融合多策略改进的北方苍鹰优化算法及应用

龙文; 徐文敏; 徐明

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2501818

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (5) :2037-2050 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2501818

自动化技术、计算机技术

融合多策略改进的北方苍鹰优化算法及应用

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Multi-strategy Improvement Northern Goshawk Optimization Algorithm and Applications

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摘要

经典北方苍鹰优化(northern goshawk optimization,NGO)算法在处理多峰和高维问题时,易陷入局部最优、收敛速度较慢且种群多样性不足。提出一种多策略融合改进的北方苍鹰优化算法。改进算法引入Lévy飞行增强探索阶段的全局搜索能力,避免陷入局部最优;设计精英解指导与动态变异策略以提升开发能力和收敛效率。将INGO与其他8种优化算法在18个CEC2017测试函数上进行实验对比,并使用Wilcoxon秩和检验与Friedman检验进行统计测试。实验结果表明,INGO在寻优精度、收敛速度以及稳定性方面表现优异。最后将INGO应用于求解非线性方程组和2个典型工程优化问题,表明所提算法能有效解决实际优化问题。

Abstract

Classical northern goshawk optimization (NGO) algorithms tends to fall into local optima, slow convergence and insufficient diversity when dealing with multimodal and high-dimensional problems. To address this issue, an improved NGO (INGO) algorithm was proposed. The Lévy flight was introduced to enhance global search capability in exploration phase and prevent fall into local optima. Elite solution guidance and dynamic mutation were designed to boost exploitation ability and convergence efficiency. 18 CEC2017 benchmark functions were selected to test the performance of INGO and other eight optimization algorithms. Additionally, statistical tests were performed by using the Wilcoxon rank sum test and Friedman test. The experimental results reveal that INGO performs well in terms of search precision, convergence speed and robustness. Finally, INGO was applied to solve nonlinear equation systems and two typical engineering optimization problem. The results show that the proposed algorithm can effectively address practical optimization problems.

Graphical abstract

关键词

北方苍鹰优化算法 / Lévy飞行 / 非线性方程组 / 工程应用

Key words

northern goshawk optimization algorithm / Lévy flight / nonlinear equation system / engineering application

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龙文, 徐文敏, 徐明. 融合多策略改进的北方苍鹰优化算法及应用[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(5): 2037-2050 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2501818

LONG Wen, XU Wen-min, XU Ming. Multi-strategy Improvement Northern Goshawk Optimization Algorithm and Applications[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(5): 2037-2050 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2501818

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传统方法在解决复杂优化问题时,常面临精度不足、成本高昂和计算时间过长等不足^[1]。为了解决这些局限性,智能优化算法应运而生。这类算法通过模拟个体间的交互作用和集体协作机制,能有效解决高维、非线性和多峰问题,不依赖于目标函数的可微性和凸性。例如,粒子群优化算法、飞蛾扑火优化算法、鲸鱼优化算法^[2]、灰狼优化算法^[3]、海马优化算法^[4]和变色龙优化算法^[5]已广泛应用于工程优化^[6]、机器学习、数据挖掘^[7]、医学图像分类和特征选择^[8]等领域。

2021年,Dehghani等^[9]提出了北方苍鹰优化算法(northern goshawk optimization, NGO),其通过模拟北方苍鹰在捕猎过程中的行为来实现优化求解过程。NGO算法以其快速收敛、少量控制参数和较强的鲁棒性,在处理特定优化问题时表现出独特的优势。与传统的群体智能优化算法相比,NGO更擅长平衡全局搜索与局部开发,能够在潜在的最佳搜索区域进行深度细致搜索^[10],从而提升优化效果。然而,NGO仍存在以下局限:初始解的随机分布不均可能导致个体质量差异,影响搜索多样性,错失潜在最优解;引入的随机变异因子可能增加算法的随机性,减缓收敛速度;快速的猎物追踪行为可能导致过早收敛到局部最优解。这些问题影响了NGO的全局搜索能力和优化效果。为了解决这些问题,学者们提出了多种改进方案。例如,Yang等^[11]提出的ICEEMDAN-NGO-LSTM模型在径流预测中显著提升了短期预测的准确性;胡坤等^[12]通过结合多种策略改进了NGO算法,增强了种群多样性,并优化了搜索机制;张轲钦等^[13]通过拉丁超立方抽样和正态云模型改善了种群初始化,并结合动态位置调整和柯西变异策略,进一步提升了NGO的全局搜索性能。尽管这些改进在一定程度上提高了NGO的优化精度和收敛速度,但在处理高维复杂问题时,仍容易陷入局部最优解。为了解决这一问题,现提出一种改进的北方苍鹰优化算法(INGO)。旨在进一步提升算法的全局搜索能力、局部开发效率以及整体稳定性。主要改进如下:在探索阶段引入Lévy飞行策略,利用其重尾分布的跳跃特性,有效增强种群跳出局部极值的能力,提升全局搜索性能与搜索多样性,降低陷入局部最优的风险。在开发阶段引入精英解指导策略与动态变异策略,通过精英引导机制促使个体朝向最优解快速收敛,显著提高搜索精度与收敛效率;同时,动态变异策略根据迭代进程自适应调节扰动幅度,保持种群多样性,防止早熟收敛,进一步增强局部开发能力与跳跃搜索能力。在多个典型问题上系统验证改进算法的有效性与鲁棒性。在CEC2017测试函数集上将INGO算法与多种其他智能优化算法的性能进行系统比较,结合Wilcoxon秩和检验进行统计显著性分析;此外,将INGO成功应用于非线性方程组求解与典型工程优化问题,这两类问题具有非线性强、约束复杂、搜索空间复杂等特点,全面验证INGO在不同问题类型上的优越性能与应用潜力。通过改进算法及验证,以期在理论设计与应用效果上均体现出创新性与优越性。

