基于自适应增益滑模观测器的宽温域锂电池荷电状态估计

陶杨洁; 徐宝昌; 尹士轩; 郭俊明; 辛若家

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2502577

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (4) :1528-1536 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2502577

电工技术

基于自适应增益滑模观测器的宽温域锂电池荷电状态估计

陶杨洁 ¹^,² ,
徐宝昌 ¹^,²^,^* ,
尹士轩 ¹^,² ,
郭俊明 ³ ,
辛若家 ⁴

作者信息 +

Application of Adaptive Gain Sliding Mode Observer to Estimate the State of Charge of Lithium Batteries in Wide Temperature Range

TAO Yang-jie ¹^,² ,
XU Bao-chang ¹^,²^,^* ,
YIN Shi-xuan ¹^,² ,
GUO Jun-ming ³ ,
XIN Ruo-jia ⁴

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摘要

荷电状态（state of charge，SOC）的准确估计对延长电池寿命、减少事故发生至关重要。针对锂电池系统存在建模误差及宽温度范围下传统方法适应性差的问题，设计一种自适应增益滑模观测器（adaptive gain sliding mode observer，AGSMO）以提高宽温域SOC估计精度。采用二阶RC等效电路模型构造适用于AGSMO的状态方程，并结合遗忘因子最小二乘法（forgetting factor recursive least square，FFRLS）完成模型参数辨识。利用等效控制思想构建状态误差的等效表达式，基于此设计滑模观测器，同时采用自适应增益提高收敛速度并抑制抖振。结合案例应用仿真，结果表明：AGSMO在美国联邦城市运行工况FUDS和高加速循环工况US06的不同初值下均可实现SOC的准确估计，并通过上述两种工况验证宽温域环境下AGSMO相较于滑模观测器（sliding mode observer，SMO）、扩展卡尔曼滤波（extended Kalman filter，EKF）具有更好的估计精度及收敛速度，均方根误差不超过0.68%，且在温域两端呈现强鲁棒性。

Abstract

Accurate estimation of the state of charge （SOC） is crucial for prolonging battery life and reducing the occurrence of accidents. Aiming at the problems of modeling errors in lithium battery systems and the poor adaptability of traditional methods in a wide temperature range，an adaptive gain sliding mode observer （AGSMO） was designed to improve the accuracy of SOC estimation. A second-order RC equivalent circuit model was used to construct the state equation which was applicable to AGSMO，and combining the forgetting factor recursive least square （FFRLS） algorithm to complete the identification of the model parameter. The equivalent control idea was used to construct the equivalent expression of the state error. Based on this，a sliding mode observer was designed，and a new adaptive gain was adopted to increase the convergence speed and suppress chattering. Combined with the case simulation，the results show that the AGSMO can achieve accurate SOC estimates under different initial value conditions in both United States federal urban driving schedule FUDS and highway driving schedule US06 tests，and the above two tests verify that AGSMO has better estimation accuracy and convergence speed than sliding mode observer （SMO） and extended Kalman filter （EKF） in a wide temperature range，the root mean square error is not more than 0.68%，and shows strong robustness at both ends of the temperature range.

Graphical abstract

关键词

荷电状态（SOC） / 锂电池 / 滑模观测器 / 宽温域 / 等效电路模型 / 遗忘因子最小二乘法（FFRLS）

Key words

state of charge（SOC） / lithium battery / sliding mode observer / wide temperature range / equivalent circuit model / forgetting factor recursive least square algorithm（FFRLS）

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陶杨洁, 徐宝昌, 尹士轩, 郭俊明, 辛若家. 基于自适应增益滑模观测器的宽温域锂电池荷电状态估计[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(4): 1528-1536 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2502577

TAO Yang-jie, XU Bao-chang, YIN Shi-xuan, GUO Jun-ming, XIN Ruo-jia. Application of Adaptive Gain Sliding Mode Observer to Estimate the State of Charge of Lithium Batteries in Wide Temperature Range[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(4): 1528-1536 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2502577

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在中国“双碳”目标引领下，以纯电动为主的新能源汽车作为新兴产业发展迅速^[1]，其核心支柱动力电池行业同步呈现出高速演进的态势^[2]。锂离子电池因其能量密度高、循环寿命长和成本低等优点，长期稳居市场主导地位^[3]。荷电状态（state of charge，SOC）估计作为电池管理系统（battery management system，BMS）中关键技术之一，在提高电池能量利用率和防止电池过度充放电方面具有重要意义^[4]。

