大批量航空集装器多机协同集中配载优化

李云飞; 徐吉辉; 田文杰; 赵震; 贾海文; 赵向领

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2503937

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (10) :4443-4453 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2503937

航空、航天

大批量航空集装器多机协同集中配载优化

李云飞 ¹ ,
徐吉辉 ¹^,^* ,
田文杰 ¹ ,
赵震 ¹ ,
贾海文 ¹ ,
赵向领 ²

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Optimization of Multi-aircraft Collaborative Centralized Loading for Large-batch Air ULDs

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摘要

针对大批量航空集装器的装载与运载,为减小飞机使用架次,提高飞机机队利用率,研究货运飞机运输批量集装器的多机协同配载问题。建立了飞机装载集装器的多机配载优化模型,考虑了集装器的装载唯一性、货舱舱位重量、累积区间重量、重心、非对称性装载、横向平衡等限制,以飞机的使用架次最少、业载量最大、重心偏差最小、货舱连续装载为多目标函数。选择民航货机B747为集装器装载运输平台,设计了批量集装器的配载和给定飞机架次的配载两种算例场景,使用Gurobi,针对不同场景的多组不同重量规模的算例求解验证模型。实验表明,在两种算例场景中,Gurobi能够较好地实现模型求解,算例平均重心偏差控制在1.81%MAC~2.65%MAC(%MAC表示飞机的平均空气动力弦),求解时间平均在230 s内。因此模型能够生成可行合理的多机配载计划,为不定期航班临时性大批量集装器的装载运输提供一定参考。

Abstract

A multi-aircraft batch ULD(unit load device) loading optimization model was established, in which constraints such as the unique loading requirements of ULDs, weight limits for aircraft cargo compartments, cumulative interval weight restrictions, and CG (center of gravity) limits were incorporated. The model adopts a multi-objective function, which aims to minimize the number of aircraft sorties used, maximize payload, minimize CG deviation, and ensure continuous loading in the cargo hold. B747 was selected as the ULD loading and transportation platform to test two example scenarios: batch ULD loading and loading with a fixed number of aircraft sorties. Additionally, using Gurobi, the model was validated by solving multiple sets of cases with different weight scales across the various example scenarios. Experiments show that Gurobi effectively solves the proposed model under two case scenarios. For these cases, the average CG deviation is constrained between 1.81%MAC and 2.65%MAC(%MAC represents the mean aerodynamic chord of the aircraft). The average solution time is within 230 s. Thus, the model generates feasible and rational multi-aircraft ULD loading plans. It provides valuable reference for the temporary large-scale ULD loading and transportation in irregular flights.

Graphical abstract

关键词

航空运输 / 多机协同配载 / 重量平衡 / 重心 / 多目标

Key words

air transportation / multi-aircraft cooperative loading / weight and balance / CG(center of gravity) / multi-objective

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李云飞, 徐吉辉, 田文杰, 赵震, 贾海文, 赵向领. 大批量航空集装器多机协同集中配载优化[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(10): 4443-4453 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2503937

LI Yun-fei, XU Ji-hui, TIAN Wen-jie, ZHAO Zhen, JIA Hai-wen, ZHAO Xiang-ling. Optimization of Multi-aircraft Collaborative Centralized Loading for Large-batch Air ULDs[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(10): 4443-4453 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2503937

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随着航空货运业的快速发展,中国2024年全行业完成运输总周转量为1 485.17×10⁸ t·km,与2023年相比增长25.0%。2025年上半年,全行业完成运输周转量为783.5×10⁸ t·km,同比增速为11.4%。预计2026年全行业运输总周转量为1 700×10⁸~1 750×10⁸ t·km,与2025年相比将增加5.6%~8.7%^[1]。

面对庞大的货邮运输量,特别是针对临时性的大批量航空集装器运输,航空公司常通过安排不定期航班、派遣多架飞机来缓解运输压力、提升时效。多架飞机的货物装载运输任务,首要实现的是批量货物配载方案的生成,目的是将大批量集装器合理的分配到多架飞机货舱中,实现使用飞机架次最少,重心偏差最小;或是给定数量飞机,使得飞机的业载量最大,重心偏差最小。这是两种典型的多机协同配载运输场景,多机协同配载也被称为集中配载。

