基于浸入与不变原理的分数阶电力系统混沌控制

朱照; 王聪; 马萍; 张宏立; 孟月

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2501357

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (1) :172-180 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2501357

电工技术

基于浸入与不变原理的分数阶电力系统混沌控制

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Chaotic Control of Fractional Order Power System Based on Immersion and Invariance Principle

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摘要

针对电力系统中的混沌振荡问题,对含有储能装置的分数阶六阶电力系统模型提出了基于浸入与不变原理的自适应滑模控制方法。首先,构建含有储能装置的六阶电力系统模型并进行分数阶转化,利用分岔图等混沌分析方法证明电力系统存在混沌状态。其次,将分数阶电力系统的混沌控制划分为3个子系统的混沌控制问题,对于系统的外界扰动设计浸入与不变观测器得到扰动估计项和补偿项的自适应律,针对不同子系统的控制目标设计相应的滑模面和滑模函数,从而得到具有全局快速性能的自适应滑模控制器。最后,利用Lyapunov稳定性理论证明闭环系统的稳定性。数值仿真表明:所设计的控制器能够使混沌电力系统恢复到平衡状态,从而抑制电力系统的混沌振荡。

Abstract

In order to solve the chaotic oscillation problem in power system, an adaptive sliding mode control method based on immersion invariance principle was proposed for the fractional order model of a six-order power system with energy storage device. Firstly, a six-order power system model with energy storage device was constructed and converted to fractional order, chaotic analysis methods such as bifurcation diagram are used to prove the existence of chaotic state in power system. Secondly, the chaos control of fractional order power system was divided to the chaos control of three subsystems, and the adaptive law of disturbance estimation and compensation term was obtained by designing the immersion invariance observer, the sliding mode surfaces and sliding mode functions were designed for the control objectives of different subsystems, thus an adaptive sliding mode controller with global fast performance was obtained. Finally, Lyapunov stability theory was used to prove the stability of closed loop system. The numerical simulation show that the controller can restore the chaotic power system to the equilibrium state and suppress the chaotic oscillation of the power system.

Graphical abstract

关键词

电力系统 / 分数阶 / 储能装置 / 浸入与不变 / 自适应滑模控制

Key words

power system / fractional order / energy storing device / immersion and invariance / adaptive sliding mode control

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朱照, 王聪, 马萍, 张宏立, 孟月. 基于浸入与不变原理的分数阶电力系统混沌控制[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(1): 172-180 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2501357

ZHU Zhao, WANG Cong, MA Ping, ZHANG Hong-li, MENG Yue. Chaotic Control of Fractional Order Power System Based on Immersion and Invariance Principle[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(1): 172-180 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2501357

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随着社会对电力需求的不断增加,电力系统的运行面临着日益复杂的挑战。电力系统作为一个典型的大规模复杂非线性动态系统,具有强非线性、多变量和强耦合性等显著特性^[1];这些特性导致在参数变化或受到外界扰动时,电力系统可能出现混沌振荡等不稳定现象进而影响到电网的安全性和可靠性^[2-3],对电力系统中的混沌振荡进行有效控制有重要现实意义。

近几十年来,众多学者致力于电力系统的混沌振荡研究,并在电力系统的混沌抑制方面取得了大量研究成果。最初对电力系统混沌控制的研究以整数阶模型为主,Shang等^[4]对二阶互联电力系统提出了基于继电特性函数的自适应滑模控制方法,提高了系统鲁棒性。Wang等^[5]对二阶互联电力系统设计了自适应线性反馈滑模控制器,通过自适应控制估计未知扰动以抑制系统振荡。随着电力系统混沌控制研究的发展,研究学者针对更高阶数的系统进行研究,王江彬等^[6]对四阶混沌电力系统加入了储能装置及无功补偿装置,引入宏变量设计协同控制器实现系统混沌控制。Wang等^[7]将滑模控制和固定时间控制结合,对四阶电力系统设计了固定时间积分滑模控制器,通过积分表达式实现了电力系统无抖振控制。考虑到电力系统的实际运行特性,研究学者以更加复杂的六阶和七阶电力系统为研究对象进行分析和控制研究。Li等^[8]将六阶电力系统控制问题转化为二阶系统镇定问题,并设计固定时间滑模控制器实现混沌控制。曹骞等^[9]通过引入储能装置吸收多余有功功率,为六阶电力系统设计有限时间滑模控制器实现系统混沌控制。Wang等^[10]对引入储能装置的七阶电力系统设计固定时间协同控制器,所设计控制器可以消除系统抖振。于永进等^[11]对七阶电力系统的发电机侧和负载侧设计扩张观测器估计系统状态变量,考虑外界扰动和控制器故障的情况,设计全局滑模容错控制器实现混沌控制。徐敏等^[12]基于七阶电力系统模型考虑系统的次暂态电动势建立九阶电力系统模型,设计有限时间观测器,利用双曲正切函数替换传统滑模控制方法中的符号函数,提出了比例-积分(proportion-integration,PI)固定时间自适应滑模控制和协同控制方法。

