基于能量准则的宽带多分辨率奇异值分解降噪方法

崔伟成; 杨利斌; 刘林密; 桑德一

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2501993

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (4) :1537-1548 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2501993

电子技术、通信技术

基于能量准则的宽带多分辨率奇异值分解降噪方法

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Broadband Multi Resolution Singular Value Decomposition Denoising Method Based on Energy Criterion

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摘要

由于多边带调幅及调频调幅等宽带信号的能量聚集性较差，信号奇异值与噪声奇异值往往难以区分，如何构造吸引子轨迹矩阵、选择奇异值有效秩阶次、设定迭代终止条件是多分辨率奇异值分解降噪领域的难点。为了在避免过度降噪的前提下最大限度地提高宽带信号信噪比，基于能量准则给出了一种宽带多分辨率奇异值分解降噪方法。首先，对含噪信号设置不同的Hankel矩阵行数进行相空间重构，分别对构造的吸引子轨迹矩阵进行奇异值分解；然后，选取每次分解的前一半较大奇异值作为主奇异值，将主奇异值能量占比增量开始变小的矩阵行数作为嵌入维数，取嵌入维数的75%取整作为奇异值有效秩阶次；最后，对含噪信号进行迭代降噪，当近似信号奇异值能量占比增量小于设定阈值时迭代终止。多边带调幅仿真信号、调频调幅仿真信号验证表明，该方法未发生过度降噪现象，降噪后信号调制特征明显，信噪比增益分别可达11.286 6、6.904 4 dB；调频调幅试验信号验证表明，该方法能有效消除噪声，保留了多个分量，部分分量峭度特征明显，便于特征提取。具有一定的工程应用价值。

Abstract

Due to the poor energy aggregation of multi-sideband amplitude modulation and frequency-modulated amplitude modulation signals，it is often challenging to distinguish between signal singular values and noise singular values. Constructing attractor trajectory matrices，selecting effective rank orders for singular values，and setting iteration termination conditions are key challenges in multiscale singular value decomposition denoising applications. In order to maximize the improvement of signal-to-noise ratio for wideband signals without causing over-denoising，a broadband multi-resolution singular value decomposition denoising method based on energy criterion was proposed. Firstly，different Hankel matrix rows were set for noisy signals for phase space reconstruction，and each attractor trajectory matrix was subjected to singular value decomposition. Then，the first half of the larger singular values were selected as the principal singular values，and the embedding dimension was obtained by searching the number of row in the matrix where the principal singular values energy proportion increment began to decrease，and the effective rank order of the singular value decomposition was obtained by rounding 75% times the embedding dimension. Finally，the iterative denoising was performed on the noisy signal，and the iteration was terminated when the approximate signal singular value energy proportion increment was less than the setting threshold. The verification of multi-sideband amplitude modulation simulation signal and frequency-amplitude modulation signal show that this method does not experience excessive noise reduction，the modulation characteristics are highlighted，and the signal-to-noise ratio gain can reach 11.286 6 dB and 6.904 4 dB，respectively. The verification of frequency-amplitude modulation test signal shows that this method can eliminate noise effectively. Multiple components of the signal are preserved. Some components having obvious kurtosis characteristics are convenient for the interpretation of the failure. This method has certain engineering application value.

Graphical abstract

关键词

宽带多分辨率奇异值分解 / 嵌入维数 / 奇异值有效秩阶次 / 主奇异值能量占比增量

Key words

broadband multi-resolution singular value decomposition / embedding dimension / singular value effective rank order / principal singular value energy proportion increment

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崔伟成, 杨利斌, 刘林密, 桑德一. 基于能量准则的宽带多分辨率奇异值分解降噪方法[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(4): 1537-1548 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2501993

CUI Wei-cheng, YANG Li-bin, LIU Lin-mi, SANG De-yi. Broadband Multi Resolution Singular Value Decomposition Denoising Method Based on Energy Criterion[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(4): 1537-1548 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2501993

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奇异值分解（singular value decomposition，SVD）降噪方法可以有效消除信号中的随机噪声，具有良好的稳定性和不变性，应用较为广泛^[1-2]。对该方法的研究与应用聚焦于两个方向：单次降噪以及迭代降噪。

