软弱围岩隧道开挖面稳定性三维自适应极限分析下限有限元法

孙锐 ,  叶朝楠 ,  张凯 ,  阳军生 ,  蔡海兵

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (8) :3488-3496

PDF (7725KB)
科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (8) :3488-3496 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2502634
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软弱围岩隧道开挖面稳定性三维自适应极限分析下限有限元法

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Three-dimensional Adaptive Lower Bound Finite Element Limit Analysis Method for Face Stability in Weak Surrounding Rock Tunnel

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摘要

为高效评估软弱围岩山岭隧道开挖面稳定性,提出基于二阶锥规划(second-order cone programming,SOCP)技术和网格自适应加密技术的隧道开挖面稳定性三维极限分析自适应下限有限元法 (three-dimensional lower bound finite element limit analysis method,3D LB-FELA),并探究了D-P(Drucker-Prager)准则与 M-C(Mohr-Coulomb)准则在开挖面稳定性分析中的差异所在。首先,将D-P准则转化为SOCP约束,建立三维极限分析下限有限元SOCP模型;然后,提出基于单元应力的网格自适应加密策略,通过较少规模的单元细化实现对破坏区域的精细化模拟;最后,利用所提方法研究隧道开挖面稳定性问题,并系统探讨了系列D-P准则对开挖面稳定性的影响,并探讨其与M-C准则的差异所在。结果表明:基于SOCP技术的三维极限分析下限有限元法具有较高计算效率;D-P内切圆准则能够较好评估极限状态下隧道开挖面稳定性。研究结果可为软弱围岩山岭隧道开挖面稳定性研究及工程实践提供理论参考。

Abstract

In order to efficiently evaluate the tunnel face stability in weak surrounding rock, a three-dimensional lower bound finite element limit analysis method (3D LB-FELA) based on second-order cone programming (SOCP) and mesh adaptive refinement strategy for tunnel face stability was proposed. Then, the presented method was used to explore the differences between the Drucker-Prager (D-P) criterion and Mohr-Coulomb (M-C) criterion in the tunnel face stability analysis. First, by transforming the three-dimensional D-P criterion into SOCP constraints, the approximate treatment of yield criteria was avoided, and then the LB-FELA calculation model could be transformed into an efficient SOCP model. Then, a mesh adaptive refinement strategy based on element stress was proposed, which achieved refined simulation of the failure area through smaller scale mesh refinement. Finally, the proposed method was used to study the tunnel face stability, the influence of the series of D-P criteria on the tunnel face stability was thoroughly studied, and the differences between D-P criteria and the M-C criterion were explored. The research results indicate that the 3D LB-FELA based on SOCP technology has high computational efficiency. D-P inscribed circle criterion can better evaluate the tunnel face stability under the limit state. The research results can provide theoretical reference for tunnel face stability research and engineering practice.

Graphical abstract

关键词

隧道开挖面稳定性 / 三维极限分析 / 下限有限元 / 网格自适应加密 / 二阶锥规划(SOCP)

Key words

tunnel face stability / three-dimensional limit analysis / lower bound finite element / adaptive mesh refinement / second-order cone programming(SOCP)

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孙锐, 叶朝楠, 张凯, 阳军生, 蔡海兵. 软弱围岩隧道开挖面稳定性三维自适应极限分析下限有限元法[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(8): 3488-3496 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2502634
SUN Rui, YE Chao-nan, ZHANG Kai, YANG Jun-sheng, CAI Hai-bing. Three-dimensional Adaptive Lower Bound Finite Element Limit Analysis Method for Face Stability in Weak Surrounding Rock Tunnel[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(8): 3488-3496 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2502634