基于上述研究分析可知,对于整数阶电力系统混沌控制问题的研究在系统阶次和控制方法改进等方面已经取得了丰富的成果,然而目前对分数阶混沌电力系统的研究相对较少。相比于整数阶系统,分数阶系统能够更加准确地描述非线性系统的复杂动力学行为,在实际应用中有重要意义。Min等^[13]基于电磁功率扰动下的分数阶二阶互联电力系统模型,通过分岔图等方法分析了扰动幅值和频率对系统运行状态的影响,设计主动反馈控制器,实现两个分数阶电力系统的同步控制。谭文等^[14]对周期负荷扰动下的分数阶二阶互联电力系统,分别设计了非线性反馈控制器和主动反馈控制器,通过比较其优劣性证明主动反馈控制方法优于非线性反馈控制方法。严波等^[15]研究了基于Conformable微分定义的分数阶单机无穷大电力系统混沌与分岔行为,证明分数阶单机无穷大电力系统中存在混沌状态。艾纯玉等^[16]对含风电场的分数阶电力系统,提出一种自适应同步控制方法,并实现系统参数辨识和混沌控制。Min等^[17]对含励磁环节的分数阶四阶电力系统,研究了多吸引子共存现象,并设计同步控制器实现系统混沌控制。

目前对于分数阶混沌电力系统的研究较少且以低阶电力系统为主,控制方法主要为同步控制。传统的同步控制方法需建立驱动-响应系统模型,同步控制器的设计依赖于驱动系统的信息,实现成本较高。基于以上研究,现针对六阶分数阶电力系统,引入储能装置来构建受控电力系统,设计基于浸入与不变原理的自适应滑模控制器来抑制电力系统混沌振荡,通过数值仿真验证所设计控制器的有效性。以期仅通过受控系统设计反馈控制器,依靠系统自身的信息即可实现电力系统的混沌控制。

1 预备知识

1.1 分数阶微积分定义及相关性质

分数阶微积分是以传统微积分为基础发展而来的重要数学工具,尤其在描述非线性和时变系统时表现出其独特的优势。通过建立分数阶系统能够更好地理解和描述复杂动态系统的行为。采用的Caputo微分定义式为

(1)${D}_{t}^{\alpha }f\left(t\right)=\mathrm{ }\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}{\int }_{0}^{t}\frac{{f}^{\left(n\right)}\left(\tau \right)}{{(t-\tau )}^{\alpha -n+1}}\mathrm{d}\tau $

式(1)中:α为导数的阶数,是一个实数;n为大于α的第一个整数,即n-1≤α<n;f⁽ⁿ⁾(τ)为函数f(t)的第n阶导数;Γ(·)为伽马函数。分数阶微分相关性质和引理如下。

性质1^[18] 对于常数a和b,有

(2)$D_{t}^{\alpha }[a{{f}_{1}}(t)+b{{f}_{2}}(t)]=aD_{t}^{\alpha }{{f}_{1}}(t)+bD_{t}^{\alpha }{{f}_{2}}(t)$

性质2^[19] 分数阶微积分叠加性质,表达式为

(3)${D}_{t}^{\alpha }\left[{D}_{t}^{\alpha }{f}_{1}\right(t\left)\right]=\mathrm{ }{D}_{t}^{2\alpha }{f}_{1}\left(t\right)$

性质3^[19] 设f(x)为连续可导的复合函数,有

(4)${D}_{t}^{\alpha }f\left(x\right)=\mathrm{ }{D}_{x}^{\alpha }f\left(x\right)\mathrm{ }{D}_{t}^{\alpha }x$

引理1^[20] 对于连续可导函数f(t),t≥0时,有

(5)$\frac{1}{2}{D}_{t}^{\alpha }{f}^{2}\mathrm{ }\left(t\right)\le f\left(t\right)\mathrm{ }{D}_{t}^{\alpha }f\left(t\right)$

1.2 分数阶滑模面及趋近律设计

文献[21]基于非线性系统比较了不同滑模面的性能,滑模面A与其他滑模面相比,不但缓解了抖振和奇异问题,而且有全局快速收敛特性。滑模面A的表达式为

(6)$S=\stackrel{·}{x}+a\mathrm{ }{x}^{\frac{m}{n}}+b\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{ }\frac{x}{\epsilon }=0$

式(6)中:a、b为正实数;m、n为正奇数,且m>n;ε为远小于1的正实数。

将其推广至分数阶系统中,以下分数阶系统的控制器设计选择如下滑模面和趋近律。

(7)$\mathrm{滑}\mathrm{模}\mathrm{面}:S={D}_{t}^{\alpha }t+a\mathrm{ }{x}^{\frac{m}{n}}+b\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{ }\frac{x}{\epsilon }=0$

(8)$\mathrm{趋}\mathrm{近}\mathrm{律}:{D}_{t}^{\alpha }S=-a\mathrm{ }{S}^{\frac{m}{n}}-b\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{ }\frac{S}{\epsilon }$

1.3 分数阶浸入与不变扰动观测器设计

对分数阶六阶电力系统设计浸入与不变扰动观测器,以带扰动二阶分数阶模型为例进行说明,模型表达式为

(9)$\left\{\begin{array}{l}{D}_{t}^{\alpha }{x}_{1}={x}_{2}\\ {D}_{t}^{\alpha }{x}_{2}=f({x}_{1},{x}_{2})+d\end{array}\right.$

