绳驱并联机器人的合作博弈多目标轨迹规划

李睿民; 黄卫华; 胡路遥; 颜如钰

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2501783

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (7) :2695-2703 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2501783

绳驱并联机器人的合作博弈多目标轨迹规划

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Multi-objective Trajectory Planning of Rope-driven Parallel Robots Based on Cooperative Game Algorithm

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摘要

绳驱并联机器人是一类利用多根绳索或电缆来驱动和控制末端执行器运动的并联机器人,如何在满足其绳索的单向受力性和力可行工作空间范围等约束下,对绳驱并联机器人进行合理的规划是一项难题。鉴于此,提出了一种基于合作博弈遗传算法(genetic algorithm, GA)的绳驱并联机器人多目标轨迹规划方法,在建立绳驱并联机器人运动学和动力学模型的基础上,构建了多目标轨迹优化模型,利用GA对合作博弈中各目标玩家的策略空间进行搜索,并通过Nash协商解在博弈中的策略空间内寻找一个使得整体效用最小化的策略组合。实验结果表明,所提多目标轨迹规划方法同时满足了机器人轨迹运动中的物理约束和空间约束,降低了能耗和冲击对绳驱并联机器人的影响,提升了轨迹的平滑度,为绳驱并联机器人的高效稳定运行提供了可靠的轨迹规划方法。

Abstract

A rope-driven parallel robot is a type of parallel robot which uses multiple ropes or cables to drive and control the movement of the end effector. How to reasonably plan the rope-driven parallel robot under the constraints of the unidirectional force of the rope and the range of the force-feasible workspace is a difficult problem. In view of this, a multi-objective trajectory planning method for a rope-driven parallel robot based on a cooperative game GA(genetic algorithm) was proposed. On the basis of establishing the kinematic and dynamic models of the rope-driven parallel robot, a multi-objective trajectory optimization model was constructed. GA was used to search the strategy space of each target player in the cooperative game, and a strategy combination that minimizes the overall utility was found in the strategy space of the game through the Nash negotiation solution. The experimental results show that the multi-objective trajectory planning method proposed satisfies the physical constraints and spatial constraints in the robot's trajectory motion at the same time, reduces the influence of energy consumption and impact force on the rope-driven parallel robot, improves the smoothness of the trajectory, and provides a reliable trajectory planning method for the efficient and stable operation of the rope-driven parallel robot.

Graphical abstract

关键词

绳索并联机器人 / 轨迹规划 / 多目标优化 / 遗传算法

Key words

rope-linked parallel robot / trajectory planning / multi-objective optimization / genetic algorithm

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李睿民, 黄卫华, 胡路遥, 颜如钰. 绳驱并联机器人的合作博弈多目标轨迹规划[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(7): 2695-2703 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2501783

LI Rui-min, HUANG Wei-hua, HU Lu-yao, YAN Ru-yu. Multi-objective Trajectory Planning of Rope-driven Parallel Robots Based on Cooperative Game Algorithm[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(7): 2695-2703 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2501783

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绳驱并联机器人具有结构简单、高负载质量比、低惯性、工作空间大及运动灵活等优点^[1-2],广泛应用于自动化仓储、高空作业和航空航天等领域^[3]。相比于刚性并联机器人,绳驱并联机器人通过柔性绳索代替刚性连杆,绳索的轻质性和柔顺性能够有效降低结构的惯性和整体运动负荷,同时传递强有力的驱动力,从而实现更高的运动速度。然而,由于绳索只能提供单向约束力,即在运动过程中始终需要保证绳索拉力值为正;此外,由于绳驱并联机器人的工作空间范围固定,导致其运动性能受限。因此,在满足一定约束条件下,需要合理生成绳驱并联机器人在空间运动所需时间动作序列,即轨迹规划是实现其安全、有效运动控制的重要前提和关键技术。

目前,学者们针对绳驱并联机器人的轨迹规划问题展开了系列研究。文献[4]运用张紧力方法,非线性规划方法和改进二次规划方法对绳索张力进行优化,得到绳索并联吊装机器人的能量损耗最优运动轨迹。文献[5]以绳索机器人动平台的负载能力为性能指标,实现了机器人在工作空间中的最佳运行轨迹。文献[6]推导了绳驱并联机器人的速度、力矩和功率约束条件,并基于遗传算法建立了其连续路径运动避障时间最优轨迹规划。然而,由于绳驱并联机器人运动轨迹受到时间和空间的共同约束,其运动轨迹存在多种性能目标需求且各目标准则之间存在相互制约。因此,文献[7]考虑绳索驱动并联机器人的工作空间和灵活性指标,以及末端执行器的广义力平衡和绳索的单向约束特性,建立了绳索驱动并联机器人构型特性多目标优化模型。文献[8]以提高机构的承载能力及驱动力最小化为优化目标,采用改进权重粒子群算法优化拉力最小、承载最大目标下的绳索机构构型参数。

