多活跃度驱动模型架构下的时序网络级联失效

田文杰 ,  徐吉辉 ,  马楚涵 ,  邹星琪

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (12) :5181-5188

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科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (12) :5181-5188 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2503997
自动化技术、计算机技术

多活跃度驱动模型架构下的时序网络级联失效

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Cascading Failure in Temporal Networks under Multiple Activity Driven Models

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摘要

在日常生活中,复杂网络中的级联失效对系统可靠性和稳定性造成了重大威胁。针对传统静态复杂网络无法准确刻画节点交互和失效机制问题,开展了基于时序网络的级联失效研究。首先,构建了基于活跃度驱动模型、记忆性活跃度驱动模型和吸引力活跃度驱动模型的时序网络,并分析其连通性特征,以反映节点与边随时间的变化情况;其次,分析了时序网络的级联失效过程,并提出了相应的鲁棒性指标;最后,对随机构建的时序网络和真实邮件时序网络进行级联失效分析。结果表明:时序网络在模拟级联失效过程中的表现优于静态网络,有助于揭示现实网络的运行机制与时间演化之间的关系。

Abstract

In daily life, cascading failures in complex networks pose a significant threat to the reliability and stability of systems. To address the limitations of traditional static complex networks in accurately depicting node interactions and failure mechanisms, cascading failures based on temporal networks were investigated. Firstly, temporal networks were constructed using activity driven models, memory-based activity driven models, and attraction activity driven models, and their connectivity characteristics were analyzed to reflect the changes of nodes and edges over time. Secondly, the cascading failure process in temporal networks was analyzed, and corresponding robustness index was proposed. Finally, cascading failure analyses were conducted on both randomly constructed temporal networks and real email temporal networks. The results indicate that temporal networks outperform static networks in simulating cascading failure processes, contributing to a better understanding of the operational mechanisms of real networks and their temporal evolution.

Graphical abstract

关键词

活跃度驱动模型 / 时序网络 / 级联失效

Key words

activity driven model / temporal network / cascading failure

引用本文

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田文杰, 徐吉辉, 马楚涵, 邹星琪. 多活跃度驱动模型架构下的时序网络级联失效[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(12): 5181-5188 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2503997
TIAN Wen-jie, XU Ji-hui, MA Chu-han, ZOU Xing-qi. Cascading Failure in Temporal Networks under Multiple Activity Driven Models[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(12): 5181-5188 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2503997

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目前,社会网络系统日益多元化,覆盖交通、电力、社交和金融等领域。随着网络体系的日益复杂,网络的稳定性与可靠性已成为维系社会运转的关键。级联失效作为跨尺度传播的系统性风险,在网络体系中展现出了巨大的破坏性[1]。网络规模的指数级扩张、节点的非线性依赖关系激增皆导致了传统的静态网络无法充分捕捉复杂系统在动态环境下的行为。因此,亟需开展时序网络的级联失效研究,以揭示级联失效在时空演化中的规律。
级联失效是指在网络中某个节点或边的失效可能引发一系列后续失效,进而导致整个系统的崩溃或性能显著下降[2-4]。目前,中外对级联失效的研究主要集中在静态复杂网络上,提出了多种模型,如负载容量模型[5]、渗流模型[6]、沙堆模型[7]等。这些研究为理解级联失效提供了基础,并在各领域取得了显著的成果。张玉召等[8]对中欧海铁运输网络进行级联失效的脆弱性分析,提出并验证了节点重要度计算方法的合理性。郭昊明等[9]对军事通信网络进行了建模,并从网络概率重构模型和级联失效的角度出发分析了网络的脆弱性,验证了所提方法的有效性。Frasca等[10]基于复杂网络和非线性动力学对电网进行建模,并引入分布式控制策略抑制了电网中由动态诱发的级联失效。虽然上述研究能够在一定程度上揭示网络的级联失效机制,但通常假设网络结构在时间上是固定的,忽视了节点和边随时间变化的动态特性,无法全面反映现实世界中网络的复杂性和动态性,从而限制了对级联失效过程的深入理解。
针对静态网络在模拟和分析级联失效时未能考虑节点时效性、连接变化及外部影响的问题,研究者们从时序角度出发,通过构建时序网络以更准确地反映现实世界中复杂系统的演化过程。目前,活跃度驱动模型[11-12]、记忆性活跃度驱动模型[13]、吸引力活跃度驱动模型[14]被用来构建时序网络,以模拟现实世界中的节点交互行为。以上模型考虑了节点和边的动态变化,从而使网络的每个连接能够反映其在特定时间段内的状态[15]。通过捕捉网络在不同时间点的结构变化和动态特性,进而为级联失效的分析提供了更为丰富的背景信息。
基于以上考虑,架构时序网络,并通过理论分析与模拟仿真,探讨不同活跃度驱动模型所构建的时序网络连通性特征。在随机构建和真实的时序网络上进行级联失效分析,以揭示时序网络级联失效过程中的运行机制。通过开展时序网络级联失效研究,不仅能为理解复杂系统动态演化过程中的脆性提供新视角,也为设计具有高稳健性的时序基础设施网络、预防大规模灾害性失稳提供理论支撑与决策参考。

