基于物理的流体建模方法及计算效率研究进展

马希钦 ,  苏喆义 ,  徐春燕 ,  刘振龙 ,  李宗激 ,  易海彬

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (4) :1328-1347

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科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (4) :1328-1347 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2502608
自动化技术、计算机技术

基于物理的流体建模方法及计算效率研究进展

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Research Progress on Physics-based Fluid Modeling Methods and Computational Efficiency

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摘要

近年来，基于图形学的仿真系统发展迅速，其中船舶操纵模拟器中的水面波动视景特效尤为引人关注。随着船舶操纵模拟器逐步应用于内河船员培训和涉水建筑物通航安全评估，发现内河径流特征（水流流势）是船长进行安全操纵的重要视觉参考。然而，现有的船舶模拟器尚无法提供具备内河径流特征的视景特效。为此，综述基于物理的流体模拟方法的关键技术、核心原理、应用发展及模拟效果，涵盖欧拉网格法、拉格朗日粒子法、混合拉格朗日-欧拉法、格子玻尔兹曼方法及其改进版本。重点分析这些方法在利用图形处理器（graphics processing unit，GPU）并行加速、控制方程简化以及多技术耦合下的计算效率等方面的性能，比较实时仿真性能，并总结其特点及适用场景，以期找到可应用于内河船舶操纵视景仿真系统的河流模拟方案。最后，展望未来的研究方向，并得出以下结论：对于高精度要求的应用，可优先采用离线模拟；基于光滑粒子流体动力学-浅水方程（smoothed particle hydrodynamics-shallow water equations，SPH-SWE）方法能够实现实时且逼真的大规模流固耦合场景模拟；结合机器学习技术，有望实现高精度的实时模拟。

Abstract

In recent years，simulation systems based on computer graphics have developed rapidly，drawing particular attention to water surface wave effects in ship-handling simulators. As these simulators are increasingly employed in inland pilot training and in assessing the navigational safety of water-related structures，it has been discovered that inland river flow features （i.e.，water flow tendencies） serve as crucial visual cues for safe vessel operation. Nevertheless，current simulators fail to offer realistic visual effects that capture inland river flow characteristics. To address this gap，the key technologies，fundamental principles，developmental progress，and resulting simulation effects of physics-based fluid simulation methods were reviewed，including Eulerian grid approaches，Lagrangian particle methods，hybrid Euler-Lagrange schemes，and the lattice Boltzmann method with its extensions. Particular emphasis was placed on analyzing their computational efficiency under graphics processing unit（GPU） parallel acceleration，equation simplification，and multi-technique coupling，along with a comparison of real-time simulation performance and a summary of their respective features and applicable scenarios，aiming to identify a suitable approach for river modeling in inland ship-handling simulator visualization systems. Finally，future research directions were discussed，leading to three main conclusions： for applications demanding high accuracy，offline simulation is preferable. The smoothed particle hydrodynamics-shallow water equations（SPH-SWE） method enables real-time and highly realistic large-scale fluid-solid coupling. Integrating machine learning techniques holds promising potential for achieving high-accuracy real-time simulations.

Graphical abstract

关键词

船舶模拟器 / 流体建模 / 内河流态模拟 / 流固耦合 / 计算效率

Key words

ship simulator / fluid modeling / inland river state simulation / fluid-structure interaction / computational efficiency

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马希钦, 苏喆义, 徐春燕, 刘振龙, 李宗激, 易海彬. 基于物理的流体建模方法及计算效率研究进展[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(4): 1328-1347 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2502608
MA Xi-qin, SU Zhe-yi, XU Chun-yan, LIU Zhen-long, LI Zong-ji, YI Hai-bin. Research Progress on Physics-based Fluid Modeling Methods and Computational Efficiency[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(4): 1328-1347 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2502608

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船舶操纵模拟器作为一种基于船舶运动原理的先进人机交互终端，提供了与物理世界相近的体验，让船舶驾驶人员身临其境，从而尽可能真实的模拟现实场景。航海模拟器通过数十年的发展，经历了从简单到复杂、从单一到综合的过程。尤其是20世纪80年代以来计算机成像技术的广泛应用，使航海模拟器经历从“盲”（无视景，仅凭仪器操纵）到“可视”（有视景，能创建一种逼真的环境）的变革[1]。国外（如英国Transas公司、挪威Kongsberg集团、荷兰VSTEP公司等）和中国（如大连海事大学、武汉理工大学等）均已开发出船舶操纵模拟器，已在船员培训以及沿海港口通航安全模拟中得到了广泛的应用和认可。然而，部分模拟器的闭源特性在一定程度上制约了其透明度，进而限制了研究人员基于真实世界观测数据与反馈信息对基础物理求解器进行深入理解、精准控制以及持续迭代优化的能力。
模拟器保真度分为物理保真度和功能保真度，前者包括船舶驾驶舱布局、视觉系统、船舶机动性和水文建模[2]。内河船舶操纵模拟器的研发可在船舶操纵模拟器的基础上进行，重点是内河典型的船舶数学模型的研究以及河流视景的仿真。中国山区航道槽窄、弯急、滩多，有些地域坡陡流急，有些地区存在险恶的流态，内河特殊径流特征（水流流势）是船长进行合理安全操船的重要视觉判据。然而从中外船舶操纵模拟器的研发现状来看[3-5]，并没有真实地体现内河河流的径流特性，仍以海面渲染效果来体现其可视化效果，导致操纵仿真精度不足、通航安全评估能力受限。为提升内河船舶操纵模拟器的环境真实感，成功模拟出内河径流流态中的纵流、横流、回流、剪刀水、涡流等流态视景特征，必须根据河流的实际特性，研究适用于河流的建模与河流表面绘制方法，以增强视觉系统和水文建模的真实性和准确性。
流体模拟类型分为过程模拟和物理模拟。过程模拟是指流体表面纹理根据程序员或用户的指令进行运动，利用函数、波纹形状、顶点纹理变化等方法[6-8]直接构造流体表面的动画。其方法简单直观、计算效率高，但仅限于模拟大尺度且较平静的水面或规则水波，而不能体现如浪花、涌浪等流体细节，更加不能处理流固交互作用。物理模拟则是与物理自身复杂规律或规律的简化描述相联系，根据程序员提供的数学公式经计算所得的数据进行运动[9]。
随着计算机性能水平的不断提升，再加上并行计算技术日益成熟，这些因素使得计算机图形学迅速发展起来，而相关产业如影视特效、游戏场景、虚拟现实，工业设计等行业[10-13]也随之兴起，物理仿真也变得越来越吸引人们注意。基于物理的流体模拟方法可以获得任意初始条件和边界条件下的流体速度场，能够有效模拟各种不同形态的流体运动，如水面波浪、水花泡沫、液固耦合等[14]。其研究内容深度融合工程学、物理学、数学和计算机科学等多个学科，在水利枢纽泄洪安全动态仿真、水力压裂等国家重大工程领域发挥关键作用。肖裕程等[15]在基于物理的溃坝模拟研究中，精确捕捉了自由面形态，并高精度复现了飞溅液滴，仿真结果与试验数据高度吻合。对于泵站进水前池水流状态紊乱的问题，李芸等[16]通过数值模拟分析了不同工况下的流态，优化了前池设计，改善了前池流态。此外，通过离线高精度的物理仿真替代实际模型试验，节约训练成本、设备损耗及人员安全风险，对于实时反馈的物理仿真领域仍有所欠缺。
当前流体模拟领域的综述研究主要集中于建模方法、流固耦合或多相流交互机制。李海江等[17]系统总结了基于物理的海洋场景模拟技术，并针对浪花细节模拟进行了专题综述，但未对不同方法的优势与局限展开对比分析。Wang等[18]从流体离散化建模、表面细节增强及表现控制等维度展开研究综述，虽然提及图形处理器（graphics processing unit，GPU）并行计算与数据结构优化对性能的影响，但既未系统归纳不同建模策略的计算效率指标，也未阐明多种策略协同作用下的计算效能提升机制，同时缺乏对各类方法适用场景的明确界定。
为了能找寻一种适合于内河船舶模拟器视景应用的建模模型，使河流建模算法快速、稳定的求解，保证人们在人机交互的过程中就能观察到流体所反馈的效果，回顾并总结近些年基于物理的流体模拟各法，简单介绍其流体建模的相关算法原理，并对不同方法进行对比分析，讨论实时性的优劣程度，以及不同方法的适用场景，最后给出当前流体仿真技术所面临的问题和挑战。

