武器技术基于自适应转移概率矩阵的IMM-ISTUKF复杂机动目标跟踪算法

王一朋; 王鼎衡; 杨维; 卢永超; 张霄嵩; 李昊飞; 贾世诚; 刘保荣; 韩崇伟

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2503105

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (8) :3304-3318 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2503105

武器技术

武器技术基于自适应转移概率矩阵的IMM-ISTUKF复杂机动目标跟踪算法

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IMM-ISTUKF Algorithm for Complex Maneuvering Target Tracking Based on Adaptive Transition Probability Matrix

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摘要

针对高炮火控系统在小微型无人机(unmanned aerial vehicle,UAV)复杂机动跟踪中误差较大的问题,提出了基于自适应转移概率矩阵(adaptive transition probability matrix,ATPM)的交互式多模型改进强跟踪无迹卡尔曼滤波(interacting multiple model-improved strong tracking unscented Kalman filter,IMM-ISTUKF)算法。该算法结合多重渐消因子增强STUKF的滤波性能,并利用后验概率与似然函数信息自适应调整马尔可夫转移概率矩阵的每个元素。设计了基于模型极化校正与模型转移加速的双阶段ATPM更新机制,在模型稳定阶段抑制非匹配模型干扰,在模型切换阶段加快模型转换,降低了状态估计误差。仿真结果表明:所提算法比传统IMM算法及改进型IMM算法的跟踪精度更高,为高炮反无人机作战提供技术支撑。

Abstract

In response to the large tracking error of anti-aircraft fire control systems when tracking complex maneuver of small and micro unmanned aerial vehicle (UAV), an interacting multiple model-improved strong tracking unscented Kalman filter (IMM-ISTUKF) algorithm based on adaptive transition probability matrix (ATPM) was proposed. The proposed algorithm combined a multiple fading factor to enhance the filtering performance of STUKF, and adaptively adjusted each element of the Markov transfer probability matrix using posterior probability and likelihood function information. A two-stage ATPM update mechanism based on model polarization correction and model transfer acceleration was designed to suppress interference from mismatched models during the stable phase, and accelerate model switching during the transition phase, thereby reducing state estimation error. Simulation results demonstrate that the proposed algorithm achieves higher tracking accuracy than traditional IMM and improved IMM algorithms, providing technical support for anti-UAV operations of anti-aircraft gun system.

Graphical abstract

关键词

复杂机动目标跟踪 / 交互式多模型 / 改进强跟踪无迹卡尔曼滤波(IMM-ISTUKF) / 自适应转移概率矩阵(ATPM)

Key words

complex maneuvering target tracking / interacting multiple model / improved strong tracking unscented Kalman filter(IMM-ISTUKF) / adaptive transition probability matrix(ATPM)

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王一朋, 王鼎衡, 杨维, 卢永超, 张霄嵩, 李昊飞, 贾世诚, 刘保荣, 韩崇伟. 武器技术基于自适应转移概率矩阵的IMM-ISTUKF复杂机动目标跟踪算法[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(8): 3304-3318 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2503105

WANG Yi-peng, WANG Ding-heng, YANG Wei, LU Yong-chao, ZHANG Xiao-song, LI Hao-fei, JIA Shi-cheng, LIU Bao-rong, HAN Chong-wei. IMM-ISTUKF Algorithm for Complex Maneuvering Target Tracking Based on Adaptive Transition Probability Matrix[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(8): 3304-3318 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2503105

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随着无人机技术的快速发展,小微型无人机在现代战争中的应用日益广泛,已成为执行情报侦察、实时监视和精确打击等任务的重要作战平台,给现有的防空体系带来了巨大挑战^[1-3]。作为传统且高效的防空武器,防空高炮在反制小微型无人机作战中凭借作战成本低、响应速度快及火力持续性强等优势,仍具备重要的战术价值^[4]。然而,小微型无人机通常具有高机动性、低可探测性和复杂多变的飞行轨迹,使得高炮火控系统在目标跟踪过程中面临严峻挑战,其对火控系统的精确性、稳定性及实时性提出了更高要求。

传统的单模型目标跟踪方法主要包括卡尔曼滤波(Kalman filter,KF)^[5]、扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter,EKF)^[6-7]和无迹卡尔曼滤波(unscented Kalman filter,UKF)^[8-9]等,此类方法在处理线性或弱非线性系统时具有良好的跟踪性能,但在空中机动目标的跟踪任务中,由于目标运动模式的非线性和时变性,基于单一模型的滤波方法难以准确描述目标多变的运动状态,导致跟踪精度降低。交互式多模型方法(interacting multiple model,IMM)通过并行运行多个运动模型,并基于实时观测数据实现模型间的动态切换,从而有效提升了滤波算法对目标机动特征的适应性^[10]。IMM算法的核心优势在于其能够通过模型概率的实时更新,动态调整各模型的权重,进而实现对目标运动状态的最优估计。然而,IMM算法的性能高度依赖于马尔可夫转移概率矩阵(transition probability matrix,TPM)的准确性。传统IMM算法通常采用固定数值的TPM,这种基于先验知识预设的常数矩阵难以适应目标运动模型的动态变化,从而制约了算法在复杂场景下的跟踪性能^[11-12]。

针对传统IMM算法中固定TPM的局限性,许多学者对IMM算法自适应性做出研究。文献[13]提出了一种基于距离函数优化的自适应IMM-UKF算法,该方法通过构建模型预测与观测值之间的马氏距离度量在线调整TPM,能够提高子模型之间切换的响应速度,但未处理模型稳定阶段概率估计偏差的问题。文献[14]通过模型后验概率信息自适应优化TPM,同时采用误差补偿机制有效抑制了模型切换时的短期误差峰值现象,提高了跟踪精度,但在稳定跟踪阶段的模型概率修正效果仍不理想。文献[15]提出一种联合贝叶斯推理框架和模糊控制理论的自适应IMM算法,利用模糊控制系统实时更新TPM,优化了滤波效果,但模糊控制系统的设计较为复杂,增加了工程实现的难度。文献[16]通过引入强跟踪无迹卡尔曼滤波(strong tracking unscented Kalman filter,STUKF),能够有效抑制滤波发散,但模型切换阶段存在较大的转移延迟。

目前,在高炮火控系统的实际工程应用中,主要作战对象仍为轰炸机、强击机,此类目标多采用匀速飞行、俯冲攻击等相对规则的运动方式。因此,现有火控系统普遍假设目标运动符合匀速或匀加速模型^[17]。然而,随着小微型无人机等新型作战目标的机动性能不断提升,曲线飞行、低空盘旋等复杂机动动作成为目标主要运动方式^[18], 而火控系统的传统滤波方法难以准确描述其运动特性,状态估计精度较低。针对该问题,IMM算法被广泛应用于高炮火控系统的机动目标跟踪研究领域^[19]。然而,传统IMM算法中TPM通常依赖主观经验设定为固定值,难以适应目标动态特性及先验信息的不确定性,易造成模型切换滞后和跟踪性能下降。尽管已有研究通过自适应策略调整TPM,但在复杂机动目标跟踪场景下,模型概率与真实运动状态的匹配度仍存在偏差^[20]。在模型切换阶段,现有自适应IMM算法对目标机动变化响应滞后,导致过渡期状态估计误差显著增大;在模型稳定阶段,不精确的TPM容易引起模型概率波动,使得低概率子模型的估计状态对最终结果产生干扰,降低跟踪精度。同时,现有自适应IMM算法需并行运行多滤波器且计算量较大,限制了其在高炮火控系统的实时应用。此外,滤波器性能会直接影响IMM算法的整体效果。STUKF通过引入渐消因子增强了UKF对状态突变的适应性,但其单一渐消因子难以兼顾不同状态分量的差异,降低了滤波精度。

