混合多策略的美洲狮优化算法及应用

张媛媛; 雍龙泉

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2500961

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (10) :4243-4259 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2500961

自动化技术、计算机技术

混合多策略的美洲狮优化算法及应用

张媛媛 ,
雍龙泉 ^*

作者信息 +

Hybrid Multi-strategy Cougar Optimization Algorithm and Its Application

ZHANG Yuan-yuan ,
YONG Long-quan ^*

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摘要

为了应对传统美洲狮(puma optimizer,Puma)算法存在的初始位置不均匀、搜索精度不高等问题,提出了一种混合多策略的美洲狮算法(tent multi strategy puma optimizer, TPuma)。采用Tent混沌映射代替传统伪随机数生成初始种群,从而提升种群的多样性。在原有的位置更新公式基础上,引入新的更新机制,使个体在迭代过程中有效跳出局部最优解。并在原算法中融合Levy飞行机制,平衡原算法在探索和开发阶段的选择概率,使算法迅速找到最优值。采用Wilcoxon检验测试Puma与TPuma之间有无显著差异,再用马尔科夫链稳态分布柱状图直观地观察不同状态的概率分布情况。使用基准测试函数和两个经典工程设计问题进行仿真实验,并与其他流行算法进行比较。仿真结果显示,加入Tent混沌映射和Levy飞行机制后,算法表现出优越的收敛速度和更高的寻优精度。

Abstract

To address the issues of uneven initial positions and low search accuracy in the traditional Puma (puma optimizer), TPuma (Tent multi-strategy puma optimizer) was proposed. The Tent chaotic mapping was adopted to replace the traditional pseudo-random number generation for the initial population, thereby enhancing the diversity of the population. On the basis of the original position update formula, a new update mechanism was introduced to enable individuals to effectively escape from local optima during the iterative process. Additionally, the Levy flight mechanism was integrated into the original algorithm to balance the selection probabilities in the exploration and exploitation phases, allowing the algorithm to quickly find the optimal value. The Wilcoxon test was used to determine whether there are significant differences between Puma and TPuma, and the steady-state distribution histogram of the Markov chain was used to visually observe the probability distribution of different states. Benchmark test functions and two classic engineering design problems were used for simulation experiments and compared with other popular algorithms. The simulation results show that after adding the Tent chaotic mapping and the Levy flight mechanism, the algorithm exhibits superior convergence speed and higher optimization accuracy.

Graphical abstract

关键词

美洲狮优化算法 / 混沌映射 / Levy飞行机制 / 机械优化

Key words

puma optimization algorithm / chaotic mapping / Levy flight mechanism / mechanical optimization

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张媛媛, 雍龙泉. 混合多策略的美洲狮优化算法及应用[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(10): 4243-4259 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2500961

ZHANG Yuan-yuan, YONG Long-quan. Hybrid Multi-strategy Cougar Optimization Algorithm and Its Application[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(10): 4243-4259 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2500961

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近年来机械优化问题成为研究的热点话题。随着社会的持续发展,机械设备与工程仪器的精度不断提升,其内部结构也日益复杂,导致设计、建模及优化难度加大,且伴随着众多的约束条件。传统的优化手段已难以满足实际生产的需求。在此背景下,智能优化算法逐渐崭露头角。这类算法属于启发式随机搜索算法,通过模拟自然现象或生物群体的行为规律,并运用计算机技术来探寻复杂工程问题的最优解^[1-3]。

元启发式算法(metaheuristic algorithms, MA)是一种高级算法,用于解决优化问题。常见的MA算法包括基于进化算法(evolutionary algorithm,EA)^[4-5]、群体智能(swarm intelligence, SI)^[6-9]、基于物理的方法(physics-based method, PH)^[10]。元启发式算法在优化领域和其他各个学科中已经获得了广泛的欢迎,它们通常不依赖于特定问题结构,而是旨在对问题的解空间进行全局搜索或局部搜索。这些算法通常被用于处理复杂的优化问题,例如组合优化、连续优化、多目标优化等^[11]。文献[12]提出了灰狼优化算法(grey wolf optimizer, GWO),该算法模拟灰狼领导层,四级分类,执行狩猎三步骤:搜寻、包围、攻击。通过模拟自然机制,提升算法性能;文献[13]提出了一种受自然启发的元启发式鲸鱼算法(whale optimization algorithm, WOA),借鉴座头鲸社群行为与泡沫网捕食策略,对比前沿元启发式算法及传统解法,WOA展现出了卓越的竞争能力;文献[14]提出樽海鞘群优化算法(salp swarm algorithm,SSA),灵感源自海洋中樽海鞘的群体航行与觅食习性。通过数学优化函数测试,验证了SSA在提升初始随机解质量及逼近最优解方面的有效性。文献[15]受蜣螂多种行为启发,提出蜣螂优化算法(dung beetle optimizer,DBO),该算法平衡全局与局部搜索,收敛迅速且求解精准。