1 基于物理的流体模拟方法

为了模拟得到的流体符合物理规律、有真实地流动效果和复杂的流体现象，1882年Claude-Louis Navier 建立了黏滞性流体运动方程，1845年，George Gabriel Stokes在其基础上进行推导，由此形成了当今流体力学的基础，即纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equation，NSE）。目前各类流体现象都可以通过此方程得到本质上的解释。NSE可描述为

$ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \boldsymbol{u})=0$
$ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+(\boldsymbol{u} \cdot \nabla) \boldsymbol{u}=-\frac{1}{\rho} \nabla p+\frac{\mu}{\rho} \nabla^{2} \boldsymbol{u}+\boldsymbol{f}$

式中：ρ为流体的密度，对于不可压缩流体来讲，密度在计算过程中保持恒定；u为流体质点的速度；p为压强，即流体对其他物体单位面积的压力；f为体积力，如重力；μ为运动黏度，表示流体的黏性；t为时间。

式（1）为质量守恒公式，式（2）为动量守恒公式，都是流体不可压缩条件[19]。图1展示了基于物理的流体模拟领域的代表性方法和重要技术节点的时间演变，反映了该领域从经典欧拉网格法、拉格朗日粒子法，到混合方法和格子玻尔兹曼方法等一系列关键技术的发展过程。

1.1 欧拉网格法

欧拉法是一种基于网格的方法，以整个流场为研究对象，用网格来离散连续的流体区域，其网格单元的形状和体积在整个的计算过程中保持不变，模拟对象在固定的网格单元上运动，分析每个节点上物理参数随时间或空间的变化，如图2所示。

该方法的核心在于求解纳维-斯托克斯方程。传统意义的计算流体力学（computational fluid dynamics，CFD）模拟求解偏微分的离散方法包括有限差分法（finite difference method，FDM）、有限体积法（finite volume method，FVM）、有限元法（finite element method，FEM）等。通过数值求解得到每一个时间步长流体的运动状态，循环迭代该过程从而得到流体整体的运动情况。各方法主要特征如表1所示。

1.1.1 经典的离散方法

Kass等[20]首先提出一种基于有限差分网格求解浅水方程，从而简单快速稳定的来模拟海洋表面场景，其计算效率在高性能计算机上能够达到30帧/s，且水流建模的条件单一，不允许建模涉及雷诺数变化的复杂现象或可能包括移动物体。在此基础上，进一步研究引入压力对流体流场中的影响，通过计算不可压缩的二维NSE，并结合瞬时的压力场来模拟流动表面的高度。在动画场景中，成功模拟不同流体的流动行为以及流固耦合现象。然而该方法牺牲了分辨率的精度从而产生逼真的流体形状，在计算过程中，它们将流体视为完全平坦的，很难实时模拟[21]。计算机图形学与流体力学的结合进一步拓展了流体模拟方法，通过引入MAC（Marker and Cells）求解完整三维的NSE，实现障碍物与可控流场自由变量之间的强耦合，大幅提升了对复杂流场的精确模拟能力[22]。为了进一步提高稳定性，通过采用半拉格朗日法求解对流项，并结合隐式求解器求解NSE，最终使得稳定的、三维的、基于物理的流体模拟成为可能，但仍面临着数值耗散问题，对细节捕捉的能力有所限制[23]。

在有限差分法的基础上，通过引入高阶插值多项式和梯度信息，一种能够统一处理可压缩和不可压缩流体的约束插值曲线（constrained interpolation profile，CIP）方法被提出[24]。与传统高精度方法不同，CIP方法在处理尖锐不连续界面时，能有效避免数值弥散和振荡问题。在流体模拟中，该方法通过半拉格朗日方法追踪流体质点运动，将对流项转化为插值问题。每个时间步中，质点的运动路径通过高阶插值函数描述，从而确保了对流项的高精度。针对CIP方法在库朗数限制性和稳定性方面的不足，USCIP（unsplit semi-Lagrangian CIP）通过消除维度分裂，采用包含高阶项的多项式插值，提高了多维插值精度，增强了稳定性并显著降低了计算成本[25]。此外，为优化二维浅水方程数值耗散引起的物理量损失，CUSCIP方法进一步改进了波浪细节与持续性的表现[26]。

利用Godunov类型的有限体积方法，研究者开发了针对复杂湿-干界面、低水深和不均匀地形的模型，并通过多个算例验证其在稳定性和精度上的优越性。结合多线程GPU加速技术，该方法在大规模应用中实现了高达75倍于单线程CPU的加速比，可快速提供预测结果，并在复杂流动和不规则地形的模拟中表现出良好的性能[27]。同样基于有限体积法的二维浅水模型通过非结构网格的构建，成功应用于溃坝冲击刚体和水库泄洪影响闸门等经典流固耦合场景，开发出一种高效适应复杂地形的洪水预测工具[28]。对于建筑风驱雨环境的研究，张慎等[29]通过FVM离散控制方程，模拟了不同粒径雨滴在风场中的运动和分布，计算了建筑表面的雨水捕获率等指标，评估了风驱雨强度。有效分析风驱雨两相耦合作用下建筑表面的雨水分布特征，为建筑设计阶段的给排水、挡雨性能分析和优化提供了技术依据。

此外，有限元离散方法被用于研究流固耦合作用，通过为每个网格单元分配独立的体积并动态调整，以纠正重网格化与碰撞过程中的偏差，从而在局部与全局范围内实现体积和动量守恒。该方法能够显式处理流体的分裂与合并等拓扑变化，成功模拟了液滴滴落与水坝破裂等复杂现象，并在精度与物理一致性方面表现出色[30]。

1.1.2 典型的欧拉网格方法

典型的欧拉网格方法有流体体积（volume of fluid，VOF）法[31]和水平集[32]（level set，LS）法。VOF法使用流体体积函数来计算网格单元中流体的体积分数，能够保证质量守恒的特性。温喆然等[33]使用VOF对流体自由表面进行追踪，将流体域视为虚拟弹性体，实现高效的流固耦合计算，但在三维情况下对欧拉网格上进行界面重构与迭代更新是非连续的，导致法向量和曲率等物理参数计算不准确。LS方法通过求解LS方程实现相界面物理量的更新，由于LS函数的连续性，在计算界面法线和曲率等相关参数时精度较高。虽然发展了函数平流、函数初始化[34-36]等概率去解决界面拓扑结构发生剧烈变化，但质量耗散现象仍然存在[37]。为了缓解该问题，粒子水平集（particle level set）方法利用水平集函数表示流体，并用欧拉法求解对流项，同时通过修正水平集界面两侧的粒子位置信息来提高体积守恒性和计算精度。该方法实现简单且能获得近乎真实的效果，但难以应用于大规模的数值模拟[38]。近年来，许多研究者耦合VOF和LS两种方法来同时获取两者优势，如CLSVOF（coupled level set and volume of fluid）、VOSET（volume-of-fluid-level-set）等，用于处理更加复杂的界面演化现象[39]。上述方法在特定场景下精度很高，但由于CFL准则的要求，求解速度限制明显，因此无法引入船舶模拟器河流视景实时仿真。