针对上述问题,提出基于自适应转移概率矩阵(adaptive transition probability matrix,ATPM)的IMM-ISTUKF复杂机动目标跟踪算法。主要工作如下:提出了一种双阶段ATPM更新机制,包括模型稳定阶段自适应极化校正和模型切换阶段自适应转移加速。在模型稳定阶段,设计模型概率校正函数,通过平滑模型概率分布,抑制非匹配模型的干扰,提高模型稳定性;在模型切换阶段,设计模型转移加速函数,以加快模型切换速度,减小过渡期的状态估计误差,进而获得高精度TPM。设计了基于多重渐消因子的改进强跟踪无迹卡尔曼滤波(improved strong tracking unscented Kalman filter,ISTUKF)算法,并将其作为IMM算法的滤波器,实现自适应IMM与ISTUKF的高效融合。强跟踪滤波有效抑制模型发散,降低目标发生机动时算法的误差起伏,提高跟踪精度,增强算法在复杂机动目标跟踪场景下的稳定性和适应性。通过局部滤波优化IMM算法结构,在保证跟踪精度的同时减少算法的计算量,以满足火控系统实时处理需求。在现有IMM-UKF的基础上,引入强跟踪滤波和模型转移概率动态更新机制,以提高算法的目标跟踪精度,并通过仿真实验验证了该算法在高炮反制小微型无人机场景中的可行性和有效性。通过构建自适应转移概率矩阵与改进强跟踪滤波相融合的IMM-ISTUKF算法,提升了高炮火控系统对复杂机动目标的跟踪精度,为应对新型无人机威胁提供了技术支撑。

1 机动目标模型

1.1 运动模型

针对高炮在反制小微型无人机作战中的复杂机动目标跟踪任务,建立了目标的运动模型和观测模型。小微型无人机作为典型的非合作目标,通常具备高机动性和多变的飞行策略。例如,其在应对地面火力拦截时,会执行高速转弯、加速爬升、低空盘旋等复杂机动动作,导致目标运动呈现出显著的非平稳性和复杂动力学特性。因此,传统的单一动力学模型难以匹配目标的复杂机动。为精确表征目标运动过程的多态性,构建了一种包含M个运动模型的跳变线性马尔科夫系统。在该系统中,第j个子模型的离散时间状态方程可表示为

(1)X_k=${\Phi }_{\mathrm{k}-1}^{j}$X_k_-1+W_k_-1

式(1)中:X_k为k时刻机动目标的状态向量;W_k_-1~N(0,Q_k_-1)为服从零均值高斯分布的过程噪声序列,其中Q_k_-1为过程噪声协方差矩阵;

${\Phi }_{\mathrm{k}-1}^{j}$

为第j个运动模型的状态转移矩阵。由此,机动目标的状态变化过程可由多种不同的状态空间模型描述。

1.2 观测模型

在高炮防空作战中,假设位于坐标(x₀,y₀,z₀)的火炮跟踪雷达对空域中某一个三维机动目标进行持续观测,则该目标的观测模型可表示为

(2)Z_k=h(X_k)+V_k

式(2)中:Z_k=(r_k,θ_k,ϕ_k)^T为k时刻观测向量,其中r_k、θ_k、ϕ_k分别为雷达观测站到目标的距离、方位角和俯仰角的量测值;V_k~N(0,R_k)为服从零均值高斯分布的量测噪声序列,且V_k与W_k_-1互不相关,其中R_k为量测噪声协方差矩阵;转换函数h(·)表示观测向量和状态向量之间的非线性映射关系。

(3)

$\left\{\begin{array}{l}{r}_{k}=\sqrt{({x}_{k}-{x}_{0}{)}^{2}+({y}_{k}-{y}_{0}{)}^{2}+({z}_{k}-{z}_{0}{)}^{2}}\\ {\theta }_{k}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{{y}_{k}-{y}_{0}}{{x}_{k}-{x}_{0}}\right)\\ {\varphi }_{k}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\left[\frac{{z}_{k}-{z}_{0}}{\sqrt{({x}_{k}-{x}_{0}{)}^{2}+({y}_{k}-{y}_{0}{)}^{2}}}\right]\end{array}\right.$

式(3)中:(x₀,y₀,z₀)和(x_k,y_k,z_k)分别为k时刻火炮跟踪雷达和机动目标在三维空间中所处的位置。

2 改进的IMM-STUKF算法

2.1 基于多重渐消因子的ISTUKF算法

根据STUKF的标准算法流程,对于第j(j=1,2,…,M)个模型,其运动参数的滤波步骤如下。

(1)滤波初始化。首先,对系统状态进行初始化,计算过程为

(4)

$\left\{\begin{array}{l}{\dot{X}}_{0|0}=E\left({X}_{0}\right)\\ {P}_{0|0}=E\left[\right({X}_{0}-{\dot{X}}_{0|0}\left)\right({X}_{0}-{\dot{X}}_{0|0}{)}^{\mathrm{T}}]\end{array}\right.$

式(4)中:X₀为初始时刻(k=0)机动目标的状态向量;

${\dot{X}}_{0|0}$

和P_0|0分别为初始时刻的状态估计向量和状态误差协方差矩阵;E为矩阵或向量的期望。

(2)Sigma点集的选取和权值设置。对于k+1时刻,基于采样机制确定UKF算法的滤波采样点,包括Sigma点及其对应权值的设置。为了确保协方差矩阵的半正定性,并有效解决采样过程中的非局部效应问题,采用比例修正对称采样机制^[21]来确定滤波采样点。假设采样点集合{χ_l_,_k_-1|_k_-1}由2n+1个Sigma点构成,其计算公式为

(5)χ_l_,_k_-1|_k_-1=

$\left\{\begin{array}{l}{\dot{X}}_{\mathrm{k}-1|\mathrm{k}-1}^{j},　l=0\\ {\dot{X}}_{\mathrm{k}-1|\mathrm{k}-1}^{j}+{\left[\sqrt{(n+\epsilon ){P}_{\mathrm{k}-1|\mathrm{k}-1}^{j}}\right]}^{\left(l\right)},　\\ 　　　　　l=\mathrm{1,2},\dots,n\\ {\dot{X}}_{\mathrm{k}-1|\mathrm{k}-1}^{j}-{\left[\sqrt{(n+\epsilon ){P}_{\mathrm{k}-1|\mathrm{k}-1}^{j}}\right]}^{\left(l\right)},　\\ 　　　　　l=n+1,n+2,\dots,2n\end{array}\right.$

式(5)中:

${\dot{X}}_{\mathrm{k}-1|\mathrm{k}-1}^{\mathrm{j}}$

为第j个模型在k-1时刻的状态向量估计值;l为Sigma点的序号;n为状态向量X_k的维数;[

$\sqrt{(n+\epsilon ){P}_{\mathrm{k}-1|\mathrm{k}-1}^{j}}$

]⁽^l⁾为矩阵

$\sqrt{(n+\epsilon ){P}_{\mathrm{k}-1|\mathrm{k}-1}^{j}}$

的第l列,其中ε为尺度调节参数,其计算公式为

(6)ε=δ²(n+κ)-n

式(6)中:δ为ε的比例缩放因子,其取值决定Sigma点集的分布范围,通常取一个接近于0的正数,取值为10^-3;κ为比例调节因子,设置为κ=0,以确保协方差矩阵的半正定性^[22-23]。

Sigma点的均值权重ω_l_,_m与方差权重ω_l_,_c可表示为

(7)

$\left\{\begin{array}{l}{\omega }_{0,m}=\frac{\epsilon }{n+\epsilon },{\omega }_{0,c}=\frac{\epsilon }{n+\epsilon }+1-{\delta }^{2}+\xi \\ {\omega }_{l,m}={\omega }_{l,c}=\frac{\epsilon }{2(n+\epsilon )},　l=\mathrm{1,2},\dots,2n\end{array}\right.$

式(7)中:ξ的取值与状态向量X_k的先验分布信息相关(如高斯分布时,ξ=2最优);ω_l_,_m和ω_l_,_c中,下标l为Sigma点的序号,m为均值,c为方差。

(3)时间更新。计算状态变量的一步预测

${\dot{X}}_{\mathrm{k}|\mathrm{k}-1}^{j}$

和状态预测协方差矩阵

${P}_{\mathrm{k}|\mathrm{k}-1}^{j}$

可分别表示为

(8)