目前，中外典型SOC估计方法主要有开路电压法和安时积分法，此类方法因具备实现简便的优势，已在工程实践中得到应用，但由于未充分考虑电池内部参数时变特性及外部工况干扰等因素，无法保证现场应用的鲁棒性。其中，开路电压法需将电池与负载断开并长时间静置，不适用于在线估计^[5]。安时积分法依赖初值的准确获取，且长时间积分计算会产生累积误差^[6]。此类典型方法的局限性客观上也推动了数据驱动法和模型法在SOC估计中的发展。然而，数据驱动法需要大量历史数据用于训练，计算成本高且泛化能力有待探究^[7]。模型法通过建立能够描述电池动静态特性的模型，结合状态估计方法以实现SOC实时估计。目前，锂电池模型主要分为电化学模型和等效电路模型，其中电化学模型通过考虑电池内部反应机理因而具备了良好的模型精度^[8]，但其过高的复杂度和解算成本严重限制了方法的实际应用。等效电路模型利用各种电路元件来模拟锂电池充放电时的外部响应特性^[9]，其结构简单、应用性强同时具备可拓展性，因此现阶段基于模型的估计方法研究更多集中于此。

近年来，中外学者开始融入并逐步改进状态估计方法以提升锂电池SOC估计效果。段林超等^[10]采用二阶扩展卡尔曼滤波（extended Kalman filter，EKF）估计锂电池多工况下的SOC，并通过两组数据集验证方法具有一定的普适性。He等^[11]通过建立等效电路模型并应用无迹卡尔曼滤波（unscented Kalman filter，UKF）实现SOC估计，实验验证方法可在循环过程电流波动较大时保证估计的准确性。然而，由于作为重要影响因素的噪声统计特性往往难以获取^[12]，因此无法保证上述方法在实际应用中的鲁棒性。Chen等^[13]提出一种基于粒子滤波（particle filter，PF）的在线SOC估计方法，但迭代过程中存在的粒子退化问题会降低SOC估算效率。针对上述问题，Ning等^[14]提出应用一种结构简单、收敛速度快的滑模观测器（sliding mode observer，SMO）实现SOC实时估计。SMO因具备对建模误差和外部扰动的鲁棒性，使其在研究和实践中得到了广泛应用，但变结构过程的不连续切换特性会引发抖振现象。文献[15-16]中通过选取合适的抗抖切换函数替代传统滑模中的符号函数，以抑制估计结果的抖振。Huang等^[17]构造一种超螺旋滑模观测器进行SOC估计，但观测器增益的不合理选取会降低算法对建模误差及不确定性的补偿能力，从而严重影响估计精度。Xu等^[18]依据实时观测误差的大小，设计新的增益更新策略以提升SMO性能，但其设计过程仍基于较为简单的一阶等效电路模型，且未考虑方法在宽温域环境下的适用性。

受电池组件温度敏感性的影响，实际应用中环境温度成为导致SOC估计存在误差的关键因素^[19]。建立二阶RC等效电路模型，并结合遗忘因子最小二乘法（forgetting factor recursive least square，FFRLS）完成参数辨识，以宽温域下锂电池的SOC估计为目标，设计并应用一种自适应增益滑模观测器（adaptive gain sliding mode observer，AGSMO）。在传统SMO的基础上采用自适应增益以提高收敛速度并抑制抖振；设计一种新的自适应律，以避免传统自适应增益在实际应用中无法准确收敛的问题；融合等效控制思想，补偿建模误差并保证方法在宽温域下的估计精度。实现多工况下锂电池SOC的准确估计，能够保障锂电池长周期稳定运行，有效提升电池管理系统的综合性能。

1 锂电池建模与参数辨识

1.1 二阶RC等效电路模型

相较于Rint模型、Thevenin模型、新一代汽车合作伙伴计划（partnership for a new generation of vehicles，PNGV）模型和通用非线性（general nonlinear，GNL）模型，二阶RC等效电路模型在复杂度与计算精度方面平衡性更优^[20]，其结构如图1所示。

选用马里兰大学先进生命周期工程中心（Center for Advanced Life Cycle Engineering，CALCE）锂电池实验室INR 18650-20R型号电池的开路电压（open circuit voltage，OCV）测试数据集^[21]用以描述OCV-SOC的函数关系，如图2所示，拟合得

