腰椎关节疾病已成为现代社会的高发疾病与常见病
[1 ] 。该病在中老年人群中发病率最高,相关流行病学调查显示,日本人群中腰椎管狭窄症所致下肢症状发生率为5.7%~18.8%,美国同类症状发生率达19.4%,此类疾病不仅严重影响患者的日常工作与生活质量,同时给社会带来沉重的医疗资源消耗与经济负担
[2 ] 。中国大规模人群流行病学研究表明,50岁及以上人群中,女性腰椎关节疾病患病率约为29.1%,男性约为6.5%,且预计至2050年,其患病率将呈持续上升趋势
[3 ] 。目前治疗腰椎疾病的方法主要有药物疗法、物理疗法、牵引疗法、封闭疗法、手术疗法。传统康复为康复师一对一治疗,存在效率低、效果难控等问题,且目前专业人员紧缺、人力成本高。康复机器人的出现不仅能够对患者进行高效的重复训练,大幅降低康复师工作量,提升治疗效率,还推动康复治疗更系统化、规范化
[4 6 ] 。Muramatsu等
[7 ] 研发出一种腰部助力外骨骼,采用气动人工肌肉作为执行器。苏君等
[8 ] 研制了一款被动式腰部助力支撑外骨骼,采用扭转弹性件在髋关节处进行助力。葛朋飞
[9 ] 设计了一种助力外骨骼,采用前推后拉的方式,对腰关节提供辅助力减轻腰部压力。路伟笑
[10 ] 提出的2-SPR-UPU & SP混联机构保证机构与人体腰关节的自由度匹配,且腰部转动中心应与机构转动中心重合。张旭
[11 ] 提出了一种腰部康复并联机器人结构,采用2-SPS-SPS & SP并联机构可适应不同身高的患者进行站姿或坐姿的康复训练。Guo等
[12 ] 设计了一款穿戴式脊柱矫正康复机器人,其采用3-RPR并联机构为机器人本体设计。汪志航等
[13 ] 设计了一款智能腰椎外骨骼,其采用4-SPS & SP并联机构为机器人本体,该结构将人体视为由一个球副和一个移动副串联的模型。张永悦等
[14 ] 设计了一款考虑腰部特性的四足机器人腿部结构,将该四足机器人的腰关节等效设计为1个俯仰腰关节和1个扭转腰关节。
以上研究虽然在腰关节康复机器人领域取得进展,但存在不足。主要问题包括:助力外骨骼设备运动形式单一,自由度限制导致无法适应灵活的腰关节运动;采用的驱动器如弹簧、绳驱动、气动人工肌肉各有局限性;穿戴式外骨骼导致局部受压大,舒适性低。固定式康复机器人虽能满足康复需求,但体积大、成本高,仅限医院使用。穿戴式机器人虽适合家庭使用,但存在人机交互力大、控制难等问题。现有研究的康复机构与人体腰关节运动不一致。需深入研究腰关节结构和运动形式,优化康复机构构型,确保满足康复需求。
针对现有腰关节康复机器人在运动形式和康复效果方面的不足,现从人体腰关节的结构特征出发,分析其运动特性及康复训练所需的运动形式,提出一种由球关节结合牵引力构成的腰关节康复运动模型,使其能够更准确地反映实际康复需求。在此基础上,利用旋量理论对康复机构进行构型综合,最终选取运动一致性较高、符合腰关节康复机理的2-UPU & 2-UPS并联机构作为研究对象,并对其运动学性能进行系统分析,以验证该机构满足腰关节康复需求的可行性。
1 人体腰关节运动特征
腰关节结构复杂,但由于椎间盘、组织韧带和肌肉的连接与约束作用,腰关节整体看来只有3个转动自由度,因此在运动学层面上将腰关节机构进行简化,将腰关节简化为球副关节,以人体腰关节三位转动的运动中心为简化腰关节中心
[15 17 ] ,则以腰关节运动中心为坐标系原点构建包含人体基准面和基准轴的人体坐标系
O-XYZ ,如
图1 所示。其中冠状水平轴为
X 轴,矢状水平轴为
Y 轴,垂直轴为
Z 轴。腰关节三自由度运动分别为矢状面内的前屈/后伸运动,冠状面内的左/右侧屈运动,水平面的左/右旋转运动
[18 ] ,具体描述如下。
前屈/后伸运动:腰关节自中立位开始在矢状面内运动,上身前倾使得上身与下肢成角减小的运动为腰关节的前屈运动,反之为后伸运动。以绕人体坐标系
X 的转角
α 来描述,中立位置
α =0°,矢状面内前屈运动范围最大约为90°,如
图2(a) 所示,后伸运动可达到约30°,如
图2(b) 所示。
左/右侧屈运动:利用臀裂与颈椎的连线与垂直轴之间的角度进行测定。腰关节自中立位开始在额状面内运动,上身向左/右倾使得上身与下肢成角减小的运动为腰关节左/右侧弯运动。以绕人体坐标系
Y 轴的转角
β 来描述,中立位
β =0°,额状面内左/右侧屈运动约为30°,如
图2(c) 所示。
左/右旋转运动:利用左右肩峰点的连线与额状轴之间的夹角来判断旋转的最大活动量,腰关节自中立位开始在水平面内运动,上身向左/右旋转使得左右肩峰点的连线与额状轴之间呈现夹角。以围绕世界坐标系
Z 的转角
γ 来描述,中立位
γ =0°,水平面内左/右旋转运动约为30°,如
图2(d) 所示。
腰关节前屈后伸、左/右侧屈和左/右旋转运动分别用α 、β 和γ 来描述,可完整表达腰关节的姿态,由于将腰关节简化为球关节运动,其姿态可由姿态变换矩阵R lumbar 来表示,即
(1) $\begin{aligned} \boldsymbol{R}_{\text {lumbar }} & =\boldsymbol{R}(x, \alpha) \boldsymbol{R}(y, \beta) \boldsymbol{R}(z, \gamma) \\ & =\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c \alpha & -s \alpha \\ 0 & s \alpha & c \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} c \beta & 0 & s \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -s \beta & 0 & c \beta \end{array}\right]. \\ & {\left[\begin{array}{ccc} c \gamma & -s \gamma & 0 \\ s \gamma & c \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]. } \end{aligned}$
式(1)中:c(·)=cos(·);s(·)=sin(·)。
2 腰关节康复机器人构型综合
2.1 腰关节康复机器人运动特征及构型综合条件
腰关节康复运动模型是根据腰关节结构及运动特征提出的,通过给出该模型的运动特征及依据该模型进行构型综合的约束条件,为后续并联结构支链综合及构型综合提供依据。
2.1.1 腰关节康复机器人运动特征
根据第1节中的腰关节康复运动模型的特点,提出一种具有虚拟运动中心的三转一移并联机构,因康复运动需求,该机构3个转动自由度可绕虚拟运动中心进行定心转动,该机构的移动自由度方向与动平台法向量方向存在较强的相关性,构型概念图如
图3 所示。该腰关节康复机器人由定平台、动平台和4条连接定动平台的支链组成,其中
O 点为虚拟运动中心,
fq 方向为移动方向即牵引力方向,该机器人应满足以下运动特征。
