空间引力波探测望远镜结构拓扑优化分析

赵红华; 白绍竣; 杨亚奇; 鉴锴; 黄钰棋; 白瑞祥

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2502704

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (6) :2393-2402 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2502704

机械、仪表工业

空间引力波探测望远镜结构拓扑优化分析

赵红华 ¹^,² ,
白绍竣 ³^,^* ,
杨亚奇 ² ,
鉴锴 ² ,
黄钰棋 ⁴ ,
白瑞祥 ¹^,²

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Topology Optimization Analysis of Space-based Gravitational-wave Detection Telescope Structures

ZHAO Hong-hua ¹^,² ,
BAI Shao-jun ³^,^* ,
YANG Ya-qi ² ,
JIAN Kai ² ,
HUANG Yu-qi ⁴ ,
BAI Rui-xiang ¹^,²

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摘要

为满足空间引力波探测对望远镜结构高稳定性和精度的要求,通过建立三维有限元模型、模态分析、随机振动分析及基于变密度法的拓扑优化策略,结合几何重构与尺寸优化,研究了望远镜主支撑结构的轻量化与性能提升方法。结果表明:优化后的结构重量减轻10.7%,材料利用效率显著提高;结构模态频率与应力均满足设计要求;次镜位置的振动位移和加速度响应得到有效控制。可见,拓扑-尺寸联合优化设计能有效兼顾轻量化与稳定性,为望远镜结构设计提供了可靠的技术参考。

Abstract

In order to meet the stringent requirements for structural stability and precision in space-based gravitational-wave detection telescopes, a combined approach of 3D finite element modeling, modal analysis, random vibration analysis, and topology optimization based on the variable density method was used to investigate the lightweight design and performance enhancement of the telescope’s main support structure. The results show that the optimized configuration achieved a 10.7% reduction in mass while significantly improving structural stability and material utilization efficiency, with both modal frequencies and stress levels meeting design specifications. Additionally, vibration displacement and acceleration responses at the secondary mirror position were effectively suppressed. It is concluded that the integrated topology-size optimization design provides an effective solution for balancing lightweight requirements with structural rigidity, offering valuable insights for future spaceborne telescope structural design.

Graphical abstract

关键词

望远镜 / 有限元分析 / 拓扑优化 / 尺寸优化

Key words

telescope / finite element analysis / topology optimization / dimensional optimization

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赵红华, 白绍竣, 杨亚奇, 鉴锴, 黄钰棋, 白瑞祥. 空间引力波探测望远镜结构拓扑优化分析[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(6): 2393-2402 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2502704

ZHAO Hong-hua, BAI Shao-jun, YANG Ya-qi, JIAN Kai, HUANG Yu-qi, BAI Rui-xiang. Topology Optimization Analysis of Space-based Gravitational-wave Detection Telescope Structures[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(6): 2393-2402 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2502704

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空间引力波探测既是检验爱因斯坦广义相对论的关键工具,也为揭示宇宙起源及早期演化机制提供了独特的研究窗口^[1]。目前中外主要的空间引力波探测计划有LISA (laser interferometer space antenna) 任务^[2-3]、天琴计划^[4]以及太极计划^[1,5-6]。3个计划均基于3颗航天器构成的等边三角形星座,在数十万至数百万公里的超长基线上构建精密干涉测量系统,通过监测测试质量间距离波动反演引力波信息,系统需要实现皮米级位移分辨能力^[7]。通过监测测试质量间距波动反演引力波信息,其中系统需实现纳米级位移分辨能力。针对极微弱信号特性,各航天器配置双望远镜系统,分别完成激光准直发射与远程信号接收压缩,从而提升光路传输效率及信噪比水平^[8]。望远镜作为空间激光干涉光路的一部分,其本身的光程变化直接体现为测量噪声,所以对望远镜光机本身的稳定性要求非常高。在运载与入轨阶段,航天器需承受随机振动、声振及分离冲击等动态载荷,载荷可通过接口传递至望远镜支撑结构并引起结构响应。对于以微晶等脆性材料为核心部件的光机系统,该阶段振动响应不仅关系到装调保持,更直接关联结构安全与抗破坏能力;而在轨运行阶段,光程稳定性通常更多受热变形等因素影响。

