输入饱和约束下的遥操作自适应有限时间同步位置跟踪控制

李二超 ,  郑旭 ,  张浩琛

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (18) :7769-7783

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科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (18) :7769-7783 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2503610
自动化技术、计算机技术

输入饱和约束下的遥操作自适应有限时间同步位置跟踪控制

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Adaptive Finite-time Synchronized Position Tracking Control for Teleoperation with Input Saturation Constraints

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摘要

针对遥操作机器人系统存在的执行器饱和约束、动态不确定性、非对称时变通信时延及复合干扰等复杂工况下的高精度轨迹跟踪控制问题。提出了一种基于神经网络补偿的比例-阻尼有限时间自适应抗饱和控制方法。首先,基于主从端位置误差构造比例阻尼项,以增强遥操作系统的瞬态性能与鲁棒性;并采用径向基函数(radial basis function, RBF)神经网络对系统动态不确定性及未知重力力矩进行在线逼近。其次,针对执行器饱和非线性约束问题,提出一种融合增益自适应切换机制与RBF神经网络在线动态补偿的有限时间抗饱和控制架构,实现饱和动态的有限时间补偿及执行力矩的平滑过渡。进一步,通过引入终端滑模项,构建有限时间自适应控制器;基于有限时间收敛理论设计参数自适应更新律,确保估计误差在有限时间内收敛至很小的领域内。采用多重李亚普洛夫函数法严格证明了所提控制策略下闭环遥操作系统是有界和有限时间稳定的。最后,进行了仿真实验,并与其他控制方法进行了比较,验证了所提出控制方案的有效性。本次研究在水下管道焊接等复杂危险作业中,克服制约因素,可以完成高精度焊接等任务。

Abstract

In order to solve the high-precision trajectory tracking control problem of teleoperation robot systems under complex working conditions-including actuator saturation constraints, dynamic uncertainties, asymmetric time-varying communication delays, and compound disturbances-a proportional-damping finite-time adaptive anti-saturation control strategy based on neural network compensation was proposed. Specifically, a proportional damping term was constructed using the position error between the master and slave ends to enhance the transient performance and robustness of the teleoperation system. Additionally, RBF (radial basis function) neural network was employed to approximate the system dynamic uncertainties and unknown gravity torques in real time. To tackle the actuator saturation nonlinear constraint issue, a finite-time anti-saturation control architecture was developed, which integrates a gain-adaptive switching mechanism and RBF neural network-based online dynamic compensation. This architecture achieves finite-time compensation for saturation dynamics and ensures smooth transitions of the execution torque. Furthermore, by incorporating a terminal sliding mode term, a finite-time adaptive controller was designed. Based on finite-time convergence theory, a parameter adaptive update law was formulated to guarantee that the estimation error converges to zero within a finite time. The boundedness and finite-time stability of the closed-loop teleoperation system under the proposed control strategy are rigorously proven using the multiple Lyapunov function method. Finally, comprehensive simulation experiments were conducted, and the results were compared with those of alternative control methods, which demonstrates the effectiveness and superiority of the proposed scheme. In studies involving complex and hazardous operations such as underwater pipeline welding, this technology overcomes constraints and enables the completion of high-precision welding tasks.This study overcomes the constraints in complex and hazardous operations such as underwater pipeline welding, enabling the completion of high-precision welding tasks.

Graphical abstract

关键词

遥操作系统 / 自适应有限时间控制 / 径向基神经网络 / 位置跟踪 / 输入饱和补偿

Key words

teleoperation system / adaptive finite-time control / radial basis function neural network / position tracking / input saturation compensation

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李二超, 郑旭, 张浩琛. 输入饱和约束下的遥操作自适应有限时间同步位置跟踪控制[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(18): 7769-7783 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2503610
LI Er-chao, ZHENG Xu, ZHANG Hao-chen. Adaptive Finite-time Synchronized Position Tracking Control for Teleoperation with Input Saturation Constraints[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(18): 7769-7783 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2503610

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随着复杂工业自动化水平的不断提高,遥操作机器人在复杂任务中的高精度控制已成为重要的研究领域[1],如远程医疗操作、水下远程操作、触觉辅助训练[2]、远程康复[3]和太空探索等。在深海资源勘探、水下管道维修等实际任务中,通用型水下遥操作关节机器人需在复杂海洋环境下实现高精度轨迹跟踪。例如,水下管道焊接作业中,机器人需跟随操作员动作完成毫米级焊缝跟踪,但执行器输出扭矩受水下耐压壳体限制,易出现输入饱和;同时,海水流动导致的复合干扰、主从端跨海域通信的非对称时变时延,进一步加剧了跟踪误差,严重影响作业质量。现有方法难以同时应对多重约束,因此亟需提出针对性控制策略。但是,遥操作机器人轨迹跟踪控制的精度易受执行机构饱和约束、动态不确定性、非对称时变通信延迟及复合干扰等因素影响,为了实现遥操作的精确轨迹跟踪,提升系统在复杂工况下的稳定性与跟踪性能,本质上就是增强控制策略的鲁棒性和抗干扰性[4]。
评价遥操作机器人系统的指标主要有稳定性、透明性和任务性能3个方面[5]。其中,稳定性是遥操作机器人系统的基本目标[6]。在双向遥操作系统长距离网络通信过程中,时延是不可避免的,它会削弱跟踪性能,甚至使系统稳定性不稳定。基于此,学者们提出了多种控制策略,包括无源理论、散射方法[7]、波变量结构[8]、改进的波变量方案[9]和P+D(proportional+derivative)控制[10],分析了恒定通信时延下的稳定性。除此之外,为了实现稳定性和位置轨迹跟踪,在控制器设计中和稳定性分析中引入李雅普诺夫理论,提出了很多控制方法,如模糊控制[11]、自适应控制[12]、输出反馈控制[13]和前馈反馈位置控制[14]等。在上述方法中,研究者更注重解决遥操作系统的固定延迟稳定性问题。但是,在实际的遥操作系统中通信时延是不断变化的。
比例阻尼注入控制是针对时延遥操作系统稳定性问题的一种有效解决方案。针对时延遥操作系统控制问题,学者们提出采用Lyapunov泛函理论与阻尼注入控制策略相融合的方法,构建系统鲁棒控制器并开展渐进稳定性分析。Bao等[15]提出神经网络结合P+D自适应控制方法,解决时延对系统带来的影响,实现遥操作系统的稳定性和控制性能。Xi等[16]提出一种带阻尼调节和自适应策略的新型P+D控制方案,解决时研遥操作系统的稳定性与位置同步问题,该方案在收敛速度、跟踪精度和鲁棒性上优于传统固定阻尼控制方法。Yang等[17] 提出一种鲁棒有限时间复合学习自适应控制方案,解非线性遥操作系统有限时间同步问题,实现位置/力同步误差与参数估计误差的有限时间收敛,鲁棒性更优。但是以上方法均是在理想状态,并未考虑执行器饱和,动态不确定性,未知重力力矩与非对称时延问题。
动态不确定性对遥操作系统的稳定性构成严峻挑战,显著削弱系统的鲁棒跟踪精度与透明交互性能。针对动态不确定模型,Lu等[18] 提出一种基于位置误差控制结构的双边自适应控制方法,解决时延遥操作系统中动态参数不确定与恒定通信时延问题,保证系统稳定的同时跟踪性能、参数估计精度优于传统自适应控制方法。Moran-Armenta等[19]提出采用类比例微分控制框架中的自适应神经网络补偿策略来解决系统动力学相关的不确定性。Chan等[20]使用改进的扩展主动观察器和自适应控制方法,以解决非线性机器人模型的不确定性。虽然以上控制方法可以实现跟踪误差的收敛,但没有考虑快速收敛。
稳态性能是遥操作系统的关键指标。由于有限时间控制可提升收敛速度、鲁棒性和跟踪精度,所以把有限时间控制引入遥操作机器人系统中。Zhang等[21]通过引入积分滑模项,构建有限时间自适应控制器,使得轨迹跟踪在有限时间内收敛。Huang等[22]通过使用分层控制框架,引入有限时间自适应控制方法,实现有限时间跟踪。虽然以上方法引入有限时间控制,使得系统快速收敛,但是在系统中没有考虑到执行器输入饱和这一问题。
执行器输入饱和会限制了被控对象的控制信号,导致控制输入幅值受限,引发非线性死区效应,往往会严重降低跟踪精度,使得主从端位置跟踪误差显著增大,尤其在动态反向运动时易触发超调和稳态误差。Li等[23]提出了自适应实用预定义时间控制方案。利用固定时间扩展状态观测器构建抗饱和辅助系统来解决输入饱和问题。Zhang等[24]提出一种固定时间快指数超扭曲滑模控制器,设计了一个反饱和辅助系统来处理输入饱和,从而实现了轨迹的跟踪。尽管如此,文献[23-24]中时间延迟为固定时延,时延假定为常数。在遥操作系统中,时变时延必须要考虑。此外,文献[18-22]中没有解决输入饱和问题。
鉴于此,针对非线性遥操作系统中存在的系统动态不确定、非对称时变时延、未知重力力矩、复合干扰以及执行器饱和等多重约束问题,现提出一种基于神经网络补偿的比例-阻尼有限时间自适应抗饱和控制策略。该策略通过以下方法实现高精度位置跟踪控制。在主从端位置误差中引入阻尼项以构建比例-阻尼控制框架,并利用径向基函数(radial basis function,RBF)神经网络对包括未知重力力矩在内的系统动态不确定项进行在线估计与逼近。针对执行器饱和非线性,现设计一种融合切换增益自适应机制与RBF神经网络在线动态补偿的有限时间自适应抗饱和架构,以实现对饱和动态的有限时间补偿和执行力矩的平滑过渡。通过引入终端滑模项构建有限时间自适应控制器,并基于有限时间收敛理论设计参数自适应更新律,确保估计误差在有限时间内收敛至有界邻域。采用多重Lyapunov函数法对所提控制策略进行严格的稳定性证明,为复杂工况下遥操作系统跟踪精度问题的研究提供参考。