单次SVD降噪主要研究Hankel矩阵的构造方法、奇异值有效秩阶次的确定方法以及降噪应用策略等，已取得诸多有益的成果，应用较为广泛。在Hankel矩阵的构造方面，延迟步长取1，嵌入维数取数据长度的半数取整可得到较好的效果^[3]，部分学者结合信号的特点开展了优化研究，得出了有效的结论，降噪效果进一步提升^[4-6]。在奇异值有效秩阶次的确定方面，文献[7 -11]从信号的特征属性、统计特性入手，给出了新的信号特征判据，在实际应用中能较好地分离信号与噪声。但实际信号类型多样，很难选择一种通用的方法准确地确定奇异值有效秩阶次，容易出现过度降噪或者降噪不足的问题。文献[12-13]则通过添加特定的已知信号来增强信号与噪声的差异性，给出了新的降噪应用策略，进行了有益的尝试。

为进一步提升降噪效果，相关学者通过迭代弥补单次SVD降噪信噪比提升的不足。典型的算法是多分辨率SVD（multi-resolution singular value decomposition，MRSVD）^[14]，该方法基于矩阵二分递推构造原理提出，具有多分辨分析特性，可实现零相移消噪，消噪能力优良。文献[15]讨论了MRSVD的分解效果。文献[16]提出了实用的MRSVD迭代终止条件，奠定了其工程应用的基础。文献[17]研究了MRSVD的三分、四分递推拓扑结构，优化了分解过程，得到了较好的降噪效果，拓展了其应用范围。文献[18]对三分递推MRSVD进行了研究与应用。文献[19-20]借鉴了小波包与MRSVD的思想，将迭代结构进行优化，对细节信号进一步分解，适用于微弱信号的特征提取。

经仿真研究发现，MRSVD更适合多单频等窄带信号的降噪，在多边带调幅和调频调幅等宽带信号降噪应用时，容易将信号的纯净信号的部分分量分解至细节信号，导致过度降噪。为了最大限度地提高多边带调幅和调频调幅等宽带信号的信噪比，基于能量准则提出了一种宽带多分辨率奇异值分解降噪方法。首先，对含噪信号设置不同的Hankel矩阵行数进行相空间重构，分别对构造的吸引子轨迹矩阵进行奇异值分解；然后，选取每次分解的前一半较大的奇异值作为主奇异值，将主奇异值能量占比增量开始变小的矩阵行数作为嵌入维数，取嵌入维数的75%取整作为奇异值有效秩阶次；最后，含噪信号进行迭代降噪，当近似信号奇异值能量占比增量小于设定阈值时迭代终止。该方法能在避免过度降噪的前提下，能有效消除噪声。

1 MRSVD降噪

1.1 SVD降噪

SVD降噪的原理是利用信号与噪声的能量可分性，对含噪信号构成的矩阵进行分解，仅保留信号特征奇异值，达到去除噪声目的。

（1）相空间重构。设原始信号为X=[x₁，x₂，…，x_N]，利用相空间重构理论构造吸引子轨迹矩阵，一般为Hankel矩阵。

（1）$H=\left[\begin{array}{llll}{x}_{1}& {x}_{2}& \dots & {x}_{n}\\ {x}_{1\times \tau +1}& {x}_{1\times \tau +2}& \dots & {x}_{1\times \tau +n}\\ ︙& ︙& & ︙\\ {x}_{(m-1)\times \tau +1}& {x}_{(m-1)\times \tau +2}& \dots & {x}_{(m-1)\times \tau +n}\end{array}\right]$

式（1）中：τ为延迟步长；m为嵌入维数；n=N-（m-1）τ^[1]，m一般小于n。

（2）奇异值分解。对式（1）所示的Hankel矩阵进行其奇异值分解，则有

（2）$H=U\Sigma {V}^{T}$

式（2）中：U为m×m阶正交矩阵；V为n×n阶正交矩阵；Σ为按降序排列的对角矩阵，其对角元素为矩阵H的奇异值δ_i（i=1，2，…，d），其中d为非零奇异值的个数。

（3）确定奇异值有效秩阶次。通过合适的方法确定奇异值有效秩阶次r，其物理意义为：前r个较大奇异值聚集了信号的主要能量，反映了信号特征；后d-r个较小的奇异值反映了噪声成分。

