}}{\lambda \eta }$=τ,T_L=ληT_lp

式(6)中:T_L为作用在机器人关节模组上的负载转矩。

1.2 关节对拖控制问题描述

本文研究对象为双关节模组对拖模型,一个关节模组作为控制对象进行恒定转速控制,而另一个关键模组作为扰动产生器给控制关节模组施加负载扰动。两个关节模组之间通过联轴器连接,由式(6)可得两个关节模组的动力学为

(7)J_i${\stackrel{··}{\theta }}_{i}$+B_i${\stackrel{·}{\theta }}_{i}$+T_lp_i=τ_i,τ_i=K_Tii_qi

式(7)中:i=1,2分别为控制关节模组和干扰关节模组。

两个模组间由联轴器相连,则有

(8)

$\begin{array}{l}{T}_{\mathrm{l}\mathrm{p}1}={K}_{\mathrm{c}\mathrm{p}}({\theta }_{1}-{\theta }_{2})\\ {T}_{\mathrm{l}\mathrm{p}2}={K}_{\mathrm{c}\mathrm{p}}({\theta }_{2}-{\theta }_{1})\end{array}$

式(8)中:K_cp为联轴器的耦合系数。

以控制关节模组q轴电流i_q₁为控制输入u(t),扰动关节模组q轴电流为扰动输入d(t),控制关节模组的电机角速度为控制输出y(t),令状态变量为

(9)${\left[\begin{array}{lll}{\theta }_{1}& {\theta }_{2}& {\theta }_{1}-{\theta }_{2}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$=${\left[\begin{array}{lll}{x}_{1}\left(t\right)& {x}_{2}\left(t\right)& {x}_{3}\left(t\right)\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$

由式(7)~式(9)可以得到双关节模组对拖模型的连续状态空间方程为

(10)

$\left\{\begin{array}{l}\stackrel{·}{x}\left(t\right)={A}_{\mathrm{c}}x\left(t\right)+{B}_{uc}u\left(t\right)+{B}_{dc}d\left(t\right)\\ y\left(t\right)={C}_{\mathrm{c}}x\left(t\right)\end{array}\right.$

(11)

$\left\{\begin{array}{l}{A}_{c}=\left[\begin{array}{lll}-\frac{{\mathrm{B}}_{1}}{{\mathrm{J}}_{1}}& 0& -\frac{{\mathrm{K}}_{cp}}{{\mathrm{J}}_{1}}\\ 0& -\frac{{\mathrm{B}}_{2}}{{\mathrm{J}}_{2}}& \frac{{\mathrm{K}}_{cp}}{{\mathrm{J}}_{2}}\\ 1& -1& 0\end{array}\right],{B}_{uc}=\left[\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{K}}_{\mathrm{T}1}}{{\mathrm{J}}_{1}}\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ {B}_{dc}=[0　{\mathrm{K}}_{\mathrm{T}2}/{\mathrm{J}}_{2}{　0]}^{T},{C}_{c}=[1　0　0]\end{array}\right.$

式中:x(t)为3维状态向量;u(t)为输入量;d(t)为扰动量;y为输出量;A_c为系统矩阵;B_uc为控制输入

矩阵;B_dc为扰动输入矩阵;C_c为输出矩阵。

由于实际控制过程中常采用离散控制器,因此将式(10)以零阶保持器的形式进行离散化^[8],得到离散状态空间方程为

(12)

$\left\{\begin{array}{l}x(k+1)=Ax\left(k\right)+{B}_{u}u\left(k\right)+{B}_{d}d\left(k\right)\\ y\left(k\right)=Cx\left(k\right)\end{array}\right.$

式(12)中:A、B_u、B_d、C分别为连续状态方程参数A_c、B_uc、B_dc、C_c离散化后的系统参数矩阵。特别的,输出矩阵满足C_c=C。

2 基于EID的IMPC控制器设计

根据EID的概念^[7],在输入通道上总存在一个EID,即d_e(k),使得下式成立:

(13)

$\left\{\begin{array}{l}\stackrel{\wedge }{x}(k+1)=\stackrel{\wedge }{Ax}\left(k\right)+{B}_{u}\left[u\right(k)+{d}_{\mathrm{e}}(k\left)\right]\\ \stackrel{\wedge }{y}\left(k\right)=\stackrel{\wedge }{Cx}\left(k\right)\end{array}\right.$

