岩溶路基中小直径钢管桩承载机理

张衡; 屈俊童; 周春雷; 汪超群; 王倩; 刘新月

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2502008

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (7) :3042-3051 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2502008

建筑科学

岩溶路基中小直径钢管桩承载机理

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Bearing Mechanism of Small and Medium Diameter Steel Pipe Piles in Karst Roadbed Environments

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摘要

小直径钢管桩应力应变的研究主要集中在滑坡治理、边坡支护、抢险救灾等工程,较少涉及岩溶区域。针对倾斜荷载作用下岩溶路基中小直径钢管桩的承载机理展开研究,通过将岩溶路基下小直径钢管单桩的受力-变形问题分解为土层段、溶洞段和嵌固段,采用m法地基基础假定、欧拉-伯努利梁理论和有限元模拟法,求解了不同段的挠曲线微分方程和单桩极限承载力。通过有限元模拟,对比分析了理论计算结果与数值模拟结果,发现两者误差在12%以内,验证了理论模型的正确性。研究进一步指出,桩侧摩阻力对钢管桩挠曲线的影响最为显著,而单桩极限承载力主要由桩侧摩阻力和桩底阻力决定,根据挠曲线微分方程,可确定基桩任一点处的弯矩、剪力、水平位移和转角。本文提出的方法为岩溶路基中小直径钢管桩的设计和施工提供了理论依据,具有重要的工程应用价值。

Abstract

The research on the stress and strain of small-diameter steel pipe piles mainly focuses on landslide treatment, slope support, rescue and disaster relief projects, and less on karst areas. The bearing mechanism of small-diameter steel pipe piles in karst subgrade under inclined load was studied. By decomposing the stress-deformation problem of small-diameter steel pipe single piles under karst subgrade into soil layer section, karst cave section and embedded section, the m-method foundation assumption, Euler-Bernoulli beam theory and finite element simulation method were used to solve the deflection curve differential equations of different sections and the ultimate bearing capacity of single piles. Through finite element simulation, the theoretical calculation results and numerical simulation results were compared and analyzed. It is found that the error between the two is within 12%, which verifies the correctness of the theoretical model. It's pointed out that the pile side friction resistance has the most significant influence on the deflection curve of the steel pipe pile, and the ultimate bearing capacity of the single pile is mainly determined by the pile side friction resistance and the pile bottom resistance. According to the differential equation of the deflection curve, the bending moment, shear force, horizontal displacement and rotation angle at any point of the pile can be determined. The method proposed in this paper provides a theoretical basis for the design and construction of small and medium-sized steel pipe piles in karst subgrade, and has important engineering application value.

Graphical abstract

关键词

岩溶路基 / 小直径钢管桩 / 倾斜荷载 / 挠曲线微分方程

Key words

dissoluble rock foundation / small diameter steel pipe pile / tilt load / differential equation of deflection curve

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张衡, 屈俊童, 周春雷, 汪超群, 王倩, 刘新月. 岩溶路基中小直径钢管桩承载机理[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(7): 3042-3051 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2502008

ZHANG Heng, QU Jun-tong, ZHOU Chun-lei, WANG Chao-qun, WANG Qian, LIU Xin-yue. Bearing Mechanism of Small and Medium Diameter Steel Pipe Piles in Karst Roadbed Environments[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(7): 3042-3051 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2502008

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随着国民经济的高速发展,中国的基础设施建设步伐逐步加快,如此庞大的道路在建工程以及规划项目将不可避免地穿越岩溶发育区^[1]。岩溶作用使岩体结构发生改变,破坏了岩体的完整性与稳定性,导致岩石强度降低、渗透性增强,在附加荷载等因素作用时可能导致地面塌陷、下伏溶洞顶板坍塌、地基不均匀沉降、基础脱空开裂等问题,对道路工程建设和运营产生严重影响^[2]。

小直径钢管桩是一种新型桩基础由低碳钢直接加工而成,具有强度高、韧性好、选用规格灵活等优点,可采用焊接工艺接桩,施工工艺简单,接桩质量易于把控^[3-5];钢管桩施工时可采用小型钻机大批量施工,施工周期短,对周围扰动小,非常适合岩溶路基建设。

