基于参数优化WOA-VMD-MCKD在强背景噪声下的轴承故障诊断

薛怀恒; 买买提热依木·阿布力孜; 吴许坤; 阿合朱力·吾木尔吾扎克; 姚俊慧

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2501931

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (2) :607-622 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2501931

机械、仪表工业

基于参数优化WOA-VMD-MCKD在强背景噪声下的轴承故障诊断

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Bearing Fault Diagnosis in Strong Background Noise Based on Parameter Optimization WOA-VMD-MCKD

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摘要

针对滚动轴承早期故障特征易受强背景噪声影响而难以提取的问题,提出了一种基于鲸鱼优化算法优化变分模态分解(variational mode decomposition, VMD)和相关最大峭度解卷积(maximum correlated kurtosis deconvolution, MCKD)参数的滚动轴承故障诊断方法。首先,利用鲸鱼优化算法并选取包络熵最小值作为目标函数优化VMD算法中分解层数K和惩罚因子α,得到VMD分解结果,并基于加权相关峭度选取最优分量进行重构;其次,依据重构分量的包络谱图算得MCKD算法的T值,利用鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm, WOA)并选取加权包络谱峭度最大值作为目标函数优化MCKD算法中滤波器长度L和位移数M,并将重构信号通过MCKD算法增强重构分量中的冲击成分;最后,通过包络谱分析判断滚动轴承故障类型。仿真分析与试验测试的结果均显示,该方法具备从故障信号中有效提取并显著增强冲击成分的能力,可以清楚地看到故障频率的多倍频。即便在强背景噪声干扰的情况下,该方法仍能够成功实现对滚动轴承早期故障的精准诊断。

Abstract

Aiming at the problem that early fault features of rolling bearings are easily affected by strong background noise and difficult to be extracted, a method based on whale optimization algorithm was proposed to optimize the parameters of VMD(variational mode decomposition) and MCKD(maximum correlated kurtosis deconvolution) to diagnose rolling bearing faults. Firstly, the whale optimization algorithm was used and the minimum value of envelope entropy was selected as the objective function to optimize the number of decomposition layers K and the penalty factor α in the VMD algorithm to obtain the VMD decomposition results, and the optimal components were selected based on the weighted correlation crags for reconstruction. Secoxndly, the T-value of the MCKD algorithm was obtained based on the reconstructed components’ envelope spectra, and the whale optimization algorithm was used and the maximum value of the weighted envelope spectral crags was selected as the objective function. Optimize the filter length L and the number of displacements M in the MCKD algorithm, and enhance the shock component in the reconstructed component of the reconstructed signal through the MCKD algorithm. Finally, the type of faults of the rolling was determined bearing through the analysis of the envelope spectrum. The results of both simulation analysis and experimental tests show that the method has the ability to effectively extract and significantly enhance the shock component from the fault signal, and the multifrequency of the fault frequency can be clearly seen. Even in the case of strong background noise interference, the method is still able to successfully realize the accurate diagnosis of rolling bearing early faults.

Graphical abstract

关键词

故障诊断 / 滚动轴承 / 鲸鱼优化算法 / 变分模态分解 / 最大相关峭度解卷积

Key words

fault diagnosis / rolling bearing / whale optimization algorithm / variational modal decomposition / maximum correlation cliff deconvolution

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薛怀恒, 买买提热依木·阿布力孜, 吴许坤, 阿合朱力·吾木尔吾扎克, 姚俊慧. 基于参数优化WOA-VMD-MCKD在强背景噪声下的轴承故障诊断[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(2): 607-622 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2501931

XUE Huai-heng, ABULIZI Maimaitireyimu, WU Xu-kun, WUMUERWUZHAKE Ahezhuli, YAO Jun-hui. Bearing Fault Diagnosis in Strong Background Noise Based on Parameter Optimization WOA-VMD-MCKD[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(2): 607-622 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2501931

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滚动轴承作为旋转机械设备中的关键基础零部件,在长期运行过程中,容易故障。在强背景噪声下轴承故障信号微弱,这些微弱的冲击信号在复杂多变的背景噪声环境中,很容易被完全淹没。此外,滚动轴承运行时所产生的振动信号呈现出典型的非平稳性和非线性特征,这使得传统的单一时域或频域分析方法难以有效捕捉到故障特征信息。

时频分析方法凭借其能够同时在时间和频率域上对信号进行分析的独特优势,成为处理非平稳信号的一类常用且有效的手段。在众多时频分析方法中,小波分解、连续小波变换等方法应用^[1]较为广泛,但却因依赖选择基函数^[2]而具有一定局限性。张勇等^[3]采用CEEMDAN算法通过分解过程添加白噪声这种方式有效解决了模态混叠^[4]的困扰,使得分解结果更为合理和准确。虽然有一定效果,但它们本质上也都未能彻底改善^[5]模态混叠和端点效应,难以满足实际工程应用中对复杂信号准确分析和故障诊断的需求。变分模态分解(variational mode decomposition, VMD)是一种参数设定模态分解^[6]算法,该算法突破了传统算法的局限^[7],为信号处理领域提供了一种更为可靠和高效的技术手段。王孔贤等^[8]通过北方苍鹰优化算法优化改进VMD与小波阈值法相结合来对故障电流信号进行降噪,虽相比传统VMD对信号降噪分解具有一定优势,但仅在标准测试信号中进行实验,仍有一定局限性。然而,当处于强背景噪声环境中时,微弱故障冲击被高强度噪声所掩盖和淹没,其倍频信息仍然难以清晰地显现出来。这种情况下,基于VMD分解结果进行故障诊断时,极易出现判断失误,进而导致错诊现象的发生。赵洪山等^[9]提出了MCKD和VMD相结合的算法,在强背景噪声中,增强信号的故障冲击。