式(13)中:

$\stackrel{\wedge }{x}$

(k)为系统状态。对于任意k时刻,式(12)和式(13)的系统输出满足y(k)=

$\stackrel{\wedge }{y}$

(k)。

本文的控制目标是,在给定参考序列r(k)的情况下,使得控制系统的输出y(k)能渐进的跟踪参考序列r(k)。采用EID估计器对扰动进行抑制,并将EID估计值纳入改进的MPC中进行跟踪控制,控制结构图如图2所示。

2.1 线性EID估计器

由于本文的控制工作分为跟踪控制和抗扰控制,因此综合控制律u(k)可拆分为跟踪控制律u_r(k)和扰动抑制控制律u_d(k),即

(14)u(k)=u_r(k)+u_d(k)

先进行扰动抑制控制律u_d(k)的推导。如图2所示,一个标准的状态观测器被用于重建系统(13)的动态,其状态空间方程表示为

(15)

$\left\{\begin{array}{l}\stackrel{\wedge }{x}(k+1)=\stackrel{\wedge }{Ax}\left(k\right)+{B}_{u}{\mathrm{u}}_{r}\left(k\right)+L\left[y\right(k)-\stackrel{\wedge }{\mathrm{y}}(k\left)\right]\\ \stackrel{\wedge }{\mathrm{y}}\left(k\right)=\stackrel{\wedge }{Cx}\left(k\right)\end{array}\right.$

式(15)中:

$\stackrel{\wedge }{x}$

(k)为观测器的状态;L为观测增益;

$\stackrel{\wedge }{y}$

(k)为观测器的输出。

定义观测误差为

(16)Δx(k)=x(k)-$\stackrel{\wedge }{x}$(k)

线性EID的估计值可以表示为^[9]

(17)${\stackrel{\wedge }{d}}_{\mathrm{e}}$(k)=K_e[y(k)-$\stackrel{\wedge }{y}$(k)]+u_r(k)-u(k)

相较于固定的估计器增益^[7],线性增益K_e的设计使得控制器具有额外的自由度去调节扰动抑制能力。

由于

${\stackrel{\wedge }{d}}_{\mathrm{e}}$

(k)是一个自相关函数,因此引入了滤波器F(z)来解决因果性问题,滤波后的估计值表示为

${\stackrel{~}{d}}_{\mathrm{e}}$

(k)。令ω_c为滤波器F(z)的最高角频率,则滤波后的估计值

${\stackrel{~}{d}}_{\mathrm{e}}$

(k)可以由差分方程表示为

(18)${\stackrel{~}{d}}_{\mathrm{e}}$(k)=${\stackrel{~}{d}}_{\mathrm{e}}$(k-1)+K_eω_cT_s$\stackrel{~}{y}$(k)

式(18)中:

$\stackrel{~}{y}$

(k)=y(k)-

$\stackrel{\wedge }{y}$

(k);T_s为采样周期。则得到的扰动抑制控制律为

(19)u_d(k)=-${\stackrel{~}{d}}_{\mathrm{e}}$(k)

2.2 IMPC跟踪控制器

在得到扰动抑制控制律后,下面将进行跟踪控制律u_r(k)的推导。

结合式(13)和式(19)可以得到

(20)

$\left\{\begin{array}{l}{x}_{m}(k+1)=A{x}_{m}\left(k\right)+{B}_{u}{\mathrm{u}}_{d}\left(k\right)+{B}_{u}{\mathrm{u}}_{r}\left(k\right)\\ {\mathrm{y}}_{\mathrm{m}}\left(k\right)=C{x}_{m}\left(k\right)\end{array}\right.$

式(20)中:x_m(k)和y_m(k)分别为MPC控制器的状态,其中u_d(k)已经通过式(19)得到。

常规MPC仅用到当前状态和预测状态,对于阶跃跟踪问题依然无法消除稳态误差。因此,将结合式(20)来设计增广状态,以消除使用常规MPC具有的稳态误差。

定义参考输出和实际系统输出误差为

(21)e(k)=r(k)-y(k)

设计的增广的状态方程可以表示为

(22)x_i(k+1)=x_i(k)+e(k)

则结合式(20)和式(22),增广的系统状态方程可以重新由MPC的模型构建为

(23)

