基于非支配排序遗传算法的双臂多目标轨迹优化

杨冬; 范景超; 杨朔瀚; 李铁军; 颜晗; 韩明

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2503874

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (21) :8870-8881 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2503874

第二十八届中国科协年会学术论文

基于非支配排序遗传算法的双臂多目标轨迹优化

杨冬 ¹ ,
范景超 ¹ ,
杨朔瀚 ¹ ,
李铁军 ² ,
颜晗 ³ ,
韩明 ¹^,^*

作者信息 +

Dual-arm Multi-objective Trajectory Optimization Based on Non-dominanted Sorting Genetic Algorithm

YANG Dong ¹ ,
FAN Jing-chao ¹ ,
YANG Shuo-han ¹ ,
LI Tie-jun ² ,
YAN Han ³ ,
HAN Ming ¹^,^*

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摘要

为解决机器人运行过程中工作效率低、能耗损失大及关节磨损严重的问题,提出一种基于非支配排序遗传算法(non-dominated sorting genetic algorithm,NSGA-Ⅱ)的优化方法,以实现板材安装双臂机器人的时间、能耗与冲击轨迹优化。首先,建立机器人正运动学方程,通过改进粒子群算法求解其逆运动学模型,推导双臂紧协调位姿关系;其次,推导七次B样条曲线,得到关节空间轨迹规划曲线;最后,利用具有精英策略的NSGA-Ⅱ对七次B样条曲线进行时间-能耗-冲击多目标优化,采用模糊评判法筛选Pareto解集中的潜在最优解,并通过Adams软件进行仿真验证。结果表明,经模糊评判法筛选的解集与未优化曲线相比,时间缩短16%,能耗与冲击数值分别降低11%、12%,验证了算法的正确性与有效性。研究成果为双臂轨迹规划提供了新的研究思路。

Abstract

In order to solve the problems of low working efficiency, high energy consumption loss and strong joint wear during robot operation, a non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ (NSGA-Ⅱ) was proposed to optimize the time, energy consumption and impact trajectory of the dual-arm robot installed on the plate. Firstly, the forward kinematics equation of the robot was established, and its inverse kinematics model was obtained by improving the particle swarm optimization algorithm, and the tight coordination posture relationship of the two arms was deduced. Secondly, the curve of joint space trajectory planning was obtained by deducing the cubic B-spline curve. Finally, NSGA-Ⅱ with elite strategy was used to optimize the time-energy-impact multi-objective of the cubic B-spline curve, and the potential optimal solution in Pareto solution set was screened by fuzzy evaluation method, and the simulation was verified by Adams software. The results show that the time of the solution set selected by fuzzy evaluation method is reduced by 16%, and the energy consumption and impact values are reduced by 11% and 12% respectively, which verifies the correctness and effectiveness of the algorithm. The research results of this paper provide a new research idea for dual-arm trajectory planning.

Graphical abstract

关键词

非支配排序遗传算法 / 双臂协调 / 多目标优化 / 模糊评判 / 轨迹规划

Key words

non-dominated sorting genetic algorithm / bimanual coordination / multi-objective optimization / fuzzy evaluation / trajectory planning

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杨冬, 范景超, 杨朔瀚, 李铁军, 颜晗, 韩明. 基于非支配排序遗传算法的双臂多目标轨迹优化[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(21): 8870-8881 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2503874

YANG Dong, FAN Jing-chao, YANG Shuo-han, LI Tie-jun, YAN Han, HAN Ming. Dual-arm Multi-objective Trajectory Optimization Based on Non-dominanted Sorting Genetic Algorithm[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(21): 8870-8881 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2503874

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轨迹规划是机器人运动控制领域的重要组成部分,广泛应用于工业自动化^[1]、医疗机器人^[2]、服务机器人^[3]等领域。在进行轨迹规划时,需综合考虑工作空间、速度、加速度、急动度等多种工况约束,以确保机械臂在各类工作状态下达成预期的作业效果。

关节型机械臂轨迹规划主要分为笛卡儿空间轨迹规划^[4]和关节空间轨迹规划^[5]。其中,笛卡儿空间轨迹规划的路径直观性强,便于调整机械臂末端姿态,适合对精度要求较高的路径规划场景^[6]。关节空间轨迹规划虽能有效避免奇异位置问题,但由于无法对末端运动施加约束,仅适用于点对点的运动轨迹规划^[7]。