（4）信号重构。去掉代表噪声信号的后d-r个较小奇异值（置零），再进行奇异值分解和Hankel矩阵的逆运算即可实现信号的重构。由于滤除了噪声成分、保留了信号成分，达到了去除噪声目的^[1-2]。

1.2 MRSVD降噪

MRSVD将SVD引入矩阵二分递推结构，每次分解得到近似信号A_i、细节信号D_i，近似信号中有用信号占主导，细节信号中噪声占主导，继续对近似信号A_i进行递推分解，得到多层近似信号和细节信号^[14]。具体分解过程如图1所示。

对比MRSVD与SVD分解的过程发现，MRSVD选取了较小的嵌入维数（m=2）构造了Hankel矩阵；采用了矩阵二分递推结构，每次分解后取奇异值有效秩阶次为嵌入维数的1/2（r=1），将较大奇异值作为近似信号奇异值，较小信号作为细节信号奇异值，通过迭代与重构进行降噪。以图1为基础，文献[17]对递推结构进行优化，将嵌入维数设置为m=3、4，得到MRSVD的三分、四分递推拓扑结构，将奇异值有效秩阶次分别设置为嵌入维数的25%、50%、75%得到了不同的分解类型，获得了较好的分解效果。综上所述，MRSVD经过信号多层分解，将隐藏在复杂干扰下的信号特征提取出来，在强噪声背景下信号特征提取较SVD精细。

经仿真研究发现，文献[14,17]中的MRSVD在处理多单频以及调幅等窄带信号中表现优异；但在处理多边带调幅和调频调幅等宽带信号时，由于信号的能量聚集性较弱，能量往往扩散至部分细节信号奇异值中，即信号特征散布于近似信号和部分细节信号中。产生这种能量泄露效应的原因在于MRSVD设定了过小的嵌入维数与奇异值有效秩阶次。在信号分解及分量提取应用中，MRSVD的这种效应可通过对细节信号进一步处理来弥补；但在信号降噪应用中，人们更希望将近似信号视为降噪信号，在迭代过程中将细节信号视为噪声而舍弃，MRSVD容易将信号有用信息滤除，导致过度降噪。因此，在多边带调幅和调频调幅等宽带信号的MRSVD降噪中，为了避免过度降噪，需要适度放大嵌入维数及奇异值有效秩阶次。

2 宽带MRSVD降噪

2.1 算法原理

宽带MRSVD降噪的基本思想是构造嵌入维数相对较多的Hankel矩阵，选用偏保守的估计方法适当放大奇异值有效秩阶次，使单次降噪工作在欠降噪状态，尽量避免滤掉纯净信号分量，造成信息流失，通过增加迭代次数达到所需的信噪比水平。

2.1.1 嵌入维数的选取

为了选取合适的嵌入维数，从信号能量占比的角度对奇异值分解降噪过程进行分析。在一个确定的含噪信号中，纯净信号的能量占比是确定的，而奇异值分解后各奇异值的平方反映了其对应分量的能量，因此纯净信号奇异值的能量占比是确定的。在分解过程中，前r个较大奇异值聚集了信号的主要能量。经仿真及试验数据验证，奇异值有效秩阶次r通常小于嵌入维数m的1/2，因此将前1/2较大奇异值作为主奇异值，其能量占比与嵌入维数m相关：当m偏小时，信号能量扩散严重，主奇异值的能量占比远小于纯净信号在含噪信号中的能量占比；随着m增大，能量扩散现象减弱，主奇异值的能量占比快速增大；当m足够大时，主奇异值的能量占比缓慢增大，逐渐逼近于纯净信号在含噪信号中的能量占比。

因此，给出的嵌入维数选取策略为：依次设置矩阵行数为小于预设值M的偶数，对含噪信号分别构造Hankel矩阵，依次进行奇异值分解，求取每次分解前m/2个较大奇异值（主奇异值）的能量占比，将能量占比增量开始变小的矩阵行数作为嵌入维数m。

2.1.2 奇异值有效秩阶次的确定

宽带MRSVD每次递推都需要设定奇异值有效秩阶次，文献[14]选取全体奇异值的50%分位数作为奇异值有效秩阶次，文献[17]的四分递推按照全体奇异值的25%、50%、75%分位数选取奇异值有效秩阶次。分位数不受极端值的影响，能反映数据的分布规律，能以一定的概率对奇异值进行大、小的分割，具有很好的效果。