配载计划的生成与优化,既能助力机场快速准确完成装载、提升运行效率、缩短保障时间、降低延误概率,也能为航空公司合理规划运力、提高资源利用率。因此大批量集装器的配载研究具有重要实际应用价值。实际作业中,面对大批量的集装器,传统的人工配载模式耗时长效率低,难以充分利用飞机货舱资源。这可能会增加不必要的飞机使用架次,浪费运力资源,影响航空货运的整体运营效率。较为重要的是,配载方案需在飞机起飞前计算完成,批量集装器需一次性计算完成多架飞机的配载,具有时间紧、任务重的特点,相对耗时,要求配载员需在短时间内集中精力反复计算、核对、检查、修改配载方案,极易造成配载员脑力疲劳,增大配载计算错误的风险。

航空货运配载作为一种NP-难问题^[2],在学术上模型计算方法可分为启发式和数学规划两大类。

早期的配载模型并不完善,考虑的约束也并不全面,货物装载数量相对较少,同时相应的计算机技术发展较为滞后,数学规划方法使用较少,多为启发式方法。

2000年后,配载模型也越来越完善,Dahmani等^[3-4]提出一种多目标粒子群优化方法,将一组货物分配到最小数量的集装器中,然后将其放置到飞机特定的货舱内,在规定的重心偏差内实现总重量和已装载货物的总优先级最大。张洪^[5]运用蚁群算法开发了面向C919的配载优化系统,考虑了货舱舱位重量限制、体积限制,用于实现飞机重心偏差最小;文献[6 -8]使用遗传算法计算求解飞机的载重平衡问题,实现飞机的业载量最大和重心偏差最小等目标。赵向领等^[9]考虑了飞机的上下货舱装载集装器和散货的联合重量限制,全机重心限制和业载限制,设计了Benders分解算法的模拟退火算法,实现飞机的业载量最大和全机重心偏差最小。

2012年后,中国航空货运业迈入专业发展阶段。在电子商务的刺激下,市场催生了时效标准化、贸易便利化等多元运输需求,行业高质量发展进一步要求提升配载精细化水平,需结合实际运输场景与多种现实约束,建立并完善配载数学规划模型。然而,模型约束的增加也带来新挑战。求解难度显著提升,尤其面对大规模问题时,不仅计算耗时较长,且难以获得最优解,多以可行解为主。不过,当前计算机性能、算法及成熟求解器的持续发展,为配载数学规划模型及求解方法提供了支撑,有效助力在限定时间内获取可行解,推动了配载技术的突破。Limbourg等^[10]提出一种混合整数规划模型。考虑了飞机的纵向和横向不平衡、集装器的组合装载、累积装载、累积后机身重量等约束。目标是使飞机的惯性矩和结构应力以及燃油消耗最小化,但该模型无法解决集装器多于预定义位置的问题。Verstichel等^[11]建立混合整数线性规划模型,目标是使飞机重心差偏差最小和装载货物价值最大。该模型求解速度较快,然而,重心约束与目标值存在一定偏差,没有使用飞机重心包线,这对飞机在实际运行中存在安全风险。文献[12 -14]针对集装器的多航段配载,提出了混合整数规划模型,考虑了飞机的多种重量和重心约束,目的是减少中间机场不必要的额外装卸次数,提高运输效率。Zhao等^[15]将飞机复杂的非线性重心包线约束使用线性化策略转化为线性约束,建立了业载量最大、重心偏差最小的混合整数规划模型。使用Cplex可在几秒钟内得到最优解。Zhu等^[16]为解决航空货运中需求不确定的情况,开发了两阶段随机规划模型,目标是最大限度地降低运营成本,并使用遗传算法求解模型。

上述文献聚焦装载标准集装器和多种类型散货的单机配载和部分多航段协同配载研究。随着货邮运输量激增,单机配载运输已难以适配航司、机场、货代及客户的快节奏作业需求,多机配载应运而生。

在多机配载方面,Nance等^[17]提出一种禁忌搜索算法,解决飞机装载混合载荷空运问题,与自动空运计划软件比较禁忌搜索算法性能,算法虽然耗时,但是所需飞机数量较少。考虑了飞机货舱允许的载荷、重心、空间等飞机的特定约束。Roesener等^[18]提出一种禁忌搜索算法,用于解决动态空运装载问题,考虑了飞机的空间约束、机舱负载、平衡限制、飞行时间限制等约束,验证了多个场景,用于优化飞机架次使用数量。李高西等^[19]建立了以飞机使用架次最少、装载效率最高的双目标整数规划模型,考虑了重心包线、舱位承载能力等,用于解决运输机群大规模装载优化问题,使用Cplex求解模型。刘宁君等^[20]通过对传统的二维装箱算法进行综合和改进,结合空运货物人工装载时使用的金字塔装载方法,提出了运输机群装载优化的启发式方法。