1 北方苍鹰优化算法(NGO)

1.1 NGO算法的起源

NGO算法的灵感来自北方苍鹰的狩猎过程,苍鹰是一种食肉猛禽,利用其敏锐的视觉和快速的飞行速度在森林中捕食小鸟、啮齿动物和兔子。这种捕食者以其凶猛、准确和速度而闻名,其爪子具有致命的冲击力。狩猎过程包括两个阶段:第一阶段,北方苍鹰在识别猎物后会迅速攻击猎物;第二步,继续追逐并杀死猎物。

1.2 NGO算法的数学模型

1.2.1 初始化过程

北方苍鹰优化算法NGO包含物识别和抓捕两个阶段。每只苍鹰都是搜索空间中的一个粒子,表示当前问题的可行解,其位置表达式为

(1)X=${\left[\begin{array}{l}{X}_{1}\\ ︙\\ {X}_{i}\\ ︙\\ {X}_{N}\end{array}\right]}_{\mathrm{N}\times m}$=${\left[\begin{array}{lllll}{x}_{\mathrm{1,1}}& \dots & {x}_{1,j}& \dots & {x}_{1,m}\\ ︙& \ddots & ︙& \ddots & ︙\\ {x}_{i,1}& \dots & {x}_{i,j}& \dots & {x}_{i,m}\\ ︙& \ddots & ︙& \ddots & ︙\\ {x}_{N,1}& \dots & {x}_{N,j}& \dots & {x}_{N,m}\end{array}\right]}_{N\times m}$

式(1)中:X为搜索代理的种群矩阵;X_i为种群矩阵的第i行;即第i个搜索代理的解向量;x_i_,_j为由第i个解指定的第j个变量的值;N为种群成员的数量;m为问题变量的数量。

苍鹰与猎物之间的匹配程度用目标含函数值衡量,表达式为

(2)F(X)=$\left[\begin{array}{l}F\left({X}_{1}\right)\\ \begin{array}{l}︙\\ F\left({X}_{i}\right)\\ ︙\end{array}\\ F\left({X}_{N}\right)\end{array}\right]$∈R^N^×1

式(2)中:F(X)为种群的目标函数值向量;F(X_i)为将向量X_i输入目标函数后得到的标量适应度值。

1.2.2 探索阶段

在第一阶段,北方苍鹰通过随机选择猎物并迅速发起攻击,由于猎物的选择在搜索空间内是随机进行的,这一过程有效增强了NGO算法的搜索能力。通过这个过程,空间被彻底探索,以确定全球最佳区域,其数学模型表达式为

(3)P_i=X_k,i=1,2,…,N,k=1,2,…,i-1,i+1,…,N

(4)${X}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{new,\mathrm{p}1}$=$\left\{\begin{array}{ll}{\mathrm{x}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}+r({\mathrm{p}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}-I{\mathrm{x}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}),& {F}_{\mathrm{p}\mathrm{i}}<{F}_{i}\\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}+r({\mathrm{x}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}-{\mathrm{p}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}),& {F}_{\mathrm{p}\mathrm{i}}\ge {F}_{i}\end{array}\right.$

(5)X_i=$\left\{\begin{array}{ll}{X}_{i}^{new,\mathrm{p}1},& {F}_{i}^{new,\mathrm{p}1}<{F}_{i}\\ {X}_{i},& {F}_{i}^{new,\mathrm{p}1}\ge {F}_{i}\end{array}\right.$

式中:P_i为第i个猎物的位置;X_k为种群矩阵X的第k个个体(第k行), k表示区间[1,N]中的随机自然数, F_pi为目标函数值;

${X}_{i}^{new,\mathrm{p}1}$

为第i个解的状态;

${X}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{new,\mathrm{p}1}$

为第j维、第i个解的状态;

${F}_{i}^{new,\mathrm{p}1}$

为第一阶段的目标函数值;r为随机数,取值范围为[0,1];I为阶段选择标识,为1或2。

1.2.3 开发阶段

第二阶段,北方苍鹰攻击猎物后,猎物试图逃跑。但它也可以追逐猎物并最终捕获猎物,模拟这种行为提高了算法对搜索空间的局部探索能力。假设追逐范围接近半径R的距离,数学模型表达式为

(6)${x}_{i,j}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w},p2}$=x_i_,_j+R(2r-1)x_i_,_j

(7)R=0.02$\left(1-\frac{t}{T}\right)$

(8)X_i=$\left\{\begin{array}{ll}{X}_{i}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w},p2},& {F}_{i}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w},p2}<{F}_{i}\\ {X}_{i},& {F}_{i}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w},p2}\ge {F}_{i}\end{array}\right.$