机器人轨迹优化主要采用单目标优化、组合目标优化和多目标优化三种方法。其中,单目标优化主要涵盖时间最优、能量最优和冲击最优3个方面。例如,Ekrem等^[8]通过粒子群优化(particle swarm optimization,PSO)算法选取两点间的最短路径以实现时间优化,并借助五次多项式确保起止加速度为0;Carvajal等^[9]通过修改空中机器人的路径参数调整其内部结构,以达成能量最优的目标;Zanotto等^[10]认为急动度会影响关节力矩的变化率,因此将其作为冲击最优的目标优化函数。尽管单目标优化方法的优化目标明确,但实际工业任务往往需要在多个目标间进行权衡优化。组合目标优化旨在通过加权系数法整合两个或多个目标需求进行轨迹规划,然而由于优化目标存在差异,该方法可能陷入局部最优解,难以应对实际问题。例如,Liu等^[11]以焊接机器人为研究对象,利用PSO算法对三次B样条曲线的时间节点进行优化,但因起止加速度不为0,导致加速度曲线轨迹不够平滑。多目标优化则是对多个目标同时进行优化,得到对应的帕累托(Pareto)解集,既能满足不同任务的多样化需求,又能实现各目标互不影响、相互独立的效果。例如,Chen等^[12]采用五次B样条曲线进行笛卡儿空间轨迹插值,并通过改进免疫克隆算法对运动轨迹开展多目标优化;Wang等^[13]针对串并联仿人机械臂,采用间接方法进行多目标路径规划,以时间、能量和稳定性为优化目标,通过非支配排序遗传算法Ⅱ(non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ,NSGA-Ⅱ)对空间位置点间的路径进行规划,再通过定义目标权重值筛选最优解,最终通过数值模拟验证了所提方法的可行性与有效性。

优化算法是关节空间轨迹规划的常用方法,通过构建优化模型并运用数学优化手段生成平滑轨迹。常见的优化算法包括基于梯度的优化算法、基于遗传算法的优化算法以及基于粒子群算法的优化算法等。其中,基于梯度的优化算法通过计算目标函数的梯度方向,调整关节角度参数以最小化目标函数。例如,Sun等^[14]改进了基于距离梯度的无人机(unmanned aerial vehicle,UAV)路径规划方法,利用初始轨迹与障碍物的碰撞信息生成无碰撞路径,并借助距离梯度信息进一步优化该路径;Wei等^[15]针对10自由度移动机械手轨迹规划中关节加速度超限的问题,在基于梯度的优化算法中引入优化度与自运动极限因子,提出了考虑该约束的新算法。不过,此类算法属于局部搜索优化,目标函数多为轨迹长度或曲率。而基于粒子群的优化算法通过模拟鸟群、鱼群的行为调整关节角度参数,实现目标函数的最小化。Su等^[16]通过改进粒子群算法对高超声速滑翔飞行器的再入过程进行优化,提出了一种优化其再入轨迹的方法,以实现尽可能短的再入时间;同时针对惯性权重系数和学习因子设计自适应调整算法,实现全局搜索能力与局部搜索能力的平衡。Fan等^[17]则针对混合结构柔性机械手运动停止后的振动问题,提出了差分进化粒子群优化算法。但在关节空间轨迹规划中,这类群体智能优化算法易出现多样性丢失、陷入局部最优等问题。而基于全局搜索的遗传算法可通过持续生成新的关节角度,实现平滑轨迹规划。Hou等^[18]利用改进的NSGA-Ⅱ对机械臂的关节增量和运行时间进行优化,解决了6自由度机械臂轨迹规划效率低下、运行时间长的问题。Wang等^[19]提出一种基于改进精英非支配排序遗传算法(improved NSGA-Ⅱ,INSGA-Ⅱ)的多目标轨迹规划方法,通过模糊综合评估确定最优解并得到最优轨迹,为机器人机械臂的点对点任务提供了更具效率与稳定性的解决方案。

现以双臂板材安装重载机器人为研究对象,针对机器人运行效率低、能耗大、关节磨损严重及双臂协调轨迹不平滑、优化目标单一、最优解难以筛选等行业痛点,融合运动学建模、轨迹规划、多目标优化与工程验证,形成一套完整的双臂机器人多目标轨迹优化方案。其核心亮点与创新点如下:针对七自由度冗余机械臂逆解多解性强、收敛速度慢的问题,提出基于渐变惯性权重改进的PSO算法求解逆运动学模型,有效提升逆解精度与效率;结合板材安装机器人的结构特性,首次建立适用于重载板材安装的双臂紧协调位姿转换关系;采用七次B样条曲线进行关节空间轨迹规划,通过约束起止速度、加速度及急动度,有效降低启停冲击,并构建时间-能耗-冲击三目标优化框架,融合NSGA-Ⅱ与模糊评判法,既生成非支配Pareto解集,又精准筛选出兼顾多目标的潜在最优解。研究成果既可弥补传统单目标优化难以兼顾多工况约束、组合目标优化易陷入局部最优的短板,又可解决双臂紧协调作业下轨迹平滑性与运动约束的平衡难题,为重载、高精度双臂机器人的工程应用提供关键技术支撑,具有重要的现实意义。

