多固定翼无人机动态事件触发预设时间编队协同控制

卢建华; 袁泽浩; 王宁; 刘洋; 田密

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2504014

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (11) :4877-4893 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2504014

航空、航天

多固定翼无人机动态事件触发预设时间编队协同控制

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Dynamic Event-triggered Adaptive Prescribed-time Performance Synchronization Tracking Control for Multiple Fixed-wing UAVs

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摘要

无人机编队协同控制技术是支撑任务执行的关键,由于复杂任务环境中资源受限和时效性等因素的影响,无人机编队协同控制面临严峻挑战,现有控制策略难以兼顾资源利用效率和任务时间等约束。针对一类六自由度多固定翼无人机编队系统资源受限条件下的预设时间控制问题,提出了一种智能动态事件触发预设时间编队协同控制策略。首先,基于预设时间性能函数,设计了一种自调节边界预设时间性能函数,与反步法结合后能够预设无人机系统的收敛时间并避免跟踪误差因外部扰动超出性能函数的约束边界,并通过误差转换确保了初始误差始终在性能函数的包络内;其次,针对固定翼无人机的速度和姿态系统,设计了基于动态事件触发策略的编队协同控制器,利用李雅普诺夫理论证明了系统稳定性,同时通过设计的时钟变量确保了事件触发时间间隔存在下确界,避免了Zeno现象,有效解决了资源受限和外部扰动问题;最后,通过应用所提控制策略至任务场景并对比不同事件触发机制下的控制效果,验证了所提控制方法的有效性和优越性。仿真与对比结果表明,所提出的智能动态事件触发预设时间编队协同控制策略,在保证多固定翼无人机系统稳定性和编队精度的同时,能够有效降低通信与计算资源消耗,并具备抗外部扰动与预设时间收敛的强鲁棒性,为资源受限环境下无人机编队协同控制提供了一种可行且高效的方法。

Abstract

Cooperative control of UAV(unmanned aerial vehicle) formations is critical for task execution. However, in complex environments with resource limitations and time constraints, UAV formation control faces significant challenges, as existing strategies often fail to balance resource efficiency and mission timeliness. addressing the prescribedtime control problem for a class of sixdegreeoffreedom multifixedwing UAV formations under resourcelimited conditions, an intelligent dynamic eventtriggered prescribedtime cooperative control strategy was proposed. First, based on a prescribedtime performance function, an adaptiveboundary prescribedtime performance function was designed. Combined with the backstepping method, the convergence time of the UAV system was predefined, and tracking errors were prevented from exceeding the performance boundaries due to external disturbances. Error transformation ensured that the initial error always remained inside the performance envelope. Second, for the velocity and attitude subsystems of fixedwing UAVs, a formation cooperative controller based on a dynamic eventtriggering strategy was designed. System stability was proved using Lyapunov theory, and a clock variable was introduced to guarantee a strictly positive lower bound on the interevent times, thereby avoiding Zeno behavior and effectively handling resource limits and external disturbances. Finally, the proposed strategy was applied to a mission scenario, and its performance was compared under different eventtriggering mechanisms. The effectiveness and superiority of the method are verified. Simulation and comparison results show that the proposed strategy not only ensures formation stability and accuracy but also significantly reduces communication and computation resource consumption, while exhibiting strong robustness against disturbances and achieving prescribedtime convergence. The approach thus provides a feasible and efficient solution for UAV formation cooperative control in resourceconstrained environments.

Graphical abstract

关键词

固定翼无人机 / 无人机集群 / 编队协同控制 / 动态事件触发 / 预设时间控制

Key words

fixed-wing unmanned aerial vehicle / unmanned aerial vehicle swarm / formation collaborative control / dynamic event-triggered strategy / prescribed-time control

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卢建华, 袁泽浩, 王宁, 刘洋, 田密. 多固定翼无人机动态事件触发预设时间编队协同控制[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(11): 4877-4893 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504014

LU Jian-hua, YUAN Ze-hao, WANG Ning, LIU Yang, TIAN Mi. Dynamic Event-triggered Adaptive Prescribed-time Performance Synchronization Tracking Control for Multiple Fixed-wing UAVs[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(11): 4877-4893 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2504014

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固定翼无人机因其长航时、大载荷、高速巡航等优点,在医疗急救、地形测绘和电力巡检等领域得到广泛应用。由于编队协同控制技术能够充分发挥无人机的优势,已经取得了长足的发展^[1-5]。具体来说,编队协同控制的研究包含如下几个方面:队形的生成和保持、任务的分配以及无人机编队的速度和姿态跟踪。由于分布式控制策略无需全局信息即可进行控制设计,并且能够保证闭环系统的稳定性,受到众多专家学者的关注^[6-10]。例如,Huang等^[6]研究了一组垂直起降无人飞行器在未知干扰作用下的基于方向角的分布式编队控制问题,基于分层框架提出了两种分布式编队控制算法以实现目标编队机动;宋怡成等^[10]针对三维空间中采用网状拓扑的无人机编队在飞行过程中发生通信故障的问题,基于刚性图和持久图理论,提出了一种分布式拓扑重构方法,减少了参与重构的无人机数量,降低了重构过程的计算时间和消耗。然而,上述方法大多基于简化的三自由度模型,或者仅考虑了姿态/纵向模型,未考虑速度系统和姿态系统的耦合关系,与实际的固定翼无人机系统不相符。为解决以上问题,Oland^[11]建立了一种外部扰动下包含速度和姿态系统的六自由度固定翼无人机动力学模型,更加符合实际的无人机系统。同样重要的是,在实际任务中多无人机系统需要在资源受限的条件下,高效完成具有不同时间要求的多样化任务。这种应用场景对控制系统提出了双重挑战:一方面需要精确预设无人机状态的收敛时间以满足任务时序要求,另一方面必须尽可能降低系统资源消耗(包括控制器更新频率和执行器响应频率)。然而,现有控制策略主要基于渐进稳定或有限时间稳定理论,这些方法不仅无法保证预设时间的精确收敛,还通常要求控制器和执行器保持不必要的高频更新与响应,导致显著的资源浪费。

针对预设时间稳定问题,文献[12 -15]中提出了控制障碍函数以及障碍李雅普诺夫函数方法。其中,Abel等^[12]针对一类非线性严反馈系统的安全约束问题,提出了一种基于控制障碍函数的预设时间安全技术,通过将控制障碍函数与控制李雅普诺夫函数相结合,确保系统能够在预设的时间内到达安全集的边界;Yang等^[14]针对多无人机系统的一致跟踪控制问题,通过将预设时间性能函数与障碍李雅普诺夫函数结合,能够保证系统在预设时间内达到设计的跟踪精度。李新凯等^[15]针对复杂扰动下可执行多种任务的复合式变体无人机,提出了一种基于浸入与不变理论和隐含系统状态受限条件的复合时变障碍李雅普诺夫函数的控制方案,设计了一种基于复合时变障碍李雅普诺夫函数和动态滑模面的控制器,能够保证系统状态始终在约束条件之内。

值得注意的是,上述方法都需要将构造的时变性能函数与设计的李雅普诺夫函数相结合来对跟踪误差进行包络约束,通过保证跟踪误差在预设时间内收敛来间接保证系统状态能够在预设时间内收敛。然而,上述方法中时变性能函数的约束边界位于横坐标两侧,在误差到达稳态之前,跟踪误差会剧烈振荡。为了解决该问题,Jabari等^[16]基于预设时间性能函数,设计了一种单调管边界函数,在误差转换后结合反步技术实现了对误差的单侧紧密约束。然而,该方法仍未能解决预设时间控制中的初始条件限制问题,需要保证初始误差始终在性能函数的包络内,若初始误差变化则需重新选取预设性能函数的参数。除此之外,无人机系统外部扰动的存在使得系统误差存在突变的可能性,在采用性能函数对误差进行包络约束时,需要避免系统误差超出性能函数的约束边界。

通常情况下,无人机控制系统采用固定时间驱动策略^[17-18],基于固定周期对执行器实施控制,但当无人机系统状态趋于稳定时,高频的控制器更新会导致频繁的执行器响应,造成非必要的执行器损耗。此外,若控制器长时间处于高频更新状态,会显著增加无人机算力处理器的压力并占用大量内存,造成不必要的计算资源浪费。为解决该问题,事件触发控制方法因其非周期更新的特性,成为了减少执行器损耗和节约计算资源的有效方法,受到了广泛关注^[19-21]。例如,Liu等^[19]针对多无人机和无人车执行器故障下一致跟踪控制问题,通过将性能函数融入一致跟踪误差并进行误差变换,开发了一种去中心化自适应事件触发容错同步跟踪控制方案,在保证预设性能的同时实现了容错控制。Wu等^[20]针对受外部信息干扰的六旋翼无人机的编队控制问题,开发了一种基于事件触发的分布式智能学习控制策略,通过设计一个改进的事件触发策略,在保证控制性能的前提下减少资源浪费。熊重远等^[21]针对具有执行器故障的四旋翼无人机姿态控制问题,提出了一种基于径向基函数神经网络、事件触发机制和迟滞量化器的自适应规定时间容错控制策略,有效降低了执行器更新频率。然而,上述研究多基于渐近稳定,有限或者规定时间稳定理论,其收敛时间依赖于系统初始状态且无法预先设定;相比之下,基于预设时间稳定理论的事件触发控制策略研究较为匮乏,亟待进一步探索。另外,事件触发策略分为静态和动态事件触发策略^[22-24]两种,文献[22,24]将静态和动态事件触发机制相对比,基于固定阈值的静态事件触发机制尽管设计简单,但是其在误差较小或系统稳定时仍会频繁触发,会导致潜在的资源浪费;而动态事件触发机制通过引入时变或与状态相关的自适应阈值,能够根据系统的实时状态智能调节触发阈值,显著降低了事件触发次数,其自适应的特性使多无人机系统在面临资源受限且任务需求多变的实际任务场景时展现出更大的优势。

综合上述分析,为解决多固定翼无人机编队在面临复杂任务时难以兼顾资源利用效率和任务时间约束的问题,现提出一种智能动态事件触发预设时间编队协同控制策略。首先,通过结合反步法与新型性能函数以实现系统收敛时间的预设和跟踪误差的严格约束;其次,设计动态事件触发协同控制器,利用李雅普诺夫理论以证明系统稳定性,并确保触发间隔存在下界以避免Zeno现象;最后,通过对比实验以验证该方法在资源节约和扰动抑制方面的优越性。

1 问题描述和预备知识

1.1 固定翼无人机模型

考虑N(N≥3)架相同的固定翼无人机组成的无人机编队,其中对第i(i=1,2,…,N)架固定翼无人机的六自由度动力学模型描述如下。

1.1.1 速度层

定义第i架无人机机体坐标系下的速度向量为v_i=[u_i,v_i,w_i]^T,其中u_i、v_i、w_i分别为速度向量沿机体坐标系x、y、z轴的速度分量,结合牛顿第二定律可得速度层动力学模型为