1 问题描述

1.1 遥操作系统的动力学描述

所研究的遥操作系统由一对结构相同的主、从端机器人组成。每个机器人具有n个自由度,基于欧拉-拉格朗日理论建模,该系统的整体动力学模型可表示为

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{M}}_{\mathrm{m}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}\right){\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}+{\mathit{C}}_{\mathrm{m}}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}){\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}+{\mathit{G}}_{\mathrm{m}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}\right)+{\mathit{F}}_{\mathrm{m}}\\ \mathit{　}\mathit{　}={\mathit{\tau }}_{\mathrm{m}}-{{\mathit{J}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}{\mathit{F}}_{\mathrm{h}}\\ {\mathit{M}}_{\mathrm{s}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}\right){\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}+{\mathit{C}}_{\mathrm{s}}({\mathit{q}}_{\mathrm{s}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}){\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}+{\mathit{G}}_{\mathrm{s}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}\right)+{\mathit{F}}_{\mathrm{s}}\\ \mathit{　}\mathit{　}={\mathit{\tau }}_{\mathrm{s}}-{{\mathit{J}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}{\mathit{F}}_{\mathrm{e}}\end{array}\right.$

式(1)中: qj,${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$,${\ddot{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$∈Rn分别为机器人的关节角度、角速度和角加速度的信号,其中j=m,s;m、s分别表示主、从机器人;Mj(qj),Cj(qj,${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$),Gj(qj)∈Rn×n分别为机器人的惯性矩阵,机器人的哥氏力与离心力矩阵和重力力矩;Fm,Fs∈Rn分别为机器人的摩擦力矩和外干扰力矩;τm为主从机器人的控制力矩;JTi∈Rn为机器人的雅可比矩阵,是可以将操作员和环境力映射到主机器人和从机器人的关节空间中的扭矩;Fh∈Rn为由操作员施加到主机器人的末端的力;Fe∈Rn为作用在从机器人末端的环境力。

操作员与环境力的动力学通过机器人在任务空间中的末端位置进行描述。参照文献[25],将系统模型假定为线性时不变模型,其表达式为

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{F}}_{\mathrm{h}}={\mathit{f}}_{\mathrm{h}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{h}}{\dot{\mathit{X}}}_{\mathrm{m}}+{\mathit{B}}_{\mathrm{h}}({\mathit{X}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{x}}_{\mathrm{m}0})\\ {\mathit{F}}_{\mathrm{e}}={\mathit{f}}_{\mathrm{e}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{e}}{\dot{\mathit{X}}}_{\mathrm{s}}+{\mathit{B}}_{\mathrm{e}}({\mathit{X}}_{\mathrm{s}}-{\mathit{x}}_{\mathrm{s}0})\end{array}\right.$

式(2)中:Mh、Me、Bh和Be分别为操作者和环境的质量、阻尼,为对称正定矩阵;fh、 fe分别为主从端外部操作者力和环境力;xm0和xs0分别为操作者和环境的初始接触点。

末端执行器的位置可以表示为

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{X}}_{\mathrm{m}}={\mathit{h}}_{\mathrm{m}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}\right)\\ {\mathit{X}}_{\mathrm{s}}={\mathit{h}}_{\mathrm{s}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}\right)\end{array}\right.$

式(3)中:hm(qm)和hs(qs)为关节位置与任务位置之间的变换函数。

任务空间速度${\dot{\mathit{X}}}_{\mathrm{m}}$和${\dot{\mathit{X}}}_{\mathrm{s}}$可以由雅可比矩阵Jm和Js以及关节角速度${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$和${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}$表示为

$\left\{\begin{array}{l}{\dot{\mathit{X}}}_{\mathrm{m}}={\mathit{J}}_{\mathrm{m}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}\\ {\dot{\mathit{X}}}_{\mathrm{s}}={\mathit{J}}_{\mathrm{s}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}\end{array}\right.$

动力学模型(1)是非线性且参数时变的,对于j=m,s,存在如下一些重要性质。

在研究中存在以下一些假设和性质,具体如下。

假设1 额外的力fh和fe以及雅可比矩阵Jm和Js都被假定为是有界的。

假设2 操作者力Fh和环境力Fe均为有界的,即$\exists {\stackrel{-}{\mathit{F}}}_{\mathrm{h}}$,${\stackrel{-}{\mathit{F}}}_{\mathrm{e}}$∈R+,有||Fh||$\le {\stackrel{-}{\mathit{F}}}_{\mathrm{h}}$, ||Fe||$\le {\stackrel{-}{\mathit{F}}}_{\mathrm{e}}$成立。

假设3 εj1和εj2∈Rn是有界近似误差,且满足||εj1||≤${\stackrel{-}{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}1}$, ||εj2||≤${\stackrel{-}{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}2}$。

性质1 质量惯性矩阵Mi(qi)是存在上下界的正定对称矩阵,且存在常值ζmin,ζmax∈R+,满足0≤ζminI≤Mj(qj)I≤ζmaxI<∞,其中I为单位矩阵。

性质2 ${\dot{\mathit{M}}}_{\mathit{j}}$(qj)-2Cj(qj,${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$)是斜对称矩阵,对于∀q∈Rn,q为非零向量,下面的关系总是成立的。

$\boldsymbol{q}^{\mathrm{T}}\left[\dot{\boldsymbol{M}}_{j}\left(\boldsymbol{q}_{j}\right)-2 \boldsymbol{C}_{j}\left(\boldsymbol{q}_{j}, \dot{\boldsymbol{q}}_{j}\right)\right] \boldsymbol{q}=0$

性质3 如果所有的${\ddot{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$、${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$都是有界的,那么哥氏力与离心力矩阵Cj(qj,${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$),重力矩阵Gj(qj),摩擦力矩阵和外部干扰力矩阵Fm、Fs都是有界的。

在实际应用中,式(1)中的机器人动力学参数难以精确获取。所以将主-从机器人的动力学分解为动力学的名义部分和不确定部分,其定义为

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{M}}_{\mathit{j}}\left({\mathit{q}}_{\mathit{j}}\right)={\mathit{M}}_{\mathit{j}\mathrm{o}}\left({\mathit{q}}_{\mathit{j}}\right)+\mathrm{\Delta }{\mathit{M}}_{\mathit{j}}\left({\mathit{q}}_{\mathit{j}}\right)\\ {\mathit{C}}_{\mathit{j}}({\mathit{q}}_{\mathit{j}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}})={\mathit{C}}_{\mathit{j}\mathrm{o}}({\mathit{q}}_{\mathit{j}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}})+\mathrm{\Delta }{\mathit{C}}_{\mathit{j}}({\mathit{q}}_{\mathit{j}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}})\\ {\mathit{G}}_{\mathit{j}}\left({\mathit{q}}_{\mathit{j}}\right)={\mathit{G}}_{\mathit{j}\mathrm{o}}\left({\mathit{q}}_{\mathit{j}}\right)+\mathrm{\Delta }{\mathit{G}}_{\mathit{j}}\left({\mathit{q}}_{\mathit{j}}\right)\end{array}\right.$

式(6)中:Mjo(qj)、Cjo(qj,${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$)和Gjo(qj)为动力学的名义部分;ΔMj(qj)、ΔCj(qj,${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$)、ΔGi(qi)为模型不确定部分。

将式(6)代入动力学模型(1)中,最终动力学可表示为

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{M}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}\right){\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}+{\mathit{C}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}){\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}+{\mathit{G}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}\right)\\ \mathit{　}\mathit{　}={\mathit{\tau }}_{\mathrm{m}}+{{\mathit{J}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}{\mathit{F}}_{\mathrm{h}}+{\mathit{P}}_{\mathrm{m}}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}},{\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}})\\ {\mathit{M}}_{\mathrm{s}\mathrm{o}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}\right){\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}+{\mathit{C}}_{\mathrm{s}\mathrm{o}}({\mathit{q}}_{\mathrm{s}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}){\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}+{\mathit{G}}_{\mathrm{s}\mathrm{o}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}\right)\\ \mathit{　}\mathit{　}={\mathit{\tau }}_{\mathrm{s}}-{{\mathit{J}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}{\mathit{F}}_{\mathrm{e}}+{\mathit{P}}_{\mathrm{s}}({\mathit{q}}_{\mathrm{s}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}},{\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}})\end{array}\right.$

式(7)中:Pm(qm,${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$,${\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$)和Ps(qs,${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}$,${\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}$)分别为主、从端的动态不确定性。

1.2 饱和函数

在实际应用中,执行器饱和限制了控制器的输出扭矩,这可能会极大地限制系统的控制性能。因此,控制器需要考虑输入饱和。向量中的饱和函数sat定义为

sat(uj)=$\left[\begin{array}{l}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}\left({\mathit{u}}_{1}\right)\\ \mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}\left({\mathit{u}}_{2}\right)\\ \mathit{︙}\\ \mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}\left({\mathit{u}}_{\mathit{n}}\right)\end{array}\right]$

式(8)中:uj为控制力矩最终输出的值,j=m,s;sat(·)为饱和函数。

用于遥操作机械手的控制扭矩τj=$[{\mathit{\tau }}_{\mathit{j}1},{\mathit{\tau }}_{\mathit{j}1},\dots,{\mathit{\tau }}_{\mathit{j}\mathit{n}}{]}^{\mathrm{T}}$,输入饱和在遥操作中表示为