在上述研究中主要选取了绳驱并联机器人的运动能耗、承载能力和运行时间作为其轨迹规划的优化目标。然而,对于绳驱并联机器人独特的结构而言,绳索拉力是决定系统性能的关键因素,当其在高动态运动过程中,绳索承受较大的瞬时拉力时会产生较大的冲击力,导致系统需要耗费更多的能量调整动平台的位姿;此外,绳索之间频繁的振动和调整会导致轨迹平滑度降低,影响运动效率和轨迹精度;每根绳索的长度和张力范围不仅限制了动平台在工作空间中的运动范围,还会影响动平台的扭矩平衡,从而导致平台的倾斜角度变化。因此,对于绳驱并联机器人的轨迹规划问题而言,除了考虑上述的优化指标外,还需要考虑绳索拉力作用下对能耗、冲击和轨迹平滑度等指标的影响以及力可达工作空间^[9]和动平台倾角约束等因素。

绳索机器人轨迹规划问题涉及多目标优化问题,通常处理多目标轨迹优化问题的算法有:多目标粒子群算法^[10]、多目标蚁群算法^[11]、多目标进化算法^[12]等。这些算法主要存在两个问题:一是将多目标优化问题转化为单目标优化问题,难以合理地选择权重系数来同时优化各个目标;二是在处理具有冲突性目标时,容易偏向某些目标而忽略其他目标的优化,导致最终的解并不能很好地反映Pareto最优解的多样性。合作博弈是指参与者通过联盟的方式进行的博弈,参与者通过构建合作机制以达成具有约束力的协议,共同追求最大收益。与多目标进化算法相比,合作博弈作为一种利用博弈论均衡概念实现求最优解的方法,不需要额外的优先权信息,在收敛速度、解集的多样性和均衡性方面表现更加优越^[13]。文献[14]提出基于遗传编程的合作博弈寻优方法,已有效用于处理多个目标之间冲突和协调的问题。基于此,现将合作博弈机制引入绳索并联机器人多目标轨迹优化中,将多目标轨迹优化问题转化成合作博弈问题,通过各博弈方之间相互竞争和相互协作的自然选择过程,在多个目标之间找到一个均衡解,从而适应绳索并联机器人复杂的轨迹优化场景。

综上所述,在分析绳驱并联机器人工作空间受限及绳索长度与张力的物理限制条件下,提出一种合作博弈遗传算法(genetic algorithm, GA)的绳驱并联机器人多目标轨迹规划方法。首先,基于拉格朗日方程建立所搭建绳驱并联机器人系统的动力学模型;然后,考虑到绳索拉力对轨迹关键性能指标以及约束条件的影响,建立绳驱并联机器人多目标轨迹规划模型。其次,将多目标轨迹规划模型转化成合作博弈问题,利用GA算法对多目标博弈中的解空间进行搜索,实现子目标间的平衡优化,将Nash协商积作作为协商问题最优解,确保机器人在各项约束条件下获得全局最优轨迹。最后,通过仿真实验结果验证本文所设计方法的可行性和有效性。

1 系统动力学建模

1.1 系统描述

绳驱并联机器人的基本结构如图1所示,主要由五部分组成:圆形动平台、绳索、滑轮、直流电机和铝型材框架。绳驱并联机器人通过调节绳索的长度和张力控制运动平台的位姿。建立全局坐标系OXYZ,以动平台质心o为原点建立局部坐标系oxyz;A_i和B_i(i=1,2,3,4)分别代表滑轮出绳段的固定点 (忽略滑轮影响) 和系连在动平台上的参考点;a_i表示A_i相对于全局坐标系原点O的位置矢量,b_i表示B_i相对于动平台的质心的位置矢量,r表示末端平台的笛卡尔坐标,l_i和τ_i为各绳索长度和拉力,m为动平台的质量。