式(9)中:(x₁,x₂)^T为系统状态变量;f(x₁,x₂)为系统复杂项,简写为f;d为未知外界扰动。为实现对扰动的估计,定义扰动估计误差为

(10)z=d^*+β(x₁,x₂)-d

式(10)中:z为扰动估计误差;β(x₁,x₂)为补偿项,简写为β;d^*为扰动的估计值,结合扰动观测器,式(9)可扩展为

(11)$\left\{\begin{array}{l}{D}_{t}^{\alpha }{x}_{1}={x}_{2}\\ {D}_{t}^{\alpha }{x}_{2}=f+{d}^{\mathrm{*}}+\beta -z\\ {D}_{t}^{\alpha }{d}^{\mathrm{*}}=\varphi \\ {D}_{t}^{\alpha }\beta =\omega \end{array}\right.$

基于式(11),扰动估计误差的动力学方程为

(12)${D}_{t}^{\alpha }z=\varphi +\mathrm{ }{D}_{{x}_{1}}^{\alpha }\beta {x}_{2}+\mathrm{ }{D}_{{x}_{2}}^{\alpha }\beta (f+{d}^{*}+\beta -z)$

当ϕ取值如式(13)所示时,可满足${D}_{t}^{\alpha }$z=-z${D}_{{x}_{2}}^{\alpha }$β。

(13)$\varphi =-{D}_{{x}_{1}}^{\alpha }\beta {x}_{2}-\mathrm{ }{D}_{{x}_{2}}^{\alpha }\beta (f+{d}^{*}+\beta )$

定义Lyapunov函数Vz=$\frac{1}{2}$z²且满足${D}_{{x}_{2}}^{\alpha }$β=k>0,结合引理1可得

(14)${D}_{t}^{\alpha }{V}_{z}=\mathrm{ }\frac{1}{2}{D}_{t}^{\alpha }{z}^{2}\le z\mathrm{ }{D}_{t}^{\alpha }z=-k{z}^{2}\le 0$

根据Caputo微分定义可得:${D}_{{x}_{1}}^{\alpha }$β=0,${D}_{{x}_{2}}^{\alpha }$β=k,结合式(11)~式(13)可得浸入与不变扰动观测器表达式为

(15)$\left\{\begin{array}{l}{D}_{t}^{\alpha }{d}^{\mathrm{*}}=\varphi =-k(f+{d}^{\mathrm{*}}+\beta )\\ {D}_{t}^{\alpha }\beta =\omega =k(f+{d}^{\mathrm{*}}+\beta )\end{array}\right.$

2 电力系统模型及动力学分析

对于整数阶六阶电力系统模型^[8],其动力学方程如下。

(16)$\left\{\begin{array}{l} \dot{\delta}_{\mathrm{m}}=\omega_{\mathrm{B}} s_{\mathrm{m}} \\ \dot{s}_{\mathrm{m}}=\frac{-d_{\mathrm{m}} s_{\mathrm{m}}+P_{\mathrm{m}}-P_{\mathrm{g}}}{2 H} \\ \dot{E}_{q}^{\prime}=\frac{-E_{q}^{\prime}+\left(x_{d}-x_{d}^{\prime}\right) I_{d}+E_{\mathrm{fd}}}{T_{d 0}} \\ \dot{E}_{\mathrm{fd}}=\frac{-E_{\mathrm{fd}}+K_{\mathrm{A}}\left(V_{\mathrm{ref}}-V_{\mathrm{t}}\right)}{T_{\mathrm{A}}} \\ \dot{\delta}_{\mathrm{L}}=\frac{Q-Q_{1 \mathrm{~d}}-Q_{0}-q_{2} V_{\mathrm{L}}-\left(q_{3}-B_{\mathrm{c}}\right) V_{\mathrm{L}}^{2}}{q_{1}} \\ \dot{V}_{\mathrm{L}}=\frac{P-P_{1 \mathrm{~d}}-P_{0}-p_{1} \dot{\delta}_{\mathrm{L}}-p_{3} V_{\mathrm{L}}}{p_{2}} \end{array}\right.$

式(16)中:δ_m和s_m分别为发电机功角和发电机转速差,E'_q为q轴暂态电势;E_fd为发电机励磁电动势;δ_L和V_L分别为负载母线电压相角和幅值;P_g、I_d、V_t、Q、P为状态变量的函数,其余则为常值参数,详细的参数含义如表1所示,状态变量的耦合函数详见文献[8]。

基于式(16),在发电机端和负载端加入储能装置来吸收系统多余的有功功率和无功功率来实现对电力系统的控制,储能装置的动力学方程为

(17)$\dot{P}_{\mathrm{es}}=-\frac{P_{\mathrm{es}}}{T_{\mathrm{es}}}+K_{\mathrm{es}} u_{\mathrm{es}}$