1 时序网络基本理论

时序网络[16-18](又称动态网络)是节点或边随时间间断性出现和消失的网络。相对于静态网络,时序网络能有效刻画现实交互的动态过程。多个静态网络构成时序网络,任意静态网络表示某时刻网络中节点的交互情况,时序网络如图1所示。

由图1可知,当t=1时,节点A和B,A和D产生连边;当t=2时,节点A不再与D产生交互,节点C和D产生连边;当t=3时,节点A和C、B和C产生连边,以此类推直至时间结束。因此,时序网络G可表示为

G={Gt(Vt,Et)$\left|t=\mathrm{1,2},\dots,T\right.$}

式(1)中:Gt为该时间序列下节点交互情况;Vt和Et分别为该时间序列下节点和边的集合;t为时间序列。

2 时序网络建模

基于活跃度驱动模型、记忆性活跃度驱动模型和吸引力活跃度驱动模型构建时序网络,并通过理论分析和模拟仿真探究不同活跃度驱动模型下的网络连接性。

2.1 基于活跃度驱动模型的时序网络建模

2.1.1 活跃度驱动模型

活跃度驱动模型由PERRA提出,构建的时序网络反映了网络结构的变化情况。基于活跃度驱动模型构建时序网络原理如下:假设网络中节点数量为N,每一个节点以概率xi被激活,xi的概率密度函数为f(x)。为避免f(x)在x=0处发散,确保0<c<xi<1,其中c为随机数。时序网络生成过程如下。

Step 1 在任意时刻t,网络中有N个孤立节点,且每一个时刻为一个静态网络。

Step 2 在任意网络中,节点i以激活概率xi变为活跃状态,并以概率1-xi变为非活跃状态,处于活跃状态的节点随机与该层网络M个节点相连。

2.1.2 理论分析

以任意时刻t的网络为例,定义指示变量Πi为节点i在当前时刻是否激活,P(Πi=1)表示节点i被激活的概率,E[Πi]表示节点i被激活的期望,则有

P(Πi=1)=xi
$E\left[{\Pi }_{i}\right]={\int }_{c}^{1}xf\left(x\right)\mathrm{d}x={P}_{\mathrm{A}}$

式(3)中:f(x)为x的概率密度函数;PA为节点A被激活的概率。

任意激活节点i,其出边为M,当其他节点与节点i建立连边时,其连边选中i的概率为M/N,因为节点A被激活的概率为PA,所以节点i被动连接的度的期望可表示为

E[${k}_{i}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$]=(N-1)PA$\frac{M}{N}$≈MPA

式(4)中:${k}_{i}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$为节点i被动连接的度。

节点i的总度数可表示为

ki=MΠi+${k}_{i}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$

由于${k}_{i}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$源于大量独立试验,且M/N较小,假设其分布近似为泊松分布,则

E[ki]=MPA+MPA=2MPA

因此,该层网络中的总度数为2MNPA。

假定激活概率服从截断指数分布,f(xi)~E[1],xi∈(0.01,1),M=5,构建的时序网络中任意时刻的总度数理论与模拟结果如图2所示。

由图2可知,基于活跃度驱动模型构建的时序网络中,不同网络规模下网络总度数的理论结果与模拟结果基本保持一致,说明该模型能够准确反映激活机制对网络结构的影响。

2.2 基于记忆性活跃度驱动模型的时序网络建模

2.2.1 记忆性活跃度驱动模型

由于活跃度驱动模型构建的时序网络,网络切片是相互独立的,但在现实情况中,节点具有记忆性,更加倾向于与曾经交互过的节点再次交互。因此,KARSAI在此基础上提出了记忆性活跃度驱动模型。将时序网络生成过程中的Step 2修改如下。