在VMD算法与MCKD算法的实际应用中,均存在着需要人为设定若干参数的情况。值得注意的是,在上述两种算法里,参数的选择往往高度依赖于经验准则,缺乏一种系统且精确的自动选择机制。具体而言,在VMD算法中,分解层数K以及惩罚因子α这两个参数对于信号的分解结果^[10]有着至关重要的影响。分解层数K的设置直接决定了最终分解得到的模态分量数量,若K值设置不当,可能导致分解结果过度或不足,无法准确反映原始信号的特征;而惩罚因子α则控制着各模态分量的带宽约束,其取值的合理性会影响到分解后各分量的频率分辨率和准确性。周照翔等^[11]提出了一种基于蝴蝶优化算法优化VMD和斜率熵的目标辐射噪声特征提取方法,但目标函数仅采用平均包络熵仍有一定局限性。梁翔宇等^[12]提出了一种基于特征模态分解及多尺度模糊散布熵和斑马优化算法优化支持向量机,此方法解决了特征模态分解中关键参数不具有自适应性的问题,但仍不如两种方法联合降噪进行特征提取。对于MCKD算法,滤波器长度L决定了滤波器对信号的处理范围和能力,移位数M影响着信号在时间轴上的对齐和处理方式,周期信号脉冲T则与目标周期性冲击信号的特征紧密相关,这3个参数的选择不当,都可能使得MCKD算法无法有效地提取出被噪声掩盖的周期性冲击脉冲分量。鉴于参数选择对VMD和MCKD算法性能的重要影响,寻找参数最优解时,适应度函数的选择非常重要。当前,在相关研究和应用中,以包络熵、集合峭度以及峭度-相关系数作为适应度函数比较常见,虽然依然有不错的效果,但对外界噪声干扰也比较敏感,影响到参数寻优的准确性和算法的整体性能。

当前,国内轴承工业应用复杂性突出,广泛应用于矿山机械、冶金设备、风电设备等重工况领域,例如:矿山破碎机轴承长期处于高粉尘、强冲击载荷环境,易引发磨粒磨损与疲劳剥落,且因粉尘侵入导致外圈早期点蚀,传统频谱分析难以在强噪声中识别早期故障。冶金连铸机轴承需承受高温、交变载荷等恶劣条件,油液监测常滞后于振动特征变化,轴承容易因润滑失效引发局部过热,振动信号中故障频率被机械谐波掩盖。同时,国内中小企业普遍存在故障样本稀缺问题,难以支撑深度学习模型训练。且国内大多数企业仍采用定期检修模式,导致过度维护或欠维护,从而使得成本大大增加。

为有效应对上述难题,现提出将最小包络熵与加权包络谱峭度这两种差异化指标,分别作为VMD算法和MCKD算法的目标函数。前者可以替代传统的平均包络熵,更敏感捕捉故障特征集中度。且动态调整惩罚因子α,适应不同工况下的信号带宽需求,如惩罚因子α较高的低速重载设备工况与惩罚因子α较低的高速轻载设备工况。后者通过对故障基频幅值加权,抑制无关频率干扰,提高故障频率的能量占比。借助WOA优化算法对相关参数展开寻优操作,以此促使VMD算法的降噪性能以及MCKD算法增强冲击成分的能力得以充分彰显,联合VMD-MCKD形成降噪-增强级联结构,以提升诊断效果,实现对滚动轴承的早期故障诊断,为保障旋转设备的可靠运行提供关键技术支撑。针对国内轴承“强噪声、小样本、多工况”的独特挑战,通过WOA优化算法双阶段参数优化与VMD-MCKD协同作用,实现从噪声抑制到特征增强的全流程创新,以帮助国内企业降本增效,减少维护成本与非计划停机时间,并且可以构建强噪声环境下的振动监测系统,支持中文界面与定制化算法,从而更加适配国内工业现场。其核心价值在于以低成本、高效能的方式解决工业实际问题,兼具技术突破与工程落地潜力,有望成为国内轴承智能诊断领域的关键,推动装备制造业向数字化、智能化转型。

1 基本原理

1.1 VMD算法

VMD是一种性能优异的信号分解^[13]方法,可以把多分量的信号进行一次性分解,将其拆解为数个单分量信号。该方法依据不同的中心频率和有限带宽特性,把原始信号分解成数个的本征模态分量(intrinsic mode function, IMF)。由于在分解过程中需要对各模态的带宽进行精确计算,因此引入式(1)来对约束变分条件予以精确描述。

(1)

$\underset{{u}_{k},{w}_{k}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\stackrel{N}{\sum _{k=1}}{\left({\partial }_{t}\left\{\left[\partial \left(t\right)+\frac{\mathrm{j}}{\mathrm{\pi }t}\right]{u}_{k}\left(t\right)\right\}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{w}_{k}t}\right)}_{2}^{2}\right)$

式(1)中:

${u}_{k}=\{{u}_{1},{u}_{2},\dots,{u}_{N}\}$

为各个模态分量的集合;

${w}_{k}=\{{w}_{1},{w}_{2},\dots,{w}_{N}\}$

为各模态分量中心频率集合;w_kt为第k个分量的时频相位项,描述该分量在时间t处的相位特性;

$\partial \left(t\right)$

为脉冲函数;u_k(t)为原始信号分解出第k个IMF的时域函数;

${\partial }_{t}$

为对时间t的偏导数算子。

借助拉格朗日乘子λ和二次罚项α的方法,把有约束变分问题化解成无约束变分问题。此时,增广拉格朗日量由式(2)表示。

(2)

$\begin{array}{l}({u}_{k},{\omega }_{k},\mathrm{\lambda })=\mathrm{\alpha }\stackrel{N}{\sum _{k=1}}{\left({\partial }_{t}\left\{\left[\partial \left(t\right)+\frac{\mathrm{j}}{\mathrm{\pi }t}\right]{u}_{k}\left(t\right)\right\}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{w}_{k}t}\right)}_{2}^{2}+\\ 　　{\left(f\left(t\right)-\stackrel{N}{\sum _{k=1}}{u}_{k}\left(t\right)\right)}_{2}^{2}+<\lambda \left(t\right),f\left(t\right)-\stackrel{N}{\sum _{k=1}}{u}_{k}\left(t\right)>\end{array}$