式(17)中:T_es、K_es为储能装置参数;u_es为控制输入。含储能装置的电力系统接线图如图1所示。

结合Caputo微积分定义,将加入储能装置的整数阶电力系统转化为分数阶电力系统,受控电力系统的动力学方程如式(18)所示。

(18)$\left\{\begin{array}{l} D_{t}^{\alpha} \delta_{\mathrm{m}}=\omega_{\mathrm{B}} s_{\mathrm{m}} \\ D_{t}^{\alpha} s_{\mathrm{m}}=\frac{-d_{\mathrm{m}} s_{\mathrm{m}}+P_{\mathrm{m}}-P_{\mathrm{g}}-P_{\mathrm{es} 1}}{2 H} \\ D_{t}^{\alpha} P_{\mathrm{es} 1}=-\frac{P_{\mathrm{es} 1}}{T_{\mathrm{pes} 1}}+K_{\mathrm{pes} 1} u_{\mathrm{pes} 1} \\ D_{t}^{\alpha} E_{q}^{\prime}=\frac{-E_{q}^{\prime}+\left(x_{d}-x_{d}^{\prime}\right) I_{d}+E_{\mathrm{fd}}}{T_{\mathrm{d} 0}^{\prime}} \\ D_{t}^{\alpha} E_{\mathrm{fd}}=\frac{-E_{\mathrm{fd}}+K_{\mathrm{A}}\left(V_{\mathrm{ref}}-V_{\mathrm{t}}\right)}{T_{\mathrm{A}}} \\ D_{t}^{\alpha} \delta_{\mathrm{L}}=\frac{Q-Q_{1 \mathrm{~d}}-Q_{0}-Q_{\mathrm{es}}-q_{2} V_{\mathrm{L}}-\left(q_{3}-B_{\mathrm{c}}\right) V_{\mathrm{L}}^{2}}{q_{1}} \\ D_{t}^{\alpha} Q_{\mathrm{es}}=-\frac{Q_{\mathrm{es}}}{T_{\mathrm{qes}}}+K_{\mathrm{qes}} u_{\mathrm{qes}} \\ D_{t}^{\alpha} V_{\mathrm{L}}=\frac{P-P_{1 \mathrm{~d}}-P_{0}-P_{\mathrm{es} 2}-p_{1} D_{t}^{\alpha} \delta_{\mathrm{L}}-p_{3} V_{\mathrm{L}}}{p_{2}} \\ D_{t}^{\alpha} P_{\mathrm{es} 2}=-\frac{P_{\mathrm{es} 2}}{T_{\mathrm{pes} 2}}+K_{\mathrm{pes} 2} u_{\mathrm{pes} 2} \end{array}\right.$

电力系统由于部件老化和负荷扰动等因素可能会导致系统参数发生变化,使电力系统出现混沌振荡状态,将研究分数阶阶次α和系统输入机械功率P_m发生变化对电力系统运行状态的影响。系统初值选择为[δ_m(0),s_m(0),P_es1(0),E'q(0),E_fd(0),δ_L(0),Q_es(0),V_L(0),P_es2(0)]=[1.333 1,0,0,1.031 2,2.998 2,0.385 8,0.385 8,0,0.984 5,0],其余参数取值如表1所示。

选取表1的模型参数,固定α的变化范围为0.8~1,绘制状态变量δ_m、δ_L随α变化的分岔图如图2所示,可知当0.8<α<0.9时,系统处于单周期状态,各状态变量无大幅度的波动;当0.9<α<1时,系统由单周期状态进入混沌状态,各状态变量发生明显的振荡现象,且振荡幅度与α成正比。

根据图2选择分数阶阶次α=0.998,固定参数P_m的变化范围为0.4~0.8,绘制状态变量δ_m、δ_L随P_m变化的分岔图如图3所示,可知当0.4<P_m<0.46时,系统状态变量有微小波动但系统仍处于稳定运行状态;当0.46<P_m<0.8由单周期状态进入混沌状态,各状态变量发生明显的振荡现象,振荡幅度与P_m成正比。结合图2从稳定状态进入混沌状态。

为验证由图2和图3得到的电力系统发生混沌振荡的参数条件,取仿真时间t=30 s,绘制α=0.998、P_m=0.72时状态变量δ_m、δ_L、V_L的时间序列图如图4所示,相空间的混沌吸引子如图5所示。

由图2~图5可知,当电力系统由于系统老化等因素导致参数发生变化时,在特殊参数条件下电力系统的状态变量可能发生无规则振荡,系统由稳定状态进入混沌状态,当混沌振荡发生时,状态变量振幅较小,系统仍可以运行,但如果不加以控制,状态变量振幅则会越来越大导致系统崩溃。电力系统中的混沌振荡严重影响电力系统的稳定运行,可能损害电力系统设备甚至引发大面积停电事故。因此有必要研究有效的控制策略以抑制电力系统的混沌振荡。

3 分数阶自适应滑模控制器设计

评估电力系统稳定性的主要指标有功角、电压等,因此设定系统控制目标为(δ_md,s_md,δ_Ld,V_Ld)=(0,0,0,1),式(18)则可划分为3个子系统,对3个子系统分别设计控制器。

3.1 子系统一控制器设计

子系统一的动力学方程为

(19)$\left\{\begin{array}{l}{D}_{t}^{\alpha }{\delta }_{\mathrm{m}}={\omega }_{\mathrm{B}}{s}_{\mathrm{m}}\\ {D}_{t}^{\alpha }{s}_{\mathrm{m}}=\frac{-{d}_{\mathrm{m}}{s}_{\mathrm{m}}+{P}_{\mathrm{m}}-{P}_{\mathrm{g}}-{P}_{\mathrm{e}\mathrm{s}1}}{2H}\\ {D}_{t}^{\alpha }{P}_{\mathrm{e}\mathrm{s}1}=-\frac{{P}_{\mathrm{e}\mathrm{s}1}}{{T}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}1}}+{K}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}1}{u}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}1}\end{array}\right.+d$