运动特征一:为满足扳法和牵引疗法的腰关节康复需求,腰关节康复机器人应具有三转一移4个自由度,即需要两个约束力,且两个约束力不能形成力矩,约束力轴线通过转动中心。
运动特征二:该机构具有一个虚拟运动中心,动平台能够绕此运动中心连续转动。
运动特征三:移动方向与动平台姿态相关,即不同的姿态对应不同的移动方向,且二者之间具有确定的关系。
由上述运动特征可以得出对应的腰关节康复机器人约束特征为:动平台有两个约束力线矢约束,两个约束力线矢共点。
2.1.2 腰关节康复机器人构型综合条件
腰关节康复机构的综合最终是要综合出满足腰关节康复运动模型运动特点的并联机构,为了保证综合出机构的有限数量和可实现性,体现并联机构在腰关节康复应用中的优势,且保证机构复杂程度低的特点,在综合时需要给定以下约束条件。
(1)腰关节康复机器人应具有4条支链,需4个驱动来完全控制机构的姿态和位置,4个驱动应分别安装于4条支链。
(2)腰关节康复机器人的驱动优先采用移动副,安装位置优先安装于定平台。
(3)腰关节康复机器人的支链中不含闭环。
(4)腰关节康复机器人的所有支链中的关节皆采用简单运动副组成,不存在复杂的螺旋副。
2.2 腰关节康复机器人支链综合
采用旋量理论和Grassmann线几何原理对腰关节康复机器人的组成支链进行综合。满足腰关节康复的机构为一种能够定心转动的特殊三转一移并联机构,由此运动特性得出该机构应具有两个约束力,并且这两个约束力在动平台转动过程中始终在空间中交于一点。因此对于组成机构的支链应包含3种,以旋量表示为
(2) $\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{S}_{\text {I }}^{\mathrm{r}}=\varnothing \\ \boldsymbol{S}_{\text {II }}^{\mathrm{r}}=\left(\boldsymbol{S}_{1}^{\mathrm{r}}\right) \\ \boldsymbol{S}_{\text {III }}^{\mathrm{r}}=\left(\boldsymbol{S}_{1}^{\mathrm{r}} ; \boldsymbol{S}_{2}^{\mathrm{r}}\right) \end{array}\right.$
式(2)中:S r 为约束螺旋系;$ \boldsymbol{S}_{1}^{\mathrm{r}}$ 和$\boldsymbol{S}_{2}^{\mathrm{r}}$ 为两个不同的约束力。组成此机构的三类支链的运动和约束特性如下。
(1)支链Ⅰ ($\boldsymbol{S}_{\text {I }}^{\mathrm{r}}$ ):无约束支链,具有6个自由度,无约束力和约束力偶。
(2)支链Ⅱ ($\boldsymbol{S}_{\text {II }}^{\mathrm{r}}$ ):五自由度支链,具有一个约束力,约束力通过虚拟转动中心,其方向随动平台姿态的改变而变化。
(3)支链Ⅲ ($\boldsymbol{S}_{\text {III }}^{\mathrm{r}}$ ):四自由度支链,具有两个约束力。两个约束力交于虚拟转动中心,其方向随动平台姿态的改变而变化。
为使机构传力平衡且驱动数与自由度数相等,以具有4条支链作为机构综合条件。若选择支链Ⅲ ,其本身含有整个机构的所有约束力,故要求其他3条支链均为无约束支链,否则将变成过约束机构,使机构控制更为复杂。因此在支链综合中不再考虑支链Ⅲ 类型。对于支链Ⅰ 类型,无约束支链不提供约束,因此直接选用运动性能优良的UPS支链。那么需要进行综合的只有支链Ⅱ 类型,通过旋量理论和Grassmann线几何原理对此类支链提出以下的构型原则。
原则1 该支链应由5个简单运动副P、R组成,由旋量理论,其约束力线矢与这5个运动副的运动旋量的互易积为零,因此应满足:约束力线矢与支链中所有转动副轴线平行或相交,且与支链中所有移动副垂直。
原则2 该支链应在运动过程中除奇异位形处,5个运动副的运动旋量应线性无关,始终具有一个约束力,即支链具有全周性。为保证所综合的支链具有全周性,需要结合Grassmann线几何原理进行约束。线几何基本判据表明,一个平面内最多含有三条不重合的直线,否则将线性相关,而当三条直线不在同一平面时,显然不存在其他直线可与这三条直线同时垂直,因此无法提供约束力也无法满足全周性。由此可知,此类支链中移动副的数量最多为2,可确定需综合的运动副组合类型为5R、4R1P以及3R2P三种。
5R支链综合:转动轴线交于一点的运动旋量组合有[RRR]∧ 和[RR]∧ ,转动轴线相互平行的运动旋量组合有[RRR]‖ 和[RR]‖ ,这些具有特殊几何关系的运动旋量组合与一般运动旋量排列组合可形成一系列5R支链,然后对各类组合支链进行全周性判断。具有代表性的5R组合类型有:[RRR]∧ RR、R[RRR]∧ R、[RRR]∧ [RR]‖ 、[RRR]‖ [RR]∧ 、[RR]∧ R[RR]∧ 、[RR]∧ [RR]∧ R、[RR]∧ [RR]‖ R、[RR]∧ R[RR]‖ 、[RRR]‖ RR、R[RRR]‖ R、[RR]∧ RRR和RRRRR。其中[RR]∧ RRR和RRRRR不能保持运动过程中只有一个约束力的需求,不具有全周性,因此排除。上述组合中[RRR]∧ 和[RR]∧ 可由S和U副进行替换,从而延伸出更多构型组合。
4R1P支链综合:构型方法与5R支链综合类似,可得到具有代表性的4R1P组合有:[RRR]∧ RP、[RRR]∧ PR、R[RRR]∧ P、RR[R∥ R⊥ P]、[RR]∧ P[RR]∧ 、RR[P⊥ R∥ R]、RR[R⊥ P⊥ R]、[RR]∧ [RR]∧ P、R[R⊥ P⊥ R]R。其中[R∥ R⊥ P]表示前面两个R运动副轴线平行,后面的R运动副与P运动副移动方向垂直。
3R2P支链综合:与4R1P综合方法相似,可得具有代表性的3R2P支链组合有:[RRR]∧ PP、PP[RRR]∧ 、P[RRR]∧ P、RRR⊥ [PP]∧ 、RRP⊥ R⊥ P、P⊥ R⊥ R∥ PR、P∥ R⊥ R⊥ PR、RR⊥ [[PP]]∧ R、RP⊥ R⊥ PR。其中R⊥ [[PP]∧ ]表示R运动副轴线同时与两个移动方向相交的P运动副垂直。
综上所述是腰关节康复机器人的五自由度支链综合,所有满足约束要求的支链类型共79种。
2.3 三转一移腰关节康复机器人构型综合
依据2.1节构型综合条件及2.2节所综合的支链,进行三转一移并联机构的构型综合。三转一移机构需要两个五自由度支链和两个无约束支链构成,五自由度支链由运动旋量组成可分为5R、4R1P、3R2P三类,对其排列组合可得以下6种机构类型:2-(5R) & 2-UPS、2-(4R1P) & 2-UPS、2-(3R2P) & 2-UPS、(5R) & (4R1P)&2-UPS、(5R) & (3R2P)2-UPS、4R1P & (3R2P) & 2-UPS。对这6种类型进行具体分析,综合出满足要求的三转一移并联机构。