1.2 运动学建模

根据图1,由矢量封闭四边形原理得出各绳索的长度l_i矢量为

(1)l_i=a_i-r-b_i,l_i=|l_i|

其单位向量为

(2)u_i=$\frac{{l}_{i}}{{l}_{i}}$=$\frac{{a}_{i}-r-{b}_{i}}{\sqrt{({a}_{i}-r-{b}_{i}{)}^{T}({a}_{i}-r-{b}_{i})}}$

设动平台的广义坐标ψ=(x,y,z)^T,末端执行器的速度矢量

$\stackrel{·}{X}$

$\stackrel{·}{x}$

$\stackrel{·}{y}$

$\stackrel{·}{z}$

),对l求导可得绳索牵引并联机构的速度逆解为

(3)$\dot{l}=J \dot{X}$

式(3)中:

$\stackrel{·}{l}$

为绳索长度变化的速度矢量;

$\frac{\partial l}{\partial x}$

$\left[\begin{array}{lll}\frac{\partial {l}_{1}}{\partial x}& \frac{\partial {l}_{1}}{\partial y}& \frac{\partial {l}_{1}}{\partial z}\\ \frac{\partial {l}_{2}}{\partial x}& \frac{\partial {l}_{2}}{\partial y}& \frac{\partial {l}_{2}}{\partial z}\\ \frac{\partial {l}_{3}}{\partial x}& \frac{\partial {l}_{3}}{\partial y}& \frac{\partial {l}_{3}}{\partial z}\\ \frac{\partial {l}_{4}}{\partial x}& \frac{\partial {l}_{4}}{\partial y}& \frac{\partial {l}_{4}}{\partial z}\end{array}\right]$

为雅各比矩阵。

对式(3)的两边同时求导,得到绳驱并联机器人加速度逆解方程为

(4)$\stackrel{··}{l}$=$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial l}{\partial x}\right)\stackrel{·}{X}$+$\frac{\partial l}{\partial x}\stackrel{··}{X}$

式(4)中:

$\stackrel{··}{l}$

为绳索长度变化的加速度矢量;

$\stackrel{··}{X}$

$\stackrel{··}{x}$

$\stackrel{··}{y}$

$\stackrel{··}{z}$

)为动平台的加速度矢量。

1.3 动力学建模

仅考虑动平台的平动运动,则动平台的动能为

(5)T_d=$\frac{1}{2}$m(${\stackrel{·}{x}}^{2}$+${\stackrel{·}{y}}^{2}$+${\stackrel{·}{z}}^{2}$)

动平台的势能为

(6)V_d=mgz

由此可得,动平台的系统拉格朗日函数为

(7)L=T_d-V_d=$\frac{1}{2}$m(${\stackrel{·}{x}}^{2}$+${\stackrel{·}{y}}^{2}$+${\stackrel{·}{z}}^{2}$)-mgz

拉格朗日方程即为

(8)$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \stackrel{·}{\psi }}\right)$-$\frac{\partial L}{\partial \psi }$=Q

式(8)中:Q为广义力。

由虚功原理可得广义力与拉力的关系为

(9)Q=J^Tτ

式(9)中:τ为绳索拉力,则τ=(τ₁,τ₂,τ₃,τ₄)。

由式(8)和式(9)可得,绳索并联机器人的动力学方程为

(10)M$\stackrel{··}{\psi }$+K$\stackrel{·}{\psi }$+G=J^Tτ

式(10)中:M为广义质量矩阵;K为科氏力矩阵;G为重力。

2 多目标轨迹规划模型

基于绳驱并联机器人运动学和动力学模型推导可知,由于绳驱并联机器人通过多根绳索协同工作来驱动动平台,每根绳索的拉力必须合理分配,且其伸长和缩短范围需严格限制,以确保机器人在运动过程中保持稳定。在运动过程中,动平台在工作空间中的运动范围受限,且动平台的倾角必须控制在安全范围内,以防止平台因倾斜过大而失稳。此外,能耗和冲击是绳驱并联机器人在高动态运动过程中需要重点关注的问题。绳索在高动态运动过程中承受的瞬时拉力会产生较大的冲击力,这不仅增加了系统的能耗,还可能对机械结构造成损害。同时,绳索之间的频繁振动和调整会导致轨迹平滑度降低,影响运动效率和轨迹精度。因此,绳驱并联机器人的轨迹规划需要综合考虑轨迹运动中的物理约束和空间约束,优化绳索的拉力分布,以减少冲击力和能耗,并提高轨迹的平滑度,从而实现高效、稳定的运动控制。

