多策略的改进海象优化算法及其应用

陈敏; 梁昔明; 龙文

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2501602

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (10) :4260-4275 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2501602

自动化技术、计算机技术

多策略的改进海象优化算法及其应用

陈敏 ¹ ,
梁昔明 ¹^,^* ,
龙文 ²

作者信息 +

Multi-strategy Improved Walrus Optimizer and Its Application

CHEN Min ¹ ,
LIANG Xi-ming ¹^,^* ,
LONG Wen ²

Author information +

文章历史 +

摘要

针对海象优化算法(walrus optimizer,WO)收敛速度慢、易陷入局部最优的不足,提出了一种多策略改进的海象优化算法(improved walrus optimizer,IWO)。首先,对利用Halton序列进行位置更新的雄海象引入自适应算子使它的位置发生变异扰动以增加算法的寻优精度;其次,对雌海象的位置更新公式引入基于多重心的反向学习策略,充分利用种群的多样性,从而寻找到全局最优。为验证所得改进算法IWO的性能,对23个基准测试函数进行实验,和其他优化算法进行数值对比以验证所得改进算法IWO的优越性,同时将所得改进算法应用于求解无线传感器网络(wireless sensor network,WSN)覆盖优化和钢筋梁柱结构优化问题。数值实验结果表明,与其他优化算法相比,所得改进算法对23个测试函数有较高的寻优精度和较快的收敛速度,在WSN覆盖优化问题中,IWO算法的覆盖性能有大幅提升,覆盖率可达98.87%;在钢筋梁柱结构优化中,相较于原WO算法,改进后的IWO算法设计的钢筋梁柱结构总造价成本降低了14.31%,说明所得改进算法IWO具有好的寻优性能和实用性。

Abstract

IWO (improved walrus optimizer) was proposed to address the shortages of slow convergence rate and easy to fall into local optima in WO (walrus optimizer). Firstly, an adaptive factor was introduced to the male walrus using Halton sequence for position update to increase the optimization accuracy of the algorithm. Secondly, a reverse learning strategy based on multiple centers of gravity was introduced into the position update formula of female walruses to make full use of the diversity of the population and find the global optimum. Numerical experiments were conducted on 23 benchmark test functions to compare with other advanced algorithms to verify the superiority of IWO. The algorithm is also applied to solve the coverage optimization of WSN (wireless sensor network) and optimization of reinforced concrete beam and column structure. Experimental results show that, compared with other advanced optimization algorithms, the algorithm IWO has higher search accuracy and convergence speed on the test functions. The coverage performance of the IWO algorithm has been significantly improved In WSN coverage optimization, and the coverage rate can reach 98.87%. IWO algorithm reduces the total cost of reinforced beam column structures by 14.31%, compared to WO, which verifies its better optimizing performance and practicality.

Graphical abstract

关键词

海象优化算法 / 变异扰动因子 / 基于多重心的反向学习策略 / 数值实验 / 无线传感器网络 / 梁柱结构

Key words

walrus optimization algorithm / mutation perturbation factor / reverse learning strategy based on multiple centers of gravity / numerical experiments / wireless sensor networks / beam and column structure

引用本文

引用格式 ▾

陈敏, 梁昔明, 龙文. 多策略的改进海象优化算法及其应用[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(10): 4260-4275 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2501602

CHEN Min, LIANG Xi-ming, LONG Wen. Multi-strategy Improved Walrus Optimizer and Its Application[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(10): 4260-4275 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2501602

登录浏览全文

4963

注册一个新账户忘记密码

为解决复杂高维的优化问题,智能算法代替传统的优化算法被提出并广泛应用,其中最为广泛的是模拟自然界中动植物行为的群智能优化算法,Han等^[1]受到海象群体自然行为启发提出一种新型的群智能优化算法——海象优化算法(walrus optimizer, WO)。该算法模拟海象的群体行为:海象通过警卫海象发出的危险信号和安全信号决定海象群体是选择集体迁移还是繁殖栖息。该算法具有结构简单、算法稳定等特点,对函数优化问题有较好的寻优效率,被应用在多个领域:如文献[2]用WO算法识别创建精确燃料电池模型所需的最优参数,算法能更准确地预测和评估燃料电池的性能;文献[3]将算法应用于解决电力系统的经济负荷分配问题,作为电力系统中的一个重要组成部分,WO算法能有效减少燃料消耗成本;文献[4]将WO算法和可迁移元学习算法相结合用于预测高熵合金的相态,是决定材料的性能的重要依据;文献[5]将WO算法应用于海上风电场的性能提升领域,主要对比例-积分-微积分(proportional-integral-derivative,PID)控制器的设计参数进行优化,进而提高系统的稳定性;文献[6]用WO算法开发运输能源需求的预测模型,其预测的准确性决定了不同战略和规划的制订等,目前还未研究WO算法在无线网络区域覆盖优化问题的应用,并且以上文献均未结合具体应用对WO算法作出改进。

尽管海象优化算法融合了许多先进策略,包括低差异序列Halton序列^[7]和levy飞行^[8]等,仍存在容易陷入局部最优、求解精度低的问题。为解决这些问题,不同的改进策略被提出,例如,Geng等^[9]提出一种用来解决特征选择问题的二元海象优化算法,引入黄金正弦策略^[10]和种群再生机制,算法既结合了现有改进算法的优势,又考虑了海象种群产生的群体效应,重构海象算法模型,实现了算法更高的精度、更好的特征缩减能力和更强的收敛,但是算法精度与现有优化算法相比仍存在较大的提升空间。

目前有一系列针对智能优化算法的改进策略,如混沌映射种群初始化^[11]能帮助提升初始阶段种群的多样性和空间均匀度,混沌映射的性能受到序列的统计性质和优化问题复杂性的影响,需要更加灵活的选择以达到对算法性能的提升,经过大量数值实验表明该改进策略对WO算法的性能提升极其有限,甚至会导致算法整体性能下降;反向学习策略^[12]是通过找到原解的反向解,比较二者的适应度值选择更优解的一种方法,在算法的后期,当大量解集中在最优解附近时,该策略不能达到明显的改进效果;柯西搜索策略^[13]是在解的周围进行小范围的扰动,是一种有效增强智能算法逃出局部最优的改进策略,但扰动程度控制不当会影响收敛速度和精度;自适应算子^[14]平衡探索性区域和开发已有区域的能力,合适的自适应算子能根据算法迭代过程动态调整搜索模式,但自适应参数调整复杂,可能导致探索和开发阶段失衡,影响算法性能。文献[15]结合混沌初始化种群、动态权重调整解的权重、余弦变化收敛因子以及采用多项式变异进行随机扰动,优化了灰狼优化算法的导向机制、平衡全局和局部搜索,并提升候选解跳出局部最优的能力,但改进策略中的部分参数仍需人工设定,需进一步提升算法的泛化能力,同时多种改进策略的引入提升了算法的算法复杂度,不利于算法解决高维度复杂问题。国内针对海象优化算法的研究有基于混沌映射、差分进化和灰狼优化机制的改进的海象优化算法^[16],算法借助灰狼优化算法的分层领导机制,在优化过程中的不同时期调整个体的侧重情况,并利用差分进化增加算法局部搜索能力,改进方法较为常规;同时为提高算法资源利用率低的问题,实现其在Apache Spark 框架下的并行化,能高效处理高维优化问题,改进后的算法提高了车辆路径优化问题上的求解精度和求解效率。