${\dot{X}}_{\mathrm{k}|\mathrm{k}-1}^{j}=\stackrel{2n}{\sum _{l=0}}{\omega }_{l,m}\left({\Phi }_{k-1}^{j}{\chi }_{l,k-1|k-1}\right)$

(9)

$\begin{array}{l}{P}_{\mathrm{k}|\mathrm{k}-1}^{j}=\stackrel{2n}{\sum _{l=0}}{\omega }_{l,c}({\chi }_{l,k|k-1}-{\dot{X}}_{k|k-1}^{j})({\chi }_{l,k|k-1}-\\ {\dot{X}}_{k|k-1}^{j}{)}^{\mathrm{T}}+{Q}_{k}\end{array}$

式中:χ_l_,_k_|_k_-1=

${\Phi }_{\mathrm{k}-1}^{j}$

χ_l_,_k_-1|_k_-1。

(4)量测更新。鉴于IMM算法中低维数子模型的状态预测协方差矩阵可能为非正定的奇异矩阵,因此与常规STUKF算法不同,此时无需对

${\dot{X}}_{\mathrm{k}|\mathrm{k}-1}^{j}$

进行第二次无迹变换的Sigma采样。这一机制不仅有效避免了协方差矩阵分解过程中因奇异值求解而导致的数值不稳定性问题,同时也降低了算法的计算复杂度。量测变量的一步预测计算公式为

(10)

$\left\{\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{l},\mathrm{k}|\mathrm{k}-1}=\mathrm{h}\left({\chi }_{\mathrm{l},\mathrm{k}|\mathrm{k}-1}\right)\\ {\hat{Z}}_{k|k-1}=\stackrel{2n}{\sum _{l=0}}{\omega }_{l,m}{Z}_{l,k|k-1}\end{array}\right.$

式(10)中:Z_l_,_k_|_k_-1为第l个Sigma点对应的观测值;

${\hat{Z}}_{k|k-1}$

为2n+1个Sigma点加权求和所得一步预测值。

(5)修正更新。在现有文献中,传统STUKF算法通常采用单一渐消因子来调整滤波增益^[16,22]。然而,在无人机等高机动目标的跟踪任务中,由于系统模型的不确定性较大,不同状态分量所受的外部干扰和模型误差影响各异,单一渐消因子难以兼顾所有状态的高精度跟踪需求。为解决这一问题,通过在状态协方差矩阵中引入多重渐消因子,可有效增强滤波器对不同状态分量的适应性,从而提高跟踪精度和算法的鲁棒性。引入多重渐进因子λ_k后,状态-量测互协方差

${P}_{XZ,k}^{j}$

和量测协方差

${P}_{ZZ,k}^{j}$

的计算公式分别为

(11)

${P}_{XZ,k}^{j}=\stackrel{2n}{\sum _{l=0}}{\omega }_{l,c}({\chi }_{l,k|k-1}-{\dot{X}}_{k|k-1}^{j})({\chi }_{l,k|k-1}-{\hat{Z}}_{k|k-1}{)}^{\mathrm{T}}{\lambda }_{k}$

(12)

$\begin{array}{l}{P}_{ZZ,k}^{j}={\lambda }_{k}\stackrel{2n}{\sum _{l=0}}{\omega }_{l,c}({Z}_{l,k|k-1}-{\hat{Z}}_{k|k-1})({Z}_{l,k|k-1}-{\hat{Z}}_{k|k-1}{)}^{\mathrm{T}}+\\ {R}_{k}\end{array}$

式中:λ_k为m维的对角矩阵,其表达式为

(13)λ_k=diag[λ_1,_k,λ_2,_k,…,λ_m_,_k]

(14)λ_l_,_k=

$\left\{\begin{array}{ll}{\eta }_{l}{\tau }_{k},& {\eta }_{l}{\tau }_{k}>1\\ 1,& {\eta }_{l}{\tau }_{k}\le 1\end{array}\right.$

式中:m为观测向量的维数;η_l为依据先验信息设定的常数,其取值与量测噪声的变化幅度相关,当量测噪声波动较大时,η_l取值较大,统一设为1;τ_k为根据滤波器性能在线自适应调整的因子,其动态调整过程旨在优化滤波效果并提高系统的稳健性。τ_k的具体计算过程为

(15)

$\left\{\begin{array}{l}{{\rm H}}_{k}={J}_{k}-\rho {R}_{k}\\ {\Psi }_{k}=\stackrel{2n}{\sum _{l=0}}{\omega }_{l,c}({Z}_{l,k|k-1}-{\hat{Z}}_{k|k-1})({Z}_{l,k|k-1}-{\hat{Z}}_{k|k-1}{)}^{\mathrm{T}}\\ {\tau }_{k}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{r}\left({{\rm H}}_{k}\right)}{\mathrm{t}\mathrm{r}\left({\Psi }_{k}\right)}\end{array}\right.$

式(15)中:tr(·)为矩阵的迹;ρ≥1为弱化因子,取值为1;J_k的表达式为

(16)J_k=

$\left\{\begin{array}{ll}{\gamma }_{0}{{\gamma }^{\mathrm{T}}}_{0},& k=0\\ \frac{\sigma {J}_{k-1}+{\gamma }_{k-1}{{\gamma }^{\mathrm{T}}}_{k-1}}{1+\sigma },& k\ge 1\end{array}\right.$

式(16)中:残差

${\gamma }_{k}^{j}$

=Z_k-

${\hat{Z}}_{k|k-1}$

;0≤σ≤1为遗忘因子,取值为0.95。

(6)状态更新。计算滤波增益矩阵

${K}_{k}^{j}$

,并利用滤波增益矩阵对状态估计向量

${\dot{X}}_{k|k}^{j}$

和估计协方差阵

${P}_{k|k}^{j}$

进行更新。

(17)

${K}_{k}^{j}$

=P_XZ_,_k

${P}_{XZ,k}^{-1}$

(18)

${\dot{X}}_{k|k}^{j}$

${\dot{X}}_{k|k-1}^{j}$

${K}_{k}^{j}$

(Z_k-

${\hat{Z}}_{k|k-1}$

)

(9)

${P}_{k|k}^{j}$

${P}_{k|k-1}^{j}$

${K}_{k}^{j}$

P_ZZ_,_k

$({K}_{k}^{j}{)}^{\mathrm{T}}$

所提ISTUKF算法通过引入多重渐消因子,有效克服了传统单一渐消因子在适应不同状态变化方面的局限性,提升了滤波器对复杂机动目标运动状态的适应性。此外,该算法在计算过程中仅需执行一次无迹变换,从而在保证滤波精度的同时,大幅降低了计算复杂度,进一步提高了算法的实时性与计算效率。

2.2 基于局部滤波的IMM-ISTUKF算法

IMM算法通过融合多种运动模型来描述目标的可能运动状态,其中每种模型均对应目标在不同运动模型下的状态特征^[24]。当被跟踪目标的运动状态发生变化时,传统IMM算法基于各个模型的状态预测值与实际观测值之间的差异动态更新模型概率,从而自适应调整模型权重以匹配目标的实际运动状态。在IMM-ISTUKF算法中,每个运动模型的子滤波器均采用ISTUKF算法进行状态估计。

在k时刻, 概率最大的模型被视为当前最匹配模型。假设马尔科夫系统预先设置了M个运动模型,传统IMM算法通过从M个已知模型中选择最匹配的模型作为目标当前运动状态的假定,从而实现对目标的最优跟踪。然而,由于M个模型之间状态维数不一致,传统IMM算法需对所有模型的状态变量进行扩展与统一处理,将各模型状态进行合并,从而构建统一的高维状态向量用于滤波^[13-15]。扩维后的状态维数为M个模型共有状态分量与其各自特有分量之和,该处理方式会显著增大状态转移矩阵的维数,从而导致计算复杂度大幅上升。为解决上述问题,设计基于局部滤波的IMM-ISTUKF算法。该算法主要由7个核心模块构成,包括输入交互、模型降维、ISTUKF滤波、模型似然函数计算、模型概率更新、模型扩维以及状态估计融合,算法流程如图1所示。改进的IMM-ISTUKF算法的基本流程如下。