近年来,仿真驱动的优化设计方法在工业领域持续深化应用^[9]。张锐等^[2]基于有限元技术对空间太阳望远镜主镜支撑结构实施精准的轻量化优化。王小强等^[3]针对航天用CQFC228封装集成电路的特殊需求,创新采用拓扑优化与多目标遗传算法(multi-objective genetic algorithm, MOGA)协同策略,在保证振动夹具稳定性前提下减轻质量80.5%,并通过实验验证了结构性能的优化效果与工程适用性。余易等^[8]对多镜筒望远镜中间块进行了拓扑优化,重新设计中间块结构,并进行热-结构耦合分析,最后对中间块结构进行尺寸优化,在符合散热要求的情况下提高了材料利用效率。林佳杰等^[4] 通过拓扑优化重构多镜筒中间块传力路径,实现五镜筒支承体系的高效力学传递,保证了结构的稳定性并实现了轻量化设计。付世欣等^[5] 针对4米级望远镜底座的刚度-质量协同优化需求,创新开发了融合模态约束与变形控制的多目标拓扑优化方法。王辰忠等^[1] 面向空间引力波探测需求,对望远镜主反射镜光机系统实施拓扑集成优化设计,实现了稳定性与轻量化的协同提升。高婧婧^[10]对环形太阳望远镜镜筒结构开展了优化设计。李路等^[11]采用拓扑优化和结构参数集成优化相结合的方法对星载激光雷达望远镜主镜进行了超轻量化结构设计。曾傲雄^[12]对空间长条形反射镜进行了基于三点支撑的综合轻型优化设计。这些研究均表明,轻量化与稳定性之间存在密切的耦合关系,需要在设计阶段进行统筹优化^[13-16]。此外,LISA任务^[7]、天琴计划^[4]与太极计划^[6]等对望远镜在轨运行阶段的光路长期稳定性提出了严格要求,以抑制光程漂移对干涉测量精度的影响。需要指出的是,拓扑-尺寸联合优化主要面向发射段随机振动环境:在满足强度与模态约束的前提下,通过优化主支撑传力路径实现减重,并评估与降低随机振动载荷下次镜的响应水平,以提高望远镜结构的抗振能力。

鉴于目前鲜有针对空间引力波探测望远镜在入轨阶段的动力学结构优化设计研究,因此现对该结构主支撑部分进行合理的设计和拓扑优化分析,从而减轻望远镜结构的重量,控制望远镜的振动,以保持整个望远镜结构的稳定性。

1 望远镜初始结构设计

所设计的探测望远镜三维模型如图1所示,主镜底座通过Bipod支撑与卫星固定在一起。振动激励施加在Bipod支撑底部,入射光线通过主次三四镜的级联反射路径,经4次反射后导入后续光学系统。故要在保证不遮挡入射光线,主支撑基本构型不变且强度、刚度满足要求条件下对主支撑结构进行优化。

图2展示了基于网格离散化构建的望远镜初始构型有限元模型,以六面体单元为主,不规则处存在少量四面体和棱柱,全局单元尺寸约5 mm,共90 090个单元。在Bipod支撑底面施加以Tie连接方式的约束。

望远镜主镜、次镜、三镜、四镜和主支撑结构使用微晶材料,Bipod支撑使用铟钢材料,各材料参数汇总如表1所示。

将振动激励施加在Bipod支撑底部。进行有限元动力分析,得到结构振动的前5阶振动模态如图3所示。各阶振动频率分别为173.6、174.5、267.7、326.5、402.2 Hz。