式(2)中:f(t)为原始输入信号;<>表示该符号内两个函数之间的内积运算。

依照交替方向乘数法,能够求解出无约束变分问题的鞍点。接着拉格朗日乘数λ、模式

${\hat{u}}_{k}$

和中心频率w_k通过式(3)~式(5)计算迭代。

(3)

${\hat{u}}_{k}^{n+1}\left(\mathrm{\omega }\right)\leftarrow \frac{\hat{f}\left(\omega \right)\sum _{i<k}\hat{u}\left(\omega \right)-\sum _{i<k}\hat{u}\left(\omega \right)+\frac{{\hat{\lambda }}^{n}\left(\omega \right)}{2}}{1+2\alpha (\omega -{\omega }_{k}^{n}{)}^{2}}$

(4)

${\omega }_{k}^{n+1}\leftarrow \frac{{\int }_{0}^{\infty }\omega {\left|{\hat{u}}_{k}^{n+1}\left(\omega \right)\right|}^{2}\mathrm{d}\omega }{{\int }_{0}^{\infty }{\left|{\hat{u}}_{k}^{n+1}\left(\omega \right)\right|}^{2}\mathrm{d}\omega }$

(5)

${\mathrm{\lambda }}^{\hat{\mathrm{n}}+1}\left(\omega \right)\leftarrow {\hat{\lambda }}^{n}\left(\omega \right)+\tau \left[\hat{f}\right(\omega )-\sum _{k}{\hat{u}}_{k}^{n+1}(\omega \left)\right]$

式中:

$\hat{u}\left(\mathrm{\omega }\right)、\hat{f}\left(\omega \right)、\hat{\lambda }\left(\omega \right)为u\left(\omega \right)、f\left(\omega \right)、\lambda \left(\omega \right)$

当前迭代的傅里叶变换结果,其中u(ω)为模态分量u(t)的频域形式,f(ω)为原始输入信号f(t)的频域形式,λ(ω)为拉格朗日乘子λ(t)的频域形式;n为迭代次数;

$\tau $

为设定的噪声容限;

${\omega }_{k}^{n}$

为第k个模态在第n次迭代时的中心频率;ω为频率;

${\hat{u}}_{k}^{n+1}$

为第k个模态在第n+1次迭代时的频域表示;←表示在迭代公式中的迭代更新操作,即将右侧的计算结果赋值给左侧变量,作为其第n+1次迭代更新值。

若达到条件式(6),则停止参数迭代。

(6)

$\stackrel{N}{\sum _{k=1}}\frac{{\left(({\hat{u}}_{k}{)}^{n+1}-({\hat{u}}_{k}{)}^{n}\right)}_{2}^{2}}{{\left(({\hat{u}}_{k}{)}^{n}\right)}_{2}^{2}}<\epsilon $

式(6)中:ε为设定的收敛误差阈值。

1.2 MCKD算法

MCKD算法在提取周期性冲击脉冲分量方面具有显著的有效性。从本质上讲,该算法旨在构建一个最为适宜的滤波器,以此来增强那些被噪声所掩盖的特征信号,使其能够更清晰地呈现出来^[14]。在实际的信号产生与传输场景中,假定存在初始信号

$s=[{s}_{1},{s}_{2},\dots,{s}_{n}],$

由于信号在传递过程中不可避免地会受到各种干扰因素的影响,因而会混入各类噪声成分。在此情况下,观测信号可通过特定的表达式来进行描述,即

(7)

$x=hs+\sigma $

式(7)中:x为输出信号;s为初信号;h为系统中的转移函数;σ为噪声干扰。

为了从观测信号中分离出原始周期脉冲信号,需要配置一个滤波器

$f=[{f}_{1},{f}_{2},\dots,{f}_{L}]。$

采用相关峭度最大值做适应度函数,进而搜索最优的滤波器。在初步分析时,先暂不考虑噪声的影响,此时其表达式为

(8)

$\mathrm{s}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{f}\mathrm{x}=\stackrel{L}{\sum _{k=1}}{f}_{k}{x}_{n-k+1}$

式(8)中:L为滤波器的长度;f_kx_n-k+1为对第n-k+1时刻的输入信号,以滤波器系数f_k为权重进行加权处理,是滤波操作的基本运算单元。

相关峭度CK_M(T)的数学式可以表示为

(9)

$C{\mathrm{K}}_{M}\left(\mathrm{T}\right)=\frac{\stackrel{N}{\sum _{n=1}}(\stackrel{M}{\prod _{m=0}}{s}_{n-mT}{)}^{2}}{(\stackrel{N}{\sum _{n=1}}{s}_{n}^{2}{)}^{M+1}}$

式(9)中:T为冲击信号周期;M为移位数;s_n为第n个时刻的振动信号样本;s_n-mT为第n-mT个时刻的振动信号样本,用于刻画不同移位时刻的信号取值。

要获取相关峭度的最大值,则需要对式(9)求导运算,可得

(10)

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{C}\mathrm{K}\left(T\right)}{\mathrm{d}{f}_{k}}=0,　k=\mathrm{1,2},\dots,L$

式(10)中:CK(T)为相关峭度,是用于量化振动信号中冲击特征的指标,突出信号中的周期性冲击。

通过对式(10)进行求解,能够得到滤波器的最优解,其表达式为

(11)

$\mathrm{f}=\frac{\left({\mathrm{s}}^{2}\right)}{2{\left(\beta \right)}^{2}}({X}_{0}{X}^{T}{)}^{-1}\stackrel{M}{\sum _{m=0}}{X}_{mT}{\alpha }_{m}$