无线传感器网络^[17](wireless sensor network,WSN)是一种由具备感知、处理和通信能力的微型传感器节点自组织形成的大规模分布式网络,主要用来对目标监测区域内的信息进行监测、感知和采集,将信息进行处理后通过无线通信的方式传递,满足生产需求,具有节点功耗低、价格低廉和覆盖范围广等特点。大量节点的部署采用随机部署的方式,存在节点部署不均匀、冗余度高、区域覆盖率低的缺点,导致节点对目标的监测效果不佳,从而在一定程度上影响了网络性能。借助群智能优化算法合理布置网络节点,有助于提高 WSN 的工作效率,减少能量耗散。

近年来,许多专家学者将提出的改进智能优化算法应用到WSN覆盖优化中。陈伟等^[18]提出一种改进流向算法用于WSN覆盖优化,该算法的覆盖率较原算法和其他改进算法均有显著提升;黄华等^[19]提出的混合策略改进阿奎拉鹰优化算法对多目标红外WSN节点覆盖问题进行研究,构建的多目标函数综合考虑节点覆盖率、覆盖冗余以及节点移动能耗,但过程中未能对权重敏感度进行分析,固定权重可能无法实现最优平衡;高敏等^[20]提出一种改进的灰狼优化算法,覆盖率相比原算法有所提升,但差分进化策略极大增加了算法的复杂度,降低算法的性能,与其他算法相比结果不够理想。上述方法不同程度地改善了WSN覆盖性能,但节点覆盖率仍有改进空间。

针对目前算法WO存在的不足以及提升WSN覆盖性能的要求,现提出一种基于自适应算子和多重心反向学习的改进海象优化算法(improved walrus optimizer, IWO),第一个策略针对Halton序列导致的位置重复现象做出改进,对于繁殖行为中出现位置重复的雄海象进行变异扰动,增加雄海象探索空间的能力;第二个策略是对于雌海象的位置提出基于重心的反向学习策略,种群中雌海象个体不是盲目地跟从雌海象和领头海象探索栖息地,利用基于重心的反向学习机制,模拟雌海象探索未知空间,该策略在算法中有利于保持雌海象种群多样性的同时,帮助雌海象跳出局部最优。通过23个基准测试函数对所得改进海象优化算法进行数值实验,为改进算法应用于WSN网络优化覆盖问题和钢筋梁柱结构优化问题提供数据支撑,拓展算法在实际工程领域的应用价值。

1 海象优化算法

设x为d维搜索空间中的变量,对无约束优化问题即

(1)

$\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f\left(x\right)$

搜索空间的上、下限分别记为u_b和l_b,海象优化算法旨在求得搜索空间中目标函数f(x)最小的x。

海象优化算法主要是模拟海象的群体行为:繁殖季节开始时海象寻找合适的领地栖息、通过声音定位和群体信息共享定位食物方位以及面对天敌采取集体防御行为等。为简化海象的行为模式,作如下假设:海象群体通过警卫海象发出危险或安全信号决定种群行为;记海象种群中的个体数为N,将海象种群分为雄海象、雌海象和幼年海象3个不同的种群,每个种群在繁殖阶段会采取不同的行为;每一个海象的位置代表优化问题[式(1)]的一个候选解,种群的最佳位置被领头海象占领。

不同时刻海象群体受到的危险和安全信号不同,在t时刻海象群体中有1或2只海象警卫负责监视周围环境并向其他海象传播此时的危险信号Danger_signal和安全信号Safety_signal。

(2)

$\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}{\mathrm{r}}_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}=AR$

(3)

$A=2\alpha $

(4)

$\alpha =1-\frac{t}{T}$

(5)

$R=2{r}_{1}-1$

(6)

$\mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}={r}_{2}$

式中:A、R为危险因子;α为危险因子A的主因子;t、T分别为当前迭代次数和最大迭代次数,随着迭代次数的增加,α从1线性递减到0;r₁、r₂为(0,1)的随机数。

危险信号过高时,海象群体选择集体迁移,位置更新公式为

(7)

${X}_{i}^{t+1}={X}_{i}^{t}+\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}{\mathrm{n}}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{p}}$

(8)

$\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}{\mathrm{n}}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{p}}=({X}_{m}^{t}-{X}_{n}^{t})\beta {r}_{3}^{2}$

(9)

$\beta =1-\frac{1}{1+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-10(t-0.5T)/T]}$

式中:

${X}_{i}^{t}$

为t时刻第i只海象的位置;

${X}_{i}^{t+1}$

为t+1时刻第i只海象的位置,

$i=\mathrm{1,2},\dots,N$

;Migration_step为该海象移动的步长,与t时刻两个随机海象位置

${X}_{m}^{t}$

和

${X}_{n}^{t}$

有关;β为步长控制因子,随t的增加光滑地从1递减到0,并且T越大,曲线下降地更为平缓;r₃为(0,1)的随机数。

危险信号较低时,海象选择陆上繁殖和水下觅食两种行为。当安全信号较高时,海象采用种群分组策略的陆上繁殖行为。雄海象根据Halton序列进行位置更新,Halton序列是标准的低差异性序列,可通过生成该序列均匀填充整个函数空间,是一种广泛应用的拟蒙特卡罗序列。记雄性海象的个数为M_n,假设海象群体中前M_n只海象为雄海象。先将1~M_n这一系列整数i表示成素数基b的位数表达形式,即

(10)

$\mathrm{i}=\stackrel{m}{\sum _{j=1}}{d}_{j}\left(i\right){b}^{j-1}$

(11)

${d}_{j}\left(i\right)=\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\left(\frac{i}{{b}^{j-1}},b\right)$

式中:b为素数基,通常取素数7;m=[i/b]+1,表示取整函数,

$i=\mathrm{1,2},\dots,{M}_{\mathrm{n}}$

;d_j(i)为整数i在素数基b表示中第j位的数码;mod(·,b)为取模运算,返回除以b后的余数。

由此得到式(12)的Halton序列,该序列数均分布在(0,1)区间上,再将其映射到搜索空间中,完成雄海象的位置更新,公式为

(12)

$\mathrm{H}\left(\mathrm{i}\right)=\stackrel{m+1}{\sum _{j=1}}{d}_{j}\left(i\right){b}^{-j}$

(13)

${X}_{i}^{t+1}={l}_{\mathrm{b}}+H\left(i\right)({u}_{\mathrm{b}}-{l}_{\mathrm{b}})$

式中:H(i)为整数i的Halton序列值;

${X}_{i}^{t+1}$

为t+1时刻第i只雄海象的位置,

$i=\mathrm{1,2},\dots,{M}_{\mathrm{n}}$

。

记雄海象之后的M_n只海象为雌海象,雌海象主要受雄海象和领头海象的影响,其位置公式更新为

(14)

$\begin{array}{l}{X}_{i+{M}_{\mathrm{n}}}^{t+1}={X}_{i+{M}_{\mathrm{n}}}^{t}+\alpha ({X}_{i}^{t}-{X}_{i+{M}_{\mathrm{n}}}^{t})+\\ (1-\alpha )({X}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{t}-{X}_{i+{M}_{\mathrm{n}}}^{t})\end{array}$

式(14)中:

${X}_{i+{M}_{\mathrm{n}}}^{t}$

为t时刻第i只雌海象的位置;

${X}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{t}$

为t时刻最佳适应度值的海象位置,即领头海象的位置。

剩余的海象为幼年海象,其个体数量为J_n,满足2M_n+J_n=N。幼年海象易受鲸鱼和北极熊的攻击,它们按式(15)和式(16)实现位置更新以躲避攻击。

(15)

${X}_{i+2{M}_{\mathrm{n}}}^{t+1}=(O-{X}_{i+2{M}_{\mathrm{n}}}^{t})P$

(16)