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近年来,中国软弱围岩隧道机械化大断面开挖施工案例与日俱增[1-5],如郑万铁路[1]、川藏铁路[2-3]、成兰铁路[4]以及以东天山特长公路隧道[5]等。软弱围岩隧道采用机械化大断面开挖施工极易产生掌子面失稳等事故,如何准确评估软弱围岩隧道掌子面稳定性,成为山岭隧道机械化大断面开挖安全施工的重要难题。极限分析下限有限元法在围岩稳定性问题研究中具有较强的适用性,能够获取偏于保守的下限解[6-7]。空间效应对隧道开挖面稳定性的影响不容忽视[8-10],建立隧道开挖面稳定性三维计算模型,准确评估开挖面稳定性,对于控制隧道开挖面稳定具有显著意义。
如何建立高效的适用于隧道开挖面稳定性分析的三维极限分析下限有限元法需要进一步研究。极限分析下限有限元法最终是将力学模型转换为优化模型进行求解,优化模型的构建决定了极限分析下限有限元法的计算效率。孙锐等[11]基于半定规划技术和M-C(Mohr-Coulomb)准则,建立了隧道稳定性三维极限分析下限有限元计算模型。然而,半定规划技术在求解大规模岩土工程稳定性计算模型时的计算效率仍有待提高[12]。文献[13-14]建立了基于非线性规划技术和M-C准则的三维极限分析上、下限有限元非线性规划模型。然而,上述非线性规划技术求解效率较低,难以处理大规模三维计算模型[7]。二阶锥规划(second-order cone programming,SOCP)技术由于其在处理屈服准则上的独特优势和高计算效率,在极限分析下限有限元法中已有不少应用[15-17]。文献[15-16]构建了基于SOCP技术的极限分析下限有限元模型,表明所提模型可被高效求解。Ukritchon等[17]将SOCP技术应用到基于黏土各向异性准则的三维极限分析下限有限元法,结果表明,该技术可高效处理大规模三维下限有限元模型。可见,建立基于SOCP技术的三维极限分析下限有限元计算模型是高效求解隧道开挖面稳定性的关键。
岩土体临界破坏状态受控于屈服准则[8],而屈服准则选用的准确性对数值模拟结果的可靠性有重要影响。M-C准则是岩土体稳定性分析中常用准则,但该准则存在棱线及尖点等数值奇异处,增大了其在数值计算中的应用难度[18],对于三维问题,M-C准则无法转换为SOCP模型进行高效求解。D-P(Drucker-Prager)准则为M-C准则的修正模型,考虑了中间主应力及静水压力影响,且克服了M-C准则的数值奇异性问题,已被不少学者应用到岩土体稳定性计算[19-24]。杨雪强等[19]探讨了考虑系列D-P破坏准则的土质边坡稳定性问题。邓楚键等[20]探讨了平面应变条件下D-P系列准则在岩土工程稳定性分析中的应用。何乔等[21]基于D-P准则研究了黏土地层盾构隧道施工特性和地层参数对地层力学行为及支护反力的影响。周子寒等[22]基于D-P准则建立了隧道支护时机控制基准。昝文博等[23]基于D-P准则建立有限元分析模型,研究了开挖卸荷作用下松散堆积体地层隧道围岩应力变化规律与压力拱形成机理。何川等[24]基于D-P准则,研究了围岩与盾构隧道衬砌结构之间的相互作用。从上述研究中可以看出,D-P准则作为M-C准则的修正模型在岩土工程分析已有较多应用,但是在现有研究中鲜有探讨系列D-P准则与M-C准则之间的差异所在,同时对于系列D-P准则与M-C准则对隧道开挖面稳定性的影响差异亦缺乏深入讨论。
综上所述,引入SOCP技术是提高隧道稳定性三维极限分析下限有限元法计算效率的有效途径;同时,进一步探讨D-P准则与M-C准则的差异所在亦有必要。首先,引入SOCP技术,构建基于D-P准则的三维极限分析下限有限元SOCP计算模型;然后,针对网格依赖性,提出基于D-P准则的网格自适应加密策略;最后,利用所提方法研究隧道开挖面三维稳定性问题,验证所提方法正确性,并进一步讨论D-P系列准则对地层破坏模式及开挖面稳定性系数的影响。以便在工程中合理应用。研究成果可为软弱围岩隧道开挖面稳定性研究及工程实践提供理论参考。

1 基于SOCP的三维极限分析自适应下限有限元计算方法

为提高计算效率和精度,引入计算效率较高的SOCP技术和网格自适应加密技术,提出基于SOCP技术的三维极限分析自适应下限有限元方法。

1.1 SOCP优化模型

SOCP优化模型标准格式可定义为

$\left\{\begin{array}{l}Min {c}^{T}x\\ Subject to Ax=b\\ {x}_{i}\in {K}_{i},　i=\mathrm{1,2},\dots,n\end{array}\right.$

式(1)中:c为目标函数系数矩阵;A、b为线性约束矩阵;x为优化变量矩阵;xi为优化变量;Ki为锥约束。

Kq、Kr为两类二阶锥约束,可表示为

$\left\{\begin{array}{l}{K}_{q}=\{\left.x\in {R}^{n}\right|\sqrt{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+\dots +{x}_{n}^{2}}\le {x}_{0}\}\\ {K}_{r}=\{\left.x\in {R}^{n}\right|2{x}_{1}{x}_{2}\ge \sqrt{{x}_{3}^{2}+{x}_{3}^{2}+\dots +{x}_{n}^{2}}\}\end{array}\right.$