(1)${\stackrel{·}{p}}_{i}$=R₁v_i

(2)${\stackrel{·}{v}}_{i}$=-ω_i×v_i+(T_i/m_i)+R^T₁g+(F_i/m_i)+d_vi

式中:m_i为第i架无人机质量;p_i=[x_i,y_i,z_i]^T为第i架无人机在地面坐标系上的位置向量;

${\stackrel{·}{v}}_{i}$

为速度向量的导数;ω_i=[p_i,q_i,r_i]^T为姿态角速度向量,其中p_i、q_i、r_i分别为无人机绕机体坐标系x、y、z轴的角速度;T_i=[T_xi,0,0]^T为第i架无人机受到的推力向量,其中T_xi为沿x轴的推力分量;g=[0,0,g]^T为重力加速度,其中g为沿地面坐标系z轴的重力加速度分量;d_vi为未知外部扰动;R₁为机体坐标系与地面坐标系的转换矩阵;F_i为气动参数,其表达式分别为

(3)R₁=$\left[\begin{array}{lll}{c}_{\psi i}{c}_{\theta i}& -{s}_{\psi i}{s}_{\varphi i}+{c}_{\psi i}{s}_{\theta i}{s}_{\varphi i}& {s}_{\psi i}{s}_{\varphi i}+{c}_{\psi i}{s}_{\theta i}{c}_{\varphi i}\\ {s}_{\psi i}{c}_{\theta i}& {c}_{\psi i}{c}_{\varphi i}+{s}_{\psi i}{s}_{\theta i}{s}_{\varphi i}& -{c}_{\psi i}{s}_{\varphi i}+{s}_{\psi i}{s}_{\theta i}{c}_{\varphi i}\\ -{s}_{\theta i}& {c}_{\theta i}{s}_{\varphi i}& {c}_{\theta i}{c}_{\varphi i}\end{array}\right]$

(4)F_i=${\stackrel{-}{q}}_{i}$S_iR₃

$({\alpha }_{i},{\beta }_{i}{)}^{-1}[-{C}_{\mathrm{D}i},{C}_{\mathrm{Y}i},-{C}_{\mathrm{L}i}{]}^{\mathrm{T}}$

式中:s_a和c_a分别为sin a和cos a,a∈{ϕ_i,θ_i,ψ_i},其中ϕ_i、θ_i、ψ_i分别为第i架无人机的滚转角、俯仰角和姿态角;S_i为机翼面积;

${\stackrel{-}{q}}_{i}$

=0.5ρ

${V}_{i}^{2}$

为空气压力,其中ρ为空气密度,V_i=‖v_i‖=

$\sqrt{{{v}^{\mathrm{T}}}_{i}{v}_{i}}$

为速度大小;C_D_i、C_Y_i、C_L_i分别为阻力系数、侧滑力系数和升力系数;α_i、β_i分别为第i架无人机的迎角和侧滑角;R₃(α_i、β_i)为机体坐标系和气流坐标系之间的转换矩阵,其表达式为

(5)R₃(α_i,β_i)=$\left[\begin{array}{lll}{c}_{\alpha i}{c}_{\beta i}& {s}_{\beta i}& {s}_{\alpha i}{c}_{\beta i}\\ -{c}_{\alpha i}{s}_{\beta i}& {c}_{\beta i}& -{s}_{\alpha i}{s}_{\beta i}\\ -{s}_{\alpha i}& 0& {c}_{\alpha i}\end{array}\right]$

式(5)中:s_b和c_b分别为sin b和cos b,b∈{α_i,β_i}。

1.1.2 姿态层

依据姿态角和角速度的定义和关系,构建姿态层动力学模型为

(6)${\stackrel{·}{\varphi }}_{i}$=${R}_{2}^{-1}$ω_i

(7)J_i${\stackrel{·}{\omega }}_{i}$=-ω_i×J_iω_i+N_i+Cδ_i+J_id_ωi

式中:

${\stackrel{·}{\varphi }}_{i}$

$[{\varphi }_{i},{\theta }_{i},{\psi }_{i}{]}^{\mathrm{T}}$

为姿态角向量;δ_i=[δ_a_i,δ_e_i,δ_r_i]^T为舵面控制输入,其中δ_a_i、δ_e_i、δ_r_i分别为副翼舵面,升降舵面和方向舵面;d_ωi为未知外部扰动;R₂为角速度与姿态角投影的转化矩阵,其表达式为

(8)R₂=$\left[\begin{array}{lll}1& 0& -{s}_{\psi i}\\ 0& {c}_{\psi i}& {s}_{\psi i}{c}_{\theta i}\\ 0& -{s}_{\theta i}& {c}_{\psi i}{c}_{\theta i}\end{array}\right]$

J_i为机体坐标系x-z平面的惯性张量,其表达式为

(9)J_i=$\left[\begin{array}{lll}{J}_{xxi}& 0& {J}_{xzi}\\ 0& {J}_{yyi}& 0\\ {J}_{zxi}& 0& {J}_{zzi}\end{array}\right]$

C为控制有效性矩阵,其表达式为

(10)C=$\left[\begin{array}{lll}{\stackrel{-}{q}}_{i}{S}_{i}{b}_{i}{c}_{l\delta ai}& 0& {\stackrel{-}{q}}_{i}{S}_{i}{b}_{i}{c}_{l\delta ri}\\ 0& {\stackrel{-}{q}}_{i}{S}_{i}{\stackrel{-}{c}}_{i}{c}_{m\delta ei}& 0\\ {\stackrel{-}{q}}_{i}{S}_{i}{b}_{i}{c}_{n\delta ai}& 0& {\stackrel{-}{q}}_{i}{S}_{i}{b}_{i}{c}_{n\delta ri}\end{array}\right]$

N_i为动力学向量,其表达式为

(11)N_i=${\stackrel{-}{q}}_{i}$S_i

$[{b}_{i}C\text{'}{}_{li},{\stackrel{-}{c}}_{i}C\text{'}{}_{mi},{b}_{i}C\text{'}{}_{ni}{]}^{\mathrm{T}}$

式中:J_xxi、J_xzi、J_yyi、J_zxi、J_zzi为惯性系数;b_i为翼展长度;c_i为翼弦长;c_nδri、c_lδri、c_mδei、c_nδqi、c_mδai为无量纲系数;C'_ni、C'_mi、C'_li分别为机体坐标系x、y、z轴对应的气动系数。

1.2 图论

在多无人机通信拓扑中,利用无向图G=(V, E, A)来表示网络结构,其中V={v₁,v₂,…,v_n}是一个有限且非空的节点集,每个节点v_i表示一架无人机。边集E={(i,j), i,j∈V和 i≠j}表示无人机之间的信息交换关系。如果图中第i架无人机与第j架无人机能够相互交换信息,记为(v_i,v_j)∈E⇔(v_j,v_i)∈E,此处的⇔表示通信关系是双向的。拓扑图G对应的加权邻接矩阵A=[a_ij]∈Rⁿ^×ⁿ用于描述通信拓扑结构。矩阵中的元素a_ij义如下:若(v_i,v_j)∈E⇔(v_j,v_i)∈E,则a_ij=a_ji=1,否则a_ij=a_ji=0。此外,拉普拉斯矩阵L定义为L=D-A,其中D为无向图G的入度矩阵,其对角元素d_ii满足关系:d_ii=

$\stackrel{n}{\sum _{j=1}}$

a_ij。

1.3 区间二型模糊逻辑系统

由上隶属函数和下隶属函数所围成的区域,即不确定域,称为区间二型模糊集。所选的区间二型模糊规则如下。

如果θ_j属于

${\mathrm{A}}_{j}^{k}$

,则$\varpi$属于^k(j=1,2,…,n,k=1,2,…,N)。Θ=

$[{\theta }_{1},{\theta }_{2},\dots,{\theta }_{n}{]}^{\mathrm{T}}$

∈Rⁿ表示区间二型模糊逻辑系统的输入向量, $\varpi$∈R表示系统的输出。对于j=1,2,…,n和k=1,2,…,N,

${\mathrm{A}}_{j}^{k}$

和^k分别为前件和后件的模糊集。根据Karnik-Mendel算法,输出区间的左右边界值$\varpi_{1}$和$\varpi_{\mathrm{r}}$表达式为

(12)$\varpi_{\mathrm{l}}=\frac{\sum_{j=1}^{M} \varpi_{j} y_{1}^{j}(\boldsymbol{\Theta})}{\sum_{j=1}^{M} y_{1}^{j}(\boldsymbol{\Theta})}, \varpi_{r}=\frac{\sum_{j=1}^{M} \varpi_{j} y_{\mathrm{r}}^{j}(\boldsymbol{\Theta})}{\sum_{j=1}^{M} y_{\mathrm{r}}^{j}(\boldsymbol{\Theta})} $

式(12)中:

${y}_{\mathrm{l}}^{j}$

(Θ)和

${y}_{\mathrm{r}}^{j}$

(Θ)分别为上隶属函数和下隶属函数的触发值。定义$\boldsymbol{H}=\left[\varpi^{1}, \varpi^{2}, \cdots, \varpi^{M}\right]$是自适应参数向量,选取贝叶斯方程为$\boldsymbol{S}(\boldsymbol{\Theta}) \triangleq\left[s_{1}(\boldsymbol{\Theta})+s_{\mathrm{r}}(\boldsymbol{\Theta})\right] / 2$,其中$s_{1}(\boldsymbol{\Theta})=\left[s_{1}^{1}, s_{1}^{2}, \cdots, \quad s_{1}^{N}\right]^{\mathrm{T}}, s_{\mathrm{r}}(\boldsymbol{\Theta})=\left[s_{\mathrm{r}}^{1}, s_{\mathrm{r}}^{2}, \cdots, s_{\mathrm{r}}^{N}\right]^{\mathrm{T}}$满足

${s}_{\mathrm{l}}^{k}$

${y}_{\mathrm{l}}^{k}$

$\stackrel{n}{\sum _{j=1}}{y}_{\mathrm{l}}^{j}$

${s}_{\mathrm{r}}^{k}$

${y}_{\mathrm{r}}^{k}$

$\stackrel{n}{\sum _{j=1}}{y}_{\mathrm{r}}^{j}$

。因此,区间二型模糊逻辑系统的解模糊化输出可表示为

(13)$\begin{aligned} \varpi & =\frac{\varpi_{\mathrm{l}}+\varpi_{\mathrm{r}}}{2}=\frac{\boldsymbol{H}^{\mathrm{T}}\left[s_{1}(\boldsymbol{\Theta})+s_{\mathrm{r}}(\boldsymbol{\Theta})\right]}{2} \\ & =\boldsymbol{H}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{S}(\boldsymbol{\Theta}) \end{aligned}$

引理1^[25] 对于一个定义在紧集Ω⊆R^N中的非线性系统,区间二型模糊逻辑系统能够在紧集Ω内以任意精度一致逼近任何实值连续函数a(Θ):R^N→R。因此,存在以下分解形式,即

(14)a(Θ)=W^TS(Θ)+ε(Θ)