自20世纪50年代首次提出微型钢管桩这一概念以来,国内外学者通过理论推导、数值模拟、试验探究等方法对小直径钢管桩展开研究。但是关于小直径钢管桩在岩溶区域的研究较少,大多数学者处理岩溶路基采用桩基法^[6]、注浆法^[7-8]、填充法^[9]、跨越法^[10]、强夯法^[11]等,例如,姚裕春等^[6]提出在不同位置及形状尺寸不同岩溶空洞下,钢筋混凝土桩基结构的设置深度的确定方法、桩底下覆岩溶空洞顶板高度确定方法以及尖状溶蚀基岩面CFG(cement fly-ash gravel)桩加固设计方法等。李伟等^[7]依托国网沧州东光北变220 kV线路工程,对原状土和不注浆钢管桩、后注浆钢管桩桩侧不同水平距离处土体及桩-土界面进行现场取样,通过室内试验分析了注浆作用对土样变形及抗剪强度参数的影响,结果表明:注浆后浆液的渗入使得土体结构更加密实且黏聚力明显增大,但浆液影响范围有限。Wang等^[9]提出一种胶结填料——石灰石尾矿基胶凝材料,并采用响应面法优化原料配比。溶洞填充材料采用石灰岩尾矿砂与优化的石灰石尾矿基胶凝材料进行固结制备。但采用上述方法处理岩溶路基时都存在着一定的缺陷和条件。

也有一些学者基于相似理论,推导出了钢管桩的理论公式^[12-23]。例如,江杰等^[12]基于静力平衡原理与Hoek-Brown强度准则,采用理论推导的方法研究多向荷载对岩溶区桩基嵌岩深度的影响。研究表明,桩基受多向荷载同时作用时,最大嵌岩深度随竖向荷载、水平荷载、弯矩的增大而减小。高鲁超^[13]通过引入水泥加固增强系数,建立了水泥加固钢管桩的水平承载力p-y(土抗力-水平位移)曲线计算方法;基于桩顶的累计变形,建立了一种适用于嵌固桩和非嵌固桩的累计位移预测模型;基于修正应变楔理论引入双曲线模型,建立了钢管桩身的p-y曲线模型。袁聪聪^[14]根据双排钢管桩受力变形,总结出了钢管桩的受力机理,将土层看作Winkler竖向弹性地基梁,推导出了双排钢管桩的变形计算公式;通过智慧检测,总结出了基坑受力变形的特性。向波^[15]通过小直径钢管群桩的堆载极限破坏实验总结了钢管桩的受力变形规律,得出试验条件下的水平极限承载能力;建立了土拱稳定分析计算模型,通过求解,推导出了小直径钢管群桩最佳桩间距的计算公式。

另外一些学者通过数值模拟来分析钢管桩^[24-27]。例如,郭琦等^[24]利用理论模型推导获得小直径钢管桩的Q-S曲线(Q为荷载,S为位移)。在桩土接触面单元的建立过程中参考了无厚度Goodman界面单元法,理论推导小直径钢管桩的Q-S曲线,并与实测结果对比分析,证明了该理论方法的适用性,并分析了结果存在误差的原因。Liu等^[25]通过分析水平荷载作用下小直径钢管桩的挠曲线方程,建立了在地震作用下小直径钢管桩的计算模型,并采用群桩效率计算法来计算小直径钢管群桩的水平承载力;包晨茜等^[26]基于一维波动方程建立了钢管桩锤击打入预测模型,编写了对应的MATLAB计算程序;通过数值分析,分析了钢管桩桩身倾斜、锤击能、桩底嵌固端刚度等各因素对锤击次数和桩身应力的影响,并得出了规律性的结果。小直径钢管桩模型理论体系较为完善,但存在编程繁琐、参数确定复杂,不便于应用于实际工程。