式(11)中:

(12)

$\mathrm{\beta }=\left[\begin{array}{llll}{s}_{1}& {s}_{1-T}& \dots & {s}_{1-mT}\\ {s}_{2}& {s}_{2-T}& \dots & {s}_{2-mT}\\ ︙& ︙& & ︙\\ {s}_{n}& {s}_{n-T}& \dots & {s}_{n-mT}\end{array}\right]$

(13)

${\alpha }_{\mathrm{m}}=\left[\begin{array}{l}{s}_{1-mT}^{-1}[{s}_{1}^{2},{s}_{1-T}^{2}\dots {s}_{1-mT}^{2}]\\ {s}_{2-mT}^{-1}[{s}_{2}^{2},{s}_{2-T}^{2}\dots {s}_{2-mT}^{2}]\\ ︙\\ {s}_{n-mT}^{-1}[{s}_{n}^{2},{s}_{n-T}^{2}\dots {s}_{n-mT}^{2}]\end{array}\right]$

(14)X_mT=$\left[\begin{array}{lllll}{x}_{1-mT}& {x}_{2-mT}& {x}_{3-mT}& \dots & {x}_{n-mT}\\ 0& {x}_{1-mT}& {x}_{1-mT}& \dots & {x}_{n-1-mT}\\ 0& 0& {x}_{1-mT}& \dots & {x}_{n-2-mT}\\ ︙& ︙& ︙& & ︙\\ 0& 0& 0& \dots & {x}_{n-l-mT+1}\end{array}\right]$

该方法的具体步骤为:①配置相关参数L、M和T,并将这些参数代入,对观测信号的相关特征值

${X}_{0}{X}_{0}^{T}及{X}_{\mathrm{m}\mathrm{T}}$

进行计算;②对通过滤波器产生的信号s进行计算,并根据输出信号s求得β和α_m;③对滤波器f'进行迭代操作,检查输出的信号其相关峭度值CK_M(T)是否为最大值。若此时为最大值,那么就结束迭代操作,如果没有达到最大值,那么就重复上述操作。直到相关峭度值CK_M(T)达到最大,此刻的s值为最佳。

由上所述,MCKD的结果受参数L、M和T的作用比较显著。T的计算公式为

(15)

$T=\frac{{f}_{\mathrm{s}}}{{f}_{\mathrm{i}}}$

式(15)中:f_s为采样频率;f_i为故障基频。

1.3 基于WOA算法的VMD和MCKD参数优化

采用了WOA优化算法来对VMD算法中的参数α和K,以及MCKD算法中的参数L和M进行搜索寻优。流程图如图1所示。流程图如图1所示。对于VMD算法来说,采用包络熵极小值作为适应度函数。从理论上来说,包络熵的数值越小,意味着信号中的故障特征信号成分越丰富,即信号的特征信息更为突出和集中。对于MCKD算法来说,则采用加权包络谱峭度(weighted envelope spectrum kurtosis,W_ESK)极大值作为^[15]适应度函数,有效提升故障特征的可辨识度,为后续的故障诊断提供更具价值的信号特征依据。

(16)

$\left\{\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{p}}=-\stackrel{N}{\sum _{i=1}}\epsilon \left(i\right)\mathrm{l}\mathrm{g}\epsilon \left(i\right)\\ \epsilon \left(i\right)=\frac{a\left(i\right)}{\stackrel{N}{\sum _{i=1}}a\left(i\right)}\end{array}\right.$

式(16)中:a(i)为初始信号;x(i)为包络谱中的包络信号;ε(i)为a(i)归一化后的结果;N为初始信号x(i)的尺度。

信号x(i)的加权包络谱峭度W_ESK的计算式为

(17)

${W}_{\mathrm{E}\mathrm{S}\mathrm{K}}=\omega {E}_{\mathrm{S}\mathrm{K}}$

式(17)中:

(18)

$\mathrm{\omega }=\frac{\stackrel{M}{\sum _{i=1}}{X}_{i}^{2}}{\stackrel{N}{\sum _{j=1}}{X}_{j}^{2}}$

(19)

${E}_{\mathrm{S}\mathrm{K}}=\frac{\stackrel{K}{\sum _{k=1}}{\left|\overline{{S}_{\mathrm{E}}\left(k\right)}\right|}^{4}}{{\left[\stackrel{K}{\sum _{k=1}}{\left|\overline{{S}_{\mathrm{E}}\left(k\right)}\right|}^{2}\right]}^{2}}$

式中:X_i为包络谱内i倍故障基频对应的幅度;X_j为包络谱内的信号序列;S_E为信号包络谱;k为包络谱中采样点的个数。

包络谱峭度从本质上讲,它表征了包络谱中故障特征频率在全频段能量中所占的比重,在信号处理中发挥着类似滤波的效果,有助于突出与故障相关的频率成分,抑制其他干扰频率。故适应度函数采用最大加权包络谱峭度。

在鲸鱼群体的狩猎行为中,单体鲸鱼主要采用两类独特的捕食方法。其一为直接对猎物实施包围动作,通过群体协作缩小猎物的活动空间,进而实现捕猎;其二是进行环形游动,在游动过程中生成大量气泡,这些气泡逐渐汇聚形成气泡网,鲸鱼借助气泡网的阻隔作用,将猎物驱赶至气泡网的中心区域,以便更高效地捕获猎物。基于鲸鱼的这两种捕食策略,衍生出了相应的算法,其步骤具体如下所述。

步骤1 对WOA算法中鲸鱼个体数量、坐标、迭代次数等参数进行配置,第i个鲸鱼坐标为

(20)

${X}_{i}=r({u}_{\mathrm{b}}-{l}_{\mathrm{b}})+{l}_{\mathrm{b}}$

式(20)中:

$r\in \left[\mathrm{0,1}\right],$

即取值范围内的随机数;X_i表示第i个鲸鱼个体的坐标,其取值范围为[l_b,u_b];l_b、u_b分别为参数搜索范围的下区间和上区间。

步骤2

$\left|A\right|<1$

且p<0.5时,算法以式(21)进行计算寻优。

(21)

$\left\{\begin{array}{l}X=\left|C{X}^{\mathrm{*}}\left(\lambda \right)-X\left(\lambda \right)\right|\\ X(\lambda +1)={X}^{\mathrm{*}}\left(\lambda \right)-AD\\ A=2a{r}_{1}-{a}_{1}\\ C=2{r}_{2}\\ a=2-2\frac{\lambda }{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}\end{array}\right.$

式(21)中:r₁、r₂、p为[0,1]内的随机值;λ为当前迭代次数;λ_max为迭代次数的最大值;X(t)为目前解的坐标;X^*(t)为目前最佳解的坐标;A、C为一定区间范围[-2,2]内的随机数。

步骤3

$\left|A\right|\ge 1$

且p<0.5时,WOA以式(22)进行计算搜索,并对位置进行迭代。

(22)

$\left\{\begin{array}{l}D=\left|C{X}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}-X\left(\lambda \right)\right|\\ X(\lambda +1)={X}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}-AD\\ A=2a{r}_{1}-{a}_{1}\\ C=2{r}_{2}\\ a=2-2\frac{\lambda }{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}\end{array}\right.$

式(22)中:X_rand为从当前种群中随机选中的鲸鱼个体在当前迭代次数的位置。

步骤4

$p\ge 0.5$

时,WOA以式(23)螺旋收缩方式进行计算迭代。

(23)

$\left\{\begin{array}{l}X(\lambda +1)=D{\mathrm{e}}^{bl}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(2\mathrm{\pi }l\right)+{X}^{\mathrm{*}}\left(\lambda \right)\\ D=\left|{X}^{\mathrm{*}}\left(\lambda \right)-X\left(\lambda \right)\right|\end{array}\right.$

式(23)中:D为当前个体位置和猎物位置即当前最优解的距离;b为定义螺旋形状的常数;

$l\in [-\mathrm{1,1}]$

的随机数;X^*(λ)为第λ次迭代时的当前最优解,即截至第t次迭代,所找到的最优位置。

步骤5 如果λ>λ_max停止更新,此时则为理想解,如果未达到λ>λ_max条件,从步骤2再操作。

利用WOA优化算法优化VMD算法,目标函数O₁是包络熵E_p极小值,如式(24)所示。WOA优化算法优化MCKD算法时,目标函数O₂是加权包络谱峭度W_ESK极大值,如式(25)所示。

(24)

${O}_{1}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{{E}_{\mathrm{p}}\right\}$

(25)

${O}_{2}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{W}_{\mathrm{E}\mathrm{S}\mathrm{K}}\right\}$

进行搜索寻优,即

(26)

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{{O}_{1}\right\}\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{O}_{2}\right\}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.{l}_{\mathrm{b}}\le alpha,L\le {u}_{\mathrm{b}}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.{l}_{\mathrm{b}}\le K,M\le {u}_{\mathrm{b}}\end{array}\right.$

2 故障诊断流程

对于被强背景噪声影响的滚动轴承早期故障特征不易获取的难题,采用WOA优化算法。对于VMD中的分解层数K以及惩罚因子α的参数选择问题,VMD的目标函数选取最小包络熵寻找最优参数,而对于MCKD中常数M与滤波器长度L的参数选择问题,MCKD的目标函数则选取最大加权包络熵寻找最优参数,能够有效地增强故障周期冲击,抑制干扰谐波成分,增强故障诊断效果。整体的故障诊断步骤流程如图2所示。具体步骤如下。

步骤1 计算VMD中的最优解[K,α],设定参数寻优范围为K∈[2,12],α∈[100,10 000],采用WOA优化算法寻找VMD最优参数组合,目标函数为包络熵极小值。

步骤2 对故障信号以最优解[K,α]进行VMD分解^[16],算出各模态分量的峭度值以及与原故障信号的相关系数,从而进一步算出加权相关峭度,接着在里面选出前两个较大加权相关峭度指标的分量重构作为重构信号。

步骤3 对重构信号进行包络解调,在包络谱中看到幅值最高最明显突出的谱线所对应的频率为故障频率基频f_i,可以根据式(15)得到MCKD中参数T的取值。

步骤4 确定MCKD中的最佳参数组合[L,M],设定参数寻优范围为L∈[50,1 000],采用WOA优化算法寻找MCKD最优参数组合,目标函数为加权包络谱峭度极大值。

步骤5 对重构信号使用最佳参数组合[L,M]进行MCKD分解,增强故障周期冲击成分,抑制谐波干扰,接着并对MCKD分解后的信号进行包络解调。

步骤6 把包络谱中幅值突出的谱线所对应的频率和故障特征频率及其多倍频进行比对,可以看到频率所对应的故障部位,以此实现故障诊断。

3 故障仿真信号分析

建立滚动轴承仿真故障模型来模拟外圈故障,因使其更加接近真实故障情况,故其中包含有随机冲击、谐波干扰以及高斯白噪声,仿真信号故障模型为

(27)

$\begin{array}{l}\mathrm{x}\left(\mathrm{t}\right)=\stackrel{l}{\sum _{i=1}}{A}_{i}{s}_{i}(t-i{T}_{\mathrm{a}})+\stackrel{M}{\sum _{m=1}}{C}_{m}{s}_{m}(t-m{T}_{\mathrm{C}})+\\ \stackrel{K}{\sum _{k=1}}{P}_{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\mathrm{\pi }{f}_{k}t+{\theta }_{k})+n\left(t\right)\end{array}$

式(27)中:

$\stackrel{l}{\sum _{i=1}}{A}_{i}{s}_{i}(t-i{T}_{\mathrm{a}})$

为周期性^[17]故障冲击,由轴承内圈故障产生;