$\left\{\begin{array}{l}\stackrel{-}{x}(k+1)=\stackrel{-}{A}\stackrel{-}{x}\left(k\right)+\stackrel{-}{B}\left[{\mathrm{u}}_{d}\right(k)+{\mathrm{u}}_{r}(k\left)\right]+Er\left(k\right)\\ {\mathrm{y}}_{\mathrm{m}}\left(k\right)=\stackrel{-}{C}\stackrel{-}{x}\left(k\right)\end{array}\right.$

式(23)中:

$\stackrel{-}{x}$

(k)=

$\left[{{x}^{\mathrm{T}}}_{m}\right(k),{x}_{i}{\left(k\right)]}^{\mathrm{T}}$

,以及

(24)$\stackrel{-}{A}$=$\left[\begin{array}{ll}A& 0\\ -C& I\end{array}\right]$,$\stackrel{-}{B}$=$\left[\begin{array}{l}{B}_{u}\\ 0\end{array}\right]$,$\stackrel{-}{C}$=[C 0],E=$\left[\begin{array}{l}0\\ I\end{array}\right]$

式(24)中:I为具有合适维度的单位矩阵。

为了便于控制器设计,令预测时域和控制时域保持一致。在跟踪控制律设计过程中,由于扰动抑制控制更迅速,令跟踪控制律在k时刻整个预测和控制时域内保持不变,即

(25)u_d(k|k)=u_d(k+1|k)=…=u_d(k+N|k)

式(25)中:N为预测和控制时域;u_d(k+i|k)为在第k步时对第k+i时刻的扰动抑制律预测值。

根据式(23),预测的状态可以表示为

(26)

$\left\{\begin{array}{l}\stackrel{-}{x}(k+1|k)=\stackrel{-}{A}\stackrel{-}{x}(k)+\stackrel{-}{B}[{\mathrm{u}}_{d}\left(k\right)+{\mathrm{u}}_{r}\left(k\right)]+Er(k)\\ \begin{array}{l}x(k+2|k)=\stackrel{-}{A}\stackrel{-}{x}(k+1\left|k\right)+\\ 　　\stackrel{-}{B}\left[{\mathrm{u}}_{d}\right(k)+{\mathrm{u}}_{r}(k+1\left|k\right)]+Er(k+1)\end{array}\\ 　　　　　　　︙\\ \begin{array}{l}\stackrel{-}{x}(k+N|k)=\stackrel{-}{A}\stackrel{-}{x}(k+N-1\left|k\right)+\\ 　　\stackrel{-}{B}\left[{\mathrm{u}}_{d}\right(k)+{\mathrm{u}}_{r}(k+N-1\left|k\right)]+Er(k+N-1)\end{array}\end{array}\right.$

本文的控制目标为参考轨迹跟踪,因此根据式(12)可以得到增广参考状态轨迹为

(27)${\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{r}}$(k)=${\left[\begin{array}{llll}r\left(k\right)& 0& 0& 0\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$

定义预测状态轨迹和参考状态轨迹的误差为

(28)

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}\left(k\right|k)=\stackrel{-}{x}(k\left|k\right)-{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{r}}\left(k\right)\\ {\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}(k+1|k)=\stackrel{-}{x}(k+1\left|k\right)-{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{r}}(k+1)\\ 　　　　　　　︙\\ {\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}(k+N|k)=\stackrel{-}{x}(k+N\left|k\right)-{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{r}}(k+N)\end{array}\right.$

由式(28)可以得到误差序列为

(29)E_x(k)=[e_x(k|k),e_x(k+1|k),…,e_x(k+N|k)]^T

定义在控制时域内产生的控制时间序列为

(30)U_r(k)=[u_r(k|k),u_r(k+1|k),…,u_r(k+N-1|k)]^T

常用的MPC代价函数可以表示为

(31)V_k(E_x,U_r)=$\stackrel{N-1}{\sum _{i=0}}$ℓ[e_x(k+i|k),u_r(k+i|k)]+V_f[e(k+N|k)]

式(31)中:ℓ(·)为瞬时代价函数;V_f(·)为终端代价函数,且通常使用二次型表示,即

(32)