机械优化在元启发算法中受到广泛应用,文献[16]采用改进的粒子群优化算法(U-PSO)来处理机械工程设计中的优化难题。在U-PSO算法中,通过引入新的速度更新参数集,包括惯性权重、加速度系数以及活跃系数,并结合新的位置更新方程,旨在有效平衡算法的探索与开发能力;文献[17]提出了元胞梯度(cellular gradient, CG)方法。运用 CG的基本规则与算法框架,创新性地设计了3种生长与灭绝规则,推导出了细胞嫉妒邻居规则与孤立再生规则的最佳表达形式,并确定了执行这些规则的最佳顺序;文献[18]提出了一种增强的花授粉算法(flower pollination algorithm, FPA),该算法融入了惯性权重调节的混沌机制以及额外的特性优化。这一改进的FPA旨在提升算法性能,并通过一系列基准数学函数测试、机械工程设计优化任务以及加工流程优化问题的实例验证其有效性;文献[19]提出了一种无约束优化联赛冠军算法(league championship algorithm, LCA),LCA模拟联赛冠军机制优化,结合可行性、多样性和多后代策略,在基准测试函数及机械设计问题上表现优异,展现了其高效性和竞争力;文献[20]提出了北极海雀优化算法(arctic puffin optimization, APO),APO融合空中巡游(探索)与水下觅食(开发),探索阶段模拟海雀迁徙提速,强化全局搜索与跳出局部最优,开发阶段协同调整,精准利用最优解。智能切换两阶段,平衡全局与局部搜索,提升效率。

上述算法在解决优化问题时表现出了一定的优势。它能够快速而有效地搜索解空间,具有一定的全局搜索能力,并且在处理复杂的多维优化问题时表现出了良好的鲁棒性。然而,这些方法在平衡全局搜索与局部搜索方面存在不足,缺乏有效的局部最优解逃脱策略,并且难以保持种群的多样性。这导致在实际应用中出现收敛速度慢、搜索精度低以及易陷入局部最优等问题^[21]。因此,基于美洲狮算法,现提出一种加入Tent混沌映射以及Levy飞行的新型美洲狮优化算法(tent multi strategy puma optimizer,TPuma),引入Tent混沌映射生成美洲狮算法的初始种群,使用Levy飞行改变其系数带来的局限性,以期解决传统美洲狮算法在探索与开发选择不均的问题,提高算法的多样性。

1 美洲狮优化算法思想及算法过程

1.1 无经验阶段

美洲狮算法基于美洲狮猎食行为,其利用美洲狮的智能和记忆特性,将优化过程分为探索和开发两个阶段。在探索阶段,该算法模拟美洲狮探索新领地的行为,寻找潜在的优化方向;在开发阶段,算法则模拟美洲狮返回已知有猎物的地方的行为,深化优化方案^[22]。

美洲狮在它的早期生活中没有太多的经验,由于不熟悉它的生活空间且不知道猎物在它的领土上的位置,它经常在同一时间进行探索与开发。

(1)${f}_{1}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$=PF₁

(2)${f}_{1}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$=PF₁

(3)${f}_{2}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$=PF₂

$\frac{\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{q}}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}^{1}+\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{q}}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}^{2}+\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{q}}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}^{3}}{\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{q}}_{\mathrm{T}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}^{1}+\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{q}}_{\mathrm{T}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}^{2}+\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{q}}_{\mathrm{T}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}^{3}}$

(4)${f}_{2}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$=PF₂

$\frac{\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{q}}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{1}+\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{q}}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{2}+\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{q}}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{3}}{\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{q}}_{\mathrm{T}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}^{1}+\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{q}}_{\mathrm{T}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}^{2}+\mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{q}}_{\mathrm{T}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}^{3}}$

式中:

${f}_{1}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

、

${f}_{1}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

、

${f}_{2}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

、

${f}_{2}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

为同时执行探索和开发的操作,直到在相变阶段完成初始化;Seq_Time为一个可变的常数值,设置为1;PF₁和PF₂为固定值,必须在优化过程开始之前进行设置,用于对

${f}_{1}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

、

${f}_{1}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

、

${f}_{2}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

、

${f}_{2}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

函数中的每一个值进行优先级排序;

$\mathrm{ }{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{q}}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}^{1}$

、

${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{q}}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{1}$

、

${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{q}}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}^{2}$

、

${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{q}}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{2}$

、

${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{q}}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}^{3}$

、

${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{q}}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{3}$

为从探索和开发的每个阶段获得的最佳解决方案的成本差。

在这些数据计算完之后,由于美洲狮有了经历,需要在两个阶段中选择其中一个进行探索或开发,由式(5)和式(6)实现。如果Score_Exploit≥Score_Explore,则进入开发阶段,否则进入探索步骤。

(5)Score_Explore=PF₁${f}_{1}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$+PF₂

${f}_{2}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

(6)Score_Exploit=PF₁${f}_{1}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$+PF₂

${f}_{2}^{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

1.2 有经验阶段

经过上述步骤,算法进入了有经验阶段。美洲狮获得了足够的经验来判断何时进入改变阶段。随后,在迭代过程中,它们仅选择一个阶段进行优化操作,并在此阶段使用了6种不同的函数,如式(7)~式(12)所示。

(7)${f}_{1t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$=PF₁

$\left|\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}-\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}}{{T}_{t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}}\right|$

(8)${f}_{1t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$=PF₁

$\left|\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}-\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}}{{T}_{t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}}\right|$

式中:

${f}_{1t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

和

${f}_{1t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

分别为探索和开发阶段的首个函数的量;t为当前迭代次数;Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

和Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

分别为当前选择中改进前后最佳方案的成本;Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

和Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

分别为改进前后获得的最佳方案的成本;

${T}_{t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

和

${T}_{t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

分别为开发和探索阶段未采纳的迭代次数;PF₁为一个可调节的参数,在优化前需将其设定在0~1。

(9)${f}_{2t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$=PF₂

$\left|\frac{(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{d},1}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}-\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w},1}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}})+(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{d},2}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}-\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w},2}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}})+(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{d},3}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}-\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w},3}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}})}{{T}_{t,1}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}+{T}_{t,2}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}+{T}_{t,3}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}}\right|$

(10)${f}_{2t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$=PF₂

$\left|\frac{(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{d},1}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}-\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w},1}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}})+(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{d},2}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}-\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w},2}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}})+(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{d},3}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}-\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w},3}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}})}{{T}_{t,1}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}+{T}_{t,2}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}+{T}_{t,3}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}}\right|$

式中:

${f}_{2t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

和

${f}_{2t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

分别为探索和开发步骤的第二个函数;Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{d},1}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

和Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{d},1}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

分别为当前探索和开发阶段中改进前最佳方案的成本;Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{d},2}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

和Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{d},2}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

分别为当前探索和开发步骤选择中改进前最佳方案;Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{d},3}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

和Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{d},3}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

分别为在探索和开发这两个阶段中优化之前的最佳解决方案的成本;Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w},1}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

和Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w},1}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

分别为在当前探索和开发阶段中,通过改进后所得的最佳解决方案的成本;Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w},2}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

和Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w},2}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

分别为在之前的探索与开发阶段中,通过改进得到的最佳搜索代理的成本;Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w},3}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

和Cos

${\mathrm{t}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w},3}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

分别为在前两个探索与开发阶段中,经改进后所得最优方案的成本;

${T}_{t,1}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

和

${T}_{t,1}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

分别为在探索和开发的每一个阶段中从先前选择到当前选择的未选择迭代的次数;

${T}_{t,2}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

和

${T}_{t,2}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

分别为用于探索和开发阶段的从两个先前选择到一个先前选择的未选择迭代的次数;

${T}_{t,3}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

和

${T}_{t,3}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

分别为用于探索和开发阶段的从3个先前选择到两个先前选择的未选择迭代的次数;PF₂为一个可调节的参数,在优化前需将其设定在0~1。

(11)${f}_{3t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$=$\left\{\begin{array}{ll}0,& \mathrm{选}\mathrm{择}\mathrm{开}\mathrm{发}\mathrm{阶}\mathrm{段}\\ {f}_{3t}^{exploit}+P{F}_{3},& \mathrm{选}\mathrm{择}\mathrm{探}\mathrm{索}\mathrm{阶}\mathrm{段}\end{array}\right.$

(12)${f}_{3t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$=$\left\{\begin{array}{ll}0,& \mathrm{选}\mathrm{择}\mathrm{探}\mathrm{索}\mathrm{阶}\mathrm{段}\\ {f}_{3t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}+\mathrm{P}{\mathrm{F}}_{3},& \mathrm{选}\mathrm{择}\mathrm{开}\mathrm{发}\mathrm{阶}\mathrm{段}\end{array}\right.$

式中:

${f}_{3t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}$

和

${f}_{3t}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}}$

分别为探索和开发阶段的第3个函数;PF₃为一个可调节的参数。

按照式(11)和式(12),若某一阶段未被选中,则在每次迭代中,开发和探索各阶段对应的第3个函数值将增加一个参数PF₃;否则,把它设定为零;在优化前需将PF₃设定在0~1。参数PF₃增大的阶段被选中概率增大,参数值减小时,选中概率降低。

1.3 探索阶段

美洲狮常在领地内长途跋涉搜寻食物,可能回到曾发现猎物的地点,或探索新区域。如果未能捕获猎物,它会随机寻找食物或接近其他美洲狮借用其猎物。因此,美洲狮的搜寻范围可能会随时变化,并可能进入其他美洲狮的领地。此过程可通过公式模拟。首先,需对整个种群按特定顺序(如升序)进行排序。

(13)Z_i_,G=$\left\{\begin{array}{l}{R}_{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{m}}({U}_{\mathrm{b}}-{L}_{\mathrm{b}})+{L}_{\mathrm{b}},　　\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{1}>0.5\\ {X}_{a,\mathrm{G}}+G({X}_{a,\mathrm{G}}-{X}_{b,\mathrm{G}})+\\ 　　G\left\{\right[({X}_{a,\mathrm{G}}-{X}_{b,\mathrm{G}})-({X}_{c,\mathrm{G}}-\\ 　　{X}_{d,\mathrm{G}}\left)\right]+\left[\right({X}_{c,\mathrm{G}}-{X}_{d,\mathrm{G}})-\\ 　　({X}_{e,\mathrm{G}}-{X}_{f,\mathrm{G}})\left]\right\},　\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{1}\le 5\end{array}\right.$

(14)G=2rand₂-1

式中:U_b和L_b分别为问题可能达到的最高值和最低值;R_Dim为介于0~1随机产生的数值;rand₁为一个在0~1随机生成的数字;X_a_,G、X_b_,G、X_c_,G、X_d_,G、X_e_,G和X_f_,G为整个群体中的解,这些解是随机选择的;rand₂为在0~1区间内均匀随机产生的数。