τj=sat(uj)=$\left\{\begin{array}{ll}{\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},& {\mathit{u}}_{\mathit{j}}>{\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ {\mathit{u}}_{\mathit{j}},& {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le {\mathit{u}}_{\mathit{j}}\le {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},& {\mathit{u}}_{\mathit{j}}<{\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}\right.$

式(9)中:umax和umin为机器人各关节执行机构输出扭矩限值。

定义Δuj=sat(uj)-uji=τj-uji,uji=[uj1,uj2,…,ujn]T∈Rn,Δuj=[Δuj1,Δuj2,…Δujn]T∈Rn有τj=uji+Δuj。该定义用于控制器的设计。

1.3 RBF神经网络

由于存在非线性动态不确定部分,很难对其进行线性参数化以便精确地逼近和获取相关信息。采用径向基函数(RBF)神经网络的自适应控制方法能够很好地解决上述问题。应用径向基函数神经网络来估计不确定的动态特性。径向基函数神经网络可以逼近一个连续函数F(x):从Ra映射到Rb,使得

F(x)=xTϕ(x)+ε

式(10)中:χ∈Rl×d为具有l个节点的最优参数权重矩阵;x∈Ra为输入向量;φ(x)∈Rl为高斯基函数向量;ε为逼近误差,且如文献[21]所述是有界的,||ε||≤E,其中E即是一个正常数。

φ(x)=exp$\left[-\frac{(\mathit{x}-{\mathit{c}}_{\mathit{i}}{)}^{\mathrm{T}}(\mathit{x}-{\mathit{c}}_{\mathit{i}})}{2{\mathit{b}}^{2}}\right]$,i=1,2,…,l

式(11)中:ci∈Ra为高斯函数的中心;b为高斯函数的宽度。

1.4 控制目标

定义关节位置跟踪误差em和es为

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{e}}_{\mathrm{m}}={\mathit{q}}_{\mathrm{m}}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{q}}_{\mathrm{s}}\left(\mathit{t}\right)(\mathit{t}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathrm{m}})\\ {\mathit{e}}_{\mathrm{s}}={\mathit{q}}_{\mathrm{s}}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{q}}_{\mathrm{m}}\left(\mathit{t}\right)(\mathit{t}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathrm{s}})\end{array}\right.$

在遥操作系统中,主、从机器人的位置信号需双向传输至对方控制器,构成双向控制架构。在传输过程中,不可避免的是存在通信时延。ΔTm、ΔTs分别表示主端到从端及从端到主端通信信道的时变延迟,其中ΔTm与ΔTs表示主-从机器人间通信通道的时变特性。

假设4 延迟ΔTj是有界的(j=m,s),即0<ΔTj<Δ${{\stackrel{-}{\mathit{T}}}_{\mathit{j}}}^{}$[26]。

当系统处于非对称时变通信延迟、输入饱和、动力学不确定性、未知重力力矩,摩擦力以及复合干扰条件下的遥操作系统,主要控制目标是设计合适的主控制器和从控制器,构建双边控制方案,确保位置误差渐近收敛到一个有界的小邻域内。

1.5 引理

引理1[27] 对于正定矩阵Q∈Rn×n和任意的tX(t)∈Rn和γ(t)∈Rn,有以下不等式始终成立,即

$\begin{array}{l} \pm \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}(t) \int_{t-\Delta T(t)}^{t} \boldsymbol{Y}(\xi) \mathrm{d} \xi-\int_{t-\Delta T(t)}^{t} \boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}}(\xi) \boldsymbol{Q} \boldsymbol{Y}(\xi) \mathrm{d} \xi \leqslant \\ \quad \frac{\bar{d}}{4} \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}(t) \boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{X}(t) \end{array}$

式(13)中:0<ΔT(t)≤Δ$\stackrel{-}{\mathit{T}}$;$\stackrel{-}{\mathit{d}}$为最大时延;ξ为Y(ξ)的积分变量。

引理2[28] 设有两个连续可微的时间函数f(t)和V(t):[0,+∞)∈R,对于任何时间t:t>t0>0和常数α∈R+如果$\stackrel{·}{\mathit{V}}$≤-αV+f,则以下不等式始终成立,即

V(t)≤e-α(t-t0)V(t0)+${\int }_{{\mathit{t}}_{0}}^{\mathit{t}}$e-α(t-τ)f(τ)dτ

式(14)中:τ为被积变量。

引理3[29] 对于任意a,b,c∈R,如果a>0,b>0并且0<c<1,以下不等式始终成立,即

(a+b)c≤ac+bc

引理4[30] 针对系统,在定义域D内如果存在正定连续函数V(x),且满足$\stackrel{·}{\mathit{V}}$(x)≤-cV'(x)+Ψ,其中c为收敛速度,Ψ为稳态精度,Ψ>0,γ为收敛时间特性指数,0<γ<1。则系统为有限时间有界收敛的,且收敛领域U满足

U=max$\left\{\mathit{x}\left|\mathit{V}\le {\left[\frac{\mathit{Y}}{\mathit{a}(1-\mathit{v})}\right]}^{\frac{1}{\mathit{\gamma }}}\right.\right\}$

存在一个正常数满足0<v<1,使收敛时间T为

T≤$\frac{1}{\mathit{a}\mathit{v}(1-\mathit{\gamma })}$V1-γ(x0)

2 有限时间自适应控制器设计

针对遥操作系统中的执行器饱和问题,设计的过程中考虑了动态不确定性、非对称时变时延、未知重力力矩及复合干扰,提出了一种基于神经网络补偿的比例-阻尼有限时间自适应抗饱和控制策略。在控制方案设计中,首先设计了一种融合位置误差阻尼项的有限时间自适应控制器,但实际应用中执行器饱和会限制控制信号输出,从而影响系统性能。为解决这一问题,控制器设计过程中重点考虑了输入饱和约束。具体而言,通过引入终端滑模项,结合有限时间稳定性理论,构建了具有有限时间收敛特性的鲁棒控制器框架。同时,采用RBF神经网络对输入饱和进行自适应逼近和估计,建立有限时间抗饱和补偿机制。该机制通过动态切换增益策略实现对执行器饱和效应的精确补偿,最终形成完整的抗饱和控制方案。这种设计既保证了系统的有限时间收敛性能,又有效克服了执行器饱和带来的控制限制。

2.1 控制器设计

研究了一种基于神经网络补偿的比例-阻尼有限时间自适应抗饱和控制策略。首先,RBF神经网络用于逼近和补偿动态不确定性Pm(qm,${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$,${\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$)和未知重力力矩Gm、Gs。Pm(qm,${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$,${\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$)包含模型的不确定部分,可用于替换和处理Lyapunov稳定性分析中运动学和动力学模型参数的不确定性。具体表示为

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{P}}_{\mathrm{m}}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}},{\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}})+{\mathit{G}}_{\mathrm{m}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}\right)={{\mathit{\theta }}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}{\mathit{Y}}_{\mathrm{m}}\left({\mathit{Z}}_{\mathrm{m}}\right)+{\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{m}1}\\ {\mathit{P}}_{\mathrm{s}}({\mathit{q}}_{\mathrm{s}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}},{\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}})+{\mathit{G}}_{\mathrm{s}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}\right)={{\mathit{\theta }}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}{\mathit{Y}}_{\mathrm{s}}\left({\mathit{Z}}_{\mathrm{s}}\right)+{\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{s}1}\end{array}\right.$

式(18)中:θm∈Rl×n为具有l个节点的RBF神经网络的理想近似权重矩阵;Zj=[qTj,${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}$,eTj]T为神经网络的输入向量;Yj(Zj)∈Rl×n为高斯基函数向量;εj1为逼似误差,逼近误差εj1本质上是有界的。

将式(18)代入遥操作动力学中,可以得到

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{M}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}\right){\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}+{\mathit{C}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}){\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}+{\mathit{G}}_{\mathrm{m}\mathrm{o}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}\right)\\ \mathit{　}\mathit{　}={\mathit{\tau }}_{\mathrm{m}}+{{\mathit{J}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}{\mathit{F}}_{\mathrm{h}}+{{\mathit{\theta }}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}{\mathit{Y}}_{\mathrm{m}}\left({\mathit{Z}}_{\mathrm{m}}\right)+{\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{m}1}\\ {\mathit{M}}_{\mathrm{s}\mathrm{o}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}\right){\ddot{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}+{\mathit{C}}_{\mathrm{s}\mathrm{o}}({\mathit{q}}_{\mathrm{s}},{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}){\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}+{\mathit{G}}_{\mathrm{s}\mathrm{o}}\left({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}\right)\\ \mathit{　}\mathit{　}={\mathit{\tau }}_{\mathrm{s}}-{{\mathit{J}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}{\mathit{F}}_{\mathrm{e}}+{{\mathit{\theta }}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}{\mathit{Y}}_{\mathrm{s}}\left({\mathit{Z}}_{\mathrm{s}}\right)+{\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{s}1}\end{array}\right.$

τj=[τj1,τj2,…,τjn]T用于遥操作机械臂的控制扭矩,输入饱和在遥操作中表示为

τj=sat(uj)=$\left\{\begin{array}{ll}{\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},& {\mathit{u}}_{\mathit{j}}>{\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ {\mathit{u}}_{\mathit{j}},& {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le {\mathit{u}}_{\mathit{j}}\le {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},& {\mathit{u}}_{\mathit{j}}<{\mathit{u}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}\right.$