Step 2' 在当前时刻t,节点i在Gt-1中的度为${k}_{i}^{t-1}$,若任意节点i以激活概率xi变为活跃状态,则其与M个节点相连。假设存在随机数a(a>0),则每条边以概率a/(${k}_{i}^{t-1}$+a)随机连接到非邻居节点集中的某个节点,以互补概率${k}_{i}^{t-1}$/(${k}_{i}^{t-1}$+a)随机连接到曾经的邻居节点。

2.2.2 理论分析

假设节点i在t-1时刻的度为${k}_{i}^{t-1}$,激活概率为xi。当节点i被激活时,则有

pnew=$\frac{a}{{k}_{i}^{t-1}+a}$
pold=$\frac{{k}_{i}^{t-1}}{{k}_{i}^{t-1}+a}$

式中:pnew为每条边随机连接到非邻居节点集合中某个节点的概率;pold为每条边随机连接到曾经邻居节点的概率。

节点i主动与M个节点相连,期望可表示为

E[kactive]=MPA$\left({p}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\frac{N-{k}_{i}^{t-1}-1}{N-1}+{p}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}\frac{{k}_{i}^{t-1}}{N-1}\right)$

式(9)中:${k}_{i}^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$为节点i被动连接的度。

在稳态假设下(${k}_{i}^{t-1}$≈E[ki]),则式(9)可简化为

E[${k}_{i}^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$]≈MPA($\frac{a}{E\left[{k}_{i}\right]+a}\frac{N-E\left[{k}_{i}\right]}{N}$+$\frac{E\left[{k}_{i}\right]}{E\left[{k}_{i}\right]+a}\frac{E\left[{k}_{i}\right]}{N}$)

其他节点j连接到i的概率为

pji=xj$\left(\frac{a}{{k}_{j}^{t-1}+a}\frac{1}{N-{k}_{j}^{t-1}}+\frac{{k}_{j}^{t-1}}{{k}_{j}^{t-1}+a}\frac{{\delta }_{ij}}{{k}_{j}^{t-1}}\right)$

式(11)中:δij为邻接指示函数。

通过积分近似,可得

E[${k}_{i}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$]≈(N-1)MPA×[$\frac{a}{\left(E\right[{k}_{i}]+a)(N-E[{k}_{i}\left]\right)}$+$\frac{1}{N\left(E\right[{k}_{i}]+a)}$]

则节点度数可表示为

E[ki]=E[${k}_{i}^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$]+E[${k}_{i}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$]≈(N-1)MPA×[$\frac{a}{\left(E\right[{k}_{i}]+a)(N-E[{k}_{i}\left]\right)}$+$\frac{1}{N\left(E\right[{k}_{i}]+a)}$]

因此,该层网络中的总度数可表示为NE[ki]。在稳态条件下,网络中的总度数可表示为2NMPA。

假定激活概率服从截断指数分布,f(xi)~E[1],xi∈[0.01,1],N=500,M=5,T=100,构建的时序网络中任意时刻总度数的理论与模拟结果对比如图3所示。

由图3可知,基于记忆性活跃度驱动模型构建的时序网络中,任意网络切片中总度数的理论结果与模拟结果基本保持一致,说明该活跃度驱动模型构建时序网络具有一定的结构稳定性。

2.3 基于吸引力活跃度驱动模型的时序网络建模

2.3.1 吸引力活跃度驱动模型

在活跃度驱动模型中,由于交互的对象是随机的,无法刻画出节点交互的倾向性,即无法体现出节点的吸引力。因此,ALESSANDRETTI在活跃度驱动模型的基础上提出了吸引力活跃度驱动模型。通过对节点引入一个吸引力特征,进而改变激活节点与其他节点的交互方式。因此,在赋予节点激活概率xi的基础上,同时赋予吸引力yi,且(xi,yi)从联合分布H(x,y)中独立抽取。将活跃度驱动模型构建时序网络的Step 2修改如下。