根据等式(13),从两个可选方程中挑选一个以获得不同的解,接着利用这个新生成的解来优化当前的解。

(15)X_new=$\left\{\begin{array}{ll}{Z}_{i,\mathrm{G}},& j={j}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}\mathrm{或}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{3}\le U\\ {X}_{a,\mathrm{G}},& \mathrm{其}\mathrm{他}\end{array}\right.$

(16)NC=1-U

(17)p=$\frac{NC}{{N}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{p}}}$

(18)U=U+p, CostX_new<CostX_i

式中:X_new为生成的最新解;Z_i_,G为使用式(13)生成的解;j_rand为在问题维度的范围内随机产生的整数值;rand₃为在0~1区间内均匀随机产生的数;U为在优化步骤开始前的参数集合,其取值范围是0~1的一个数字;N_pop为美洲狮的总数;p为参数集和美洲狮总数的比值。

最后,使用式(19)将新生成的解替换为当前解。

(19)

$\left\{\begin{array}{l}{X}_{a,\mathrm{G}}={X}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\\ {X}_{i,\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}<{X}_{a,\mathrm{G}}\end{array}\right.$

1.4 开发阶段

在开发阶段,美洲狮算法采用两种不同策略来优化解,分别模拟了美洲狮的伏击和冲刺行为。在自然界,美洲狮会利用灌木丛、树木和岩石作为掩护,对猎物进行伏击。在有些情况下,它会追着猎物跑,使用式(20)对该行为进行模拟。

(20)X_new=$\left\{\begin{array}{l}\frac{\frac{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{S}\mathrm{o}{\mathrm{l}}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}\right)}{{N}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{p}}}{{X}^{\mathrm{r}}}_{1}-{(-1)}^{\beta }{X}_{i}}{1+\alpha \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{5}},\\ 　　　　　　　\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{4}\ge 0.5\\ \mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{m}{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}}+\left(2\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{7}\right)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{\mathrm{n}}_{1}\right){{X}^{\mathrm{r}}}_{2}-{X}_{i},\\ 　　　　　　　\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{6}\ge L\\ 2\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{8}\frac{{F}_{1}RX\left(i\right)+{F}_{2}(1-R)\mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{m}{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}}}{2\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{9}-1+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{\mathrm{n}}_{2}}-\\ 　　\mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{m}{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}},　其他\end{array}\right.$

式(20)中:mean为均值函数;Sol_total为所有解的总体集合;N_pop为进行优化操作的总次数;X^r₁为从整个群体中随机挑选的一个解;β为随机生成的1或者0;X_i为当下迭代中的解;Puma_male为整个群体中的最佳解;rand₄~rand₉为介于0~1随机产生的数值;randn₁和randn₂为在正态分布范围内,根据问题维度随机产生的数值;X^r₂为根据式(20)随机挑选的解。

式(20)显示了美洲狮算法中使用的两种策略。在开发阶段,为了实施奔跑和伏击,使用了式(20)中的第一种情况,并且这一操作旨在模拟美洲狮迅速接近猎物的行为。根据式(20),如果rand₄≥0.5,则采取迅速奔跑的战术;否则,会选择伏击策略。伏击策略包含两个不同的行动步骤。第一个操作即rand₆≥L用于模拟美洲狮侵入其他领地以进行狩猎的行为,L是优化过程中可调整的参数;第二种情况则模拟了向拥有最理想猎物的美洲狮领地发起狩猎的行为。

(21)round[1+(N_pop-1)rand₁₀]

(22)R=2rand₁₁-1

(23)F₁=randn₃exp$\left(2-\mathrm{I}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\frac{2}{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{I}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}\right)$

(24)F₂=w(v²)cos(2rand₁₂w)

(25)w=randn₄

(26)v=randn₅

式中:R为随机数;F₁为自适应步长因子;F₂为振荡扰动因子;rand₁₀~rand₁₂为介于0~1随机产生的数值;randn₃为在正态分布范围内,根据问题维度随机产生的数值;Iter为当前迭代次数;MaxIter为优化操作所经历的总循环次数;randn₄和randn₅为在正态分布范围内随机产生的数字。

最终,当这一阶段结束时,若新提出的方案成本低于现有方案,则采用新方案进行替换。

2 混合多策略的新型美洲狮算法

2.1 改进策略

首先,Puma算法通过生成随机数来初始化种群,这导致了种群的多样性不足,并使得前期搜索缺乏目标性,从而降低了寻优效率。其次,算法在位置更新时过于依赖最优个体,容易陷入局部最优,难以突破。以上问题导致算法的寻优精度较低且收敛速度缓慢。针对这些不足,引入相应策略进行改进,以提升算法的整体性能。研究显示,初始种群的多样性对算法快速收敛到精确解具有重要影响。初始种群的多样性越高,算法在搜索过程中能够探索到更广泛的解空间,从而增加找到全局最优解的机会。为了增强种群的多样性,获得更优的初始位置,并有效弥补基本 Puma算法中的不足,在美洲狮算法过程中引入了 Tent映射和 Levy飞行机制。