$O={X}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{t}+{X}_{i+2{M}_{\mathrm{n}}}^{t}\mathrm{L}\mathrm{F}$

式中:

${X}_{i+2{M}_{\mathrm{n}}}^{t+1}$

为t+1时刻第i只幼年海象的位置,i=1,2,…,J_n;P为遇险系数,(0,1)区间的随机数;O为参考领头海象的相对安全位置;LF为基于levy分布的随机数。

当安全信号较低时,海象群体选择水下觅食。水下觅食时,海象可能遇到天敌或者相互合作向食物丰富的区域聚集,因此根据危险信号的大小分为逃离行为和聚集行为:若同伴间发出的危险信号过高,海象群体选择逃离行为,即按式(17)进行位置更新。

(17)

${X}_{i}^{t+1}={X}_{i}^{t}R-\left|{X}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{t}-{X}_{i}^{t}\right|{r}_{4}^{2}$

式(17)中:r₄为(0,1)内的随机数,i=1,2,…,N。

若危险信号较低,海象群体选择聚集行为,即按式(18)~式(20)实现位置更新。

(18)

${X}_{i}^{t+1}=\frac{{X}_{1}+{X}_{2}}{2}$

(19)

${X}_{1}={X}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{t}-{a}_{1}{b}_{1}\left|{X}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{t}-{X}_{i}^{t}\right|$

(20)

${X}_{2}={X}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}}^{t}-{a}_{2}{b}_{2}\left|{X}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}}^{t}-{X}_{i}^{t}\right|$

式中:a₁、a₂和b₁、b₂分别为收敛系数和摆动系数;θ为(0,π)的随机数;

${X}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}}^{t}$

为t时刻适应度值次佳的海象位置;

$i=\mathrm{1,2},\dots,N$

。

如果此时t没有达到最大迭代次数T,则海象群体继续根据新的危险信号和安全信号实现t+1时刻的位置更新,否则

${X}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{t+1}$

就是整个算法找到的最佳位置,其对应的适应度值为问题[式(1)]的最优目标函数值。

2 改进的海象优化算法

通过大量实验分析可得,海象群体的行为模式呈现一定的概率分布,有15.12%的概率选择集体迁移行为,42.58%的概率选择繁殖行为,12.24%选择逃离行为,30.06%选择聚集行为,且算法前期主要采用集体迁移行为和繁殖行为进行位置更新,算法后期主要采用繁殖行为和聚集行为进行位置更新。为了兼顾海象优化算法在不同阶段对搜索广度和深度的需求,基于海象优化算法存在的不足提出了Halton 序列自适应变异扰动策略,再对雌海象的位置更新引入基于多重心的反向学习机制,从而得到一种新的改进海象优化算法IWO。

2.1 Halon序列自适应变异扰动策略

在原海象优化算法中,每当雄性海象利用Halton序列进行位置更新时,由于Halton序列是拟随机序列,它不像真正的随机序列具有随机性,而是通过特定规则生成,因此每次更新后的雄海象位置与上次采用Halton序列更新后得到的雄海象位置相同,均匀地分布在空间内,记为h_i,

$i=\mathrm{1,2},\dots,{M}_{\mathrm{n}}$

。图1(a)表示的是利用Halton序列在上下限为-10和10的二维搜索空间内生成的100个粒子的分布图,这些粒子在不同迭代次数和不同维度上的位置高度一致,由于Halton序列的空间内均匀分布的优良特性,雌海象可以基于位置不变的雄海象位置继续探索,使得海象算法具有稳定性,但同时也浪费了搜索时间,限制了雄性海象在空间中的探索。为了保持算法稳定性且让雄海象能够充分探索空间,利用每只海象历史最佳的位置信息和全局最优位置信息引入随机因子使雄海象位置自适应的变异扰动^[21],位置更新为

(21)

${\stackrel{-}{X}}_{i}^{t}={h}_{i}(1+\gamma \left({g}_{i}^{t}-{X}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{t}\right))$

(22)

$\gamma =(\mathrm{e}-{\mathrm{e}}^{t/T})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(2\mathrm{\pi }{r}_{5}\right)$

式中:γ为自适应算子;r₅为(-1,1)的随机数;

${g}_{i}^{t}$

为第i个海象在第t次迭代的历史最佳位置;

${\stackrel{-}{X}}_{i}^{t}$

为发生变异扰动后的雄海象位置。

图1(b)模拟的是引入变异扰动后100个粒子在二维空间的分布图;图1(c)是自适应算子随迭代次数变化的曲线图。

扰动因子的引入可以使雄海象在前中期增加对未知区域的搜索,后期专注于对局部区域搜索精度的提升,用来平衡算法探索和开发行为,有利于找到最优解。

2.2 雌海象基于多重心的反向学习策略

雌海象在繁殖阶段个体寻优的过程中,是根据对应雄海象和当前群体中最优个体的影响下完成位置更新,随着迭代次数的增加,雄海象和最优个体对于雌海象位置雄性的影响程度产生差异,算法前期为增加种群多样性,雌海象位置主要受雄海象位置的影响;算法后期为了能快速寻优,算法主要受最优个体的影响,为了借助更多的群体信息帮助雌海象找到更优解,引入基于多重心的反向学习策略^[22]。

反向学习策略是指在种群寻优过程中,根据当前解的位置生成一个相对的反向位置,比较当前解和反向解的适应度值,择优进入下一次迭代的过程。在海象种群中,利用种群的搜索信息可以找出种群的全局重心,例如,对于二维的n只海象位置信息可以用

$({x}_{i},{y}_{i})来表示,i=\mathrm{1,2},\dots,n$

,全局中心的坐标G表示为

(23)

$({x}^{G},{y}^{G})=\left(\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+\dots +{x}_{n}}{n},\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+\dots +{y}_{n}}{n}\right)$

根据反向学习策略,对于每只海象个体都有其反向位置,记为

$({\stackrel{-}{x}}_{i},{\stackrel{-}{y}}_{i})$

。

(24)

$({\stackrel{-}{x}}_{i},{\stackrel{-}{y}}_{i})=(2{x}^{G}-{x}_{i},2{y}^{G}-{y}_{i}),i=\mathrm{1,2},\dots,n$

如果对于每个雌海象仅参考全局重心的位置得到反向位置,则对于反向位置的选取过于单一,降低了种群位置的多样性,因此在种群进行反向学习时,可考虑参考海象群体中的部分群体的重心进行反向学习,利用相邻的部分群体的搜索经验,探索更多的区域空间。在二维搜索空间中,基于多重心的反向学习策略位置计算公式如图2所示。

对于等待位置更新的雌海象(x_i,y_i),找出当前群体中最优个体位置(x_b,y_b)和对应的雄海象位置(x_j,y_j),利用雌海象和雄海象的位置确定临时海象的位置(x_k,y_k)。

(25)

$({x}_{k},{y}_{k})=({x}_{i}\pm \left|{x}_{j}-{x}_{i}\right|,{y}_{i}\pm \left|{y}_{j}-{y}_{i}\right|)$

由式(25)确定了临时位置,分别计算临时位置和待更新位置的雌海象以及最优个体三者的重心,用式(23)可得重心为

(26)

$({x}_{i}^{G},{y}_{i}^{G})=\left(\frac{{x}_{i}+{x}_{b}+{x}_{k}}{3},\frac{{y}_{i}+{y}_{b}+{y}_{k}}{3}\right)$