1 双臂运动学及紧协调约束关系

1.1 样机介绍

采用的实验样机为双臂板材安装机器人,由两台完全相同的单臂机器人组成。为实现低速重载条件下更大面积、更大质量玻璃外墙的安装作业,样机实物如图1所示。每台机械臂均包含自动导引车(automated guided vehicle,AGV)移动底座、升降架体、机械臂本体及末端吸附机构;两台AGV移动底座通过铰接机构连接,每台底座上各安装一套升降架体,每套升降架体对应搭载一台机械臂,末端吸附机构则与两台机械臂的末端共同连接。

双臂板材安装机器人结构组成图如图2所示,该机器人的结构类型为“PRPRRRP”型,具备高承载、可移动和灵活性强的优点。AGV移动底座使双臂机器人移动到指定位置进行板材安装,J₁轴、J₃轴、J₇轴作为移动副完成x、y和z轴方向的移动,J₂轴、J₄轴、J₅轴和J₆轴作为转动副完成x、y和z轴方向的转动,其中J₂轴和J₄轴转动方向相同。

1.2 运动学分析

通过样机结构参数建立正运动学模型,由于主臂与从臂完全相同,故只建立主臂的改进DH(Denavit-Hartenberg)参数坐标系如图3所示,具体DH参数如表1所示。

从基坐标系依次通过每个关节变换直到最后的末端变换。每次变换都可以用以下4个矩阵相乘来表示,即

(1)

${\mathrm{ }}_{　i}^{i-1}$

T=Rot(x_i_-1,α_i)Tran(x_i_-1,l_i_-1)Rot(z_i,θ_i)·Tran(z_i,d_i)=$\left[\begin{array}{llll}\mathrm{c}{\theta }_{i}& -\mathrm{s}{\theta }_{i}& 0& {l}_{i-1}\\ -\mathrm{s}{\theta }_{i}\mathrm{c}{\alpha }_{i-1}& \mathrm{c}{\theta }_{i}\mathrm{c}{\alpha }_{i-1}& -\mathrm{s}{\alpha }_{i-1}& -\mathrm{s}{\alpha }_{i-1}{d}_{i}\\ \mathrm{s}{\theta }_{i}\mathrm{s}{\alpha }_{i-1}& \mathrm{c}{\theta }_{i}\mathrm{s}{\alpha }_{i-1}& \mathrm{c}{\alpha }_{i-1}& {d}_{1}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

式(1)中:sθ=sinθ,cθ=cosθ;Rot(·)和Tran(·)分别为旋转矩阵和平移矩阵。

正运动学方程可以表示为

(2)

${\mathrm{ }}_{7}^{0}$

${=}_{1}^{0}{T}_{2}^{1}{T}_{3}^{2}{T}_{4}^{3}{T}_{5}^{4}{T}_{6}^{5}{T}_{7}^{6}$

由于机械臂为七自由度,存在冗余关节,故求取逆解会有无数种,常见的求取逆解方法有几何法、解析法、数值分析法^[20],其中几何法适合末端腕部三轴交于一点的机械臂,而本文研究机器并不符合Pieper原则,解析法适用于六自由度以下的机器,本文研究机器为冗余机械臂,故采用数值分析法进行求解,通过改进粒子群算法利用上文求解的末端位置方程进行迭代求解。根据最短行程法定义适应度函数为

(3)f=$\sqrt{({p}_{x}{-x)}^{2}+({p}_{y}{-y)}^{2}+({p}_{z}{-z)}^{2}}$+ω[(θ_q₁-θ_j₁)²+(0.5θ_q₂-θ_j₂)²+(0.5θ_q₃-θ_j₃)²+(0.5θ_q₄-θ_j₄)²+(0.1θ_q₅-θ_j₅)²+(0.1θ_q₆-θ_j₆)²+(0.1θ_q₇-θ_j₇)²]

式(3)中:(p_x,p_y,p_z)、θ_qi分别为种群当前最优个体位置与各个关节的角度;(x,y,z)、θ_ji分别为目标位置与初始各关节角度;ω为权重系数。

通过设定不同惯性权重系数来对比逆解求解的效果,常值、线性、非线性与渐变惯性权重计算公式分别为

(4)ω=0.9

(5)ω=ω_s-(ω_s-ω_e)$\frac{i}{{N}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}$

(6)ω=ω_s-(ω_s-ω_e)${\left(\frac{i}{{N}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}\right)}^{2}$

(7)ω=0.5exp$\left[\frac{-i({N}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-i+100)}{{N}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{2}}\right]$