式(14)中:W为理想权值向量;S(Θ)为有界模糊基函数向量;ε(Θ)为估计误差,存在一个正常数

$\stackrel{-}{\epsilon }$

满足

$\left|\epsilon \left(\Theta \right)\right|$

≤

$\stackrel{-}{\epsilon }$

。

1.4 其他相关引理

引理2^[26] 对任意两个向量x,y∈Rⁿ,如果存在c>0以及p,q≥1满足(p-1)(q-1)=1,则x^Ty≤(c^p/p)‖x‖^p+[1/(qc^q)]‖y‖^q成立。

引理3^[27] 对于系统

$\stackrel{·}{x}$

=f(t,x),若存在一个正定函数V(t,x),使得

$\stackrel{·}{V}$

≤-k₁V+k₂,k₁和k₂为有界正常数,则V(t)≤[V(0)+k₂/k₁]e^-k₁t+k₂/k₁,即x是一致有界的,其中e为系统误差。

2 自调节边界性能函数

定义1 预设时间性能函数η(t)满足如下条件。

(1) η(t)在时间[0,T_f)内单调递减且t_f>0。

(2) lim_{t→T_f}η(t)≡η_∞>0且对于∀t≥T_f有η(t)=η_∞。

(3) η(t)和

$\stackrel{·}{\eta }$

(t)是有界且分段连续的。

结合定义1,选取预设时间性能函数为

(15)η(t)=$\left\{\begin{array}{l}({\eta }_{0}-{\eta }_{\infty })\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{-t}{{T}_{\mathrm{f}}-t}\right)+{\eta }_{\infty },\\ 　　　t\in [0,{T}_{\mathrm{f}})\\ {\eta }_{\infty },　t\in [{T}_{\mathrm{f}},\infty )\end{array}\right.$

式(15)中:η_∞为一个很小的正常数。

基于式(15),进一步设计边界性能函数,其对应的上界函数P₁(t)和下界函数P₂(t)设计为

(16)$\left[\begin{array}{l}{P}_{1}\left(t\right)\\ {P}_{2}\left(t\right)\end{array}\right]$=sign[e(0)](η-η_∞)$\left[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right]$+η

$\left[\begin{array}{l}{p}_{1}\\ -{p}_{2}\end{array}\right]$

式(16)中:e(0)为初始误差;p₁, p₂∈(0,1)。对于P₁(t)、 P₂(t),t∈[0,∞),存在以下3种情况。

(1) P₁(t)=(1+p₁)η(t)-η_∞,P₂(t)=(1-p₂)η(t)-η_∞,e(0)>0。

(2) P₁(t)=-(1-p₁)η(t)+η_∞,P₂(t)=-(1+p₂)η(t)+η_∞,e(0)>0。

(3) P₁(t)=p₁η(t),P₂(t)=-p₂η(t),e(0)=0。

综合上述3种情况可知对于∀t>0,P₁(t)-P₂(t)=(p₁+p₂)η(t)>0恒成立,因此P₁(t)、 P₂(t)可分别用于上界和下界函数。由定义1可知:当e(0)>0时,P₁(t)、 P₂(t)在t∈[0,T_f)单调递减;当e(0)<0时,P₁(t)、 P₂(t)在t∈[0,T_f)单调递增;当e(0)=0时,P₁(t)、 P₂(t)分别在t∈[0,T_f)单调递减和递增。此外,以上3种情况都满足:P₁(t)=p₁η_∞,P₂(t)=-p₂η_∞,∀t≥T_f。

进一步考虑到在采用性能函数对误差进行包络约束时,跟踪误差可能会因为无人机系统外部扰动的存在而突增。若跟踪误差超出性能函数的边界,则可能会导致系统发散,因此在式(16)基础上设计自调节边界性能函数,在跟踪误差临近性能函数边界时,自适应地修改边界,自调节边界性能函数设计为

(17)[U(t),L(t)]^T=$\left[{P}_{1}\right(t),{P}_{2}{\left(t\right)]}^{\mathrm{T}}$+$\left[{Q}_{1}\right(t),{Q}_{2}{\left(t\right)]}^{\mathrm{T}}$

式(17)中:

$\left[{Q}_{1}\right(t),{Q}_{2}{\left(t\right)]}^{\mathrm{T}}$

=A[tanh[B₁(t)],

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}[{B}_{2}{\left(t\right)\left]\right]}^{\mathrm{T}}$

,其中Q₁(t)和Q₂(t)分别为上边界和下边界的自适应调节量,A=diag{q₁,-q₂},q₁, q₂>0;U(t)和L(t)分别为调整后的上边界和下边界。对于i=1, 2,参数B_i(t)的自适应更新律为

(18)${\stackrel{·}{B}}_{i}$(t)=-c_i₁B_i(t)+c_i₂G_i(t), B_i(0)=0

式(18)中:G₁(t)=[sign(U-e-Δ)-1](U-e-Δ), G₂(t)=[sign(e-L-Δ)-1](e-L-Δ);c_i₁和c_i₂为正常数;Δ为一个表示边界阈值的小常数;e为系统误差。式(18)表明当U-e<Δ或e-L<Δ时边界自适应调整;当U-e≥Δ或e-L≥Δ时,边界调整值迅速衰减至零。

3 误差转换

由于无人机速度和姿态的初始值不定,在初始值与指令相差过大时,初始误差可能会超出自调节性能函数的边界,因此每次初始值变动时都需要重新选取性能函数参数,降低了预设性能函数方法的通用性。为解决该问题,引入误差转换函数,即

(19)

$\left\{\begin{array}{l}E\left(t\right)=e\left(t\right)-hS\left(t\right)\\ S\left(t\right)=\left\{\begin{array}{ll}({t}_{s}-t)/{t}_{s},& t\in [0,{t}_{s})\\ 0,& t\in [{t}_{s},\infty )\end{array}\right.\end{array}\right.$

式(19)中:h=e(0)-[P₁(0)+P₂(0)]/2。通过以上转换可知E(0)=[P₁(0)+P₂(0)]/2∈[L(0),U(0)],则由初始条件导致的奇异性问题被消除。进一步地,为保证L(t)<E(t)<U(t)在∀t≥0都成立,引入状态转换函数,即

(20)υ(t)=ln{Π(t)/[1-Π(t)]}

式(20)中:Π(t)=[E(t)-L(t)]/D(t)∈(0,1)为归一化误差,且D(t)=U(t)-L(t)。

引理4 对于任意h使得初始状态E(0)满足L(0)<E(0)<U(0),如果υ(t)保持有界,则L(t)<E(t)<U(t)在∀t≥0都成立。

证明由于L(0)<E(0)<U(0),Π(0)∈(0,1)是良定的(有稳定清晰的解)。假设存在t₁>0使得E(t₁)≤L(t₁)或E(t₁)≥U(t₁),则由于E(t),U(t)和L(t)的连续性,且[E(0)-L(0)]×[E(t₁)-L(t₁)]≤0,[U(0)-E(0)][U(t₁)-E(t₁)]≤0,由零点存在性定理可知必然存在t'₁∈(0,t₁]使得E(t'₁)-L(t'₁)=0或E(t'₁)-U(t'₁)=0,即E(t'₁)=L(t'₁)或E(t'₁)=U(t'₁),此时Π(t)/[1-Π(t)]等于零或者趋向于无穷,结合式(20)推出υ(t)无界,与υ(t)保持有界矛盾,则L(t)<E(t)<U(t)在∀t≥0都成立,引理4得证。

3.1 速度层误差转换

考虑速度误差为e_vi,将速度误差转换并归一化处理为Π_vi(t),利用状态转换函数式(20),得到转换后的状态为

(21)υ_vi(t)=ln[Π_vi/(1-Π_vi)]

式(21)中:Π_vi=[E_vi(t)-L_vi(t)]/D_vi(t),E_vi(t)=e_vi(t)-h_viS_vi(t),h_vi=

${\stackrel{~}{V}}_{i}$

(0)-[P_vi₁(0)+P_vi₂(0)]/2,且S_vi(t)、P_vi₁(t)和P_vi₂(t)为待设计的函数。

对式(21)求导得

(22)${\stackrel{·}{\upsilon }}_{vi}$=F_vi(${\stackrel{·}{E}}_{vi}$+ζ_vi)

式(22)中:F_vi=1/[D_viΠ_vi(1-Π_vi)];ζ_vi=(1/D_vi)(L_vi

${\stackrel{·}{U}}_{vi}$

-U_vi

${\stackrel{·}{L}}_{vi}$

-E_vi

${\stackrel{·}{D}}_{vi}$

)。

3.2 姿态层误差转换

考虑姿态误差e_ϕi,将姿态误差转换并归一化处理为Π_mi(t),利用状态转换函数式(20),得到转换后的状态为

(23)υ_mi(t)=ln[Π_mi/(1-Π_mi)]

式(23)中:对于m∈{ϕ,θ,ψ},有Π_mi=[E_mi(t)-L_mi(t)]/D_mi(t),h_mi=-[P_mi₁(0)+P_mi₂(0)]/2+

${\stackrel{~}{m}}_{i}$

(0),且S_mi(t)、P_mi₁(t)和P_mi₂(t)为待设计的函数。

定义υ_ϕi=

$[{\upsilon }_{\varphi i},{\upsilon }_{\theta i},{\upsilon }_{\psi i}{]}^{\mathrm{T}}$

,整合式(23)可得

(24)${\stackrel{·}{\upsilon }}_{\mathrm{\varphi }\mathrm{i}}$=F_ϕi(${\stackrel{·}{E}}_{\mathrm{\varphi }\mathrm{i}}$+ζ_ϕi)

式(24)中:F_ϕi=diag{F_ϕi,F_θi,F_ψi};E_ϕi=[E_ϕi,

${E}_{\theta i},{E}_{\psi i}{]}^{\mathrm{T}}$

;ζ_ϕi=

$[{\zeta }_{\varphi i},{\zeta }_{\theta i},{\zeta }_{\psi i}{]}^{\mathrm{T}}$

,且对于m∈{ϕ,θ,ψ},有F_mi=1/[D_miΠ_mi(1-Π_mi)],ζ_mi=(1/D_mi)(L_mi

${\stackrel{·}{U}}_{mi}$

-U_mi

${\stackrel{·}{L}}_{mi}$

-E_mi

${\stackrel{·}{D}}_{mi}$

)。

为了更好地阐述本文的研究思路并讲明技术路线,给出如图1所示控制系统结构图,控制系统结构图由无人机速度和姿态层两部分组成,其中ϕ_j和V_j分别为邻接无人机的姿态角和标量速度,ϕ_r和V_r分别为期望姿态角和标量速度,e_ϕi和e_vi分别为姿态角和标量速度误差。如图1所示为控制器设计中各部分之间的状态传递和逻辑结构,各部分相互作用,实现了多固定翼无人机基于动态事件触发机制下的预设时间协同编队控制。