式中:t和T为当前迭代和最大迭代次数;

${X}_{i}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w},p2}$

为第i个解的状态;

${x}_{i,j}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w},p2}$

为第j个维度、第i个解的状态;

${F}_{i}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w},p2}$

为第二阶段的目标函数值。

在探索阶段,北方苍鹰搜索猎物的随机方式使用式(3) 。第j个维度的搜索代理的新位置由式(4)计算,并且第i个个体的位置使用式(5)。在开发阶段,使用式(6)更新R。式(7)计算并更新第j维搜索代理的新位置,以及式(8)更新第i个个体的位置。

2 改进的北方苍鹰优化算法(INGO)

尽管NGO算法在解决测试函数和部分工程优化问题时展现了易于实现、结构简洁和高精度等优势,但其探索和开发能力仍有进一步提升的潜力。例如,算法中模拟猎物追逐的模型相对简单,这可能导致个体解的质量较低,从而影响算法收敛到最优解的速度。因此,提出了一种融合多策略的改进北方苍鹰优化算法。

2.1 Lévy飞行策略

Lévy飞行是一种常用于全局优化问题的随机搜索策略,它基于Lévy分布产生长跳跃的随机步长,用于提升搜索空间的覆盖能力,避免陷入局部最优。Lévy飞行策略通常应用于自然启发式算法中,如蚁群算法、蝗虫算法、鲸鱼优化算法等,尤其适用于解决复杂的多维非线性优化问题。在INGO算法中,针对原始NGO探索阶段跳跃幅度受限、搜索范围局部化、易陷入局部最优的问题,引入了Lévy飞行机制以增强探索能力。通过在个体位置更新过程中融入Lévy步长,实现了大范围随机跳跃,从而有效拓展了解空间探索范围,提升了算法跳出局部最优的能力。

2.1.1 Lévy分布

Lévy分布是一种具有重尾特性的概率分布,其特点在于能够产生少量的大步长跳跃,同时保留大量的小步长变化。这种不均匀性使得搜索过程中既有局部精细搜索,也能进行全局跳跃,从而显著提高了算法的全局探索能力,防止算法陷入局部最优解。Lévy分布的概率密度函数f(x)的表达式为

(9)f(x)~${\left|x\right|}^{-(1+\beta )}$, 1<β≤2

式(9)中:β为控制分布形状的参数,通常取值在1~2。对于β=2,Lévy分布退化为高斯分布,失去了长跳跃特性。

引入Lévy分布作为步长生成基础,旨在打破原始NGO搜索路径局限,使种群个体能够自适应进行远距离跳跃,从而在高维复杂函数中更高效地发现潜在优质区域。

2.1.2 Lévy飞行的数学模型

Lévy飞行是一种基于Lévy分布的随机游走过程,步长L遵循Lévy分布生成,表达式为

(10)L=$\frac{u}{{\left|v\right|}^{\frac{1}{\beta }}}$

式(10)中:u和v为独立的正态分布随机变量,分别服从u~N(0,σ²)和v~N(0,1);β为默认常数,取值为1.5;σ为控制步长尺度的标准差,表达式为

(11)σ=${\left\{\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\beta )\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\mathrm{\pi }\beta }{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left[{2}^{\frac{\beta -1}{2}}\frac{(1+\beta )\beta }{2}\right]}\right\}}^{\frac{1}{\beta }}$

式(11)中:Γ(·) 为伽马函数。

通过引入Lévy飞行策略,INGO算法在搜索初期具备了更强的全局探索能力,有助于快速覆盖更广泛的解空间,显著降低了陷入局部最优的风险。随后在CEC2017测试函数集上的实验验证表明,融合Lévy飞行后的INGO在收敛速度、最优值质量及鲁棒性方面均优于原始NGO算法,充分体现了该策略在提升全局搜索性能方面的有效性。

2.2 精英解指导策略

精英解指导是通过引导当前最优解(精英解)来指导其他个体的搜索。精英解在某些优化算法中扮演着非常重要的角色,能够加速收敛过程并保持搜索质量。通过在每一代更新时引导个体朝着精英解的方向搜索,可以提高算法的局部搜索能力,防止个体搜索不必要的区域。在 INGO算法中,精英解指导被用于开发阶段,它利用当前最优解的信息来指导其他个体向优质区域移动,从而加速搜索进程。

精英解指导的核心思想是利用当前的最优解(即x_best)来更新其他个体的解。假设个体i的位置为X(i,:),精英解为X_best,那么指导公式为

(12)X_new=X_best+rand(1,d)[X(i,:)-X_best]+[-R_a+2R_arand(1,d)]X(i,:)

式(12)中:X_best为全局最优解;R_a为一个衰减因子,控制个体向精英解的靠拢程度,随着迭代次数的增加而逐渐减小;rand(1,d)为在每个维度上生成的随机数,使得更新方向包含随机成分。通过精英解的引导,算法能够加快对全局最优解的收敛速度,并保持搜索的质量。随着搜索进行,精英解的信息将被不断传递和利用,使得全体个体在搜索时能够更有方向性。