上述研究主要是针对多种不同类型货物的多机配载研究,多考虑货物的几何特征,使用二维装箱方法和启发式算法研究解决,是一种二维装箱与配载结合的问题,具有二维几何位置分配的属性,模型本身求解难度较大,多研究的是小规模问题。而就掌握的文献,目前针对飞机装载集装器的多机配载问题研究较少,并不充分,鲜见完整的数学规划模型。

因此,针对装载大批量集装器的多机配载问题,现建立多机协同配载数学规划模型,实现飞机使用架次最少,业载量最大、重心偏差最小、货舱连续装载,考虑集装器唯一性约束、飞机货舱舱位重量、货舱区间累积重量、货舱线性载荷、面积载荷、重心、左右不对称性重量约束,为不定期航班临时性大批量集装器的装载运输提供一定参考。

1 问题描述

航空货运中,航空公司多以标准化的集装器为运输载体,集装器的使用大大提升了装载运输效率和成本降低。其中运输以集装器为主的多机配载问题可被描述为将大批量的集装器按照飞机的重量平衡约束条件生成合理的装载计划单,航空公司依据装载计划单将集装器装载到多架飞机货舱中,使得使用的飞机架次最少,装载业载最大,重心偏差最小等。

在问题属性上,单机配载仅需将集装器分配到单架飞机的舱位中,为单背包问题;此外集装器的配载尚未考虑几何尺寸限制,因此集装器的单机配载是一种一维的单背包指派问题。虽然大批量集装器的多机配载可看作是装载不同类型货物的一种特例,但与装载多类型货物的多机配载问题还是存在着一定差异,集装器的装载一方面需要考虑重量平衡约束条件,根据载重平衡单一一指派匹配集装器到对应的舱位,具有指派问题的特性。另一方面大批量集装器的多机配载问题也可以视为是装载集装器单机配载问题的衍生,尽可能地实现各架飞机业载量最大,减少飞机的使用架次。集装器的配载在模型中无需考虑几何尺寸适配问题,仅需考虑重量维度用于匹配飞机的多种舱位重量限制,且需在多架飞机间分配集装器以实现全局优化,故区别于多类型货物的二维配载问题,属于一维多背包指派问题。

因此,大批量集装器的多机配载问题可总结归纳为是一种一维多背包的指派问题,为模型构建提供逻辑铺垫。背包问题往往因待装载货物的增多,复杂度呈指数爆炸性增长,使用暴力枚举法是不切实际的,需要使用当前先进的求解器生成装载方案,实现货物的装载和分配。

大批量集装器的多机协同配载往往还需要考虑机型之间的差异,不同的机型有着不同的舱位布局,各机型之间的复杂约束相互铰链将增加问题的复杂性,需要考虑不同的约束条件限制集装器的分配,如宽体机需考虑窄体机没有的货舱左右平衡约束、不对称性约束等。且大批量集装器的多机协同配载问题还是一个典型的多目标多约束优化问题,涉及多架同型(异型)飞机、大批量集装器之间所构成的约束与目标间的复杂交互。

综上大批量集装器的多机配载是一种组合优化问题。虽然考虑的约束复杂繁琐,但是大批量集装器多机配载问题的研究,具有较高的应用价值和重要现实意义。以建立相对完整的装载大批量集装器的多机协同配载理论模型为研究动机。

2 模型建立

多机协同配载在疫情期间发挥了重要作用。为援助上海展开疫情应急救援,重庆航空派出10架飞机护送援沪医疗队飞往上海。同时重庆江北国际机场内,超过1 000名民航工作者参与各项保障工作,为医护人员提供便捷服务、开辟绿色通道,高效地完成1 567名医护工作者出行和39.8 t防疫物资顺利装载飞机。因此多机协同配载的研究一方面为批量集装器在多架飞机上的装载生成了较好的配载方案,实现了重心的优化,保障了飞机的安全运行,降低了燃油的消耗;另一方面提升了航空公司飞机舱位和机队的利用效率和机场作业保障效率。

2.1 模型假设

为方便从复杂场景中抽象建立数学模型和降低问题的复杂性,作出以下假设:①危险品配载需额外隔离,且货运量较少,因此不考虑具有危险品属性货物的装载;②装载的集装器无任何特殊的装载要求,如不考虑集装器两两间绑定装载或必须间隔一定的货舱间距装载;③针对部分大重量集装器无法直接放置到货舱舱位中,可以使用垫板将集装器的重量分散到垫板中,保护货舱地板免受损坏,需忽略垫板的重量;④所有待装载的集装器均运往同一目的地;⑤不考虑飞行过程中燃油消耗对飞机重心带来的影响。