综合可知，欧拉网格法以固定网格为基础，具有多项显著优势。首先，它擅长通过投影法强制执行不可压缩性约束，能有效调整速度场以满足质量守恒；其次，在均匀网格中，节点分布规则，邻居查找可通过简单的索引偏移高效实现，大幅降低计算复杂度；此外，均匀网格结构便于离散拉普拉斯算子，常采用有限差分方法高效计算压力泊松方程，从而提高了求解的精度和稳定性。这些特点使欧拉网格法特别适合全局流场分析和不可压缩流体的模拟，在计算流体力学和计算机图形学中得到了广泛应用。

1.2 拉格朗日粒子法

拉格朗日法是一种无网格方法，主要基于离散流体质点的运动主要分析任意时刻流体质点的运动轨迹、速度、压力、密度等物理量。该方法中的粒子拥有各自的影响范围，在这个局部范围内计算得出粒子的各项属性信息，通过积分运算宏观表示流体的运动状态。与欧拉法相比，实际用于模拟流体的粒子数量和质量是很定保持不变的，满足质量守恒，一般不需要式（1）的约束。在朗格朗日视角下，式（2）则可以改写为

$ \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{~d} t}=-\frac{1}{\rho} \nabla p+\frac{\mu}{\rho} \nabla^{2} \boldsymbol{u}+\boldsymbol{f}$

无网格的特性使其在处理自由表面和复杂边界时更具有灵活性和适应性，因此能够实现生动逼真的流体仿真，也非常适用于模拟不同材料之间的耦合。

1.2.1 光滑粒子动力学

光滑粒子动力学（smoothed particle hydrodynamics，SPH）方法是一种基于朗格朗日视角的粒子法，用于模拟连续介质的物理现象。它将流体或固体分割成一系列携带质量、速度、密度等物理量的离散粒子，通过一个平滑核函数加权平均计算得出在体积力、黏性、压力作用下的各个粒子的速度，追踪每个粒子的运动状态，从而得到整个流体系统的运动行为。为了在保证仿真稳定性的同时尽可能降低时间开销，研究者通常选用三次样条函数作为SPH的核函数[40]，可表示为

$W(r, h)=\sigma_{\mathrm{d}}\left\{\begin{array}{ll}6\left[\left(\frac{r}{h}\right)^{3}-\left(\frac{r}{h}\right)^{2}\right]+1, & 0 \leqslant \frac{r}{h}＜\frac{1}{2} \\2\left[1-\left(\frac{r}{h}\right)^{3}\right], & \frac{1}{2} \leqslant \frac{r}{h} \leqslant 1 \\0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$

式（4）中：σd为归一化系数，在一维情况下取值为4/（3h），在二维情况下取值为40/（70πh2），三维情况下取值为8/（πh3）；r为所计算的粒子与邻居粒子之间的距离长度，h为光滑核半径。图3为SPH的原理示意图。

SPH法最初由Lucy[41]和Gingold等[42]提出用于模拟恒星裂变问题中的气体动力学而开发出来。因其不依赖传统的网格结构、使用粒子代表流体和固体、有效模拟大变形和破坏现象、通过粒子相互作用模拟多项流体的相互作用，同时现代高性能的计算设备使得SPH法在多处理器或GPU上实现平行计算等优点，因此也广泛用于水利、船舶、土木[43-47]等行业的仿真。

传统的SPH方法在处理不可压缩流体时存在显著困难，包括时间步长受限、计算资源需求高，以及边界处理精度较低等问题，这导致难以获得收敛且精确的结果。为改善这一局限，Becker等[48]提出了WCSPH（weakly compressible SPH），其假设流体密度波动轻微，从而避免了解泊松方程的高计算开销。基于连续性方程、动量方程和状态方程，该方法直接计算作用在各粒子上的体积力、压力、黏聚力及表面张力的合力，进而得到粒子的加速度，并结合边界条件更新速度和位置。

在WCSPH的基础上，为实现不可压缩性，PCISPH（predictive-corrective incompressible SPH）方法通过预测-修正方案求解粒子压力，使计算步长得以显著提升[49]。然而，为进一步控制PCISPH的近似误差，有研究将局部泊松方程方法（local Poisson SPH，LPSPH）引入其中。LPSPH通过避免在整个仿真域求解压力泊松方程，有效减轻了计算负担，消除了因固体边界和自由表面拓扑变化引起的大密度偏差，同时提高了迭代的收敛速度[50]。

针对SPH算法中不可压缩流体的压力求解问题，IISPH（implicit incompressible SPH）通过离散压力泊松方程，将SPH算法分为两步：首先计算非压力因素的影响，然后构建压力作为未知量的线性方程组。利用雅各布迭代求解该方程组，从而得到满足密度恒定条件的压力值，具有良好的收敛性和稳定性[51]。

尽管早期算法中通常仅考虑密度恒定条件，但在实际应用中，低密度或较慢相对速度的情形会引发误差。为进一步提升计算效率和精度，基于PCISPH框架的DFSPH（divergence-free SPH）方法通过迭代解决误差校正与压强计算两大核心问题，强制执行速度无散并修正密度误差。这种方式不仅允许更大的时间步长，同时显著增强了模拟的稳定性，为不可压缩流体的SPH计算提供了一种高效可靠的解决方案[52]。

在海洋工程领域中，基于SPH框架，在每次迭代中分别设置中间速度和考虑速度发散及密度两个物理场来约束流体粒子，确保速度场满足无发散条件，从而进一步提升了水体的不可压缩性与收敛速度，同时采用空间图表示刚体模型的体积贡献，能有效提升仿真效率和逼真度[53]，其效果如图4[53]所示。目前该方法使用商业软件进行离线渲染，尚未实现交互性，但其仍为海洋模拟器视觉系统的流固耦合物理场景真实感提供了重要的理论与技术参考。

1.2.2 基于位置的流体模拟

由于大多数的SPH方法使用显式时间积分方法，时间步长过大会导致数值不稳定，且计算成本较高，因此难以满足交互式模拟、游戏等实时性的需求。为此一些学者希望通过设置大时间步长来减少迭代次数或牺牲部分精度的情况下，流体仿真能够保证高效计算，同时满足视觉欺骗的效果。

PBD（positon based dynamics）方法与传统基于力的动力学模型相比，侧重于直接操该方法直接操作物体的位置而非通过计算力和加速度调整位置。其具有实时性、鲁棒性和实现简单的特点，有效消除了模拟过程中的不稳定性，因此被广泛应用于布料模拟领域[54]。在此基础上，进一步将PBD扩展至流体模拟，提出基于位置的流体方法PBF（position-based fluids）。该方法通过迭代调整粒子位置增强流体的不可压缩性，从而消除密度误差。PBF在确保质量守恒的前提下，支持大时间步长下的稳定流体模拟，有效避免了传统SPH方法中因力学求解导致的拉伸不稳定性[55]。随后进一步研究利用连接约束的粒子作为基本构建单元，实现基于位置动力学的并行约束求解。这一改进显著加快了计算效率，为流体模拟提供了更生动的表现效果[56]，图5[56]展示了刚体、布料、流体在PBF框架下的交互。此外，基于PBF框架下的Adaptive PBF（adaptive position-based fluids）方法，通过引入GPU加速，根据模拟需求自适应调整求解器的迭代次数，从而在显著提升性能的同时，仍保持高质量的视觉效果[57]。然而，该方法对不可压缩性的处理是一种人为设定的约束，缺乏严格的物理依据，因此主要适用于图形学领域中对流体真实感和实时性要求较高的场景。

综合而言，基于拉格朗日粒子法的数值模拟方法利用粒子跟随流体运动来描述流体行为，天生满足质量守恒，并擅长模拟流体平流过程及流固耦合，尤其在处理自由表面、液体飞溅等复杂拓扑变化细节时具有显著优势。但计算成本相对较高，同时在边界条件上数值稳定性和物理精确性受限。尤其是像SPH这样的方法，其核函数的计算复杂度较高，在大规模流体模拟中，粒子数量庞大导致计算成本显著增加，很难达到实时性。这些局限性促使研究者不断改进现有方法或结合欧拉方法发展混合法，以在性能与精度之间找到更好的平衡。