Step 2″ 在任意网络切片中,任意节点i以激活概率xi变为活跃状态,且与M个节点相连,任意节点i被优先连接的概率为${y}_{i}/\stackrel{N}{\sum _{i=1}}{y}_{i}。$

2.3.2 理论分析

假设xi和yi与上一层节点度有关,节点i在t-1时刻的出度和入度分别为${k}_{j,\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^{t-1}$,${k}_{i,\mathrm{i}\mathrm{n}}^{t-1}$。当节点i被激活时,则有

xi=$\frac{{k}_{j,\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^{t-1}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{k}_{j,\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^{t-1}}$
yi=$\frac{{k}_{i,\mathrm{i}\mathrm{n}}^{t-1}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{k}_{j,\mathrm{i}\mathrm{n}}^{t-1}}$

选择节点j连接概率可表示为

${p}_{ij}=\frac{{y}_{j}}{\stackrel{N}{\sum _{n=1}}{y}_{n}}\approx \frac{{y}_{j}}{NE\left[y\right]}$

式(16)中:$E\left[y\right]={\int }_{c}^{1}{\int }_{c}^{1}yH(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y。$

节点i的主动连接期望可表示为

$\mathrm{E}\left[{k}_{i,\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}\right]=\mathrm{M}{x}_{i}\sum _{j\ne i}{p}_{ij}=M{x}_{i}\left(1-\frac{{y}_{j}}{NE\left[y\right]}\right)$

在稳态条件下(${k}_{i,\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^{t-1}$≈E[kout]),则有

E[${k}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$]≈M$\frac{E\left[{k}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}E\left[{k}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\right]}\left(1-\frac{E\left[y\right]}{NE\left[y\right]}\right)$≈M$\frac{E\left[{k}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\right]}{E\left[{k}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\right]}$

节点i的被动连接期望可表示为

E[${k}_{i,\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$]=(N-1)E$\left({x}_{j}\frac{{y}_{j}}{NE\left[y\right]}\right)$M=M(N-1)$\frac{E\left[xy\right]}{NE\left[y\right]}$

式(19)中:$E\left[xy\right]={\int }_{c}^{1}{\int }_{c}^{1}xyH(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y。$

网络中节点总度数可以将所有节点的期望度数相加得到,即<K>=NE[ki]。在稳态条件下,网络中的总度数可表示为

<K>≈NM$\left(E\left[x\right]+(N-1)\frac{E\left[y\right]}{NE\left[y\right]}\right)$≈2NMPA

假定激活概率服从截断指数分布,f(xi)~E[1],xi∈[0.01,1],M=5,T=100,构建的时序网络中任意时刻总度数的理论与模拟结果对比如图4所示。

由图4可知,基于吸引力活跃度驱动模型构建的时序网络中,任意网络切片总度数的理论结果与模拟结果基本保持一致,说明该模型能够准确描述网络的动态行为,反映网络的实际特性。

3 时序网络级联失效

3.1 级联失效过程

区别于静态网络级联失效会导致节点和边的去除,时序网络级联失效过程中,节点和边并不会消失。设置时序网络级联失效规则如下:假设在任意时刻网络切片中节点i失效,则会向其连接节点j传递错误信息,由于节点j同时与其他节点相连,未失效节点会向节点j传递正确信息。因此,节点j在同一时刻会接受${N}_{j,\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}}^{t}$条正确信息和${N}_{j,\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}}^{t}$条错误信息。假设节点j在t时刻失效的概率为

${p}_{j,\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}}^{t}$=$\frac{{N}_{j,\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}}^{t}}{{N}_{j,\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}}^{t}+{N}_{j,\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}}^{t}}$

基于上述规则,能够有效模拟时序网络级联失效过程。

3.2 鲁棒性测试

为验证时序网络抗级联失效的鲁棒性,将任意时刻网络切片中的失效节点数量NF作为度量网络鲁棒性的指标。NF越大,说明网络此时鲁棒性越差。

4 仿真结果及分析

为探究不同活跃度驱动模型架构下的时序网络级联失效原理,在随机构建的时序网络中进行模拟仿真,观察不同概率分布及参数对级联失效的影响,并通过对真实邮件网络进行静态和时序级联失效对比分析,以验证时序网络级联失效分析的有效性。