(1)交互输入。根据k-1时刻的目标状态估计结果及各运动模型对应的概率,计算得到每个运动模型滤波器进行交互后的混合状态估计向量及其协方差矩阵,为后续模型滤波提供初始状态。

定义π_ij(k-1)为马尔科夫系统从模型i到j之间的转移概率,可得概率转移矩阵π(k-1)为

(20)π(k-1)=

$\left[\begin{array}{llll}{\pi }_{11}(k-1)& {\pi }_{12}(k-1)& \dots & {\pi }_{1M}(k-1)\\ {\pi }_{21}(k-1)& {\pi }_{22}(k-1)& \dots & {\pi }_{2M}(k-1)\\ ︙& ︙& & ︙\\ {\pi }_{M1}(k-1)& {\pi }_{M2}(k-1)& \dots & {\pi }_{MM}(k-1)\end{array}\right]$

式(20)中:π(k-1)满足

$\stackrel{M}{\sum _{j=1}}{\pi }_{ij}(k-1)=1,$

且0≤π_ij(k-1)≤1。

当前k时刻滤波循环的初始状态需要根据k-1时刻的混合估计向量进行设定。在k-1时刻,第j个模型的混合状态估计向量为

${\overleftarrow{X}}_{k-1|k-1}^{0j}$

,相应的混合协方差矩阵为

${\overleftarrow{P}}_{k-1|k-1}^{0j}$

,其表达式为

(21)

${\overleftarrow{X}}_{k-1|k-1}^{0j}=\stackrel{M}{\sum _{i=1}}{\overrightarrow{X}}_{k-1|k-1}^{i}{\mu }_{k-1|k-1}^{i|j}$

(22)

${\overleftarrow{P}}_{k-1|k-1}^{0j}=\stackrel{M}{\sum _{i=1}}{\mu }_{k-1|k-1}^{i|j}[{\overrightarrow{P}}_{k-1|k-1}^{j}+{\dot{X}}_{k-1|k-1}^{i|0j}({\dot{X}}_{k-1|k-1}^{i|0j}{)}^{\mathrm{T}}]$

(23)

${\dot{X}}_{k-1|k-1}^{i|0j}$

${\dot{X}}_{k-1|k-1}^{i}$

${\dot{X}}_{k-1|k-1}^{0j}$

模型i到模型j的混合概率可表示为

(24)

${\mu }_{k-1|k-1}^{i|j}$

$\frac{{\mu }_{k-1}^{i}{\pi }_{ij}(k-1)}{{\stackrel{-}{c}}_{j}}$

式(24)中:

${\stackrel{-}{c}}_{j}=\stackrel{M}{\sum _{i=1}}{\mu }_{k-1}^{i}{\pi }_{ij}(k-1)$

为模型j的预测概率;

${\mu }_{k-1}^{i}$

为k-1时刻第i个模型是匹配模型的概率。

(2)模型降维。对于第j个模型,仅对其所真实包含的状态维度进行滤波更新,其他冗余状态维度保持不变。设该模型的真实状态维数为n_j,则模型降维的计算过程可表示为

(25)${\dot{X}}_{k-1|k-1}^{0j}$=[${\overleftarrow{X}}_{k-1|k-1}^{0j}$(1),${\overleftarrow{X}}_{k-1|k-1}^{0j}$(2),…,${\overleftarrow{X}}_{k-1|k-1}^{0j}$(n_j)]

(26)

${P}_{k-1|k-1}^{0j}$

$[{\overleftarrow{P}}_{k-1|k-1}^{0j}{]}_{{n}_{j}\times {n}_{j}}$

式中:

${\dot{X}}_{k-1|k-1}^{0j}$

为

${\overleftarrow{X}}_{k-1|k-1}^{0j}$

包含的真实状态估计向量;

${P}_{k-1|k-1}^{0j}$

为

${\overleftarrow{P}}_{k-1|k-1}^{0j}$

包含的真实协方差矩阵;[·]_{n_j×n_j}表示对矩阵取其前n_j行与前n_j列所构成的子矩阵操作,用于提取模型真实状态维度下的有效信息。

(3)ISTUKF滤波。将交互输入的真实状态估计向量

${\dot{X}}_{k-1|k-1}^{0j}$

、真实协方差矩阵

${P}_{k-1|k-1}^{0j}$

以及量测值Z_k一同作为k时刻模型j的局部滤波器输入,经过ISTUKF算法计算输出,得到k时刻滤波预测的状态估计向量

${\dot{X}}_{k|k}^{j}$

、协方差矩阵

${P}_{k|k}^{j}$

、残差

${\gamma }_{k}^{j}$

以及残差协方差矩阵

${P}_{ZZ,k}^{j}$

。

(4)模型似然函数计算。假设

${\gamma }_{k}^{j}$

、

${P}_{ZZ,k}^{j}$

服从高斯分布,可得模型j的似然函数为

(27)

${\Lambda }_{k}^{j}$

$\frac{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\frac{1}{2}\left({\gamma }_{k}^{j}{)}^{\mathrm{T}}\right({P}_{ZZ,k}^{j}{)}^{-1}{\gamma }_{k}^{j}\right]}{\sqrt{\left|2\mathrm{\pi }{P}_{ZZ,k}^{j}\right|}}$

(5)模型概率更新。k时刻第j个模型是匹配模型的概率为

(28)

${\mu }_{k}^{j}$

$\frac{{\Lambda }_{k}^{j}{\stackrel{-}{c}}_{j}}{c}$

(29)

$c=\stackrel{M}{\sum _{j=1}}{\Lambda }_{k}^{j}{\stackrel{-}{c}}_{j}$

(6)模型扩维。对于第j个模型,模型扩维操作会在其状态向量的尾部补充(n-n_j)个0,以实现不同模型在状态维数上的一致性。该过程可表示为

(30)

${\overrightarrow{X}}_{k|k}^{j}$

$\left[\begin{array}{l}{\dot{X}}_{k|k}^{j}\\ {0}_{(n-{n}_{j})\times 1}\end{array}\right]$

(31)

${\overrightarrow{P}}_{k|k}^{j}$

$\left[\begin{array}{l}{P}_{k|k}^{j}\\ {0}_{(n-{n}_{j})\times (n-{n}_{j})}\end{array}\right]$

式中:

${\overrightarrow{X}}_{k|k}^{j}$

和

${\overrightarrow{P}}_{k|k}^{j}$

分别为状态估计向量和协方差矩阵在经过状态维度扩展处理后的形式。

(7)状态估计融合。根据更新后的模型概率加权得到k时刻的输出为

(32)

${\dot{X}}_{k|k}=\stackrel{M}{\sum _{j=1}}{\overrightarrow{X}}_{k|k}^{j}{\mu }_{k}^{j}$

(33)

${P}_{k|k}=\stackrel{M}{\sum _{j=1}}{\mu }_{k}^{j}[{\overrightarrow{P}}_{k|k}^{j}+({\overrightarrow{X}}_{k|k}^{j}-{\dot{X}}_{k|k}\left)\right({\overrightarrow{X}}_{k|k}^{j}-{\dot{X}}_{k|k}{)}^{\mathrm{T}}]$

综上所述,在输入交互阶段,基于先验信息计算得到各运动模型的混合状态估计向量及协方差矩阵,并通过模型降维操作获得当前真实状态的估计初值;随后,各模型分别通过ISTUKF滤波器更新其状态估计向量、协方差矩阵及残差,并利用似然函数进行模型概率的更新调整;最后,结合更新后的模型概率,对扩维后的各模型状态估计结果进行加权融合,得到系统的最终状态估计输出。在此过程中,模型之间的切换通过马尔可夫链状态转移矩阵实现。需特别指出的是,考虑到各运动模型所包含的状态变量维度不一致,在IMM算法中引入了补零操作,以实现状态维度对齐^[25]。针对不同模型的局部交互滤波器,仅对模型实际包含的状态变量进行滤波更新,其余状态保持不变,从而有效避免了滤波过程中协方差矩阵奇异的问题。