整体前5阶模态分析表明:低阶(1、2阶)固有频率呈密集分布,且显著低于高阶(3~5阶)模态,故拓扑优化以前两阶固有频率为设计目标。

对初始结构进行随机振动分析,输入载荷如表2所示。随机振动激励在X、Y、Z 3个方向施加其功率谱密度(power spectral density,PSD)如图4所示。为考虑材料内耗及连接界面耗能,计算中采用结构阻尼模型,并将结构阻尼系数设置为0.06。后续随机振动相关的RMS应力、位移与加速度响应均在该阻尼设置下得到。

基于预设随机振动PSD参数,分别沿正交三轴(X/Y/Z)加载激励,获得振动环境下探测望远镜各个支撑结构的RMS(root mean square)应力结果,如图5和图6所示。

2 望远镜结构优化分析

针对初始设计的望远镜结构,为了达到减重,同时控制振动的目的,对望远镜结构进行了拓扑优化分析。在Hypermesh的OptiStruct模块中拓扑优化使用变密度的方法(solid isotropic microstructures with penalization, SIMP)^[3],SIMP模型采用人工材料密度的幂指数P对中间密度进行惩罚^[14],以0~1的连续变化表示各个单元的密度,引入惩罚因子对中间密度值进行调整,使其向0或1两段聚合,人工材料密度表示为

(1)

${\rho }_{e}={\rho }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+(1-{\rho }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}){x}_{e}^{p}$

式(1)中:ρ_e为单元e的相对密度;x_e为设计变量,取值范围0≤x_e≤1;p为惩罚因子,p=3;ρ_min为最小相对密度,ρ_min=10^-3。

材料是各向同性的,从而建立材料单元密度与弹性模量的关系,即

(2)

${E}_{e}={E}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+({E}_{0}-{E}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}){\rho }_{e}^{p}$

式(2)中:E_e为单元e的弹性模量;E₀为密度为1时的材料弹性模量;E_min为低强度材料单元的弹性模量,E_min=10^-9E₀。

应变能函数形式定义为

(3)

$\left\{\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{e}}={E}_{e}{K}_{e}^{0}\\ \mathrm{K}=\stackrel{n}{\sum _{e=1}}{K}_{e}\\ C={U}^{\mathrm{T}}KU\end{array}\right.$

式(3)中:K_e为单元刚度矩阵;

${K}_{e}^{0}$

为单元e在材料弹性模量为E₀时的刚度矩阵;U为结点位移向量;K为全局刚度矩阵。

以结构体积最小为目标函数的经典拓扑优化模型^[2],即

(4)

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}V\left(x\right)=\stackrel{n}{\sum _{e=1}}{v}_{e}{\rho }_{e}\\ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\\ {f}_{1}\left(x\right)>250\\ {f}_{2}\left(x\right)>300\\ {\sigma }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left(x\right)<45\\ K\left(x\right)U=F\\ 0\le {x}_{e}\le 1,　e=\mathrm{1,2},\dots,n\end{array}\right.$

式(4)中:V(x)为优化后的结构体积;v_e为单元e体积;f₁(x)和f₂(x)分别为结构的第1阶和第2阶固有频率;σ_max(x)为Bipod支撑在随机振动工况下的最大应力;F为节点力向量;n为单元总数。

优化时以每个单元的密度为拓扑设计变量,设计变量的个数与单元个数相等。优化的约束条件为:1阶频率>250 Hz(模态工况);2阶频率>300 Hz(模态工况);Bipod支撑最大应力<45 MPa(随机振动工况)。将一阶固有频率 ≥150 Hz作为整机的设计指标。为保证拓扑结果在几何重构、厚度圆整及装配后仍具有足够裕度,并降低随机振动工况下的动态响应风险,优化阶段对低阶模态采用更严格的约束限制。本次拓扑优化共进行了 55 次迭代,相关结果如图7 所示。图7中展示了拓扑优化过程中目标函数随迭代步数变化的曲线,以及部分关键迭代步的结构密度分布云图。由图7(a)可见,目标函数在前期迭代阶段快速下降,优化收敛速度较快;至第 25 步后变化逐渐趋于平缓,整体进入收敛状态,表明优化过程已基本稳定。图7中所示6幅密度分布云图分别对应第4、第11、第25、第31、第46 和第54 次迭代,展示了结构在优化过程中逐步收敛至清晰、合理的传力路径。结构主要受力区域的材料密度逐渐趋近于 1,弱受力区域的材料则被有效削减,充分体现了材料利用率的提升与结构轻量化目标的一致性。最终拓扑优化后的设计构型如图8所示。