式(19)中:d为外界扰动,通过设计控制器u_pes1使电力系统恢复到同步状态。为方便控制器设计,对式(19)进行如下变换。

(20)$\left\{\begin{array}{l}{D}_{t}^{\alpha }{x}_{1}={x}_{2}\\ {D}_{t}^{\alpha }{x}_{2}=g+d\\ {D}_{t}^{\alpha }{x}_{3}=-\frac{{x}_{3}}{{T}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}1}}+{K}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}1}{u}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}1}\end{array}\right.$

式(20)中:x₁=δ_m/ω_B,x₂=s_m,x₃=P_es1,x_1d=δ_md/ω_B,x_2d=s_md,g=(-d_mx₂+P_m-P_g-x₃)/(2H)。

定义发电机功角和转差误差为

(21)e₁=x₁-x_1d

(22)e₂=x₂-x_2d

根据预备知识1.2节定义滑模面[式(23)]和趋近律[式(24)]分别为

(23)$\left\{\begin{array}{l}{S}_{1}={e}_{2}+{a}_{1}e{1}^{\frac{{m}_{1}}{{n}_{1}}}+{b}_{1}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\frac{{e}_{1}}{{\epsilon }_{1}}=0\\ {S}_{2}={D}_{t}^{\alpha }{S}_{1}+{a}_{2}{{S}_{1}}^{\frac{{m}_{2}}{{n}_{2}}}+{b}_{2}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\frac{{S}_{1}}{{\epsilon }_{2}}=0\end{array}\right.$

(24)${D}_{t}^{\alpha }{S}_{2}=-{a}_{2}\mathrm{ }{{S}_{2}}^{\frac{{m}_{2}}{{n}_{2}}}-{b}_{2}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{ }\frac{{S}_{2}}{{\epsilon }_{2}}$

根据预备知识1.3节,式(20)的浸入与不变扰动观测器为

(25)$\left\{\begin{array}{l}{D}_{t}^{\alpha }{d}^{\mathrm{*}}=-{k}_{1}(\frac{-{d}_{\mathrm{m}}{x}_{2}+{P}_{\mathrm{m}}-{P}_{\mathrm{g}}-{x}_{3}}{2H}+{d}^{\mathrm{*}}+\beta )\\ {D}_{t}^{\alpha }\beta ={k}_{1}(\frac{-{d}_{\mathrm{m}}{x}_{2}+{P}_{\mathrm{m}}-{P}_{\mathrm{g}}-{x}_{3}}{2H}+{d}^{\mathrm{*}}+\beta )\end{array}\right.$

基于上述推导,控制器u_pes1的表达式为

(26)$\begin{aligned} u_{\text {pes1 }}= & \left\{2 H \left[a_{1} D_{t}^{2 \alpha} e_{1}^{\frac{m_{1}}{n_{1}}}+b_{1} D_{t}^{2 \alpha} \tanh \left(e_{1} / \varepsilon_{1}\right)+\right.\right. \\ & a_{2} D_{t}^{\alpha} S_{1}^{\frac{m_{2}}{n_{2}}}+b_{2} D_{t}^{\alpha} \tanh \left(S_{1} / \varepsilon_{2}\right)+a_{2} S_{2}^{\frac{m_{2}}{n_{2}}}+ \\ & \left.b_{2} \tanh \left(S_{2} / \varepsilon_{2}\right)\right]-d_{\mathrm{m}}\left(g+d^{*}+\beta\right)- \\ & \left.D_{t}^{\alpha} P_{\mathrm{g}}+\frac{x_{3}}{T_{\text {pes } 1}}+D_{t}^{\alpha} d^{*}+D_{t}^{\alpha} \beta\right\} / K_{\text {pes } 1} \end{aligned}$

3.2 子系统二控制器设计

子系统二的动力学方程为

(27)$\left\{\begin{array}{l}{D}_{t}^{\alpha }{\delta }_{\mathrm{L}}=\frac{Q-{Q}_{1\mathrm{d}}-{Q}_{0}-{Q}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}-{q}_{2}{V}_{\mathrm{L}}-({q}_{3}-{B}_{\mathrm{c}}){V}_{\mathrm{L}}^{2}}{{q}_{1}}\\ {D}_{t}^{\alpha }{Q}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}=-\frac{{Q}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}}{{T}_{\mathrm{q}\mathrm{e}\mathrm{s}}}+{K}_{\mathrm{q}\mathrm{e}\mathrm{s}}{u}_{\mathrm{q}\mathrm{e}\mathrm{s}}\end{array}\right.$

通过设计控制器u_pes2使电力系统负载母线电压相角恢复到额定值0,定义负载母线电压相角误差为

(28)e₃=δ_L-δ_Ld

根据预备知识1.2节定义滑模面[式(29)]和趋近律[式(30)]分别为

(29)$S_{3}=D_{t}^{\alpha} e_{3}+a_{3} e_{3}^{\frac{m_{3}}{n_{3}}}+b_{3} \tanh \frac{e_{3}}{\varepsilon_{3}}=0$

(30)$D_{t}^{\alpha} S_{3}=-a_{3} S_{3}^{\frac{m_{3}}{n_{3}}}-b_{3} \tanh \frac{S_{3}}{\varepsilon_{3}}$