（1）$\begin{aligned}U_{\mathrm{oc}}= & 7.443 Z^{6}-18.787 Z^{5}+12.618 Z^{4}+ \\& 3.413 Z^{3}-6.128 Z^{2}+2.325 Z+3.296\end{aligned}$

式（1）中：Z为SOC。

尽管OCV与SOC之间呈非线性关系，但在设计滑模观测器时，有必要将OCV与SOC的关系表示为一组分段线性函数g（Z），即

（2）${U}_{oc}=g（Z）=kZ+d$

式（2）中：k和d为SOC在不同范围内的待定系数，其中k可表示为

（3）$k=\frac{d{U}_{oc}}{dZ}$

根据基尔霍夫定律，可得二阶RC等效电路的状态方程为

（5）$\begin{array}{l}{U}_{t}={U}_{oc}-{U}_{p}-{U}_{s}-RI\left(4\right)\\ \left\{\begin{array}{l}{\stackrel{·}{U}}_{p}=\frac{I}{{C}_{p}}-\frac{{U}_{p}}{{C}_{p}{R}_{p}}\\ {\stackrel{·}{U}}_{s}=\frac{I}{{C}_{s}}-\frac{{U}_{s}}{{C}_{s}{R}_{s}}\end{array}\right.\end{array}$

式中：U_p和U_s分别为极化电压和扩散电压。

锂电池的SOC可根据式（6）获得。

（6）$Z（t）=Z（0）-\int \frac{\eta I（t）dt}{{C}_{n}}\times 100\%$

式（6）中：Z（t）和Z（0）分别为当前采样时刻和初始时刻的SOC；C_n为锂电池标称容量；t为时间；η为库伦效率，取值为1。

定义x=[U_t U_p U_s Z]为状态变量，u=I为系统输入，y=U_t为系统输出，结合式（4）~式（6），可推导出二阶RC等效电路模型的状态空间表达式为

（7）$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{·}{U}}_{t}=-k\frac{I}{{C}_{n}}-{\stackrel{·}{U}}_{p}-{\stackrel{·}{U}}_{s}-R\stackrel{·}{I}\\ {\stackrel{·}{U}}_{p}=\frac{I}{{C}_{p}}-\frac{{U}_{p}}{{C}_{p}{R}_{p}}\\ {\stackrel{·}{U}}_{s}=\frac{I}{{C}_{s}}-\frac{{U}_{s}}{{C}_{s}{R}_{s}}\\ \stackrel{·}{Z}=-\frac{I}{{C}_{n}}\end{array}\right.$

式（7）中，采样周期内电流的变化率可以忽略不计。

1.2 基于FFRLS的参数辨识

递推最小二乘法（recursive least square，RLS）计算步骤简便，易于实现，且无需先验统计信息，但对于参数时变系统，协方差矩阵会随着采样次数增加而收缩，易导致算法对新数据的敏感度降低，进而削弱RLS对模型参数的校正能力。

为提高模型参数可靠性，采用FFRLS完成参数辨识，通过加入遗忘因子解决RLS的数据饱和问题，递推表达式为

（8）$\left\{\begin{array}{l}\hat{\theta }\left(k\right)=\hat{\theta }(k-1)+K\left(k\right)\left[y\right.\left(k\right)-{\varphi }^{T}\left(k\right)\hat{\theta }(k-1)]\\ K\left(k\right)=P(k-1)\varphi \left(k\right)\left[{\varphi }^{T}\right(k\left)P\right(k-1)\varphi {\left(k\right)+\left.\lambda \right]}^{-1}\\ P\left(k\right)={\lambda }^{-1}\left[I\right.-K\left(k\right){\varphi }^{T}\left(k\right)\left]P\right(k-1)\end{array}\right.$

式（8）中：$\varphi （k）$为数据向量；K（k）为增益向量；$\hat{\theta }（k）$为估计参数向量；y（k）为系统输出；P（k）为协方差矩阵；λ为遗忘因子，本文取0.995。

选用1.1节同型号电池在动态应力测试工况（dynamic stress test，DST）下的25 ℃实验数据^[21]进行参数辨识。首先，对辨识参数进行初始化设置，并将放电过程的采样电流、电压以及OCV-SOC函数关系导入辨识流程。其次，计算每一时刻增益矩阵并更新估计参数向量。最后，更新协方差矩阵，输出指定时刻的模型参数，得到结果如图3所示。