2.1.1 Tent混沌映射初始化种群

Tent映射是一种混沌映射^[23],可以生成具有高分散性的随机数,混沌映射生成的序列可以覆盖整个搜索空间,并且生成的种群在搜索空间中是均匀分布,有助于确保种群成员在解空间中的分布更加均匀。减少了算法的迭代次数,节省计算时间和成本,加快算法的收敛过程,避免算法陷入局部最优解,提高算法的全局搜索能力^[24]。

因此,通过Tent混沌映射产生混沌变量,将变量带入待解问题的解空间,最终对个体进行混沌摄动这产生了大量的不可计算性和随机性以及全面性。加入Tent混沌映射的这种方法被广泛应用于密码学、随机数生成等多门学科,其数学表达式为

(27)x_i₊₁=$\left\{\begin{array}{ll}2{x}_{i},& {x}_{i}<0.5\\ 2(1-{x}_{i}),& {x}_{i}\ge 0.5\end{array}\right.$

Tent混沌映射多样化种群序列步骤如下:①在[0,1]内产生一个随机初始值;②再根据x_i₊₁迭代计算新的x序列,并继续更新i=i+1;③不满足迭代条件时,保存产生的x序列。

将Tent混沌映射与美洲狮算法结合得到位置更新等式(28)。加入混沌映射使算法具有更强的全局搜索能力、更快的收敛速度和更全面的搜索多样性,且使得算法具有鲁棒性和适用性。

(28)Z_T,_i_,G=$\left\{\begin{array}{l}{R}_{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{m}}({U}_{\mathrm{b}}-{L}_{\mathrm{b}})+{L}_{\mathrm{b}},　　\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{1}>0.5\\ {X}_{\mathrm{T},a,\mathrm{G}}+G({X}_{\mathrm{T},a,\mathrm{G}}-{X}_{\mathrm{T},b,\mathrm{G}})+\\ 　G\left\{\right[({X}_{\mathrm{T},a,\mathrm{G}}-{X}_{\mathrm{T},b,\mathrm{G}})-({X}_{\mathrm{T},c,\mathrm{G}}-\\ 　{X}_{\mathrm{T},d,\mathrm{G}}\left)\right]+\left[\right({X}_{\mathrm{T},c,\mathrm{G}}-{X}_{\mathrm{T},d,\mathrm{G}})-\\ 　({X}_{\mathrm{T},e,\mathrm{G}}-{X}_{\mathrm{T},f,\mathrm{G}})\left]\right\},\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{1}\le 5\end{array}\right.$

式(28)中:X_T,_a_,G、X_T,_b_,G、X_T,_c_,G、X_T,_d_,G、X_T,_e_,G和X_T,_f_,G为在Tent混沌映射影响下产生的新的整个群体中的解。

2.1.2 Levy飞行平衡探索与开发

Levy飞行机制模拟了生物在寻找食物时的随机移动模式^[25],这种机制使得解能够在解空间中进行长距离跳跃,从而有效避免陷入局部最优的困境。具体而言,生物在觅食时并不是简单地按照固定的路径移动,而是会根据环境和自身状态随机调整方向和步长,这种非线性和随机性为其提供了更大的探索范围。

将Levy飞行机制与Puma优化算法结合,可以显著提升算法的多样性。通过在解空间中引入更多的变异和不确定性,算法在后续的搜索过程中能够更高效地探索潜在的优质解。这种多样性不仅有助于发现新的解决方案,还能减少算法在某些特定区域的过度集中,降低了陷入局部最优解的风险。这种机制的结合不仅提升了算法的整体性能,还提高了其准确性,使得在复杂问题的求解中更具竞争力。通过灵活的搜索策略和多样化的个体,算法能够在不断变化的环境中保持适应性,从而更好地满足实际应用的需求。Levy飞行机制的数学表达式通常分为两大步。

(1)步长分布:步长L通常遵循Levy分布,其概率密度函数为

(29)P(L)~

$\frac{\beta }{\mathrm{\Gamma }(1+\beta )}$

L^-(1+^β⁾, L>0

式(29)中:β为介于(0,2)的参数;Γ为伽马函数。

(2)位置更新:在每一步,个体的新位置x由当前的位置x₀和步长L决定。

(30)x=x₀+Lθ

式(30)中:θ为一个方向角,通常取值在[-1,1]。

这种机制结合了随机性和长距离跳跃的特性,使得搜索过程更加灵活高效。在Puma算法选择开发和探索阶段中加入Levy飞行,使得PF₃的数值根据Levy函数决定。

(31)PF₃=Levy(·)