对于2-(5R) & 2-UPS型并联机构,由41种5R支链和UPS无约束支链进行排列组合,理论上可组成820种机构构型,还需要通过Grassmann线几何理论逐一进行分析,得到满足要求的构型类型。如2-[RRR]∧ RR & 2-UPS并联机构。同理对于2-(4R1P) & 2-UPS,由28种4R1P支链排列组合可得378种机构类型,如2-[RRR]∧ PR&2-UPS、2-UPU & 2-UPS并联机构。对于(5R)&(4R1P) & 2-UPS,由5R和4R1P支链排列组合可得1 148种机构构型,其中满足要求的构型如[RRR]∧ RR & [RRR]∧ PR & 2-UPS。对于2-(3R2P) & 2-UPS类型,由10种3R2P支链排列组合可得45种构型,由于3R2P支链中含有两个移动副,则在综合的机构构型中必然存在移动副作为被动副出现,使机构难以具备良好的运动学性能,而且两条3R2P支链的约束力难以在运动中保持共点,因此在构型综合中不再考虑含有3R2P支链的机构。
3 腰关节康复机器人运动学性能分析
3.1 构型选取及自由度验证
在一系列并联机构中选择2-UPU & 2-UPS作为腰关节康复机器人本体机构进行研究,选择该构型的理由有以下两点:一是该构型巧妙且简洁,通过UPU支链中U副的轴线交汇巧妙地满足了腰关节康复所需的三维转动和多角度牵引的运动特征,且UPU支链比含有球面连杆的约束支链更为精简。二是该机构每条支链均存在一个移动副,以移动副作为主动副其传力性能更佳,同时不存在多余移动副作为被动副出现,且4个驱动均匀分布于4条支链,分布均匀。
因此选用2-UPU & 2-UPS并联机构为腰关节康复机器人本体机构,对其自由度进行分析验证,其目的主要是从自由度的层面体现其是如何满足腰关节康复运动需求的,另外也为接下来的运动学逆解模型的建立做准备。
在
图4 中,
A 1 、
A 2 、
A 3 、
A 4 分别为4条支链与定平台连接的U副中心点,
B 1 、
B 2 分别为两条UPS支链与动平台连接的S副中心点,支链3与支链4均为UPU支链,
B 3 、
B 4 分别为两条UPU支链与动平台连接的U副中心点。其各运动副由上至下分别为
Ri 1 、
Ri 2 、
Ri 3 、
Ri 4 、
Ri 5 (
i =3,4),由于U副可视为两个垂直相交的转动副,
Ri 1 、
Ri 2 为两个UPU支链与定平台相连U副的两个转动副,
Ri 4 、
Ri 5 为两个UPU支链与动平台相连U副的两个转动副,其中
R 32 与
R 34 轴线平行,
R 42 与
R 44 轴线平行,定平台上
R 31 与
R 41 始终交于点
O ,动平台上
R 35 与
R 45 始终交于点
O 1 ,初始位置
O 点和
O 1 点重合。建立坐标系如
图4 所示,原点与
O 点重合,
Z 轴垂直于定平台所在平面,
Y 轴平行于∠
A 3 OA 4 的角平分线上,
X 轴由右手定则确定。
根据旋量理论的自由度计算方法,首先通过建立各支链的运动旋量系求得约束螺旋系,则各支链约束旋量的集合即是动平台的约束螺旋系。由于UPS支链为无约束支链,不影响机构的自由度,因此只对两个UPU分支进行分析,如
图5 所示UPU支链的运动螺旋系为
(3) $\left\{\begin{array}{l}{S}_{i1}=({S}_{{O}_{i}{A}_{i}};0)\\ {S}_{i2}=({S}_{i2};{r}_{{A}_{i}}\times {S}_{i2})\\ {S}_{i3}=(0;{S}_{{A}_{i}{B}_{i}})\\ {S}_{i4}=({S}_{i2};{r}_{{B}_{i}}\times {S}_{i2})\\ {S}_{i5}=({S}_{{O}_{i}{B}_{i}};{r}_{{O}_{i}}\times {S}_{{O}_{i}{B}_{i}})\\ i=\mathrm{3,4}\end{array}\right.$
式(3)中:SOi Ai 为从点Oi 到点Ai 的方向向量;SOi Bi 为从点Oi 到点Bi 的方向向量;SAi Bi 为从点Ai 到点Bi 的方向向量;rAi 为定平台点Ai 的位置向量;rBi 为定平台点Bi 的位置向量;rOi 为定平台点Oi 的位置向量;Gi 点为OBi 与OAi 延长线上的交点,初始位置时Gi 与O 点及O 1 点重合,当机构做一般三转一移运动时,这3个点将不再重合,因此在分析该支链旋量系时以最一般的情况来分析。Si 1 、Si 2 、Si 4 、Si 5 为两UPU支链中U副的转动轴线的运动螺旋,Si 3 为两UPU支链中P副的运动螺旋,位置向量与方向向量的叉乘即为力矩向量。
由旋量理论可知此UPU支链的约束螺旋为Sr i ,其过Gi 点且与Ri 2 、Ri 4 转动轴线平行,以旋量表示为
(4) ${{S}^{r}}_{i}=({S}_{i2};{r}_{{G}_{i}}\times {S}_{i2})$
根据式(3)和式(4)可知,该机构无公共约束和冗余约束,只有两个约束力,由修正后的自由度计算公式可得
(5) $\begin{aligned}F& =d\left( n-g-1 \right)+\underset{i=1}{\overset{g}{\mathop \sum }}\,{{f}_{i}} \\ & =6\times \left( 10-12-1 \right)+22=4\end{aligned}$
式(5)中:F 为机构的自由度;n 为包括机架的构件数目;g 为运动副的数目;fi 为第i 个运动副的自由度数。
因此该机构的自由度为4,通过旋量理论和Grassmann线几何原理分析可知其约束螺旋的性质不会在运动中改变,因此该机构具有全周性,且移动方向随约束螺旋的方向改变而改变,满足了腰关节康复的基本条件,当人体穿戴该机构康复时形成人机系统,如
图6 所示。由于腰关节球副运动模型的限制,相当于在该机构中加入了一条只含有球副的支链,其上端与动平台固定,下端与定平台固定。因此必然引起自由度的改变,下面将对人机系统的自由度进行分析。
在人机系统中,除了UPU支链的约束力外,腰关节也将提供约束,且要求穿戴时腰关节转动中心与机构的O (O 1 )点重合,腰关节约束螺旋系表示为
(6) $\left\{\begin{array}{l}{{S}^{r}}_{{y}_{1}}=\left(\begin{array}{llllll}1& 0& 0;& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ {{S}^{r}}_{{y}_{2}}=\left(\begin{array}{llllll}0& 1& 0;& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ {{S}^{r}}_{{y}_{3}}=\left(\begin{array}{llllll}0& 0& 1;& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}\right.$
由式(3)~式(6)可知,在腰关节旋转中心处存在5个约束力旋量,因此有两个约束力是冗余的,即有两个冗余约束通过修正的G-K公式可得