针对以上研究的不足,现从基桩出发,将小直径钢管桩依据桩周土体性质划分为土层段、洞段、岩段三个特征桩段:随后基于欧拉-伯努利梁理论与m法地基基础假定,建立倾斜荷载作用下,岩溶路基小直径钢管桩的挠曲微分方程,并采用幂级数法进行方程求解,得到基桩的弯矩、剪力、转角、位移的初参数方程表达式;最后将初参数方程采用MATLAB进行编程计算,从而达到提高方程求解速率的目的。提出的岩溶路基下钢管桩各段的挠曲线微分方程以及各个阶段群桩承载力计算公式可大大简化以往求解基桩各点位移和群桩承载力的问题,避免需要现场原位试验的问题,从而降低施工成本。

1 理论分析

在实际工程中,基桩仅承受单一荷载作用的情况极少,往往在承受竖向荷载作用的同时,还承受水平荷载的作用。岩溶路基小直径钢管桩所受到的水平荷载主要来自于行车方向汽车制动作用下产生的水平荷载,以及汽车通过弯道时的离心力;受到的竖向荷载来自于车辆荷载与道路上部结构自重。小直径钢管在倾斜荷载作用下,水平分力使基桩产生弯矩与挠曲变形,竖向分力也会因此产生附加弯矩(即“P-Δ”效应,P为竖向荷载,Δ为水平位移)加剧桩身挠曲变形。因此,倾斜荷载作用下岩溶路基小直径钢管桩的受力变形分析,不宜采用规范中的计算方法,即先单独计算单一荷载下基桩的受力与变形,然后再依据小变形叠加原理计算倾斜荷载作用下小直径钢管桩的内力与位移。

1.1 水平荷载作用下基桩的变形模式

小直径钢管桩在水平荷载作用下基桩将产生水平位移,桩周土体随之压缩变形产生地基水平抗力以抵抗基桩的进一步变形。根据相关试验研究,基桩在受到水平外荷载时,其受力-变形可划分为如下阶段。

(1)弹性变形阶段:当基桩顶部作用的水平外力较小时,基桩周围土体处于弹性阶段,荷载消失土体变恢复,此阶段桩顶的荷载-位移曲线近似呈直线关系。

(2)弹塑性变形阶段:随着水平外力的增加,基桩水平位移也同步扩大,浅层桩周土体产生塑性屈服,而深层土体仍处于弹性阶段,此时桩顶的荷载-位移曲线表现为向水平荷载轴弯曲靠近。

(3)破坏阶段:随着水平荷载的进一步增加,基桩水平变形突然增大,桩周土体产生明显裂缝,此时桩-土体系趋于破坏。如图1所示为桩端自由与桩端嵌固于承台中两种模式下小直径钢管桩的破坏图解。

1.2 竖向荷载作用下基桩的变形模式

竖向荷载作用下,小直径钢管桩的破坏通常是由桩身材料强度破坏与地基土强度破坏所引起的。根据相关文献研究,可将小直径钢管桩的破坏模式概括为以下三种。

(1)挠曲破坏:当基桩底部作用于坚硬土层,基桩周围是岩溶空洞时,基桩在竖向外力作用下,如同受压的细长杆呈现出挠曲破坏[图2(a)]。此种破坏模式发生时,Q-S曲线有明显的破坏荷载,基桩的承载力取决于桩身材料强度。

(2)整体剪切破坏:当基桩底部为坚硬的持力土层,而持力层上方为岩溶空洞时,基桩在竖向外力作用下,由于岩溶空洞不能阻止滑动土楔的形成,导致基桩底部土体形成滑动面而出现整体剪切破坏[图2(b)]。Q-S曲线呈现出明显的破坏荷载,此种破坏模式下,基桩的竖向承载力主要取决于桩端阻力。

(3)刺入破坏:当基桩入土深度较大或桩周土层的抗剪强度自上而下较为均匀时,基桩在竖向外力作用下,将产生刺入破坏[图2(c)]。此种破坏模式下,Q-S曲线无明显转折点,破坏荷载难以判断,基桩所受到的荷载由桩侧摩阻力与桩端阻力共同承担。

1.3 倾斜荷载作用下钢管桩的挠曲线微分方程

倾斜荷载作用下,岩溶区小直径钢管桩的分析模型如图3所示,桩顶作用与竖向夹角为θ的倾斜荷载Q_u,则水平分力Q₀=Q_usinθ,竖向分力P₀=Q_ucosθ。沿地面以下桩身任取一微元体,则微元体的受力如图3(b)、图3(c)所示,微元体两端作用弯矩M、剪力Q、轴力P(z),桩侧受到土体抗力q,荷载、内力正方向服从坐标轴正方向,弯矩以顺时针旋转方向为正。此外基桩的轴向桩侧摩阻力与基桩自重的影响归结于dP之中。