1.3 混合拉格朗日-欧拉法

对于计算效率、拓扑变化和数值稳定性的需求，促使研究者们聚焦于混合法。混合法合并了拉格朗日法和欧拉法，用拉格朗日粒子表示流体流动。如图6所示，在模拟过程中，粒子Pt所储存的动量和质量等基本物理量转移到网格中心，在下一时间步，将外力作用在网格节点上，将所计算的信息重新传递给粒子Pt+1，通过积分从而找到下一时刻的位置。

Harlow[58]提出的PIC（particle-in-cell）方法和Brackbill等[59]提出的FLIP（fluid implicit particle）是混合法的两个基本原理，主要思想是将流体离散为拉格朗日粒子来捕捉流体运动，同时构建欧拉网格来求解控制方程，利用插值技术实现拉格朗日粒子与欧拉网格之间的信息传递。

1.3.1 PIC法及其改进方法

经典的PIC方法通过将质量和位置信息存储于粒子中，而将其他物理量保留在网格上。然而，为保证计算稳定性，动量信息在传递过程中常伴随一定程度的数值耗散。为改进这一问题，基于PIC方法的MPM（material point method）通过引入变形梯度信息和动量项，为流体模拟增加了一个新的维度[60]。APIC（affine particle-in-cell）方法在速度场的基础上增加了一个仿射场，使粒子的自由度由2个增加至6个。此改进不仅保证了角动量守恒，同时提升了粒子与网格之间物理量交换的精度，扩展了MPM框架，并在维持PIC稳定性的同时，避免了FLIP方法中的噪声和不稳定性[61]。针对信息传递过程中的噪声问题，XPIC（extended PIC）通过混合权重、插值优化和平滑机制等方法，显著减少了噪声问题，同时保持对复杂流动细节的捕捉能力[62]。此外，结合APIC特点的MAC网格信息传输方法通过二维傅里叶变换研究不可压缩流体的传输耗散问题，同时实现角动量守恒[63]。Lü等[64]将APIC应用于MultFLIP，关键是基于狭频带方法的气液耦合粒子与网格的耦合，通过保留每个粒子的局部速度梯度使得流体的细微运动（如涡流、旋转）能够更精确地呈现，具有较低的噪声的同时有效地减小数值耗散，在处理多相流体时提供了更高的稳定性。PolyPIC（polynomial particle-in-cell）[65]基于MPM，提高了原始APIC的能量守恒和涡度守恒，粒子的自由度从6个增加到18个，并使用一类特定的局部多项式函数作用在粒子网格交互间，减小APIC的数值耗散的同时也保留对噪声的鲁棒性。基于上述研究基础，一种新的粒子-网格传递加权方法PowerPIC[66]，通过在几何上加强不可压缩性，优化了离散粒子的间隔和体积，并利用最优运输构建动力粒子，以处理自由表面和固体障碍物，该方法显著减少了能量耗散，同时实现强制不可压缩的流体模拟，计算效率效率比de Gose等[67]的更高。进一步的研究基于PolyPIC在每个网格单元内部构建二阶精确离散的Navier-Stokes方程，并直接将速度信息传递给粒子。此方法避免了因加速度转换引起的速度噪声累积，进一步提升了计算的精确性和鲁棒性，为流体模拟提供了更高效的解决方案[68]。

1.3.2 FLIP法及其改进方法

单一的FLIP法映射了从网格到粒子间的速度变化，以噪声和数值发散为代价来获得生动的模拟，但频繁的进行信息传输会产生相应的误差，如粒子的密度会大幅度的波动[69]。FLIP方法首次引入计算机图形学领域后，在不可压缩流体模拟方面取得了显著的成功[70]。为了更生动地呈现流体动画中的逼真细节和动态行为，MultiFLIP方法考虑空气对流体的影响，将水和空气均视为不可压缩流体，通过减少数值耗散和增强多相流体间的交互表现，再现了具有合理小尺度特征和精确表面张力效果的飞溅两相流[71]。为提升计算效率，NB-FLIP（narrow band-FLIP）方法引入了窄带技术，通过对窄带区域的粒子重新采样和分布，避免了粒子间过度聚集或稀疏的问题，优化了粒子的分布和计算区域，显著减少了粒子数量，且维持了流体表面和多相流界面模拟的精度[72]。进一步研究将NB-FLIP与体积分数法相结合，不仅缩短了模拟时间，还成功实现了丰富的单向流和多相流模拟场景[73]。然而，传统FLIP方法在长时间模拟过程中，因能量损失和误差累积，可能导致结果偏离物理真实。为解决这一问题，CO-FLIP（coadjoint orbit FLIP）方法通过高阶无散度插值和几何时间积分方案，显著提升了复杂湍流中的模拟准确性和稳定性，为长时间演化的高精度流体模拟提供了更加可靠的方法[74]。

综合而言，混合欧拉-拉格朗日法通过结合欧拉法和拉格朗日法的优势，在流体模拟中展现出卓越的灵活性和适用性。该方法利用拉格朗日粒子跟踪流体运动，捕捉动态细节和复杂拓扑变化，同时借助欧拉网格高效求解流体控制方程，并通过插值技术在粒子与网格间传递物理量，显著减少了数值耗散并提高了模拟的精度与稳定性。从经典的PIC方法到FLIP、APIC、MultFLIP和PolyPIC等衍生方法，研究者们不断优化粒子-网格的信息交互机制，以平衡计算效率与模拟质量。然而，混合法也存在实现复杂、计算资源需求高以及某些方法易引入噪声的问题，仍需进一步优化以应对大规模、多相流体的高精度模拟需求。这种方法的不断发展推动了流体模拟在计算流体力学和计算机图形学中的广泛应用，为自由表面流、多相流和复杂流体行为的研究提供了重要技术支持。

1.4 格子玻尔兹曼方法

有别于传统求解NS方程的方法，格子玻尔兹曼方法（lattice Boltzmann method，LBM）其核心思想是从介观的角度去求解控制方程，不需要提供宏观连续方程组的离散化，使得其在描述多项流体相互作用及流固体间的吸附作用上具有独特优势，因此LBM 是研究毫米到几百纳米范围内的多相流流动的有效工具[75]。通过大量离散的微观粒子之间碰撞演化并利用这些微观粒子运动的统计平均结果来反映流体现象的宏观特性[76]。其模型方程仅为分布函数的单变量方程，且在连续介质假设的前提下，可以还原回NS方程[77]。LBM控制方程为

${f}_{i}（x+{e}_{i}\Delta x，\Delta t）={f}_{i}（x，t）+{\omega }_{i}[f（x，t）]$

式（5）中：fi为第i个方向ei上的速度分布函数；ei为离散的速度方向；Δx为空间步长，代表在一个时间步长内粒子在空间上移动的距离间隔；Δt为时间步长；ωi[f（x，t）]为碰撞导致的fi变化率的碰撞算子。

格子玻尔兹曼方程允许粒子仅以一组离散的速度运动，通常以DdQq的惯例设定格子玻尔兹曼的速度，如图7所示，其中，d为维度，q为离散速度的数量。

LBM在迭代时有迁移和碰撞两个步骤，在迁移步中所有分布函数朝着各自的速度对流。这种传播导致各方向分布函数移动到相邻单元。根据分布函数，它可以改写为

${f}_{i}^{*}（x，t+\Delta t）={f}_{i}（x-\Delta t{e}_{i}，t）$

式（6）中：${f}_{i}^{*}$（x，t+Δt）为在时刻t+Δt经过迁移步骤后的速度分布函数；fi（x-Δtei，t）为在时刻t位置x-Δtei处的速度分布函数，体现了粒子以速度ei经过时间步长Δt进行迁移的过程。