从能量的角度来说，全体奇异值75%分位数大概率能涵盖纯净信号能量和部分噪声分量能量。对于单次SVD降噪来说，按照全体奇异值75%分位数选取奇异值有效秩阶次偏于保守，降噪不足、信噪比提高不大，但宽带MRSVD可通过增加迭代次数来达到所需的信噪比水平，因此选用偏保守的奇异值有效秩阶次估计方法，尽量避免滤掉信号分量，造成信息流失。在嵌入维数确定的情况下，设置奇异值有效秩阶次为嵌入维数的75%取整。

2.1.3 迭代终止条件的设定

宽带MRSVD选用较大的嵌入维数和奇异值有效秩阶次，每次迭代都工作在欠降噪状态，纯净信号的能量主要分布在前r个近似信号奇异值中，噪声分量的能量分布在细节信号奇异值和部分近似信号奇异值中。迭代初期，由于降噪不彻底，噪声分量的能量较多地散布于近似信号奇异值，每次迭代产生的近似信号奇异值在该组奇异值中的能量占比大于纯净信号在含噪信号中的能量占比，随着迭代次数的增加，近似信号奇异值能量占比逐渐趋近于纯净信号在含噪信号中的能量占比。因此，可将近似信号奇异值能量占比变化很小作为迭代终止条件，在使用中，可将两次分解的近似信号奇异值能量占比增量小于某个很小的阈值作为迭代终止的判据。

2.2 实现流程

本文方法具体实现步骤如下。

步骤1 依次取i=2，4，…，100，分别构造τ=1、m=i、n=N-（m-1）τ的Hankel矩阵。

步骤2 对Hankel矩阵依次进行奇异值分解，每次分解得到i个奇异值，共50组。

步骤3 对每组奇异值，计算主奇异值能量占比。

（3）$E{P}_{i}=\frac{\sum _{j=1}^{i/2}{\delta }_{ij}}{\sum _{j=1}^{i}{\delta }_{ij}}$

式（3）中：EP_i为矩阵行数为i时分解得到的主奇异值能量占比；δ_ij为矩阵行数为i时分解得到的第j个奇异值，j=1，2，…，i。

步骤4 计算主奇异值能量占比增量。

（4）$\Delta E{P}_{i}=\left|E{P}_{i}-E{P}_{i-2}\right|$

式（4）中：ΔEP_i为矩阵行数为i时分解得到的主奇异值能量占比增量；EP_i、EP_i_-2分别为矩阵行数为i、i-2时的主奇异值能量占比。

步骤5 利用K-means算法对主奇异值能量占比增量进行分类，寻找最后一个较大主奇异值能量占比增量对应的矩阵行数为i_end，取嵌入维数m=i_end+2。

步骤6 设置τ=1、m=i_end+2、n=N-（m-1）τ、r=round（0.75m），进行宽带MRSVD降噪。

步骤7 当满足迭代终止条件时停止迭代。迭代终止条件依据为

（5）$\Delta E{P}_{A，J}=\left|E{P}_{A，J}-E{P}_{A，J-1}\right|\le \theta $

式（5）中：ΔEP_A_，_J为近似信号奇异值能量占比增量；EP_A_，_J、EP_A，J-1分别为第J、J-1次分解的近似信号奇异值能量占比；θ为很小的正数，本文取0.01。

3 多边带调幅仿真信号验证

3.1 多边带调幅信号仿真设置

仿真信号设置为

（6）$\left\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=\sum _{i=0}^{5}{A}_{i}cos\left(2\pi i{f}_{r}t\right)\sum _{j=1}^{3}{B}_{j}sin(2\pi jZ{f}_{r}t+{\varphi }_{j})\\ {S}_{n}\left(t\right)=x\left(t\right)+n\left(t\right)\end{array}\right.$