(7) $\begin{aligned}F&=d\left( n-g-1 \right)+\underset{i=1}{\overset{g}{\mathop \sum }}\,{{f}_{i}}+v\\&=6\times \left( 10-13-1 \right)+25+2=3 \end{aligned}$
因此人机系统的自由度为3,且为3个定心转动自由度。通过上述对机构及人机系统自由度的分析可知,机构比人机系统多了一个移动特征的自由度,由于腰关节的限制,理论上穿戴后机构将不能移动,但机构仍可以在移动趋势的方向提供一个牵引力,而这正满足了腰关节牵引治疗的需求。通过自由度的分析可以清楚地看出该机构用于腰关节康复的工作原理,也便于后续运动学逆解模型的建立。
3.2 机构的结构参数及位姿描述
在初始位型下建立机构的坐标系如
图7 所示,
O' 和
O' 1 点为
O 和
O 1 分别在定平台
A 1 、
A 2 、
A 3 、
A 4 所在的平面和
B 1 、
B 2 、
B 3 、
B 4 所在平面上的投影。∠
OA 1 O' =∠
OA 2 O' =∠
OA 3 O' =∠
OA 4 O' =
θ 1 ;∠
O 1 B 1 O' 1 =∠
O 1 B 2 O' 1 =∠
O 1 B 3 O' 1 =∠
O 1 B 4 O' 1 =
θ 2 ;l
O'A1 =l
O'A2 =l
O'A3 =l
O'A4 =
a ;l
O'B1 =l
O'B2 =l
O'B3 =l
O'B4 =
b ;两个UPU支链中
OA 3 与
O 1 B 3 共面,
OA 4 与
O 1 B 4 共面,且初始位形下这两个平面与同动平台及定平台均垂直,向量
OA 1 、
OA 2 、
OA 3 、
OA 4 在
XOY 面上的投影与
Y 轴正方向的夹角分别为${{\varphi }_{1}}$、${{\varphi }_{2}}$、${{\varphi }_{3}}$、${{\varphi }_{4}}$;向量
O 1 B 1 、
O 1 B 2 、
O 1 B 3 、
O 1 B 4 在
xoy 面上的投影与
y 轴正方向的夹角分别为${{\varphi }_{5}}$、${{\varphi }_{6}}$、${{\varphi }_{3}}$、${{\varphi }_{4}}$。
该机构的姿态采用RPY(roll-pitch-yaw)角进行描述,其姿态变换过程如下:动坐标系O 1 -xyz 的初始方位与定坐标系O-XYZ 一致,首先将动坐标系O 1 -xyz 绕X 轴转角度α ,再绕Y 轴转角度β ,最后绕Z 轴转角度γ ,其姿态变换矩阵为
(8) $\begin{aligned} { }_{1}^{0} \boldsymbol{T} & =\operatorname{Rot}(z, \gamma) \operatorname{Rot}(y, \beta) \operatorname{Rot}(x, \alpha) \\ & =\left(\begin{array}{cccc} \mathrm{c} \beta \mathrm{c} \gamma & \mathrm{c} \gamma \mathrm{~s} \alpha \mathrm{~s} \beta-\mathrm{c} \alpha \mathrm{~s} \gamma & \mathrm{~s} \alpha \mathrm{~s} \gamma+\mathrm{c} \alpha \mathrm{c} \gamma \mathrm{~s} \beta & 0 \\ \mathrm{c} \beta \mathrm{~s} \gamma & \mathrm{c} \alpha \mathrm{c} \gamma+\mathrm{s} \alpha \mathrm{~s} \beta \mathrm{~s} \gamma & \mathrm{c} \alpha \mathrm{~s} \beta \mathrm{~s} \gamma-\mathrm{c} \gamma \mathrm{~s} \alpha & 0 \\ -\mathrm{s} \beta & \mathrm{c} \beta \mathrm{~s} \alpha & \mathrm{c} \alpha \mathrm{c} \beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{aligned}$
式(8)中:,c(·)=cos(·);s(·)=sin(·)${;}_{1}^{0}T$ 为动坐标系O 1 -xyz 相对于定坐标系O-XYZ 的全部姿态变换信息,因而称之为机构的姿态变换矩阵。
由于姿态变换矩阵只描述了机构绕虚拟运动中心O 点进行转动的特征,对于具有三转一移运动特征的并联机构还需对其移动特征进行描述,该机构的运动副的特殊布置使得其移动方向可由姿态变换矩阵求得,其过程如下。
由于两条UPS支链不提供约束,由两条UPU支链各提供一个约束力,而根据旋量理论可知两约束力的公法线方向即为动平台的移动方向。因此移动方向由以下方法求得。
设S 31 为定坐标系下支链3定平台上的支链一中U副第一转动副R 31 轴线方向向量,S 41 为定坐标系下支链4定平台上的U副第一转动副R 41 轴线的方向向量,则
(9) ${S}_{31}=\left[c\right.{\theta }_{1}s{\varphi }_{3} c{\theta }_{1}c{\varphi }_{3} s{\theta }_{1}{]}^{T}$
(10) ${S}_{41}=\left[c\right.{\theta }_{1}s{\varphi }_{4} c{\theta }_{1}c{\varphi }_{4} s{\theta }_{1}{]}^{T}$
设S 350 为动坐标系下支链3在动平台上的U副第二转动副R 35 轴线的方向向量,S 450 为动坐标系下支链4在动平台上的U副第二转动副R 45 轴线的方向向量,则
(11) ${S}_{350}=\left[c\right.{\theta }_{2}s{\varphi }_{3} c{\theta }_{2}c{\varphi }_{3} s{\theta }_{2}{]}^{T}$
(12) ${S}_{450}=\left[c\right.{\theta }_{2}s{\varphi }_{4} c{\theta }_{2}c{\varphi }_{4} s{\theta }_{2}{]}^{T}$
设S 35 为定坐标系下支链3在动平台上的U副第二转动副R 35 轴线的方向向量,S 45 为定坐标系下支链4在动平台上的U副第二转动副R 45 轴线的方向向量,则
(13) $\left\{\begin{array}{l}{S}_{35}{=}_{1}^{0}T{S}_{350}\\ {S}_{45}{=}_{1}^{0}T{S}_{450}\end{array}\right.$