2.2 TPuma算法的步骤

综合以上针对Puma算法的改进策略,TPuma算法的具体步骤如下。

步骤1 初始化种群:通过Tent混沌映射生成一定数量的解,形成初始种群。设定种群的大小和维度,确保个体在解空间内均匀分布,以便于后续探索。

步骤2 评估适应度:对每个个体计算适应度值,通常通过目标函数进行评估。适应度值反映了个体在优化问题中的表现。

步骤3 更新位置:根据TPuma算法的更新规则调整每个个体的位置。引入Levy飞行机制增强种群的探索能力,使其能够在解空间内更有效地跳跃,从而避免陷入局部最优。

步骤4 选择最佳个体:在当前种群中,评估适应度后选择适应度最高的个体作为当前的最优解。

步骤5 判断终止条件,确认是否满足结束条件,如果达到预定的最大迭代次数算法结束;否则,继续进行迭代。

步骤6 循环迭代:如果未满足终止条件,返回步骤3,重复进行位置更新和适应度评估。通过多次迭代,不断优化种群,逐渐收敛到最优解。

TPuma算法伪代码如下。

TPuma算法流程图如图1所示。

2.3 算法复杂度分析

TPuma算法的实现具有挑战性,但具有较低的计算复杂度,并且取决于运行哪个阶段,因为每个阶段都有其计算复杂度。总体而言,TPuma的计算复杂性有3个基本过程:初始化、适应度评估和产生新的解决方案。初始化阶段的计算复杂度是O(N²)。此外,在探索开发阶段中,用于产生新的解决方案、跟踪最佳位置以及更新所有TPuma的位置向量的计算复杂度等于O[N(T+TD)]。因此,计算复杂度等于O[(T+TD)N³],其中T为最大迭代次数,D为问题的维数,N为种群的数量。

3 仿真实验环境和结果分析

为了更好地评估改进后算法的能力,使用CEC2005具有多种类型的测试集进行测试。此测试集包括多类函数:单峰函数,单峰函数没有局部极小值,只有全局最小值,主要用来检验改进后算法的收敛性;多峰函数,这些函数包含局部极值点,用于评估改进后算法跳出局部最优的能力,进一步增加算法的优化难度。鉴于元启发式算法含有较高的随机成分,单独算法针对每个基准函数的模拟实验结果并不可靠,因此取各种算法进行模拟实验,包括、混合多策略的美洲狮优化算法(TPuma)、灰狼优化(grey wolf optimizer, GWO)^[12]、鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm, WOA)^[13]、樽海鞘群算法(salp swarm algorithm,SSA)^[14]、蜣螂优化算法(dung beetle optimizer,DBO)^[15]、美洲狮算法(Puma)^[22] 。

3.1 参数设置

由于元启发式算法的随机性较强,仅运行一次对每个基准函数的仿真测试结果是不可靠的。为了增强每种算法仿真测试结果的可靠性,并更公正地评估每种算法的性能,将迭代次数设定为1 000次,并且对每个基准函数进行30次独立测试。

3.2 实验分析

为了直观地观察和对比基准函数的测试结果,表1列出了这些结果的均值R_m、标准差R_std和最佳值R_b。

由表1的统计结果可见,在单峰测试函数F1~F7中,TPuma算法在函数F1和F3中较算法WOA、DBO、SSA、GWO取得最优解平均值最佳的结果,在F4、F5和F7中较其余算法取得最优解平均值最佳的结果,在测试函数F2、F6中取得比Puma算法更优的平均值解。在多峰测试函数F8~F13中,TPuma算法分别在函数F8、F9、F10中取得比其余算法最优值的平均值最佳的结果,在F11中多个优化算法均达到最优的平均值解,而在测试函数F13中取得比Puma算法更优的平均值解。在多峰低维基准测试函数中F14~F23,TPuma算法分别在函数F14、F15、F19、F20、F22、F23中较其余算法取得最优解平均值最佳的结果,而在F16、F17、F18中实验中的TPuma、Puma算法以及其余算法都达到了相同的最优解平均值。综上所述,TPuma算法比其余算法更加具有稳定性,并且TPuma算法在所有上述算法中的探索能力是最有竞争力的。

为了更直观地比较各算法的寻优精度与收敛速度,选取了基于CEC2005基准函数各算法收敛曲线图如图2所示。

在函数 F1~F4 的收敛曲线图中,TPuma算法于迭代早期求得最优解;函数 F7、F8与 F15的收敛曲线可以体现TPuma算法收敛速度快、收敛精度高的特性;对比 F14、F21 与F22的收敛曲线,虽TPuma的收敛速度不是最快,但与其他表现突出算法相差极小,且多次跳出局部最优并取得最优解。由此可见,TPuma算法不仅寻优精度高,而且鲁棒性佳,且在求解具有全局最优解和多个局部最优解的函数时,能够在快速收敛的同时多次跳出局部最优并提升求解精度。因此TPuma算法不仅大大提升了Puma的综合性能,且在与其他算法的比较中表现突出,具有极强的综合力。

但TPuma算法仍存在不足,例如初始化阶段增加新解的多样性牺牲了算法的部分收敛速度,且在求解多峰函数时运算量增加导致性能略有下降,仍存在改进空间。这些结果表明,混合多策略的方法针对大部分测试函数是有效的,这也符合“No free lunch”原理^[26]。

3.3 Wilcoxon秩和检验

为了分析TPuma算法的有效性,将采用Wilco-xon 秩和检验^[27]。Wilcoxon秩和检验适用于原始算法和改进后算法的对比。它可以用于评估两组相关样本之间的显著性差异,适合于非正态分布的数据情况。秩和检验的主要优点在于其非参数性质和简单易懂的实施方法^[28]。它不依赖于数据的分布假设,这使其在处理非正态分布数据时尤为有用,适用于样本量小或数据不满足正态分布的情况。通过对Puma算法与TPuma算法在 CEC2005 测试集上的运行结果进行 Wilcoxon 秩和检验,进一步评估了TPuma算法的优越性和可靠性,具体结果如表2所示。表明TPuma 与Puma智能优化算法存在显著差异,进一步验证了TPuma算法的优越性和有效性。