以下将对土层段、嵌岩段微元体与溶洞段微元体,分别建立挠曲微分方程。以土层段、嵌岩段微元体为例,对其进行静力分析,对图3(b)中微元体下端中点取力矩平衡可得

(1)(M+dM)-M+$\frac{1}{2}$Pdx-Qdz-$\frac{1}{2}$q(dz)²=0

略去高阶微分项可得

(2)$\frac{dM}{dz}$+$\frac{Pdx}{2dz}$-Q=0

又因为∑x(微元体x方向合力为0),可得

(3)dQ+qdz=0

将公式q=b₁q(x,z)代入式(3)可得

(4)$\frac{dQ}{dz}$=-b₁q(x,z)

式(4)中:b₁为桩的计算宽度。

将式(2)对z求导,可得

(5)$\frac{{d}^{2}M}{d{z}^{2}}$+$\frac{d}{dz}\left(\frac{P}{2}\frac{dx}{dz}\right)$-$\frac{dQ}{dz}$=0

由欧拉-伯努利梁理论可知

(6)θ≈tanθ=ω'=$\frac{dx}{dz}$

(7)M=EIω″

式中:θ为地面以下桩身转角;ω为桩身挠度;E为钢管桩弹性模量;I为钢管桩截面惯性矩。

将式(4)、式(6)、式(7)代入式(5)可得

(8)$\frac{{d}^{2}}{d{z}^{2}}\left(EI\frac{{d}^{2}x}{d{z}^{2}}\right)$+$\frac{d}{dz}\left(\frac{P}{2}\frac{dx}{dz}\right)$+b₁q(x,z)=0

若所求钢管桩横截面保持不变,且抗弯刚度为常数,则式(8)可化简如下。

土层段与嵌岩段:

(9)$\left(EI\frac{{d}^{4}x}{d{z}^{4}}\right)$+$\frac{d}{dz}\left(\frac{P}{2}\frac{dx}{dz}\right)$+b₁q(x,z)=0

式(8)为倾斜荷载作用下土层段、嵌岩段基桩的挠曲微分方程,对于溶洞段基桩挠曲微分方程的建立与土层段的思路相同,微元体受力分析如图3(c)所示,其建立的挠曲微分方程如下。

溶洞段:

(10)$\left(EI\frac{{d}^{3}x}{d{z}^{3}}\right)$+$\frac{d}{dz}\left(\frac{P}{2}\frac{dx}{dz}\right)$-Q=0

桩侧摩阻力与水平荷载无关,只需要考虑竖向荷载、桩身自重以及桩径比这三个因素,首先考虑基桩的侧摩阻力,然后再利用群桩p-y曲线中的模量修正系数f_m把基桩的侧摩阻力进行修正,就可以得到群桩的侧摩阻力。竖向荷载下基桩微元体受力示意图4所示。

基桩桩土接触面破坏按照摩尔-库伦准则进行计算,即

(11)τ_n=σ_ntanφ_i+c_i

(12)σ_n=K₀γz

式中:τ_n 、σ_n分别为极限状态下桩土接触面切向应力和法向应力;c_i 、φ_i分别为桩土接触面的黏聚力和内摩擦角;γ、K₀分别为土的重度和静止土压力系数。

群桩p-y曲线中的模量修正系数f_m的表达式为

(13)

$\left\{\begin{array}{ll}{f}_{m}=\frac{1}{1+4.37{e}^{-0.65(s/D)}},& \theta =0°\\ {f}_{m}=\frac{1}{1+2.34{e}^{-0.96(s/D)}},& \theta =90°,180°\end{array}\right.$

将式(11)与式(13)相乘就可以算出群桩中任意桩的土层段的侧摩阻力。则群桩的侧摩阻力为

(14)τ₁=τ_nf_m

在实际工程中,桩嵌岩部分的侧摩阻力往往是按照现行《建筑桩技术规范》(JGJ 94—94)进行计算,并没有把群桩效应考虑进去,因此可以先根据此规范计算出基桩嵌岩部分的侧摩阻力Q_rk,即