$\left\{\begin{array}{l}\mathcal{l}\left({\mathrm{e}}_{\mathrm{x}},{u}_{\mathrm{r}}\right)=\frac{1}{2}{{e}^{\mathrm{T}}}_{x}Q{\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}+\frac{1}{2}{{u}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{r}}R{u}_{\mathrm{r}}\\ {\mathrm{V}}_{f}\left({\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}\right)={{e}^{\mathrm{T}}}_{x}(k+N|k\left)P{\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}\right(k+N\left|k\right)\end{array}\right.$

式(32)中:Q、P、R分别为待设计的跟踪、终值和控制输入的正定对称参数矩阵。

注意到最终作为控制输入的是当前综合控制律u(k),其由所提出MPC产生的跟踪控制律u_r(k)和扰动抑制控制律u_d(k)共同产生。具体而言,所产生的最优控制律u_r(k)为所求解出的最优控制序列的第一个值,即

(33)u_r(k)=K${U}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}$(k)

式(33)中:K=[1,0,…,0];

${U}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}$

(k)为k时刻的最优控制律。

最终,本文所提出的IMPC方法的最优控制问题可以描述为

(34)

$\left\{\begin{array}{l}{U}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}\left(k\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\underset{{\mathrm{U}}_{r}\left(\mathrm{k}\right)}{min}{\mathrm{V}}_{\mathrm{k}}({E}_{x},{U}_{\mathrm{r}})\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.{\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}(k\left|k)={\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}(k)=\stackrel{-}{x}(k)-{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{r}}(k)\right.\\ 　　\stackrel{-}{x}(k+j+1\left|k)=\stackrel{-}{A}\stackrel{-}{x}(k+j\right|k)+\\ 　　\stackrel{-}{B}\left[{\mathrm{u}}_{d}\right(k)+{\mathrm{u}}_{r}(k+j\left|k\left)\right]+Er(k+j)\right.\\ 　　\left|{\mathrm{u}}_{r}(\mathrm{k}+\mathrm{j}\right|k)+{\mathrm{u}}_{d}(k)\left|\le {\mathrm{u}}_{max}\right.\end{array}\right.$

为了使所求的IMPC的最优控制序列在控制时域内降低求解条件,以及在到达控制律的硬约束期间进行平滑过渡,将式(31)添加松弛因子作为惩罚项,即

(35)$\begin{array}{l} V_{k}^{\boldsymbol{\varepsilon}}\left(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{U}_{\mathrm{r}}, \boldsymbol{\varepsilon}\right)=\sum_{i=0}^{N-1} \ell\left[\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{x}}(k+i \mid k)\right. \\ \left.\quad u_{\mathrm{r}}(k+i \mid k)\right]+V_{\mathrm{f}}[\boldsymbol{e}(k+N \mid k)]+ \\ \quad \sum_{i=0}^{N-1} \rho\left\|\varepsilon_{i}\right\|^{2} \end{array}$

式(35)中:ρ为松弛因子的权重系数;ε_i为松弛因子;ε为松弛因子组成的序列向量。

根据上述描述,在最优控制序列求解时,最优控制序列的每个元素允许超过软约束阈值u_soft但会施加惩罚,但是不允许超过硬约束的最大阈值u_max。相应地,式(34)被修改为

(36)

$\left\{\begin{array}{l}{U}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}\left(k\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\underset{{U}_{\mathrm{r}}\left(k\right),\epsilon \left(k\right)}{min}{\mathrm{V}}_{\mathrm{k}}({E}_{x},{U}_{\mathrm{r}},\epsilon )\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.{\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}(k\left|k)={\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}(k)=\stackrel{-}{x}(k)-{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{r}}(k)\right.\\ 　　\stackrel{-}{x}(k+j+1\left|k)=\stackrel{-}{A}\stackrel{-}{x}(k+j\right|k)+\\ 　　\stackrel{-}{B}\left[{\mathrm{u}}_{d}\right(k)+{\mathrm{u}}_{r}(k+j\left|k\right)]+Er(k+j)\\ 　　\left|{\mathrm{u}}_{r}(\mathrm{k}+\mathrm{j}\right|k)+{\mathrm{u}}_{d}(k)\left|\le {\mathrm{u}}_{soft}+{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{j}}\left(\mathrm{k}\right)\right.\\ 　　\left|{\mathrm{u}}_{r}(\mathrm{k}+\mathrm{j}\right|k)+{\mathrm{u}}_{d}(k)\left|\le {\mathrm{u}}_{max}\right.\end{array}\right.$