确定多个重心后利用反向学习策略得到关于重心的反向解

$({\stackrel{-}{x}}_{i},{\stackrel{-}{y}}_{i})$

。

(27)

$({\stackrel{-}{x}}_{i},{\stackrel{-}{y}}_{i})=(2{x}_{i}^{G}-{x}_{i},2{y}_{i}^{G}-{y}_{i})$

若反向解的适应度值优于原来位置更新后的适应度值,则按照反向学习更新后的位置进行更新,否则保留原来更新的位置。相比于原算法,此策略充分利用了群体的搜索经验,并保持了种群的多样性。

2.3 IWO算法流程

改进所得的海象优化算法相比于原始算法,算法的基本流程没有改变,在此基础之上雌海象和雄海象的位置更新公式发生变化,图3为改进算法的流程图。具体迭代步骤如下。

步骤1 随机初始化海象群位置,设置种群规模N,最大迭代次数T,设置雄雌海象和幼年海象的种群占比,令当前迭代次数t为0。

步骤2 计算当前最优海象位置和次优海象位置。

步骤3 利用式(2)~式(6)产生安全信号和危险信号;若危险信号绝对值≥1,进入步骤4;否则转步骤5。

步骤4 海象执行集体迁移行为,即利用式(7)~式(9)进行位置更新,转入步骤10。

步骤5 若安全信号绝对值≥0.5,进入步骤6;否则转入步骤7。

步骤6 海象进入繁殖阶段,雄海象通过式(21)和式(22)进行位置更新,雌海象通过式(27)进行位置更新,幼年海象通过式(15)和式(16)进行位置更新,转入步骤10。

步骤7 若危险信号的绝对值≥0.5,进入步骤8;否则转入步骤9。

步骤8 海象进入逃离行为阶段,即利用式(17)进行位置更新, 转入步骤10。

步骤9 海象进入聚集行为阶段,即利用式(18)~式(20)进行位置更新。

步骤10 若t<T,令t=t+1,转步骤2;否则输出

${X}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{t+1}$

并停止。

2.4 算法复杂度分析

设WO算法的种群规模为N,问题维度为D,最大迭代次数为T,由文献[1]可知原WO算法的时间复杂度为O(N×D×T)。

IWO算法的时间复杂度主要由Halton序列变异扰动策略和雌海象基于多重心的反向学习策略构成,相应的算法复杂度也会增加: 参与Halton序列变异扰动策略的个体有M_n只雄海象,进行变异扰动策略的时间复杂度是O(M_n×D×T);参与基于多重心的反向学习策略的个体有M_n只雌海象,每个雌海象的每个维度都进行该策略,因此算法复杂度为O(M_n×D×T)。综上所述,IWO的总时间复杂度为

(28)

$\begin{array}{l}{T}_{\mathrm{I}\mathrm{W}\mathrm{O}}=O(N\times D\times T)+2O({M}_{\mathrm{n}}\times D\times T)\\ =O(N\times D\times T)\end{array}$

从时间复杂度来看,改进后的算法仅在部分迭代过程中增加了算法的时间复杂度,并没有改变算法的数量级,算法的时间复杂度变化不大。

2.5 算法收敛性分析

为说明算法改进的有效性和正确性,对IWO算法的收敛性进行证明。

定理1 经过多次迭代,IWO算法将收敛到概率为1的全局最优解。

证明:假设全局最优解为x^*,最优值为f(x^*)。IWO算法第t次迭代的最优解为

${x}_{t}^{\mathrm{*}}$

,最优值为

$f\left({x}_{t}^{\mathrm{*}}\right)$

,根据序贯收敛定理可知算法能找到全局最优解的等价条件为

$\left|f\left({x}_{t}^{\mathrm{*}}\right)-f\left({x}^{\mathrm{*}}\right)\right|<\epsilon $

,算法一共迭代T次,每一次都产生一个最优解

${x}_{1}^{\mathrm{*}},{x}_{2}^{\mathrm{*}},\dots,{x}_{T}^{\mathrm{*}}$

,从而产生一组数列

$f\left({x}_{1}^{\mathrm{*}}\right),f\left({x}_{2}^{\mathrm{*}}\right),\dots,f\left({x}_{T}^{\mathrm{*}}\right)$

,由于算法是沿着负梯度方向搜索的,每一次迭代产生的最优解都不差于上一次产生的最优解,即

$f\left({x}_{1}^{\mathrm{*}}\right)\ge f\left({x}_{2}^{\mathrm{*}}\right)\ge \dots \ge f\left({x}_{T}^{\mathrm{*}}\right)$

,随着迭代次数的增加,

${x}_{t}^{\mathrm{*}}$

将向全局最优解x^*所在区域逼近,个体进入x^*的ε-邻域的概率增加,用P_t表示第t次迭代

$f\left({x}_{t}^{\mathrm{*}}\right)$

收敛到f(x^*)的概率,由此可得

${P}_{1}\le {P}_{2}\le \dots \le {P}_{T}$

,计算t次迭代后算法不收敛到最优解f(x^*)的概率Q_t。

(29)

${Q}_{t}=(1-{P}_{1})(1-{P}_{2})\dots (1-{P}_{t})\le (1-{P}_{1}{)}^{t}$

由于0≤P₁≤1,可知

$\underset{t\to +\infty }{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}(1-{P}_{1}{)}^{t}=0$

。只要迭代次数足够大,算法不收敛于全局最优的概率是0,因此随着迭代次数的增加,算法最终会收敛到概率为1的全局最优解。

3 数值实验

3.1 实验设置

所有实验都是在MATLAB R2023a上运行,实验环境是Windows11操作系统,处理器是AMD Ryzen 5 3500U with Radeon Vega Mobile Gfx @2.10 GHz和16.0 GB RAM。取文献[23]中23个不同类型的基准测试函数进行10维和30维的极小化数值实验,表1给出了测试函数的编号、具体名称、变量的搜索范围和理论最优目标函数值。

其中F1~F7是单峰函数,在搜索范围内只有一个全局最小值点,该类函数的极小化主要测试算法的开发能力;F8~F13是多峰函数,在搜索范围内有多个局部极小值点,但只有一个全局最小值点,用此类函数的极小化测试算法的搜索能力;F14~F23是固定维数的多峰函数,用它们的极小化测试算法的开发和搜索能力之间的平衡性。

3.2 不同改进策略效果分析

为验证所提出的两种改进策略的有效性,将WO算法分别和这两个策略结合得到以下算法:①仅与变异扰动策略结合得到IWO1算法;②仅与基于多重心的反向学习策略结合得到的IWO2算法。选取表1中部分基准测试函数上进行极小化数值实验,3个算法的参数设置相同,种群数N设置为100,最大迭代次数T为800,函数的维数为10,算法独立求解10次,比较计算结果的平均值(Mean)和标准差(Std.),结果如表2所示。

3.2.1 变异扰动策略对WO算法的影响

由表2可知,算法IWO1在基准测试函数上的收敛性能均优于算法WO。对于结构简单的单峰函数F2和F4,通过变异扰动策略,所得目标函数均值的数量级有所提升,但对于复杂的函数F5~F7,改进后的算法所得目标函数和均值和方差都没有得到显著的提升,仅对F5的均值提升了一个数量级,说明该策略受制于函数结构的复杂度,对于结构越复杂的函数,其算法精度和稳定性的提升上效果有限。

对于多峰函数F8,改进后的算法所得目标函数的均值略有提升;对于F12和F13,其所得目标函数的均值和方差都得到了提升。同样地,对于固定维数的多峰函数F14~F16,改进后的算法所得目标函数的均值和方差都略有提升;对F16,改进后的算法所得目标函数的方差提升了11个数量级,说明该策略对某些多峰函数的稳定性能够得到很大的提升。