精英解指导策略的引入,在优化过程中进一步加速了种群向最优区域的收敛。该策略通过在早期阶段强化精英个体的引导,帮助种群快速接近全局最优解,同时设计的衰减因子在后期逐步降低引导强度,促进了全局探索与局部开发之间的动态平衡。此外,随机扰动机制增加了搜索多样性,进一步降低了早熟收敛的风险。在CEC2017基准测试函数集上的结果表明,采用精英解指导的INGO在收敛速度和最终解质量上均有显著提升,收敛曲线分析也验证了该策略对算法性能具有正向的促进作用。

2.3 动态变异策略

变异操作是进化算法中的一种随机搜索策略,通过在当前解的基础上添加一定的扰动来生成新的解。与传统方法相比,动态变异根据迭代过程的进展来动态调整变异的幅度,从而实现更加高效的搜索。早期阶段,较大的变异有助于搜索更广阔的解空间,而后期阶段,通过减小变异幅度来精细搜索,提高局部优化能力。在 INGO 算法中,动态变异被应用于开发阶段,目的是提高局部搜索的精度,同时避免过度扰动已经找到的良好解。在INGO中,变异率mutation_rate随着迭代次数逐渐减少,表达式为

(13)mutation_rate=0.2-0.15$\frac{t}{\mathrm{M}\mathrm{a}{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}}$

式(13)中:t为当前的迭代次数;Max_iteration为最大迭代次数。通过实验得出参数设置,参数设置对算法性能的影响不敏感。变异率在迭代初期较大,能够快速探索解空间,而在后期变异率逐渐减小,从而允许细致搜索。变异操作通过式(14)生成,即

(14)mutation=0.1randn(1,d)(U-L)

式(14)中:U和 L分别为上界和下界; randn(1,d)为标准正态分布的随机数,d为问题的维度。

动态变异策略的设计确保了在不同阶段具有适当的扰动程度,初期通过较大变异促进全局搜索,后期减小变异幅度加强局部搜索,避免过早陷入局部最优解。该策略提高了算法的全局与局部搜索平衡,并增强了算法的鲁棒性,使其能够适应不同问题的求解需求,显著提升了收敛速度和解的精度。后续的对比实验结果进一步验证了动态变异策略的有效性,表现为在多个测试函数上收敛速度更快、最优解质量更优,相较原始NGO算法具有明显优势。

2.4 INGO算法流程图

INGO算法流程图如图1所示。

2.5 计算复杂度分析

设置算法的种群为N,最大迭代次数为T,问题维度为d_im。NGO算法的计算复杂度主要取决于初始化种群、适应度计算、主循环中的个体更新等方面,每次迭代的计算复杂度为O(N×d_im),由于迭代的次数为T,因此NGO的总复杂度为O(T×N×d_im)。

INGO相比于NGO,引入了一些新的策略,如Lévy飞行、精英解指导和动态变异,这些操作在每次迭代中会被计算。然而,这些操作的复杂度通常是常数级的,对每次迭代的复杂度影响微乎其微。在INGO中,每次迭代的操作与NGO大致相同,主要包括:在每个个体的更新中,使用Lévy飞行进行位置变化。Lévy飞行的计算复杂度为O(d_im),因为每次计算都涉及维的随机变量。精英解指导操作涉及计算当前最优解与个体之间的差距,通常为O(d_im)。变异操作需要对个体进行扰动,复杂度为O(d_im)。

所有这些操作,尽管相对复杂,但它们的计算复杂度仍然是所有这些操作,尽管相对复杂,但它们的计算复杂度仍然是O(d_im)。因此INGO每次迭代的计算复杂度为O(N×d_im),总复杂度为O(T×N×d_im),与NGO算法的计算复杂度相同。

3 实验仿真及结果分析

实验均在64位Windows11操作系统,硬件参数为 Intel(R) Core(TM) Ultra 5 125H 1.20 GHz主频,32 G内存的计算机上完成,编程软件为MATLABR2022a。

3.1 测试准备

为了测试检验INGO算法的性能,对29个CEC2017测试函数进行了测试与分析,因篇幅限制,只讨论18个CEC2017测试函数的测试结果。表1列出了实验所需的18个基准测试函数。这些测试函数分为4种类型:包含单一全局最优值的单峰函数,主要用于评估算法在解决简单优化问题时的精度和收敛速度;具有多个局部最优值的多峰函数用于评估算法的局部搜索能力及其避开局部最优解的能力;同时,混合函数和复合函数则用于衡量算法在处理复杂连续优化问题时的表现。这些基准函数的详细描述如表1所示。为了确保实验的公平性,所有算法的种群大小设定为100,最大迭代次数为500,适应度函数的维度D=30。每个算法独立运行30次,并使用平均值(Ave)和标准差(Std)作为评估指标,最终的最佳结果将以加粗形式标出。平均值用于评价算法收敛精度,反映了算法的平均性能,而标准差用于评价算法寻优的稳定性。

3.2 不同改进策略的数值寻优对比

为了验证各改进策略的有效性,将标准的北方苍鹰优化算法(NGO)、引入Lévy飞行策略的北方苍鹰优化算法(LNGO)、引入精英解指导的北方苍鹰优化算法(ENGO)与动态变异策略的北方苍鹰优化算法(DNGO),从表1中的基准函数中选取9个进行数值寻优对比。将独立运行得到的结果取平均值和标准差,实验结果如表2所示。