2.2 集装器的多机配载模型

为实现批量集装器的舱位位置分配和飞机使用架次数量的确定,利用式(1)确定飞机k是否使用,式(2)用于决策集装器i是否装载到飞机k的舱位j。

(1)η_k=$\left\{\begin{array}{l}1,　\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{飞}\mathrm{机}k\mathrm{被}\mathrm{使}\mathrm{用}\\ 0,　\mathrm{否}\mathrm{则}\end{array}\right.$

(2)t_ijk=$\left\{\begin{array}{l}1,　\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{集}\mathrm{装}\mathrm{器}i\mathrm{分}\mathrm{配}\mathrm{到}\mathrm{飞}\mathrm{机}k\mathrm{的}\mathrm{货}\mathrm{舱}j\\ 0,　\mathrm{否}\mathrm{则}\end{array}\right.$

式中:k为飞机的序号;η_k为决策变量,如果飞机k被使用,则η_k为1,否则为0;i为集装器序号;j为飞机k的货舱j; t_ijk为决策变量,如果集装器i装载到飞机k的货舱j,则为1,否则为0。

集装器的多机配载,是典型的多目标优化问题。首要实现批量集装器在多架飞机货舱舱位中的位置分配,其次是充分利用飞机的运输能力,实现飞机架次的合理利用。此外通过优化飞机的重心,不仅可以保障飞机的安全运行还可以节省大量燃油开销。因此,建立数学规划模型,即

(3)maxf₁=$\sum _{k\in {N}_{\mathrm{A}}}\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}$w_it_ijk

式(3)中: f₁为飞机业载量最大目标函数;N_A为飞机架次集合;N_P为舱位集合;N_U为待装载集装器集合;w_i为集装器i的重量。

式(3)为目标函数使得所有飞机的业载量最大。

(4)minf₂=$\sum _{k\in {N}_{\mathrm{A}}}\left|{C}_{\mathrm{T}}^{k}-{C}_{\mathrm{O}}^{k}\right|$

式(4)中: f₂为飞机重心偏差最小目标函数;

${C}_{\mathrm{T}}^{k}$

为飞机k起飞重心;

${C}_{\mathrm{O}}^{k}$

为飞机k目标重心。

式(4)为目标函数使得所有飞机重心偏差总和最小。

因目标函数中具有绝对值,所以需要去掉绝对值,公式为

(5)${G}_{\mathrm{T}}^{k}$-${C}_{\mathrm{O}}^{k}$-${\left|\mathrm{\Delta }\mathrm{C}\mathrm{G}\right|}_{k}$≤0, ∀k∈N_A

(6)${C}_{\mathrm{T}}^{k}$-${G}_{\mathrm{O}}^{k}$-${\left|\mathrm{\Delta }\mathrm{C}\mathrm{G}\right|}_{k}$≥0, ∀k∈N_A

式中:

${\left|\mathrm{\Delta }\mathrm{C}\mathrm{G}\right|}_{k}$

为所有飞机的重心偏差之和。

飞机重心的计算有多种表示方式,首先使用力矩综合定理计算每架飞机k的重心力臂

${B}_{\mathrm{T}}^{k}$

,即

(7)${B}_{\mathrm{T}}^{k}$=$\frac{{M}_{\mathrm{T}}^{k}}{{W}_{\mathrm{T}}^{k}}$

式(7)中:

${B}_{\mathrm{T}}^{k}$

为飞机k的重心力臂;

${M}_{\mathrm{T}}^{k}$

为飞机k的合力矩;

${W}_{\mathrm{T}}^{k}$

为飞机k最大起飞重量。

(8)${M}_{\mathrm{T}}^{k}$=${W}_{\mathrm{O}}^{k}{B}_{\mathrm{O}}^{k}$+${W}_{\mathrm{F}}^{k}{B}_{\mathrm{F}}^{k}$+$\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}$w_it_ijk

${b}_{j}^{k}$

(9)${W}_{\mathrm{T}}^{k}$=${W}_{\mathrm{O}}^{k}$+${W}_{\mathrm{F}}^{k}$+$\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}$w_it_ijk

式中:

${W}_{\mathrm{O}}^{k}$

为飞机k空机重量;