由此可以说明,变异扰动策略能够使某些结构简单的单峰函数的求解精度得到提升,但对结构复杂的单峰函数和多峰函数,其优化性能的提升空间有限。

3.2.2 基于多重心的反向学习对WO算法的影响

对函数F2和F4,IWO2算法所得目标函数的均值为0且方差为0,说明通过该策略的改进,算法能在800次的迭代范围内达到理论最优,寻优精度得到了很大的提升;对函数F5和F6,IWO2算法所得目标函数值的均值和方差分别提升了1~2个数量级,但对F7,算法的寻优精度没有得到提升。

同样地,对多峰函数F8、F12和F13,IWO2算法所得目标函数值的均值和方差分别提升了1和2个数量级;对于固定维数的多峰函数F14~F16,所得目标函数的均值精度的提升空间有限:对于F14,IWO2算法所得目标函数的方差提升了1个数量级;对于F16,IWO2算法所得目标函数的方差提升了11个数量级,算法的稳定性得到改善。

由此表明,相较于变异扰动策略,基于多重心的反向学习策略能够大幅度提升简单单峰函数的寻优精度的同时,提升结构复杂的单峰函数和多峰函数的寻优精度,但是对于固定维数的多峰函数,两种策略仅能小幅度的提升算法的方差,对原算法寻优精度的提升不大。

3.3 不同算法寻优结果对比

将改进海象优化算法IWO和其他优秀的优化算法进行数值实验对比,它们分别是粒子群优化算法^[24](particle swarm optimization,PSO)、速度暂停粒子群优化算法^[25](velocity pause particle swarm optimization,VPPSO)、海星优化算法^[26](starfish optimization algorithm,SFOA)、沙猫优化算法^[27](sand cat swarm optimization,SCSO)以及算法WO。

不同算法的参数设置与原文献中保持一致,种群数N设置为100,最大迭代次数T为2 000,函数F1~F13的维数为30,为验证算法的稳定性,每种算法对每个函数极小化独立求解100次,比较各算法所得目标函数值的最好值(Best)、均值(Mean)和方差(Std.)。

表3展示的是6种智能优化算法对23个基准测试函数极小化独立求解100次所得目标函数值的结果。图4为6个算法对6个函数极小化过程中不同迭代次数t时所取得的最优目标函数值,反映的是不同算法在不同函数上的目标函数值收敛曲线。

3.3.1 单峰函数实验分析

F1~F7是单峰基准测试函数。对于函数F1~F4,IWO算法、WO算法、VPPSO算法、SFOA算法在2 000次迭代内所得目标函数值的最好值和均值都达到了它们的理论最优值,并且他们的方差都是0,说明这些算法在收敛速度和稳定性上都比较好;而PSO算法所得目标函数值的最好值和均值和理论最优值结果相去甚远,说明目前新提出的算法在收敛速度上已明显优于经典优化算法。对函数F1和F3,SCSO算法所得目标函数值的最好值和均值也达到了理论最优值;对函数F2和F4,该算法的收敛速度和其他算法还有明显差距。

对函数F5和F6,IWO算法所得目标函数值的最优值、均值虽然没有达到理论最优,但是为6个算法中表现最好的,并且方差也是最小。和WO算法相比,IWO算法对F5的结果提升了3或4个数量级,对F6的结果提升了20个数量级,结合图4(a)、图4(b)的收敛曲线可以看出,IWO算法的收敛速度始终快于其他算法,说明改进后的算法能够在较小的迭代次数下达到更优的算法精度;对于F7,IWO算法所得目标函数值的最优值比WO算法要好,平均值和方差没有WO算法好,但是在同一个数量级,结合收敛曲线可以看出,算法IWO的收敛速度比WO算法要快,说明IWO算法能够以更少的迭代次数达到和WO算法结果相同的精度。除此以外,对F5~F7,VPPSO算法所得目标函数值的最优值、均值和WO算法处于同一数量级,其他算法由于F5~F7的特殊函数构造,在寻优过程中表现不佳。

从图4的收敛曲线不难看出IWO算法表现出了较快的收敛速度和较高的收敛精度,因此在单峰测试函数上IWO算法表现出较强的局部开发能力。

3.3.2 多峰函数上实验分析

F8~F13是多峰基准测试函数。由表3可知,IWO算法在2 000次迭代内所得目标函数值的最好值、均值和方差在所有算法中结果最好。对于F9~F11,除PSO算法外,所有算法都能达到理论最优。对于F8,VPPSO算法所得目标函数值的最好值、均值虽然能够接近理论最优值,但是算法方差太大,而IWO算法的方差稳定在10^-5的数量级,说明IWO算法的稳定性最好,结合图4(d)的收敛曲线可以看出IWO算法的收敛速度始终快于其他算法,在最小的迭代次数内达到了理论最优。

对F12和F13,IWO算法所得目标函数值的最好值比IWO算法提升了20个数量级、均值和方差比IWO算法提升了2或3个数量级,结合图4(e)和图4(f)可知,IWO算法所得目标函数值收敛速度在所有算法中也是最快的。通过上面的对比分析,IWO算法在多峰函数极小化过程中具有更好的全局探索性能。

3.3.3 固定维多峰函数实验分析

F14~F23是固定维多峰基准测试函数。对F14、F16~F19、F21~F23,IWO算法所得目标函数值的最好值和均值均能达到理论最优;对F5和F20,IWO算法所得目标函数值的最好值达到理论最优,SFOA算法在此基础之上,所得目标函数值的均值达到理论最优,且方差最小,说明IWO算法的稳定性不如SFOA算法;对F17,IWO算法的方差最小,稳定性最好;对于其他函数,IWO算法所得目标函数值的方差虽然不是小的,但和最小的方差处于同一数量级,说明算法的稳定性不差;结合图4(g)和图4(h)中F22和F23的收敛曲线可以看出,IWO算法的收敛速度最快。WO算法和SFOA算法也能够找到绝大多数函数的理论最优值,且SFOA算法的稳定性最好;其他算法则不如IWO算法、WO算法和SFOA算法。

通过上述数值实验结果的分析,可以看出IWO算法对绝大多数函数极小化时,在寻优精度、收敛速度及稳定性方面均好于对比算法,表明了该算法具有更强的寻优性能,更具有竞争力。

3.4 不同维度寻优结果对比

为了进一步验证IWO算法的优化效果,针对不同维度进行对比,分别取10维、50维和100维的单峰和多峰函数F1~F13,F14~F23是固定维多峰函数,因此不参与不同维度的数值实验对比。其他参数设置为:种群数为100,最大迭代次数为1 000,独立运行10次,对比所得目标函数值的最好值、平均值和方差,算法结果如表4所示。

从表4中可以看出,对于函数F1、F3以及F9~F11,WO算法和IWO算法在不同维数上总能找到目标函数的理论最优值,且算法的稳定性好;对于F2和F4,WO算法所得目标函数的最好值和均值不再是理论最优值,并且随着维数的上升,离理论最优值越远,而IWO算法不受维度的影响,算法结果一直保持理论最优。

对于函数F5和F6,WO算法受维度的影响较大,随着维度的上升,所得目标函数值的最好值、均值和方差精度呈指数下降的趋势;对于函数F5,IWO算法所得目标函数值的最好值、均值和方差随着维度的上升下降了1或2个数量级;对于函数F6,IWO算法所得目标函数值的最好值始终保持在10^-30以内,均值和方差算法精度有所下降,但精度始终优于同维度下WO算法的结果。