由表2数据可知,实验的结果展现了算法的寻优精度及寻优稳定性。在函数F₅、F₉、F₁₃、F₁₅、F₁₇、F₁₉、F₂₉上,ENGO的寻优效果最好,在平均值和标准差上都达到了最优值,说明精英解指导策略通过强化对精英解的利用,减少了搜索的随机性,提高了搜索效率和结果的稳定性,展示了其在优化过程中的优越性能。对于函数F₁₄,LNGO达到了平均值和标准差的最优表现,表明该策略在该函数的搜索空间中表现出较强的探索能力与更稳定的收敛行为。对于F₈函数,ENGO在平均值上达到最优,而标准差最优由NGO获得,说明基础NGO在该函数上仍具有一定的稳健性。DNGO 在多数测试函数上相较于原始NGO有明显改进,整体结果较为稳定,但与ENGO和LNGO相比仍存在一定差距,仅在少数函数上取得相对接近的性能。这表明动态变异策略可以在一定程度上提升算法的寻优质量,但单一策略的改进效果仍不及多策略协同的增强效果。综合来看,这3种策略的引入显著提升了算法的整体性能,对NGO算法的寻优性能均有着不同程度的提升,证明了本文策略的有效性。通过有效结合不同策略的优点,算法不仅增强了对解空间的探索能力,也提高了收敛速度和结果的稳定性。这表明,在优化过程中,结合多种策略能够实现更为出色的搜索效率和解的质量,尤其是在处理复杂优化问题时,具有重要的实际意义。

3.3 不同改进策略的收敛曲线对比

为了更直观地评估优化效果,对不同改进策略的收敛曲线进行对比分析。收敛曲线能够清晰地反映算法的优化速度与精度。基于表1中的基准函数和参数设置,对NGO、LNGO、ENGO和DNGO进行测试,其收敛曲线如图2所示。

由图2可以看出,对于函数F₅、F₈、F₁₃~F₁₅、F₁₇、F₁₉和F₂₉,ENGO的收敛曲线明显低于其他算法,证明其在初期的收敛速度和后期的寻优精度方面均具有更强的表现。在函数F₅和F₈上,虽然LNGO和NGO在收敛曲线差别不大,表明两者在初期的探索阶段具有相似的表现,然而,最终结果显示LNGO在优化效果上优于NGO,这表明Lévy飞行策略在收敛后期能够有效提升算法的局部搜索能力,从而帮助算法在逼近最优解时更精确、更高效。

ENGO、LNGO和DNGO的收敛速度和寻优精度较NGO均有大幅度提升,综上所述,这3种改进策略的结合显著提高了算法的性能,增强了全局搜索能力,避免了局部最优解,并确保了解的质量和多样性。通过这些策略的引入,算法在复杂问题上的适应性和效率得到了提升。

3.4 与其他智能优化算法的对比

为了检验INGO相较于其他群智能算法性能的优越性,与其他学者提出的改进版 NGO 算法:INGO1^[14]、BLONGO^[15]、MINGO^[16]及北方苍鹰优化算法(NGO)、正余弦优化算法(SCA)^[17]、树种优化算法(TSA)^[18]、阿基米德优化算法(AOA)^[19]、鲸鱼优化算法(WOA)^[20]作为对比算法,对表3中的18个基准测试函数进行寻优对比,对比算法的参数设置与原文献保持一致。在函数F₁、F₈、F₁₀、F₁₂、F₁₃、F₁₄、F₁₇、F₂₇和F₂₉上,INGO同时实现了低平均适应度值和小标准差,这表明INGO在寻优精度和稳定性方面均表现出色。小标准差表明算法在不同运行中的结果相对稳定,增加了其可重复性和可信度,显示出良好的适应性。INGO不仅能有效地找到优质解,而且在多次运行中表现一致,减少了结果的波动性。而在其余函数上,INGO在寻优精度上表现优异,成功找到了最优值,这表明INGO在探索解空间时具有较强的能力,能够有效地收敛到最优解,但在稳定性方面略逊于部分对比算法。这一现象可能源于以下几个因素:首先,INGO的探索能力强,使其能快速找到最优解,但可能在局部最优解附近徘徊,导致结果的波动性增加。其次,算法在某些特定函数上的表现可能受到初始种群或参数设置的影响,从而导致标准差的增大。综合来看,在基准测试中,INGO算法整体表现出色,排名第一。这一成绩表明,INGO在寻优能力和解空间探索方面具有显著优势,能够在多种测试函数中找到最优解。这不仅反映了算法的有效性,还展示了其在处理复杂问题时的强大适应性。