(15)Q_rk=uζ_rf_rch_r

式(15)中:u为桩截面周长;ζ_r为与嵌岩深径比有关的嵌岩段侧摩阻力修正系数;f_rc为岩石饱和单轴抗压强度标准值;h_r为嵌岩桩嵌岩段长度。

地基土抗力不仅仅与土层性质相关还与钢管桩入土深度、钢管桩尺寸、上部荷载、群桩间距等因素密切相关。因此基于p-y曲线法把m法进行修正来求解群桩的土抗力。p-y曲线的计算公式为

(16)(p/y)_GP=f_m(p/y)_SP

将式(16)进行化简可得

(17)

$\left\{\begin{array}{l}{p}_{GP}={f}_{m}^{\alpha }{p}_{SP}\\ {y}_{GP}={f}_{m}^{\alpha -1}{y}_{SP}\end{array}\right.$

式(17)中:(p/y)_SP为单桩曲线p-y的割线模量;f_m为模量修正系数;p_SP 、y_SP分别为单桩的土抗力和位移;p_GP 、y_GP分别为群桩中单桩的土抗力和相应的位移。

群桩布置如图5所示。由于背离角θ=0°所以模量修正系数的表达式为

(18)f_m=$\frac{1}{1+4.37{e}^{-0.65(s/D)}}$

据式土抗力的减小率k₁=1-

${f}_{m}^{\alpha }$

。群桩中j桩附近总的土抗力的减少量为

(19)f_m_j=$\{1-\sum _{i=1,i\ne j}^{n}\left[1\right.-({R}_{c}{f}_{mi}{)}^{\alpha }{\left]\right\}}^{1/\alpha }$zx

式(19)中:n为群桩总数;R_c为桩基刚度修正系数,取为1;α取0.4~0.6,f_m_i为桩基i对桩基j的模量修正系数。

基于m法可以求出基桩的土抗力,由于p-y曲线法可以求出群桩中任意基桩桩周土抗力总的减小量,则群桩中任意基桩j的土抗力为基桩j的土抗力减去群桩中基桩j周围土抗力总的减少量。设群桩中任意基桩i的土抗力为q_i,则q_i为

(20)$\begin{aligned}q_{i} & =D k_{\mathrm{h}} x z-\left\{1-\sum_{i=1, i \nvdash j}^{n}\left[1-\left(R_{\mathrm{c}} f_{\mathrm{mi}}\right)^{\alpha}\right]\right\}^{1 / \alpha} z x \\& =n z x\end{aligned}$

式(20)中:D为桩的外径;k_h为地基土的水平地基抗力系数;α为无量纲指数。

基桩可按照相关规范计算土抗力和侧摩阻力。

1.4 利用m法求解挠曲线微分方程

由以上推导可知嵌岩段挠曲微分方程最具代表,因此下面将详细介绍嵌岩段求解思路,其余溶洞段与土层段求解步骤与之相似。

在采用m法计算时,假定土层段地基土体抗力q(x,z)=mzx、嵌岩段地基岩体抗力q(x,z)=Cx,假定沿桩身单位长度的基桩自重与桩侧单位面积侧摩阻力(同层土体)皆为常数,两者数值合计为f,因此基桩的轴向力为

(21)p(z)=p₀+fz

式(21)中:p₀为桩顶竖向分力;f为桩轴向单位长度的轴力;z为桩顶到任意截面的距离。

根据《公路桥涵地基与基础设计规范》,f可表示为

(22)f=Aγ-$\frac{1}{2}$Uq_s

式(22)中:A为基桩面积;γ为桩身重度;U为桩身周长;q_s为桩侧土体的极限侧摩阻力。利用边界条件并将公式q(x,z)=mzx、q(x,z)=Cx(C为单位桩长所受到的地基岩体抗力)与式(21)、式(22)代入式(9)、式(10)可得

(23)$\frac{{d}^{4}x}{d{z}^{4}}$+(λ²+k³z)$\frac{{d}^{2}x}{d{z}^{2}}$+k³$\frac{dx}{dz}$+α⁵zx=0, 土层段