式中:i为当前迭代次数;ω_s=0.9、ω_e=1.2分别为初始、终止惯性权重;N_max=100为最大迭代次数。

惯性权重对比图如图4所示。由此可知采用渐变惯性权重参数进行求解时,与常值、线性、非线性惯性权重相比,收敛速度快,迭代次数少。

改进PSO算法求逆解流程图如图5所示。

随机选择50个笛卡尔空间位置点,通过算法求取关节角度代入正运动学方程得到计算位置点,验证结果如图6所示,曲线基本重合,得出逆解算法正确。

1.3 双臂紧协调位姿关系推导

建立双臂机器人的位姿转换关系^[21]如图7所示。末端吸附装置与板材之间建立刚性连接。其中,O_b、O_t分别为双臂机器人的基坐标系、板材工具坐标系。R_b、L_b分别为主臂基坐标系、从臂基坐标系,R_t、L_t分别为主臂末端工具坐标系、从臂末端工具坐标系。

板材工具坐标系和双臂机器人基坐标系之间的转换表达式为

(8)

${\mathrm{ }}^{{O}_{\mathrm{b}}}{T}_{{\mathrm{O}}_{\mathrm{t}}}{=}^{{O}_{\mathrm{b}}}{{T}_{{\mathrm{R}}_{b}}}^{{\mathrm{R}}_{b}}{{T}_{{\mathrm{R}}_{t}}}^{{\mathrm{R}}_{t}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}$

(9)

${\mathrm{ }}^{{O}_{\mathrm{b}}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}{=}^{{O}_{\mathrm{b}}}{{T}_{{\mathrm{L}}_{b}}}^{{\mathrm{L}}_{b}}{{T}_{{\mathrm{L}}_{t}}}^{{\mathrm{L}}_{t}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}$

式中

${:}^{{O}_{\mathrm{b}}}{T}_{{\mathrm{R}}_{b}}{、}^{{O}_{\mathrm{b}}}{T}_{{\mathrm{L}}_{\mathrm{b}}}$

分别为双臂机器人基坐标系到主臂、从臂基坐标系的位姿变换矩阵,由于两机械臂底座之间固定连接,距离保持固定故为常数矩阵

${;}^{{R}_{\mathrm{t}}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}{、}^{{L}_{\mathrm{t}}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}$

分别为主臂、从臂末端工具坐标系到板材工具坐标系的位姿变换矩阵。表达式为

(10)${\mathrm{ }}^{{R}_{\mathrm{t}}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}$=$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& {d}_{7\mathrm{R}}+L/2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

(11)${\mathrm{ }}^{{L}_{\mathrm{t}}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}$=$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& -{d}_{7\mathrm{L}}-L/2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

式中:d_7R、d_7L分别为主臂与从臂的七轴位移;L为主臂与从臂之间的固定距离。

在给定

${\mathrm{ }}^{{O}_{\mathrm{b}}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}$

的情况下,由式(8)可得

(12)${\mathrm{ }}^{{R}_{\mathrm{b}}}{T}_{{\mathrm{R}}_{t}}$=${(}^{{O}_{\mathrm{b}}}{T}_{{R}_{\mathrm{b}}}{{)}^{-1}}^{{O}_{\mathrm{b}}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}{(}^{{\mathrm{R}}_{t}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}{)}^{-1}$

式(12)中

${:}^{{R}_{\mathrm{b}}}{T}_{{\mathrm{R}}_{t}}$

=⁷T₀ 。

根据上文的逆解算法,可以求出主臂各个关节的角度。

联立式(8)和式(9),可得

(13)

${\mathrm{ }}^{{O}_{\mathrm{b}}}{{T}_{{\mathrm{R}}_{b}}}^{{\mathrm{R}}_{b}}{{T}_{{\mathrm{R}}_{t}}}^{{\mathrm{R}}_{t}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}{=}^{{O}_{\mathrm{b}}}{{T}_{{\mathrm{L}}_{b}}}^{{\mathrm{L}}_{b}}{{T}_{{\mathrm{L}}_{t}}}^{{\mathrm{L}}_{t}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}$

通过式(13)可得

(14)${\mathrm{ }}^{{L}_{\mathrm{b}}}{T}_{{\mathrm{L}}_{t}}$=${(}^{{O}_{\mathrm{b}}}{T}_{{L}_{\mathrm{b}}}{{)}^{-1}}^{{O}_{\mathrm{b}}}{{T}_{{\mathrm{R}}_{b}}}^{{\mathrm{R}}_{b}}{{T}_{{\mathrm{R}}_{t}}}^{{\mathrm{R}}_{t}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}{(}^{{\mathrm{L}}_{t}}{T}_{{\mathrm{O}}_{t}}{)}^{-1}$

(15)${\mathrm{ }}^{{L}_{\mathrm{b}}}{T}_{{\mathrm{R}}_{b}}$=${(}^{{O}_{\mathrm{b}}}{T}_{{L}_{\mathrm{b}}}{{)}^{-1}}^{{O}_{\mathrm{b}}}{T}_{{\mathrm{R}}_{b}}$

(16)