对于函数F7,WO算法和IWO算法均不受维度的影响,所得目标函数的最好值、均值和方差数量级都在10^-6~10^-5。对于F8,其理论最优值受算法维度的影响呈现不同的取值,随着维度的上升,IWO算法所得目标函数的最好值和均值比WO算法的结果更接近理论最优,在高维问题上表现出算法IWO较好的寻优能力。

对于F12和F13,随着维数的上升,算法WO所得目标函数的最好值下降7或8个数量级,均值和方差下降5或6个数量级;而IWO算法所得目标函数的最好值精度维持在10^-30以内,均值和方差的变化与维数的变化无关,始终维持在一个较高的精度。

以上分析表明,IWO算法与WO算法相比,在高维问题上有明显优势,特别是对于高维多峰函数的寻优问题,IWO算法寻优性能优于WO算法的同时,能不受维度的影响,始终保持较高的寻优精度。

4 无线传感器网络(WSN)覆盖优化

4.1 WSN节点覆盖模型

WSN覆盖优化问题可建模形式如下:需要在大小为S的二维平面内部署N个同构的传感器节点v_i=(x_i,y_i),其中i=1,2,…,N,即每个节点具有相同的感知半径R_s和通信半径R_c。为了保证网络的连通性,将节点的通信半径设为节点的感知半径的两倍。将二维平面分割为m×n个网格,单个网格的大小为1,每个网格的中心为u_j=(x_j,y_j),其中

$j=\mathrm{1,2},\dots,mn$

。目标是网格点尽可能多的被传感器节点覆盖,定义传感器节点v_i和网格点u_j之间的距离为d(v_i,u_j),网格点u_j被传感器节点v_i覆盖的概率为P(v_i,u_j),所有传感器节点对于网格点u_j的联合覆盖概率为P(V,u_j),目标区域S的总覆盖率为R,表达式为

(30)

$d({u}_{i},{v}_{j})=\sqrt{({x}_{i}-{x}_{j}{)}^{2}+({y}_{i}-{y}_{j}{)}^{2}}$

(31)

$P({v}_{i},{u}_{j})=\left\{\begin{array}{ll}1,& d({v}_{i},{u}_{j})\ge {R}_{\mathrm{s}}\\ 0,& d({v}_{i},{u}_{j})\le {R}_{\mathrm{s}}\end{array}\right.$

(32)

$\mathrm{P}(\mathrm{V},{u}_{j})=1-\stackrel{N}{\prod _{i=1}}[1-P({v}_{i},{u}_{j}\left)\right]$

(33)

$\mathrm{R}=\stackrel{mn}{\sum _{j=1}}\frac{P(V,{u}_{j})}{mn}$

算法优化的目标在于在监控区域S内求得N个传感器节点部署的最优位置,使得总覆盖率R达到最大化。不失一般性,求总覆盖率R达到最大化就是求目标函数f(x)=-R在大小为S的二维平面内的最小化问题,其中x为N×2的矩阵,代表N个传感器节点的位置信息。

4.2 WSN节点覆盖仿真实验与分析

将所提出的IWO算法在WSN节点部署问题上进行仿真分析,首先将所提出的算法与PSO算法、鱼鹰优化算法^[28](osprey optimization algorithm,OOA)、猎人猎物优化算法^[29](hunter-prey optimization algorithm,HPO)以及WO算法进行比较,基于不同算法的覆盖率进行对比,同时保证作算法对比时每个算法具有相同的初始覆盖率,算法参数设置如下:待检测区域面积S=20 m×20 m,随机部署35个同构传感器节点,节点的半径为R_c=2.5 m。为避免误差,将每一个算法分别进行20次实验,计算覆盖率的均值,优化率反映了算法相对于随机部署覆盖率提升的平均百分比,结果如表5所示。

不同算法的节点分布图及覆盖率优化曲线如图5和图6所示。基于表5中对每一个算法进行横向分析的结果可知,网络随机部署的覆盖率仅有81.41%,采用不同的优化算法在一定程度上都提高了网络部署的覆盖率,其中WO算法的覆盖率和PSO算法的覆盖率相当,平均覆盖率的提升分别达到了17.46%和12.56%,算法的优化部署能力较好;OOA算法的平均覆盖率相较于随机部署仅提升了2.71%,通过图5(d)可以看出OOA算法的覆盖率较差,结合图6分析可得OOA算法的覆盖率迭代曲线在极小迭代次数时就陷入了局部最优,并且在后续的迭代过程中未能有效跳出局部最优,说明在该实验中OOA算法无法有效地利用已知节点的位置探索更优的节点优化部署,算法的优化部署能力一般;经过改进策略得到的IWO算法与WO算法相比,平均优化覆盖率提升了4.9%,图5(e)中可以看出经过IWO算法的优化,监测区域的大部分面积都被有效覆盖,算法的平均优化覆盖率达到了98.87%,结合图6的覆盖率优化曲线可以看到,IWO算法的曲线呈阶梯性上升,意味着由于改进策略的引入,算法相较于WO算法能够在更短的迭代时间内找到更优解,逐步突破局部最优,证明算法在WSN网络优化覆盖的问题上求解精度有所提升。对比其他算法可以看出,IWO算法在80次左右迭代就达到了95%以上的覆盖率,除HPO算法外的其他算法在80次左右迭代得到的平均覆盖率均在90%以下,说明IWO算法能够在较少的迭代次数内逼近最优解。HPO算法虽然在50次迭代内达到了95%的平均覆盖率,但是在后150次的迭代范围内平均覆盖率的提升有限,说明算法在这之中陷入了局部停滞,经过200次迭代后,IWO算法比HPO算法的平均覆盖率提高了0.01%,说明在增加迭代次数的前提下,IWO算法能够在WSN网络优化覆盖问题上和HPO算法的优化结果相当,覆盖监测区域的大部分面积,具有良好的应用前景。

5 钢筋梁柱结构优化

5.1 梁柱结构优化模型

为提高建筑工程的经济效益和施工质量,对以截面尺寸为主要指标的钢筋梁柱结构进行参数优化分析^[30],利用IWO算法进行计算分析,构建使梁、柱分配节点弯矩更趋于平衡、合理的梁柱刚度比范围。钢筋混凝土框架梁的目标函数为

(34)

$\begin{array}{l}min{B}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}[{Y}_{1}{B}_{1i}{B}_{2i}{l}_{i}+{Y}_{2}{\rho }_{i}{l}_{i}\left({A}_{1i}+\frac{{A}_{2i}+{A}_{3i}}{6}\right)+\\ {Y}_{2}{\rho }_{i}{A}_{4i}({B}_{1i}+{B}_{2i}+{s}_{i})]\end{array}$

式(34)中:B_cost为钢筋混凝土框架梁的总造价;i为构建单元;Y₁为混凝土单价,元/m³;B₁_i和B₂_i分别为梁宽和梁高,mm;l_i为构件长度,m;Y₂为钢筋单价,元/t;ρ_i为钢筋密度,kg/m³;A_1i、A_2i、A_3i、A_4i分别为梁的纵筋横截面积、腰筋横截面积、顶部纵筋截面面积、箍筋截面面积,mm²;s_i为保护层厚度,mm。

梁的截面尺寸约束X₁,配筋率约束X₂和X₃,梁底部跨中承载力约束X₄,梁支座左右端承载力约束X₅、X₆,梁斜截面承载力约束X₇,公式为

(35)