3.5 与其他优化算法的收敛曲线对比

为了更加直观地展现INGO与其他优化算法的寻优能力对比,图3给出了9种算法在CEC2017基准测试函数上求解最优值时的收敛曲线。

由图3可以看出,无论是单峰测试函数、多峰测试函数、混合函数还是复合函数,INGO都有着更高的寻优精度和更快的收敛速度。在函数F₂₇上,INGO与BLONGO和WOA的收敛曲线在和后期阶段表现得较为接近,表明三者在优化后期的局部搜索能力接近。但从收敛速度来看,INGO能够在较少的迭代次数内迅速降低适应度值,表现出更快的收敛能力,而BLONGO和WOA的收敛速度相对较慢。从最终收敛精度来看,INGO找到的最优解优于BLONGO和WOA,说明其具备更强的局部搜索能力。综合来看,INGO在收敛速度、寻优精度和稳定性方面均优于其他8种对比算法,表现出更强的优化性能和适应性。综合表3和图3的实验结果可得INGO的寻优能力优于其他优化算法,进一步说明了本文策略的有效性。

3.6 Wilcoxon符号秩和检验Friedman检验

Wilcoxon秩和检验是一种非参数统计检验方法, 为了进一步体现INGO的有效性, 采用统计学检验方法中的Wilcoxon符号秩检验^[21]将INGO与NGO、INGO1、BLONGO、MINGO、SCA、TSA、AOA、WOA在显著性水平为P= 0.05的条件下进行检验。为确保实验的公平性,每个算法独立运行30次,最大迭代次数为500次,种群规模设定为100,算法维度为 30。当P<0.05时,拒绝原假设,表明两种对比算法在统计上存在显著差异;反之,若 P≥0.05,则接受原假设,表明两算法之间的差异不显著。最终的检验结果如表4所示。

由表4可知,在18个测试函数中,INGO相较于BLONGO、MINGO、SCA、TSA、AOA、WOA的P均小于0.05,其中INGO在17个测试函数中区别于NGO和INGO1,这表明在统计学上,INGO的优化性能与其他算法之间存在显著性差异,进一步验证了INGO的可靠性和有效性。

为了评估各算法的差异和排名,采用Friedman检验进一步进行统计分析。表5为9种算法在CEC2017测试集上的Friedman排名平均值与最终排名,INGO在CEC2017测试函数集排名平均值为1.14。INGO在测试集上的Friedman排名平均值均在各算法中最小,表明INGO的寻优性能强于NGO算法及其他8种对比算法。

4 INGO算法求解非线性方程组

4.1 问题的提出及转换

通常来说,NESs由m个方程组成,其中至少包括一个非线性方程。x=

$({x}_{1},{x}_{2},\dots,{x}_{n}{)}^{\mathrm{T}}$

∈X是一个n维向量,X是这个NESs的搜索空间,NESs的数学形式可以表示为

(15)

$\left\{\begin{array}{l}{f}_{1}({x}_{1},{x}_{2},\dots,{x}_{n})=0\\ {f}_{m}({x}_{1},{x}_{2},\dots,{x}_{n})=0\end{array}\right.$

在对NESs求根的过程中,将其转换为最小化单目标优化问题,即

(16)min[F(X)]=$\stackrel{n}{\sum _{i=1}}\left|{f}_{i}({x}_{1},{x}_{2},\dots,{x}_{n})\right|$

4.2 结合排斥技术的INGO算法

排斥技术^[22]是一种用于优化算法中的全局搜索增强机制,其核心思想是通过引入排斥半径和动态惩罚策略,防止种群解过于集中于局部区域,从而提升算法跳出局部最优解的能力。该技术通常在优化过程中设置一个动态变化的排斥半径,用于定义解之间的最小允许距离。当一个高质量解被发现并存储到存档中时,它会对其他解施加排斥作用:如果种群中某个解与存档解的距离小于排斥半径,则该解的适应度值会受到惩罚(如降低其适应度或增加其被淘汰的可能性)。为了进一步扩大搜索空间,种群可能会根据排斥机制进行重新初始化,尤其是重新分布到未被充分探索的区域。与此同时,排斥半径会随着迭代次数动态缩小,在算法初期通过较大的排斥半径促进全局探索,在算法后期通过较小的排斥半径增强局部开发,从而实现探索与开发的平衡。为了辅助算法的搜索过程,定义两个辅助函数:repf(L)和arch_up。排斥惩罚函数repf(L)是一种基于距离的惩罚机制,主要用于优化算法中的种群更新过程。它的目的是通过施加惩罚值,使新生成的解L远离已存档的优质解。arch_up函数用于更新存档的最佳解和对应的适应度值。排斥惩罚函数repf(L)的计算公式为

(17)repf(L)=$\left\{\begin{array}{ll}9\left[1-{\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}}{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}}\right)}^{2}\right],& \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}<\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\\ 0,& \mathrm{其}\mathrm{他}\end{array}\right.$

式(17)中:dis为个体与存档中个体的最小曼哈顿距离;radi为排斥半径,定义为

(18)radi=r₀max$\left[1-{\left(\frac{{t}_{i}}{{t}_{\mathrm{m}}}\right)}^{5},\mathrm{ }0.001\right]$

式(18)中:r₀为初始排斥半径;t_i为当前迭代次数;t_m为最大迭代次数。动态调整radi有助于在初期保持种群的多样性,而在后期收敛到高精度解。排斥技术的引入显著提高了INGO的多样性和全局寻优能力,尤其在解决多模态优化问题和复杂的多目标优化问题时表现出色。