1.2 基于D-P准则的三维极限分析下限有限元法

1.2.1 单元离散

如图1所示,为了获取严格下限解,确保静力平衡条件在每个单元内部均满足,三维极限分析下限有限元法一般采用四节点四面体单元离散计算域,并在单元之间构造应力间断面。

四节点四面体单元内任意一点应力分量可由4个节点的应力分量线性插值获取,即

$\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_{x}=\sum _{i=1}^{4}{N}_{i}{\sigma }_{xi}\\ {\sigma }_{y}=\sum _{i=1}^{4}{N}_{i}{\sigma }_{yi}\\ {\sigma }_{z}=\sum _{i=1}^{4}{N}_{i}{\sigma }_{zi}\\ {\tau }_{xy}=\sum _{i=1}^{4}{N}_{i}{\tau }_{xyi}\\ {\tau }_{yz}=\sum _{i=1}^{4}{N}_{i}{\tau }_{yzi}\\ {\tau }_{xz}=\sum _{i=1}^{4}{N}_{i}{\tau }_{xzi}\end{array}\right.$

式(3)中:Ni为四面体单元形函数;σxi、σyi、σzi、τxyi、τyzi、τxzi为四面体单元各个节点的应力分量。

1.2.2 静力平衡条件

只要各个单元内部应力均满足静力平衡条件,既能够保证整个计算域均满足静力平衡条件。三维静力平衡条件要求各单元任意一点的应力应满足以下条件:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial {\sigma }_{x}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial z}={\gamma }_{x}\\ \frac{\partial {\sigma }_{y}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial z}={\gamma }_{y}\\ \frac{\partial {\sigma }_{z}}{\partial z}+\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial y}={\gamma }_{z}\end{array}\right.$

式(4)中:γx、γy、γz分别为作用在单元x、y、z方向上每单位体积的体力分量。

1.2.3 应力间断条件

如图1(b)所示,相邻两个四面体单元a、b在公共面上允许应力间断(取逆时针为正),也即服从应力间断条件。应力间断面上允许其切应力不连续,但相应的法向正应力σn和剪应力τ连续。假设底部单元表面的外法线为N,其方向余弦为

$\left\{\begin{array}{l}{n}_{x}=cos(N,x)\\ {n}_{y}=cos(N,y)\\ {n}_{z}=cos(N,z)\end{array}\right.$

根据式(3)可知,四节点四面体单元的应力在单元内呈线性分布,因此,只要令相邻单元在公共面的三个端点满足应力间断面连续条件,即能够保证整个应力间断面满足该条件:

$\left\{\begin{array}{l}{{\sigma }^{a}}_{n}={{\sigma }^{b}}_{n}\\ {{\tau }^{a}}_{1}={{\tau }^{b}}_{1}\\ {{\tau }^{a}}_{2}={{\tau }^{b}}_{2}\end{array}\right.$

1.2.4 三维D-P准则条件

三维条件下该准则的表达式为

$\sqrt{{J}_{2}}$+αI1≤k

式(7)中:J2、I1分别为偏应力张量第二不变量和应力张量第一不变量;α、k为岩土材料力学参数。

表1[19]中给出D-P准则与M-C准则参数之间的关系。

J2=$\frac{1}{6}$[(σx-σy)2+(σy-σz)2+(σx-σz)2]+(${\tau }_{xy}^{2}$+${\tau }_{zx}^{2}$+${\tau }_{yz}^{2}$)
I1=σx+σy+σz

结合式(7)~式(9),可将D-P屈服条件转化为如式(10)所示的7条线性约束+1个SOCP约束。

$\left\{\begin{array}{l}{y}_{1}=k-\alpha ({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}+{\sigma }_{z})\\ \sqrt{6}{y}_{2}={\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}\\ \sqrt{6}{y}_{3}={\sigma }_{y}-{\sigma }_{z}\\ \sqrt{6}{y}_{4}={\sigma }_{x}-{\sigma }_{z}\\ {y}_{5}={\tau }_{xy}\\ {y}_{6}={\tau }_{zx}\\ {y}_{7}={\tau }_{yz}\\ \sqrt{{y}_{2}^{2}+{y}_{3}^{2}+{y}_{4}^{2}+{y}_{5}^{2}+{y}_{6}^{2}+{y}_{7}^{2}}\le {y}_{1}\end{array}\right.$