3 基于ATPM的IMM-ISTUKF算法

在高炮对机动目标的实际跟踪场景中,由于目标运动为非合作对象,其运动模型复杂多变,不精确的TPM难以准确刻画模型间的动态转移关系,尤其在目标剧烈机动时,无法及时引导IMM算法切换至最匹配模型,导致模型切换滞后和状态估计误差增大。在模型稳定阶段,不精确的TPM引发模型概率波动,使低概率子模型干扰融合估计结果,降低跟踪精度。因此,固定或不精确的TPM难以适应现代战场中无人机灵活多变的机动特性,尤其在目标进行复杂机动时,现有IMM算法的精确度与适应性均显著受限。针对上述固定或不精确的TPM难以适应复杂战场环境的问题,提出一种融合模型极化校正与转移加速的双阶段ATPM更新机制,能够有效提高IMM算法在复杂机动目标跟踪场景中的动态适应能力与状态估计精度。

3.1 模型稳定阶段的自适应极化校正机制

在IMM算法中,若系统子模型未发生跳变,理想情况下仅概率最高的模型的估计状态应被保留。然而,实际系统中,融合估计状态是通过各子模型的估计结果加权求和得到的,这导致低概率子模型的估计状态可以被视为噪声,从而影响最终融合估计状态的精度。为了最小化此类噪声影响,基于模型概率的历史波动信息,设计两个指数型模型概率校正函数:一是基于相邻时刻同一模型概率差值构建的时间域校正函数,用于反映模型概率随时间的变化趋势;二是基于同一时刻不同模型概率差值构建的空间域校正函数,用以衡量模型间的相对匹配程度。上述函数通过动态调节TPM中的主对角线元素与非对角线元素的值,有效增大匹配模型的转移概率,抑制低匹配模型的干扰,从而实现模型概率的平滑调整与极化增强。

假设在k时刻,模型j的后验概率为

${\mu }_{k}^{j}$

,模型j的先验概率为

${\mu }_{k-1}^{i}$

,定义模型j的概率变化量为

(34)${\mu }_{k}^{j}$=${\mu }_{k}^{j}$-${\mu }_{k-1}^{j}$, ∀ _j=1,2,…,M

根据模型在当前时刻的后验概率与前一时刻的先验概率之间的概率差值,可以有效衡量模型的匹配程度。若差值Δ

${\mu }_{k}^{j}$

≥0,则认为当前时刻模型j较上一时刻更匹配目标实际运动,应增大模型j的概率值,增强其对融合估计的贡献;反之,若差值Δ

${\mu }_{k}^{j}$

<0,则应降低模型j的概率值,减少其对最终状态估计的干扰。根据上述分析,定义基于概率差值的自适应时间域极化校正函数为

(35)F_j(k)=[exp(α)]^β

式(35)中:β为控制极化程度的调节因子,其取值满足β≥1,β越大,TPM的极化程度越大,取β=1;概率差值α=Δ

${\mu }_{k}^{j}$

,当模型j为匹配模型时,α为正,F_j(k)的函数值大于1;当模型j非匹配时,α为负,F_j(k)的函数值小于1。因此,F_j(k)通过模型概率变化量的符号和大小来判断下一时刻模型的匹配程度,其取值满足如式(36)所示的关系。

(36)

$\left\{\begin{array}{l}{F}_{j}\left(k\right)\ge 1,　{\mu }_{k}^{j}\ge {\mu }_{k-1}^{j}\\ {F}_{j}\left(k\right)<1,　{\mu }_{k}^{j}<{\mu }_{k-1}^{j}\end{array}\right.$

通过时间域极化校正函数F_j(k)的作用,TPM中主对角线元素的更新形式可表示为

(37)${\dot{\pi }}_{jj}$(k)=F_j(k)π_jj(k-1)

式(37)中:π_jj(k-1)为k-1时刻(上一时刻)TPM中模型j到k时刻(当前时刻)模型j之间的转移概率。

为了提高模型稳定阶段的跟踪精度,利用同时刻模型间概率差值作为自适应空间域极化校正函数的输入,以降低非匹配模型对状态估计精度的影响。假设在k时刻,M个模型的最大概率值为

(38)

${\mu }_{k}^{j}$

=max{

${\mu }_{k}^{1}$

${\mu }_{k}^{2}$

,…,

${\mu }_{k}^{i}$

,…,

${\mu }_{k}^{j}$

,…,

${\mu }_{k}^{M}$

}

式(38)中:模型j的概率最高,即模型j最匹配目标的实际运动。

考虑当前时刻匹配模型与非匹配模型之间的概率差异,利用指数函数构造自适应空间域极化校正函数为

(39)S_ij(k)=exp[β(

${\mu }_{k}^{j}$

${\mu }_{k}^{i}$

)]

式(39)中:β为调节因子,取值与式(35)保持一致;当

${\mu }_{k}^{j}$

${\mu }_{k}^{i}$

≥0时,模型j相较于模型i更匹配目标当前的实际运动状态,则S_ij(k)≥1;反之,当

${\mu }_{k}^{j}$

${\mu }_{k}^{i}$

<0时,模型i较模型j更匹配,则S_ij(k)<1。利用该空间域极化校正函数S_ij(k)进行修正,TPM中非主对角线元素的更新形式可表示为

(40)${\dot{\pi }}_{ij}$(k)=S_ij(k)π_ij(k-1)

在上述两个极化校正函数的作用下,匹配模型的转移概率增大,而非匹配模型的转移概率相应降低,从而动态调整了各模型的权重。

由于极化校正函数可能导致TPM中的某些元素大于1,因此需对更新后的TPM进行归一化处理,则有

(41)

${\stackrel{-}{\pi }}_{ij}\left(k\right)=\frac{{\dot{\pi }}_{ij}\left(k\right)}{\stackrel{M}{\sum _{j=1}}{\dot{\pi }}_{ij}\left(k\right)}$

式(41)中:

${\stackrel{-}{\pi }}_{ij}$

(k)为

${\dot{\pi }}_{ij}$

(k)归一化后的TPM元素。

在模型稳定阶段,为了确保TPM的稳定性并避免模型切换时的滞后现象,需要对TPM的主对角元素进行约束。主对角元素的取值需保持较大值,以增强当前匹配模型的稳定性,但不宜过于接近1,否则会导致模型切换响应速度变慢,甚至无法及时切换至匹配模型。为此,设置了TPM的上限阈值θ_H和下限阈值θ_L,将主对角元素的取值范围约束在合理区间[θ_L,θ_H]内,从而平衡了模型稳定性与切换灵敏度之间的矛盾,进一步增强了算法在高机动目标跟踪场景中的自适应性和鲁棒性。

对于主对角线元素

${\stackrel{-}{\pi }}_{jj}$

(k),取值范围的约束为

(42)

${\stackrel{-}{\pi }}_{jj}$

(k)=

$\left\{\begin{array}{ll}{\theta }_{\mathrm{H}},& {\stackrel{-}{\pi }}_{jj}\left(k\right)>{\theta }_{\mathrm{H}}\\ {\theta }_{\mathrm{L}},& {\stackrel{-}{\pi }}_{jj}\left(k\right)<{\theta }_{\mathrm{L}}\\ {\stackrel{-}{\pi }}_{jj}\left(k\right),& {\theta }_{\mathrm{L}}\le {\stackrel{-}{\pi }}_{jj}\left(k\right)\le {\theta }_{\mathrm{H}}\end{array}\right.$

式(42)中:θ_L≤

${\stackrel{-}{\pi }}_{ij}$

(k)≤θ_H,由于在固定TPM中,通常将主对角线元素取值设定在0.90~0.99^[26],即满足θ_L=0.90,θ_H=0.99且0.90≤

${\stackrel{-}{\pi }}_{ij}$

(k)≤0.99。

对于非主对角线元素

${\stackrel{-}{\pi }}_{ij}$

(k)(i≠j),其取值为

(43)