基于上述推导,控制器u_qes的表达式为

(31)$\begin{aligned} u_{\mathrm{qes}}= & \left\{q _ { 1 } \left[a_{3} D_{t}^{\alpha} e_{3}^{\frac{m_{3}}{n_{3}}}+b_{3} D_{t}^{\alpha} \tanh \left(e_{3} / \varepsilon_{3}\right)+a_{3} S_{3}^{\frac{m_{3}}{n_{3}}}+\right.\right. \\ & \left.b_{3} \tanh \left(S_{3} / \varepsilon_{3}\right)\right]+D_{t}^{\alpha} Q+Q_{\mathrm{es}} / T_{\mathrm{qes}}- \\ & \left.q_{2} D_{t}^{\alpha} V_{\mathrm{L}}-\left(q_{3}-B_{\mathrm{c}}\right) D_{t}^{\alpha} V_{\mathrm{L}}^{2}\right\} / K_{\mathrm{qes}} \end{aligned}$

3.3 子系统三控制器设计

子系统三的动力学方程为

(32)$\left\{\begin{array}{l}{D}_{t}^{\alpha }{V}_{\mathrm{L}}=\frac{P-{P}_{1\mathrm{d}}-{P}_{0}-{P}_{\mathrm{e}\mathrm{s}2}-{p}_{1}f-{p}_{3}{V}_{\mathrm{L}}}{{p}_{2}}\\ {D}_{t}^{\alpha }{P}_{\mathrm{e}\mathrm{s}2}=-\frac{{P}_{\mathrm{e}\mathrm{s}2}}{{T}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}2}}+{K}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}2}{u}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}2}\end{array}\right.$

通过设计控制器输入u_pes2使负载母线电压幅值恢复到额定值1。定义负载母线电压幅值误差为

(33)e₄=V_L-V_Ld

根据预备知识1.2节定义滑模面[式(34)]和趋近律[式(35)]分别为

(34)$S_{4}=D_{t}^{\alpha} e_{4}+a_{4} e_{4}^{\frac{m_{4}}{n_{4}}}+b_{4} \tanh \frac{e_{4}}{\varepsilon_{4}}=0$

(35)$D_{t}^{\alpha} S_{4}=-a_{4} S_{4}^{\frac{m_{4}}{n_{4}}}-b_{4} \tanh \frac{S_{4}}{\varepsilon_{4}}$

基于上述推导,控制器u_pes2的表达式为

(36)$\begin{aligned} u_{\mathrm{pes} 2}= & \left\{p _ { 2 } \left[a_{4} D_{t}^{\alpha} e_{4}^{\frac{m_{4}}{n_{4}}}+b_{4} D_{t}^{\alpha} \tanh \left(e_{4} / \varepsilon_{4}\right)+\right.\right. \\ & \left.a_{4} S_{4}^{\frac{m_{4}}{n_{4}}}+b_{4} \tanh \left(S_{4} / \varepsilon_{4}\right)\right]+D_{t}^{\alpha} P+ \\ & \left.P_{\mathrm{es} 2} / T_{\mathrm{pes} 2}-p_{1} D_{t}^{\alpha} f-p_{3} D_{t}^{\alpha} V_{\mathrm{L}}\right\} / K_{\mathrm{pes} 2} \end{aligned}$

证明当系统收敛至滑模面S₂=0,S₃=0,S₄=0时,受控闭环系统受控状态变量收敛至控制目标,因此定义Lyapunov函数为

(37)$V=\frac{1}{2}({S}_{2}^{2}+{S}_{3}^{2}+{S}_{4}^{2}+{z}^{2})$

对V做分数阶求导,并结合引理1有

(38)$\begin{array}{l}{D}_{t}^{\alpha }V=\frac{1}{2}({D}_{t}^{\alpha }{S}_{2}^{2}+{D}_{t}^{\alpha }{S}_{3}^{2}+{D}_{t}^{\alpha }{S}_{4}^{2}+{D}_{t}^{\mathrm{a}2}z)\\ 　　\le {S}_{2}{D}_{t}^{\alpha }{S}_{2}+{S}_{3}{D}_{t}^{\alpha }{S}_{3}+{S}_{4}{D}_{t}^{\alpha }{S}_{4}+z{D}_{t}^{\alpha }z\end{array}$

代入控制输入u_pes1、u_qes、u_pes2可得

(39)$\begin{aligned} D_{t}^{\alpha} V= & S_{2} D_{t}^{\alpha} S_{2}+S_{3} D_{t}^{\alpha} S_{3}+S_{4} D_{t}^{\alpha} S_{4}+z D_{t}^{\alpha} z \\ = & -S_{2}\left[a_{2} S_{2}^{\frac{m_{2}}{n_{2}}}+b_{2} \tanh \left(S_{2} / \varepsilon_{2}\right)\right]- \\ & S_{3}\left[a_{3} S_{3}^{\frac{m_{3}}{n_{3}}}+b_{3} \tanh \left(S_{3} / \varepsilon_{3}\right)\right]- \\ & S_{4}\left[a_{4} S_{4}^{\frac{m_{4}}{n_{4}}}+b_{4} \tanh \left(S_{4} / \varepsilon_{4}\right)\right]- \\ & k z^{2} \leqslant 0 \end{aligned}$