2 基于AGSMO的锂电池SOC估计方法

对1节中建立的二阶RC等效电路模型进行变量代换，得到状态空间形式为

（9）$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{·}{U}}_{t}={U}_{d}+{b}_{1}I+\Delta {f}_{1}\\ {\stackrel{·}{U}}_{d}=-{a}_{22}{U}_{d}+{a}_{23}{U}_{s}+{b}_{2}I+\Delta {f}_{2}\\ {\stackrel{·}{U}}_{s}=-{a}_{31}{U}_{t}-{a}_{32}{U}_{d}+{a}_{33}{U}_{s}+\\ 　　{a}_{34}g\left(Z\right)+\Delta {f}_{3}\\ \stackrel{·}{Z}={a}_{41}{U}_{t}+{a}_{42}{U}_{d}+{a}_{43}{U}_{s}-\\ 　　{a}_{44}g\left(Z\right)+\Delta {f}_{4}\end{array}\right.$

式（9）中：${U}_{d}=\frac{{U}_{p}}{{R}_{p}{C}_{p}}+\frac{{U}_{s}}{{R}_{s}{C}_{s}}；{b}_{1}=-k\frac{1}{{C}_{n}}-\frac{1}{{C}_{p}}-\frac{1}{{C}_{s}}；{a}_{22}=\frac{1}{{R}_{p}{C}_{p}}；{a}_{23}=\frac{1}{{R}_{p}{C}_{p}{R}_{s}{C}_{s}}-\frac{1}{{{R}^{2}}_{s}{{C}^{2}}_{s}}；{b}_{2}=\frac{1}{{R}_{p}{C}_{p}^{2}}+\frac{1}{{R}_{s}{{C}^{2}}_{s}}；$${a}_{31}=\frac{1}{R{C}_{s}}；{a}_{32}=\frac{{R}_{p}{C}_{p}}{R{C}_{s}}；{a}_{33}=-\frac{1}{{R}_{s}{C}_{s}}-\frac{1}{R{C}_{s}}+\frac{{R}_{p}{C}_{p}}{R{R}_{s}{{C}^{2}}_{s}}；{a}_{34}={a}_{31}；{a}_{41}=\frac{1}{R{C}_{n}}；{a}_{42}=\frac{{R}_{p}{C}_{p}}{R{C}_{n}}；{a}_{43}=\frac{1}{R{C}_{n}}\left(1-\frac{{R}_{p}{C}_{p}}{{R}_{s}{C}_{s}}\right)；{a}_{44}={a}_{41}；\Delta {f}_{i}（i=1，2，3，4）$为由建模误差和测量噪声引起的不确定有界干扰项。

根据等效控制思想，构造如式（10）所示的自适应增益滑模观测器。

（10）$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{·}{\hat{U}}}_{t}={\hat{U}}_{d}+{b}_{1}I+{\hat{\theta }}_{1}sgn({U}_{t}-{\hat{U}}_{t})\\ {\stackrel{·}{\hat{U}}}_{d}=-{a}_{22}{\hat{U}}_{d}+{a}_{23}{\hat{U}}_{s}+{b}_{2}I+{\hat{\theta }}_{2}sgn({U}_{d}-{\hat{U}}_{d})\\ {\stackrel{·}{\hat{U}}}_{s}=-{a}_{31}{\hat{U}}_{t}-{a}_{32}{\hat{U}}_{d}+{a}_{33}{\hat{U}}_{s}+{a}_{34}g\left(\hat{Z}\right)+\\ 　　{\hat{\theta }}_{3}sgn({U}_{s}-{\hat{U}}_{s})\\ \stackrel{·}{\hat{Z}}={a}_{41}{\hat{U}}_{t}+{a}_{42}{\hat{U}}_{d}+{a}_{43}{\hat{U}}_{s}-{a}_{44}g\left(\hat{Z}\right)+\\ 　　{\hat{\theta }}_{4}sgn(Z-\hat{Z})\end{array}\right.$

式（10）中：${\hat{U}}_{t}、{\hat{U}}_{d}、{\hat{U}}_{s}$和$\hat{Z}$分别为U_t、U_d、U_s和Z的估计值；sgn（·）为符号函数；${\hat{\theta }}_{i}（i=1，2，3，4）$为滑模观测器增益，根据式（11）自适应律实时更新。