在碰撞步中，通过平衡分布函数feq对每个方向的分布函数进行加权来完成不可压缩流体的模拟，可表示为

${f}_{\alpha }^{eq}=\rho {\omega }_{\alpha }\left[1+\frac{{e}_{\alpha }u}{{c}_{s}^{2}}+\frac{（{e}_{\alpha }u{）}^{2}}{2{c}_{s}^{4}}-\frac{{u}^{2}}{2{c}_{s}^{2}}\right]$

式（7）中：cs为格子声速；ρ为流体密度；u为流体的宏观速度；$\rho ={\sum }_{i}^{}{f}_{i}； u={\sum }_{i}^{}{e}_{i}{f}_{i}；{w}_{\alpha }$为权系数，取决于所采用的晶格几何形状。

因为其格点上粒子碰撞是同步同时发生，迁移步采用就近原则，具有天然的并行性，计算精度高，边界条件易处理、编程简单等优点，避免了传统数值模型求解偏微分方程的复杂性和精度低的问题，同时避免了求解非线性黎曼问题以及压力泊松方程[78]。因此在CFD、游戏、物理领域中得到广泛的应用。

现有研究中，基于松弛时间数量的不同，LBM模型主要分为BGK、TRT和MRT模型。松弛时间数量的增加赋予模型更高的稳定性和精度控制能力，但也相应提高了模型的复杂性。在流体仿真建模中，LBM能够处理复杂边界条件，支持多相流体和复杂障碍物的流动模拟，在科学计算和计算机图形学中均取得了重要应用。

在流体仿真领域，首次将LBM引入图形学用于模拟火灾演变的研究，为该方法的应用开辟了新方向[79]。Llewellin[80-81]基于LBM开发了一个具有运行时能够调整参数，并且实时显示结果的虚拟实验室程序用于地理系统的流体仿真，通过提取计算结果进行可视化显示。基于MRT-LBM模型，能够模拟烟雾在城市群中扩散的场景，展现了LBM在处理复杂边界条件和多相流中的优势[82]。Zhu等[83]在Luo等[84]推导的双流体LBM动力学理论基础上，分别考虑流体的黏性和扩散性，成功模拟了不同黏性液体间相互混合作用。史冬岩等[85]对比了LBM与FVM在相同时间步下的方柱绕流模拟，系统分析了两种方法在复杂分离流中的性能差异。结果表明，在网格足够精细且模型选择合理的情况下，LBM能够获得与实验数据高度吻合的结果，并且在保持与FVM相当精度的同时，显著降低了计算资源消耗，展现出更高的计算效率优势。

针对LBM在效率上的优化，嵌套网格方法在粗网格上进行低分辨率全局模拟，同时在细节区域叠加细网格进行局部高精度计算，实现了快速且自适应的三维流体模拟[86]。该框架还被扩展用于复杂三维地形的水流模拟，例如山区河道水流汇入洼地形成湖泊的场景[87]。此外，LBM通过结合OpenGl图形用户接口模拟三维顶盖驱动方腔流[88]。

在基于二维浅水方程的LBM模型中，改进固-液相交区域的跟踪方法，可以模拟任意地形深度的水体和破碎波等流体特征[89]。通过归一化处理，将流体速度场转化为可视云图，并且引入粒子水平方法对流体的液面进行追踪，从而达到二维流体、三维流体的正确可视化仿真[90]，效果如图8[76]所示。在计算机图形学中的推广研究中，非正交中心矩松弛模型被引入LBM，开发出一种新的自适应松弛方法，模拟了单向流的扩散，实现高效和自适应的样本构建，保持湍流中的稳定性、准确性和灵活性[91]。若将LBM与边界浸入法相结合，能够显著减小了数值耗散和色散误差，成功模拟圆柱绕流和不同雷诺数下的流固耦合现象，准确捕捉湍流细节的同时提升了计算效率[92]。针对复杂流固耦合现象的模拟，采用MRT-LBM结合高效数据布局，不仅再现了如小球入水和碰撞涡流等多种复杂流固耦合效果，还实现了更大的并行计算能力和自动参数优化[93]。LBM在大规模流体场景中的应用也取得重要进展，如针对沿海城市建筑群在海啸冲击下的内涝过程开展三维仿真研究，还原了溃坝洪水的碰撞、反射和旋涡等复杂湍流现象[94]。同时，通过将LBM与FPD（fluid-particle dynamics）方法结合，将固体视为黏性较大的流体，在动态黏性比为100时，数值结果与精确值的相对误差降低到2.8%，成功实现了流固耦合的高精度模拟[95]。

LBM在流体模拟中以其计算局部性强、易于扩展到 GPU 并行框架、程序易实施和计算速度快的特点脱颖而出。基于微观粒子碰撞与迁移的理论，LBM 能自然地耦合微观和宏观行为，尤其在描述多相流体的界面效应和复杂边界条件时表现出色。此外，LBM 通过规则格子和局部更新实现了高度并行化，适合大规模流体模拟，同时能够通过双分布函数模型扩展到热力学耦合问题，如热对流和热传递。其弱可压缩假设限制了高马赫数条件下的适用性，但通过多松弛时间（MRT）和熵守恒模型等技术，LBM 在高雷诺数和复杂几何场景中维持了较高的数值稳定性和效率，使其广泛应用于单相流、多相流、湍流和多孔介质流动等领域。

2 大范围流场计算效率提升方法

综上可知，虽然基于物理的流体模拟方面已经取得了大量的成果，但是大多需要大量的离线计算。在水利、港航行业中流固耦合表现在船体、大坝、码头等与流体的交互作用时计算的复杂程度会急剧上升，传统的串行计算已经难以满足流体仿真中实时性的要求。因此在保持流体模拟真实感的同时进行高效的流场解算计算，是流体模拟领域面临的一大挑战。为应对这些瓶颈，研究者们提出了一系列提升计算效率的策略，包括通过GPU加速实现并行化计算、对控制方程进行简化以降低计算复杂度，以及通过多种技术的耦合优化模型性能。接下来将围绕这些方法的核心思想与应用实例展开讨论，探讨它们在流体模拟实时性提升中的重要作用。

2.1 基于GPU加速策略

GPU加速计算利用了其大规模并行架构和高带宽的显存，通过编程工具（如CUDA或OpenCL）开发程序，将计算密集型任务并行化，从而显著提升效率，特别适用于高并行性和大数据处理的场景。

2.1.1 基于GPU加速的Euler网格法

欧拉法的计算效率与网格的分辨率和时间步长密切相关。在海洋和山区河流流体模拟等大规模场景中，欧拉法在较粗网格下具备较高效率，但在湍流或复杂流动结构模拟中则需要精细网格，这大大增加了计算成本。

在对不同网格分辨率对大涡模拟计算效率的影响研究中，发现网格数量增加导致计算时间近似呈二次增长，若每个方向的网格点数翻倍会导致计算时间增加约8倍。利用GPU加速，将每个网格点可以分配给不同的GPU线程，从而更快速地处理流体动力学仿真所需的大规模计算，从而实现高度并行化，大幅缩短计算时间。与实际案例中Nash-Sutcliffe效率系数（NSE）为0.95，表现出极高的拟合度，在模拟中GPU加速使得计算效率提高15~20倍[96]。García-Feal等[97]开发了一个用于河流和河口的2D水质模拟模型，相较于传统CPU计算模式，加速比达到约100倍后，大幅缩短模拟时间，实现快速响应。与实际的资料相比，模拟能够精确捕捉复杂水域中的污染物分布，误差较低，通常在1%~5%。

2.1.2 基于GPU加速的Lagrange粒子法

拉格朗日粒子法在处理自由表面和多相流动时表现出较高效率。SPH等拉格朗日方法通过跟踪流体粒子运动，避免了欧拉法的网格失真问题。通过追踪流体中的粒子运动来计算流场信息，但随着粒子数量的增加，计算成本也随之增加。随着并行计算、GPU加速、自适应粒子分布等技术的引入，拉格朗日法在大规模复杂流动中的应用变得更加高效。在精度方面，改进的核函数、校正方法和粒子重分布技术显著提高了模拟精度，特别是在自由表面、多相流动等问题中。