$\stackrel{M}{\sum _{m=1}}{C}_{m}{s}_{m}(t-m{T}_{\mathrm{C}})$

为随机冲击,由随机的背景噪声与电磁扰动等不确定性情况产生;

$\stackrel{K}{\sum _{k=1}}{P}_{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\mathrm{\pi }{f}_{k}t+{\theta }_{k})$

为谐波干扰成分;n(t)为噪声干扰,由高斯白噪声来模拟;t为信号的时间维度,用于刻画信号随时间的变化过程;T_a为周期性冲击的周期;iT_a为第i次周期性冲击发生的时间点;C_ms_m为第m个随机冲击的信号形式;mT_C为第m个随机冲击的时间点;P_k为第k个谐波分量的幅值;f_k为第k个谐波分量的频率;θ_k为第k个谐波分量的初始相位。

在构建的仿真模型中,s(t)为脉冲响应函数,t为故障周期,即连续故障冲击的时差。

(28)

$s\left(t\right)={\mathrm{e}}^{-{\beta }_{\mathrm{n}}t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\mathrm{\pi }{f}_{\mathrm{n}}t+\varphi )$

式(28)中:f_n为共振频率;β_n为阻尼系数;

$\varphi $

为脉冲响应函数的相位。

在构建的故障仿真模型中,包含一系列比较重要的参数值。其中,采样频率被设定为12 kHz,样本长度为12 000个数据点。对于外圈故障、随机冲击现象,其共振频率f_n分别设置为2 000 Hz和4 000 Hz,相对应的阻尼系数β_n分别为0.1和0.15,

$\varphi $

为脉冲响应函数的相位;A_i为轴承外圈的第i个故障冲击的振幅,它遵循均匀分布的规律,分布区间为

$U\in $

[1.6,2.2]。f_o为故障频率,其值为120 Hz,f_r为转频,其值为25 Hz;M为随机冲击的次数,其值为2。K为谐波分量,表1详细罗列了谐波分量的关键参数(P_K、f_K、θ_K,其中K=1,2,3),即各次谐波的幅值、频率以及相位。此外,所引入的高斯白噪声干扰为-5 dB。仿真信号与其各个组成成分的具体情况如图所示,图3~图7分别为故障冲击信号、随机冲击信号、谐波干扰信号、噪声信号与最终生成的仿真信号。

为营造出接近真实的轴承工作情形,特意叠加了-5 dB的高斯白噪声^[18]来形成干扰效果,以此模拟强噪声环境。添加-5 dB噪声后的故障仿真信号的时域图,如图7(a)所示,噪声对有效信号产生了深度的不良影响,淹没了故障冲击信号,使得故障冲击成分在强背景噪声的干扰下难以分辨,信号内的故障脉冲序列基本被噪声所覆盖,难以捕捉其踪迹。故障仿真信号的频谱图和包络谱图,如图7(b)与图7(c)所示,可知包络谱中的谱线分布杂乱无章,未能呈现出明显的故障特征频率与信息。

强背景噪声的干扰使得信号的特征频率及其倍频被完全掩盖,难以通过现有图谱进行有效识别。

为有效处理仿真故障信号,采用所提出的WOA-VMD-MCKD方法。借助WOA优化算法对VMD的参数α和K进行最优搜索。在此过程中,将WOA优化算法的种群规模与最大迭代次数分别设定为100、20。种群规模与最大迭代次数的参数设置是通过相关文献以及相关评估指标如每次算法运行得到的最优解、平均解和收敛速度。最优解可以反映算法找到的最佳结果,平均解能体现算法的整体性能,收敛速度则通过记录算法达到一定精度要求所需的迭代次数来衡量。其中,对于种群规模数量来说,当种群数量从50增加到100,最优解质量提高了25%,平均解的标准差降低了40%,迭代次数也减少了20%。同时,对于迭代次数的参数设置来说,当迭代次数从10增加到20时,最优解提高了15%,平均解也有明显改善,这表明增加迭代次数对提高解的质量有帮助。迭代次数为10时,算法收敛到一个局部最优解,而迭代次数增加到20时,算法成功跳出局部最优,找到了更优的解,但当迭代次数增加到40时,解的质量提升不明显,且计算时间大幅增加。故需要根据需求,使得算法的参数设置能够在解的质量、稳定性与计算效率之间取得较好的平衡。适应度函数,选定为包络熵的极小值。α的寻优区间设定为[0,10 000],K的寻优区间则为[2,10],利用^[19]MATLAB2024a软件进行数据处理。经搜索,最终得到的最优参数组合为[87,5]。基于此,将VMD分解的参数确定为α=87,K=5,进而对仿真故障信号实施VMD分解操作,以提取其中的故障特征。VMD分解所得到的各IMF的加权相关峭度数值结果列于表2中,其中加权相关峭度为峭度与相关系数的乘积。