4 事件触发控制器设计

4.1 速度层事件触发控制器设计与稳定性证明

定义速度向量v_i的标量速度为V_i,且满足V_i=‖v_i‖=

$\sqrt{{{v}^{\mathrm{T}}}_{i}{v}_{i}}$

。根据式(2),对标量速度V_i求导得

(25)${\stackrel{·}{V}}_{i}$=$\frac{{u}_{i}}{{m}_{i}{V}_{i}}$T_xi+$\frac{{{v}^{\mathrm{T}}}_{i}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}}$(R^T₁g+F_i₀/m_i)+$\frac{{{v}^{\mathrm{T}}}_{i}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}}$d_vi

基于图论知识,根据无人机编队之间的通信拓扑关系,可得速度的邻接误差为

(26)$\begin{aligned} e_{v i} & =\lambda_{i 1} \tilde{V}_{i}+\lambda_{i 2} \sum_{j \in N_{i}} a_{i j}\left(\tilde{V}_{i}-\tilde{V}_{j}\right) \\ & =\left(\lambda_{i 1}+\lambda_{i 2} \sum_{j \in N_{i}} a_{i j}\right) \tilde{V}_{i}-\lambda_{i 2} \sum_{j \in N_{i}} a_{i j} \tilde{V}_{j} \end{aligned}$

依据式(2),对式(26)求导得

(27)$\begin{aligned} \dot{e}_{v i}= & \Lambda_{1 i} V_{i}^{-1} \boldsymbol{v}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{d}_{v i}-\lambda_{i 2} \sum_{j \in N_{i}} a_{i j} \dot{\tilde{V}}_{j}-\Lambda_{1 i} \dot{V}_{r}+ \\ & \Lambda_{1 i} V_{i}^{-1} \boldsymbol{v}_{i}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{R}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{g}+\boldsymbol{F}_{i 0} / m_{i}\right)+\chi_{v i} T_{x i} \end{aligned}$

式(27)中:Λ₁_i=λ_i₁+λ_i₂

$\sum _{j\in {N}_{i}}$

a_ij;λ_i₁、λ_i₂为正常数;

${\stackrel{~}{V}}_{i}$

=V_i-V_r,

${\stackrel{~}{V}}_{j}$

=V_j-V_r,V_r为期望速度;χ_vi=u_iΛ_i₁/(m_iV_i)。需要说明的是,邻接误差用于协调各个无人机的合速度V_i收敛快慢一致,其包含自身的跟踪误差

${\stackrel{~}{V}}_{i}$

以及编队误差

$\sum _{j\in {N}_{i}}$

a_ij(

${\stackrel{~}{V}}_{i}$

${\stackrel{~}{V}}_{j}$

)。

根据式(19)和式(27),对E_vi求导得

(28)$\dot{E}_{v i}=\chi_{v i} T_{x i}+\Omega_{v i}+\Lambda_{1 i} V_{i}^{-1} \boldsymbol{v}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{d}_{v i}$

式(28)中:Ω_vi=Λ₁_i

${V}_{i}^{-1}{{v}^{\mathrm{T}}}_{i}$

(R^T₁g+F_i₀/m_i)-Λ₁_i

${\stackrel{·}{V}}_{r}$

-λ_i₂

$\sum _{j\in {N}_{i}}$

a_ij

${\stackrel{·}{\stackrel{~}{V}}}_{j}$

-h_vi

${\stackrel{·}{S}}_{vi}$

${\stackrel{·}{V}}_{r}$

为V_r的一阶导数。

将式(28)代入式(22)得

(29)

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\mathrm{\upsilon }}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}={\mathrm{F}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}({\mathrm{\chi }}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{\mathrm{T}}_{\mathrm{x}\mathrm{i}}+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}+{\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{v}\mathrm{i}})+{\mathrm{\Lambda }}_{1\mathrm{i}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}^{-1}{{v}^{\mathrm{T}}}_{i}{d}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}\end{array}$

式(29)中:F_vi=1/[D_viΠ_vi(1-Π_vi)],ζ_vi=(1/D_vi)(L_vi

${\stackrel{·}{U}}_{vi}$

-U_vi

${\stackrel{·}{L}}_{vi}$

-E_vi

${\stackrel{·}{D}}_{vi}$

)。

针对速度层的外部扰动项d_vi,根据引理1,存在

(30)$\begin{aligned} V_{i}^{-1} \boldsymbol{v}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{d}_{v i} & =V_{i}^{-1} \boldsymbol{v}_{i}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{W}_{v i 1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{S}_{v i 1}+\varepsilon_{v i 1} \\ \boldsymbol{W}_{v i 2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{S}_{v i 2}+\varepsilon_{v i 2} \\ \boldsymbol{W}_{v i 3}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{S}_{v i 3}+\varepsilon_{v i 3} \end{array}\right] \\ & =V_{i}^{-1}\left(\sum_{a=1}^{3} v_{v i a} \boldsymbol{W}_{v i a}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{S}_{v i a}+\sum_{a=1}^{3} v_{v i a} \varepsilon_{v i a}\right) \end{aligned}$

式(30)中:v_via为向量v_i的元素,a=1,2,3。

定义Φ_vi=max{W^T_vi1W_vi₁,W^T_vi2W_vi₂,W^T_vi3W_vi₃},式(30)满足

$\left|{\epsilon }_{via}\right|$

≤

${\stackrel{-}{\epsilon }}_{via}$

。根据引理2,式(30)满足关系式

(31)

$\frac{{\upsilon }_{vi}{\Lambda }_{1i}{F}_{vi}{v}_{via}}{{V}_{i}}{{W}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{a}}$

S_via≤$\frac{{\mathrm{\upsilon }}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}^{2}{\mathrm{\Lambda }}_{1\mathrm{i}}^{2}{\mathrm{F}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}^{2}{\mathrm{v}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{a}}^{2}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{{S}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{a}}{S}_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{a}}}{2{\mathrm{l}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}1}^{2}{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}^{2}}$+$\frac{{l}_{vi1}^{2}}{2}$

(32)

$\frac{{\upsilon }_{vi}{\Lambda }_{1i}{F}_{vi}{v}_{via}}{{V}_{i}}$

ε_via≤$\frac{{\upsilon }_{vi}^{2}{\Lambda }_{1i}^{2}{F}_{vi}^{2}{v}_{via}^{2}}{2{l}_{vi2}^{2}{V}_{i}^{2}}$+$\frac{{l}_{vi2}^{2}{\stackrel{-}{\epsilon }}_{via}^{2}}{2}$

根据式(31)和式(32)可得

(33)

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{\upsilon }}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{\mathrm{\Lambda }}_{1\mathrm{i}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}^{-1}{{v}^{\mathrm{T}}}_{i}{d}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}\le \stackrel{3}{\sum _{\mathrm{a}=1}}\left(\frac{{\mathrm{l}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}1}^{2}}{2}+\frac{{\mathrm{l}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}2}^{2}{\stackrel{-}{\mathrm{\epsilon }}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{a}}^{2}}{2}\right)+\\ 　　{\mathrm{\Lambda }}_{1\mathrm{i}}^{2}{\mathrm{F}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}^{2}{\mathrm{\upsilon }}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}\left(\frac{{\mathrm{\upsilon }}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{{v}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{\mathrm{{\rm Y}}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}}{2{\mathrm{l}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}1}^{2}{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}^{2}}+\frac{{\mathrm{\upsilon }}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{{v}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{v}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}}{2{\mathrm{l}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}2}^{2}{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}^{2}}\right)\\ {{\rm Y}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}={\mathrm{\upsilon }}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}[{v}_{\mathrm{v}\mathrm{i}1}{{S}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}1}{S}_{\mathrm{v}\mathrm{i}1},{v}_{\mathrm{v}\mathrm{i}2}{{S}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}2}{S}_{\mathrm{v}\mathrm{i}2},{v}_{\mathrm{v}\mathrm{i}3}{{S}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}3}{S}_{\mathrm{v}\mathrm{i}3}{]}^{\mathrm{T}}\end{array}\right.$

定义事件触发推力控制器T_xi(t)=

${\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}$

(

${t}_{r}^{vi}$

),∀t∈[

${t}_{r}^{vi}$

${t}_{r+1}^{vi}$

),设计动态事件触发机制为

(34)${t}_{r+1}^{vi}$=inf{t>${t}_{r}^{vi}$|σ_vi$\left|{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left({t}_{r}^{vi}\right)\right|$≥α_{V_i}&${\Xi }_{{V}_{i}}$≤${\underset{\_}{\Xi }}_{{V}_{i}}$}

式(34)中:σ_vi为待选取的正参数。

动态辅助变量α_vi和Ξ_vi的自适应更新律设计为

(35)${\stackrel{·}{\alpha }}_{Vi}$=-ι_vi₁α_Vi-ι_vi₂

$\left|{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left({t}_{r}^{vi}\right)\right|$

(36)${\stackrel{·}{\Xi }}_{Vi}$=-ι_vi₃($\left|{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left({t}_{r}^{vi}\right)\right|$+${\Xi }_{Vi}^{2}$)

式中:初始条件满足 α_Vi(0)>0,Ξ_Vi(0)=

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

;ι_vi₁、ι_vi₂、ι_vi₃和

${\overline{\Xi }}_{vi}$

为正设计参数,根据式(34)可知t∈[

${t}_{r}^{vi}$

${t}_{r+1}^{vi}$

),推力控制信号输出满足

$\left|{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left({t}_{r}^{vi}\right)\right|$

≤α_Vi/σ_vi,进一步由式(35)知

${\stackrel{·}{\alpha }}_{Vi}$

≥-(ι_vi₁+ι_vi₂/σ_vi)α_Vi。考虑到α_Vi(0)>0并选取参数满足σ_vi>0>-ι_vi₂/(1+ι_vi₁)推得α_Vi(t)>0。此外,式(36)中参数Ξ_vi在每个触发时刻都更新为Ξ_Vi(

${t}_{r}^{vi}$

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

,Ξ_Vi(

${t}_{r}^{vi}$

)≤

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

${\underset{\_}{\Xi }}_{Vi}$

>0。

注意1 本文所提出的事件触发机制比现有的基于时间调节的方法^[28]更具实用性。根据式(36),当时钟变量Ξ_vi保持固定时,较大的触发误差

$\left|{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left({t}_{r}^{vi}\right)\right|$

会导致

${\stackrel{·}{\Xi }}_{vi}$

的变化率较高,从而加速Ξ_vi从

${\overline{\Xi }}_{vi}$

减小到

${\underset{\_}{\Xi }}_{vi}$

,这有助于满足事件触发条件(34)。通常,在系统启动阶段,触发误差

$\left|{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left({t}_{r}^{vi}\right)\right|$

相对较大,而随着系统接近稳定,

$\left|{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left({t}_{r}^{vi}\right)\right|$

逐渐减小。上述变化过程表明,推力事件触发控制器在初期启动阶段频繁地触发,随着系统逐渐稳定触发频率减少,在系统暂态过程(如启动或受扰阶段),高频触发确保快速响应与稳定性;而在稳态阶段,低频触发则减少冗余计算和避免执行器频繁触发,减少了资源浪费,这种“按需触发”的模式更加符合实际工程需求。