根据上述描述,所提出基于EID的IMPC控制算法表示如下。

3 仿真实验与分析

3.1 仿真与控制器参数

为验证所提出的基于EID的IMPC方法的控制效果,将给定参考轨迹进行速度跟踪,在MATLAB中建立双关节模组对拖仿真模型,进行数值仿真。

式(11)中连续系统的仿真参数选择^[8]为

(37)

$\left\{\begin{array}{l}{A}_{c}=\left[\begin{array}{lll}-5.132& 0& -101.2\\ 0& -5.132& 101.2\\ 1& -1& 0\end{array}\right],{B}_{uc}=\left[\begin{array}{l}34.04\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ {B}_{cd}={\left[\begin{array}{lll}0& 34.04& 0\end{array}\right]}^{T},{C}_{c}=\left[\begin{array}{lll}100& 0& 0\end{array}\right]\end{array}\right.$

由于实际系统中通常采用零阶保持器的方式进行数据保持和采样,系统控制周期为0.001 s,通过MATLAB的c2d函数可以得到对应的式(12)中的离散系统参数矩阵为

(38)

$\left\{\begin{array}{l}A=\left[\begin{array}{lll}0.9948& 5.043\times {10}^{-5}& -0.1009\\ 5.043\times {10}^{-5}& 0.9948& 0.1009\\ 9.974\times {10}^{-4}& -9.974\times {10}^{-4}& 0.9999\end{array}\right]\\ B={\left[\begin{array}{lll}0.0340& 5.727\times {10}^{-7}& 1.699\times {10}^{-5}\end{array}\right]}^{T}\\ C=\left[\begin{array}{lll}100& 0& 0\end{array}\right]\end{array}\right.$

需注意的是,本文中采取的输出矩阵与文献[8]不同,仅为输出的单位差异导致。

参考信号为阶跃信号,即r(k)=1 000r/min。此外,为验证所提方法的鲁棒性,对于外来扰动的假设为

(39)d(t)=$\left\{\begin{array}{ll}-1\mathrm{V},& 10\mathrm{s}\le t\le 15\mathrm{s}\\ 0,& \mathrm{其}\mathrm{他}\end{array}\right.$

对于观测器增益L,采用离散二次线性规划的方法来进行选择^[9],相关调节矩阵选择为

(40)Q_L=diag$\left\{\mathrm{1,1},1\right\}$,R_L=1

式(40)中:diag{·}表示对角矩阵;Q_L、R_L分别为二次线性规划中的状态矩阵、输入调节参数。

对于可调EID估计器增益K_e和滤波器最高角频率ω_c,经过合适地选择,最终分别取值为5和20。

为了设计方便,对于式(32)中的跟踪、终值和输入权重矩阵Q、P和R同样采用离散二次线性规划的方法进行设计,参数选择如下

(41)Q=diag$\left\{\mathrm{1,100,1000,5}\times {10}^{-7}\right\}$, R=10

经过MATLAB的dlqr函数求得终值权重矩阵为

(42)P=$\left[\begin{array}{llll}20.727& 14.844& -78.203& -0.0021\\ 14.844& 22.596& -79.04& -0.0019\\ -78.203& -79.04& 1330.1& 0.0133\\ -0.0021& -0.0019& 0.0133& 2.9\times {10}^{-7}\end{array}\right]$

3.2 EID-IMPC仿真结果

在没有不确定性的条件下,设置控制输入的硬约束u_max=4.2 A,同时设置软约束的阈值u_soft=3.8 A,软约束的惩罚权重项为ρ=10。

在前一节的系统参数、扰动配置和控制器参数的作用下其输入、输出的仿真结果如图3所示,观测误差、EID估计值的结果如图4所示。

从仿真结果图4中可以看出,所提出的EID-IMPC方法在存在外部扰动的情况下也能够渐进跟踪参考轨迹;当外界扰动到来时(10 s处]和消失时(15 s处],EID估计器能快速响应并抑制扰动。此外,所提的IMPC控制器结合所估计的EID值,求解最优控制序列并应用最优序列的第一项作为最优控制律。此过程中,综合的控制律u(k)曲线平滑且始终在安全界限(4.2 A)内,保证了系统的安全性。