(24)$\frac{{d}^{3}x}{d{z}^{3}}$+(λ²+k³z)$\frac{dx}{dz}$-${\lambda }_{1}^{2}$=0, 岩溶段

(25)$\frac{{d}^{4}x}{d{z}^{4}}$+(λ²+k³z)$\frac{{d}^{2}x}{d{z}^{2}}$+k³$\frac{dx}{dz}$+η⁴x=0, 嵌岩段

式中:λ²=

$\frac{{P}_{0}}{EI}$

${\lambda }_{1}^{2}$

$\frac{Q}{EI}$

,k³=

$\frac{f}{EI}$

,α⁵=

$\frac{m{b}_{1}}{EI}$

,η⁴=

$\frac{C{b}_{1}}{EI}$

,λ/α=β,k/α=ν且λ、λ₁、k、α、β的量纲皆为L^-1,单位皆为m^-1。

采用幂级数求解,设方程的解为

(26)x=$\sum _{i=0}^{\infty }$a_izⁱ

式(26)中:a_i为待定系数,对式(26)进行求导得

(27)x'=$\sum _{i=1}^{\infty }$a_iizⁱ^-1

(28)x″=$\sum _{i=2}^{\infty }$a_ii(i-1)zⁱ^-2

(29)x‴=$\sum _{i=3}^{\infty }$a_ii(i-1)(i-2)zⁱ^-3

(30)x⁽⁴⁾=$\sum _{i=4}^{\infty }$a_ii(i-1)(i-2)(i-3)zⁱ^-4

将式(27)、式(30)代入式(9)得

(31)$\begin{array}{l}\sum_{i=4}^{\infty} a_{i} i(i-1)(i-2)(i-3) z^{i-4}+ \\\quad\left(\lambda^{2}+k^{3} z\right) \sum_{i=2}^{\infty} a_{i} i(i-1) z^{i-2}+k^{3} \sum_{i=1}^{\infty} a_{i} i z^{i-1}+ \\\quad z \alpha^{5} \sum_{i=0}^{\infty} a_{i} z^{i}=0\end{array}$

由待定系数法可求系数的表达式为

(32)$\begin{aligned}a_{n+4} & =-\frac{(n+1)^{2} k^{3} a_{n+1}+(n+1)(n+2) \lambda^{2} a_{n+2}+\alpha^{5} a_{n-1}}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} n \\& \geqslant 1\end{aligned}$

为方便后续计算,将z_i变为无量纲长度,将a_i的量纲统一,令β=

$\frac{\lambda }{\alpha }$

、v=

$\frac{k}{\alpha }$

;j=0,1,2,3分别表示a₀、a₁、a₂、a₃项的系数。则有

(33)$\begin{aligned}x= & \sum_{i=0}^{\infty} a_{i} z^{i}=\sum_{j=0}^{3} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{\alpha^{j}} c_{j, i} \overline{z^{i}} \\= & a_{0} \sum_{i=0}^{\infty} c_{0, i} \overline{z^{i}}+\frac{a_{1}}{\alpha} \sum_{i=0}^{\infty} c_{1, i} \overline{z^{i}}+ \\& \frac{a_{2}}{\alpha^{2}} \sum_{i=0}^{\infty} c_{2, i} \overline{z^{i}}+\frac{a_{3}}{\alpha^{3}} \sum_{i=0}^{\infty} c_{3, i} \overline{z^{i}} \\= & a_{0} X_{0}(\bar{z})+a_{1} \frac{1}{\alpha} X_{1}(\bar{z})+ \\& a_{2} \frac{2}{\alpha^{2}} X_{2}(\bar{z})+a_{3} \frac{6}{\alpha^{3}} X_{3}(\bar{z})\end{aligned}$

令

A₁=X₀(

$\stackrel{-}{z}$

),B₁=X₁(

$\stackrel{-}{z}$

),C₁=X₂(

$\stackrel{-}{z}$

),D₁=X₃(

$\stackrel{-}{z}$

);