${B}_{\mathrm{O}}^{k}$

为飞机k的空机重量力臂;

${W}_{\mathrm{F}}^{k}$

为飞机k起飞燃油重量;

${B}_{\mathrm{F}}^{k}$

为飞机k装载的起飞燃油重量对应力臂值;

${b}_{j}^{k}$

为飞机k的舱位j的力臂值。

飞机的重心力臂确定后,通过式(10)得到飞机重心的另一种表示方法:平均空气动力弦(mean aerodynamic chord,MAC)的百分比,即%MAC是指重心力臂在平均空气动力前缘的投影所占平均空气动力弦长的比值。

(10)${C}_{\mathrm{T}}^{k}$=$\frac{{B}_{\mathrm{T}}^{k}-{B}_{\mathrm{E}}^{k}}{{B}_{\mathrm{M}}^{k}}$×100%

式中:

${B}_{\mathrm{E}}^{k}$

为参考位置到平均空气动力弦前缘的长度;

${B}_{\mathrm{M}}^{k}$

为平均空气动力弦长。

(11)minf₃=$\sum _{k\in {N}_{\mathrm{A}}}$η_k

式(11)中:f₃为飞机使用数量最小目标函数。

式(11)为目标函数,使得飞机的使用架次最少。

(12)maxf₄=$\sum _{k\in {N}_{\mathrm{A}}}\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}$jt_ijk

式(12)中:f₄为目标函数使得飞机货舱连续装载。

式(12)为目标函数,针对批量的集装器为使得飞机的使用架次最少,将所有飞机的货舱按照从小到大的序号排列,货舱序号j越小表明集装器装载的飞机货舱和架次序号均越小,目的是使得飞机货舱尽量连续的装载集装器,减少货舱空间的浪费,避免单架飞机舱位分散占用,即配载完成一架再配载另一架,但又独立于单架飞机的配载。

(13)

$\sum _{k\in {N}_{A}}\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}$

t_ijk≤1, ∀i∈N_U

式(13)为集装器的唯一性约束,使得每一个集装器i仅且最多被分配到一个飞机k的货舱舱位j内。

(14)

$\sum _{k\in {N}_{A}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}$

t_ijk≤1, ∀j∈N_P

式(14)为飞机货舱的唯一性约束,使得飞机k的每一个货舱舱位j仅且最多装载一个集装器i。

(15)

$\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}$

t_ijk≤Mη_k, ∀ j∈N_P,k∈N_A

式(15)中:M为一个大数。

式(15)确保至少包含一个集装器在飞机货舱内,则飞机被视为已使用。

(16)

$\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}$

w_it_ijk≤${W}_{j}^{k}$, j∈N_P,k∈N_A

式(16)中:

${W}_{j}^{k}$

为飞机k的舱位j的重量限制。

式(16)为飞机k舱位j装载的集装器重量不超过舱位j的限制重量。

(17)${W}_{\mathrm{O}}^{k}$+${W}_{\mathrm{F}}^{k}$+$\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}$w_it_ijk≤${W}_{\mathrm{T}}^{k}$, k∈N_A

(18)${W}_{\mathrm{O}}^{k}$+$\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}$w_it_ijk≤${W}_{\mathrm{Z}}^{k}$, k∈N_A

(19)${W}_{\mathrm{O}}^{k}$+${W}_{\mathrm{R}}^{k}$+$\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}$w_it_ijk≤${W}_{\mathrm{L}}^{k}$, k∈N_A

式中:

${W}_{\mathrm{Z}}^{k}$

为飞机k最大无油重量;

${W}_{\mathrm{R}}^{k}$

为飞机k的备用燃油重量;

${W}_{\mathrm{L}}^{k}$

为飞机k最大着陆重。

式(17)~式(19)分别为飞机k的起飞重量、无油重量、着陆重量不超过最大起飞重量、最大无油重量、最大着陆重量。

(20)

$\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}$

w_it_ijk≤${W}_{\mathrm{M}}^{k}$, k∈N_A

式(20)中:

${W}_{\mathrm{M}}^{k}$

为飞机k最大业载限制。

式(20)为飞机k装载的业载不超过最大业载。

(21)${B}_{\mathrm{L}}^{k}$≤$\frac{{W}_{\mathrm{O}}^{k}{B}_{\mathrm{O}}^{k}+\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}{b}_{j}^{k}}{{W}_{\mathrm{O}}^{k}+\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}}$≤${B}_{\mathrm{U}}^{k}$, k∈N_A

(22)