${\stackrel{-}{\pi }}_{ij}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{l}(1-{\theta }_{\mathrm{H}})\frac{{\dot{\pi }}_{ij}\left(k\right)}{\left|\stackrel{M}{\sum _{j=1}}{\dot{\pi }}_{ij}\right(k)-{\theta }_{\mathrm{H}}|},\\ 　　　　{\stackrel{-}{\pi }}_{ij}\left(k\right)>{\theta }_{\mathrm{H}}\\ (1-{\theta }_{\mathrm{L}})\frac{{\dot{\pi }}_{ij}\left(k\right)}{\left|\stackrel{M}{\sum _{j=1}}{\dot{\pi }}_{ij}\right(k)-{\theta }_{\mathrm{L}}|},\\ 　　　　{\stackrel{-}{\pi }}_{ij}\left(k\right)<{\theta }_{\mathrm{L}}\\ {\stackrel{-}{\pi }}_{ij}\left(k\right),　　　{\theta }_{\mathrm{L}}\le {\stackrel{-}{\pi }}_{ij}\left(k\right)\le {\theta }_{\mathrm{H}}\end{array}\right.$

通过设置θ_L和θ_H,TPM的元素被约束在合理范围内,有效避免了TPM元素值过大或过小的问题,既保证了模型概率的稳定性,又改善了模型切换时的滞后现象。

经过上述修正后,TPM中任意一行的元素之和可能超过1,因此需要再次对矩阵进行归一化处理,即

(44)

${\pi }_{ij}\left(k\right)=\frac{{\stackrel{-}{\pi }}_{ij}\left(k\right)}{\stackrel{M}{\sum _{j=1}}{\stackrel{-}{\pi }}_{ij}\left(k\right)}$

归一化后的TPM满足马尔可夫矩阵的性质为

(45)

$\left\{\begin{array}{l}\stackrel{M}{\sum _{j=1}}{\pi }_{ij}\left(k\right)=1\\ {\pi }_{ij}\left(k\right)\in \left[\mathrm{0,1}\right]\end{array}\right.$

3.2 模型切换阶段的自适应转移加速机制

在IMM算法中,当目标运动状态发生突变时,系统需要快速切换到最匹配的子模型以维持跟踪精度。然而,由于模型稳定阶段的极化校正函数增大了匹配模型的转移概率并减小了非匹配模型的转移概率,模型切换的响应速度降低,导致过渡期的估计误差增大。为了缓解这种模型切换迟滞现象,在模型转移阶段设计了两个自适应转移加速函数:一是基于相邻时刻同一模型似然函数变化量的时间域转移加速函数;二是基于不同模型间概率变化量的空间域转移加速函数。综合利用上述两个函数对TPM中元素的数值进行自适应调整,从而在模型切换阶段加快模型转移的响应速度。具体而言,当目标运动状态发生变化时,当前非匹配模型的概率会快速减小,而匹配模型的概率会显著增大。此外,基于模型似然函数值构建了动态自适应判别门限,用以实时判断是否触发模型切换,并在此基础上快速调整TPM中主对角线元素的值,以加速模型切换速度,从而提升算法在动态环境下的响应速度和跟踪精度。

首先,对模型似然函数进行归一化处理,即

(46)

${\stackrel{-}{\Lambda }}_{k}^{j}=\frac{{\Lambda }_{k}^{j}}{\stackrel{M}{\sum _{j=1}}{\Lambda }_{k}^{j}}$

式(46)中:

${\Lambda }_{k}^{j}$

为模型j在k时刻的似然函数值;M为子模型的数量。

接着,计算模型j的似然函数变化量Δ

${\Lambda }_{k}^{j}$

,其表达式为

(47)Δ

${\Lambda }_{k}^{j}$

${\stackrel{-}{\Lambda }}_{k}^{j}$

${\stackrel{-}{\Lambda }}_{k-1}^{j}$

在模型平稳阶段,Δ

${\Lambda }_{k}^{j}$

的值较小,表明目标运动状态未发生显著变化;在模型切换阶段,Δ

${\Lambda }_{k}^{j}$

的值较大,表明目标运动状态发生了突变。

为了确定是否进入模型切换阶段,需要设定一个阈值作为判别门限。与现有文献中基于实验结果反推阈值的传统方法不同^[20,27],设计一种基于模型似然函数值的动态自适应判别门限

${\theta }_{T}^{k}$

为

(48)${\theta }_{T}^{k}$=$\frac{1}{2}$max(${\stackrel{-}{\Lambda }}_{k}^{j}$)-$\frac{1}{2}$min(${\stackrel{-}{\Lambda }}_{k}^{j}$), ∀ j=1,2,…,M

式(48)中:max(

${\stackrel{-}{\Lambda }}_{k}^{j}$

)为M个模型在k时刻的归一化似然函数值的最大值;min(

${\stackrel{-}{\Lambda }}_{k}^{j}$

)为其中的最小值。

当|Δ

${\Lambda }_{k}^{j}$

${\theta }_{T}^{k}$

时,认为系统进入模型切换阶段。此时,需要通过动态调整TPM的主对角元素来加快模型切换速度。

模型切换问题可以看作一个二元分类问题,采用tanh函数^[28-29]的改进形式作为自适应模型转移加速函数,其输出值范围为(0.5, 1.5)。TPM中主对角线元素的调整方法为

(49)

${\stackrel{-}{\pi }}_{jj}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{ll}{\pi }_{jj}(k-1){G}_{j}\left(k\right),& \left|\mathrm{\Delta }{\Lambda }_{k}^{j}\right|>{\theta }_{T}^{k}\\ \frac{{\pi }_{jj}(k-1){F}_{j}\left(k\right)}{\stackrel{M}{\sum _{j=1}}{\pi }_{jj}(k-1){F}_{j}\left(k\right)},& \left|\mathrm{\Delta }{\Lambda }_{k}^{j}\right|\le {\theta }_{T}^{k}\end{array}\right.$

式(49)中:G_j(k)为时间域模型转移加速函数,当需要模型切换时,G_j(k)用于修正TPM中主对角线元素的值,其计算表达式为

(50)G_j(k)=1+

$\stackrel{-}{\omega }$

tanh

$\left(\frac{\mathrm{\Delta }{\Lambda }_{k}^{j}}{\vartheta }\right)$

式(50)中:

$\stackrel{-}{\omega }$

为尺度参数,取值为0.5;0<ϑ≤1为响应速度调节因子,取值为1;tanh激活函数的表达式为

(51)tanh(Δ

${\Lambda }_{k}^{j}$

$\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{\Delta }{\Lambda }_{k}^{j}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\Delta }{\Lambda }_{k}^{j}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{\Delta }{\Lambda }_{k}^{j}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\Delta }{\Lambda }_{k}^{j}}}$

G_j(k)的取值情况满足:

(52)

$\left\{\begin{array}{ll}1<{G}_{j}\left(k\right)<1.5,& \mathrm{\Delta }{\Lambda }_{k}^{j}>0\\ 0.5<{G}_{j}\left(k\right)\le 1,& \mathrm{\Delta }{\Lambda }_{k}^{j}\le 0\end{array}\right.$

式(52)中:当Δ

${\Lambda }_{k}^{j}$

>0时,表明当前模型与目标的实际运动状态匹配,增大主对角元素以维持模型稳定性;当Δ

${\Lambda }_{k}^{j}$

≤0时,表明当前模型与目标的实际运动状态不匹配,减小主对角元素以加快模型切换速度。

为了进一步加快模型切换阶段的响应速度,设计基于相邻时刻模型概率变化量的空间域转移加速函数为

(53)A_ij(k)=

${\left(\frac{1-\mathrm{\Delta }{\mu }_{k}^{i}}{1-\mathrm{\Delta }{\mu }_{k}^{j}}\right)}^{\vartheta }$