式（6）中：x（t）为原始多边带调幅信号；f_r为载波基频频率，f_r=5 Hz；i为调制分量倍频系数；j为载波分量倍频系数；A_i为余弦调制分量振幅系数，A_i={1.5，1，0.6，0.4，0.3，0.25}；B_j为正弦载波分量振幅系数，B_j={1，0.8，0.6}；ϕ_j为正弦载波分量初始相位，ϕ_j={π/3，π/4，5π/6}；Z为正弦载波频率倍数因子，Z=23；S_n（t）为含噪声的观测信号；n（t）为高斯分布噪声，均值为0、方差为3，采样频率f_s=1 024 Hz；仿真时间t∈[0,1]。

3.2 多边带调幅仿真信号分析

将纯净信号的时域波形、频谱如图2所示。可以看出：①信号时域波形具有典型的周期性，幅度调制特征明显；②信号的频谱在115、230和345 Hz处存在谱峰，分别对应第1、2、3阶谐波分量的中心频率，三个频点的附近存在5个间隔为5 Hz的调制边频带。

将含噪信号的时域波形、频谱如图3所示。可以看出：①由于噪声的影响，含噪信号时域波形杂乱，很难看出周期性和调幅特性；②频谱中能看到115、230、345 Hz处存在明显的谱峰，但三个频点的调制边频带仅能看到1或2个。

3.3 多边带调幅仿真信号降噪过程与结果

依次取i=2，4，…，100，对含噪信号构造τ=1、m=i、n=N-（m-1）τ的Hankel矩阵，分别进行奇异值分解，对每组奇异值计算主奇异值能量占比和主奇异值能量占比增量并绘制得到图4。

可以看出：①随着矩阵行数i依次增大，主奇异值能量占比先快速增大然后缓慢增大，在i=12处存在能量占比增速的拐点；②在i <12区域，能量占比增量整体较大，存在振荡，在i >12区域，能量占比增量开始减小，并趋于稳定。

运用K-means算法对主奇异值能量占比增量进行聚类分析，得到两类能量占比增量，i=2、4、8、10、12处存在较大的主奇异值能量占比增量，i=6，14，16，…，100处存在较小的主奇异值能量占比增量。最后一个较大主奇异值能量占比增量对应的矩阵行数为i_end=12，得到嵌入维数m=14，计算奇异值有效秩阶次r=11。设置两个参数对含噪信号进行宽带MRSVD降噪，降噪信号的时域波形、频谱如图5所示。可以看出：①降噪信号的时域波形周期性和调幅特性更为清晰，变化趋势与含噪信号一致，直观上看具有一定的降噪效果；②降噪信号频谱中115、230、345 Hz处谱峰均比较明显，调制边频带更清晰，每个频点的附近存在3~5个调制边频带，高频、低频段处杂散分布的频点较少，噪声抑制效果良好。

3.4 多边带调幅仿真信号降噪效果对比

作为对比，并说明嵌入维数m、奇异值有效秩阶次r选择不当带来的过度降噪问题，将含噪信号依次进行3次实验：实验1按照文献[14]方法设置参数m=2、r=1；实验2、3按照文献[17]的两种不同方法，分别设置参数m=4、r=2，m=4、r=3。分别进行MRSVD降噪，将部分结果如图6所示。

从图6可以看出：①取m=2、r=1时，含噪信号经1次迭代后，三次谐波分量的中心频率345 Hz处已无谱线，二次谐波分量中心频率230 Hz处幅值明显减小，如图6（a）所示；经4次分解后，二次谐波分量已接近消失，如图6（b）所示；②取m=4、r=2时，含噪信号经2次迭代，三次谐波消失，如图6（c）所示；③取m=4、r=3时，含噪信号经4次迭代，三次谐波消失，如图6（d）所示。限于篇幅，不再给出其他高次谐波消失的图例。因此，传统的MRSVD降噪不适应于带宽较宽的多边带调幅信号降噪。

进一步从数值上比较降噪效果，引入信号均方误差（mean square error，MSE）和信噪比（signal to noise ratio，SNR），其定义分别为

（7）$MSE=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}[s（i）-\widehat{s}（i）{]}^{2}$

（8）$SNR=10lg\left\{\frac{\sum _{i=1}^{N}{s}^{2}（i）}{\sum _{i=1}^{N}[s（i）-\widehat{s}（i）{]}^{2}}\right\}$