4.3 实验设置与参数选择

为了验证INGO求解非线性方程组的有效性, 此次实验选择了文献[23]中的8个高维或含有多个根的方程组,标记为F₁~F₈。实验参数设置为:种群大小500,最大迭代次数1 000,每个方程组独立执行30次。计算平均找根率(root ratio, RR)^[24],最后结果取平均值。RR的计算公式为

(19)RR=$\frac{\stackrel{{N}_{\mathrm{r}}}{\sum _{i=1}}\mathrm{N}\mathrm{O}{\mathrm{R}}_{i}}{\mathrm{N}\mathrm{O}\mathrm{R}{N}_{\mathrm{r}}}$

式(19)中:N_r为算法独立运行的总次数;NOR_i为当前第i次独立运行找到根的个数;NOR为当前NESs已知根的个数。

这8个非线性方程组系统如下。

(20)F₁:$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(2{x}_{1}\right)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(2{x}_{2}\right)-0.4=0\\ 2({x}_{2}-{x}_{1})+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(2{x}_{2}\right)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(2{x}_{1}\right)-1.2=0\end{array}\right.$

式(20)中:x_i∈[-10,10],i=1,2,该方程组有13个根。

(21)F₂:$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}-0.25=0\\ {x}_{1}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(4\mathrm{\pi }{x}_{2}^{2}\right)+0.75{x}_{1}-0.25=0\end{array}\right.$

式(21)中:x_i∈[-1,1],i=1,2,该方程组有8个根。

(22)F₃:$\left\{\begin{array}{l}0.04\left(\frac{11}{15}-{x}_{1}\right){\mathrm{e}}^{10{x}_{1}/(1+{x}_{1}/100)}-{x}_{1}=0\\ 0.04(2.2-2{x}_{1}-3{x}_{2}){\mathrm{e}}^{10{x}_{2}/(1+{x}_{2}/100)}+{x}_{1}-3{x}_{2}=0\end{array}\right.$

式(22)中:x_i∈[0,1],i=1,2,该方程组有7个根。

(23)F₄:$\left\{\begin{array}{l}{f}_{1}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({x}_{1}^{3}\right)-3{x}_{1}{x}_{2}^{2}-1=0\\ {f}_{2}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(3{x}_{1}^{2}{x}_{2}\right)-\left|{x}_{2}^{3}\right|+1=0\end{array}\right.$

式(23)中:x_i∈[-2,2],i=1,2,该方程组有10个根。

(24)F₅:$\left\{\begin{array}{l}{f}_{1}=4{x}_{1}^{3}+4{x}_{1}{x}_{2}+2{x}_{2}^{2}-42{x}_{1}-14=0\\ {f}_{2}=4{x}_{2}^{3}+2{x}_{1}^{2}+4{x}_{1}{x}_{2}-26{x}_{2}-22=0\end{array}\right.$

式(24)中:x_i∈[-5,5],i=1,2,该方程组有9个根。

(25)F₆:$\left\{\begin{array}{l}{f}_{1}=-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{x}_{1}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{x}_{2}-2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{x}_{1}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{x}_{2}=0\\ {f}_{2}=-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{x}_{1}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{x}_{2}-2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{x}_{1}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{x}_{2}=0\end{array}\right.$

式(25)中:x_i∈[0,2π],i=1,2,该方程组有13个根。

(26)F₇:$\left\{\begin{array}{l}{f}_{1}=-13-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}+24{x}_{2}{x}_{3}-{x}_{2}^{2}{x}_{3}^{2}=0\\ {f}_{2}=-13-{x}_{3}^{2}-{x}_{1}^{2}+24{x}_{3}{x}_{1}-{x}_{1}^{2}{x}_{3}^{2}=0\\ {f}_{3}=-13-{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}+24{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{2}^{2}{x}_{1}^{2}=0\end{array}\right.$

式(26)中:x_i∈[-20,20],i=1,2,3,该方程组有16个根。

(27)F₈:$\left\{\begin{array}{l}{f}_{1}=3(3{x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}{)}^{2}+2({x}_{1}^{2}-{x}_{2}+{x}_{3})-\\ 　　3{x}_{1}+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{3}^{2}-24=0\\ {f}_{2}=3{x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}-3({x}_{1}^{2}-{x}_{2}+{x}_{3}{)}^{2}-{x}_{1}+\\ 　　2{x}_{2}-{x}_{1}{x}_{3}+10=0\\ {f}_{3}=2(3{x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3})-({x}_{1}^{2}-{x}_{2}+{x}_{3})+\\ 　　{x}_{1}-{x}_{2}^{2}+2{x}_{3}-5=0\end{array}\right.$

式(27)中:x_i∈[-3,3],i=1,2,3,该方程组有两个根。

4.4 算法对比与分析

为了验证INGO算法的有效性,将INGO与NGO、WOA和文献[24]中的MONES、A-Web、NCDE进行对比。为了更加直观地展示算法性能的优越性,将 INGO 算法与 NGO、WOA、MONES、A-Web 和 NCDE 算法在找根率(RR)方面进行对比,如表6所示。