${B}_{\mathrm{L}}^{k}$≤$\frac{{W}_{\mathrm{O}}^{k}{B}_{\mathrm{O}}^{k}+{W}_{\mathrm{F}}^{k}{B}_{\mathrm{F}}^{k}+\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}{b}_{j}^{k}}{{W}_{\mathrm{O}}^{k}+{W}_{\mathrm{T}}^{k}+\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}}$≤${B}_{\mathrm{U}}^{k}$,

k∈N_A

(23)

${B}_{\mathrm{L}}^{k}$≤$\frac{{W}_{\mathrm{O}}^{k}{B}_{\mathrm{O}}^{k}+{W}_{\mathrm{R}}^{k}{B}_{\mathrm{R}}^{k}+\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}{b}_{j}^{k}}{{W}_{\mathrm{O}}^{k}+{W}_{\mathrm{R}}^{k}+\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}}$≤${B}_{\mathrm{U}}^{k}$,

k∈N_A

式中:

${B}_{\mathrm{L}}^{k}$

为飞机k装载后最小重心位置;

${B}_{\mathrm{U}}^{k}$

为飞机k装载后的最大重心位置;

${B}_{\mathrm{R}}^{k}$

为飞机k备用燃油重量对应力臂。

式(21)~式(23)分别为维持飞机k的无油、起飞、着陆重心在其规定的限制范围内,使得飞机的纵向重心稳定。

(24)

$\sum _{j\in H}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}$

w_it_ijk≤${W}_{H}^{k}$, k∈N_A,H∈C_H

(25)$\frac{\sum _{j\in H}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}}{{L}_{H}^{k}}$≤${W}_{{L}_{H}^{k}}$, k∈N_A,H∈C_H

(26)$\frac{\sum _{j\in H}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}}{{L}_{H}^{k}{D}_{H}^{k}}$≤${W}_{{S}_{H}^{k}}$, k∈N_A,H∈C_H

式中:

${W}_{H}^{k}$

为飞机k货舱区间H的重量限制;H为飞机货舱区间;C_H为飞机货舱区间集合;

${L}_{H}^{k}$

为飞机k货舱区间H的长度;

${D}_{H}^{k}$

为飞机k货舱区间H的宽度;

${W}_{{L}_{H}^{k}}$

为飞机k货舱区间H的线性载荷限制;

${W}_{{S}_{H}^{k}}$

为飞机k货舱区间H的面积载荷限制。

式(24)~式(26)分别为飞机k的货舱区间H的重量限制、线性载荷、面积载荷。

(27)$\left\{\begin{array}{l}{w}_{{j}_{L}}^{k}\le {a}_{u}{w}_{{j}_{R}}^{k}+{b}_{u}\\ {w}_{{j}_{R}}^{k}\le {a}_{u}{w}_{{j}_{L}}^{k}+{b}_{u}\end{array}\right.$, ∀( j_L,j_R)∈S_P,k∈N_A

式(27)中:

${w}_{{j}_{L}}^{k}$

为飞机k主货舱的左位置集合重量;

${w}_{{j}_{R}}^{k}$

为飞机k主货舱的右位置集合重量;a_u为线性系数;b_u为线性系数;j_L为飞机左货舱位置集合;j_R为飞机右货舱位置集合;S_P为左右并排位置集合。

式(27)为飞机k的货舱左右非对称线性载荷限制。

(28)$\left|{W}_{\mathrm{E}}^{k}-{W}_{\mathrm{G}}^{k}\right|$≤min$\left\{\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{T}}^{k}{W}_{\mathrm{T}}^{k}+{b}_{\mathrm{T}}^{k}\\ {a}_{\mathrm{L}}^{k}{W}_{\mathrm{L}}^{k}+{b}_{\mathrm{L}}^{k}\end{array}\right.$

式(28)中:

${W}_{\mathrm{E}}^{k}$

为飞机k左侧重量总和;

${W}_{\mathrm{G}}^{k}$

为飞机k右侧重量总和;

${a}_{\mathrm{T}}^{k}$

飞机k的起飞重量线性函数常数;

${b}_{\mathrm{T}}^{k}$

为飞机k的起飞重量线性函数常数;

${a}_{\mathrm{L}}^{k}$

为飞机k的着陆重量线性函数常数;

${b}_{\mathrm{L}}^{k}$

为飞机k的着陆重量线性函数常数。

式(28)为飞机k的横向平衡限制,使得飞机左右两侧之间的重量在一定范围内。去掉绝对值后飞机k的横向平衡限制公式为

(29)