式中：s（i）为纯净信号的第i个数据；$\widehat{s}（i）$为原始含噪信号或降噪信号的第i个数据；N为数据长度。

表1为不同方法降噪前后的MSE和SNR，可以看出，按照本文方法选取的m=14、r=11进行降噪能取得最小的信号均方误差和最大的信噪比；原始含噪信号信噪比-2.476 8 dB，本文方法降噪信号信噪比增大至8.809 8 dB，信噪比增益达到了11.286 6 dB。

3.5 多边带调幅信号降噪应用

结合共振解调分析宽带MRSVD降噪方法在边频特征提取中的优势。设置中心频率为230 Hz、带宽为100 Hz的带通滤波器，将本文方法降噪信号用共振解调法求出包络谱，并和原始信号的包络谱一起列于图7。因本文方法降噪信号共振解调包络谱高频段非常干净，其频率范围仅保留0~250 Hz。

从图7可以看出：①含噪信号的包络谱在5、10 Hz处能看到明显的谱线，但整个频段谱线杂乱，很难找出5 Hz的3~5倍频；②而在降噪信号共振解调包络谱中，5、10、15、20、25 Hz处谱线明显，且整个频段谱线分布极有规律，易于开展特征提取工作。

4 调频调幅仿真信号验证

4.1 调频调幅信号仿真设置

仿真信号设置为

（9）$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}\left(t\right)=sin\left(10\pi t\right)sin(120\pi t+20\pi {t}^{2})\\ {x}_{2}\left(t\right)=sin\left(40\pi t\right)\\ {x}_{3}\left(t\right)=n\left(t\right)\\ x\left(t\right)={x}_{1}\left(t\right)+{x}_{2}\left(t\right)+{x}_{3}\left(t\right)\end{array}\right.$

式（9）中：纯净信息为调频调幅信号x₁（t）与正弦信号x₂（t）的叠加；n（t）为高斯分布噪声，均值为0、方差为2，采样频率为f_s=1 024 Hz；仿真时间t∈[0,1]。

4.2 调频调幅仿真信号分析

将纯净信号的时域波形、频谱列于图8。可以看出：①信号时域波形具有典型的周期性，频率和幅度调制特征明显；②信号的频谱在20 Hz存在谱峰，对应正弦信号x₂（t），以180 Hz为中心存在一个带宽约20 Hz的频带，对应调频调幅信号x₁（t）。

将含噪信号的时域波形、频谱列于图9。可以看出：①由于噪声的影响，含噪信号时域波形杂乱，很难看出周期性，但调频调幅特性不明显；②频谱中能看到20 Hz处存在明显的谱峰，180 Hz周边存在一个频带但与噪声混叠严重，特征不突出、宽度不易确认。

4.3 调频调幅仿真信号降噪过程与结果

计算仿真信号主奇异值能量占比和主奇异值能量占比增量并绘制到图10。该信号奇异值能量占比、能量占比增量趋势与前述仿真信号类似。

运用K-means算法对主奇异值能量占比增量进行聚类分析，求得i_end=6，进而得到m=8，r=6。设置两个参数对含噪信号进行宽带MRSVD降噪，将降噪信号的时域波形、频谱列到图11。

从图11可以看出：①降噪信号的时域波形与纯净信号非常相似，周期性和调幅特性均比较清晰，直观上看具有一定的降噪效果；②降噪信号频谱中20 Hz处谱峰仍比较明显，并可容易找出以180 Hz为中心频率的频带，高频、低频段处杂散分布的频点较少，噪声抑制效果良好。

4.4 调频调幅仿真信号降噪效果对比

将试验信号进行3次实验：实验1参数为m=2、r=1；实验2、3参数分别取m=4、r=2，m=4、r=3，将MRSVD降噪信号的频谱列到图12。

从图12可以看出：①当m=2、r=1以及m=4、r=2时，原始含噪信号经降噪后，只有20 Hz处存在清晰的谱线，以180 Hz为中心频率的频带消失，明显产生了过度降噪，如图12（a）、图12（b）所示；②当m=4、r=3时，原始含噪信号经降噪后，频谱中20 Hz处谱峰、以180 Hz为中心频率的频带均明显存在，如图12（c）所示；与本文方法降噪结果相似。