在目标结构复杂的情况下,如果单使用拓扑优化的方法得到的结果往往难以应用到零件加工中, 需要考虑结构的传力路径和材料分布结合零件生产工艺进行几何重构,对重构后的模型进行尺寸优化最终得到需要的模型^[2]。故对拓扑优化的构型使用壳单元进行几何重构,并默认构件尺寸为20 mm,如图9所示。

使用MFD算法定义设计变量为壳单元的几何尺寸,即

(5)

$x=\{{t}_{1},{t}_{2},\dots,{t}_{n}\},　0.5\le {t}_{e}\le 5$

式(5)中:t_e为壳单元e的厚度,e=1,2,…,n;n为单元总数。

以结构体积最小为目标函数的尺寸优化模型,即

(6)

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}V\left(x\right)=\stackrel{n}{\sum _{e=1}}{v}_{e}{t}_{e}\\ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\\ {f}_{1}\left(x\right)>200\\ {\sigma }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left(x\right)<50\\ 0.5\le {t}_{e}\le 5,　e=\mathrm{1,2},\dots,n\\ K\left(x\right)U=F\end{array}\right.$

约束条件为一阶频率大于200 Hz (模态工况), 主支撑最大应力<50 MPa(随机振动工况),优化目标设定为体积最小,根据优化结果将厚度圆整,优化后的尺寸如图10所示。

前上臂靠近次镜,但其主要承担的是连接、稳定作用,而不是强力支撑的主要骨架。相较于下方或中部的主承重杆件,该位置可能承受更多的是弯曲或轻微拉伸力,且力沿杆长方向传递,容许截面变小。该臂有一定长度和倾斜角度,即便减小厚度,其“有效高度”仍保证了部分弯曲刚度,不至于引起大幅的模态下降或应力集中,因此优化结果允许其减薄。周围杆件(如中下部主支撑)仍保留较大厚度,提供了足够的整体结构强度和模态刚度,因此在全局优化中前上臂可以相对减材。

3 望远镜结构动力学分析

对尺寸优化后的探测望远镜结构进行实体单元建模,以六面体单元为主,不规则结构采用少量四面体和棱柱单元。单元尺寸:全局5 mm左右,单元数目:76 718个单元。优化后望远镜结构的前5阶振型模态如图11所示,频率分别为 216.3、223.0、257.7、314.6、347.1 Hz。通过模态仿真计算,新构型第一阶频率大于150 Hz, 满足设计要求。

对优化后结构进行随机振动分析,根据上述随机振动输入功率谱密度,分别将振动方向设置为X向、Y向和Z向。获得振动环境下探测望远镜各个支撑结构的RMS应力结果,如图12和图13所示。

根据初始结构与优化后新构型的主支撑与Bipod支撑的最大RMS应力结果进行对比,如表3所示。优化后结构各个位置的RMS应力均有不同程度的提高,但新构型主支撑最大应力15 MPa小于微晶材料许用应力50 MPa(抗拉强度150/安全系数3),Bipod支撑最大应力为40.3 MPa,小于铟钢的许用应力211 MPa(屈服强度274/安全系数1.3)提高了材料利用效率,减轻了结构重量,符合设计要求。