A₂=

$\frac{X\text{'}{ }_{0}\left(\stackrel{-}{z}\right)}{\alpha }$

,B₂=

$\frac{X\text{'}{ }_{1}}{\alpha }$

(

$\stackrel{-}{z}$

),C₂=

$\frac{X\text{'}{ }_{2}}{\alpha }$

(

$\stackrel{-}{z}$

),D₂=

$\frac{X\text{'}{ }_{3}}{\alpha }$

(

$\stackrel{-}{z}$

);

A₃=

$\frac{X″{ }_{0}}{{\alpha }^{2}}$

(

$\stackrel{-}{z}$

),B₃=

$\frac{X″{ }_{1}}{{\alpha }^{2}}$

(

$\stackrel{-}{z}$

),C₃=

$\frac{X″{ }_{2}}{{\alpha }^{2}}$

(

$\stackrel{-}{z}$

),D₃=

$\frac{X″{ }_{}}{{\alpha }^{2}}$

(

$\stackrel{-}{z}$

);

A₄=

$\frac{X‴{ }_{0}}{{\alpha }^{3}}$

(

$\stackrel{-}{z}$

),B₄=

$\frac{X‴{ }_{1}}{{\alpha }^{3}}$

(

$\stackrel{-}{z}$

),C₄=

$\frac{X‴{ }_{2}}{{\alpha }^{3}}$

(

$\stackrel{-}{z}$

),D₄=

$\frac{X‴{ }_{4}}{{\alpha }^{3}}$

(

$\stackrel{-}{z}$

)。

对x求一、二、三阶导可得

(34)

$\left\{\begin{array}{l}x={x}_{0}{A}_{1}+\frac{{\varphi }_{0}}{\alpha }{B}_{1}+\frac{{M}_{0}}{{\alpha }^{2}EI}{C}_{1}+\frac{{Q}_{0}}{{\alpha }^{3}EI}{D}_{1}\\ \frac{\varphi }{\alpha }={x}_{0}{A}_{2}+\frac{{\varphi }_{0}}{\alpha }{B}_{2}+\frac{{M}_{0}}{{\alpha }^{2}EI}{C}_{2}+\frac{{Q}_{0}}{{\alpha }^{3}EI}{D}_{2}\\ \frac{M}{{\alpha }^{2}EI}={x}_{0}{A}_{3}+\frac{{\varphi }_{0}}{\alpha }{B}_{3}+\frac{{M}_{0}}{{\alpha }^{2}EI}{C}_{3}+\frac{{Q}_{0}}{{\alpha }^{3}EI}{D}_{3}\\ \frac{Q}{{\alpha }^{3}EI}={x}_{0}{A}_{4}+\frac{{\varphi }_{0}}{\alpha }{B}_{4}+\frac{{M}_{0}}{{\alpha }^{2}EI}{C}_{4}+\frac{{Q}_{0}}{{\alpha }^{3}EI}{D}_{4}\end{array}\right.$

由初参数方程可知,式(34)中x₀、φ₀、M₀、Q₀可由边界条件进行求解,且各系数与深度z无关。

将工程参数代入自编的MATLAB程序进行求解,得到基桩每隔1 m的水平位移、弯矩值。MATLAB计算值如表1所示。

2 数值模拟

2.1 有限元模型和工程案例分析

利用Midas GTS NX有限元软件建立岩溶路基小直径钢管桩的三维有限元模型。现实中桩周土体属于半空间无限体,模型必须有足够大的尺寸才能忽略边界效应,保证模型计算结果的准确性。根据相关经验,土体平面尺寸在30~50倍桩径、土体高度大于1.3倍入土桩长时,该模型可较合理的模拟半空间无限体。

为验证理论公式推导的正确性,选取滇中新区新320国道与秧旺街交叉口岩溶路基塌陷治理工程作为案例分析。

最终选取的标准模型尺寸为长×宽×高=10 m×10 m×20 m。桩周土体上层为12 m高的红黏土层,下层为8 m高的石灰岩层;岩溶空洞尺寸为长×宽×高=2 m×2 m×6 m;小直径钢管桩尺寸为直径168 mm、壁厚8 mm、长度15.05 mm;水泥浆液芯桩长度15.05 mm,直径152 mm;钢筋混凝土板尺寸为长×宽×高=2 m×2 m×25 cm,具体如图6所示。