设计速度层事件触发推力控制律为

(37)

$\begin{array}{c}{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}=-{\chi }_{vi}^{-1}({\Omega }_{vi}+{\zeta }_{vi}+{\mathcal{l}}_{vi})-({\alpha }_{Vi}/{\sigma }_{vi}{)}^{2}{\chi }_{vi}{\upsilon }_{vi}{F}_{vi}\end{array}$

式(37)中:ℓ_vi=

${\Lambda }_{1i}^{2}$

F_vi

$\frac{{\upsilon }_{vi}{\stackrel{\wedge }{\Phi }}_{vi}{{v}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{{\rm Y}}_{vi}}{2{l}_{vi1}^{2}{V}_{i}^{2}}$

${\Lambda }_{1i}^{2}$

F_vi

$\frac{{\upsilon }_{vi}{{v}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{v}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}}{2{l}_{vi2}^{2}{V}_{i}^{2}}$

+k_vi

${F}_{vi}^{-1}$

υ_vi,Ω_vi=Λ₁_i

${V}_{i}^{-1}{{v}^{\mathrm{T}}}_{i}$

[R^T₁(ϕ_i)g+F_i₀/m_i]-Λ₁_i

${\stackrel{·}{V}}_{r}$

-λ_i₂

$\sum _{j\in {N}_{i}}$

a_ij

${\stackrel{·}{\stackrel{~}{V}}}_{j}$

-h_vi

${\stackrel{·}{S}}_{vi}$

。

定义扰动参数满足

${\stackrel{~}{\Phi }}_{vi}$

${\stackrel{\wedge }{\Phi }}_{vi}$

-Φ_vi,

${\stackrel{~}{\Phi }}_{vi}$

为估计误差,

${\stackrel{\wedge }{\Phi }}_{vi}$

为估计值,设计参数

${\stackrel{\wedge }{\Phi }}_{vi}$

的自适应更新律为

(38)${\stackrel{·}{\stackrel{\wedge }{\Phi }}}_{vi}$=$\frac{{\Lambda }_{1i}^{2}{F}_{vi}^{2}{\upsilon }_{vi}^{2}{{v}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}{{\rm Y}}_{\mathrm{v}\mathrm{i}}}{2{l}_{vi1}^{2}{V}_{i}^{2}}$-ο_vi

${\stackrel{\wedge }{\Phi }}_{vi}$

式(38)中:ο_vi为待设计的正常数。

由事件触发机制特性可知对于∀t>0,存在

(39)$\left|{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}\left({t}_{r}^{vi}\right)\right|$≤α_Vi/σ_vi

定义b₁=[

${\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}$

(t)-T_xi(t)]/(α_Vi/σ_vi),由式(39)知

$\left|{b}_{1}\right|$

≤1,因此存在

(40)T_xi=${\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}$-b₁(α_Vi/σ_vi)

定理1 考虑由N架六自由度固定翼无人机组成的多无人机系统,针对无人机速度系统式(1)和式(2),采用事件触发推力控制器式(37)和自适应更新律式(38),根据引理4,可得如下结论。

(1) 速度闭环系统中的所有信号均预设时间有界且速度的同步跟踪误差在预设时间内收敛到原点周围的一个残差集。

(2) 速度层闭环系统中信号E_vi、e_vi、V_i在整个跟踪过程中始终受到性能函数的状态约束。

(3) 速度层推力事件触发控制器不存在Zeno现象。

证明考虑第i架六自由度固定翼无人机的误差变换后的速度误差为υ_vi并构造Lyapunov函数为L₁=(1/2)

${\upsilon }_{vi}^{2}$

+(1/2)

${\stackrel{~}{\Phi }}_{vi}^{2}$

,对L₁求导得

(41)${\stackrel{·}{L}}_{1}$=υ_viF_viχ_vi${\stackrel{\wedge }{T}}_{xi}$+υ_viF_vi(Ω_vi+ζ_vi)+υ_viΛ₁_iF_vi

${V}_{i}^{-1}{{v}^{\mathrm{T}}}_{i}$

d_vi+${\stackrel{~}{\Phi }}_{vi}{\stackrel{·}{\stackrel{\wedge }{\Phi }}}_{vi}$-b₁(α_Vi/σ_vi)χ_viυ_viF_vi

考虑到b₁≤1并基于引理2对式(41)中项-b₁(α_Vi/σ_vi)χ_viυ_viF_vi处理可得

(42)-b₁$\frac{{\alpha }_{Vi}{\chi }_{vi}{\upsilon }_{vi}{F}_{vi}}{{\sigma }_{vi}}$≤$\frac{{\alpha }_{Vi}^{2}{\chi }_{vi}^{2}{\upsilon }_{vi}^{2}{F}_{vi}^{2}}{{\sigma }_{vi}^{2}}$+$\frac{1}{4}$

将式(33)和式(42)代入式(41)得

(43)$\begin{aligned} \dot{L}_{1} \leqslant & \tilde{\Phi}_{v i}\left[\dot{\hat{\Phi}}_{v i}-\left(\Lambda_{1 i}^{2} F_{v i}^{2} v_{v i}^{2} v_{v i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}_{v i}\right) /\left(2 l_{v i 1}^{2} V_{i}^{2}\right)\right]+ \\ & \left(\Lambda_{1 i}^{2} F_{v i}^{2} \boldsymbol{v}_{v i} \boldsymbol{v}_{v i} \hat{\Phi}_{v i} \boldsymbol{v}_{v i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}_{v i}\right) /\left(2 l_{v i}^{2} V_{i}^{2}\right)+ \\ & \boldsymbol{v}_{v i} F_{v i} \boldsymbol{\chi}_{v i} \hat{T}_{x i}+\boldsymbol{v}_{v i} F_{v i}\left(\Omega_{v i}+\zeta_{v i}\right)+ \\ & \Lambda_{1 i}^{2} F_{v i}^{2} \boldsymbol{v}_{v i}\left(\boldsymbol{v}_{v i} \boldsymbol{v}_{v i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{v}_{v i}\right) /\left(2 l_{v i 2}^{2} V_{i}^{2}\right)+ \\ & \sum_{a=1}^{3}\left[l_{v i 1}^{2} / 2+\left(l_{v i 2}^{2} \bar{\varepsilon}_{v i a}^{2}\right) / 2\right]+ \\ & \left(\alpha_{v i} / \sigma_{v i}\right)^{2} \chi_{v i}^{2} \boldsymbol{v}_{v i}^{2} F_{v i}^{2}+1 / 4 \end{aligned}$

将推力控制律式(37)和自适应更新律式(38)代入式(43)得

(44)${\stackrel{·}{L}}_{1}$≤$\stackrel{3}{\sum _{a=1}}$[(${l}_{vi1}^{2}$/2)+(${l}_{vi2}^{2}{\stackrel{-}{\epsilon }}_{via}^{2}$/2)]-k_vi${\upsilon }_{vi}^{2}$-ο_vi${\stackrel{~}{\Phi }}_{vi}{\stackrel{\wedge }{\Phi }}_{vi}$+1/4

根据引理2,项-ο_vi

${\stackrel{~}{\Phi }}_{vi}{\stackrel{\wedge }{\Phi }}_{vi}$

满足-ο_vi

${\stackrel{~}{\Phi }}_{vi}{\stackrel{\wedge }{\Phi }}_{vi}$

≤-(ο_vi/2)ο_vi

${\stackrel{~}{\Phi }}_{vi}^{2}$

+(ο_vi/2)

${\Phi }_{vi}^{2}$

,将其代入式(44)得

(45)${\stackrel{·}{L}}_{1}$≤-c₁L₁+c₂

式(45)中:c₁=min{2k_vi,ο_vi}且c₂=1/4+(ο_vi/2)

${\Phi }_{vi}^{2}$

$\stackrel{3}{\sum _{a=1}}$

[(

${l}_{vi1}^{2}$

/2)+(

${l}_{vi2}^{2}{\stackrel{-}{\epsilon }}_{via}^{2}$

/2)]。根据引理3,Lyapunov函数L₁满足0≤L₁≤c₂/c₁+[L₁(0)+c₂/c₁]e^-c₁t,这表明L₁在[0,+∞)是有界的,进一步推出υ_vi是有界的。由式(21)易知存在两个正常数

${\underset{\_}{\Pi }}_{vi}$

和

${\overline{\Pi }}_{vi}$

使得

${\underset{\_}{\Pi }}_{vi}$

≤Π_vi(t)≤

${\overline{\Pi }}_{vi}$

,∀t>0。结合Π_vi=(E_vi-L_vi)/D_vi和式(22)可推出E_vi,F_vi和ζ_vi也是有界的。由于V_r也是有界的且E_vi=e_vi-h_viS_vi,则e_vi也是有界的,因此速度闭环系统中的所有信号均是预设时间有界的且速度的同步跟踪误差在预设时间内收敛到原点周围的一个残差集。

基于引理3,且ζ_vi也是有界的,则速度闭环系统始终满足L_vi(t)<E_vi(t)<U_vi(t),即L_vi(t)+h_viS_vi(t)<e_vi(t)<U_vi(t)+h_viS_vi(t)。进一步考虑到式(21)和式(26),则速度层闭环系统中信号E_vi、e_vi、V_i在整个跟踪过程中始终受到性能函数的状态约束。

此外,由式(36)知参数Ξ_Vi在每个触发时刻都更新为

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

且有

${\stackrel{·}{\Xi }}_{Vi}$

<0在∀t∈[

${t}_{r}^{vi}$

${t}_{r+1}^{vi}$

)恒成立。考虑到速度闭环控制系统中所有信号均有界,因此存在正常数c_vi,使得

$\left|{\stackrel{·}{\Xi }}_{Vi}\right|$

≤c_vi。根据式(34)可知只有Ξ_vi下降到

${\underset{\_}{\Xi }}_{vi}$

时事件触发条件才满足。综合上述分析,存在

${t}_{vi}^{\mathrm{*}}$

≥(

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

${\underset{\_}{\Xi }}_{Vi}$

)/c_vi,即证明{

${t}_{k+1}^{vi}$

${t}_{k}^{vi}$

}≥

${t}_{vi}^{\mathrm{*}}$

>0,则无人机速度层推力事件触发控制器不存在Zeno现象。

注意2 式(34)中提出的动态事件触发机制由两部分组成,对于避免Zeno现象发生有着至关重要的作用。其中,第一部分依据推力输出变化并通过引入动态辅助变量α_Vi自适应地改变触发阈值以确保同步跟踪误差收敛到原点周围的一个残差集(定理1);第二部分通过引入一个时钟变量Ξ_Vi以确保事件触发间隔存在下确界。