由旋量理论可知,两UPU支链的约束力方向 r S3 、r S 4 为
(14) $\left\{\begin{array}{l}{ }^{r}{S}_{3}={S}_{31}\times {S}_{35}=[{C}_{11} {D}_{11} {E}_{11}{]}^{T}\\ { }^{r}{S}_{4}={S}_{41}\times {S}_{45}=[{C}_{12} {D}_{12} {E}_{12}{]}^{T}\end{array}\right.$
则可求得动平台的移动特征方向,表示为SOO1 ,表达式为
(15) ${S}_{O{O}_{1}}={{}^{\mathrm{r}}S}_{3}\times {{}^{\mathrm{r}}S}_{4}\mathrm{ }$
因此求得SOO1 = [N1 N2 N3 ]T ,N 1 、N 2 、N 3 最终都可用α 、β 、γ 来表示,即动平台的移动方向与动平台的姿态角之间具有确定的关系,因此若给定OO 1 的距离lOO1 ,即可表明动平台的位姿,故lOO1 、α 、β 、γ 为此并联机构的位置逆解参数。
坐标系O 1 -xyz 沿OO 1 方向平移lOO1 ,其位置变换矩阵为
(16) ${ }_{2}^{1}\mathit{T}=\mathit{T}(x,y,z)=\mathrm{ }\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& {l}_{O{O}_{1}}{N}_{1}\\ 0& 1& 0& {l}_{O{O}_{1}}{N}_{2}\\ 0& 0& 1& {l}_{O{O}_{1}}{N}_{3}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
式(16)中:N 1 =D 11 E 12 -D 12 E 11 ;N 2 =C 12 E 11 -C 11 E 12 ;N 3 =C 11 D 12 -C 12 D 11 。
从而求得机构最终的位姿变换矩阵为
(17) $\begin{aligned} { }_{2}^{0} \boldsymbol{T} & ={ }_{1}^{0} \boldsymbol{T}_{2}^{1} \boldsymbol{T} \\ & =\left[\begin{array}{cccc} \mathrm{c} \beta \mathrm{c} \gamma & \mathrm{c} \gamma \mathrm{~s} \alpha \mathrm{~s} \beta-\mathrm{c} \alpha \mathrm{~s} \gamma & \mathrm{~s} \alpha \mathrm{~s} \gamma+\mathrm{c} \alpha \mathrm{c} \gamma \mathrm{~s} \beta & l_{O O_{1}} N_{1} \\ \mathrm{c} \beta \mathrm{~s} \gamma & \mathrm{c} \alpha \mathrm{c} \gamma+\mathrm{s} \alpha \mathrm{~s} \beta \mathrm{~s} \gamma & \mathrm{c} \alpha \mathrm{~s} \beta \mathrm{~s} \gamma-\mathrm{c} \gamma \mathrm{~s} \alpha & l_{O O_{1}} N_{2} \\ -\mathrm{s} \beta & \mathrm{c} \beta \mathrm{~s} \alpha & \mathrm{c} \alpha \mathrm{c} \beta & l_{O O_{1}} N_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}$
式(17)中:包含了动平台位置和姿态变换的全部信息,因此称为机构的位姿变换矩阵。
3.3 运动学逆解
通过3.2节对2-UPU & 2-UPS腰关节康复机器人的动平台的位姿描述及参数信息,求解机构各驱动副的输入值。此机构中含有4个驱动副,分别为两条UPU支链和两条UPS支链中的移动副作为直线驱动。用q 1 、q 2 、q 3 、q 4 来表示直线驱动的输入量。用解析法通过机构运动副的几何关系进行此机构运动学逆解计算,计算过程如下。
点A 1 、A 2 、A 3 、A 4 分别为各支链下方U副中心点也是与定平台相连的铰点,在定坐标系下的位置矢量可表示为
(18) $\left\{\begin{array}{l}O{A}_{1}=[ac{\theta }_{1}s{\varphi }_{1},ac{\theta }_{1}c{\varphi }_{1},as{\theta }_{1}{]}^{T}\\ O{A}_{2}=[ac{\theta }_{1}s{\varphi }_{2},ac{\theta }_{1}c{\varphi }_{2},as{\theta }_{1}{]}^{T}\\ O{A}_{3}=[ac{\theta }_{1}s{\varphi }_{3},ac{\theta }_{1}c{\varphi }_{3},as{\theta }_{1}{]}^{T}\\ O{A}_{4}=[ac{\theta }_{1}s{\varphi }_{4},ac{\theta }_{1}c{\varphi }_{4},as{\theta }_{1}{]}^{T}\end{array}\right.$
点B 1 、B 2 为两条UPS支链中S副的中心点也是与动平台相连的铰点,B 3 、B 4 是为两条UPU支链中上方U副中心点也是与动平台相连的铰点,B 1 、B 2 、B 3 、B 4 在动坐标系下的位置矢量可表示为
(19) $\left\{\begin{array}{l}{O}_{1}{B}_{10}=[bc{\theta }_{2}s{\varphi }_{5},bc{\theta }_{2}c{\varphi }_{5},bs{\theta }_{2}{]}^{T}\\ {O}_{1}{B}_{20}=[bc{\theta }_{2}s{\varphi }_{6},bc{\theta }_{2}c{\varphi }_{6},bs{\theta }_{2}{]}^{T}\\ {O}_{1}{B}_{30}=[bc{\theta }_{2}s{\varphi }_{3},bc{\theta }_{2}c{\varphi }_{3},bs{\theta }_{2}{]}^{T}\\ {O}_{1}{B}_{40}=[bc{\theta }_{2}s{\varphi }_{4},bc{\theta }_{2}c{\varphi }_{4},bs{\theta }_{2}{]}^{T}\end{array}\right.$
通过位姿变换矩阵可得B 1 、B 2 、B 3 、B 4 在定坐标系下的位置矢量为