由式(39)可知,在控制输入作用下系统可以收敛至滑模面S₂=0、S₃=0、S₄=0,受控系统渐近稳定。

4 仿真实验及结果分析

为验证所提出控制方法的有效性,使用MATLAB软件进行数值仿真。根据图2和图3可知,当α=0.998、P_m=0.4时,系统为稳定状态,此时加入外界扰动d=0.08cos(0.08πt),系统状态变量的时间序列图如图6所示,可知,当系统在稳定状态受到周期性外界扰动时,电力系统状态变量会发生周期性变化,然后进入短期混沌振荡状态。

联立式(18)和式(25)构成受控电力系统,在控制器u_qes、u_pes2中需要对状态变量的耦合函数Q、P进行分数阶求导,采用有限差分法来实现多变量函数分数阶求导。设置控制参数:a₁=a₂=a₃=a₄=2、b₁=b₂=b₃=b₄=2、m₁=m₂=m₃=m₄=7、n₁=n₂=n₃=n₄=5、ε₁=ε₂=ε₃=ε₄=0.1、K_pes1=K_qes=K_pes2=1、T_pes1=0.24、T_qes=T_pes2=0.5、k₁=100。系统初值设为[δ_m(0),s_m(0),P_es1(0),E'_q(0),E_fd(0),δ_L(0),Q_es(0),V_L(0),P_es2(0),d^*(0),β(0)]=[1.333 1,0,0,1.031 2,2.998 2,0.385 8,0,0.984 5,0,0,0],控制目标为(δ_md,s_md,δ_Ld,V_Ld)=(0,0,0,1)。代入上述控制参数,加入控制器u_pes1、u_qes、u_pes2和外界扰动d,状态变量的时间序列图如图7所示。可知,在输入信号作用下,各状态变量均在2~3 s收敛至控制目标,由于外界扰动直接施加在子系统一,状态变量δ_m、s_m的收敛速度要明显慢于状态变量δ_L、V_L。

系统的相空间演化图如图8所示;储能装置吸收的有功功率和无功功率如图9所示;浸入与不变扰动观测器对外界扰动的追踪如图10所示。

由图8可知,在控制器作用下,系统状态变量经过演化后最终收敛于控制目标点。由图9可知,储能装置P_es1、Q_es吸收电力系统多余能量,储能装置P_es2向电力系统补偿能量,维持电力系统平衡。由图10可知,所设计扰动观测器可以实现对外界扰动的跟踪,配合控制器u_pes1使子系统一达到平衡状态。

在电力系统稳定性控制中,系统振荡通常由外界干扰、不平衡负载和参数变化引起。浸入与不变原理将低维非线性系统的控制问题映射到高维空间,自适应滑模控制方法通过动态调整控制策略以适应外界干扰和系统参数的不确定性,使得系统的动态行为能够被有效控制。将浸入与不变原理与自适应滑模控制方法结合,通过设计不变性约束保证了系统在外界干扰和不确定性下仍能够保持稳定。

5 结论

基于整数阶六阶电力系统建立带储能装置的分数阶六阶电力系统模型,通过分岔图等分析方法证明分数阶电力系统中存在的混沌状态。考虑到电力系统中参数波动和外界扰动可能会引起电力系统的混沌振荡,为电力系统添加外界扰动模拟实际情况,利用浸入与不变观测器对扰动进行估计;对分数阶电力系统设计全局快速滑模控制器并证明在控制器作用下闭环系统的稳定性。结论如下。

(1)通过绘制系统分岔图,可知当电力系统参数发生变化时,电力系统可能由稳定状态逐步进入混沌振荡状态,并给出不同系统状态对应的参数参考区间。后续仿真实验证明,系统在稳定状态下受到外界扰动时,电力系统同样会发生混沌振荡。

(2)在控制输入作用下,各状态变量能够快速收敛,使系统达到稳定状态,浸入与不变观测器可以实现扰动追踪。对分数阶六阶电力系统直接设计反馈控制器实现电力系统混沌控制,无需外界系统即可实现系统控制,为分数阶电力系统的混沌控制提供了一种新思路。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

[1]	Wu Q H, Bose A, Singh C, et al. Control and stability of large-scale power system with highly distributed renewable energy generation: viewpoints from six aspects[J]. CSEE Journal of Power and Energy Systems, 2023, 9(1): 8-14.

[2]	Yang F, Shen Y, Li D, et al. Fractional-order sliding mode load frequency control and stability analysis for interc-onnected power systems with time-varying delay[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2024, 39(1): 1006-1018.

[3]	王卫, 李雅晗, 王腾飞, 等. 考虑源网荷不确定性的电力系统概率暂态稳定预防控制[J]. 科学技术与工程, 2022, 22(20): 8718-8726.

[4]	Wang Wei, Li Yahan, Wang Tengfei, et al. Preventive control with probabilistic transient stability constrains for power system considering source network load incertainties[J]. Science Technology and Engineering, 2022, 22(20): 8718-8726.

[5]	Shang Z, Yu Y, Li Y. Adaptive sliding mode control of chaotic oscillation in power system based on relay characteristic function[C]// 2020 IEEE/IAS Industrial and Commercial Power System Asia. Weihai: IEEE, 2020: 1012-1016.