（11）$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{·}{\hat{\theta }}}_{1}={\gamma }_{1}\left|{U}_{t}-{\hat{U}}_{t}\right|\\ {\stackrel{·}{\hat{\theta }}}_{2}={\gamma }_{2}\left|{U}_{d}-{\hat{U}}_{d}\right|\\ {\stackrel{·}{\hat{\theta }}}_{3}={\gamma }_{3}\left|{U}_{s}-{\hat{U}}_{s}\right|\\ {\stackrel{·}{\hat{\theta }}}_{4}={\gamma }_{4}\left|Z-\hat{Z}\right|\end{array}\right.$

式（11）中：γ_i（i=1，2，3，4）为影响增益更新速率的系数。

需要强调的是，实际应用中状态误差无法避免，导致因误差而累积的自适应增益难以精确收敛，进而可能使得SOC估计效果随时间变差。为解决这一问题，根据观测误差的实时变化，γ_i（i=1，2，3，4）可设计如式（12）所示的更新规律。

（12）$\gamma_{i}=\left\{\begin{array}{ll}\delta_{1_{i}}, & e_{1, k} e_{1, k-1}>0 \\\gamma_{i, k-1}-\lambda \delta_{2_{i}}, & e_{1, k} e_{1, k-1} \leqslant 0 \text { and } \gamma_{i, k-1} \geqslant(\lambda+1) \delta_{2_{i}} \\\delta_{2_{i}}, & e_{1, k} e_{1, k-1} \leqslant 0 \text { and } \gamma_{i, k-1}＜(\lambda+1) \delta_{2_{i}}\end{array}\right.$

式（12）中：${\delta }_{{1}_{i}}$和${\delta }_{{2}_{i}}$均为正常数；e_1，k和e_1，k-1分别为当前采样时刻和上一采样时刻端电压的估计误差；λ为正常数，表示系数衰减率。

为简化表达式，可将状态估计误差和自适应增益误差表示为

（13）$\left\{\begin{array}{l}{e}_{1}={U}_{t}-{\hat{U}}_{t}\\ {e}_{2}={U}_{d}-{\hat{U}}_{d}\\ {e}_{3}={U}_{s}-{\hat{U}}_{s}\\ {e}_{4}=Z-\hat{Z}\\ g\left(Z\right)-g\left(\hat{Z}\right)\approx k{e}_{4}\\ {\tilde{\theta }}_{i}={\hat{\theta }}_{i}-{\theta }_{i} \end{array}\right.$

式（13）中：e₁为U_t的估计误差；e₂为U_d的估计误差；e₃为U_s的估计误差；e₄为SOC的估计误差；θ_i（i=1，2，3，4）为保证系统渐近稳定的理想增益值，${\tilde{\theta }}_{i}（i=1，2，3，4）$为增益误差。

式（9）与式（10）相减可得误差变化率为

（14）$\left\{\begin{array}{l}{\dot{e}}_{1}={e}_{2}+\Delta {f}_{1}-{\hat{\theta }}_{1}sgn\left({e}_{1}\right)\\ {\dot{e}}_{2}=-{a}_{22}{e}_{2}+{a}_{23}{e}_{3}+\Delta {f}_{2}-{\hat{\theta }}_{2}sgn\left({e}_{2}\right)\\ {\dot{e}}_{3}=-{a}_{31}{e}_{1}-{a}_{32}{e}_{2}+{a}_{33}{e}_{3}+k{a}_{34}{e}_{4}+\\ 　　\Delta {f}_{3}-{\hat{\theta }}_{3}sgn\left({e}_{3}\right)\\ {\dot{e}}_{4}={a}_{41}{e}_{1}+{a}_{42}{e}_{2}+{a}_{43}{e}_{3}-k{a}_{44}{e}_{4}+\\ 　　\Delta {f}_{4}-{\hat{\theta }}_{4}sgn\left({e}_{4}\right)\end{array}\right.$

由于电池可测状态仅有端电压U_t，为补偿系统扰动并保证状态误差可在有限时间内收敛至0，基于等效控制思想并结合Lyapunov稳定性定理，当系统达到滑模面的同时，可根据e₁等效表示e₂、e₃和e₄。