由表2可知,IMF2和IMF5的加权相关峭度比较优秀,故选取这两个分量进行重构。从图8(a)和图8(b)所展示的重构信号时域图与频谱图中可以看出,与之前的图谱进行细致对比后,能够发现经过WOA-VMD分解后,信号发生了显著变化。原本信号中存在的大量毛刺得到了有效抑制,同时噪声频带的范围也大幅缩减。这一现象充分表明,WOA-VMD分解在降噪方面效果显著,尤其是在中高频区域,众多噪点已被成功消除,这意味着大部分中高频噪声已被有效滤除。然而,尽管降噪效果突出,但信号中仍残留有一定程度的噪声。图8(c)为经过参数优化的VMD分解后的重构信号的包络谱图。将幅值极值对应的频率f_i为参考故障基频,得出f_i=120 Hz,由式(15)得到MCKD算法参数T;为实现对MCKD算法参数的优化,以WOA优化算法对其参数L和M进行寻优搜索。在WOA优化算法的初始参数设置中,种群数量是设定到100,最大迭代次数设定到20,其参数优化的目标函数选定为加权包络谱峭度极大值。对于参数L的搜索范围设定在区间[10,600]内,参数M的搜索范围设定在区间[1,8]内,通过WOA优化算法的运算搜索,最终确定了最理想的参数组合是[274,4],所以MCKD算法的确切参数是L=274,M=4,T=100。接下来,将经过VMD分解处理的重构信号输入MCKD中进行滤波分析,旨在进一步增强重构信号中的故障特征。得到重构信号经MCKD算法后的时域图与频谱图如图9(a)和图9(b)所示。最后,对该信号实施Hilbert包络解调操作,以此来得到故障结果。经过一系列处理后,获取的信号包络谱图如图9(c)所示。可以清晰且直观地看到,故障频率所对应的谱线极为明显,相较于其他谱线具有突出的表现。凭借这一显著特征,能够轻而易举地识别出故障的特征频率,以及其对应的多个倍频成分。这一结果有力地证明了所提出的故障诊断方法在实际应用中能够准确、有效地识别故障特征,充分验证了该诊断方法的有效性和可靠性。

4 实测信号分析

为探究本文方法在试验数据集中的效果,选择了凯斯西储大学所公开的滚动轴承故障模拟平台^[20]的试验数据。图10为该试验平台的结构布局。在电机的驱动端^[21]处,加装SKF6205-2RS型号的深沟球轴承,此轴承的具体参数如表3所示。在制造故障方面,使用电火花加工技术来设置所需的故障情况。试验期间,电机保持着1 797 r/min的转速稳定运行,同时设定采样频率保持在12 kHz,对12 000点实验研究。电机的转频f_r与内圈故障特征频率f_i的数学表达式为

(29)

$\left\{\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{r}}=\frac{v}{60}\\ {f}_{\mathrm{i}}=0.5Z\left(1+\frac{d}{D}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta \right){f}_{\mathrm{r}}\end{array}\right.$

式(29)中:v为电动机转速。

根据表3所呈现的各项参数,通过式(29)进行严谨计算,可得出内圈故障特征频率的理论数值为f_i=159.93 Hz。

4.1 实测轴承内圈故障诊断

为营造出接近轴承工作的真实场景,在试验信号的基础上额外叠加了-5 dB的噪声干扰。原始内圈试验信号其时域图、频谱图与包络谱图,如图11所示。添加-5 dB高斯白噪声后的内圈信号的时域图、频谱图和包络谱图,如图12所示。通过对这些图谱的细致观察和分析可以发现,在添加噪声后,原本可寻的故障特征已难以辨识。具体表现为故障特征,彻底被电机的转频与倍频成分,加上噪声干扰所形成的频带所遮蔽。这使得基于当前信号进行故障诊断变得极为困难,甚至无法实现。此外,图谱中噪点大量密集分布,直观地表明了此时信号中所含噪声量较大,对信号的质量和后续分析造成了严重干扰。

首先以WOA优化VMD参数α、K,数据处理采用MATLAB2024a。在WOA优化算法的初始参数设定中,种群规模设定为100,最大迭代次数设定为20,参数优化的目标函数,即适应度函数设定为包络熵极小值。参数α的搜索区间设定在[0,10 000]范围内,参数K的搜索区间设定在[2,10]范围内,最优参数组合为[2 278,6],故设置α=2 278,K=6。VMD算法中的惩罚因子α主要用于平衡分解结果的准确性和模态混叠现象,其取值范围[100,10 000]跨度较大是有其合理性的。首先,从信号特征的适应性上看,不同的信号具有不同的特征,包括频率范围、噪声水平以及成分复杂程度等。对于频率成分较为简单、噪声水平较低的信号,较小的α就足以实现较好的分解效果,此时算法不需要过于严格地约束分解过程,就能准确地分离出各个模态分量。但对于频率成分复杂、存在较强噪声干扰或模态之间差异较小的信号,较大的α可以增强算法对信号的约束能力,使得分解结果更准确,有效避免模态混叠,从而更好地适应各种不同类型的信号分解需求。其次,在避免局部最优方面,较小的α更容易陷入局部最优,较大的α虽增加了搜索难度,但也减少了局部最优的可能性。通过在[100,10 000]这样一个较大的范围内调整α,可以根据具体信号的特点和算法的运行情况,选择合适的α值,以在避免局部最优和获得准确分解结果之间取得平衡。最后从算法稳定性与收敛性上来看,α越大虽然稳定性会增强但收敛速度也会变慢,仍然需要找到一个平衡,故α的参数搜索范围设置在[100,10 000]是有必要的。通过上述参数设置的VMD进行分解,得到各个IMF的加权相关峭度^[22]如表4所示,通过对结果的计算和分析可知,选取IMF1与IMF6进行信号重构。

重构信号的时域图如图13(a)所示。从图13(a)可以清晰地看到,故障冲击的特征显著呈现,同时信号中的噪点数量大幅减少,幅度大幅降低。这一现象充分表明,降噪成效显著,能够有效去除信号中的噪声干扰,凸显出信号的关键特征。重构信号的频谱图与包络谱图分别如图13(b)和图13(c)所示。通过仔细观察不难发现,相较于去噪之前,频谱图中的谱线以及包络谱图中的包络线都变得清晰了许多。在包络谱图中,选择幅值峰值所对应频率作为故障特征基频,可以看出在160附近。随后,依照相关式(12)对MCKD的参数T进行计算,最终得出T=75的结果。