式(20)中:uj=[uj1,uj2,…,ujn]T有uj=uj1+uj2,那么有τj=uj1+uj2+Δuj。

融合位置误差阻尼项的自适应有限时间控制器um1和us1设计为

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{u}}_{\mathrm{m}1}=-{\mathit{K}}_{\mathrm{m}1}{\mathit{\kappa }}_{\mathrm{m}}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{s}\mathrm{d}}{)}^{\mathrm{T}}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{s}\mathrm{d}})-\\ \mathit{P}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{s}\mathrm{d}})+{\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathrm{m}}{\mathit{Y}}_{\mathrm{m}}\left({\mathit{x}}_{\mathrm{m}}\right)+{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathrm{m}1}-\\ {{\mathit{J}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}{\mathit{F}}_{\mathrm{h}}-{\mathit{K}}_{\mathrm{m}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{\lambda }}_{\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}{)}^{\mathit{\alpha }}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{s}1}=-{\mathit{K}}_{\mathrm{s}1}{\mathit{\kappa }}_{\mathrm{s}}({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{m}\mathrm{d}}{)}^{\mathrm{T}}({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{m}\mathrm{d}})-\\ \mathit{P}({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{m}\mathrm{d}})+{\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathrm{s}}{\mathit{Y}}_{\mathrm{s}}\left({\mathit{x}}_{\mathrm{s}}\right)+{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathrm{s}1}+{{\mathit{J}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}{\mathit{F}}_{\mathrm{e}}-\\ {\mathit{K}}_{\mathrm{s}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}-{\mathit{\lambda }}_{\mathrm{s}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}{)}^{\mathit{\alpha }}\end{array}\right.$

式(21)中:${\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{j}}$和${\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}1}$分别为θj和εj1的估计值;Kj1>0为位置误差非线性控制项的增益权重;P为阻尼系数矩阵;Kj1为比例增益矩阵;Kj1和P均为正对角增益矩阵;λj∈Rn×n为正定对角矩阵,1>α>0;κj为稳定性增益向量,用于保证系统在位置误差控制项的作用下的稳定性,κj=[κj1,κj2,…,κjn]可以表示为

κj=$\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}\mathit{i}}},& {\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}\mathit{i}}\ne 0\\ 0,& {\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}\mathit{i}}=0\end{array}\right.$, i=1,2,…,n

基于以上定义,进一步得

${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}$κj=$\left\{\begin{array}{ll}1,& ={\mathit{q}}_{\mathit{j}}=\ne 0\\ 0,& ={\mathit{q}}_{\mathit{j}}==0\end{array}\right.$

然后,引入RBF神经网络来估计Δuj。定义控制器分量向量um1作为RBF神经网络的输入,高斯基函数向量φj(uj1)=[φj1(uj1),φj2(uj1),…,φjr(φj1)]T可以表示为

φjr(φj1)=exp$\left[-\frac{({\mathit{u}}_{\mathit{j}1}-{\mathit{c}}_{\mathit{j}\mathit{r}}{)}^{\mathrm{T}}({\mathit{u}}_{\mathit{j}1}-{\mathit{c}}_{\mathit{j}\mathit{r}})}{2{\mathit{b}}_{\mathit{j}}^{2}}\right]$,r=1,2,…,l

式(24)中:l为隐藏层中的节点数; cjr∈Rn和bj分别为第l个节点的高斯函数中心和宽度向量。

众所周知,任何非线性函数都可以用RBF神经网络逼近,对于Δuj可以描述为

Δuj=χTjφj(uj1)+εj2

式(25)中:χTj∈Rn×l为理想权重矩阵;εj2为有界近似误差,且满足假设3。

将uj2设计为

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{u}}_{\mathrm{m}2}=-{\mathit{k}}_{\mathrm{m}}{{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{m}}-{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathrm{m}2}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{s}2}=-{\mathit{k}}_{\mathrm{s}}{{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{s}}-{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathrm{s}2}\end{array}\right.$

式(26)中:${\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}2}$为对εj2的估计值;${\dot{\mathit{\chi }}}_{\mathit{j}}$为对权值系数χj的估计值;kj为增强执行器饱和补偿效果、保证系统稳定性的切换增益,可以描述为

kj=$\left\{\begin{array}{ll}{\mathit{K}}_{\mathit{j}6},& {{\mathit{q}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{j}}\left({\mathit{u}}_{\mathit{j}1}\right)\ge 0\\ -{\mathit{K}}_{\mathit{j}6},& {{\mathit{q}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{j}}\left({\mathit{u}}_{\mathit{j}1}\right)<0\end{array}\right.$, j=m,s

式(27)中:Kj6为切换增益权值系数,Kj6≥1。

引入理论上可以估计和补偿Δuj的${{\mathit{q}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}$φj(uj1)。然而,当仿真中时延和外力发生很大变化时,只有${{\mathit{q}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}$φj(uj1)不能达到良好的控制效果。因此,设计切换增益kj以形成控制律uj2。kj包含补偿增益Kj6和切换策略。增益Kj6用于增强对饱和的补偿效果,并应用切换策略以确保补偿增益的系统稳定性。

自适应律设计为

$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{·}{\dot{\mathit{\theta }}}}_{\mathit{j}}=-\frac{1}{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}1}}{{\mathit{Y}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}-\frac{1}{{\mathit{K}}_{\mathit{j}2}}{\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{j}}\\ {\stackrel{·}{\dot{\mathit{\epsilon }}}}_{\mathit{j}1}=-\frac{1}{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}2}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}-\frac{1}{{\mathit{K}}_{\mathit{j}3}}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}1}\\ {\stackrel{·}{\dot{\mathit{\chi }}}}_{\mathit{j}}=-\frac{1}{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}3}}{{\mathit{\varphi }}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}-\frac{1}{{\mathit{K}}_{\mathit{j}4}}{\dot{\mathit{\chi }}}_{\mathit{j}}\\ {\stackrel{·}{\dot{\mathit{\epsilon }}}}_{\mathit{j}2}=-\frac{1}{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}4}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}-\frac{1}{{\mathit{K}}_{\mathit{j}5}}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}2}\end{array}\right.$

式(28)中:Λj1、Λj2、Λj3、Λj4∈Rn×n为正常数;Kj2、Kj3、Kj4、Kj5均为正常数。

2.2 稳定性分析

选取以下Lyapunov函数,即

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{V}}_{1}=\sum _{\mathit{j}=\mathrm{m},\mathrm{s}}\frac{1}{2}{{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\mathit{M}}_{\mathit{j}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}\\ {\mathit{V}}_{2}=\frac{1}{2}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{T}}\mathit{P}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{s}})\\ {\mathit{V}}_{3}=\sum _{\mathit{j}=\mathrm{m},\mathrm{s}}\left[{\int }_{-\mathrm{\Delta }{\stackrel{-}{\mathit{T}}}_{\mathrm{m}}}^{0}{\int }_{\mathit{t}+\mathit{\omega }}^{\mathit{t}}{{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}\left(\mathit{\delta }\right){\mathit{Q}}_{\mathrm{m}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}\left(\mathit{\delta }\right)\mathrm{d}\mathit{\delta }\mathrm{d}\mathit{\omega }\right]\\ {\mathit{V}}_{4}=\sum _{\mathit{j}=\mathrm{m},\mathrm{s}}\left[\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}1}}{2}\mathrm{t}\mathrm{r}\right({{\dot{\mathit{\theta }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{j}})+\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}2}}{2}{{\dot{\mathit{\epsilon }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}1}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}1}+\\ \frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}3}}{2}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\dot{\mathit{\chi }}}_{\mathit{j}}\right)+\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}4}}{2}{{\dot{\mathit{\epsilon }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}2}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}2}]\end{array}\right.$

式(29)中:ω为积分变量,代表时间积分中的偏移量或积分区间内的变量;δ为积分变量,代表时间延迟或微小时间变化;tr为矩阵的迹,即矩阵主对角线元素之和,常用于表示矩阵的某种度量或范数。

对V1进行求导,同时根据性质2可得

$\begin{aligned} \dot{V}_{1} & =\sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}}\left[\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}_{j 0} \ddot{\boldsymbol{q}}_{j}+\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{M}}_{j 0} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}\right] \\ & =\sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}}\left[\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{\tau}_{j}+\boldsymbol{J}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{F}_{j^{\prime}}-\boldsymbol{P}_{j}\right)\right] \end{aligned}$

式(30)中:当j'=m时,Fj'表示为Fh;当j'=s时,Fj'表示为-Fe。

将式(30)代入控制律式(21)和式(25),其中${\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathrm{m}}$=${\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathrm{m}}$-θm,${\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathrm{s}}$=${\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathrm{s}}$-θs,${\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathrm{m}1}$=${\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathrm{m}1}$-εm1,式(30)可以写为

$\begin{aligned} \dot{V}_{1}= & \sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}}\left[-\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}\left(\boldsymbol{q}_{j}-\boldsymbol{q}_{j^{\prime}}\right)+\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}_{j}+\widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}\right)-\right. \\ & \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K}_{j 1}\left(\boldsymbol{q}_{j}-\boldsymbol{q}_{j^{\prime}}\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{q}_{j}-\boldsymbol{q}_{j^{\prime}}\right) \boldsymbol{I}-\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}- \\ & \left.\lambda_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}\left(\boldsymbol{q}_{j}\right)^{\alpha} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{u}_{j 2}+\boldsymbol{\chi}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\phi}_{j}+\boldsymbol{\varepsilon}_{j 2}\right)\right] \end{aligned}$

对V2求导可得

${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{2}$=(${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$-${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}$)TP(qm-qs)=${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}$P(qm-qs)-${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}$P(qm-qs)