选取滑模面S₁=e₁，为保证滑模表面可达性及估计误差的渐近稳定性，设计Lyapunov函数为

（15）${V}_{1}=\frac{1}{2}（{e}_{1}^{2}+{\gamma }_{1}^{-1}{\tilde{\theta }}_{1}^{2}）$

其导数为

（16）$\begin{aligned}\dot{V}_{1}= & e_{1} \dot{e}_{1}+\gamma_{1}^{-1} \tilde{\theta}_{1} \dot{\tilde{\theta}}_{1} \\= & e_{1}\left[e_{2}+\Delta f_{1}-\hat{\theta}_{1} \operatorname{sgn}\left(e_{1}\right)\right]+ \\& \gamma_{1}^{-1}\left(\hat{\theta}_{1}-\theta_{1}\right) \gamma_{1}\left|e_{1}\right| \\= & e_{1} e_{2}+e_{1} \Delta f_{1}-\theta_{1}\left|e_{1}\right| \\＜ & \left|e_{1}\right|\left(\left|e_{2}\right|+\left|\Delta f_{1}\right|-\theta_{1}\right)\end{aligned}$

根据Lyapunov稳定性定理，若增益满足${\theta }_{1}max（\left|{e}_{2}\right|+\left|\Delta {f}_{1}\right|），$则可保证${\stackrel{·}{V}}_{1}0，$系统将会在有限时间内到达滑模面S₁。当系统到达滑模面后，不确定干扰项Δf₁得以补偿，U_t的估计误差渐近收敛至0，即${e}_{1}={\dot{e}}_{1}=0。$

根据等效控制思想并结合式（14）可知，e₂的等效表达式为

（17）${e}_{2}={{\hat{\theta }}_{1}sgn（{e}_{1}）{}}_{eq}$

类似地，选取滑模面S₂=e₂，并设计Lyapunov函数为

（18）${V}_{2}=\frac{1}{2}（{e}_{2}^{2}+{\gamma }_{2}^{-1}{\tilde{\theta }}_{2}^{2}）$

其导数为

（19）$\begin{aligned}\dot{V}_{2}= & e_{2} \dot{e}_{2}+\gamma_{2}^{-1} \tilde{\theta}_{2} \dot{\tilde{\theta}}_{2} \\= & e_{2}\left[-a_{22} e_{2}+a_{23} e_{3}+\Delta f_{2}-\hat{\theta}_{2} \operatorname{sgn}\left(e_{2}\right)\right]+ \\& \gamma_{2}^{-1}\left(\hat{\theta}_{2}-\theta_{2}\right) \gamma_{2}\left|e_{2}\right| \\= & -a_{22} e_{2}^{2}+a_{23} e_{2} e_{3}+\Delta f_{2} e_{2}-\theta_{2}\left|e_{2}\right| \\＜ & \left|e_{2}\right|\left(a_{23}\left|e_{3}\right|+\left|\Delta f_{2}\right|-\theta_{2}\right)\end{aligned}$

若增益满足${\theta }_{2}max（{a}_{23}\left|{e}_{3}\right|+\left|\Delta {f}_{2}\right|），$则可保证${\stackrel{·}{V}}_{2}0。$系统可在有限时间内到达滑模面S₂，不确定干扰项Δf₂得以补偿，同时e₂可收敛至0。根据等效控制思想并结合式（14）可知，e₃的等效表达式为

（20）${e}_{3}={\left\{\frac{{\hat{\theta }}_{2}}{{a}_{23}}sgn（{e}_{2}）\right\}}_{eq}$

再次，选取滑模面S₃=e₃，并设计Lyapunov函数为

（21）${V}_{3}=\frac{1}{2}（{e}_{3}^{2}+{\gamma }_{3}^{-1}{\tilde{\theta }}_{3}^{2}）$