因m=2、r=1以及m=4、r=2时，调频调幅信号x₁（t）被视为噪声滤除，算法已失效，仅从数值上对比本文参数与m=4、r=3的降噪效果。本文方法降噪信号的MSE为0.014 1，m=4、r=3时降噪信号的MSE为0.0183；原始含噪信号的SNR为-1.570 0 dB，本文方法降噪信号的SNR为5.334 4 dB，m=4、r=3降噪信号的SNR为3.287 6 dB。在本仿真算例中，本文方法降噪效果占优。另外，调频调幅信号的能量聚集性较多边带调幅信号差，导致本算例信噪比增益较前述算例小。因此，调频调幅信号的降噪方法有待进一步研究。

4.5 调频调幅仿真信号降噪应用

同样采用共振解调法分析降噪方法在边频特征提取中的优势。设置中心频率为180 Hz、带宽为100 Hz的带通滤波器，将本文方法降噪信号用共振解调法求出包络谱，并和原始信号的包络谱一起列于图13。降噪信号共振解调包络谱频率范围仅保留0~250 Hz。

从图13可以看出：①含噪信号的包络谱整个频段谱线杂乱，基本无法提取10 Hz以及倍频的谱线；②降噪信号共振解调包络谱中，10、20、50、60 Hz处谱线明显，明显反映了信号x₁（t）的调频调幅特性，便于基于信号调制特性开展相关研究。

5 调频调幅试验信号验证

5.1 试验条件与实验步骤

5.1.1 试验条件

调频调幅试验信号采自齿轮试验系统，该系统齿轮箱传动结构如图14所示。齿轮箱包括两个圆柱齿轮，大齿轮齿数为75，小齿轮齿数为55，两者直接啮合；变频调速电机通过联轴节驱动小齿轮，大齿轮通过联轴节带动负载。

5.1.2 试验步骤

（1）在小齿轮上人为设计断齿故障。

（2）去除齿轮箱的负载，即系统运行在空载状态。

（3）将电机转速设置为n=880 r/min。

（4）设置采样率为f_s=5 120 Hz，采样时间为0.2 s，即数据长度为N=1 024。

（5）启动电机，待转速稳定后，确认实际转速n=898 r/min。

（6）记录并保存数据。

（7）导出试验数据，采用自编软件进行分析。

5.1.3 参数计算

计算传动轴转频f_r=n/60=14.97 Hz，其中n为实际转速。则小齿轮转频f₁=14.97 Hz，大齿轮转频f₂=10.98 Hz，啮合频率f_m=823.35 Hz。

5.2 调频调幅试验信号分析

将原始信号的时域波形、频谱列到图15。可以看出：①原始时域波形图上存在周期性的脉冲，但比较凌乱，隐约可以看出调频调幅特性；②整个频谱比较杂乱，465 Hz处存在峰值最大的谱线，990、1 365、1 920 Hz处存在较为清晰的谱线，4处谱线代表了4个能量较大的振动源。

5.3 调频调幅试验信号降噪过程与结果

计算试验信号主奇异值能量占比和主奇异值能量占比增量并绘制到图16。试验信号奇异值能量占比、能量占比增量趋势与仿真信号类似。

运用K-means算法对主奇异值能量占比增量进行聚类分析，求得i_end=14，进而得到m=16，r=12。设置两个参数对含噪信号进行宽带MRSVD降噪，将降噪信号的时域波形、频谱列到图17。

可以看出：①降噪信号的时域波形与原始信号高度相似，信号的周期性和调制特性得到了保留；②频谱中谱线杂乱情况明显减轻，465、990、1365、1 920 Hz处的谱线更为清晰，调制边频带比较明显，高、低频段的干扰明显减少。

5.4 调频调幅试验信号降噪效果对比

同样将试验信号进行3次实验：实验1参数为m=2、r=1；实验2、3参数分别取m=4、r=2，m=4、r=3，将MRSVD降噪信号的频谱列到图18。

从图18可以看出：①当m=2、r=1以及m=4、r=2时，原始含噪信号经降噪后，只有465 Hz处存在清晰的谱线，990、1 365、1 920 Hz处谱线消失，如图18（a）、图18（b）所示；②当m=4、r=3时，原始含噪信号经降噪后，只有465、990 Hz两处存在清晰的谱线，1 365、1 920 Hz处谱线消失，如图18（c）所示。直观地看出采用上述参数进行降噪产生了过度降噪。