${\mathrm{ }}^{{L}_{\mathrm{t}}}{T}_{{\mathrm{R}}_{t}}{=}^{{R}_{\mathrm{t}}}{T}_{{\mathrm{O}}_{b}}{(}^{{\mathrm{L}}_{t}}{T}_{{\mathrm{O}}_{b}}{)}^{-1}$

将式(15)与式(16)代入式(14)可得

(17)

${\mathrm{ }}^{{L}_{\mathrm{b}}}{T}_{{\mathrm{L}}_{t}}{=}^{{L}_{\mathrm{b}}}{{T}_{{\mathrm{R}}_{b}}}^{{\mathrm{R}}_{b}}{{T}_{{\mathrm{R}}_{t}}}^{{\mathrm{R}}_{t}}{T}_{{\mathrm{L}}_{t}}$

实验样机的特殊性在于末端控制姿态的关节为2、4、5与6轴,其中2轴与4轴旋转方向一致,控制x轴方向的旋转,且与末端执行器为刚性连接关系,故主臂与从臂需同步运动,y轴与z轴方向的旋转与6轴、5轴相关,根据旋转轴线始终为主臂与从臂中间位置,故在运动过程中主臂与从臂的5轴与6轴保持一致。

在得到主臂的各个关节角度之后,输入2、4、5与6轴的关节变量作为常数,在改进粒子群算法中进行从臂其余关节变量的求解。综上得出主臂与从臂的一系列关节变量。

2 关节空间轨迹规划

关节空间路径规划是指在给定机器人关节约束的情况下,生成机器人各关节变量(位置、速度、加速度等)的变化曲线。常见规划方法有多项式插值、分段多项式插值、贝塞尔曲线、B样条曲线^[22]。B样条曲线除了具有局部支撑性,还保留了贝塞尔曲线的凸包性质和几何不变性^[23]。同时根据本实验机器高承载的特性,机器的启停冲击应保持在合理范围之内,故需要对起止急动度进行设置,所以采用七次B样条曲线进行关节空间轨迹规划。k次B样条曲线的一般形式为

(18)p(u)=$\stackrel{n}{\sum _{i=0}}$d_iN_i_,_k(u)

式(18)中:p(u)为七次B样条曲线的参数化表达式;d_i为B样条曲线中的控制顶点;N_i_,_k(u)为K阶规范B样条基函数;时间节点向量U=[u₀,u₁,…,u_n₊_k,u_n₊_k₊₁]定义参数u的取值区间,p(u)根据deBoor-Cox递推公式可知

(19)

$\left\{\begin{array}{l}{N}_{i,0}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{l}1,　{u}_{i}\le u\le {u}_{i+1}\\ 0,　其他\end{array}\right.\\ {N}_{i,k}\left(u\right)=\frac{u-{u}_{i}}{{u}_{i+k}-{u}_{i}}{N}_{i,k-1}\left(u\right)+\\ 　　　　\frac{{u}_{i+k+1}-u}{{u}_{i+k+1}-{u}_{i+1}}{N}_{i+1,k-1}\left(u\right)\\ \frac{0}{0}=0\end{array}\right.$

式(19)中:当递推计算中出现分子与分母同时为0的0/0形式时,统一规定该分式的取值为0。

为了使时间内节点与每段曲线的起止连接点相对应,起止k+1个内节点相同,采用标准节点矢量,令u₀=…=u_k=0, u_n₊₁=…=u_n₊_k₊₁=1。为了获得内节点值,采用累计弦长参数化方法对轨迹路径点的时间节点进行归一化处理。

(20)u_i=u_i_-1+$\frac{\mathrm{\Delta }{t}_{i-k-1}}{\stackrel{n-1}{\sum _{j=0}}\mathrm{\Delta }{t}_{j}}$, i=k+1,k+2,…,n+k-1

式(20)中:Δ

${{t}_{i-k-}}_{1}$

= t_i-k-

${{t}_{i-k-}}_{1}$

, k=0,1,…,n-1。

于是可以得到n+1个满足插值条件的方程,即

(21)p(u_i₊_k)=$\stackrel{i+k}{\sum _{j=0}}$d_jN_j_,_k(u_i₊_k)=p_i

式(21)中:u_i₊_k∈[u_k,u_n₊_k],i=0,1,…,n。根据切矢边界条件,可以得到k-1个附加方程。七次B样条曲线的切向边界条件可以取启停速度v_s、v_e,启停加速度a_s、a_e,启停急动度j_s、 j_e。得到如下方程。

(22)$\stackrel{·}{p}$(u_k₊₁)=v_s, $\stackrel{·}{p}$(u_n₊_k)=v_e

(23)$\stackrel{··}{p}$(u_k₊₁)=a_s, $\stackrel{··}{p}$(u_n₊_k)=a_e

(24)$\stackrel{···}{p}$(u_k₊₁)=j_s, $\stackrel{···}{p}$(u_n₊_k)=j_e

式中:

$\stackrel{·}{p}$

、

$\stackrel{··}{p}$

、

$\stackrel{···}{p}$

分别为机械臂关节空间的速度、加速度、急动度。

根据deBoor-Cox递归公式,推导出各阶导矢的递推公式为

(25)

$\left\{\begin{array}{l}{p}^{l}\left(u\right)=\stackrel{i}{\sum _{j=i-k+r}}{d}_{j}^{l}{N}_{j,k-l}\left(u\right),　{u}_{i}\le u\le {u}_{i+1}\\ {d}_{j}^{l}=\left\{\begin{array}{l}{d}_{j},　l=0\\ (k+1-l)\frac{{d}_{j}^{l-1}-{d}_{j-1}^{l-1}}{{u}_{j+k+1-l}-{u}_{j}},\\ 　　l=\mathrm{0,1},\dots,j,\mathrm{ }j=i-k+l\end{array}\right.\end{array}\right.$

由于B样条曲线具有凸包性质,且与曲线的阶次成正相关,因此可以将运动学约束转化为B样条曲线控制顶点的约束。

(26)

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\left|{d}_{mj}^{1}\right|\right\}\le {v}_{m\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},　j=\mathrm{1,2},\dots,n+k-1\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\left|{d}_{mj}^{2}\right|\right\}\le {a}_{m\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},　j=\mathrm{2,3},\dots,n+k-1\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\left|{d}_{mj}^{3}\right|\right\}\le {j}_{m\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},　j=\mathrm{3,4},\dots,n+k-1\end{array}\right.$

式(26)中:

${d}_{mj}^{1}$

、

${d}_{mj}^{2}$

、

${d}_{mj}^{3}{d}_{mj}^{1}$

、

${d}_{mj}^{2}$

、

${d}_{mj}^{3}$

分别为第m个关节的速度、加速度、急动度的第j个控制顶点。

3 基于NGSA-II的多目标算法求解

3.1 优化目标介绍

在实际工程问题中单目标优化常常不能满足实际要求,故需进行多目标优化。在工业机器人轨迹规划过程中为了提高机械臂的工作效率、减少能耗以及机械臂的运动冲击,经常使用以下指标^[24]。

(27)f₁=$\stackrel{n-1}{\sum _{i=0}}$h_i=$\stackrel{n-1}{\sum _{i=0}}$(t_i-t_i_-1)=T

(28)f₂=$\stackrel{M}{\sum _{m=1}}\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}{a}_{i}^{2}\mathrm{d}t}$

(29)f₃=$\stackrel{M}{\sum _{m=1}}\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}{j}_{i}^{2}\mathrm{d}t}$

(30)f₄=$\stackrel{M}{\sum _{m=1}}\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}{t}_{i}^{2}\mathrm{d}t}$

(31)f₅=$\stackrel{M}{\sum _{m=1}}\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}({q}_{i}{t}_{i}{)}^{2}\mathrm{d}t}$

式中:h_i、t_i分别为第i段轨迹的时间间隔和第i点所对应的时刻;a_i、j_i分别为关节i的加速度和急动度;q_i、τ_i分别为第i个关节的坐标和归一化时间参数;f₁为机械臂运动过程中的时间之和;f₂为关节的平均加速度之和;f₃为关节的平均冲击之和;f₄为关节的平均扭矩之和;f₅为机械手的总能量消耗。

在实际工程中,需要考虑一些动态约束,速度、加速度与急动度的最大值小于关节极限值,以保护机械臂的执行器。由于无法建立准确的动力学模型,所以采用f₁、 f₂、 f₃作为指标。

3.2 NGSA-Ⅱ算法流程

NSGA-Ⅱ算法通过快速非支配排序和个体拥挤度距离计算方法,能够产生一组最优解,这些解在多个目标函数方面都达到了最优。因此被广泛应用于多目标优化问题的求解。

Pareto的支配关系定义如下。对于n个目标分量的最小化多目标向量F(x)= [minf₁(x),minf₂(x),…,minf_n(x)],任意给定两个决策变量u,v∈Q:当且仅当i∈{0,1,2,…,n},f_i(u)<f_i(v),则定义为v支配u。在整个解空间S中,Pareto最优解集中的所有解都不受其他解的支配。

为了保证种群的多样性,NSGA-Ⅱ算法采用了个体拥挤度距离计算方法,并使用精英策略对种群中的个体进行选择和淘汰。

对于拥挤度距离的上下边界设为无穷,拥挤度距离计算公式为

(32)n_d=$\frac{f(i+1)-f(i-1)}{{f}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{f}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$

式(32)中:f_max与f_min分别为适应度函数的最大值和最小值。

采用二进制交叉策略如图8所示,通过rand函数对所有种群个体在0~1进行随机赋值,作为个体交叉概率小于0.5时进行两两交叉,交叉公式为

(33)