式(53)中:Δ

${\mu }_{k}^{i}$

为模型i在相邻时刻的概率变化量;Δ

${\mu }_{k}^{j}$

为模型j在相邻时刻的概率变化量,当Δ

${\mu }_{k}^{j}$

>0且Δ

${\mu }_{k}^{i}$

<0时,模型j的匹配度优于模型i,则A_ij(k)>1。当Δ

${\mu }_{k}^{j}$

<0且Δ

${\mu }_{k}^{i}$

>0时,模型i的匹配度优于模型j,则0<A_ij(k)<1。当Δ

${\mu }_{k}^{j}$

>0且Δ

${\mu }_{k}^{i}$

>0时,说明两个模型匹配程度均有提升,此时若Δ

${\mu }_{k}^{j}$

>Δ

${\mu }_{k}^{i}$

,则模型j相较于模型i更匹配,有A_ij(k)>1;反之,若Δ

${\mu }_{k}^{j}$

<Δ

${\mu }_{k}^{i}$

,则0<A_ij(k)<1。当Δ

${\mu }_{k}^{j}$

<0且Δ

${\mu }_{k}^{i}$

<0时,表示两模型匹配程度均在下降,此时若Δ

${\mu }_{k}^{j}$

>Δ

${\mu }_{k}^{i}$

,则模型j较模型i更匹配,有A_ij(k)>1;反之,若Δ

${\mu }_{k}^{j}$

<Δ

${\mu }_{k}^{i}$

,否则0<A_ij(k)<1。根据上述分析,通过空间域转移加速函数A_ij(k)的作用,TPM中非主对角线元素的更新形式可表示为

(54)${\stackrel{-}{\pi }}_{ij}$(k)=A_ij(k)π_ij(k-1)

综合利用上述两个转移加速函数对转移概率进行动态修正,TPM在模型切换阶段能够加快模型切换速度。然而,调整后的TPM不满足马尔可夫矩阵的性质,需对TPM进行归一化处理。归一化后的TPM满足

$\stackrel{M}{\sum _{j=1}}{\pi }_{ij}\left(k\right)=1$

且

${\pi }_{ij}\left(k\right)\in \left[\mathrm{0,1}\right]。$

基于上述分析,设计双阶段ATPM更新机制的流程图,如图2所示。

依据图2所示的ATPM动态更新算法流程,提出基于ATPM的IMM-ISTUKF复杂机动目标跟踪算法,具体如下。

本文算法通过引入上述两个模型概率动态调整机制,分别解决了模型概率极化不足和模型切换灵敏度不高的问题,实现了模型转移概率的动态自适应调整,从而提升了IMM算法在高机动目标跟踪场景中的跟踪精度和鲁棒性。

4 仿真实验

4.1 目标轨迹仿真

考虑到敌方小微型无人机在执行侦察与突防任务时常采用多阶段复合机动(如定速巡航接近目标、在防区内盘旋侦察以规避探测、以及发现威胁后加速爬升或快速变轨脱离),为真实再现其运动特性,采用匀速运动(constant velocity,CV)模型、匀加速运动(constant acceleration,CA)模型以及协同转弯(coordinate turn,CT)三种运动模型对无人机目标运动状态进行建模。根据式(1),状态向量为X_k=[x_k,y_k,z_k,

${\dot{x}}_{k}$

${\dot{y}}_{k}$

${\dot{z}}_{k}$

${\ddot{x}}_{k}$

${\ddot{y}}_{k}$

${\ddot{z}}_{k}$

]^T,其中各元素分别描述目标在x、y、z方向上的位置、速度和加速度信息。对于匀加速运动,目标状态转移矩阵Φ^CA可表示为

(55)Φ^CA=

$\left[\begin{array}{lllllllll}1& 0& 0& T& 0& 0& \frac{{T}^{2}}{2}& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& T& 0& 0& \frac{{T}^{2}}{2}& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& T& 0& 0& \frac{{T}^{2}}{2}\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& T& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& T& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& T\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

式(55)中:T为采样周期。

对于匀速直线运动,在该模型滤波器的设计中采用局部交互策略,其对应的目标状态转移矩阵Φ^CV可表示为

(56)Φ^CV=

$\left[\begin{array}{llllll}1& 0& 0& T& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& T& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& T\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

对于转弯运动,目标状态转移矩阵Φ^CT可表示为

(57)Φ^CT=

$\left[\begin{array}{lllllllll}1& 0& 0& \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega T}{\omega }& \frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega T-1}{\omega }& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& \frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega T}{\omega }& \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega T}{\omega }& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& T& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega T& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega T& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega T& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega T& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

式(57)中:ω为转弯角速度。

仿真实验针对小微型无人机在三维空间内执行多阶段机动任务的航迹规划与跟踪场景进行建模与分析。无人机的初始状态设定如下:初始位置坐标为(3 000 m, 2 000 m, 500 m),沿x、y、z三个方向的初始速度为(-20 m/s,-15 m/s,-5 m/s),初始加速度为(1 m/s², 2 m/s², 1 m/s²)。跟踪系统的配置如下:火炮跟踪雷达位于坐标原点 (0 m, 0 m, 0 m),观测噪声协方差矩阵R₀=diag(10², 0.01, 0.01),初始协方差矩阵P₀=diag(30, 30, 30, 1, 1, 1, 0.01, 0.01, 0.01)。仿真总时间为140 s,仿真周期T=1 s^[30],过程噪声协方差矩阵为Q₀=diag(0.1, 0.1, 0.1, 0.1², 0.1², 0.1², 0.1³, 0.1³, 0.1³)。在仿真过程中,为更精准地模拟无人机在实际作战环境中的机动特性,目标的运动轨迹划分为三个阶段:0~40 s时目标执行定速巡航俯冲任务,沿航向进行匀速运动(CV模型);41~110 s时目标执行盘旋侦察任务,沿航向进行协同转弯运动(CT模型);111~140 s时目标执行加速爬升逃离任务,沿航向进行匀加速运动(CA模型)。各阶段的目标运动特性及参数设定如表1所示,能够有效反映小微型无人机的典型作战机动模式。

如表1所示,算法的模型集由CV、CT和CA 3个子模型构成。各子模型的初始模型概率值设定为μ₀=

$\left[\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]$

,TPM的初始值设置为

(58)π(0)=

$\left[\begin{array}{lll}0.95& 0.025& 0.025\\ 0.025& 0.95& 0.025\\ 0.025& 0.025& 0.95\end{array}\right]$

图3展示了目标的真实轨迹和各跟踪算法的预测轨迹,直观反映了目标在飞行过程中执行的复杂变速机动。其中,在k=40 s时,目标由CV模型切换至CT模型;在k=110 s时,目标由CV模型切换至CT模型。不同算法的预测轨迹对比结果表明,本文算法在目标运动模型发生切换时,能够更准确地捕捉目标运动变化,有效提高了跟踪精度和稳定性。以图3(b)所示的目标在30~60 s时间段内由CV模型切换至CT模型为例,本文算法所生成的预测轨迹与真实轨迹之间的偏差最小,充分体现了其在复杂机动场景下的优越跟踪性能。

4.2 不同算法跟踪性能对比分析

为验证本文算法的性能,采用蒙特卡洛方法进行100次仿真实验,并将本文算法与IMM-EKF^[31]、IMM-UKF^[32]、AIMM-UKF^[20]这3种滤波算法在目标跟踪任务中的性能进行对比分析,评估维度包括位置误差、速度误差、模型概率准确度以及算法的运行时间,以全面衡量不同算法在高机动目标跟踪中的精度和计算效率。

参照常见的目标跟踪算法评估方法^[33-34],选取均方根误差(root mean square error,RMSE)、平均均方根误差(average root mean square error,ARMSE)和平均误差(mean error,ME)作为衡量算法精度的性能指标。以评价目标位置估计的精度为示例,RMSE、ARMSE及ME的计算表达式分别为

(59)

$\begin{array}{l}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}\left(k\right)=\left\{\frac{1}{{M}_{\mathrm{C}}}\stackrel{{M}_{\mathrm{C}}}{\sum _{{m}_{\mathrm{c}}=1}}\right[({x}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}-{\dot{x}}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}{)}^{2}+({y}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}-\\ {\dot{y}}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}{)}^{2}+({z}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}-{\dot{z}}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}{)}^{2}]\}{}^{1/2}\end{array}$