2.1 目标函数的建立

2.1.1 能耗

绳驱并联机器人是一个自治系统,所需的能耗必须由自身提供。绳索张力是影响其能耗的直接因素之一,在满足动力学模型式(10)的基础上,引入了张力变化平滑项和张力连续性约束,构建的拉力优化模型为

(11)

$\left\{\begin{array}{l}f\left(\tau \right)=\sum _{i=1}^{4}{\tau }_{i}^{2}+\lambda \sum _{i=1}^{3}({\tau }_{i+1}-{\tau }_{i}{)}^{2}\\ s.t.　\left\{\begin{array}{ll}M\stackrel{··}{\psi }+K\stackrel{·}{\psi }+G={J}^{T}\tau & \\ {\tau }_{min}\le {\tau }_{i}\le {\tau }_{max}& \\ \left|\Delta \tau \right|\ge \left|{\tau }_{i+1}-{\tau }_{i}\right|& \end{array}\right.\end{array}\right.$

式(11)中:f(τ)为关于拉力的目标函数;λ为平滑项的权重参数,用于调节能耗与张力平滑性之间的平衡;

$\left|\Delta \tau \right|$

为相邻绳索之间最大张力差。

忽略系统黏性摩擦,直流电机的转矩为

(12)$T_{i}^{\mathrm{m}}=K_{\mathrm{a}} I_{i}$

式(12)中:K_a为电机转矩常数;I_i为各直流电机的输入电流;$T_{i}^{\mathrm{m}}$为转矩。

由于直流电机采用脉冲宽度 (pulse width modulation,PWM) 控制,其电压方程为

(13)u_i=R_mI_i+K_bω+L_m

$\frac{d{I}_{i}}{dt}$

式(13)中:ω为电机的角速度;R_m为电机电阻;K_b为电机的反电动势常数;u_i为电机电压;L_m为电感。

电机转矩为

(14)$T_{i}^{\mathrm{m}}=\tau_{i} r_{\mathrm{p}}$

忽略电感即L_m=0,将式(11)和式(14)代入式(13)中,得电机电压u_i为

(15)u_i=$\frac{{R}_{m}}{{K}_{a}}$τ_ir_p+K_bω

式(15)中:r_p为滑轮半径。

将四个直流电机的功率的积作为能耗损失函数,动平台在一段轨迹中的能耗E为

(16)E=$\frac{1}{{R}_{m}}\sum _{i=1}^{4}{\int }_{0}^{T} {u}_{i}^{2}$dt

式(16)中:T为轨迹运行时间。

由式(15)和式(16)可得能耗E为

(17)E=$\sum _{i=1}^{4}\frac{{R}_{m}}{{K}_{a}^{2}}{r}_{p}^{2}{\int }_{0}^{T} {\tau }_{i}^{2}$dt+$\sum _{i=1}^{4}\frac{2{K}_{b}\omega {r}_{p}}{{K}_{a}}{\int }_{0}^{T} $τ_idt+$\frac{{K}_{b}^{2}{\omega }^{2}T}{{R}_{m}}$

2.1.2 冲击

当机器人在轨迹中经历急剧的加速或减速时,会导致平台在短时间内经历较大的加速度变化,产生冲击力。定义冲击作用的目标函数为动平台所受的冲量平方和^[15]。

设Q为广义力,在全局坐标系OXYZ下表示为Q=(Q_x,Q_y,Q_z)。结合式(9)和式(11)可得,冲击目标函数I为

(18)I=${\int }_{0}^{T} \sqrt{{Q}_{x}^{2}+{Q}_{y}^{2}+{Q}_{z}^{2}}$dt

2.1.3 轨迹平滑度

在机器人轨迹规划中,轨迹平滑度与曲率变化之间有密切的关系。轨迹平滑度通常指的是轨迹在时间和空间上的连续性和光滑程度,而曲率变化则描述了单位时间内轨迹在某一点上的弯曲程度。如果机器人沿一段路径的曲率变化率过大,则可能导致稳定性降低,反之轨迹在运动中的路径更为平滑,不会出现突变或急剧转弯。其中r=(x,y,z),