注意3 时钟变量Ξ_Vi初始值被设置为

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

,第r次事件触发时刻时钟变量Ξ_Vi被重置为

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

。由式(36)以及动态事件触发机制式(34)可知时钟变量Ξ_Vi在第r次事件触发时刻后从

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

开始递减,当Ξ_Vi达到下界值

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

时,触发机制第二部分的触发条件被满足。若此时动态事件触发机制式(34)中的第一部分被满足,则时钟变量被重置为

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

且第(r+1)次事件将在时刻

${t}_{r+1}^{vi}$

被触发,否则事件将不会触发。另外,式(36)表明Ξ_Vi越大

$\left|{\stackrel{·}{\Xi }}_{Vi}\right|$

越大,从而使得Ξ_Vi到下界值

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

的时间变短,这表明Ξ_Vi变大不会使得触发间隔的下确界持续增加;相反,Ξ_Vi越小

$\left|{\stackrel{·}{\Xi }}_{Vi}\right|$

越小,从而使得Ξ_Vi到下界值

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

的时间变长,这表明Ξ_Vi变小不会使得触发间隔的下确界持续减小。因此,所提出的动态事件触发机制允许Ξ_Vi从

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

以合适的速率减小到

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

,并确保了两次事件触发的间隔存在下确界,排除了Zeno现象的发生。

4.2 姿态层事件触发控制器设计与稳定性证明

同样地,基于图论并根据无人机之间的通信拓扑关系,给出姿态的邻接误差为

(46)$\begin{aligned} \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\varphi}} & =\lambda_{i 3} \tilde{\boldsymbol{\varphi}}_{i}+\lambda_{i 4} \sum_{j \in N_{i}} a_{i j}\left(\tilde{\boldsymbol{\varphi}}_{i}-\tilde{\boldsymbol{\varphi}}_{j}\right) \\ & =\left(\lambda_{i 3}+\lambda_{i 4} \sum_{j \in N_{i}} a_{i j}\right) \tilde{\boldsymbol{\varphi}}_{i}-\lambda_{i 4} \sum_{j \in N_{i}} a_{i j} \tilde{\boldsymbol{\varphi}}_{j} \end{aligned}$

根据式(6),对式(46)求导得

(47)${\stackrel{·}{e}}_{\varphi i}$=Λ₂_i(${R}_{2}^{-1}$ω_i-${\stackrel{·}{\varphi }}_{r}$)-λ_i₄

$\sum _{j\in {N}_{i}}$

a_ij

${\stackrel{·}{\stackrel{~}{\varphi }}}_{j}$

式(47)中:Λ₂_i=λ_i₃+λ_i₄

$\sum _{j\in {N}_{i}}$

a_ij,λ_i₃,λ_i₄为正常数;

${\stackrel{~}{\varphi }}_{i}$

=ϕ_i-ϕ_r,

${\stackrel{~}{\varphi }}_{j}$

=ϕ_j-ϕ_r,ϕ_r为期望姿态。

对式(7)变形得

(48)${\stackrel{·}{\omega }}_{i}$=-${J}_{i}^{-1}$ω_i×J_iω_i+${J}_{i}^{-1}$N_i+${J}_{i}^{-1}$Cδ_i+d_ωi

根据式(19)和式(47)对E_ϕi求导得

(49)${\stackrel{·}{E}}_{\varphi i}$=Λ₂_i

${R}_{2}^{-1}$

ω_i-λ_i₄

$\sum _{j\in {N}_{i}}$

a_ij${\stackrel{·}{\stackrel{~}{\varphi }}}_{j}$-Λ₂_i${\stackrel{·}{\varphi }}_{r}$-h_ϕi

${\stackrel{·}{S}}_{\varphi i}$

将式(49)代入式(24)得

(50)${\stackrel{·}{\mathrm{\upsilon }}}_{\varphi i}$=F_ϕi(Λ₂_i

${R}_{2}^{-1}$

ω_i+η_ϕi+ζ_ϕi)

式(50)中:η_ϕi=-Λ₂_i

${\stackrel{·}{\varphi }}_{r}$

-λ_i₄

$\sum _{j\in {N}_{i}}$

a_ij

${\stackrel{·}{\stackrel{~}{\varphi }}}_{j}$

-h_ϕi

${\stackrel{·}{S}}_{\varphi i}$

,F_ϕi=diag{F_ϕi,F_θi,F_ψi},ζ_ϕi=

$[{\zeta }_{\mathrm{\varphi }\mathrm{i}},{\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{\theta }\mathrm{i}},{\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{\psi }\mathrm{i}}{]}^{\mathrm{T}}$

。对于m∈{φ,θ,ψ},有F_mi=1/[D_miΠ_mi(1-Π_mi)],ζ_mi=(1/D_mi)(L_mi

${\stackrel{·}{U}}_{mi}$

-U_mi

${\stackrel{·}{L}}_{mi}$

-E_mi

${\stackrel{·}{D}}_{mi}$

)。

定义e_ωi=ω_i-ω_d并设计虚拟控制律为

(51)ω_d=${\Lambda }_{2i}^{-1}$R₂(-${F}_{\varphi i}^{-1}$K_ϕ₁υ_ϕi-η_ϕi-ζ_ϕi)

式(51)中:K_ϕ₁为待选取得正定对角矩阵。

针对姿态层的外部扰动项d_ωi,根据引理1,存在

(52)e^T_ωid_ωi=${{e}^{\mathrm{T}}}_{\omega i}\left[\begin{array}{l}{{W}^{\mathrm{T}}}_{\omega i1}{S}_{\omega i1}+{\epsilon }_{\omega i1}\\ {{W}^{\mathrm{T}}}_{\omega i2}{S}_{\omega i2}+{\epsilon }_{\omega i2}\\ {{W}^{\mathrm{T}}}_{\omega i3}{S}_{\omega i3}+{\epsilon }_{\omega i3}\end{array}\right]$=$\stackrel{3}{\sum _{a=1}}$e_ωiaW^T_ωiaS_ωia+$\stackrel{3}{\sum _{a=1}}$e_ωiaε_ωia

式(52)中:e_ωia为向量e_ωi的元素,a=1,2,3。

定义Φ_ωi=max{W^T_ωi1W_ωi₁,W^T_ωi2W_ωi₂,W^T_ωi3W_ωi₃},式(52)满足

$\left|{\epsilon }_{\omega ia}\right|$

≤

${\stackrel{-}{\mathrm{\epsilon }}}_{\omega ia}$

,根据引理2,可得

(53)e_ωiaW^T_ωiaS_ωia≤$\frac{{e}_{\omega ia}^{2}{\Phi }_{\omega ia}{{S}^{\mathrm{T}}}_{\omega ia}{S}_{\omega ia}}{2{l}_{\omega i1}^{2}}$+$\frac{{l}_{\omega i1}^{2}}{2}$

(54)e_ωiaε_ωia≤${e}_{\omega ia}^{2}$/(2${l}_{\omega i2}^{2}$)+(${l}_{\omega i2}^{2}{\stackrel{-}{\mathrm{\epsilon }}}_{\omega ia}^{2}$)/2, a=1,2,3

根据式(53)和式(54)可得

(55)e^T_ωid_ωi≤e^T_ωi[(Φ_ωiΥ_ωi)/(2${l}_{\omega i1}^{2}$)+e_ωi/(2${l}_{\omega i2}^{2}$)]+$\stackrel{3}{\sum _{a=1}}$[${l}_{\omega i1}^{2}$/2+(${l}_{\omega i2}^{2}{\stackrel{-}{\mathrm{\epsilon }}}_{\omega ia}^{2}$)/2]

式(55)中:Υ_ωi=[e_ωi₁S^T_ωi1S_ωi₁,e_ωi₂S^T_ωi2S_ωi₂,e_ωi₃S^T_ωi3S_ωi₃]^T。

定义事件触发舵面控制器δ_i(t)=

${\stackrel{\wedge }{\delta }}_{i}$

(

${t}_{r}^{\varphi i}$

),∀t∈[

${t}_{r}^{\varphi i}$

${t}_{\mathrm{r}+1}^{\varphi i}$

),其中

${\stackrel{\wedge }{\delta }}_{i}$

(t)=[

${\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{\varphi }\mathrm{i}}$

(t),

${\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{\theta }\mathrm{i}}$

(t),

${\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{\psi }\mathrm{i}}{\left(t\right)]}^{\mathrm{T}}$

,对于m∈{φ,θ,ψ},设计动态事件触发机制,即

(56)${t}_{r+1}^{mi}$=inf$\left\{\begin{array}{l}t>{\mathrm{t}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}}|{\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left|{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{i}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{i}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}}\right)\right|\ge {\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\\ {\mathrm{\Xi }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\le {\underset{\_}{\mathrm{\Xi }}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\end{array}\right.$

式(56)中:σ_mi为待选取的正参数。

对于m={φ,θ,ψ},动态辅助变量α_mi和Ξ_mi的自适应更新律设计为

(57)${\stackrel{·}{\alpha }}_{mi}$=-ι_mi₁α_mi-ι_mi₂

$\left|{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}}\right)\right|$

(58)${\stackrel{·}{\Xi }}_{mi}$=-ι_mi₃($\left|{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}}\right)\right|$+${\Xi }_{mi}^{2}$)

式中:初始条件满足Ξ_mi(0)=

${\overline{\Xi }}_{mi}$

,α_mi(0)>0;ι_mi₁、ι_mi₂、ι_mi₃和

${\overline{\Xi }}_{mi}$

是待选取的正设计参数。根据式(56)可知在t∈[

${t}_{r}^{mi}$

${t}_{r+1}^{mi}$

),舵面控制信号输出满足

$\left|{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}}\right)\right|$

≤α_mi/σ_mi,进一步由式(57)知

${\stackrel{·}{\alpha }}_{mi}$

≥-(ι_mi₁+ι_mi₂/σ_mi)α_mi。考虑到α_mi(0)>0并选取参数满足σ_mi>0>-ι_mi₂/(1+ι_mi₁)推得α_mi(t)>0。此外,式(58)中参数Ξ_mi在每个触发时刻都更新为Ξ_mi(

${t}_{r}^{mi}$

${\overline{\Xi }}_{mi}$

,Ξ_mi(

${t}_{r}^{mi}$

)≤

${\overline{\Xi }}_{mi}$

${\underset{\_}{\Xi }}_{mi}$

>0。

设计事件触发舵面控制律为

(59)${\stackrel{\wedge }{\delta }}_{i}$=-$({\alpha }_{\varphi i}/{\sigma }_{\varphi i}{)}^{2}({{e}^{\mathrm{T}}}_{\omega i}{J}_{i}^{-1}{CI)}^{2}({{e}^{\mathrm{T}}}_{\omega i}{J}_{i}^{-1}{C)}^{+}$+C^-1J_i(-Ω_ϕi+ℓ_ϕi)