基于积分的定义,存在以下不等式,即

$\left\{\begin{array}{l}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{s}\mathrm{d}}{)}^{\mathrm{T}}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{s}\mathrm{d}})\ge \\ \mathit{　}\mathit{　}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{T}}({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{s}})+\\ \mathit{　}\mathit{　}2({\mathit{q}}_{\mathrm{m}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{T}}{\int }_{\mathit{t}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathrm{s}}}^{\mathit{t}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}(\mathit{\delta })\mathrm{d}\mathit{\delta }\\ ({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{m}\mathrm{d}}{)}^{\mathrm{T}}({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{m}\mathrm{d}})\ge \\ \mathit{　}\mathit{　}({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{m}}{)}^{\mathrm{T}}({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{m}})+\\ \mathit{　}\mathit{　}2({\mathit{q}}_{\mathrm{s}}-{\mathit{q}}_{\mathrm{m}}{)}^{\mathrm{T}}{\int }_{\mathit{t}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathrm{m}}}^{\mathit{t}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}(\mathit{\delta })\mathrm{d}\mathit{\delta }\end{array}\right.$

式(33)中:qsd为从端经过时延传递到主端的关节位置信息;qmd为主端经过时延传递到从端的关节位置信息。

根据式(33),则${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{12}$=${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{1}$+${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{2}$可以写为

$\begin{aligned} \dot{V}_{12} \leqslant & \sum_{\substack{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s} \\ j^{\prime}=\mathrm{s}, \mathrm{~m}}}\left[-\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K}_{j 1}\left(\boldsymbol{q}_{j}-\boldsymbol{q}_{j^{\prime}}\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{q}_{j}-\boldsymbol{q}_{j^{\prime}}\right) \boldsymbol{I}+\right. \\ & \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}}\left(\widetilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}_{j}+\widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}\right)-\lambda_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}\left(\boldsymbol{q}_{j}\right)^{\alpha}+ \\ & \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{u}_{j 2}+\boldsymbol{\chi}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\phi}_{j}+\boldsymbol{\varepsilon}_{j 2}\right)-\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}- \\ & 2\left(\boldsymbol{q}_{j}-\boldsymbol{q}_{j^{\prime}}\right)^{\mathrm{T}} \int_{t-\Delta T_{j^{\prime}}}^{t} \dot{\boldsymbol{q}}_{j^{\prime}}(\delta) \mathrm{d} \delta- \\ & \left.\dot{\boldsymbol{q}}_{j} \boldsymbol{P} \int_{t-\Delta T_{j}}^{t} \dot{\boldsymbol{q}}_{j^{\prime}}(\delta) \mathrm{d} \delta\right] \end{aligned}$

接着对V3求导可以得到

$\begin{aligned} \dot{V}_{3} & =\sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}}\left[\Delta \overline{\boldsymbol{T}}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}-\int_{t-\Delta \overline{\boldsymbol{T}}_{j}}^{t} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j} \mathrm{~d} \delta\right] \\ & \leqslant \sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}}\left[\Delta \overline{\boldsymbol{T}}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}-\int_{t-\Delta T_{j}}^{t} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j} \mathrm{~d} \delta\right] \end{aligned}$

根据式(31)~式(35),${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{123}$=${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{1}$+${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{2}$+${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{3}$可以写为

$\begin{aligned} \dot{V}_{123} \leqslant & \sum_{\substack{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s} \\ j^{\prime}=\mathrm{s}, \mathrm{~m}}}\left[-\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K}_{j 1}\left(\boldsymbol{q}_{j}-\boldsymbol{q}_{j^{\prime}}\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{q}_{j}-\boldsymbol{q}_{j^{\prime}}\right) \boldsymbol{I}+\right. \\ & \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}}\left(\widetilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}_{j}+\widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}\right)-\lambda_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}\left(\boldsymbol{q}_{j}\right)^{\alpha}+ \\ & \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{u}_{j 2}+\boldsymbol{\chi}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\phi}_{j}+\boldsymbol{\varepsilon}_{j 2}\right)-\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}- \\ & 2\left(\boldsymbol{q}_{j}-\boldsymbol{q}_{j^{\prime}}\right)^{\mathrm{T}} \int_{t-\Delta T_{j^{\prime}}}^{t} \dot{\boldsymbol{q}}_{j^{\prime}}(\delta) \mathrm{d} \delta+ \\ & \Delta \overline{\boldsymbol{T}}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}-\int_{t-\Delta T_{j}}^{t} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j} \mathrm{~d} \delta- \\ & \left.\int_{t-\Delta \bar{T}_{j}}^{t} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j} \mathrm{~d} \delta\right] \end{aligned}$

根据引理1,可以得到

-${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}$P${\int }_{\mathit{t}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathrm{s}}}^{\mathit{t}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}$dδ-λ${\int }_{\mathit{t}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathrm{s}}}^{\mathit{t}}{{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}$Qs${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}$dδ≤$\frac{\mathrm{\Delta }{\stackrel{-}{\mathit{T}}}_{\mathrm{s}}}{4\mathit{\gamma }}{{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}$P${\mathit{Q}}_{\mathrm{s}}^{-1}$PT${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$
-${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}$P${\int }_{\mathit{t}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathrm{m}}}^{\mathit{t}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$dδ-λ${\int }_{\mathit{t}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathrm{m}}}^{\mathit{t}}{{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}$Qm${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$dδ≤$\frac{\mathrm{\Delta }{\stackrel{-}{\mathit{T}}}_{\mathrm{m}}}{4\mathit{\gamma }}{{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}$P${\mathit{Q}}_{\mathrm{m}}^{-1}$PT${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}$
-2(qm-qs)T${\int }_{\mathit{t}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathrm{s}}}^{\mathit{t}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}$dδ-(1-γ)${\int }_{\mathit{t}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathrm{s}}}^{\mathit{t}}{{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}$Qs${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}$dδ≤$\frac{\mathrm{\Delta }{\stackrel{-}{\mathit{T}}}_{\mathrm{s}}}{1-\mathit{\gamma }}$(qm-qs)T${\mathit{Q}}_{\mathrm{s}}^{-1}{{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}$(qm-qs)
-2(qs-qm)T${\int }_{\mathit{t}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathrm{m}}}^{\mathit{t}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$dδ-(1-γ)${\int }_{\mathit{t}-\mathrm{\Delta }{\mathit{T}}_{\mathrm{m}}}^{\mathit{t}}{{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}$Qm${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$dδ≤$\frac{\mathrm{\Delta }{\stackrel{-}{\mathit{T}}}_{\mathrm{m}}}{1-\mathit{\gamma }}$(qs-qm)T${\mathit{Q}}_{\mathrm{m}}^{-1}{{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}$(qs-qm)

然而根据定理设置条件,为了方便证明,将以下等式分别用Γ、Ψm和Ψs替代,得到以下半正定的矩阵,即

$\left\{\begin{array}{l}\mathit{\Gamma }={\mathit{K}}_{\mathrm{m}1}\mathit{I}-\frac{{\stackrel{-}{\mathit{d}}}_{\mathrm{s}}}{1-\mathit{\gamma }}{\mathit{Q}}_{\mathrm{s}}^{-1}+{\mathit{K}}_{\mathrm{s}1}\mathit{I}-\frac{{\stackrel{-}{\mathit{d}}}_{\mathrm{m}}}{1-\mathit{\gamma }}{\mathit{b}}_{\mathrm{m}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{m}}^{-1}\\ {\mathit{\Psi }}_{\mathrm{m}}={\mathit{K}}_{\mathrm{m}}-{\stackrel{-}{\mathit{d}}}_{\mathrm{m}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{m}}-\frac{{\stackrel{-}{\mathit{d}}}_{\mathrm{s}}}{4\mathit{\gamma }}\mathit{P}{\mathit{Q}}_{\mathrm{s}}^{-1}{\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{\Psi }}_{\mathrm{s}}={\mathit{K}}_{\mathrm{s}}-{\stackrel{-}{\mathit{d}}}_{\mathrm{s}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{s}}-\frac{{\stackrel{-}{\mathit{d}}}_{\mathrm{m}}}{4\mathit{\gamma }}\mathit{P}{\mathit{Q}}_{\mathrm{m}}^{-1}{\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right.$

基于上述不等式(36)~式(41),将抗饱和补偿器式(26)~式(27)代入${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{123}$,并且为了方便稳定性证明,将上面求和公式拆开计算,则可以进一步写为

$\begin{aligned} \dot{V}_{123} \leqslant & -\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Gamma}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)+\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{\chi}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}} \phi_{\mathrm{m}}+\right. \\ & \left.\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{m} 2}\right)+\left(1-k_{\mathrm{m}}\right) \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}} \hat{\boldsymbol{\chi}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}} \phi_{\mathrm{m}}-\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{m}} \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{m}}+ \\ & \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}} Y_{\mathrm{m}}+\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{m} 1}\right)-\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{s}} \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}+\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}_{\mathrm{s}}+\right. \\ & \left.\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{s} 1}\right)-\lambda \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}\right)^{\alpha}+\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{\chi}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\phi}_{\mathrm{s}}+\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{s} 2}\right)+ \\ & \left(1-k_{\mathrm{s}}\right) \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \hat{\boldsymbol{\chi}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\phi}_{\mathrm{s}}-\lambda \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)^{\alpha} \end{aligned}$

根据切换增益式(27)需满足条件Kj6>1和切换规则,可以得到

$\left\{\begin{array}{l}(1-{\mathit{k}}_{\mathrm{m}}){{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}{{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{m}}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{m}}\le 0\\ (1-{\mathit{k}}_{\mathrm{s}}){{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}{{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{s}}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{s}}\le 0\end{array}\right.$