在利用上百万个粒子模拟海洋波浪和潮流时，通过GPU并行化处理计算效率较CPU增加了约20倍，程序模拟结果与物理实验数据进行对比，SPH在处理自由表面和波浪碰撞时，误差率保持在5%以内[98]。通过对单个GPU对SPH模拟进行了加速，达到比单核CPU快58倍的性能[99]。在GPU加速的SPH模拟浅水流动中的水流侵蚀和溃岸现象中，时间相较于传统方法（有限体积法）缩短了约45%，与目前主流商业软件相对比误差范围在2%~4%[100]。利用GPU的并行处理、粒子分裂技术和动态自适应机制，显著减少计算时间，达到接近实时的排水模拟效果，与模型实验数据对比，模拟的水流动态在水库泄流冲击波传播中误差保持在3%以内[101]。通过在不同应用场景中合理平衡计算效率与精度，拉格朗日法在工程和科学领域都表现出强大的应用潜力。在使用PCISPH算法模拟不可压缩流体时，通过提出高效的GPU流式处理管线和并行排序方法，以及利用共享内存和优化技术，充分利用现代GPU的大规模并行处理能力，显著提高模拟性能。与单线程CPU实现相比，该方法在高端GPU上实现了高达23倍的加速，证明了其在实时模拟现实不可压缩流体方面的高效性和实用性[102]。

在管道流体仿真领域，针对水力压裂工程中水流与管道交互实时性需求，叶静然[103]基于GPU并行的多维树搜索算法，结合SPH模型，通过构建树形空间结构，优化邻近粒子搜索过程，利用GPU并行能力加速树结构遍历与碰撞检测，显著提升大规模粒子群（>4×106）的计算效率。实验表明，相比传统GPU链表搜索，该算法速度提升5~6倍，成功模拟水流在管道中的翻卷、撞击反弹等复杂现象，为大规模管道流体模拟和工业在线监测提供了高效解决方案。

2.1.3 基于GPU加速的混合Euler-Lagrange法

混合欧拉-拉格朗日法中，粒子与网格信息相互传递可以通过优化数据结构来提高计算效率。GPU加速技术为ELM带来了显著的性能提升，使得更大规模、更高分辨率的实时模拟成为可能。通过对比PIC和FLIP的精度分析，后者利用粒子代替直接网格更新减少了数值扩散对模拟结果的影响，精度相对于PIC提高了20%~40%，在捕捉涡流和细微流动结构方面表现更好，通过GPU并行化后，效率可以提高10~30倍[104]。在进行混合法的大涡模拟中，利用MPI和OpenMP的混合并行化策略，实现了对复杂流体流动的高效模拟[105]。在进行地表灌溉水蔓延运动模拟研究中，利用混合法精准地捕捉流体各类行为特征并保持质量守恒，精度与纯欧拉法相差无几，但具有更好的质量守恒性。通过GPU加速，在计算效率方面相比欧拉法约提高5.3倍[106]。

2.1.4 基于GPU加速的LBM

格子玻尔兹曼法的求解过程是时间推进格式进行计算，且求解过程具有天然的局部性特征[85]，这种显式特性允许直接并行化。在模拟大规模流场（如湍流、自由表面）时，每个格点的计算分配到GPU的多个线程，使得计算复杂度大幅减少，同时保持了模拟结果的精确性。研究表明，LBM的GPU实现可以比CPU实现提高一到两个数量级的速度，使许多实际流体动力学问题进入实时模拟的领域[107]。通过引入界面单元和设置合适的边界条件，LBM可以精准追踪流体表面的演化，并保持质量守恒。当被用作湍流模拟时能捕捉高雷诺数下的流体结构和湍流行为。Li等[108]提出了一种基于CUDA的多GPU大涡模拟算法，成功模拟了基于LBM的二维盖板驱动方腔流，展示了其在处理复杂湍流流动中的优势，不仅在计算速度上有显著提高，同时精度也与其他流体动力学方法相当。此外，通过GPU加速，对比SPH和LBM在不同维度下溃坝的水流与障碍物之间流固耦合作用的表现，模拟结果均与物理试验现象高度一致，在大幅缩短计算时间的同时，有效保证了模拟的精确性[109]。

2.2 控制方程的简化

对于常规的流体建模，复杂的求解使得性能局限于小规模的模拟场景，不适用于海洋、河流、洪水等大尺度场景。因此，随着研究进展，更多学者开始使用欧拉网格法或拉格朗日粒子法求解简化的流体控制方程，如通过求解浅水方程[110]、流函数[111]或Boussinesq方程[112]来进行流体运动模拟。

2.2.1 浅水方程

（1）浅水方程能够有效模拟湖泊、河流及海岸等水域内水体的运动状态[113]，其将流体表面离散为高度场，假设流体的物理量在垂直方向上是恒定的，使得求解问题从三维简化到二维，大大减少了计算的复杂性。在忽略摩檫力以及黏性力的情况下，其连续性方程和动量方程分别为

$\frac{\partial h}{\partial t}+\boldsymbol{u} \cdot \nabla h+h \nabla \cdot \boldsymbol{u}=0$
$\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+\boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u}+g \nabla H=0$

式中：h为水深；u为流速；g为重力加速度；H为水面高度。

为了能够真实地体现流体运动细节，更多的学者将浅水方程用拉格朗日形式表示，并通过SPH进行求解，具体方程为

$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{~d} t}+h \nabla \cdot \boldsymbol{u}=0$
$\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{~d} t}+g \nabla h=0$

扩展后的SPH-SWE模型能够处理任意域边界和地形坡度，改善了低密度粒子区域的渲染效果，实现了粒子基础流体与刚体之间力的双向耦合。模拟效果如图9[114]所示，该模型能够以20 FPS的交互速率完成对128 000粒子的模拟与渲染。虽然通过OpenGL实时渲染的结果与离线渲染相比在细节表现上存在一定差距，但整体效果在真实感方面能够基本满足需求[114]。

Shao等[115]基于SPH-SWE方法，根据粒子密度的变化近似计算水体高度值，设计适用于二维SPH计算的光滑核函数，实时修改光滑搜索半径，通过插值来修正粒子的速度和位置，有效避免粒子穿透刚体的现象。为了避免复杂地形导致粒子堆积、分布不均匀的问题提出一种自适应计算方法，动态调整粒子的运动行为。通过将计算并行化加载到GPU上分别模拟了爱荷华河河道、赤水河谷等地形，模拟达到实时交互级别，帧率为44 FPS。

此外，可以利用网格法通过求解浅水方程得到流场数据，用粒子来模拟泡沫、水花、涡旋等复杂视景效果。通过引入神经网络技术加速计算，生成大量有效训练样本，进一步实现船舶与水流的耦合仿真，并在仿真精度与渲染效率之间取得动态平衡[116]。针对不规则地形上的水流模拟问题，利用有限体积法在GPU上求解二维浅水方程的研究，解决了规则网格法处理复杂边界的局限。该方法相比CPU计算快15~30倍，且高阶离散格式在每个时间步内展现了更优的加速效果[117]。对于洪水蔓延问题，通过有限差分法求解浅水方程，修改高度场和速度场的时间积分结果，实现了流体向干燥区域的正确流动，成功模拟洪水在复杂城市环境中的演进过程。通过引入基于剪应力模型的洪水侵蚀地形模拟方法，考虑底床摩擦阻力对流体运动的影响，有效修正速度场，使洪水前沿速度更符合实际运动规律。结合GPU并行计算技术，该方法实现了高达150 FPS的大规模流体模拟交互速度[118]。图10[117-118]为浅水方程下流体的效果图。