$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1j}\left(t\right)=0.5\left[\right(1+{r}_{j}\left){x}_{1j}\right(t)+(1-{r}_{j}\left){x}_{2j}\right(t\left)\right]\\ {x}_{2j}\left(t\right)=0.5\left[\right(1-{r}_{j}\left){x}_{1j}\right(t)+(1+{r}_{j}\left){x}_{2j}\right(t\left)\right]\end{array}\right.$

(34)r_j=$\left\{\begin{array}{ll}(2{u}_{j}{)}^{1/({n}_{\mathrm{c}}+1)},& {u}_{j}<0.5\\ 1-\left[2\right(1-{u}_{j}{\left)\right]}^{1/({n}_{\mathrm{c}}+1)},& {u}_{j}>0.5\end{array}\right.$

式中:

${{x}_{1}}_{j}$

为第1代个体的第j个决策变量取值;

${{x}_{2}}_{j}$

为第2代个体的第j个决策变量取值;r_j为交叉概率;u_j为交叉概率判断值;n_c为交叉分布指数。

精英保留选择是指在迭代进化过程中适应度最高的个体不必进行交叉策略,这样可以避免种群当中的优异个体不会因为交叉操作而被破坏,因此具有精英保留选择策略的遗传算法是全局收敛的。

采用多项式分布策略对个体自身进行变异,计算公式为

(35)x₁_j(t)=x₁_j(t)+Δ_j

(36)Δ_j=$\left\{\begin{array}{ll}(2{u}_{j}{)}^{1/({n}_{\mathrm{v}}+1)},& {u}_{j}<0.5\\ 1-\left[2\right(1-{u}_{j}{\left)\right]}^{1/({n}_{\mathrm{v}}+1)},& {u}_{j}>0.5\end{array}\right.$

式中:n_v为变异分布指数。

NSAG-Ⅱ具体参数如表2所示,具体流程如图9所示。

通过NSGA-Ⅱ算法产生50组Pareto最优解集,每组解集都是一个非支配解,提出一种基于模糊评判的选择方法来选择一组潜在最优解该方法的步骤如下。

(1)从所得Pareto解集中选择每个适应度函数中的最大值f_i_max和最小值f_i_min。

(2)建立隶属函数,定义线性分布关系来计算,公式为

(37)u_i(x)=$\frac{{f}_{i\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{f}_{i}\left(x\right)}{{f}_{i\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{f}_{i\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$

(3)构建模糊评价函数,定义Hamming distance(汉明距离)为

(38)d(x)=$\frac{1}{m}\stackrel{m}{\sum _{i=1}}\left|{u}_{i}\left(x\right)-1\right|$

式(38)中:m=3为适应度函数的数量。

定义closeness(亲密度)为

(39)σ(x)=2$\stackrel{m}{\sum _{i=1}}\frac{{u}_{i}\left(x\right)}{m+\stackrel{m}{\sum _{i=1}}{u}_{i}\left(x\right)}$

使用汉明距离和亲密度来解决Pareto解之间的位置差异,定义相关度为

(40)ξ(x)=$\frac{1}{x}\stackrel{m}{\sum _{i=1}}\frac{\mathrm{m}\mathrm{i}{\mathrm{n}}_{i}\left|{u}_{i}\left(x\right)-1\right|+0.5\mathrm{m}\mathrm{a}{\mathrm{x}}_{i}\left|{u}_{i}\left(x\right)-1\right|}{\left|{u}_{i}\left(x\right)-1\right|+0.5\mathrm{m}\mathrm{a}{\mathrm{x}}_{i}\left|{u}_{i}\left(x\right)-1\right|}$

相关度主要用来解决Pareto解集之间的形状差异。

模糊评价函数定义为

(41)E(x)=$\left|{\lambda }_{d}[1-d(x\left)\right]+{\lambda }_{\sigma }\sigma \left(x\right)+{\lambda }_{\xi }\xi \left(x\right)\right|$

式(41)中:系数λ_d、λ_σ和λ_ξ都为1/3。具有最佳模糊评价函数的解就是潜在选择。

4 仿真实验

4.1 软件仿真

将Solidworks模型导入Adams中,通过设置物体连接关系和驱动函数进行仿真实验。通过规划无碰撞路径,将两个7自由度机械臂视为14自由度单臂机器人进行多目标轨迹优化^[25],根据逆运动学与双臂紧协调关系列出主臂与从臂的关节位置点如表3、表4所示。

采用七次B样条曲线构造关节轨迹,设定起止速度、加速度和急动度为零,采用f₁、 f₂、 f₃作为指标函数,以每段时间t为决策变量,对每段轨迹曲线的速度、加速度和急动度进行约束,运动学约束如表5所示。