则根据式(43)可以将${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{123}$写为

$\begin{aligned} \dot{V}_{123} \leqslant & -\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Gamma}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)+\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{\chi}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}} \phi_{\mathrm{m}}+\right. \\ & \left.\tilde{\varepsilon}_{\mathrm{m} 2}\right)+\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}_{\mathrm{m}}+\tilde{\varepsilon}_{\mathrm{m} 1}\right)-\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{s}} \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}+ \\ & \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}_{\mathrm{s}}+\tilde{\varepsilon}_{\mathrm{s} 1}\right)+\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{\chi}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\phi}_{\mathrm{s}}+\tilde{\varepsilon}_{\mathrm{s} 2}\right)- \\ & \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{m}} \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{m}}-\lambda \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)^{\alpha}-\lambda \dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}\right)^{\alpha} \end{aligned}$

对V4进行求导,可以得到

${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{4}$=$\sum _{\mathit{j}=\mathrm{m},\mathrm{s}}$[Λj1tr(${{\dot{\mathit{\theta }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\stackrel{·}{\dot{\mathit{\theta }}}}_{\mathit{j}}$)+Λj2${{\stackrel{·}{\dot{\mathit{\epsilon }}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}1}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}1}$+Λj3tr(${{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\stackrel{·}{\dot{\mathit{\chi }}}}_{\mathit{j}}$)+Λj4${{\stackrel{·}{\dot{\mathit{\epsilon }}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}2}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}2}$]

并将自适应律式(28)代入式(45)可以得到

${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{4}$=$\sum _{\mathit{j}=\mathrm{m},\mathrm{s}}$[-${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{{\dot{\mathit{\theta }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}$Yj+$\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}1}}{{\mathit{K}}_{\mathit{j}2}}$tr(${{\dot{\mathit{\theta }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{j}}$)-${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}$φj+$\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}3}}{{\mathit{K}}_{\mathit{j}4}}$tr(${{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\dot{\mathit{\chi }}}_{\mathit{j}}$)-${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}1}$+$\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}2}}{{\mathit{K}}_{\mathit{j}3}}{{\dot{\mathit{\epsilon }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}1}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}1}$-${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}2}$+$\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}4}}{{\mathit{K}}_{\mathit{j}5}}{{\dot{\mathit{\epsilon }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}2}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}2}$]

根据矩阵相关知识,有以下不等式成立,即

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}1}}{{\mathit{K}}_{\mathit{j}2}}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({{\dot{\mathit{\theta }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{j}}\right)\le -\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}1}}{2{\mathit{K}}_{\mathit{j}2}}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({{\dot{\mathit{\theta }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\dot{\mathit{\theta }}}_{\mathit{j}}\right)+\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}1}}{2{\mathit{K}}_{\mathit{j}2}}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({{\mathit{\theta }}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\mathit{\theta }}_{\mathit{j}}\right)\\ \frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}3}}{{\mathit{K}}_{\mathit{j}4}}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\dot{\mathit{\chi }}}_{\mathit{j}}\right)\le -\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}3}}{2{\mathit{K}}_{\mathit{j}4}}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\dot{\mathit{\chi }}}_{\mathit{j}}\right)+\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}3}}{2{\mathit{K}}_{\mathit{j}4}}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({{\mathit{\chi }}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\mathit{\chi }}_{\mathit{j}}\right)\\ \frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}2}}{{\mathit{K}}_{\mathit{j}3}}{{\dot{\mathit{\epsilon }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}1}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}1}\le -\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}2}}{2{\mathit{K}}_{\mathit{j}3}}{{\dot{\mathit{\epsilon }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}1}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}1}+\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}2}}{2{\mathit{K}}_{\mathit{j}3}}{{\mathit{\epsilon }}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}1}{\mathit{\epsilon }}_{\mathit{j}1}\\ \frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}4}}{{\mathit{K}}_{\mathit{j}5}}{{\dot{\mathit{\epsilon }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}2}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}2}\le -\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}4}}{2{\mathit{K}}_{\mathit{j}5}}{{\dot{\mathit{\epsilon }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}2}{\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}2}+\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}4}}{2{\mathit{K}}_{\mathit{j}5}}{{\mathit{\epsilon }}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}2}{\mathit{\epsilon }}_{\mathit{j}2}\end{array}\right.$

基于式(47)上述关系,将式(46)可以进一步写为

$\begin{aligned} \dot{V}_{4} \leqslant & \sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}}\left[-\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}_{j}-\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}-\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}^{\mathrm{T}} \phi_{j}-\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}-\right. \\ & \frac{\Lambda_{j 1}}{2 \boldsymbol{K}_{j 2}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}\right)+\frac{\Lambda_{j 1}}{2 \boldsymbol{K}_{j 2}} \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{\theta}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\theta}_{j}\right)- \\ & \frac{\Lambda_{j 3}}{2 \boldsymbol{K}_{j 4}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}\right)+\frac{\Lambda_{j 3}}{2 \boldsymbol{K}_{j 4}} \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{\chi}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\chi}_{j}\right)- \\ & \frac{\Lambda_{j 2}}{2 \boldsymbol{K}_{j 3}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}+\frac{\Lambda_{j 2}}{2 \boldsymbol{K}_{j 3}} \boldsymbol{\varepsilon}_{j 1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varepsilon}_{j 1}- \\ & \frac{\Lambda_{j 4}}{2 \boldsymbol{K}_{j 5}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}+\frac{\Lambda_{j 4}}{2 \boldsymbol{K}_{j 5}} \boldsymbol{\varepsilon}_{j 2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varepsilon}_{j 2} \end{aligned}$

由式(44)~式(48)可进一步写为

$\begin{aligned} \dot{V} \leqslant & \sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}}\left[-\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Psi}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}-\lambda_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}\left(\boldsymbol{q}_{j}\right)^{\alpha}-\right. \\ & \frac{\Lambda_{j 1}}{2 \boldsymbol{K}_{j 2}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}\right)-\frac{\Lambda_{j 3}}{2 \boldsymbol{K}_{j 4}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}\right)-\frac{\Lambda_{j 2}}{2 \boldsymbol{K}_{j 3}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}- \\ & \left.\frac{\Lambda_{j 4}}{2 \boldsymbol{K}_{j 5}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}+\Omega_{j}\right]-\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Gamma}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right) \end{aligned}$

式(49)中:

Ωj=$\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}1}}{2{\mathit{K}}_{\mathit{j}2}}$tr(θTjθj)+$\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}3}}{2{\mathit{K}}_{\mathit{j}4}}$tr(χTjχj)+$\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}2}}{2{\mathit{K}}_{\mathit{j}3}}{{\mathit{\epsilon }}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}1}$εj1+$\frac{{\mathit{\Lambda }}_{\mathit{j}4}}{2{\mathit{K}}_{\mathit{j}5}}{{\mathit{\epsilon }}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}2}$εj2

根据式(49)可以得到,Ωm>0和Ωs>0。

定义

$\begin{aligned} \Theta_{1}= & \min \left\{\boldsymbol{\Gamma}_{\min }, \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{m}, \min }, \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{s}, \min }, \frac{\Lambda_{\mathrm{m} 1}}{2 \boldsymbol{K}_{\mathrm{m} 2}}, \frac{\Lambda_{\mathrm{m} 3}}{2 \boldsymbol{K}_{\mathrm{m} 4} 2 \boldsymbol{K}_{\mathrm{m} 3}},\right. \\ & \left.\frac{\Lambda_{\mathrm{m} 2}}{2 \boldsymbol{K}_{\mathrm{m} 5}}, \frac{\Lambda_{\mathrm{s} 1}}{2 \boldsymbol{K}_{\mathrm{s} 2}}, \frac{\Lambda_{\mathrm{s} 3}}{2 \boldsymbol{K}_{\mathrm{s} 4}}, \frac{\Lambda_{\mathrm{s} 2}}{2 \boldsymbol{K}_{\mathrm{s} 3}}, \frac{\Lambda_{\mathrm{s} 4}}{2 \boldsymbol{K}_{\mathrm{s} 5}}\right\} \end{aligned}$

式(51)中:Γmin、Ψm,min、Ψs,min分别为Γ、Ψm、Ψs的最小值。

则式(49)可以写为

$\begin{aligned} \dot{V} \leqslant & -\Theta_{1}\left\{\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)-\sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}}\left[\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}+\right.\right. \\ & \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}\right)+\operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}\right)+\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}+ \\ & \left.\left.\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}+\Omega_{j}\right]\right\} \end{aligned}$

${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}$Qj${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$≤Qj,max${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$,其中j=m,s,Qj,max为Qj的最小特征值,可以得到

${\int }_{-\mathrm{\Delta }{\stackrel{-}{\mathit{T}}}_{\mathit{j}}}^{0}{\int }_{\mathit{t}+\mathit{\omega }}^{\mathit{t}}{{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}$(δ)Qj${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$(δ)dδdω≤$\frac{\mathit{\Delta }{\stackrel{-}{\mathit{T}}}_{\mathit{j}}^{2}}{2}$Qj,max${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$

根据式(53),进一步考虑V,建立不等式关系为

$\begin{aligned} \dot{V} \leqslant & -\Theta_{2}\left\{\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)-\right. \\ & \sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}}\left[\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}+\operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}\right)+\operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{X}}_{j}\right)+\right. \\ & \left.\left.\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}+\widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}+\Omega_{j}\right]\right\} \end{aligned}$

式(54)中:Θ2为正实数。

$\begin{aligned} \Theta_{2}= & \max \left(\frac{\boldsymbol{P}_{\max }}{2}, \frac{\boldsymbol{M}_{\mathrm{m}, \max }+\Delta \overline{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{m}}^{2} \boldsymbol{Q}_{\mathrm{m}, \max }}{2},\right. \\ & \frac{\boldsymbol{M}_{\mathrm{s}, \max }+\Delta \overline{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{s}}^{2} \boldsymbol{Q}_{\mathrm{s}, \max }}{2}, \frac{\Lambda_{\mathrm{m} 1}}{2}, \frac{\Lambda_{\mathrm{m} 3}}{2}, \frac{\Lambda_{\mathrm{m} 2}}{2}, \\ & \left.\frac{\Lambda_{\mathrm{m} 4}}{2}, \frac{\Lambda_{\mathrm{s} 1}}{2}, \frac{\Lambda_{\mathrm{s} 3}}{2}, \frac{\Lambda_{\mathrm{s} 2}}{2}, \frac{\Lambda_{\mathrm{s} 4}}{2}\right) \end{aligned}$