从表6可以看出,INGO 达到了最大的平均根发现率(RR),并且在 F₁、F₂、F₃、F₄、F₅ 和 F₆ 这6个问题上均取得了最优的RR。在F₇和F₈中的表现也较为优异,相比之下,NGO、WOA和A-Web在部分方程组上接近INGO,但整体略逊一筹,而MONES的RR平均值最低,仅为0.477 8。综合来看,INGO算法在多维度测试中展现出优化精度高和稳定性好的显著优势,在求解非线性方程组问题上具有良好的效果。

5 INGO求解工程设计约束优化问题

为了验证INGO算法求解工程约束优化问题的能力,选取CEC2020实例约束优化问题测试套件^[25]中的两个典型工程优化问题进行实验。

5.1 压力容器设计问题

压力容器的设计可被视为一个综合优化任务,其核心目标是在确保功能需求的前提下,最小化容器的生产成本。该设计问题中,目标函数为压力容器的总成本,包括材料、成形和焊接成本。该优化问题包括4个决策变量:半径为x₁、无头的圆柱的长度为x₂、壳体中的厚度为x₃、且封头的厚度为x₄。问题的目标函数及约束条件如下。

(28)

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f\left(x\right)=0.622\mathrm{ }4{x}_{1}{x}_{3}{x}_{4}+1.778\mathrm{ }1{x}_{2}{x}_{3}^{2}+\\ 　　　　　3.166\mathrm{ }1{x}_{1}^{2}{x}_{4}+19.84{x}_{1}^{2}{x}_{3}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.{g}_{1}=-{x}_{1}+0.019\mathrm{ }3{x}_{3}\le 0\\ 　　{g}_{2}=-{x}_{2}+0.009\mathrm{ }54{x}_{3}\le 0\\ 　　{g}_{3}=-\mathrm{\pi }{x}_{3}^{2}{x}_{4}+\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{x}_{3}^{3}+1\mathrm{ }296\mathrm{ }000\le 0\\ 　　{g}_{4}={x}_{4}-240\le 0\\ 　　0\le {x}_{1},{x}_{2}\le 100\\ 　　0\le {x}_{3},{x}_{4}\le 200\end{array}\right.$

5.2 三杆桁架设计问题

三杆桁架设计问题是为了找到桁架杆件最合适的截面组合使得三杆桁架的体积最小。

该问题的数学模型表示如下。

(29)

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f\left(x\right)=a(2\sqrt{2}{x}_{1}+{x}_{2})\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.{g}_{1}=\frac{\sqrt{2}{x}_{1}+{x}_{2}}{\sqrt{2}{x}_{1}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}}p-\sigma \le 0\\ 　{g}_{2}=\frac{{x}_{2}}{\sqrt{2}{x}_{1}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}}p-\sigma \le 0\\ 　{g}_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}{x}_{2}+{x}_{1}}p-\sigma \le 0\\ 　a=100\mathrm{c}\mathrm{m},P=2\mathrm{k}\mathrm{N}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}\\ 　\sigma =2\mathrm{k}\mathrm{N}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}\\ 　0\le {x}_{1},{x}_{2}\le 1\end{array}\right.$

利用INGO求解2个工程设计优化问题,种群规模N=100,迭代次数T=500,惩罚因子λ=10²⁰。为避免实验的偶然性,对每个问题独立反复求解30次,记录其最优值、最差值、平均值和标准差。表7和表8分别列出INGO与其他8种算法求解压力容器设计问题和三杆桁架设计问题的结果比较。

由表7和表8可知,INGO算法在2个实例约束优化问题上得到的平均值、标准差、最优值均优于对比算法,展现其较高的收敛精度和较快的收敛速度,并且INGO的最优值、最差值和平均值都趋于一致,这表明该算法具有较强的稳健性,能够适应不同类型的优化问题。极小的标准差进一步证明了INGO算法的高稳定性,使得该算法能够在优化过程中提供高度精确的解。INGO求解2个实例约束优化问题的实验结果表明该算法具有良好的整体性能,可以有效解决复杂的实际优化问题,能够为工程师们提供更优质的设计方案和更高效的解决方案。

6 结论

为进一步提升北方苍鹰算法寻优性能,提出了一种多策略改进的北方苍鹰优化算法(INGO)。通过在探索阶段引入Lévy飞行策略,增强了算法的全局搜索能力和优化精度,从而使算法能够有效跳出局部最优解;在开发阶段引入精英解指导策略,提升了算法的开发能力和收敛效率;同时引入动态变异策略,通过动态调整变异强度能平衡全局搜索和局部开发的能力,进一步提高了解决复杂优化问题的效率。通过运行18个测试函数,INGO与5个原始算法、3个改进算法进行优化对比,从收敛性、稳定性、Wilcoxon秩和检验等方面综合分析,数值实验结果表明:在相同条件下与8种优化算法相比,验证了INGO算法在收敛速度和收敛精度方面均表现出更优的性能。最后,将其成功应用于求解非线性方程组和解决工程优化问题。INGO算法在CEC2017测试集、非线性方程组和工程优化问题中的优异表现,充分体现了其强大的探索能力和开发能力。通过这些典型实例,验证了INGO在处理不同类型的实际复杂优化问题上具有良好的适用性和优越的求解效果。未来,可以考虑改进算法的结构,计划将INGO算法应用到更加复杂的实际生活问题领域中,还需要进行更多的研究。

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2025-03-18	2026-02-18	2025-10-30
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