$\stackrel{·}{r}$

为速度向量,

$\stackrel{··}{r}$

为加速度向量,v=

$\stackrel{·}{r}$

,a=

$\stackrel{··}{r}$

。根据轨迹平滑度与曲率变化的关系,设曲率k可为

(19)k=$\frac{‖\stackrel{·}{r}\times \stackrel{··}{r}‖}{‖\stackrel{·}{r}{\Vert }^{3}}$

由此可得,轨迹曲率的变化率为

(20)$\frac{dk}{dt}$=$\frac{1}{‖v{\Vert }^{3}}\frac{d}{dt}$‖v×a‖-$\frac{3‖v\times a‖}{‖v{\Vert }^{4}}\frac{d}{dt}$‖v‖

通过导数链式法则和向量分析方法,建立轨迹平滑度目标函数S为

(21)S=${\int }_{0}^{T} \{\frac{1}{‖v{\Vert }^{3}‖v\times a‖}$[(v×a)(v×$\stackrel{·}{a}$)]-$\frac{3‖v\times a‖}{‖v{\Vert }^{5}}$(va)}²dt

2.2 约束条件

2.2.1 力可达工作空间约束

由于绳索驱动机器人具有单向受力特性和非对称的力可达空间特性,其工作空间通常不规则且有限。通过在轨迹规划中考虑这些区域的限制,来避免在运动过程中发生碰撞或超出工作空间的情况。绳驱并联机器人的力可达工作空间的范围如图2所示。力可达工作空间呈现方形,其主要部分位于系统框架的中心区域,其高度接近系统框架的高度,表明该约束条件使得绳索驱动机器人在轨迹规划中能够很大程度地利用整个工作区域。

为了保证动平台在运动过程中能够始终处于力可达工作空间范围内,定义力可达工作空间W是动平台质心位置o∈R³的集合,满足以下条件:

(22)$\begin{aligned}S= & \int_{0}^{T}\left\{\frac{1}{\|\boldsymbol{v}\|^{3}\|\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{a}\|}[(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{a})(\boldsymbol{v} \times \dot{\boldsymbol{a}})]-\right. \\& \left.\frac{3\|\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{a}\|}{\|\boldsymbol{v}\|^{5}}(\boldsymbol{v} \boldsymbol{a})\right\}^{2} \mathrm{~d} t\end{aligned}$

式(22)中: τ_min和τ_max分别为绳索允许的最小和最大拉力;l_min和l_max分别为绳索允许的最小和最大长度。

2.2.2 动平台倾角约束

将倾角φ_i定义为绳索相对于XY平面的倾斜角度,当所有φ_i都受到限制时,动平台在任何方向上的最大倾斜度也会受到限制。其中φ_max和φ_min分别为φ_i中最大和最小的倾角,α为倾角之间安全范围内允许的最大差值角度。定义动平台的绳索固定点的三维坐标A_i=(x_i,y_i,z_i),则倾角φ_i为

(23)φ_i=arctan$\frac{|{z}_{i}-\left.z\right|}{\sqrt{{\left({x}_{i}-x-R\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{2}+{\left({y}_{i}-y-R\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{2}}}$

式(23)中:R为动平台半径。

为了有效地约束动平台在轨迹规划中的整体倾斜度,构建运动过程中倾角之间的约束为

(24)α≥φ_max-φ_min

2.3 能耗-冲击-平滑度多目标优化模型

综合以上目标函数式(17)、式(18)和式(21)以及约束条件式(22)和式(24),构建绳驱并联机器人的能耗-冲击-轨迹平滑度多目标轨迹优化模型为

(25)

$\left\{\begin{array}{l}\min \{E, I, S\} \\r, \ddot{r}, \ddot{r} \\\text { subject to } \\l_{\min } \leqslant l_{i} \leqslant l_{\max } \\\tau_{\min } \leqslant \tau_{i} \leqslant \tau_{\max } \\\alpha \geqslant \varphi_{\max }-\varphi_{\min } \\(x, y, z) \in W\end{array}\right.$

式(25)中:E、I、S分别为能耗、冲击与轨迹平滑度的目标函数。

3 改进合作博弈的多目标轨迹规划方法

通过将多目标优化问题转化为博弈问题,利用博弈论中的均衡概念得到最优解。在常规合作博弈中,每个玩家从独立的策略空间中随机选择策略,但目标之间往往存在相互关联和冲突,其策略空间的生成需要根据目标之间的冲突与协调进行优化。同时,针对传统合作博弈求解效率低下、多参数及博弈方易导致局部最优和无限迭代的不足,为此,提出一种合作博弈GA算法,其中玩家共享一个初始策略,采用GA算法调整合作博弈策略空间,通过适应度函数综合考虑逐步优化各目标之间的平衡,基于遗传编程算法随机搜索、自我进化与全局优化能力,通过合理设计模块可在博弈中的策略空间内寻求一个使得整体效用最小化的Nash协商解,即为绳索驱动并联机器人的最佳轨迹。