$\left\{\begin{array}{l}{X}_{1}=\left\{\begin{array}{l}4-\frac{{l}_{i}}{{B}_{2i}}\le 0\\ {V}_{i}-0.25{f}_{\mathrm{c}}{B}_{1i}H\le 0\end{array}\right.\\ {X}_{2}\le {\rho }_{i}\le {X}_{3}\\ {X}_{4}={M}_{1i}-{f}_{\mathrm{y}}{A}_{1i}\left(H-\frac{{x}_{i}}{2}\right)\le 0\\ {X}_{5}={M}_{2i}-{f}_{\mathrm{c}}{B}_{1i}{x}_{i}\left(H-\frac{{x}_{i}}{2}\right)-{f}_{\mathrm{y}}{A}_{2i}(H-{S}_{i})\le 0\\ {X}_{6}={M}_{3i}-{f}_{\mathrm{c}}{B}_{1i}{x}_{i}\left(H-\frac{{x}_{i}}{2}\right)-{f}_{\mathrm{y}}{A}_{3i}(H-{s}_{i})\le 0\\ {X}_{7}={V}_{i}-0.7{f}_{\mathrm{t}}{B}_{i}{H}_{i}-{f}_{\mathrm{y}\mathrm{u}}H\frac{{A}_{4i}}{{s}_{i}}\le 0\end{array}\right.$

式(35)中: V_i为梁斜截面承载力,kN; f_c为混凝土轴心抗压强度设计值,N/mm²;H为梁截面有效高度,mm;X₂、X₃分别为钢筋最小和最大配筋率;M_1i、M_2i、M_3i为梁底部跨中承载力,kN·m;f_y为钢筋强度设计值,N/mm²;x_i为梁受压力区高度,mm;f_t为混凝土抗拉强度设计值,N/mm²;f_yu为箍筋强度设计值,N/mm²。

钢筋混凝土框架柱的目标函数为

(36)

$\begin{array}{l}min{C}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}[{Y}_{2}{C}_{1i}{C}_{2i}{l}_{i}+{A}_{5i}{Y}_{2}{\rho }_{i}{l}_{i}+\\ {Y}_{2}{\rho }_{i}{A}_{6i}({C}_{1i}+{C}_{2i}-4{s}_{i})]\end{array}$

式(36)中:C_cost为柱总造价;C_1i、C_2i为柱截面的宽度和高度,mm;A_5i、A_6i分别为柱的纵筋截面面积和箍筋截面面积,mm²。

设框架柱的尺寸约束X'₁,配筋率约束X'₂、X'₃,大偏压承载力约束X'₄、小偏压承载力约束X'₅,柱斜截面承载力约束X'₆,其公式为

(37)

$\left\{\begin{array}{l}X\text{'}{}_{1}={V}_{i}-0.25{f}_{\mathrm{c}}{B}_{1i}H\le 0\\ X\text{'}{}_{2}\le {\rho }_{i}\le X\text{'}{}_{3}\\ X\text{'}{}_{4}={N}_{i}-{f}_{\mathrm{c}}{C}_{1i}x\text{'}{}_{i}\le 0\\ X\text{'}{}_{5}={N}_{i}-{f}_{\mathrm{c}}{C}_{1i}x\text{'}{}_{i}-{f}_{\mathrm{y}}{A}_{5i}+{\sigma }_{i}{A}_{5i}\le 0\\ X\text{'}{}_{6}=V\text{'}{}_{i}-\frac{1.75}{{\lambda }_{i}+1}{f}_{\mathrm{t}}{C}_{1i}H\text{'}-{f}_{\mathrm{y}\mathrm{u}}H\text{'}\frac{{A}_{6i}}{{\sigma }_{i}}0.07{N}_{i}\le 0\end{array}\right.$

式(37)中:H'为柱截面的有效高度,mm;x'_i为界限破坏时的受压区高度,mm;σ_i、N_i分别为柱钢筋应力值和轴向压力设计值,N/mm²;V'为柱斜截面承载力,kN。

5.2 梁柱结构优化仿真实验与分析

研究对象为三层三跨RC框架为研究对象,选用HRB400钢筋,成本为3 730元/t,恒载大小为 30 kN/m, 活载大小为12 kN/m,在边跨的结点上施加20 kN 的风荷载。底层楼层 4.5 m,剩余楼层 3.9 m。每层楼的跨度都是6 m。为平衡目标函数和约束条件之间的关系,种群个体的适应度函数为

(38)

$F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{f\left(x\right)+g\left(x\right)},& X>0\\ \frac{1}{f\left(x\right)},& X\le 0\end{array}\right.$

式(38)中:F(x)为适应度函数值;f(x)为目标函数值;g(x)为罚函数;X为约束条件。

对改进海象优化算法设定初始参数后,根据式(38)确定全局最优个体,对不满足约束条件的个体进行调整更新种群,若满足约束条件,则输出最优个体。将IWO算法和WO算法进行对比实验,实验结果如图7所示。

图7中显示WO算法在前期算法波动幅度较大,随着迭代次数的增加优化结果趋于稳定,最终造价平均12 098元; IWO算法在算法前期得到的优化结果相较于原WO算法具有明显的改善,且在算法后期表现出较强的稳定性,最终造价平均为10 367元,总造价成本降低了14.31%。

6 结论

对海象优化WO算法进行改进,首先Halton序列的变异扰动策略帮助雄海象完成位置更新,提高了算法的寻优精度;其次,基于多重心的反向学习策略帮助雌海象充分利用种群的信息,提高了种群的多样性,有利于帮助算法跳出局部最优,并对改进算法进行收敛性证明。在23个基准测试函数上对7个优化算法进行数值对比实验,结果表明改进所得算法有更好的寻优性和稳定性,且具有较高的算法效率。在WSN优化覆盖问题中,用IWO算法能够寻找到覆盖率最大的节点位置;针对钢筋梁柱结构优化问题,改进后的算法能找出造价最低的设计方案,表明该算法在实际工程应用中也有一定的优越性。在实际应用中,存在离散变量的优化问题,多目标优化问题以及对约束优化问题的不同处理方法等,预计将IWO算法更多地运用到这些不同种类问题中,希望得到更多有效结果。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

[1]	Han M X, Du Z F, Yuen K F, et al. Walrus optimizer: a novel nature-inspired metaheuristic algorithm[J]. Expert Systems with Applications, 2024, 239(4): 1-33.

[2]	Houssein E H, Abdel S N, Alabdulhafith M, et al. Extraction of PEM fuel cell parameters using Walrus Optimizer[J]. AIMS Mathematics, 2024, 9(5): 12726-12750.

[3]	Said M, Houssein E H, Aldakheel E A, et al. Performance of the walrus optimizer for solving an economic load dispatch problem[J]. AIMS Mathematics, 2024, 9(4): 10095-10120.

[4]	Hou S, Zhou M M, Bai M J, et al. A transferable meta-learning phase prediction model for high-entropy alloys based on adaptive migration walrus optimizer[J]. Applied Sciences, 2024, 14(10): 1-21.

[5]	Shaheen M A M, Hasanien H M, Mekhamer S F, et al. Walrus optimizerbased optimal fractional order PID control for performance enhancement of offshore wind farms[J]. Scientific Reports, 2024, 14(7): 1-17.

[6]	Korkmaz E, Dogan E, Akgüngör A P. Energy demand estimation in turkey according to road and rail transportation: walrus optimizer and white shark optimizer algorithm-based model development and application[J]. Energies, 2024, 17(9): 1-23.

[7]	Elewi A, Kahveci S, Avaroglu E. Image contrast enhancement using a low-discrepancy population initialized gray wolf optimization algorithm[J]. Multimedia Tools and Applications, 2024, 83(11): 50307-50328.