式(55)中:Mm,max、Ms,max、Qs,max、Pmax分别为Mm、Ms、Qm、Qs、P矩阵的最大特征值。

因此,很明显可以得到

$\stackrel{·}{\mathit{V}}$≤-$\frac{{\mathit{\Theta }}_{1}}{{\mathit{\Theta }}_{2}}$V+Ωms

式(56)中:Ωms=Ωm+Ωs>0,如果定理中控制律的增益系数满足,则可以得到Θ1是一个正实数。

基于引理2,存在一个t0,使得t>t0>0,可以得到

V(t)≤${\mathrm{e}}^{-\frac{{\mathit{\Theta }}_{1}}{{\mathit{\Theta }}_{2}}(\mathit{t}-{\mathit{t}}_{0})}$V(t0)+Ωms$\frac{{\mathit{\Theta }}_{1}}{{\mathit{\Theta }}_{2}}$[1-${\mathrm{e}}^{-\frac{{\mathit{\Theta }}_{1}}{{\mathit{\Theta }}_{2}}(\mathit{t}-{\mathit{t}}_{0})}$]

式(57)中:V为Lyapunov函数。

从式(57)可以很容易得出:t→∞时,V(t)→ΩmsΘ1/Θ2,即V是有界的,根据V的构成形式,对于j=m,s,可以得到θj、χj、εj1、εj2均是有界的[31]。

然后,证明系统的有限时间控制性能。依旧选取Lyapunov函数V,设λmax(Γ)为Γ的最小值,||·|| 是向量·的欧几里得范数,σ=[(α+1)/2],则有

$\begin{aligned} \dot{V} \leqslant & \sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}}\left[-\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Psi}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}-\lambda_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}\left(\boldsymbol{q}_{j}\right)^{\alpha}-\frac{\Lambda_{j 1}}{2 \boldsymbol{K}_{j 2}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}\right)-\right. \\ & \frac{\Lambda_{j 3}}{2 \boldsymbol{K}_{j 4}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}\right)-\frac{\Lambda_{j 2}}{2 \boldsymbol{K}_{j 3}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}-\frac{\Lambda_{j 4}}{2 \boldsymbol{K}_{j 5}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}+ \\ & \left.\Omega_{j}\right]-\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Gamma}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right) \\ \leqslant & \sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}}\left\{-\left[\frac{\Lambda_{j 1}}{2 \boldsymbol{K}_{j 2}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}\right)\right]^{\sigma}-\left[\frac{\Lambda_{j 3}}{2 \boldsymbol{K}_{j 4}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{X}}_{j}\right)\right]^{\sigma}+\right. \\ & {\left[\frac{\Lambda_{j 1}}{2 \boldsymbol{K}_{j 2}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}\right)\right]^{\sigma}+\left[\frac{\Lambda_{j 3}}{2 \boldsymbol{K}_{j 4}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}\right)\right]^{\sigma}-} \\ & \left(\frac{\Lambda_{j 2}}{2 \boldsymbol{K}_{j 3}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}\right)^{\sigma}-\left(\frac{\Lambda_{j 4}}{2 \boldsymbol{K}_{j 5}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}\right)^{\sigma}- \\ & \boldsymbol{\Psi}_{j}\left(\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}\right)^{\sigma}-\lambda_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}\left(\boldsymbol{q}_{j}\right)^{\alpha}+\Omega_{j}+ \\ & \left.\left(\frac{\Lambda_{j 2}}{2 \boldsymbol{K}_{j 3}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}\right)^{\sigma}+\left(\frac{\Lambda_{j 4}}{2 \boldsymbol{K}_{j 5}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}\right)^{\sigma}\right\}- \\ & \boldsymbol{\Gamma}\left[\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)\right]^{\sigma} \end{aligned}$

设

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{\lambda }}_{{\mathit{M}}_{\mathit{j},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}={\mathit{\lambda }}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathit{M}}_{\mathit{j}}\\ {\mathit{\mu }}_{\mathit{j}2}={\mathit{\lambda }}_{\mathrm{m}}{\left(\frac{2}{{\mathit{\lambda }}_{{\mathit{M}}_{\mathit{j},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}}\right)}^{\mathit{\sigma }}{\mathit{\lambda }}_{\mathrm{m}}={\mathit{\psi }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\mathit{\lambda }}_{\mathrm{m}}\end{array}\right.$
${\int }_{-\mathrm{\Delta }{\stackrel{-}{\mathit{T}}}_{\mathit{j}}}^{0}{\int }_{\mathit{t}+\mathit{\omega }}^{\mathit{t}}{{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}$(δ)Qj${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$(δ)dδdω≤$\frac{\mathrm{\Delta }{\stackrel{-}{\mathit{T}}}_{\mathit{j}}^{2}}{2}$Qj,max${{\stackrel{·}{\mathit{q}}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}{\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}}$

式(60)中:Qj,max为Qj的最大特征值。

$\begin{aligned} \mu= & \left\{-2 \lambda_{\max } \boldsymbol{\Gamma}, \frac{\Delta \overline{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{m}}^{2}}{2} \boldsymbol{Q}_{\mathrm{m}, \max }, \frac{\Delta \overline{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{s}}^{2}}{2} \boldsymbol{Q}_{\mathrm{s}, \max },\right. \\ & \lambda_{\mathrm{m}}\left(\frac{2}{\lambda_{\boldsymbol{M}_{\mathrm{m}, \text { max}}}}\right)^{\sigma}, \lambda_{\mathrm{s}}\left(\frac{2}{\lambda_{M_{\mathrm{s}, \max }}}\right)^{\sigma}, \frac{1}{\boldsymbol{K}_{\mathrm{m} 2}}, \frac{1}{\boldsymbol{K}_{\mathrm{m} 4}}, \frac{1}{\boldsymbol{K}_{\mathrm{m} 3}}, \\ & \left.\frac{1}{\boldsymbol{K}_{\mathrm{m} 5}}, \frac{1}{\boldsymbol{K}_{\mathrm{s} 2}}, \frac{1}{\boldsymbol{K}_{\mathrm{s} 4}}, \frac{1}{\boldsymbol{K}_{\mathrm{s} 3}}, \frac{1}{\boldsymbol{K}_{\mathrm{s} 5}}\right\} \end{aligned}$

根据式(58)和式(60)以及前面稳定性分析过程,则式(58)可以得到

$\begin{aligned} \dot{V} \leqslant & \sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}} \mu\left\{-\frac{\lambda_{M_{j, \max }}^{\sigma}}{2^{\sigma}} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \operatorname{sig}\left(\boldsymbol{q}_{j}\right)^{\alpha}-\left(\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}\right)^{\sigma}-\right. \\ & {\left[\frac{\Lambda_{j 1}}{2} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}\right)\right]^{\sigma}-\left[\frac{\Lambda_{j 3}}{2} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{X}}_{j}\right)\right]^{\sigma}-} \\ & \left.\left(\frac{\Lambda_{j 2}}{2} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}\right)^{\sigma}-\left(\frac{\Lambda_{j 4}}{2} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}^{\mathrm{T}} \widetilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}\right)^{\sigma}+\frac{\Omega_{j s}}{\mu}\right\}- \\ & \mu\left[\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)\right]^{\sigma} \end{aligned}$

定义Ψ为

$\begin{array}{c} \Psi=\sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}} \mu\left\{\left[\frac{\Lambda_{j 1}}{2 \boldsymbol{K}_{j 2}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}\right)\right]^{\sigma}+\left[\frac{\Lambda_{j 3}}{2 \boldsymbol{K}_{j 4}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{X}}_{j}\right)\right]^{\sigma}+\right. \\ \left.\left(\frac{\Lambda_{j 2}}{2 K_{j 3}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}\right)^{\sigma}+\left(\frac{\Lambda_{j 4}}{2 K_{j 5}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}\right)^{\sigma}+\frac{\Omega_{\mathrm{ms}}}{\mu}\right\} \end{array}$

基于引理3,可以得到

$\begin{aligned} \dot{V} \leqslant & \sum_{j=\mathrm{m}, \mathrm{~s}}\left\{\left(\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}\right)^{\sigma}+\left(\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}\right)^{\sigma}+\right. \\ & {\left[\frac{\Lambda_{j 1}}{2} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}\right)\right]^{\sigma}+\left[\frac{\Lambda_{j 3}}{2} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}\right)\right]^{\sigma}+} \\ & \left.\left(\frac{\Lambda_{j 2}}{2} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}\right)^{\sigma}+\left(\frac{\Lambda_{j 4}}{2} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}\right)^{\sigma}\right\}+\Psi- \\ & \mu\left[\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)\right]^{\sigma} \\ \leqslant & -\mu\left\{\sum _ { j = \mathrm { m }, \mathrm { s } } \left[\dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}+\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}_{j} \dot{\boldsymbol{q}}_{j}+\frac{\Lambda_{j 1}}{2} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{j}\right)+\right.\right. \\ & \left.\frac{\Lambda_{j 3}}{2} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\chi}}_{j}\right)+\frac{\Lambda_{j 2}}{2} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 1}+\frac{\Lambda_{j 4}}{2} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}_{j 2}\right]+ \\ & \left.\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}\left(\boldsymbol{q}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}}\right)\right\}^{\sigma}+\Psi \end{aligned}$