3.1 合作博弈模型构建

在Nash协商博弈中,玩家通过合作与协商的方式,平衡玩家间的收益来达成一致,能够在利益分配问题的有效边界(即所有可行的pareto有效解)上确定唯一最优点。设假设博弈参与者的集合为p=[1,2,…,N],N为玩家数量。玩家的可选择策略集合构成策略空间为

$\stackrel{·}{S}$

。对于参与者,其策略集合中的第i个策略用

${\stackrel{·}{s}}_{i}$

∈

$\stackrel{·}{S}$

表示。而将“威胁点”D⊂

$\stackrel{·}{S}$

定义为各玩家初始策略集合对应的收益(不合作状态),其收益集定义为

d={[v₁(D),v₂(D),…,v_N(D)]}=(d₁,d₂,…,d_N)对于每一个博弈者i,其收益集V的定义为

(26)V={(v₁,v₂,…,v_i)∣v(x)=v,
i∈[1,N],∀x∈$\stackrel{·}{S}$}

对于协商问题p(v,d),集合v和d需要满足每个玩家的效用约束(即不能高于威胁点),即

(1)d⊂V。

(2)∃v=(v₁,v₂,…,v_N)⊂U,v₁<d₁,v₁<d₂。

如果上述条件全部满足,那么协商的结果就是最大化问题的最优解,即绳索驱动并联机器人的最佳轨迹:

(27)$\underset{v\in V,{v}_{i}{d}_{i}}{max}\prod _{i=1}^{N}$(d_i-v_i)

对于本文中绳驱并联机器人多目标轨迹优化模型而言,游戏参与者是能耗、冲击和轨迹平滑度。定义每个参与者的目标函数值为收益函数。假设轨迹由无数个离散点组成,轨迹点的时间序列为t₁,t₂,…,t_n,其中n=100。将轨迹变量r拆解成策略空间, 令r=(r_x,r_y,r_z),则

(28)

$\left\{\begin{array}{l}{r}_{x}=({x}_{1},{x}_{2},\dots,{x}_{100})\\ {r}_{y}=({y}_{1},{y}_{2}\dots,{y}_{100})\\ {r}_{z}=({z}_{1},{z}_{2},\dots,{z}_{100})\end{array}\right.$

即

${\stackrel{·}{s}}_{i}$

=(x₁,x₂,…,x₁₀₀,y₁,y₂…,y₁₀₀,z₁,z₂,…,z₁₀₀),基于式(25)所示的多目标轨迹优化模型式,构建各个参与者的收益函数为

(29)

$\left\{\begin{array}{l}{v}_{E}\left(r\right)=\sum _{i=1}^{4}\frac{{R}_{m}}{{{K}^{2}}_{a}}{r}_{p}^{2}{\int }_{0}^{T}{\tau }_{i}^{2}dt+\sum _{i=1}^{4}\frac{2{K}_{b}\omega {r}_{p}}{{K}_{a}}{\int }_{0}^{T}{\tau }_{i}dt+\\ 　　　\frac{{K}_{b}^{2}{\omega }^{2}T}{{R}_{m}}\\ {v}_{I}\left(r\right)={\int }_{0}^{T}\sqrt{(m{\stackrel{··}{r}}_{x}{)}^{2}+(m{\stackrel{··}{r}}_{y}{)}^{2}+(m{\stackrel{··}{r}}_{z}{)}^{2}}dt\\ {v}_{S}\left(r\right)={\int }_{0}^{T}{\left(\frac{‖\stackrel{·}{r}\times \stackrel{··}{r}‖}{‖\stackrel{·}{r}{\Vert }^{3}}\right)}^{2}dt\end{array}\right.$

式(29)中:v_E(r)、v_I(r)、v_S(r)分别为轨迹对应的能耗、冲击和轨迹平滑度的收益函数。

3.2 合作博弈GA算法

对初定轨迹r=(x,y,z)进行分解,形成初始策略集合

${\stackrel{·}{s}}_{0}$

,将初始策略集合作为种群中的第一组个体。每个个体代表一种可能的轨迹规划方案,其适应度通过玩家收益函数V(r)计算得到。适应度函数V(r)定义为

(30)V(r)=$\frac{1}{{v}_{E}\left(r\right)+{v}_{I}\left(r\right)+{v}_{S}\left(r\right)}$