$\left\{\begin{array}{l}\sum _{j\in {P}_{\mathrm{L}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}-\sum _{j\in {P}_{\mathrm{R}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}\le {a}_{\mathrm{T}}^{k}\times \\ 　　(\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}+{W}_{\mathrm{O}}^{k}+{W}_{\mathrm{F}}^{k})+{b}_{\mathrm{T}}^{k}\\ \sum _{j\in {P}_{\mathrm{R}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}-\sum _{j\in {P}_{\mathrm{L}}}\sum _{i\in {N}_{U}}{w}_{i}{t}_{ijk}\le {a}_{\mathrm{T}}^{k}\times \\ 　　(\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}+{W}_{\mathrm{O}}^{k}+{W}_{\mathrm{F}}^{k})+{b}_{\mathrm{T}}^{k}\\ \sum _{j\in {P}_{\mathrm{L}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}-\sum _{j\in {P}_{\mathrm{R}}}\sum _{i\in {N}_{U}}{w}_{i}{t}_{ijk}\le {a}_{\mathrm{L}}^{k}\times \\ 　　(\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}+{W}_{\mathrm{O}}^{k}+{W}_{\mathrm{R}}^{k})+{b}_{\mathrm{L}}^{k}\\ \sum _{j\in {P}_{\mathrm{R}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}-\sum _{j\in {P}_{\mathrm{L}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}\le {a}_{\mathrm{L}}^{k}\times \\ 　　(\sum _{j\in {N}_{\mathrm{P}}}\sum _{i\in {N}_{\mathrm{U}}}{w}_{i}{t}_{ijk}+{W}_{\mathrm{O}}^{k}+{W}_{\mathrm{R}}^{k})+{b}_{\mathrm{L}}^{k}\end{array}\right.$

式(29)中:P_R为飞机右侧位置集合;P_L为飞机左侧位置集合。

3 算例仿真

为全面验证模型在不同优化目标下的适用性,针对批量集装器的多机配载问题和配载数学规划模型,设计了两种算例场景。场景1:给定批量集装器,聚焦于实现飞机使用架次最少以降低运输成本,考虑目标函数[式(3)、式(4)、式(11)和式(12)];场景2:给定飞机架次,实现飞机的总业载量最大和重心偏差最小以提升效率和安全性,考虑目标函数[式(3)、式(4)和式(12)]。同时结合航空公司货运实际,按照运输场景和现实需求,将两种算例场景依据集装器重量,划分为集装器重量混装(单个集装器重量1 000~15 000 kg)、大重量(单个集装器重量11 000~15 000 kg)、中重量(单个集装器重量5 000~11 000 kg)、小重量(单个集装器重量7 000 kg以下)4种算例场景,目的是测试集装器重量对问题模型的影响。通过多种算例场景测试验证,以实现支持实际航空货运中的多维度决策需求。

拟使用Gurobi 11.02验证多场景算例模型,基于Anaconda3 的Python语言编程实现,软件运行环境为Win10,酷睿i5处理器,8 GB运行内存,1 T机械硬盘。

3.1 参数设置

为验证模型,选择B747货机作为研究机型。表1给出了该机型的基本参数,包含飞机的无油重量、着陆重量、空机重量等;表2为飞机货舱重量限制,包含各舱位重量限制、舱位区间限制、面积载荷与线性载荷。

3.2 批量集装器的配载

给定批量集装器在维持飞机重心不超出重心包线即保证飞机安全运行的情况下,拟使用最少数量的飞机架次实现批量集装器的完全装载,从而为集装器运输到指定目的地提供合理的装载方案。飞机的重心偏差前后阈值约为 5%MAC,即在此范围内可保证飞机的安全。

表3为不同规模不同重量算例场景的装载结果。小规模的每个算例共需运载100个集装器。其中算例1-1~算例1-5为混装重量、算例2-1~算例2-5为大重量、算例3-1~算例3-5为中重量、算例4-1~算例4-5为小重量算例场景。

小规模算例场景下平均所使用飞机数量为14.35架,平均重心偏差为1.81%MAC,每架飞机平均业载量为52 610.94 kg,平均求解时间为13.90 s。

中规模的每个算例运载集装器数量为300个。平均需要43.3架飞机完成运输,平均重心偏差为1.98%MAC,每架飞机平均业载量为54 649.46 kg,平均求解时间为38.93 s。