式(59)中:ℓ_ϕi=-K_ϕ₂e_ωi-

$({{e}^{\mathrm{T}}}_{\omega i}{)}^{+}{{\upsilon }^{\mathrm{T}}}_{\varphi i}$

F_ϕi

${R}_{2}^{-1}$

e_ωi+

${\stackrel{·}{\omega }}_{d}$

${\stackrel{\wedge }{\Phi }}_{\omega i}$

Υ_ωi)/(2

${l}_{\omega i1}^{2}$

)-e_ωi/(2

${l}_{\omega i2}^{2}$

),Ω_ϕi=-

${J}_{i}^{-1}$

ω_i×J_iω_i;K_ϕ₂为待选取得正定对角矩阵。

定义扰动参数满足

${\stackrel{~}{\mathrm{\Phi }}}_{\omega i}$

${\stackrel{\wedge }{\mathrm{\Phi }}}_{\omega i}$

-Φ_ωi,

${\stackrel{~}{\mathrm{\Phi }}}_{\omega i}$

为估计误差,

${\stackrel{\wedge }{\mathrm{\Phi }}}_{\omega i}$

为估计值,设计参数

${\stackrel{\wedge }{\mathrm{\Phi }}}_{\omega i}$

的自适应更新律为

(60)${\stackrel{·}{\stackrel{\wedge }{\mathrm{\Phi }}}}_{\omega i}$=(e^T_ωiΥ_ωi)/(2${l}_{\omega i1}^{2}$)-ο_ωi

${\stackrel{\wedge }{\mathrm{\Phi }}}_{\omega i}$

式(60)中:ο_ωi为待设计的正常数。

由事件触发机制特性可知对于m∈{φ,θ,ψ},∀t>0,存在

(61)$\left|{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}}\right)\right|$≤(α_mi/σ_mi)

定义b₂_mi=

$\left|{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}}\right)\right|$

/(α_mi/σ_mi),由式(56)知

$\left|{b}_{2mi}\right|$

≤1,因此存在

(62)b₂_mi(α_mi/σ_mi)=$\left|{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left(t\right)-{\stackrel{\wedge }{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}}\right)\right|$

进一步由式(62)得

(63)δ_i(t)=${\stackrel{\wedge }{\delta }}_{i}$(t)-D_φi

式(63)中:D_ϕi=[b₂_φi(α_φi/σ_φi),b₂_θi(α_θi/σ_θi),b₂_ψi

$({\alpha }_{\psi i}/{\sigma }_{\psi i}{\left)\right]}^{\mathrm{T}}$

。

定理2 考虑由N架六自由度固定翼无人机组成的多无人机系统,针对无人机姿态系统式(6)和式(7),采用事件触发舵面控制律式(59)和自适应更新律式(60),根据引理2,可得:

(1) 姿态闭环系统中的所有信号均预设时间有界且姿态的同步跟踪误差在预设时间内收敛到原点周围的一个残差集。

(2) 姿态层闭环系统中信号E_ϕi、e_ϕi、ϕ_i在整个跟踪过程中始终受到性能函数的状态约束。

(3) 姿态层舵面事件触发控制器不存在Zeno现象。

证明定义第i架六自由度固定翼无人机误差变换后的姿态角误差为υ_ϕi并构造Lyapunov函数为L₂=(1/2)

${{\upsilon }^{\mathrm{T}}}_{\varphi i}$

υ_ϕi+(1/2)e^T_ωie_ωi+(1/2)

${\stackrel{~}{\Phi }}_{\omega i}^{2}$

,对L₂求导得

(64)$\begin{aligned} \dot{L}_{2} \leqslant & \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\varphi} i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{F}_{\boldsymbol{\varphi} i}\left(\Lambda_{2 i} \boldsymbol{R}_{2}^{-1} \boldsymbol{\omega}_{d}+\boldsymbol{\eta}_{\boldsymbol{\varphi}}+\boldsymbol{\zeta}_{\boldsymbol{\varphi}}\right)+\tilde{\boldsymbol{\Phi}}_{\boldsymbol{\omega i}} \dot{\hat{\boldsymbol{\Phi}}}_{\boldsymbol{\omega i}}+ \\ & \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\omega i}}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{J}_{i}^{-1} \boldsymbol{C} \hat{\delta}_{i}+\boldsymbol{\Omega}_{\boldsymbol{\varphi i}}-\dot{\boldsymbol{\omega}}_{d}\right)+\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\omega i}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{d}_{\boldsymbol{\omega i}}+ \\ & \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\varphi i}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{F}_{\boldsymbol{\varphi i}} \boldsymbol{R}_{2}^{-1} \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\omega i}}-\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\omega i}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{J}_{i}^{-1} \boldsymbol{C D}_{\boldsymbol{\varphi i}} \end{aligned}$

考虑到b₂_mi≤1并基于引理2对项-

${{e}^{\mathrm{T}}}_{\omega i}{J}_{i}^{-1}$

CD_ϕi处理可得

(65)-${{e}^{\mathrm{T}}}_{\omega i}{J}_{i}^{-1}$CD_ϕi≤(α_ϕi/σ_ϕi)$({{e}^{\mathrm{T}}}_{\omega i}{J}_{i}^{-1}{CI)}^{2}$+1/4

式(65)中:I=[1,1,1]^T。

将式(55)和式(65)代入式(64)得

(66)$\begin{aligned} \dot{L}_{2} \leqslant & \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\omega} i}^{\mathrm{T}}\left(Y_{\boldsymbol{\omega} i} \hat{\Phi}_{\boldsymbol{\omega} i}\right) /\left(2 l_{\boldsymbol{\omega} i 1}^{2}\right)+\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\omega} i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\omega} i} /\left(2 l_{\boldsymbol{\omega} i 2}^{2}\right)+ \\ & \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\varphi} i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{F}_{\boldsymbol{\varphi} i}\left(\Lambda_{2 i} \boldsymbol{R}_{2}^{-1} \boldsymbol{\omega}_{d}+\boldsymbol{\eta}_{\boldsymbol{\varphi} i}+\boldsymbol{\zeta}_{\boldsymbol{\varphi} i}\right)+ \\ & \tilde{\Phi}_{\boldsymbol{\omega} i}\left[\dot{\hat{\Phi}}_{\boldsymbol{\omega} i}-\left(\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\omega} i}^{\mathrm{T}} Y_{\boldsymbol{\omega} i}\right) /\left(2 l_{\boldsymbol{\omega} i 1}^{2}\right)\right]+ \\ & \sum_{a=1}^{3}\left[l_{\boldsymbol{\omega} i 1}^{2} / 2+\left(l_{\boldsymbol{\omega} i 2}^{2} \bar{\varepsilon}_{\boldsymbol{\omega} i a}^{2}\right) / 2\right]+ \\ & \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\omega} i}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{J}_{i}^{-1} \boldsymbol{C} \hat{\boldsymbol{\delta}}_{i}+\boldsymbol{\Omega}_{\boldsymbol{\varphi} i}-\dot{\boldsymbol{\omega}}_{d}\right)+ \\ & \left(\alpha_{\boldsymbol{\varphi} i} / \sigma_{\boldsymbol{\varphi}}\right)\left(\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\omega} i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{J}_{i}^{-1} \boldsymbol{C I}\right)^{2}+ \\ & \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\varphi} i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{F}_{\boldsymbol{\varphi} i} \boldsymbol{R}_{2}^{-1} \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\omega} i}+1 / 4 \end{aligned}$

将虚拟控制律式(51),事件触发舵面控制律式(59)和自适应更新律式(60)代入式(66)得

(67)$\begin{array}{c} \dot{L}_{2} \leqslant-\boldsymbol{v}_{\varphi i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K}_{\varphi 1} \boldsymbol{v}_{\varphi i}-\boldsymbol{e}_{\omega i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K}_{\varphi 2} \boldsymbol{e}_{\omega i}-o_{\omega i} \tilde{\Phi}_{\omega i} \hat{\boldsymbol{\Phi}}_{\omega i}+ \\ 1 / 4+\sum_{a=1}^{3}\left[l_{\omega i 1}^{2} / 2+\left(l_{\omega i 2}^{2} \bar{\varepsilon}_{\omega i a}^{2}\right) / 2\right] \end{array}$

根据引理2,项-ο_ωi

${\stackrel{~}{\Phi }}_{\omega i}{\stackrel{\wedge }{\Phi }}_{\omega i}$

满足-ο_ωi

${\stackrel{~}{\Phi }}_{\omega i}{\stackrel{\wedge }{\Phi }}_{\omega i}$

≤-(ο_ωi/2)ο_ωi

${\stackrel{~}{\Phi }}_{\omega i}^{2}$

+(ο_ωi/2)

${\Phi }_{\omega i}^{2}$

,将其代入式(67)得

(68)${\stackrel{·}{L}}_{2}$≤-c₃L₂+c₄

式(68)中:c₃=min{λ_min(2K_ϕ₁),λ_min(2K_ϕ₂),ο_ωi},c₄=(ο_ωi/2)

${\Phi }_{\omega i}^{2}$

$\stackrel{3}{\sum _{a=1}}$

[(

${l}_{\omega i1}^{2}$

/2)+(

${l}_{\omega i2}^{2}{\stackrel{-}{\epsilon }}_{\omega ia}^{2}$

/2)]+1/4。根据引理2,Lyapunov函数L₂满足0≤L₂≤[L₂(0)+c₄/c₃]e^-c₃t+c₄/c₃,这表明L₂在[0,+∞)是有界的,进一步推出‖υ_ϕi‖和‖e_ωi‖是有界的。由式(23)易知存在两个正常数

${\overline{\Pi }}_{\varphi i}$

和

${\overline{\Pi }}_{\varphi i}$

使得

${\overline{\Pi }}_{\varphi i}$

≤‖Π_ϕi‖≤

${\overline{\Pi }}_{\varphi i}$

,Π_ϕi=diag{Π_φi,Π_θi,Π_ψi},∀t>0。结合Π_mi=[E_mi(t)-L_mi(t)]/D_mi(t)和式(24)可推出E_mi,F_mi和ζ_mi也是有界的。由于ϕ_r也是有界的且E_mi(t)=

${\stackrel{~}{m}}_{i}$

(t)-h_miS_mi(t),则‖ϕ_i‖也是有界的,因此姿态闭环系统中的所有信号均是预设时间有界的且姿态的同步跟踪误差在预设时间内收敛到原点周围的一个残差集。

基于引理3,且ζ_mi也是有界的,则姿态闭环系统始终满足L_mi(t)<E_mi(t)<U_mi(t),即L_mi(t)+h_miS_mi(t)<e_mi(t)<U_mi(t)+h_miS_mi(t)。进一步考虑到式(23)和式(46),则姿态层闭环系统中信号E_ϕi、e_ϕi、ϕ_i在整个跟踪过程中始终受到性能函数的状态约束。