(20) $\left\{\begin{array}{l}O{B}_{1}{=}_{2}^{0}T{O}_{1}{B}_{10}\\ O{B}_{2}{=}_{2}^{0}T{O}_{1}{B}_{20}\\ O{B}_{3}{=}_{2}^{0}T{O}_{1}{B}_{30}\\ O{B}_{4}{=}_{2}^{0}T{O}_{1}{B}_{40}\end{array}\right.$
则向量Ai Bi 可由OAi 和OBi (i =1~ 4)矢量相减得到
(21) $\boldsymbol{A}_{i} \boldsymbol{B}_{i}=\boldsymbol{O} \boldsymbol{B}_{i}-\boldsymbol{O} \boldsymbol{A}_{i}$
向量Ai Bi 的模与初始位型下Ai Bi 的长度lAi Bi0 相减即为直线驱动的输入量qi ,表达式为
(22) ${q}_{i}=\left|{A}_{i}{B}_{i}\right|-{l}_{{A}_{i}{B}_{i0}}$
至此,在确定腰关节康复机器人结构参数和动平台位置及姿态参数后,通过式(22)可求得相应的输入量,即运动学逆解模型建立完成。
3.4 运动学逆解仿真验证
为了验证模型的正确性,需进行代数验证,在此采用MATLAB进行理论计算,RecurDyn仿真软件进行虚拟样机建模进行相对应的运动学仿真,二者运行结果对比以验证运动学逆解的正确性。
首先,根据《中国成年人人体尺寸》(GB 10000—2023)
[19 ] 中成年男性身体参数对2-UPU & 2-UPS腰关节康复机器人合理拟定结构参数如下:
θ 1 =135
° ,
θ 2 =45
° ,
a =240 mm,
b =220 mm,${{\varphi }_{1}}$=135
° ,${{\varphi }_{2}}$=225
° ,${{\varphi }_{3}}$=315
° ,${{\varphi }_{4}}$=45
° ,${{\varphi }_{5}}$=160
° ,${{\varphi }_{6}}$=200
° ,根据以上结构参数绘制三维图并导入RecurDyn软件中建立虚拟样机模型,如
图8 所示。
然后,在RecurDyn虚拟样机对其运动副中添加约束及驱动,分别使动平台进行前屈后伸、左/右侧屈、左/右旋转及多角度牵引仿真,设定运动时间为1.5 s,步长为0.01 s,给定动平台的运动规律,测量直线驱动的变化量,绘制成曲线。
最后,采用MATLAB编写运动学逆解程序,以仿真中的动平台运动规律代入程序中,求得直线驱动的理论伸缩长度,将其与RecurDyn的仿真结果对比。
2-UPU & 2-UPS腰关节康复机器人具有3个方向的转动运动,且3个转动的验证极其类似,因此仅以绕定坐标系
X 轴进行前屈后伸运动为例进行展示。首先设定逆解参数:
α =10π/180sin(2π
t )、β=0°、γ=0°、l
OO1 =0
° ,然后将逆解参数输入在MATLAB中编写的逆解程序进行求解,以及在RecurDyn仿真软件中进行运动学仿真,求解和仿真均可得到该机构中4个直线驱动的位移量
q 1 、
q 2 、
q 3 、
q 4 ,如
图9 所示。
牵引运动以绕定坐标系
Y 轴转动一定角度后进行该动平台姿态下的移动运动为例,动平台能产生移动运动则说明满足康复需求。同理,先设定逆解参数为
α =0
° 、
β =30
° 、
γ =0
° 、l
OO1 =30sin(2π
t ),再将逆解参数输入MATLAB逆解程序及RecurDyn仿真软件,求解和仿真结果均可得到4个直线驱动的位移量
q 1 、
q 2 、
q 3 、
q 4 ,如
图10 所示。
通过采用MATLAB及RecurDyn两个软件进行运动学逆解联合仿真验证的结果,如
图9 和
图10 中的理论曲线和仿真曲线对比图可知,3.3节中建立的运动学逆解模型正确。
3.5 工作空间
并联机构的工作空间是指在一定的约束条件下,动平台能够达到所有位置点的集合。对于腰关节康复机器人其工作空间要求满足腰关节康复运动的最大范围,这是提供满足要求的康复运动的基础,也是康复机构的一项重要运动学指标
[20 ] 。
在计算工作空间时需要注意实际加工中的并联机构的零件都是有体积的,且零件之间配合形成的运动副也是有范围的。因此,由于并联机构的工作空间受到各支链中的杆长、各运动副的活动范围、各支链之间的运动干涉等因素的影响,针对此机构的工作空间求解需对以下两点因素进行考虑。
(1)直线驱动的运动范围。由于实际中的直线驱动器受自身结构和电机的影响,其运动范围是有限的,在工作空间计算中,应予以考虑。2-UPU & 2-UPS并联机构均采用直线驱动,各支链的长度可由lAi Bi (i =1~ 4)表示,设定直线驱动范围为
(23) ${l}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le {l}_{{A}_{{}_{i}}{B}_{i}}\le {l}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$
式(23)中:取l min =550 mm,l max =850 mm。
(2)运动副转角。2-UPU & 2-UPS并联机构中含有S副和U副,实际加工中运动副均有其转动范围,为反映真实的工作空间以及避免转动角度过大而引起支链之间相互干涉,S副和U副转角应满足如下要求。
(24) $\Delta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{{m}_{i}{k}_{i}}{\left|{m}_{i}\right|\left|{k}_{i}\right|},\mathrm{ }{\Delta }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le \Delta \le {\Delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$
式(24)中:mi 、ki 分别为形成运动副的两杆的矢量;Δ 、Δ min 、Δ max 分别为运动副转角的实际值、最小和最大值,取Δ min =35° 、Δ max =145° 。
根据3.3节中运动学逆解模型,并考虑上述两点工作空间求解中的影响因素,采用数值搜索法
[21 ] 求解在腰关节康复运动范围内动平台经过的所有点的集合,求解2UPU & 2-UPS并联机构的工作空间。采用3.4节中运动学逆解验证时的结构参数。选取
O' 1 点为动平台上的特征点,将腰关节康复机器人构型综合与尺度优化该点运动时的位置空间的集合记为2-UPU & 2-UPS并联机构的工作空间,其求解过程如下。首先,根据腰关节康复所需运动的范围明确出2-UPU & 2-UPS并联机构位置逆解参数l
OO1 、
α 、
β 、
γ 的范围,且设置初始位置均为零,再设置合理的搜索步长。然后,给定机构的结构参数,代入运动学逆解模型求解各直线驱动的长度及运动副转角,通过式(23)和式(24)中的限制条件进行判断;最后,将满足要求的直线驱动长度和运动副转角所对应的动平台特征点