大规模的每个算例共需运载500个集装器。平均需要71.6架飞机完成装载运输,平均重心偏差为1.94%MAC,每架飞机平均业载量为54 830.05 kg,平均求解时间为221.97 s。其中算例4-2求解时间达到了1 020.95 s,后续可通过将集装器虚拟合并预处理,降低求解时间。其中多数算例求解时间小于300 s,满足实际配载时效需求。

表4将3种不同规模4种不同重量的每一个算例装载结果进行汇总。由表4可知,大规模算例场景因待运载的集装器数量较多,所需飞机架次较多,程序求解时间较长。不同规模中大重量的算例场景飞机的重心偏差较大,这是因为集装器的重量较大,在飞机货舱内能够调整的舱位位置较少。

图1~图4分别为不同规模算例场景下每架飞机的平均重心偏差、飞机使用架次、飞机总业载、求解时间雷达图。

由图1可知,飞机的平均重心偏差,3种规模较为接近,仅有大重量部分算例如算例2-1~算例2-5的重心偏差较大,这是因为重量较大难以调配位置。

由图2~图4可知,大规模大重量算例场景中、飞机的使用架次、飞机的总业载、求解时间相对较大。这是因为装载的集装器不仅数量多而且重量也较大,仅有G舱位、H舱位、J舱位能够装载大重量集装器,可调舱位少,但重心仍处于安全范围内。而小规模和中规模算例场景待装载集装器数量较少,因而飞机使用架次、总业载、求解时间相对次之。

3.3 给定飞机架次配载

给定固定数量的飞机架次,将集装器装载到飞机中,在维持飞机重心位于重心包线内,保证飞机安全的前提下,使得飞机总业载量最大和重心偏差最小。

表5为不同规模不同重量算例场景的装载结果。从表5可知,小规模的12.75架飞机平均总装载业载量为53 937.34 kg,每架飞机的平均重心偏差为2.33%MAC,平均求解时间为2.04 s。

中规模的39.50架飞机平均总装载运输量为56 568.06 kg,飞机平均重心偏差为2.65%MAC,平均求解时间为4.48 s。

大规模的66架飞机平均可装载运输量为 56 573.15 kg,飞机平均重心偏差为 2.15%MAC,平均求解时间为18.84 s。

表6将3种不同规模4种不同重量的每一个算例装载结果汇总。由表6可知,大规模算例场景因待运载的集装器数量较多,所需飞机架次较多,程序求解时间较长。

图5~图8分别为不同规模算例场景下平均每架飞机重心偏差、飞机使用架次、飞机总业载、求解时间雷达图。由图5可知不同规模算例场景飞机的平均重心偏差分布相对一致。由图6~图8可知,大规模大重量算例场景中飞机的使用架次、飞机的总业载量、求解时间相对较大。这是因为装载的集装器不仅数量多而且重量也较大,受舱位重量限制大重量集装器可选择的舱位较少。

综上,批量集装器配载场景,在集装器全部装载的情况下能够实现飞机使用架次最少,同时重心符合实际运行要求;给定固定飞机架次配载场景,飞机全部使用完毕,在符合重心约束的要求下,能够实现装载业载量最大。

4 结论

研究了飞机装载大批量航空集装器的多机协同配载问题,得到以下结论。

(1)阐述了多机配载与单机配载在载重平衡概念上的不同,及装载集装器和多类型货物在载重平衡上的不同,根据集装器特点建立了大批量集装器的多机协同配载规划模型。

(2)将大批量集装器多机配载定义为“一维多背包指派问题”,构建包含多种重量、重心、横向平衡等多约束的多目标模型。

(3)货舱连续装载目标函数被提出,使得飞机装载完成一架后再继续装载另一架,目的是充分利用飞机货舱资源。

(4)考虑了给定批量集装器和给定飞机架次的两种不同算例场景,分别采用多组不同规模大小和重量的算例场景验证模型,各组规模可以使用Gurobi快速求解。

(5)由测试结果可知,建立的模型能够实现飞机使用架次最少,业载量最大和重心偏差最小等多个目标;在未来对于不同运输单位的运载需求,可根据需求选择和拓展数学模型完成配载装载运输,如针对含有危险品等特种货物的装载运输,需增加隔离约束、不兼容约束等;针对含有非集装器物资的装载运输,需增加非集装器物资位置分配等约束。从而将装载集装器的多机协同配载数学规划模型拓展到装载非集装器物资的多机协同配载规划模型,通过设计算法实现合理利用飞机架次,提高飞机货舱面积利用率,实现飞行任务的安全运行。

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原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

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