此外,由式(58)知参数Ξ_ϕi在每个触发时刻都更新为

${\overline{\Xi }}_{\varphi i}$

且有

${\stackrel{·}{\Xi }}_{\varphi i}$

<0在∀t∈[

${t}_{r}^{\varphi i}$

${t}_{r+1}^{\varphi i}$

)恒成立。考虑到姿态闭环控制系统中所有信号均有界,因此存在正常数c_ϕi,使得

$\left|{\stackrel{·}{\Xi }}_{\varphi i}\right|$

≤c_ϕi。根据式(56)可知只有Ξ_ϕi下降到

${\underset{\_}{\Xi }}_{\varphi i}$

时事件触发条件才满足。综合上述分析,存在

${t}_{\varphi i}^{\mathrm{*}}$

≥(

${\overline{\Xi }}_{\varphi i}$

${\underset{\_}{\Xi }}_{\varphi i}$

)/c_ϕi,即证明{

${t}_{k+1}^{\varphi i}$

${t}_{k}^{\varphi i}$

}≥

${t}_{\varphi i}^{\mathrm{*}}$

>0,则无人机姿态层舵面事件触发控制器不存在Zeno现象。

5 数值仿真

为验证所提算法的有效性,建立如图2所示的由3架六自由度固定翼无人机组成的飞行编队。基于图论模型,给出对应的拉普拉斯矩阵为

(69)L=$\left[\begin{array}{lll}2& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right]$

无人机编队采用分布式控制策略,无人机1和3以及无人机1和2之间双向通信。设3架固定翼无人机的初始状态如下:V₁=40 m/s,V₂=39 m/s,V₃=38 m/s,初始姿态角为ϕ₁=[0.5°,0°,0.5°]^T,ϕ₂=[1°,0°,0°]^T,ϕ₃=[0°,0.3°,0.4°]^T,初始角速度为ω₁=ω₂=ω₃=[0°/s,0°/s,0°/s]^T,辅助变量初始值为α_vi(0)=0.1,α_mi(0)=0.1,Ξ_mi(0)=

${\overline{\Xi }}_{mi}$

=0.5(i=1,2,3,m∈{φ,θ,ψ}),无人机1在5~8 s遭遇外部扰动d_vi=[0.1sin(t),0,0]^T和d_ωi=[0,0,0.08sin(4t)]^T。仿真场景为3架固定翼无人机执行机动转弯爬升任务,速度层和姿态层预设收敛时间分别设定为7 s和5 s,期望标量速度设定为V_r=45 m/s,期望姿态角设定为

$[{\varphi }_{r},{\theta }_{r},{\psi }_{r}{]}^{\mathrm{T}}$

=[4°,5°,5°]^T。

无人机编队机动转弯爬升任务飞行轨迹如图3所示,整个飞行过程中各无人机均保持稳定飞行,未受到外部扰动的影响,且能在5 s内迅速调整至期望姿态角,满足了编队系统在复杂任务下的时效性要求。

此外,设计参数选取如下:k_v₁=k_v₂=k_v₃=1, σ_v₁=σ_v₂=σ_v₃=1, l_v₁₁=l_v₂₁=l_v₃₁=2, l_v₁₂=l_v₂₂=l_v₃₂=5, l_v₁₃=l_v₂₃=l_v₃₃=5(0 s≤t<20 s),

${\overline{\Xi }}_{vi}$

=0.4, Δ_vi=0.3, T_vis=5 s(i=1,2,3); K_ϕ₁₁=K_ϕ₁₂=K_ϕ₁₃=diag{20,20,50}, K_ϕ₂₁=K_ϕ₂₂=K_ϕ₂₃=diag{20,20,20}, l_φ₁₁=l_φ₂₁=l_φ₃₁=2, l_φ₁₂=l_φ₂₂=l_φ₃₂=5, l_φ₁₃=l_φ₂₃=l_φ₃₃=5, l_θ₁₁=l_θ₂₁=l_θ₃₁=2, l_θ₁₂=l_θ₂₂=l_θ₃₂=5, l_θ₁₃=l_θ₂₃=l_θ₃₃=5, l_ψ₁₁=l_ψ₂₁=l_ψ₃₁=2, l_ψ₁₂=l_ψ₂₂=l_ψ₃₂=5, l_ψ₁₃=l_ψ₂₃=l_ψ₃₃=5, c_ψ₁=c_ψ₂=1(0 s≤t<5 s);K_ϕ₁₁=diag{30,11,10}, K_ϕ₁₂=K_ϕ₁₃=diag{25,9,20}, K_ϕ₂₁=diag{25,10,21}, K_ϕ₂₂=K_ϕ₂₃=diag{20,9,20}, c_φ₁=c_φ₂=c_φ₃=3, c_θ₁=c_θ₂=c_θ₃=0.3, c_ψ₁=c_ψ₂=c_ψ₃=0.7(5 s≤t<20 s), σ_m₁=σ_m₂=σ_m₃=10,

${\underset{\_}{\Xi }}_{mi}$

=0.4, Δ_mi=0.4, T_mis=3s(i=1,2,3, m∈{φ, θ, ψ})。多无人机的姿态角φ_i、θ_i、ψ_i以及速度V_i的响应曲线如图4(a)~图4(d)所示,结合稳定过程中的局部放大图可知各无人机的姿态角能够快速响应并跟踪姿态角指令,并在预设时间内完成多无人机姿态的协同跟踪,响应过程平稳,且响应超调量较小。

多无人机姿态角跟踪误差E_φi、E_θi、E_ψi以及速度跟踪误差e_{v_i}的变化曲线如图5所示,一方面,姿态角和速度跟踪误差在整个跟踪过程中始终保持在单侧预设性能函数的约束范围内,从而确保系统在跟踪过程中不会发生剧烈震荡;另一方面,图5(c)和图5(d)中无人机1在稳态过程中由于外部扰动的影响,误差出现了突增的情况,所设计的性能函数边界能够自适应增大,避免了误差超出约束的风险。无人机2姿态角和速度为转换和转换误差后的响应曲线如图6所示。

以图6(a)为例,未转换误差e_φ₂在t=0 s时不在U_φ₂和L_φ₂的包络内,通过误差转换后,e_φ₂转换为E_φ₂,此时E_φ₂在U_φ₂和L_φ₂的包络内的中心位置,有效解决了预设时间性能函数初始误差可能存在的超出边界的问题。类似的,e_θ₂和e_ψ₂经过误差转换后始也终在性能函数的约束曲线内,并且姿态和速度层的转换函数分别在第3秒和第5秒(T_φs,T_θs,T_ψs=3 s,T_Vs=5 s)停止作用。

辅助变量α_φi、α_θi、α_ψi和α_Vi的响应曲线如图7所示,结果符合辅助变量保持有界的要求,结合图5所示结果可知辅助变量的引入有效实现了对跟踪误差边界的自适应控制。因此,上述结果证明了所提预设性能控制方法的有效性。

在确保系统稳态跟踪性能的基础上,如图8所示的时钟变量描述了各无人机事件触发速度和姿态控制器的触发间隔,时钟变量两次重置到值0.5的间隔就是事件触发的时间间隔{t_k-t_k_-1}。此外,各无人机速度和姿态控制器的触发时刻如图9所示(每一个点对应一个触发时刻)。显然稳态之前点较为密集,稳定之后触发密集程度减少,这表明控制器在稳态之前触发次数多,在稳态过程中触发次数少,符合实际的工程需求。

上述现象的具体机理表现为:在暂态过程中,当时钟变量达到下界阈值

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

和

${\overline{\Xi }}_{mi}$

时立刻触发(时钟变量重置到0.5),这表明控制器输出变化较剧烈,存在较大幅度的动态调整需求;而在稳态阶段,即便时钟变量达到相同阈值

${\overline{\Xi }}_{Vi}$

和

${\underset{\_}{\Xi }}_{mi}$

系统也不会立即触发,这说明此时控制器输出变化较为平缓,系统状态趋于稳定,这表明了控制器的更新频率与系统状态和控制输出大小密切相关。图8的动态触发特性充分证明了所设计控制器的更新频率能够自适应系统状态变化,实现控制精度与控制资源的智能平衡。除此以外,各无人机事件触发控制器的实际输出曲线如图10所示,可以清晰地观察到:由于事件触发机制的作用,控制输出在触发时刻会出现设计预期范围内的小幅波动,而在非触发时段则保持稳定输出状态。值得注意的是,所有控制输出均严格保持在预设的有界范围内,这一特性从理论上保证了控制系统的稳定性和可靠性。

为了定量评估所提方法的优势,不同控制策略下的执行器更新次数如图11所示。与传统时间驱动控制方案(固定100 Hz控制频率,20 s飞行对应2 000次执行器更新)相比,本文的事件触发控制方法大幅减少了控制器的更新次数,降低了执行器的响应频率,显著节约了计算资源并减少了执行机构的机械磨损。这种基于系统状态自适应的触发机制,在保证多无人机系统协同控制性能的同时,有效提升了执行器的工作寿命和系统整体可靠性,为实际工程应用提供了重要的技术保障。为进一步突出本文设计的控制算法的优越性,进行对比仿真实验,采用与上文相同的飞行场景和参数设置,使用除动态事件触发以外不同的事件触发机制:固定周期触发和静态事件触发。不同事件触发机制下的无人机3的触发次数如图12所示,结果表明动态事件触发方法大大减少了控制器的更新次数和执行器的响应频率,减少了对执行器的损耗。不同触发机制下无人机3的姿态和速度响应曲线如图13所示,结果表明设计的动态事件触发机制具有更小的超调量和稳态误差。此外,表1表明动态事件触发机制与固定周期触发机制都有较小的相对积分误差,表明设计的方法具有较好的动态跟踪性能。综上所述,本文设计的动态事件触发方法在保证良好的速度和姿态控制性能的前提下,能够有效地减少控制器的更新频率和执行器的响应频率并保证良好的动态性能,验证了所设计控制算法的优越性。

6 结论

提出的动态事件触发预设时间编队协同控制方法有效解决了六自由度多固定翼无人机编队系统中执行器响应频率受限的控制问题。通过创新性地设计自调节边界性能函数,克服了传统预设性能控制对初始条件的严格限制,实现了系统稳态性能和瞬态性能的协同优化。该方法不仅通过动态事件触发机制显著降低了资源消耗和执行器损耗,还结合自适应更新律有效补偿了外部扰动的影响,确保了编队系统在预设性能约束下的稳定运行。

尽管如此,本文研究仍存在若干需要深入探讨的问题:①考虑复杂任务环境中通信链路中断的问题,研究基于动态触发机制的拓扑切换策略;②考虑遭遇外部干扰时系统的不稳定性,引入强化学习辅助的智能触发决策,使系统能自主适应不同任务场景下的触发频率需求。

参考文献

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基金资助

国家自然科学基金青年科学基金(62403486)

山东省自然科学基金(ZR2025MS03)

中国博士后科学基金面上项目(2024M754258)

国家资助博士后研究人员计划(B档)(GZB20230988)

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Received	Published	Revised
2025-05-29	2026-04-18	2025-11-19
Online Date
2026-06-08

摘要

Abstract

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关键词

Key words

中图分类号

引用本文

1 问题描述和预备知识

1.1 固定翼无人机模型

1.1.1 速度层

1.1.2 姿态层

1.2 图论

1.3 区间二型模糊逻辑系统

1.4 其他相关引理

2 自调节边界性能函数

3 误差转换

3.1 速度层误差转换

3.2 姿态层误差转换

4 事件触发控制器设计

4.1 速度层事件触发控制器设计与稳定性证明

4.2 姿态层事件触发控制器设计与稳定性证明

5 数值仿真

6 结论

参考文献

基金资助