利用WOA优化MCKD,在WOA算法的初始参数设定中,种群规模设为100,最大迭代次数为20,在对参数进行寻优的过程中,设定参数L的搜索区间处于[10,600],参数M的搜索区间在[1,8],经过寻优最终确定了最优参数组合为[386,4]。基于此,将重构信号输入MCKD算法中,并按照所得的最优参数进行设置,即L=386,M=4。经参数优化后的MCKD算法处理后,得到的信号时域图如图14(a)所示。能够明显看出,相较于仅经过VMD分解重构后的信号,此时的降噪效果^[23]得到了进一步提升,故障特征更加明显。此外,经MCKD算法处理后的信号频谱图与包络图分别如图14(b)和图14(c)所示。故障的特征频率及其倍频成分清晰可见,这表明经过MCKD算法的处理,信号中的故障特征得到了有效地增强和凸显,故可以确定滚动轴承故障位置在轴承内圈。接着,用WOA-CEEMDAN-MCKD方法以及WOA-VMD-OMEDA^[24]方法与本文方法做对比,其结果分别如图15所示。从对比中可以看出本文方法得到的结果可以清晰看到故障基频与多倍频,无干扰成分并且杂波幅值很小。图15(a)中则是干扰成分很多,影响了对故障特征频率的判断。而在图15(b)中,可以看到基频和一些倍频,但也存在干扰成分,且杂波密集幅值也都较大。综合对比发现,最终效果都不如本文方法。

4.2 实测轴承外圈故障诊断

为更接近轴承工作的真实环境,模拟强背景噪声干扰场景,在已知试验信号基础上额外叠加-5 dB的高斯白噪声,便于后续对信号处理方法的性能进行更严格的测试与评估。原始外圈信号的时域图、频谱图以及包络谱图分别如图16所示。当对信号添加了-5 dB的高斯白噪声后,其外圈信号所对应的时域图、频谱图与包络谱图如图17所示。从图17可以清晰地观察到,故障特征难以被准确辨识。具体而言,故障特征频率及其倍频成分已被噪声干扰频带完全覆盖,使得故障诊断难以进行。此外,图17中存在大量噪点,这充分表明信号中含有较高的噪声,严重影响了信号的质量和故障特征的提取。

采用WOA优化VMD参数α和K,采用MATLAB2024a处理相关数据内容。同时,对WOA优化算法的初始参数进行设置,种群规模设定为100,最大迭代次数为20,参数优化的目标`函数,也就是适应度函数,设定为包络熵极小值,参数α的搜索区间在[0,10 000],K的搜索区间在[2,10],最优参数组合为[1 857,5],故设置参数α=1 857,K=5,通过上述参数设置的VMD进行分解,得到各个IMF的加权相关峭度如表5所示,可知选取IMF2和IMF4进行信号重构。

利用WOA优化MCKD,WOA算法的种群规模设为100,最大迭代次数为20,参数L的搜索区间设定在[10,600],M的搜索区间设定在[1,8]。通过WOA优化算法的寻优,最终确定的最优参数组合为[352,4]。将重构信号采用MCKD算法进行处理,按照最优参数设置,L=386,M=4。经过参数优化的MCKD算法处理所得信号的时域图,如图19(a)所示,可以明显看到降噪效果比VMD分解重构后的效果更好。进一步对经过MCKD算法处理后的信号进行分析,其频谱图与包络图分别如图19(b)和图19(c)所示。在图19(c)包络谱图中,滚动轴承故障的特征频率及其倍频特征十分明显,基于这些特征频率的分析结果,可以确切地判定该滚动轴承的故障位置位于轴承外圈。接着,分别采用WOA-CEEMDAN-MCKD、WOA-VMD-OMEDA方法与本文方法做对比,其结果分别如图20所示。从对比中可以看出本文方法得到的结果可以清晰看到故障基频与多倍频,无干扰成分并且杂波幅值很小。图20(a)中则是存在一定的干扰成分,并且更高倍频并没有在图中呈现。而在图20(b)中,可以看到基频和一些倍频,但是也存在干扰成分,且杂波密集幅值也都较大,高倍频的谱线与杂波混叠在了一起,无法辨认。综合对比发现,最终效果都不如本文方法。

5 结论

(1)所提出的基于鲸鱼优化算法(WOA)、变分模态分解(VMD)以及最大相关峭度解卷积(MCKD)算法相结合的滚动轴承故障诊断方法,在强背景噪声的复杂环境中展现出了卓越的性能。此算法组合可以有效地得到滚动轴承的故障信息,从而完成对轴承故障的精准诊断。通过对仿真信号以及实测信号的深入分析,结果表明:在强背景噪声干扰的复杂工况下,本文方法能够精确捕捉并提取出滚动轴承所产生的微弱故障特征信息。其抗干扰能力与泛化能力较强,在于强背景噪声下的噪声鲁棒性与适配内圈、外圈等故障部位的泛化能力。即使故障特征信号被噪声所掩盖,该方法依然表现出色。

(2)VMD具备出色的噪声抑制能力,能够有效分离和提纯信号中的有用成分。而MCKD算法则在加强信号的周期冲击特征方面表现优异。在强背景噪声环境且其他条件相同的情况下,这两种算法的协同作用能够显著提升滚动轴承故障诊断的效果,为准确识别故障提供了有力支持。

(3)在VMD算法中,参数α和K的取值,以及MCKD算法中参数L和M的设定,对滚动轴承故障诊断的结果有着至关重要的影响。为了优化诊断效果,采用WOA,以包络熵极小值作为目标函数来搜索VMD算法的最优参数值,同时以加权包络谱峭度极大值作为目标函数来确定MCKD算法的最优参数值。通过这种方式,能够显著提高故障诊断的准确性和可靠性,能够有效提高诊断效果。

(4)在强背景噪声环境下,通过实验对比和数据分析发现,基于WOA、VMD以及MCKD算法的滚动轴承故障诊断方法组合WOA-VMD-MCKD,在故障特征提取和故障诊断的准确性方面,明显优于基于WOA、CEEMDAN以及MCKD算法的组合WOA-CEEMDAN-MCKD,以及基于WOA、VMD和OMEDA算法组合WOA-VMD-OMEDA。

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