O' 1 的位置做记录。
根据2-UPU & 2-UPS并联机构工作空间求解流程图在MATLAB中编程求解,腰关节康复运动范围给定
α 、
β 、
γ 均为[-30
° ,30
° ],由于实际康复过程中腰关节对康复机构移动特征的限制,取l
OO1 =0,结构参数采用3.4节中的设定,求解得到工作空间,如
图11 所示。
由
图11 可以看出,2-UPU & 2-UPS并联机构工作空间呈平滑的曲面,运动范围满足要求,内部无空缺且散点分布均匀,说明其在工作空间内的运动是连续的,因此,从工作空间来看该机构满足腰关节康复运动需求。
3.6 雅可比矩阵
通过旋量理论的方法建立2-UPU & 2-UPS并联机构的完整雅可比矩阵。通过旋量理论,在某一时刻并联机构输出运动旋量是由各个支链中所有关节的瞬时运动旋量进行线性叠加,依据此理论基础可得动平台瞬时运动旋量为
(25) ${S}_{P}=\sum _{j=1}^{{H}_{i}}{\stackrel{·}{\theta }}_{j,i}{S}_{j,i},\mathrm{ }i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}$
式(25)中:SP =[ω ,v ];ω 为动平台的角速度;v 为动平台上与坐标原点重合的点的线速度矢量;${\stackrel{·}{\theta }}_{j,i}$ 为支链i 上第j 个单自由度运动副的速度;Sj , i i 上第j 个单自由度运动副的单位运动旋量;Hi 为支链i 的单自由度运动副数目。
3.6.1 约束子矩阵
由3.1节的式(4)可知2-UPU & 2-UPS并联机构两个UPU支链的约束旋量,由于UPS支链不提供约束,故两个UPU支链的约束旋量即构成了机构的约束旋量系。由于腰关节康复运动过程中实际的运动形式是建立在人机系统的基础上的,但又不能忽视2-UPU & 2-UPS并联机构移动特征所能提供的牵引力功能,因此在运动学性能分析中,以动平台转动特征为定平台上O 点和动平台上O 1 点始终重合进行分析,因此式(4)中,G 3 、G 4 、O 、O 1 点重合。
则动平台的运动旋量可由机构的约束旋量系式(4)与其互易积为零的性质求得,即
(26) ${S}_{i}^{r}°{S}_{P}=0,\mathrm{ }i=\mathrm{3,4}$
式(26)中:Sr i ∘SP 表示Sr i 与SP 作互易积,根据旋量理论,Sr i 和SP 分别可展开为Sr i =(Sr i ;Sr i0 )、SP =(SP ;SP 0 ),则式(26)可展开为
${S}_{i}^{r}°{S}_{P}={S}_{i}^{r}{S}_{P0}+{S}_{P}{S}_{i0}^{r}=0,\mathrm{ }i=\mathrm{3,4}\mathrm{。}$
将式(26)整理成矩阵形式为
(27) ${J}_{\mathrm{c}}\left[\begin{array}{l}{\nu }^{T}\\ {\omega }^{T}\end{array}\right]=0$
式(27)中:0为零矩阵;J c 为2-UPU & 2-UPS腰椎康复机器人的约束子矩阵,表达式为
${J}_{\mathrm{c}}={\left[\begin{array}{ll}{S}_{32}& {r}_{G3}\times {S}_{42}\\ {S}_{42}& {r}_{G4}\times {S}_{32}\end{array}\right]}_{2\times 6}\mathrm{。}$
3.6.2 驱动子矩阵
在2-UPU & 2-UPS腰关节康复机器人中,支链1和支链2为UPS支链P副为驱动副,将其锁定后会各增加一个沿杆的约束力旋量,同理支链3和支链4为UPU支链锁定P副后,各增加一个沿杆的约束力,则这4个由于锁定驱动关节而增加的约束力旋量称为此机构的传递力旋量,其表达式为
(28) ${S}_{\mathrm{T}i}=\left[\begin{array}{ll}{S}_{{A}_{i}{B}_{i}}& {r}_{{O}_{i}{A}_{i}}\times {S}_{{A}_{i}{B}_{i}}\end{array}\right],\mathrm{ }i=1\sim 4$
由传递力旋量的性质,将式(28)中4个传递力旋量分别与对应的式(25)、式(28)两边做互易积得
(29) $\boldsymbol{S}_{\mathrm{T} i} \circ \boldsymbol{S}_{P}=\boldsymbol{d}_{i 3} \circ \boldsymbol{S}_{i 3}, i=1 \sim 4$
将式(29)以矩阵形式呈现为
(30) ${J}_{\mathrm{a}}\left[\begin{array}{l}{\nu }^{T}\\ {\omega }^{T}\end{array}\right]={J}_{\mathrm{x}}\mathrm{ }\stackrel{·}{d}$
式(30)中:J a 为2-UPU & 2-UPS腰关节康复机器人的驱动子矩阵,展开为
${J}_{\mathrm{a}}={\left[\begin{array}{ll}{S}_{{A}_{1}{B}_{1}}& {r}_{{O}_{1}{A}_{1}}\times {S}_{{A}_{1}{B}_{1}}\\ {S}_{{A}_{2}{B}_{2}}& {r}_{{O}_{1}{A}_{2}}\times {S}_{{A}_{2}{B}_{2}}\\ {S}_{{A}_{3}{B}_{3}}& {r}_{{O}_{1}{A}_{3}}\times {S}_{{A}_{3}{B}_{3}}\\ {S}_{{A}_{4}{B}_{4}}& {r}_{{O}_{1}{A}_{4}}\times {S}_{{A}_{4}{B}_{4}}\end{array}\right]}_{4\times 6}$ ;
${J}_{\mathrm{x}}=\left[\begin{array}{llll}{S}_{T1}\circ {S}_{13}& 0& 0& 0\\ 0& {S}_{T2}\circ {S}_{23}& 0& 0\\ 0& 0& {S}_{T3}\circ {S}_{33}& 0\\ 0& 0& 0& {S}_{T4}\circ {S}_{43}\end{array}\right]$ ;
$\stackrel{·}{d}={\left[\begin{array}{llll}{\stackrel{·}{d}}_{1}& {\stackrel{·}{d}}_{2}& {\stackrel{·}{d}}_{3}& {\stackrel{·}{d}}_{4}\end{array}\right]}^{T}$ 。
3.6.3 完整雅可比矩阵
综合式(27)和式(30)可得