[8]	Li J, An Q, Lei H, et al. Survey of levy flight-based metaheuristics for optimization[J]. Mathematics, 2022, 10(15): 49-72.

[9]	Geng Y Y, Li Y, Deng C Y. An improved binary walrus optimizer with golden sine disturbance and population regeneration mechanism to solve feature selection problems[J]. Biomimetics, 2024, 501(9): 1-31.

[10]	Li M Y, Liu Z L, Song H X, et al. An improved algorithm optimization algorithm based on Runge Kutta and golden sine strategy[J]. Expert Systems with Applications, 2024, 247(8): 1-17.

[11]	Sameh S M, Moustafa H E, Abdelhay E H, et al. An effective chaotic maps image encryption based on metaheuristic optimizers[J]. Journal of Supercomputing, 2024, 80(1): 141-201.

[12]	Chandran V, Mohapatra P. Enhanced opposition-based grey wolf optimizer for global optimization and engineering design problems[J]. Alexandria Engineering Journal, 2023, 76(1): 429-467.

[13]	Wang W C, Tian W C, Chau K W, et al. An improved bald eagle search algorithm with cauchy mutation and adaptive weight factor for engineering optimization[J]. CMES-computer Modeling in Engineering & Sciences, 2023, 136(2): 1603-1642.

[14]	Wang X, Yi Z, Zheng C B, et al. An adaptive spiral strategy dung beetle optimization algorithm: research and applications[J]. Biomimetics, 2024, 9(9): 1-34.

[15]	谢亮, 柴琳, 段航, 等. 基于改进灰狼优化-简单循环单元网络的整流二极管寿命预测[J]. 科学技术与工程, 2025, 25(15): 6360-6367.

[16]	Xie Liang, Chai Lin, Duan Hang, et al. Lifespan prediction of rectifier diodes based on improved grey wolf optimization-simple recurrent unit network[J]. Science Technology and Engineering, 2025, 25(15): 6360-6367.

[17]	魏山雄. 海象优化算法的改进研究及其应用[D]. 成都: 四川师范大学, 2025.

[18]	Wei Shanxiong. Improvement of walrus optimizer algorithm and its application[D]. Chengdu: Sichuan Normal University, 2025.

[19]	Jia H D, Chu S C, Hu P, et al. Hybrid algorithm optimization for coverage problem in wireless sensor networks[J]. Telecommunication Systems, 2022, 80(1): 105-121.

[20]	陈伟, 杨盘隆. 改进流向算法的无线传感器网络覆盖优化[J]. 电子与信息学, 2024, 41(2): 241-247.

[21]	Chen Wei, Yang Panlong. Improved flow direction algorithm for WSN coverage optimization[J]. Electronics and Information Science, 2024, 41(2): 241-247.

[22]	黄华, 张苗. 混合策略改进阿奎拉鹰优化算法求解多目标红外WSN节点覆盖[J]. 广西科学, 2024, 31(5): 1-17.

[23]	Huang Hua, Zhang Miao. Multi-objective infrared WSN node coverage solved by hybrid strategy improved aquila optimizer[J]. Guangxi Sciences, 2024, 31(5): 1-17.

[24]	高敏, 刘海荣, 朱燕飞. 基于改进灰狼优化算法的WSN覆盖优化[J]. 上海师范大学学报(自然科学版), 2023, 52(2): 256-263.

[25]	Gao Min, Liu Hairong, Zhu Yanfei. WSN coverage optimization based on improved grey wolf optimization algorithm[J]. Journal of Shanghai Normal University (Natural Sciences Edition), 2023, 52(2): 256-263.

[26]	Qin S T, Zeng H D, Sun W, et al. Multi-strategy improved particle swarm optimization algorithm and gazelle optimization algorithm and application[J]. Electronics, 2023, 13(8): 1-33.

[27]	余修武, 商亚东, 刘永. 临时优劣重心反向融变的麻雀优化WSN定位算法[J]. 北京邮电大学学报, 2023, 46(1): 90-96.

[28]	Yu Xiuwu, Shang Yadong, Liu Yong. WSN localization algorithm based on temporary best and worst centroid opposite cross mutation and sparrow optimization[J]. Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications, 2023, 46(1): 90-96.

[29]	Zhang W Y, Zhao J, Liu H, et al. Cleaner fish optimization algorithm: a new bio-inspired meta-heuristic optimization algorithm[J]. Journal of Supercomputing, 2024, 80(12): 17338-17376.

[30]	Zyl J P, Engelbrecht A P. Set-based particle swarm optimization: a review[J]. Mathematics, 2023, 11(13): 1-36.

[31]	Shami T M, Mirjalili S, Al-Eryani Y, et al. Velocity pausing particle swarm optimization: a novel variant for global optimization[J]. Neural Computing & Applications, 2023, 35(12): 9193-9223.

[32]	Zhong C T, Li G, Meng Z, et al. Starfish optimization algorithm (SFOA): a bio-inspired metaheuristic algorithm for global optimization compared with 100 optimizers[J]. Neural Computing and Applications, 2024, 37(12): 3641-3683.

[33]	Chen S L, Zheng J G. Sand cat arithmetic optimization algorithm for global optimization engineering design problems[J]. Journal of Computational Design and Engineering, 2023, 10(6): 2122-2146.

[34]	Jia H D, Chu S C, Hu P, et al. A modified osprey optimization algorithm for solving global optimization and engineering optimization design problems[J]. Symmetry-Basel, 2024, 16(9): 1-28.

[35]	Naruei I, Keynia F, Molahosseini A S. Hunter-prey optimization: algorithm and applications[J]. Soft Computing, 2022, 26(3): 1279-1314.

[36]	秦金凤. 建筑工程施工中基于天牛须算法的钢筋梁柱结构优化研究[J]. 佳木斯大学学报(自然科学版), 2025, 43(1): 98-101.

[37]	Qin Jinfeng. Research on optimization of reinforced beam and column structure based on longniu whisker algorithm in construction engineering[J]. Journal of Jiamusi University (Natural Science Edition), 2025, 43(1): 98-101.

基金资助

国家自然科学基金(12361106)

贵州省自然科学基金重点项目(黔科合基础-ZK[2023]重点003)

中央支持地方科研创新团队项目(PXM2013_014210_000173)

北京建筑大学校级教育科学研究项目(Y2113)

PDF (10519KB)

访问

被引

详细

导航

Received	Published	Revised
2025-03-10	2026-04-08	2025-12-26
Online Date
2026-05-28

摘要

Abstract

Graphical abstract

关键词

Key words

中图分类号

引用本文

1 海象优化算法

2 改进的海象优化算法

2.1 Halon序列自适应变异扰动策略

2.2 雌海象基于多重心的反向学习策略

2.3 IWO算法流程

2.4 算法复杂度分析

2.5 算法收敛性分析

3 数值实验

3.1 实验设置

3.2 不同改进策略效果分析

3.2.1 变异扰动策略对WO算法的影响

3.2.2 基于多重心的反向学习对WO算法的影响

3.3 不同算法寻优结果对比

3.3.1 单峰函数实验分析

3.3.2 多峰函数上实验分析

3.3.3 固定维多峰函数实验分析

3.4 不同维度寻优结果对比

4 无线传感器网络(WSN)覆盖优化

4.1 WSN节点覆盖模型

4.2 WSN节点覆盖仿真实验与分析

5 钢筋梁柱结构优化

5.1 梁柱结构优化模型

5.2 梁柱结构优化仿真实验与分析

6 结论

参考文献

基金资助