本次模型分为四个部分,在模型构建中,桩周土体被假定为各向同性的均匀材料,采用莫尔-库伦弹塑性本构模型,并通过实体模型进行建模。水泥浆液芯桩则被视为弹性材料,选用弹性本构模型,并在建模时勾选结构属性,同样采用实体单元模拟。钢管桩同样假定为弹性材料,使用线弹性本构模型,建模时勾选结构属性,并通过实体单元实现。钢筋混凝土板也被假定为弹性材料,采用弹性本构模型,建模时无需勾选结构属性,使用三维实体单元完成。本次建模过程中所用到的各项物理力学参数如表2所示。

2.2 模型结果

根据已经确定好的相关参数建立出本次模型,在钢管桩端施加水平和竖向荷载,整体模型图如图7所示。

将钢管桩与水泥浆液芯桩单独查看其水平位移、竖向位移如图8、图9所示。

从图8、图9中可以看出岩溶路基小直径钢管桩在承受倾斜荷载作用时,基桩顶部产生较大的水平位移,但随着入土深度的增加,水平位移急剧减小,在接近溶洞时位移达到0,在溶洞内部出现负位移段,最后在嵌岩段位移为0.006 mm。竖向位移随着基桩入深度的增加而增加,且增长速率缓慢增加,并在石灰岩截面处达到最值。

从图10中可以看出,基桩的剪应力呈现小幅度增加之后减少再缓慢的增加的趋势,在溶洞段剪应力达到最大值并且保持不变,在基岩段达到最小值。造成此现象的原因可能是,岩溶路基小直径钢管桩受外荷载作用时,基桩和土体共同承担外力作用,剪应力逐步减小,当到达溶洞时剪应力突增,是因为外部荷载由基桩全部承担。

2.3 对比分析

将基桩的有限元模型按照每米一个点进行选取,得到其水平位移、弯矩值并与理论推导值进行对比分析。对比分析如图11、图12所示。

由表3可以得出,模拟值与理论值的桩身弯矩变化、水平位移趋势较吻合,验证了理论推导的合理性;同时两者之间最大差距不超过12%且数值模拟计算结果略小于理论计算结果,表明此方法应用于实际工程是可行的。

3 结论

从岩溶路基下小直径钢管桩的受力机制和变形入手,建立小直径钢管桩挠曲线微分方程,通过建立钢管桩模型,探究了小直径钢管桩的变形模式、侧摩阻力、钢管桩直径等。可以获得下列结论。

(1)岩溶路基小直径钢管桩不同溶洞高度工况下桩顶的荷载-竖向位移曲线呈现缓变形,钢管桩的承载力随着溶洞高度的增加而降低;溶洞高度的增加使基桩出现p-Δ效应,小直径钢管桩的荷载-水平位移曲线初始的线性增长关系逐步转变为二次抛物曲线关系;基桩各点的弯矩与水平位移随着溶洞高度的增加而同步扩大。

(2)岩溶路基小直径钢管桩不同桩顶弹嵌长度工况下,基桩的承载能力随着桩顶弹性嵌固长度的增加而逐步提高;桩顶弹嵌长度的增加可以降低基桩各点的弯矩与位移,说明桩顶弹嵌长度的增加使基桩与上部结构充分嵌固,整体刚度得到提升,对基桩的平动与转动有着良好的约束作用。

(3)利用Midas GTS NX有限元软件,模拟对比实际工况下基桩各点内力与位移的理论计算值与有限元模拟计算值,发现两者之间的误差在12%以内且理论计算值偏大,表明理论模型应运于工程实际是可行的。

(4)岩溶路基小直径钢管桩不同水平荷载大小工况下,基桩的承载能力随着桩顶水平荷载的增加而逐步降低;随着水平荷载的增加,基桩各点的弯矩与水平位移明显得到提升,表明基桩的p-Δ效应受到水平荷载大小的限制,水平荷载越大,p-Δ效应越明显,因此对于实际工程设计中,倾斜受荷基桩所受到的水平荷载不容忽视,往往对桩体的受力变形起到控制作用。

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