式(10)中:y1、y2、y3、y4、y5、y6、y7为SOCP辅助优化变量,α、k为岩土材料力学参数。

图2为主应力空间中系列D-P准则屈服面以及π平面上D-P准则与M-C准则屈服面的位置关系。

1.2.5 三维极限分析下限有限元构建

结合式(4)、式(6)和式(10),最终可形成如式(11)所示的极限分析下限有限元标准计算模型。

$\left\{\begin{array}{l}max \beta \\ {A}_{e}{\sigma }^{e}={b}_{equ}\\ f\left(\sigma \right)\le 0\end{array}\right.$

式(11)中:Ae、bequ为线性系数矩阵;σe为整体节点应力矩阵;σ为单元节点应力;f(σ)≤0为屈服条件;β为所求下限解。

程序运行环境为:操作系统Windows 10 64-bit;处理器Intel Core i7-7700HQ CPU@2.80 GHz;内存16 GB。

2 网格自适应加密策略

极限分析下限有限元法采用线性应力单元离散计算域,然而在塑性破坏处应力变化梯度较大,线性应力单元难以精确模拟破坏区域的应力变化,网格自适应加密策略能够自动识别破坏区域需要加密的单元,通过较小规模的单元细化,实现对破坏区域应力分布的精确模拟。极限分析下限有限元法可通过评估单元节点应力接近屈服的程度,来确定待加密的单元[16]。但上述研究主要基于平面问题,并未探讨上述网格自适应加密策略在D-P准则以及三维问题中的适用性。

极限分析自适应下限有限元法计算流程如下。

(1)建立和求解基于初始稀疏网格的三维下限有限元计算模型。

(2)定义加密应力指标η,并标记待加密单元,其中J2、I1分别为偏应力张量第二不变量,应力张量第一不变量。

η=$\sqrt{{J}_{2}}$+αI1

指标η在单元j上的4个节点上的值分别为η1,j、η2,j、η3,j、η4,j,指标ηj为节点应力接近屈服程度,可表示为

ηj=max(η1,j,η2,j,η3,j,η4,j)

(3)将单元按照指标ηj值的大小降序排列,并标记前n个单元进行加密。

n=μNE

式(14)中:参数μ通过试算获得;NE为单元总数。

(4)在标记单元中心处添加加密点,并调用开源四面体网格离散程序Tetgen[25]重划分网格。

(5)重建并再次求解下限有限元计算模型。

(6)定义加密控制指标ξi。

ξi=$\left|\frac{{Q}_{i-1}-{Q}_{i}}{{Q}_{i}}\right|$×100%

式(15)中:Qi为第i次网格加密后所得下限解;可设定一个较小值ξi作为自适应程序终止标准。

3 隧道开挖面稳定性三维自适应下限有限元分析

3.1 问题描述

隧道开挖面几何特征和应力边界条件如图3所示。考虑对称性,取1/2结构进行分析。地表和开挖面表面不施加过载,边界条件为τ=0,σn=0。对称面上的剪应力τ=0。隧道埋深为H,直径为D,地表为水平自由面。假设土体破坏服从D-P准则,土体重度为γ,内摩擦角为φ,黏聚力为c。引入无量纲参数Ncr=γcrD/c来描述开挖面稳定性[16],土体自重为导致开挖面失稳的外力荷载,γcr为土体临界破坏重度。

3.2 与文献结果对比

表2计算了不同φ时的隧道开挖面稳定性系数Ncr。表2中,DP1、DP2、DP3和DP4代表基于不同类型D-P准则得到的隧道开挖面稳定性系数三维下限解。MC_3D为基于M-C准则的三维下限解,DP3_LB为DP内切圆准则的三维下限解,需要指出的是MC_3D采用孙锐等[11]提出的基于M-C准则的三维下限有限元法求解得到,DP3_LB采用极限分析有限元软件OPTUM G3[26]计算得到,该软件的正确性已在多篇文献中得到验证[27-28]。从表2中可知,DP3和DP3_LB中的所得结果基本相同,这表明所提三维方法的正确性。

同时为进一步探讨系列D-P准则的相对误差Δ,基于表2中计算结果,图4给出了系列D-P准则计算结果与MC_3D结果的差异Δ,其中Δ=(计算结果-MC_3D)/(MC_3D)×100%。