3.4 马尔科夫链分析

马尔科夫链是一种随机过程,其状态转移仅依赖于当前状态,而与过去状态无关^[29]。这种特性被称为“无记忆性”。其基本原理包括:状态空间,定义系统可能处于的所有状态;纵轴为转移概率,描述从一个状态转移到另一个状态的概率,这些概率可以表示为转移矩阵;横轴表示目标函数值经过以10为底的对数变换后所处的性能区间段,给定系统初始状态的概率分布。通过迭代转移矩阵,可以分析长期行为和稳态分布,从而深入了解算法的动态特性。

基于CEC2005测试集将TPuma算法生成数据用马尔科夫链进一步分析,图3为马尔科夫稳态分布图,展示了每个状态在长期运行中的概率,系统在各状态的分布情况,图3中状态的概率接近稳定。这表明链已达到稳态,并且各状态的概率不会随着时间变化。稳态分布中的概率接近均匀,则说明各状态在长期中占据的概率差异较小。由此说明TPuma算法较原先算法更加具有高效稳定的优点。

4 工程算例与结果分析

除了采用CEC2005基准测试函数来评估优化算法外,还有一种方法是利用改进后的算法来解决实际的工程问题,以此作为评估元启发式算法效果的途径。与基准函数相比,多数经典工程问题的最优解尚不明确,并且实际问题中还包含诸多限制条件。因此,利用含有工程约束的问题来评估所提出的改进算法显得尤为重要。使用静压推力轴承设计^[30]和十杆桁架设计^[31]问题进行测试。

4.1 静压推力轴承

该设计问题的主要目标是使用4个设计变量来优化轴承功率损耗,使得轴承功率损耗最小。这个设计变量是轴承半径R(x₁)、凹槽半径R₀(x₂)油黏度μ(x₃)和流量Q(x₄)。该问题包含与入口油压P₀、承载能力W、油膜厚度h相关联的6个非线性约束g₁~g₆。

目标函数f(x)主要包含润滑油的流量、入口油压以及由摩擦在特定约束下导致的功率损失函数,具体表达式如式(32)所示。此外,摩擦造成的功率损失还与润滑油的温度上升和油膜厚度有密切关系。

(32)f(x)=$\frac{Q{P}_{0}}{0.7}$+E_f

式(32)中:Q为润滑油的流量;P₀为入口油压;E_f为摩擦造成的功率损失。

目标函数含有的约束条件主要由以下6个不等式约束组成,即

(33)

$\left\{\begin{array}{l}{g}_{1}\left(x\right)=W-101000\le 0\\ {g}_{2}\left(x\right)=5000-\frac{W}{\mathrm{\pi }({R}^{2}-{R}_{0}^{2})}\le 0\\ {g}_{3}\left(x\right)=50-{P}_{0}\le 0\\ {g}_{4}\left(x\right)=0.001-\frac{0.0307}{386.4{P}_{0}}\frac{Q}{2\mathrm{\pi }Rh}\le 0\\ {g}_{5}\left(x\right)=R-{R}_{0}\le 0\\ {g}_{6}\left(x\right)=h-0.001\le 0\end{array}\right.$

轴向载荷W满足的公式为

(34)W=$\frac{\mathrm{\pi }{P}_{0}}{2}$

$\frac{{R}^{2}-{R}_{0}^{2}}{\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{R}{{R}_{0}}}$

入口油压P₀的定义为

(35)P₀=$\frac{6\mu Q}{\mathrm{\pi }{h}^{3}}$ln$\frac{R}{{R}_{0}}$

温升表达式为

(36)ΔT=2(10^P-559.7)

(37)P=$\frac{\mathrm{l}\mathrm{g}\left[\mathrm{l}\mathrm{g}\right(8.122\times {10}^{6}\mu +0.8)+3.55]}{10.04}$

摩擦造成的功率损失E_f为

(38)E_f=9 336Q×0.030 7×0.5ΔT

油膜厚度h定义为

(39)h=${\left(\frac{2\mathrm{\pi }\times 750}{60}\right)}^{2}\frac{2\mathrm{\pi }\mu }{{E}_{\mathrm{f}}}\left(\frac{{R}^{4}}{4}-\frac{{R}_{0}^{4}}{4}\right)$

其余参数设置为

(40)

$\left\{\begin{array}{l}1\le R\le 16\\ 1\le {R}_{0}\le 16\\ 1\times {10}^{-6}\le \mu \le 16\times {10}^{-6}\\ 1\le Q\le 16\end{array}\right.$

静压推力轴承设计问题的理论值为161.6。将TPuma与其他几个经典算法比较,选取种群数目为30,迭代次数为1 000,每个算法运行30次。静压推力轴承设计问题结果如表3所示。可以看出,只有TPuma算法找到了最优解排名第一,最差值TPuma的平均值排名第三,中值排第三,标准值排名第三。故在该问题的求解上TPuma的性能最好。