[6]	Wang J, Yu Y. Chaotic oscillation control in power system based on adaptive linear feedback sliding mode control[C]// 2018 Chinese Automation Congress. Xi’an: IEEE, 2018: 3384-3388.

[7]	王江彬, 刘崇新. 4阶混沌电力系统的协同控制方法[J]. 西安交通大学学报, 2020, 54(1): 26-31.

[8]	Wang Jiangbin, Liu Chongxin. Synergetic control method for four-dimensional chaotic power system[J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2020, 54(1): 26-31.

[9]	Wang J B, Liu C X, Wang Y, et al. Fixed time integral sliding mode controller and its application to the suppression of chaotic oscillation in power system[J]. Chinese Physics B, 2018, 27(7): 070503.

[10]	Li X, Wang J, Liu L, et al. Controlling chaos in a six-dimensional power system model[C]// 2019 Chinese Automation Congress. Hangzhou: IEEE, 2019: 182-188.

[11]	曹骞, 韦笃取. 六阶电力系统混沌振荡的有限时间滑模控制[J]. 振动与冲击, 2024, 43(14): 156-162.

[12]	Cao Qian, Wei Duqu. Finite-time sliding mode control of chaotic oscillations in sixth-order power systems[J]. Journal of Vibration and Shock, 2024, 43(14): 156-162.

[13]	Wang J B, Liu C X, Liu L, et al. Fixed-time synergetic control for a seven-dimensional chaotic power system model[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2019, 29(10): 1950130.

[14]	于永进, 杨洋. 基于全局滑模的自适应电力系统混沌容错控制[J]. 电工技术学报, 2023, 38(23): 6332-6344.

[15]	Yu Yongjin, Yang Yang. Chaotic fault-tolerant control of adaptive power system based on global sliding mode[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(23): 6332-6344.

[16]	徐敏, 康哲, 刘早富. 基于观测器的混沌电力系统PI固定时间自适应滑模控制[J]. 电力系统保护与控制, 2022, 50(19): 146-157.

[17]	Xu Min, Kang Zhe, Liu Zaofu. Observer-based PI fixed time adaptive sliding mode control for chaotic power systems[J]. Power System Protection and Control, 2022, 50(19): 146-157.

[18]	Min F H, Jin Q S, Dou Y P, et al. Fractional-order chaotic model and synchronization control of the power system with electromagnetic power disturbance of synchronous generator[C]// 2018 International Conference on Electrical Machines and System. Jeju: IEEE, 2018: 913-917.

[19]	谭文, 张敏, 李志攀. 分数阶互联电力系统混沌振荡及其同步控制[J]. 湖南科技大学学报(自然科学版), 2011, 26(2): 74-78.

[20]	Tan Wen, Zhang Min, Li Zhipan. Chaotic oscillation of interconnected power system and its synchronization[J]. Journal of Hunan University of Science & Technology (Natural Science Edition), 2021, 26(2): 74-78.

[21]	严波, 贺少波. Conformable分数阶单机无穷大电力系统分岔与混沌研究[J]. 系统科学与数学, 2020, 40(6): 954-968.

[22]	Yan Bo, He Shaobo. The bifurcation and chaos analysis of Conformable fractional order unipolar infinite power system[J]. Journal of Systems Science and Mathematical, 2020, 40(6): 954-968.

[23]	艾纯玉, 何山, 王维庆, 等. 含风电场的分数阶电力系统自适应同步控制[J]. 振动与冲击, 2024, 43(18): 306-312.

[24]	Ai Chunyu, He Shan, Wang Weiqing, et al. Adaptive synchronous control of a fractional order power system including wind farm[J]. Journal of Vibration and Shock, 2024, 43(18): 306-312.

[25]	Min F, Wang Y, Dou Y, et al. Fractional-order analysis model and control of chaotic oscillation in a 4D power system including synchronous generator exciter[C]// 2017 International Conference on Electrical Machines and System. Sydney: IEEE, 2017: 1-4.

[26]	薛定宇, 陈阳泉. 高等应用数学问题的MATLAB求解[M]. 北京: 清华大学出版社, 2020.

[27]	Xue Dingyu, Chen Yangquan. MATLAB solution of advanced applied mathematics problems[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2020.

[28]	Mohammadzadeh A, Kaynak O. A novel fractional-order fuzzy control method based on immersion and invariance approach[J]. Applied Soft Computing, 2020, 88: 106043.

[29]	邵克勇, 郭浩轩, 韩峰, 等. 具有控制约束的分数阶混沌系统的柔性同步控制[J]. 控制与决策, 2019, 34(6): 1325-1330.

[30]	Shao Keyong, Guo Haoxuan, Han Feng, et al. Adaptive soft variable structure controller with control constraints for synchronization of fractional-order chaotic systems[J]. Control and Decision, 2019, 34(6): 1325-1330.

[31]	李小腾, 王江彬, 刘崇新, 等. 四阶混沌电力系统的全局快速滑模控制器设计[J]. 科学技术与工程, 2021, 21(24): 10298-10303.

[32]	Li Xiaoteng, Wang Jiangbin, Liu Chongxin, et al. Global fast sliding mode controller design for a four-dimensional chaotic power system[J]. Science Technology and Engineering, 2021, 21(24): 10298-10303.