其导数为

（22）$\begin{aligned}\dot{V}_{3}= & e_{3} \dot{e}_{3}+\gamma_{3}^{-1} \tilde{\theta}_{3} \dot{\vec{\theta}}_{3} \\= & e_{3}\left[-a_{31} e_{1}-a_{32} e_{2}+a_{33} e_{3}+k a_{34} e_{4}+\right. \\& \left.\Delta f_{3}-\hat{\theta}_{3} \operatorname{sgn}\left(e_{3}\right)\right]+\gamma_{3}^{-1}\left(\hat{\theta}_{3}-\theta_{3}\right) \gamma_{3}\left|e_{3}\right| \\= & a_{33} e_{3}^{2}+k a_{34} e_{3} e_{4}+\Delta f_{3} e_{3}-\theta_{3}\left|e_{3}\right| \\＜ & \left|e_{3}\right|\left(a_{33}\left|e_{3}\right|+k a_{34}\left|e_{4}\right|+\left|\Delta f_{3}\right|-\theta_{3}\right)\end{aligned}$

若增益满足${\theta }_{3}max（{a}_{33}\left|{e}_{3}\right|+k{a}_{34}\left|{e}_{4}\right|+\left|\Delta {f}_{3}\right|），$则可保证${\stackrel{·}{V}}_{3}0，$同时e₃可收敛至0。根据等效控制思想并结合式（14）可知，e₄的等效表达式为

（23）${e}_{4}={\left\{\frac{{\hat{\theta }}_{3}}{k{a}_{34}}sgn（{e}_{3}）\right\}}_{eq}$

最后，选取滑模面S₄=e₄，并设计Lyapunov函数为

（24）${V}_{4}=\frac{1}{2}（{e}_{4}^{2}+{\gamma }_{4}^{-1}{\tilde{\theta }}_{4}^{2}）$

其导数为

（25）$\begin{aligned}\dot{V}_{4}= & e_{4} \dot{e}_{4}+\gamma_{4}^{-1} \tilde{\theta}_{4} \dot{\tilde{\theta}}_{4} \\= & e_{4}\left[-k a_{44} e_{4}+\Delta f_{4}-\hat{\theta}_{4} \operatorname{sgn}\left(e_{4}\right)\right]+ \\& \gamma_{4}^{-1}\left(\hat{\theta}_{4}-\theta_{4}\right) \gamma_{4}\left|e_{4}\right| \\= & -k a_{44} e_{4}^{2}+\Delta f_{4} e_{4}-\theta_{4}\left|e_{4}\right| \\＜ & \left|e_{4}\right|\left(\left|\Delta f_{4}\right|-\theta_{4}\right)\end{aligned}$

同理，增益应满足${\theta }_{4}max\left(\left|\Delta {f}_{4}\right|\right)，$以保证e₄能够渐近收敛至0。

将e₂、e₃和e₄的等效表达式代入式（10），可得到基于等效控制思想的自适应增益滑模观测器，其结构如式（26）所示。结合第1节模型建立及参数辨识部分，基于AGSMO的锂电池SOC估计方法可总结如图4所示。

（26）$\left\{\begin{array}{l}\stackrel{·}{\hat{U}}{ }_{t}={\hat{U}}_{d}+{b}_{1}I+{\hat{\theta }}_{1}sgn\left({e}_{1}\right)\\ \stackrel{·}{\hat{U}}{ }_{d}=-{a}_{22}{\hat{U}}_{d}+{a}_{23}{\hat{U}}_{s}+{b}_{2}I+{\hat{\theta }}_{2}sgn\left[\right\{{\hat{\theta }}_{1}sgn\left({e}_{1}{\left)\right\}}_{eq}\right]\\ \stackrel{·}{\hat{U}}{ }_{s}=-{a}_{31}{\hat{U}}_{t}-{a}_{32}{\hat{U}}_{d}+{a}_{33}{\hat{U}}_{s}+{a}_{34}g\left(\hat{Z}\right)+\\ 　　{\hat{\theta }}_{3}sgn\left(\right\{\frac{{\hat{\theta }}_{2}}{{a}_{23}}sgn\left[\right\{{\hat{\theta }}_{1}sgn\left({e}_{1}{\left)\right\}}_{eq}{\left]\right\}}_{eq}\right)\\ \stackrel{·}{\hat{Z}}={a}_{41}{\hat{U}}_{t}+{a}_{42}{\hat{U}}_{d}+{a}_{43}{\hat{U}}_{s}-{a}_{44}g\left(\hat{Z}\right)+\\ 　　{\hat{\theta }}_{4}sgn\left\{\left[\frac{{\hat{\theta }}_{3}}{k{a}_{34}}sgn\right(\left\{\frac{{\hat{\theta }}_{2}}{{a}_{23}}sgn\right[\left\{{\hat{\theta }}_{1}sgn\right({e}_{1}{\left)\right\}}_{eq}{\left]\right\}}_{eq}{\left)\right]}_{eq}\}\right.\end{array}\right.$