为了重现复杂表面流动的现象，Ren等[119]采用SOM（semi-flattened original mesh）方法，将底面的高频凹凸信息融入模拟，实现了流体对曲面细节的响应，通过引入基于形状算子的各向异性摩擦张量，水流能够自动沿表面主纹理方向运动，模拟了液体在任意曲面上受风力或表面张力等影响的流动，小场景的帧率达到30 FPS。

2.2.2 流函数

流函数通过将速度向量表示为标量函数的旋度，简化了纳维-斯托克斯方程的求解过程，且速度向量存在于同一个平面。由于同一流线上，流函数数值为常量，两条流线流函数常数之差等于单位厚度通过的体积流量，因此天然满足质量守恒，可表示为

$\left\{\begin{array}{l}{u}_{x}=\frac{\partial \psi }{dy}\\ {v}_{y}=-\frac{\partial \psi }{dx}\end{array}\right.$

式（12）中：ux为速度向量在x方向上的分量；vy为速度向量在y方向上的分量；x、y为空间坐标；$\psi $为流函数，流函数的偏导即为速度矢量分量。

通过差分法求解指定的流函数，将解得的速度矢量进行Poisson圆盘分布采样，生成用于表达河流速度场的粒子，在下一时间步开始时，删除不满足Poisson圆盘分布准则的采样点，保持粒子分布的均匀性，利用纹理分块技术渲染河流表面，从而达到实时性[120]。在此研究的基础上，通过反距离加权法构建河道内各点的流函数以进一步求解河流速度场，从而真实地体现了河流流动性，并改进了瓦片方向流（tiled directional flow，TDF）算法，结合GPU和GLSL着色器编程以及细节层次技术（levels of detail，LOD），实现了内河船舶操纵模拟器中大尺度河流视景的实时渲染，同时利用立方体映射和平面反射方法实现了河水表面的反射效果。因方程求解简单，满足仿真的实时性要求[121]。

2.2.3 Boussinesq方程

传统的Navier-Stokes方程考虑密度的变化对流体的黏性、压缩性等影响，但Boussinesq方程只考虑了密度变化对重力的影响，在大多数情况下流体的密度被视为常数，从而避免了在整个流体域中对密度变化的细致处理。该方程由于含有非线性和较好的色散性且将波浪模拟问题简化为二维，能够较好地模拟波浪传播[17]。其方程一般形式为

${U}_{t}+F（U{）}_{x}+G（U{）}_{y}+S（U）=0$

式（13）中：

U=$\left[\begin{array}{l}h\\ P\\ Q\end{array}\right]$；F（U）=$\left[\begin{array}{l}P\\ \frac{{P}^{2}}{h}+\frac{g{h}^{2}}{2}\\ \frac{PQ}{h}\end{array}\right]$；G（U）=$\left[\begin{array}{l}Q\\ \frac{PQ}{h}\\ \frac{{Q}^{2}}{h}+\frac{g{h}^{2}}{2}\end{array}\right]$；

S（U）为包含底部坡度、摩擦和色散项的源项；Ut为U对时间t的偏导数；P、Q分别为x、y方向深度积分的质量通量。

Li等[3]利用有限差分法求解了Boussinesq方程得到了水面的高度场，通过顶点纹理采样海面高度场来快速渲染大范围的海面，将其应用于航海模拟器视景系统中海洋场景建模，虽然该方法达到实时性，但是不能实现流固耦合以及捕捉波浪细节特征的效果。

Tavakkol等[122]开发了一个名为Celeris的软件，将Boussinesq方程重新排列，将其转换为时间上的常微分方程，并使用一个混合FVM-FDM（finite volume method-finite difference method）离散化方法在均匀的笛卡尔网格上求解这些方程。因其处理的是浅水波问题，其中波浪的垂直运动与水平运动相比通常较小，且在模拟中通常假定为二维流动，在二维水平方向上其精度较高，但在模拟三维流固耦合时，精度较低，如图11[22]所示。

2.3 多技术耦合策略

单一技术在面对多样化的复杂应用或场景需求时往往难以兼顾计算效率与模拟精度。为应对这些挑战，多种技术的耦合逐渐成为流体模拟研究的关键方向。通过结合不同方法的优点，耦合策略不仅能有效提升计算效率和模拟精度，还为复杂场景的实时模拟提供了技术支持。

通过将二维和三维网格结合起来，在水体内体和底部利用有限体积法求解具有线性压力剖面的高网格（tall cells），在水体的表面层用MAC网格求解三维NS方程来捕捉水面上涟漪、波浪等复杂现象。在不同类型的网格相交处进行压力和速度的插值以确保流体的不可压缩性和稳定性。虽成功模拟了大规模尺度下船只尾迹、河流填充峡谷等场景，但3 min输出一帧，效率极差[123]。Schreck等[124]在模拟流体时，通过三维NS方程求解器模拟局部非线性行为，同时利用二维亥姆利兹方程的基本解来精确控制波传播行为。2D和3D模拟器通过相互提供各自的表面运动、速度和高度信息来设定对方的边界条件，实现两者之间的动态耦合。该方法效果生动逼真地呈现了流固耦合现象，但并不满足实时性要求。

为提升水体细节捕捉能力和实时性能，网格耦合粒子法利用网格离散化二维浅水方程模拟大规模水体，同时通过粒子系统捕捉网格尺度难以表现的细节。在水体高度场梯度超过阈值或与固体相互作用时生成粒子模拟分离部分，粒子落回水体表面后传递动量和质量以影响水体运动。尽管在物理规律上有所简化，该方法实现了76 FPS的实时性能，适合快速反馈场景[125]。在此研究的基础上，结合粒子、三维网格与高度场的混合方法有效解决了实时性与流体细节表现之间的平衡问题。通过动态调整粒子和网格的密度场，确保感兴趣区域被粒子覆盖，同时降低计算成本，实现了流体细节的动态捕捉[126]。此外，通过耦合欧拉网格和DFSPH，以粗网格保证体积守恒，并在液体表面窄带区域限制SPH粒子以捕捉细节，同时利用虚拟粒子来校正密度[127]。该耦合策略大幅减少粒子的数量和计算需求，同时避免了网格-SPH方法中可能出现的能量波动或噪声问题，使得模型在大规模液体模拟中更加稳定，适用于需要高保真度的场景，但计算速度稍慢，每帧耗时3 s。

基于网格-粒子耦合技术，Wang等[128]引入“耦合带”概念现更精细的流体细节。大规模流体体积在网格区域通过LBM求解浅水方程，而粒子区域用于呈现流体表面细节。通过距离函数动态细化或粗化耦合带附近的网格，并为网格与粒子之间的双向耦合提供权重。尽管在准确性方面表现良好，其效率仍较低，在计算300 000粒子时，帧率为1 FPS。在三维流体仿真时，LBM-PLSM的耦合算法通过PLSM追踪液面并修正碰撞算子。在自由表面的流体区域用LBM算法进行计算，在网格模型边界则使用PLSM来追踪网格。将仿真结果在Autodesk maya中以55 FPS的帧率模拟了水流下落的过程随着水滴下落、形变、破裂的过程[90]。算法效率随着复杂度的增加而下降，但整体算法结果是收敛的。在确保正确计算流体数据的同时实现了流体的实时逼真绘制。魏秋明[129]基于LBM-VOF提出了一种具有二阶精度的气体网格分布函数重构方法，耦合离散空间中的粒子和网格，在进行分布函数演化时，通过粒子代替异常界面网格，成功模拟了在多个复杂场景下的水流、水花流动或溅射的效果，帧率也达到了32.6 FPS。