(60)

$\begin{array}{l}\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}=\left\{\frac{1}{K}\stackrel{K}{\sum _{k=1}}\frac{1}{{M}_{\mathrm{C}}}\stackrel{{M}_{\mathrm{C}}}{\sum _{{m}_{\mathrm{c}}=1}}\right[({x}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}-{\dot{x}}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}{)}^{2}+\\ ({y}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}-{\dot{y}}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}{)}^{2}+({z}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}-{\dot{z}}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}{)}^{2}]\end{array}$

(61)

$\mathrm{M}\mathrm{E}=\frac{1}{K}\stackrel{K}{\sum _{k=1}}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}\left(k\right)$

式中:M_C=100为蒙特卡洛仿真总次数;K=140为每次蒙特卡洛实验中单次仿真运行步数;(

${x}_{k}^{{m}_{c}}$

${y}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}$

)和(

${\dot{x}}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}$

${\dot{y}}_{k}^{{m}_{\mathrm{c}}}$

)分别为第m_c次蒙特卡洛仿真运行中k时刻目标的真实位置和估计位置。

图4展示了本文算法与IMM-EKF、IMM-UKF和AIMM-UKF算法的目标状态变量估计RMSE的对比结果。可以看出,本文算法在目标位置估计精度和速度估计精度上均优于其他对比算法,表现出更高的跟踪精度和稳定性。表2进一步给出了4种算法在位置估计和速度估计方面的ARMSE及ME的对比结果。相较于IMM-EKF、IMM-UKF和AIMM-UKF算法,本文算法位置估计ARMSE分别降低了23.3%、22.9%和18.6%,速度估计ARMSE分别降低了27.1%、25.9%和17.7%,位置估计ME分别降低了25.8%、25.3%和19.1%,速度估计ME分别降低了36.6%、35.3%和17.5%。结果表明,本文算法在高机动目标跟踪任务中能够有效降低状态估计误差,提升目标轨迹跟踪的距离精度和速度精度,验证了其在复杂机动环境下的优越跟踪性能和鲁棒性。

图5展示了不同算法的模型转移概率变化情况。可以看出,IMM-EKF、IMM-UKF、AIMM-UKF以及本文算法均未出现滤波发散现象,整体上均实现了较好的目标跟踪效果。从模型概率变化曲线可以进一步观察到,本文算法相较于其他IMM算法,具有更准确的模型概率估计和更强的噪声适应能力。在目标运动模式未发生突变时,本文算法通过模型稳定阶段的极化校正函数进一步增大了匹配模型的概率,使得模型概率曲线更加平滑,主次模型更加分明,从而有效抑制非匹配模型的干扰,降低滤波误差,提升抗噪能力。在40 s与110 s处目标运动状态发生突变的模型切换阶段,本文算法展现出更高的灵敏度,能够快速切换至最匹配的运动模型,有效缓解模型切换的滞后性,这是因为本文算法设计了ATPM更新机制,该机制通过动态调整TPM的主对角元素和非主对角元素,在模型切换阶段显著加快了模型切换速度,减小了过渡期的状态估计误差,提高了模型匹配的准确性。

表3列出了4种算法在单次蒙特卡洛仿真中的平均运行时间。结果表明,本文算法的运行时间低于AIMM-UKF,但略高于IMM-EKF和IMM-UKF算法。结合图4、图5(a)和表2的分析可以得到,相较于IMM-EKF和IMM-UKF算法,本文算法尽管在实时性上存在一定下降,但提高了目标状态估计精度。在高炮火控系统中,相较于算法运行时间的微小差异,更高精度的状态估计对于火控解算过程至关重要。由于本文算法具备稳定的模型匹配能力,可使射击诸元输出更加平稳,降低突变风险,从而提升高炮随动系统的动态稳定性。因此,本文算法更适用于高炮火控系统,能够在复杂机动目标跟踪场景下实现更高精度、更强鲁棒性的目标状态估计,从而提升防空高炮火控系统的作战效能。

4.3 本文算法跟踪性能消融分析

为全面评价本文算法在高机动目标跟踪任务中的效果,按照表1给出的目标运动参数,对比本文算法的各重要组成模块对提高算法跟踪性能的贡献度,图6开展了消融实验,以探索算法的每个组成模块对目标跟踪性能的影响。

从图6中可以看出,实验以标准IMM-UKF算法为基线方法,通过对IMM-STUKF、IMM-ISTUKF、ATPM-UKF以及本文算法进行消融分析,可以得出:相较于IMM-UKF算法,IMM-STUKF位置估计ARMSE和速度估计ARMSE分别降低了1.37%和4.83%,位置估计ME和速度估计ME分别降低了2.1%和6.85%;IMM-ISTUKF位置估计ARMSE和速度估计ARMSE分别降低了3.17%和9.38%,位置估计ME和速度估计ME分别降低了3.32%和12.33%;ATPM-UKF的位置估计ARMSE和速度估计ARMSE分别降低6.24%和15.34%,位置估计ME和速度估计ME分别降低了了9.88%和30.48%;本文算法的位置估计ARMSE和速度估计ARMSE分别降低22.93%和25.85%,位置估计ME和速度估计ME分别降低了25.35%和35.27%。实验结果表明,相比于IMM-STUKF和ATPM-UKF算法,本文算法通过有效融合强跟踪滤波与TPM动态更新机制,能够获得更精确的状态估计,实现更优的目标跟踪性能。

为验证所提出双阶段ATPM更新机制的有效性,计消融实验以评估转移概率极化校正与转移加速机制的作用。以CV模型的概率变化为例,设定以下三种实验情况:第一种情况下,使用式(58)中固定的TPM;第二种情况下,仅使用自适应极化校正机制对TPM进行调整;第三种情况下,同时引入模型极化校正与模型转移加速机制。三种情况对应的模型概率变化曲线如图7所示。

从图7中可以发现,在第一种情况下,即未使用ATPM更新机制时,系统模型的转移响应较为迟缓,模型概率波动较大,难以快速适应目标状态变化;在第二种情况下,极化校正机制利用模型概率先验信息对TPM进行校准,使得匹配模型的概率更高,而不匹配模型的概率更低,但由于缺少快速调整能力,模型转移速率仍然较慢,在40 s时,模型均发生转移,转移时间为8 s;在第三种情况下,结合自适应模型转移加速机制后,模型转移的过渡时间缩短至3 s,有效避免了模型转移过程中状态误差持续变大的问题。因此,所提出的双阶段ATPM更新机制数能够提高模型概率估计的准确性,并通过快速切换模型,从而有效地估计目标状态。

5 结论

目前,中国防空武器系统中的目标跟踪算法研究仍主要基于传统卡尔曼滤波或固定TPM的IMM框架,尚未充分考虑复杂机动目标的动态特性及模型自适应调节机制。针对高炮火控系统在反制小微型无人机作战中存在的目标状态估计精度不足、模型切换响应滞后等问题,提出了一种基于ATPM的IMM-ISTUKF算法。该算法在传统IMM-UKF框架基础上,融合了基于多重渐消因子的改进强跟踪滤波机制,并设计了结合模型极化校正与转移加速策略的双阶段ATPM更新机制,实现了模型概率更新过程的自适应动态优化调节。仿真结果表明,本文算法在目标跟踪精度、模型切换速度方面均优于传统IMM及改进型IMM算法,验证了其有效性与优越性。得到如下主要结论。

(1)多重渐消因子能够有效提高STUKF在复杂机动目标跟踪中的跟踪精度。

(2)双阶段ATPM更新机制利用模型后验概率与观测似然函数信息实现了对TPM的自适应修正,在模型稳定阶段实现平滑校正,在模型切换阶段实现快速响应,从而有效提升了模型概率估计的准确性。

(3)通过局部滤波结构优化,本文算法在保证高精度跟踪的同时有效降低了算法计算量,满足了高炮火控系统对实时性和可靠性的工程应用需求。

(4)本文算法有效提升了高炮火控系统在应对高机动空中目标时的跟踪精度,为现代防空装备的智能化发展提供了重要技术支撑。

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