3.3 软约束权重影响分析

为体现本文所结合软约束方法的优势和分析软约束权重对系统的影响,设置控制输入的硬约束u_max为4.2 A,同时设置软约束的阈值u_soft=3.8 A。软约束的惩罚权重项分别为ρ=0、ρ=10、ρ=20,其控制输入和输出的仿真结果分别如图5和图6 所示。

由图5和图6的结果可知,在不同的软约束权重系数下,若控制输入处于软约束阈值(3.8 A)之下,整个系统的控制性能不受惩罚项影响,效果几乎不变;当扰动来临时(10 s处),控制器产生的输入信号超过所设置的软约束阈值,由于式(35)中代价函数惩罚项和其权重系数的共同作用,在硬约束处会有一种“反向推力”使得控制输入远离硬约束阈值。此时,如图5红色曲线(ρ=10)所示,所求解出的最优控制律会平滑地进行过渡,处于硬约束阈值之下。值得注意的是,当软约束权重系数过大(ρ=20),虽然控制输入更加远离了硬约束阈值,但从图6中的输出图可以看出,其响应收敛的速度也会变慢。因此,选择合适的软约束及其阈值对控制系统的性能至关重要。

3.4 外部扰动下的仿真对比

为突出本文所提方法结合线性EID估计器的优势,接下来将与不带有EID估计器的IMPC方案进行比较仿真。为了保证比较的公平性,两种比较方案关于IMPC的配置都保持一致。比较结果如图7所示。

从仿真结果可以看出,在没有扰动的情况下两类方法的输入输出效果几乎没有差别。当外部扰动来临后,由于EID估计器的作用,以及所提出方法将EID估计值纳入IMPC的最优求解过程,使得控制输入的响应更加迅速。此外,从输出结果比较可以看出,所提方法对外部扰动进行了更加有效地抑制,进一步证实了所提方法的优势之处。

3.5 外部扰动和不确定性下的方法对比

除了外部扰动,若控制系统的模型建立不准确同样会对基于MPC的控制器性能造成影响。然而,由于在真实的物理环境中,不确定性不可能避免,因此研究存在不确定性情况下控制器的性能至关重要。

为了体现所提方法对不确定性和外部扰动的鲁棒性,本研究将采取对系统矩阵A存在3%的不确定性下进行测试,同时将无EID估计器的IMPC方法进行对比。值得注意的是,为了抑制模型不确定性,两种方法都需要较大的控制输入信号,因此不对控制输入进行限制,仿真结果图将由图8所示。对于所提出方法,其线性EID估计曲线如图9所示。

由图8和图9可知,对于没有EID估计器的IMPC方法,在存在不确定性情况下其控制器性能收到非常明显的影响。在不确定性下,IMPC的控制器名义模型与真实系统存在出入,其根据代价函数求解的最优控制律是基于名义模型而不是真实模型,这种情况下会导致其性能下降。反之,本文所提方法在存在不确定性条件下,由于EID估计器的作用,快速地补偿系统不确定性的影响。在EID估计值的补偿后,真实模型可以近似于IMPC的名义模型,因此基于此名义模型的代价函数来求解最优控制律,其控制效果相近于无不确定性下的仿真效果。综上所述,本文所提方法对不确定性和外部扰动都具有更优秀的鲁棒性和控制性能。

4 结论

提出了一种基于EID的IMPC方法,并将控制策略应用到双关节模组对拖模型进行数值仿真,证明了所提方法的有效性和鲁棒性。首先,对双关节模组对拖模型进行了机理分析,根据动力学原理构建其状态空间方程。接着,根据线性EID方法来设计了EID估计器用于对外界扰动和内部建模不确定性进行快速抑制。然后,设计了IMPC控制器,该控制器结合扩展状态对参考轨迹实现了零稳态误差的跟踪,并在代价函数中设计软约束惩罚项对输入约束进行了合适地过渡,结合实时的EID估计值来求解安全约束内最优的控制律。此外,文中的算法1给出了详细的算法实现逻辑。最后,结合带有外部扰动和内部建模不确定性的仿真模型设计控制器进行对比仿真,仿真结果与分析体现了所提方法的优越性。

目前,本文的工作都是基于扰动在预测区间保持不变的假设条件下。现存一些扰动预见的方法,未来将结合这些扰动预见的策略,在MPC控制器中结合预测扰动序列来求解最优控制律,提高预测控制性能。

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