5.5 调频调幅试验信号降噪应用

为了分析降噪对故障特征提取的影响，求取原始信号的包络谱，如图19（a）所示，并设置中心频率为465 Hz以及990 Hz、带宽为400 Hz的带通滤波器，分别对文献[14]方法（m=2、r=1）降噪信号、本文方法降噪信号运用共振解调求取包络谱，如图19（b）、图19（c）所示，因两个共振解调包络谱高频段非常干净，其频率范围仅保留0~1 000 Hz。

可以看出：①原始信号包络谱高频干扰较大，在15、30 Hz处具有谱峰。包络谱15 Hz处的谱线可近似认为是小齿轮转频f₁=14.97、30 Hz处的谱线可近似认为是小齿轮转频的2倍频，可以给出齿轮存在故障的结论，但不易给出故障类型。原因在于：齿轮断齿、点蚀等局部异常的振动信号包络谱特性表征为转频的多倍频。为了准确判断故障类型，需要对原始信号进行处理，充分提取小齿轮转频的高倍频；②文献[14]方法降噪信号共振解调包络谱中能看到20、30、40 Hz处存在清晰的谱线。三处谱线容易判断为大齿轮转频f₂=10.98 Hz的2、3、4倍频，从而得出大齿轮断齿故障的结论，与小齿轮断齿的试验条件不符；③本文方法降噪信号共振解调包络谱中15、30、45、90及105 Hz处存在明显的谱线，对应小齿轮转频1、2、3、6、7倍频，无高频干扰，可以明确给出小齿轮存在局部故障的结论。

为了从数值角度说明降噪效果以及过度降噪导致故障特征提取失效的原因，分别设计中心频率为465、990、1 365、1 920 Hz，带宽为400 Hz的带通滤波器，从原始含噪信号以及本文方法降噪信号中提取出4个分量，分别计算峭度，定义为

（10）${K}_{s}=\frac{mean（{\left|x\right|}^{4}）}{[mean（{\left|x\right|}^{2}）{]}^{2}}-2$

对提取的分量来说，峭度大的分量包含的故障信息丰富^[8]。原始含噪信号的4个分量峭度值如表2中的K_s1行所示，降噪信号的4个分量峭度值如表2中的K_s2行所示。

由表2可以看出：①降噪信号的4个分量峭度值均大于同序号的原始含噪信号的4个分量峭度值。这是因为，在降噪过程中大量的噪声被滤除，信号蕴含的故障特征得以凸显，从数值角度说明了降噪对凸显故障特征的作用；②原始含噪信号以及降噪信号的分量1峭度值均比较小，即蕴含的故障信息不丰富，但分量1能量远大于分量2、3、4，运用文献[14,17]方法降噪，容易将分量2、3、4中的一个或几个当做噪声滤除，仅保留分量1，导致故障特征提取失效；③原始含噪信号以及降噪信号的分量2的峭度值均为本行最大，选取峭度较大的分量2进行后续处理，便于故障特征提取的实施。从物理意义上分析，分量2蕴含啮合频率f_m=823.35 Hz，更适合选做故障特征提取的有效分量，在降噪过程中需要保留能量相对较弱的分量2。

6 结论

基于多边带调幅及调频调幅信号降噪的工程需求，给出了一种宽带多分辨率奇异值分解降噪方法。对含噪信号设置不同行数的Hankel矩阵，分别进行奇异值分解，选取每次分解的前一半较大奇异值能量占比增量开始变小的矩阵行数作为嵌入维数，将嵌入维数的75%取整作为奇异值有效秩阶次，之后对含噪信号进行迭代降噪。用多边带调幅仿真信号以及齿轮断齿故障振动信号进行了验证，得出如下结论。

（1）奇异值分解及多分辨率奇异值分解降噪本质上是对信号各分量按聚集后的能量分布进行分类，能量大的分量不一定是蕴含特征最丰富的分量，往往需要保留能量相对弱的分量。

（2）将Hankel矩阵嵌入维数适当放大并选用偏大的奇异值有效秩阶次估计，可尽量避免滤掉纯净分量，造成信息流失，带来的降噪不足问题，可通过增加迭代次数达到所需的信噪比水平。

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2025-03-24	2026-02-08	2025-11-11
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2026-09-21

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