最终,可以得到

$\stackrel{·}{\mathit{V}}$≤-μVσ+Ψ

基于引理4和式(64)关系,可以得到系统是有限时间有界收敛的,且收敛时间T和收敛域Ω可以表示为

T≤$\frac{{\mathit{V}}^{1-\mathit{\sigma }}\left(0\right)}{\mathit{\mu }\mathit{v}(1-\mathit{\sigma })}$
Ω=max$\left\{{\mathit{e}}_{\mathit{j}}|\mathit{V}\le {\left[\frac{\mathit{\Psi }}{\mathit{\mu }(1-\mathit{v})}\right]}^{\frac{1}{\mathit{\sigma }}}\right\}$

控制方案证明完成。

3 仿真与实验结果

通过仿真实验对所提出的控制方案进行评估。仿真系统采用了一对带有以2自由度通用型水下遥操作关节机器人为研究对象。综合考虑了执行器饱和、非对称时变通信延迟、未知重力、摩擦力与动态不确定性以及操作者与环境施加的外部力作用。主从机器人的动力学模型与式(1)相似,其中实际机器人动力学中的Mjo、Cjo、Gjo、Jj由文献[32]给出,摩擦力矩Fj和hj定义为

Fj=[fj1qj1+fj2sign(${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}1}$),fj3qj2+fj4sign(${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathit{j}2}$)]T
hj=$\left[\begin{array}{l}{\mathit{l}}_{\mathit{j}1}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{q}}_{\mathit{j}1}+{\mathit{l}}_{\mathit{j}2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\mathit{q}}_{\mathit{j}1}+{\mathit{q}}_{\mathit{j}2})\\ {\mathit{l}}_{\mathit{j}1}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{q}}_{\mathit{j}1}+{\mathit{l}}_{\mathit{j}2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathit{q}}_{\mathit{j}1}+{\mathit{q}}_{\mathit{j}2})\end{array}\right]$

为了进行仿真分析,选择通用型水下遥操作关节机器人模型的配置参数如表1所示。

此外,基于文献[33],模型参数不确定假设为如表2所示:其中正弦函数可以模拟动态不确定性的正负变化,有助于验证所提控制律的有效性。

初始条件设置为qm=[π/4,π/4]T,qs=[π/3,π/4]T,${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{m}}$=[0,0]T,${\stackrel{·}{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}$=[0,0]T以及初始接触点设置为xm0=[0.707,1.707]T,xs0=[0.5,0.866]T,Mh=diag(2,2),Me=diag(2,2),Bh=diag(10,10),Be=diag(10,10),执行机构的极限umax设置为40 N·m,umin设置为10 N·m,仿真中使用的时延是非对称的时变时延。图1所示为实验中的通信时延。图2给出了仿真实验中的fh和fe。其中,fh=[fhx,fhy]和fe=[fex,fey],具体表示如下:如果时间t<15,fhx=-5-0.1sin(2t)和fhy=5+0.1sin(2t),如果t>15,fhx=-10-0.1sin(2t) 和fhy=2+0.1sin(2t),如果t<15,fex=-5sin(3t)-2sin(5t)-sin(7t)和fey=5+2sin(2t)-sin(5t)-sin(8t),如果t>15,fhx=-10-1.5sin(3t)-1.5sin(4t)-1.5sin(6t)和fhy=2+sin(3t)+sin(5t)+1.5sin(8t)。

3.1 控制器的稳定性验证

为了展示所提控制方案的性能,进行两部分实验:第一部分是验证闭环系统的稳定性,第二部分是为了说明所提出的执行器饱和补偿方法的有效性,以此观察从端机器人的跟踪效果。仿真实验中控制器的参数可设置如下:Km=diag(10,10.2),Ks=diag(10.5,9.5),P=diag(5.2,5),Km6=diag(18.5,18.5),Ks6=diag(18.5,18),λm=0.1,λs=0.1,Km1=Ks1=0.5,Km2=Ks2=1.1,Km3=Ks3=1,Km4=Ks4=1,Km5=Ks5=1.2,Λm1=Λs1=1.2,Λm2=Λs2=Λm3=Λs3=Λm4=Λs4=Λm5=Λs5=1。

3.1.1 控制性能

为验证所提出的有限时间自适应抗饱和控制策略的可以在有限时间内快速收敛以及闭环系统的稳定性,本部分实验在考虑执行器饱和约束、动态不确定性、非对称时变通信时延及复合干扰的复杂条件下,对遥操作系统的收敛性和闭环稳定性进行了仿真测试,其仿真结果如图3~图8所示。

首先,由图3展示了主从机器人的关节位置跟踪结果。在操作员对主端机器人和环境对从端机器人施加额外力矩的情况下,从端机器人在控制器的作用下,从端机器人能在3 s内快速响应并精确跟踪主端的位置变化;当外力在15 s发生突变时,主从机器人的关节角度仅产生短暂微小误差,并在极短时间内恢复稳定跟踪。这一结果表明:所设计的控制器能确保系统在有限时间内快速收敛,同时具备优异的跟踪性能和稳定性。其次,图4中呈现的是主从关节位置的跟踪误差。仿真结果表明,即使在力矩突变的情况下,系统误差仍能迅速收敛至极小稳定域内,该结果进一步验证了控制策略的有限时间收敛性和强鲁棒性。然后,图5给出了在输入饱和约束下主从端机器人的控制力矩变化曲线。结果显示,尽管存在执行器饱和限制,控制信号仍能保持合理范围,确保系统稳定运行。在最后,图6~图8中所展现的是控制方案中自适应参数变化曲线,所有参数均保持有界,结合上述跟踪性能和力矩表现,可证实闭环遥操作系统在复杂干扰下仍能保持稳定。系统具备有限时间收敛、高精度跟踪和强鲁棒性。

3.1.2 饱和补偿验证

为了验证提出的抗饱和执行机构补偿方法的有效性,首先,本节重新给出操作员额外力fh和环境额外力fe,如图9所示,其中,操作者额外力在x方向上振幅在10~20 s从-10 N变为-2 N,在y方向上振幅在10~20 s从2 N变为10 N,环境额外力在x方向和y方向振幅分别从5 N变为 -15 N 和从15 N变为0 N。其次,在同等条件下,引入了提出的抗饱和补偿控制效果和不包含饱和补偿项控制效果的仿真结果,以更加清晰地验证该设计方案的有效性。其中不包含饱和补偿控制项指控制率中不包含饱和补偿-kj${{\dot{\mathit{\chi }}}^{\mathrm{T}}}_{\mathit{j}}$φj-${\dot{\mathit{\epsilon }}}_{\mathit{j}2}$。

两种情况的实验仿真结果如图10~图13所示。可以看到,在存在输入饱和,施加相同力以及其他条件相同的情况下,如果不对其进行补偿的话,很明显,在施加的力突变时,会导致控制律持续出现饱和的现象,导致控制输入幅值受限,引发非线性死区效应,降低跟踪精度,使得主从端位置跟踪误差显著增大,尤其在动态反向运动时易触发超调和稳态误差。如图10所示,跟踪控制性能变差,如图11所示,最终导致出现从端机器人跟踪主端机器人时产生较大的误差,跟踪精度变差。上述仿真对比结果说明均说明了提出的饱和补偿方法的有效性。

3.2 与其他控制方法的比较

本文算法与文献[34]和文献[15]中的控制器控制效果进行比较。同时和本文方案去掉补偿项进行比较。文献[34]中,引入非线性饱和函数,提出了一种基于切换滤波器和自适应更新律的非线性比例阻尼注入算法,并将切换滤波器用于执行器的饱和补偿。文献[15]中,提出比例阻尼控制方法结合RBF神经网络和自适应控制策略来补偿未知力矩。

对比实验在与饱和补偿验证实验相同的仿真条件下进行。除此之外,将文献[34]定义为方法1,将文献[15]定义为方法2,本文方法去掉补偿项定义为方法3。图13展示了主从端关节位置跟踪误差的对比结果。

仿真结果表明,本文方法在非被动外力作用下具有更小的稳态跟踪误差并且表现出最优的跟踪性能。方法1在力矩突变后出现明显的超调现象,且收敛过程较长;方法2虽然刚开始就可以收敛到较小的领域内,但是其误差跟追踪精度明显不如本文提出方法的精度高;方法3由于去除了饱和补偿项,在动态反向运动时出现明显的超调和稳态误差增大现象,验证了饱和补偿机制的必要性。相比之下,本文方案不仅保持了快速的收敛特性,同时实现了更小的稳态跟踪误差,充分证明了其在提升遥操作系统跟踪性能方面的优越性。

4 结论

针对复杂工况下遥操作系统跟踪精度问题的研究中,得到以下结论。

(1)在控制器设计中考虑了动态不确定性、非对称时变通信延迟、执行器饱和问题、未知重力力矩和复合干扰的存在。提出一种基于神经网络补偿的比例-阻尼有限时间自适应抗饱和控制方法。首先通过引入位置误差阻尼项进一步增强了系统的稳定性,接着采用RBF神经网络和自适应控制方法对动态不确定进行补偿,引入终端滑模项,其次,结合有限时间稳定性理论和RBF神经网络对输入饱和进行补偿,为了防止估计补偿的效果变弱影响系统稳定性,所以引入切换增益机制并构建有限时间自适用控制器。

(2)理论分析方面,通过Lyapunov方法严格证明了所设计控制器的有限时间收敛性和闭环系统稳定性。

(3)通过通用型水下遥操作关节机器人参数的仿真实验结果表明,相较于现有控制方案,本文方法在相同工况下展现出更优的快速响应特性和控制精度。

(4)在所提出的控制方案中,没有考虑到力反馈。这将未来研究的方向,需要进一步开展。

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国家自然科学基金(62063019)

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