据适应度比例计算每个个体的选中概率,使用累积概率计算轮盘赌选择的位置,随机选择一个位置,并根据该位置选中一个个体,个体i被选中的概率P_i定义为

(31)P_i=$\frac{V\left({r}_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{N}V({r}_{i})}$

式(31)中:r_i为个体的解;N为种群的大小。

根据累积概率随机选择个体进行繁殖,并进行交叉变异操作。选择两个父代个体r₁和r₂,通过交叉生成两个子代个体r'₁和r'₂。具体交叉的操作为

(32)

$\left\{\begin{array}{l}r\text{'}{ }_{1}=\left({r}_{1}\left[1\right.:k\right],{r}_{2}[k+1:n])\\ r\text{'}{ }_{2}=\left({r}_{2}\left[1\right.:k\right],{r}_{1}[k+1:n])\end{array}\right.$

在子代基础上对当前种群、子代再次选择、合并,生成新种群,更新当前策略空间。

重复上述选择、交叉和变异过程,直到前后策略组合满足收敛准则。最终,输出最优策略及其对应的各玩家收益。

根据Nash协商解的定义,其全局评价指标表示为各个性能收益的乘积,定义为全局收益,为

(33)F_Nash=$\prod _{j=1}^{3}$v_j(r)=v_E₍_r₎v_I(r)v_S(r)

式(33)中:v_j(r)为各目标函数的收益,全局收益越小,表示该解在多个目标上的表现越优,优化效果越好。

综上,所设计合作博弈GA算法流程如图3所示。

4 仿真实验及结果分析

本文选用的是质量很轻,直径小的高强度尼龙绳,其绳索悬链方程几乎为直线^[16],故忽略绳索下垂效应和质量,在后续的实验中将绳索当成直线模型来讨论。考虑到轨迹规划过程中绳索并联机器人的拉力、长度以及工作空间等多重约束,在Simulink环境中建立绳索并联机器人的动力学模型以及绳索张力优化模型,实验装置及系统结构详见文献[17]。

绳索驱动机器人的具体运动学参数如表1所示,动平台的初定轨迹为

(34)

$\left\{\begin{array}{l}x=5-3cost+0.2sin\left(5\right.t)\\ y=5+3cost\\ z=3t/\pi +2\end{array}\right.$

绳索最大张力τ_max=150 N,绳索最小预紧力τ_min=0.5 N,绳索最大长度l_max=15 m,最小长度l_min=5 m,绳索之间的最大倾角差小于20°。

4.1 轨迹规划性能对比

为了验证合作博弈GA算法进行多目标轨迹优化的有效性,在MATLAB环境下计算出初定轨迹对应的各个性能指标的函数值,再分别采用单目标优化算法和合作博弈GA算法对初定轨迹进行优化,采用相同的进化策略参数:种群数量为100,最大迭代次数为200,停止代数为100,安全距离为20,适应度函数偏差为10^-20。最后以式(33)作为评价指标,对比各算法的全局收益。

如图4所示为以能耗、冲击、轨迹平滑度为目标函数的轨迹优化性能收敛图,可以看出初定轨迹在以不同单目标算法优化后的相应性能指标显著减小。通过分析三种不同单目标优化算法优化过程,将其优化后的轨迹对应的各个性能指标的收益记录于表2中,与合作博弈GA算法进行全局收益对比。

如图5所示为各目标函数随合作博弈GA算法迭代次数的变化曲线,在优化前期,目标函数之间的竞争关系导致冲击和轨迹平滑度的曲线出现较大波动。随着优化的深入,各目标之间的冲突逐渐被协调,能耗的曲线表现出整体下降的趋势,尤其在中后期趋于平稳,相比之下,冲击和轨迹平滑度的变化曲线在某些迭代阶段下降速度较为缓慢或出现小幅增加,最终达到收敛。

图5表明本文算法在不同阶段对于各目标的权衡策略具有动态调整的特点。在优化前期,算法主要探索目标之间的协同可能性,导致曲线波动较大。而在优化后期,算法逐渐收敛,更多地关注局部解的细化调整,通过微调当前解来减少目标之间的冲突,逐步逼近Nash协商解的最优解。