为了模拟大规模复杂场景的交互作用效果，通过将FLIP和DFSPH结合，实现流体冲击下固体破碎的真实感模拟[130]，但其流体建模框架无法与固体应变能求解方法高校耦合，且该耦合模拟系统未能应用GPU加速，无法满足实时性要求。为了解决这一问题，邵绪强等[131]利用SPH统一粒子框架，将流体和固体都离散化为粒子，构建基于物理的能量分析模型，通过分析流体粒子与固体边界粒子之间的能量传递和固体自身的能量转化，确定破碎发生的启发点。使用Voronoi图作为固体碎块生成方法，快速划分固体体积空间，生成固体碎块，并将模拟系统进行并行优化并加载至GPU进行大规模并行加速，使得模拟基本满足实时交互要求。

Li等[132]为了在海洋模拟器可视化系统中实现高真实感的流固耦合场景，同时兼顾实时性能，耦合SPH与DFSPH，通过调整粒子在位置上的分布，使得密度被约束为恒定状态，显著加速了恒定密度约束的收敛速度，并进一步减少了密度变化。设计大坝破裂场景来比较SPH模型、DFSPH模型和PBF模型的性能，其提出的SPH-DFSPH方法在运行速度、稳定性、时间步长和不可压缩性方面均优于其他两种模型，与传统的依赖波谱方法的海洋模拟器相比，极大程度提升海洋场景的物理真实感。其模拟效果如图12[132]所示。

Huang等[133]设计一个混合时间步进算法结合了FLIP和BEM（边界元法），用于模拟大规模开放水域中的流体，且在船周展开细节捕捉。FLIP方法用于捕捉固体周围流体的飞溅和复杂流体-物体相互作用，而BEM方法通过流体表面构建三角网格模拟大规模波浪的传播。实验验证了该方法在模拟船舶、飞溅和波浪方面的高精度和效率，能够同时捕捉流体的飞溅和波浪传播，但由于粒子和网格数量庞大，计算效率明显下降。

为了满足大规模复杂场景流体仿真的实时性需求，结合了GPU加速策略、控制方程简化和多方法耦合技术，实现了效率与精度的平衡。GPU并行化显著提高了仿真性能，如欧拉法通过网格点线程分配优化了大规模场景计算，拉格朗日方法在自由表面和多相流模拟中利用并行化提升了20倍以上的效率。控制方程的简化通过浅水方程和Boussinesq方程等模型降低了计算复杂度，结合GPU技术在河流与洪水场景中实现了大幅加速，同时保持较高的模拟精度。多方法耦合则突破了单一方法的限制，将欧拉网格与拉格朗日粒子结合，通过动态粒子分布和耦合带设计，既提升了小尺度流动细节的表现，又显著减少了计算成本。这些技术在水利、港航工程和实时特效等领域广泛应用，为大规模复杂场景的仿真提供了高效可靠的解决方案，推动了流体仿真技术的进一步发展。

2.4 对比分析

基于物理的流体模拟实时性总结分析如表2所示，对比指标主要包括不同策略分类、算法名称、技术特点、适用场景、计算效率以及最大仿真场景等。

由于各模拟方法、规模以及硬件信息均不相同，但仍可以看出，单一的拉格朗日粒子法为了达到极致的精度和效果，难以满足实时的要求。通过简化控制方程，牺牲一定的精度下能够满足大规模的实时模拟。LBM与其他策略相结合时能够达到小规模的实时模拟。

3 研究趋势预测

随着流体模拟在实际工程和虚拟仿真领域的深入应用，应用场景正不断从传统的、边界规则的理想化槽道或矩形水池，向高度复杂和动态变化的真实环境演化。例如，在河流与港口的模拟中，往往需要处理窄深不均的自然河道、弯曲多变的航道、复杂的地形地貌、以及大尺度高落差的流场，这些都大大增加了网格或粒子的自适应能力和边界处理的难度。在船舶操纵模拟、桥梁抗冲击分析和河岸保护等典型场景中，还涉及船-桥-岸三相互作用、航道内多船编队操纵、大型漂浮物与水流的动态相互作用等。这类复杂工况下，不仅需要模拟高度非线性、多尺度的流动特征，还必须精准刻画流体与结构体之间的动量、能量和冲击传递过程。随着精度要求提升，用户对厘米级分辨率和至少30 FPS的实时反馈提出了更高要求，这对基于物理的流体建模算法的可扩展性、保真性、数值稳定性、内存管理与并行效率等都提出了极大挑战。针对这些问题，未来的研究方向可能包括以下方面。

3.1 大尺度场景的实时交互

在目前的流体仿真算法中，基本上能够实现小规模的实时流体模拟，然而对于大尺度流体的视景，如在内河船舶模拟器中河流模拟却很难达到实时，且流固耦合机制尚不完善。通过简化控制方程在计算效率方面有一定的优势，但是以牺牲一定的精度为代价，缺乏适用于内河环境的自适应耦合模型。因此，如何处理大规模场景下流体和固体之间保证精度的情况下相互耦合的实时仿真，对于计算流体力学和计算机图形学领域具有重要的研究意义。

3.2 自适应数据结构

在早期的研究中，许多仿真实验将CFD代码移植到GPU上，但结果却不如预期的令人满意。随着计算机计算性能的提升，GPU计算的蓬勃发展，展现了其强大的算力和潜力。大多数流体实时模拟都是在GPU上进行核心运算部分。TaiChi[134]编译语言中仅需一行代码即可调用GPU参与计算，同时利用其特有的高性能数据结构使求解自动并行化和访问内存优化。通过并行构架优化数据交换、更改数据组织方式来调整算法的效率与精度。FNMS架构[135]（数据域、节点、模块、场景图四层结构）构建一个既能灵活适应各类物理仿真计算范式，将仿真计算、渲染、交互以及底层算法有效分离，不仅能提升物理仿真的计算效率与灵活性，更为跨学科、跨领域的物理仿真研究提供了强有力的技术支持。

3.3 流体力学与机器学习的紧密合作

在近些年的研究中，基于机器学习和深度学习等人工智能方法的流体预测研究如火如荼。根据摄像机、深度测量仪器等设备实测数据或根据现有的流场数据插值创造出更多的样点（数据）生成多样化的流体，为流体的模拟提供了新的解决思路[14]。通过结合图神经网络（graph neural network，GNN）、信息传递机制的聚合更新特性，对各物理场参数并行学习和预测来模拟流体的时空变化规律，可以为创建更真实和高效的模拟开辟新的可能性。随着数据量的增长，利用物理神经网络（physics-informed neural networks，PINN）优化传统数值方法在偏微分方程求解中的稳定性、复杂性和网格依赖性，使流体力学可以从机器学习和新的人工智能技术中受益，在高精度物理模拟样本数据的支撑下，有望实现大规模场景的实时模拟。

4 结论

流体的模拟方法种类繁多，近些年许多研究学者在流体的模拟方面做出了突出的贡献。计算流体力学的研究是物理流体仿真的基础，CFD的目的是通过模拟来预测实际的流场，而计算机图形学主要关注于快速生成逼真的视觉效果。但因适用条件不同，所对应的处理方法也各不相同。通过对各种基于物理的流体建模方法的梳理，并聚焦于大规模流体模拟时计算效率的结果，得出如下结论。

（1）对于大尺度的流体实时应用场景而言，在算法设计过程中会更加偏重计算性能以及流体的物理运动行为，并且在可接受的范围内牺牲一定程度的物理准确性，然而对于需要物理精确的场景如流体动力学研究则应当优先考虑离线模拟方式。

（2）通过GPU加速，利用SPH求解二维浅水方程，不仅能够达到大规模场景实时流固耦合模拟，同时能够呈现出流体特征，捕捉流体细节，有望成为船舶模拟器中船水耦合视景以及水利数字孪生项目中水体模拟的重要研究方法。

（3）通过基于神经网络等机器学习算法与各种高效策略相结合，未来能够在高精度流场求解的情况下进行流固耦合实时模拟。

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基金资助

国家重点研发计划(2024YFB2605803)

国家重点研发计划(2023YFC3206103)

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