4.1 随机构建时序网络上的级联失效

设置网络规模N=500,T=25,通过对网络进行随机攻击模拟级联失效。为保证结果准确,每次均模拟仿真5 000次取平均值。

4.1.1 不同激活概率分布对网络的影响

在现实环境中,网络中节点被激活并非均匀随机,而是受多种因素的共同影响。因此,通过研究截断均匀分布、截断高斯分布及截断指数分布对时序网络级联失效的影响,可以观察网络鲁棒性的变化。三种分布概率密度函数如表1所示。设置初始失效节点比例p=0.01,M=5,仿真结果如图5所示。

由图5可知,网络失效程度随时间的增大而增大,且三种活跃度驱动模型构建的时序网络中,级联失效约在t=10,即第10个步长时终止。对于同一活跃度驱动模型构建的时序网络,不同的激活概率分布密度函数对级联失效的影响并不显著。相比之下,吸引力活跃度驱动模型构建的时序网络抵抗级联失效的效果明显优于另外两种活跃度驱动模型。

4.1.2 连边M对网络的影响

连边M为激活节点与其他节点的连接数,决定了时序网络的连通性。设置截断指数分布为激活概率分布函数,c=0.01,ξ=1,p=0.01,探究在随机攻击策略下,连边M的数量变化对时序网络鲁棒性的影响。以活跃度驱动模型构建的时序网络为例,其任意时刻网络切片中的总度数随M变化如表2所示,仿真结果如图6所示。

由图6可知,当连边数量增多时,网络连通性显著增长,时序网络级联失效的速度也显著提升,表明了网络结构复杂性增加对级联失效传播速度具有重要影响。当M较小时(M=1,2,3),吸引力活跃度驱动模型构建的时序网络抗级联能力较强,但随着M的增大,该模型构建的时序网络抗级联能力逐渐降低,表明随着M的增加,网络中节点的连接度和活跃度也随之提升,导致网络结构更为复杂和脆弱。

4.1.3 初始失效比例对网络的影响

为探究初始失效比例对时序网络的影响,设置p=0.01,0.1,0.2,0.3,截断指数分布为激活概率分布函数,c=0.01,ξ=1,M=5,仿真结果如图7所示。

由图7可知,当初始失效比例较大时(p=0.1,0.2,0.3),三种活跃度驱动模型构建的时序网络表现出的抗级联效果都较差,在短时间内就导致了网络的整体崩溃。当初始失效比例较小时(p=0.01),吸引力驱动模型构建的时序网络鲁棒性明显优于其他两种模型,表明网络在受到小规模攻击后,吸引力活跃度驱动模型能够保持较好的网络连通性和功能,在网络稳定性方面发挥优势。

4.2 真实邮件时序网络上的级联失效

为验证时序网络级联失效的有效性,对某公司部门100 d内邮件发送情况进行建模,构建具有100层网络切片的邮件时序网络,并在此基础上建立静态网络,以此进行时序网络和静态网络级联失效的比较分析。设置初始失效比例为0.01,网络失效如图8所示。

由图8可知,静态网络初始阶段(0 d<t<20 d)级联失效速度较快,且在后续逐渐趋于平稳。相比而言,时序网络中的级联失效速度相对缓慢,且在整个过程中都表现出较为平稳的增长趋势,其鲁棒性也相对较强。究其原因,时序网络之间节点的连接关系会随时间变化,且失效传递只会影响发生时刻之后的时间,而静态网络的连接关系相对固定,其失效传递会在整个级联失效过程中发生,因此静态网络中的级联失效速度更快、范围更广,更易造成网络的崩溃。

5 结论

针对现实世界网络中节点交互的时效性和复杂性,基于时序网络深入探究了级联失效现象的动态特性和系统鲁棒性。得出如下主要结论。

(1)基于活跃度驱动模型、记忆性活跃度驱动模型和吸引力活跃度驱动模型构建的时序网络能够有效反映现实世界中节点交互的动态特征,为时序网络级联失效分析提供研究基础;

(2)相比于静态网络的级联失效,时序网络上的级联失效更能反映出现实世界中网络的复杂性和动态性,揭示网络的失效机制;

(3)时序网络的研究不仅提升了对级联失效过程的理解,还为改善网络设计和增强系统鲁棒性提供了新的视角和实用建议,具有重要的应用和理论意义。

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基金资助

国家自然科学基金(72461013)

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