从表2所示数据可以看出,在单目标优化时,随着某一目标函数值的减少,其他性能指标呈现不同程度的上升,导致全局收益指标F_Nash增加。例如,图4(c) 轨迹平滑度优化中,轨迹平滑度从125.71降低到19.83,其他性能指标以及全局收益指标增加,超过了初定轨迹的全局收益,表明此时优化陷入局部最优,最终未能取得整体性能的改善。由图5可以看出,由合作博弈GA算法优化后的轨迹,在优化过程中在一定程度上牺牲了冲击和轨迹平滑度,但其综合评价指标F_Nash比轨迹平滑度优化和冲击优化算法分别降低了约66.7%和69.1%,并达到所有实验结果中的最小值,通过综合考虑多目标的权衡,避免了单目标优化引发的性能失衡问题。

4.2 运动约束可行性仿真

对使用合作博弈GA算法优化后的轨迹进行运动仿真,进一步验证该算法对绳索并联机器人的轨迹规划添加运动约束的优化可行性。如图6所示为动平台在沿合作博弈GA算法优化后的轨迹运动时,四根绳索长度随时间的变化情况。通过分析图6,可以看出四根绳索的长度变化均呈现连续的趋势。表明绳索并联机器人在轨迹中能够平稳地进行运动,避免了因绳索长度的剧烈波动而导致的机械结构不稳定。

如图7所示为采用了引入了张力变化平滑项的二次规划方法求解绳索拉力的分配图。优化结果显示,所得到的张力值始终保持在可行范围内,介于2.5~100 N。确保了绳索的张力在整个运动轨迹中随时间的变化是连续的,有效防止了绳索的虚牵现象,增强了机器人系统的安全性与可靠性。

如图8(a)所示为四根绳索的倾角随时间变化的情况,如图8(b)所示为四根绳索中的最大倾角与最小倾角的差值变化示意图。当动平台沿着优化后轨迹运动时,动平台高度逐渐增加,使得四根绳索的倾角越来越小,且四根绳索中的最大倾角与最小倾角的差值不超过20°,满足多目标优化模型中的约束条件,在一定程度上保证了动平台在运动轨迹中的稳定性。

5 结论

针对绳驱并联机器人的多目标轨迹规划难题,研究了绳索拉力对机器人在轨迹运行中的能耗、冲击等性能指标的影响,构建了包含力可达工作空间等约束的多目标轨迹优化模型,实现了一种基于合作博弈GA算法的绳索并联机器人多目标轨迹规划方法。

(1)以绳驱并联机器人运动学和动力学模型为基础,考虑了绳索拉力对系统性能的影响,采用了引入张力变化平滑项的二次规划方法合理分配拉力并构建了绳驱并联机器人的多目标轨迹规划模型。该模型综合为后续优化提供了理论基础。

(2)在多目标优化方面,引入了合作博弈机制,将多目标轨迹规划问题转化为合作博弈问题。通过设计一种基于Nash协商解的改进GA算法,动态调整各目标之间的权衡策略,避免陷入局部最优解,从而实现绳驱并联机器人轨迹的全局性能最大化。

(3)仿真试验结果表明,与单目标优化相比,本文方法在全局收益方面表现出显著优势。同时,通过合作博弈GA算法优化后的轨迹满足绳驱并联机器人的机构物理约束,包括力可行工作空间约束,绳索长度与张力约束、动平台倾角约束条件。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

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基金资助

国家自然科学基金(62303359)

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Received	Published	Revised
2025-03-17	2026-03-08	2025-12-01
Online Date
2026-05-28

摘要

Abstract

Graphical abstract

关键词

Key words

中图分类号

引用本文

1 系统动力学建模

1.1 系统描述

1.2 运动学建模

1.3 动力学建模

2 多目标轨迹规划模型

2.1 目标函数的建立

2.1.1 能耗

2.1.2 冲击

2.1.3 轨迹平滑度

2.2 约束条件

2.2.1 力可达工作空间约束

2.2.2 动平台倾角约束

2.3 能耗-冲击-平滑度多目标优化模型

3 改进合作博弈的多目标轨迹规划方法

3.1 合作博弈模型构建

3.2 合作博弈GA算法

4 仿真实验及结果分析

4.1 轨迹规划性能对比

4.2 运动约束可行性仿真

5 结论

参考文献

基金资助