由于次镜位置的振动和位移较大,是设计中比较关注的焦点。因此,特别针对次镜位置优化前后的位移和振动加速度进行了计算,结果如图14和图15所示。位移分析可知,当在X方向施加激励时,优化前次镜最大位移为3.80×10^-3 mm,优化后该位移减少到3.50×10^-3 mm,并且原整体结构最大位移为3.23×10^-3 mm,优化后最大位移减少到1.65×10^-3 mm,最大位移较原结构减少近49%,且结构各个部件的位移均有不同程度的减小,结构更加稳定,优化结果显著;当在Y方向施加激励时,优化前次镜最大位移为3.40×10^-3 mm,优化后该位移增大到为3.90×10^-3 mm,较原结构增大了14.7%,但原整体结构最大位移为3.44×10^-3 mm,优化后结构最大位移为2.92×10^-3 mm,最大位移较原结构减少近15%,提高了结构整体稳定性。加速度分析可知,当在X方向施加激励时,优化前次镜最大加速度为 3.35×10⁵ mm/s²,优化后次镜加速度增大到 1.26×10⁶ mm/s²,当在Y方向施加激励时,优化前次镜最大加速度为4.11×10⁵ mm/s²,优化后次镜加速度增大到7.11×10⁶ mm/s²,加速度增量微小,满足设计要求。通过拓扑-尺寸联合优化使结构整体重量减少10.7%,结构整体更加稳定,提高了材料利用效率。

在空间引力波探测中,次镜位置对光路稳定性至关重要,纳米级位移可能引入显著的测量噪声^[7]。根据LISA任务的设计要求^[2-3],次镜在在轨运行过程中的位移通常需控制在10^-3 mm(1 μm)量级,以确保在探测频段内干涉测量的精度可达到皮米量级。天琴计划和太极计划同样规定了严格的位移容差,通常低于5×10^-3 mm,以维持光路稳定性^[4,6]。优化后结构在X方向的次镜最大位移为3.50×10^-3 mm,在Y方向为3.90×10^-3 mm,均满足发射阶段动力学环境下结构刚度和强度要求。

为了验证本文方法的先进性,将优化结果与已有研究进行对比。文献[2]对空间太阳望远镜主镜支撑结构进行有限元优化,实现了显著减重,但未考虑运行工况下次镜振动位移约束,动态稳定性验证不足。文献[5]针对4米级望远镜底座的优化,减重约20%,一阶固有频率仅提升14%,但未考虑次镜的振动位移;文献[10]优化环形太阳望远镜镜筒,聚焦散热与静力刚度,实现了轻量化,但未涉及模态频率提升或次镜振动控制。文献[12]针对紫外望远镜长条形反射镜,优化后轻量化率虽然高达59.2%,但整机基频只有131 Hz,动态稳定性有限,且未报告振动位移数据;相比之下,拓扑-尺寸联合优化策略,在系统性与综合性方面更具优势,不仅实现了10.7%的减重效果,一阶和二阶固有频率分别提升24.6%和27.8%,更在次镜振动位移控制方面表现出色,X、Y方向位移均严格控制在10^-3 mm量级,符合空间引力波探测任务的严格要求。此外,优化后结构应力分布更为均匀,材料利用效率显著提升,避免了文献[12]中虽然轻量化率高但整机基频偏低的结构刚度不足问题。且通过几何重构确保其具备工程可制造性,体现了本文方法在轻量化、动态稳定性与工程实用性方面的综合优势。

4 结论

针对空间引力波探测望远镜对光机高稳定性、发射阶段动力学环境适应性与轻量化的综合需求,采用基于变密度法的拓扑优化方法,并结合尺寸参数优化实现了结构的拓扑-尺寸联合优化设计。优化后的构型相对于初始构型重量减轻10.7%。模态分析结果表明,优化后的构型一阶固有频率为216.3 Hz,相较于初始构型提高24.60%。二阶固有频率为223.0 Hz,相较于初始构型提高27.79%。随机振动响应分析表明,优化后的构型在随机振动工况下Bipod支撑处最大RMS应力为40.3 MPa、主支撑处最大RMS应力为15.0 MPa,满足材料强度要求并保留一定裕度。验证了该联合优化方法能够在满足设计约束的前提下实现有效轻量化并改善结构动力学响应特性,为空间引力波探测望远镜结构设计提供了参考。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

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