3 实验结果与分析

选用马里兰大学CALCE锂电池实验室提供的多工况数据集^[21]完成算法的性能验证及对比实验，实验电池型号为INR 18650-20R，标称容量为2Ah。

3.1 算法性能验证

为验证AGSMO算法对锂电池SOC估计的精确度与收敛效果，选取FUDS和US06两种工况下的数据集作为真实值数据来源，采用相同观测器参数分别在上述两种工况下进行实验分析。其中，SOC初值$\hat{Z}（0）$分别设置为0.7、0.6、0.5、0.4，观测器增益初值$\hat{\theta }（0）$设置为[10^-3，5×10^-4，5×10^-4，1.6×10^-3]，同时结合实际数据及经验分析，选取γ=[10^-5，5×10^-5，5×10^-5，10^-7]。

FUDS和US06工况下的输入电流曲线如图5所示，图6为FUDS和US06工况下SOC估计结果。结果表明：AGSMO在不同SOC初值下均能实现估计值的快速稳定收敛，且在不同工况下均具备良好的估计精度，FUDS和US06工况下稳态过程的均方根误差均小于0.5%。

3.2 宽温域仿真验证及鲁棒性分析

在实际应用中，锂电池的工作环境较为复杂，这使得电池内部参数在宽温度区间中呈现出明显的不稳定状态，导致传统方法在应用时适应性差的问题。

为进一步说明算法优势，设计如下仿真实验，分别比较AGSMO与SMO、EKF在FUDS和US06工况宽温域下的SOC估计效果。首先，将1节中采用25 ℃-DST工况数据辨识的模型参数代入式（9），以设定状态方程各系数数值。其次，为说明辨识效果及算法适用性，选用0、25、45 ℃条件下锂电池放电实验数据，以验证算法鲁棒性，初值均设置为0.7。实验结果和各算法的估计绝对误差如图7~图9所示。

图7~图9实验结果表明：在多工况、宽温域条件下，AGSMO相较于SMO具备更快的估计速度及更优的收敛效果，能够有效抑制抖振现象；相较于EKF，AGSMO能够更好地补偿建模误差，具备更高的估计精度，同时能够降低对于输入波动的敏感度。特别在复杂温度环境下，受电池内部参数不稳定变化影响，SMO与EKF估计精度严重下降，算法对环境温度变化的鲁棒性差。AGSMO因其增益可根据误差累积自适应更新，逐步将增益收敛至合理范围，进而补偿由于温度引起的不确定干扰因素，在宽温域下仍能够保证估计准确度，呈现出强鲁棒性及良好的复杂环境适应能力。

最后，选取平均绝对误差（mean absolute error，MAE）、平均相对误差（mean relative error，MRE）和均方根误差（root mean square error，RMSE）三个指标，以评估各算法在完整过程与稳态过程的估计效果，对比结果如表1所示。分析可知，在多工况、宽温域条件下，AGSMO对锂电池SOC完整估计过程的RMSE不超过0.68%，稳态过程的RMSE不超过0.49%，且AGSMO相较于SMO和EKF在完整过程与稳态过程的三个指标均有所提升，尤其在0 ℃与45 ℃低高温环境条件下，指标提升更加显著。

4 结论

（1）建立适用于AGSMO的二阶RC等效电路模型，并结合FFRLS完成模型参数辨识。

（2）基于等效控制思想，并结合Lyapunov稳定性定理推导了状态误差等效表达式，设计自适应律并根据观测误差的变化实时更新增益，基于此设计一种自适应增益滑模观测器，其能够有效补偿建模误差及不确定干扰，同时可避免传统自适应律在实际应用中无法准确收敛的问题，用于实现宽温域下锂电池SOC的精确估计。

（3）仿真结果表明，AGSMO在FUDS和US06工况的不同初值下均能实现锂电池SOC的快速准确估计，同时在宽温域下表现出强鲁棒性，三种误差指标均控制在1.40%内，完整估计过程的RMSE相较SMO、EKF至少降低了12.0%、30.5%，对保障锂电池长周期稳定运行具有重要意义。

（4）研究中未考虑老化因素的影响，全寿命周期的SOC估计将成为未来的研究方向。

参考文献

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