根据上文算法流程编写MATLAB程序进行时间、能耗与冲击的多目标优化,优化后Pareto解集前沿如图10所示。可知,冲击载荷与系统能耗呈正相关,该变化规律与客观物理机制一致;在时间零点邻近区间,冲击与能耗均达到峰值,二者与时间呈负相关关系。上述规律表明,若单纯提升作业运行速度以追求生产效率,将不可避免地增大系统能量消耗。

在50个解集当中,通过模糊评判法求取最优潜在解如图11所示,在x=5时E(x)取最小值为4.537 8,其对应的Pareto解集为(36.80,13.42,11.03)。Pareto部分解如表6所示。

结合图10与表6可以得出越接近A点时间越短,能耗与冲击性能越大。在接近B点的解能耗与冲击指标变小,时间变长。冲击与能耗变化方向是同向的,与时间变化是反向的。C点相对于未优化曲线时间优化了16%,能耗与冲击分别优化了11%、12%,相对于A点时间减慢了35%,但能耗与冲击减少明显,相对于B点能耗与冲击增加较少,但时间减少20.8%,提升明显。选取C点时间节点t=[0.9,12.5,16.25,18.05,27.6,33.05,36.8],主臂与从臂优化曲线如图12所示。可知各关节在运动开始与结束时冲击为零,且各关节运动曲线平稳顺滑,符合实际要求。

在Adams模型中导入双臂各关节的运动曲线,创建SPLINE曲线,关节位移曲线通过CUBSPL函数设为驱动,设置模拟仿真时间36.80 s,步数500,运行过程如图13所示,双臂模型起停平滑,惯性冲击小,整体运动平缓。算法的合理性得到了验证。

4.2 样机实验验证

上文通过对Adams双臂模型进行仿真实验,验证了算法的有效性,接下来将多目标优化曲线导入双臂样机对实际板材进行安装,观察板材安装的平稳性,通过后台记录数据,与上文Adams仿真实验对比板材安装过程轨迹,以此进一步验证方法的有效性和实用性。

现场实验采用1.5 m×3 m、质量500 kg的玻璃板材,工作流程如下:首先通过操控双臂机器人AGV移动底盘移动到板材放置地,抓取板材放置在底盘上方;然后移动至建筑安装位置;最后通过上位机建立双臂通信采用自动模式,在左臂与右臂的操作台通过MoveJ(q₁,q₂,q₃,q₄,q₅,q₆,q₇,Δt_i)指令输入各关节曲线,其中q_i为第i个关节当前的关节位置,Δt_i为完成第i段指令所需要的时间,然后记录后台数据通过外接移动端设备输出曲线。

双臂样机安装实验过程如图14所示,在安装过程中末端板材启停平稳,无抖动现象,符合建筑外墙重载板材安装的平稳性要求,进一步验证了本文轨迹规划方法在实际作业中的平稳性优势。

如图15所示,安装过程中通过双臂七轴位置传感器和末端中心位置传感器记录位置信息,然后反馈至操作台,通过后处理与Adams仿真轨迹进行对比,可知末端笛卡尔空间曲线没有发生突变现象,轨迹平缓符合板材安装的精度与平稳性要求,且仿真轨迹与实际样机运行轨迹基本重合,误差保持在毫米级,与前文实例验证的末端定位误差一致。

通过双臂样机现场安装实验的验证,进一步证实了所提出的多目标轨迹优化方法的有效性和实用性,其规划的轨迹不仅能在仿真环境中实现优化效果,还能精准适配实际样机作业,轨迹平滑、定位精准,完全满足重载板材安装的工程实际需求,为方法的规模化工程应用提供了直接的实测支撑。

5 结论

通过构建七次B样条曲线进行关节空间轨迹规划,采用NSGA-Ⅱ算法对时间、能耗与冲击进行多目标优化,以板材安装机器人为例验证了该方法的正确性。结论如下。

(1)通过双臂紧协调关系推导主臂与从臂的位姿关系,采用改进粒子群算法求取逆解,通过MATLAB验证方法的正确性。

(2)以七次B样条曲线作为轨迹规划方法,设定运动学约束,以运动总时间、关节加速度、关节急动度作为目标函数,通过NSGA-Ⅱ算法得到Pareto解集,实现了机械臂的多目标优化。

(3)采用模糊评判法对Pareto解集选取潜在最优解,与时间最优解集相比,能耗与冲击提升巨大,通过Adams仿真实验观察得到双臂运行平滑,验证了该方法的正确性。在工地现场进行板材安装实验,得到的末端笛卡尔轨迹曲线与Adams曲线几乎一致,且运行过程平稳证明有实际工程应用价值。

所研究内容仍存在着不足和完善的地方,后续工作中将对以下方面进行研究:多目标优化时考虑交流电机之间的热损耗以及摩擦及其对最终的能耗指标会造成影响;更加复杂的工况下如移动到指定位置进行板材安装,双臂之间以及环境当中的障碍物避障问题等。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

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