(31) ${J}_{\mathrm{P}}\left[\begin{array}{l}{\nu }^{T}\\ {\omega }^{T}\end{array}\right]={J}_{\mathrm{q}}\mathrm{ }\stackrel{·}{d}$
式(31)中:J P 为输出雅可比矩阵;J q 为输入雅可比矩阵,展开为
${J}_{\mathrm{P}}=\left[\begin{array}{l}{J}_{c}\\ {J}_{a}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ll}{S}_{12}& {r}_{{G}_{1}}\times {S}_{12}\\ {S}_{22}& {r}_{{G}_{2}}\times {S}_{22}\\ {S}_{{A}_{1}{B}_{1}}& {r}_{{O}_{1}{A}_{1}}\times {S}_{{A}_{1}{B}_{1}}\\ {S}_{{A}_{2}{B}_{2}}& {r}_{{O}_{1}{A}_{2}}\times {S}_{{A}_{2}{B}_{2}}\\ {S}_{{A}_{3}{B}_{3}}& {r}_{{O}_{1}{A}_{3}}\times {S}_{{A}_{3}{B}_{3}}\\ {S}_{{A}_{4}{B}_{4}}& {r}_{{O}_{1}{A}_{4}}\times {S}_{{A}_{4}{B}_{4}}\end{array}\right]}_{6\times 6}$ ;
$\stackrel{·}{d}={\left[\begin{array}{llllll}0& 0& {\stackrel{·}{d}}_{1}& {\stackrel{·}{d}}_{2}& {\stackrel{·}{d}}_{3}& {\stackrel{·}{d}}_{4}\end{array}\right]}^{T}$ 。
当J P 的行列式不为零时,J P 逆矩阵存在,则式(31)可改写为
(32) $\stackrel{·}{d}={J}_{q}^{-1}{J}_{\mathrm{P}}\left[\begin{array}{l}{\nu }^{T}\\ {\omega }^{T}\end{array}\right]$
由式(32)可得到2-UPU & 2-UPS腰关节康复机器人的全雅可比矩阵为
(33) ${J}_{\mathrm{P}}={J}_{q}^{-1}{J}_{\mathrm{P}}={\left[\begin{array}{ll}{S}_{12}& {r}_{{G}_{1}}\times {S}_{12}\\ {S}_{22}& {r}_{{G}_{2}}\times {S}_{22}\\ {S}_{{A}_{1}{B}_{1}}/({S}_{T1}\circ {S}_{13})& {r}_{{O}_{1}{A}_{1}}\times {S}_{{A}_{1}{B}_{1}}/({S}_{T1}\circ {S}_{13})\\ {S}_{{A}_{2}{B}_{2}}/({S}_{T2}\circ {S}_{23})& {r}_{{O}_{1}{A}_{2}}\times {S}_{{A}_{2}{B}_{2}}/({S}_{T2}\circ {S}_{23})\\ {S}_{{A}_{3}{B}_{3}}/({S}_{T3}\circ {S}_{33})& {r}_{{O}_{1}{A}_{3}}\times {S}_{{A}_{3}{B}_{3}}/({S}_{T3}\circ {S}_{33})\\ {S}_{{A}_{4}{B}_{4}}/({S}_{T4}\circ {S}_{43})& {r}_{{O}_{1}{A}_{4}}\times {S}_{{A}_{4}{B}_{4}}/({S}_{T4}\circ {S}_{43})\end{array}\right]}_{6\times 6}$
3.7 奇异位形分析
第3.6节中已对2-UPU & 2-UPS腰关节康复机器人雅可比矩阵进行分析,通过雅可比矩阵求解过程中各矩阵的行列式,将奇异位形按照产生的原因分为逆解奇异、正解奇异和混合奇异3种。
逆解奇异可以用矩阵J P 和J q 的行列式直观体现为J q 的行列式等于零而J P 的行列式不等于零。进一步分析J q 的行列式为零的原因可能为S T1 ∘S 13 或S T2 ∘S 23 或S T3 ∘S 33 或S T4 ∘S 43 等于零,而显然无论是UPU支链还是UPS支链其传递力旋量与输入运动旋量的方向是一致的,即S T1 ∘S 13 =S T2 ∘S 23 =S T3 ∘S 33 =S T4 ∘S 43 =1。因此J q 的行列式不存在为零的情况,故在2-UPU&2-UPS腰关节康复机器人中不存在逆解奇异。
正解奇异可以用矩阵J P 和J q 的行列式直观体现为J P 的行列式等于零而J q 的行列式非零。由输出雅可比矩阵J P 的展开式可知,其包含了机构中所有传递力旋量和所有约束力旋量,这些旋量自身不可能为零,那么产生正解奇异只有以下3种可能:①机构的约束旋量之间存在线性相关;②机构的传递力旋量之间存在线性相关;③机构的约束旋量和传递力旋量组成的旋量系存在线性相关。首先约束旋量是两个共点的约束力线矢,若其共线则线性相关,显然在3.5节所给出的工作空间内不存在此种情况;其次,传递力旋量与输入运动旋量平行,由Grassmann线几何理论可知当4个传递力旋量相交或平行时发生线性相关,在工作空间内不存在此种情况;最后约束旋量和传递力旋量在工作空间内也不存在线性相关情况,因此在工作空间内2-UPU & 2-UPS腰关节康复机器人不存在正解奇异。
混合奇异表现为机构的J P 和J q 的行列式均等于零,由上述对逆解奇异和正解奇异的分析可知,在工作空间内2-UPU & 2-UPS腰关节康复机器人不存在混合奇异。
4 结论
为解决现有腰椎康复机器人存在的运动形式单一、康复效果有限及应用局限性等问题,对其构型设计与运动学性能进行了研究,得到以下结论。
(1)基于人体腰关节运动特征,结合旋量理论与Grassmann线几何,提出了符合“三转一移”运动需求的康复运动模型,明确了虚拟运动中心与牵引方向的耦合关系,为之后的腰椎关节康复机器人设计提供了理论经验。
(2)根据康复运动的运动特征和约束特性,构型出一系列满足康复需求的三转一移并联机构,为康复机器人本体的选型奠定了基础。最终选取2-UPU & 2-UPS并联机构作为研究对象,分析其机构自身及人机系统的自由度,结果表明该机构能够实现牵引运动趋势,具有良好的可行性与适用性。
(3)建立了该机构的运动学逆解模型,并结合成年男性人体尺寸参数确定结构参数,利用RecurDyn与MATLAB进行联合仿真,验证了逆解模型的正确性。
(4)基于雅可比矩阵开展奇异位形分析,结果表明该机构在工作空间内不存在奇异,运动性能稳定,为后续腰椎康复机器人设计与优化提供了参考。
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