从图4可知,DP2和DP3能够较好地模拟M-C准则,而DP4在φ≥25°时则会产生显著计算误差。在不同φ下,DP2的相对误差均在10%之内,且随着φ的增大,误差逐渐减少,如φ=35°时,误差Δ仅为0.5%。DP3的相对误差均在10%之内,且偏于保守。因此,在评估极限状态下隧道开挖面稳定性时,采用DP3准则更为适宜。

3.3 网格自适应加密策略及求解效率

主要探讨在三维极限分析下限有限元法中引入网格自适应加密策略的必要性。根据极限分析下限定理[29],相同计算条件下,下限解越大代表精度越高。结合表3可知,相较采用均布加密网格,利用所提网格自适应加密策略能够迅速提高下限法计算精度。表3同样给出不同模型的求解时间,可以发现网格自适应加密5次,在个人计算机上的计算时间仅为203.02 s,这表明结合网格自适应加密技术,能够快速、精确地获取隧道开挖面临界失稳状态。

图5给出不同加密次数下的隧道开挖面稳定性计算网格。对比图5(b)~图5(d)与图5(a),可以发现破坏区域之外的单元仍保持稀疏,并未被加密。利用所提的网格自适应加密策略,通过对破坏区域内的单元进一步细化和剖分,从而实现以较少单元对破坏区域应力分布精确模拟。

3.4 隧道开挖面稳定性系数变化规律

图6给出了不同D-P准则以及M-C准则条件下的隧道开挖面稳定性系数,由于DP1条件过高估计土体强度,导致计算误差过大,因此图6中并未给出DP1参数下的计算结果。

从图6中可以发现,不同埋深下的系数Ncr受φ影响的变化规律基本相同。当φ≤20°时,DP2和DP4参数下的系数Ncr较为接近,而DP3参数下的计算结果略小于DP2和DP4参数下的结果;当φ>20°时,可以发现DP2和DP3参数下的计算结果趋于相同,而DP4参数下的计算结果则明显大于DP2和DP3参数下的计算结果。

从图6中也可发现,φ≤10°时,M-C准则和DP4准则的计算结果基本吻合;φ>20°时,M-C准则和DP3准则的计算结果基本吻合;在各类参数下,DP3准则偏小于M-C准则计算结果,计算差异低于10%,采用DP3准则进行求解,计算结果略保守。

通过图7揭示埋深对隧道开挖面稳定性系数的影响规律。可以发现,不同φ条件下,埋深对于开挖面稳定性的影响并不一致。例如,φ=0°时,随着埋深越大,开挖面稳定性系数Ncr逐步降低;φ=25°时,埋深变化对开挖面稳定性系数Ncr基本无影响。事实上,导致上述现象的根本原因在于φ的改变导致开挖面破坏形态逐渐由φ较小时的延伸到地表的整体破坏演变到仅开挖面前方地层产生局部破坏。

3.5 隧道开挖面破坏形态演变特征

为进一步探讨φ对隧道开挖面破坏形态的影响特征,图8给出埋深比H/D=2时的不同φ下的隧道开挖面破坏形态。

由图8可以发现,随着土体φ不断增大,开挖面前方土体破坏范围不断减小,破坏区域最外延滑移带逐渐向开挖面方面收敛,破坏形态逐渐从延伸到地表到整体破坏转变为仅开挖面前方土体破坏的局部破坏。图8中不同φ下的隧道开挖面破坏形态也可进一步揭示图7开挖面稳定性系数变化规律产生的内在机理。

4 结论

为了高效评估机械化大断面施工条件下隧道开挖面稳定性,提出一种基于二阶锥规划和网格自适应加密策略的三维极限分析下限有限元法,并基于所提方法进一步讨论了D-P系列准则与M-C准则在评估隧道掌子面稳定性时的差异所在。得到如下结论。

(1)基于二阶锥规划技术和D-P准则的三维极限分析下限有限元法具有较高计算效率,能够高效评估软弱围岩条件下隧道开挖面稳定性。

(2)D-P系列准则的选取对隧道掌子面稳定性的影响较大。不同内摩擦角φ下的系列D-P准则的开挖面稳定性系数Ncr演变规律基本相同,DP3准则能够较好评估极限状态隧道开挖面稳定性,与M-C 结果的计算差异基本在10%以内,且计算结果偏保守,从安全角度而言,采用DP3准则较适宜。

(3)所提出的基于单元应力的网格自适应加密策略能够自动加密破坏区域,能够以较少单元获取高精度下限解,通过加密网格也可直观获取隧道开挖面破坏形态演变特征。

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基金资助

国家自然科学基金(52408412)

安徽博士后科研项目(2025B1096)

云南省重点研发计划(202303AA080014)

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