4.2 十杆桁架设计

该问题的主要目标是在满足约束的条件下使桁架结构的重量最小。该问题的数学公式定义为f(x),约束条件为g₁~g₃。

(41)

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\stackrel{10}{\sum _{i=1}}{L}_{i}\left({x}_{i}\right){\rho }_{i}{A}_{i}$

(42)

$\left\{\begin{array}{l}{g}_{1}\left(x\right)=\frac{7}{{\omega }_{1}\left(x\right)}-1\le 0\\ {g}_{2}\left(x\right)=\frac{15}{{\omega }_{2}\left(x\right)}-1\le 0\\ {g}_{3}\left(x\right)=\frac{20}{{\omega }_{3}\left(x\right)}-1\le 0\end{array}\right.$

其余参数设置为

(43)

$\left\{\begin{array}{l}6.45\times {10}^{-5}\le {A}_{i}\le 5\times {10}^{-3},　i=\mathrm{1,2},\dots,10\\ x=\{{A}_{1},{A}_{2},\dots,{A}_{10}\}\\ \rho =2770\end{array}\right.$

十杆桁架设计理论值为524.45。将改进的算法与其他几个经典算法比较,选取种群数目为30,迭代数为1 000,每个算法运行30次。十杆桁架设计结果如表4所示。可以看出,只有TPuma最优解排名第一,平均值排名第一,最差值排名第二。综合考虑在该问题的求解上TPuma的性能最好。

4.3 各算法CPU运行时间分析

算法的CPU运行时间分析是评估其性能的重要指标,直接影响程序的效率和响应速度。通过时间复杂度分析,可以量化算法在不同输入规模下的运行时间,复杂度描述了算法执行所需的CPU周期,帮助预测在大数据环境下的性能表现。CPU运行时间不仅取决于算法本身,还受到硬件架构、编译优化和运行环境等多种因素的影响。通过实际测试和性能基准,可以验证理论分析的准确性,并为算法优化提供依据。综上所述,系统的CPU运行时间分析为算法选择和系统设计提供了科学的决策支持。在相同条件下比较不同算法的CPU运行时间,以选择最优解。可得出,TPuma算法在求解静压推力轴承问题中CPU运行时间排名第三,如图4所示。远远优于原来未改进算法Puma,较短的运行时间减少了硬件的负担,延长设备的使用寿命,并降低运营成本。TPuma算法在求解十杆桁架设计问题中CPU运行时间排名第三,如图5所示,较少的CPU的运行时间可以降低能源消耗,特别是在大规模计算中,节省了电力和硬件资源的使用。

综上所述,TPuma算法在处理特定工程问题时展现出了优异的性能,其较短的CPU运行时间为实际工程应用带来了显著的经济和环境效益。这些结果进一步证实了算法优化的重要性,并为未来的算法设计和优化提供了有价值的参考。通过对算法CPU运行时间的深入分析和比较,可以为各种计算密集型任务选择最合适的算法,从而在保证计算效率的同时,实现资源的最优利用。

5 结论

针对美洲狮算法在工程应用中寻优不均提出了一种加入Tent混沌映射和Levy飞行机制改进的美洲狮算法,通过Tent混沌映射产生混沌变量,将对个体进行混沌摄动产生了大量的不可计算性和随机性,采用Levy飞行策略以平衡算法的探索与开发能力,为算法提供了有效摆脱局部最优解的机会,从而在搜索效率和收敛准确性上实现了显著提升。TPuma与原算法和其余流行算法通过基准测试函数和具有约束的工程优化问题进行了对比仿真实验,发现TPuma算法具有快速寻优、高精度,并且在算法后期依然能够避免陷入局部最优的优势。与原算法相比,TPuma算法的寻优速度更加稳定。对于CEC2005基准测试函数的寻优结果中TPuma有15个寻优结果比Puma优秀,且在所有测试函数中有17个排名第一。该算法在静压推力轴承设计问题、十杆桁架设计问题中,综合性能排在第一位,证明TPuma可用于解决实际工程中的优化问题。

未来的研究可以探索结合多种策略的元启发式算法或引入新的数学理念,以增强种群多样性,平衡全局与局部搜索能力,避免局部最优,从而提升寻优精度并加速收敛。

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基金资助

国家自然科学基金(11401357)

陕西省自然科学基础研究计划(2024JC-YBMS-014)

陕西省教育厅青年创新团队项目(23JP024)

陕西理工大学研究生创新基金(SLGYCX2537)

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Received	Published	Revised
2025-02-17	2026-04-08	2025-12-24
Online Date
2026-05-28

摘要

Abstract

Graphical abstract

关键词

Key words

中图分类号

引用本文

1 美洲狮优化算法思想及算法过程

1.1 无经验阶段

1.2 有经验阶段

1.3 探索阶段

1.4 开发阶段

2 混合多策略的新型美洲狮算法

2.1 改进策略

2.1.1 Tent混沌映射初始化种群

2.1.2 Levy飞行平衡探索与开发

2.2 TPuma算法的步骤

2.3 算法复杂度分析

3 仿真实验环境和结果分析

3.1 参数设置

3.2 实验分析

3.3 Wilcoxon秩和检验

3.4 马尔科夫链分析

4 工程算例与结果分析

4.1 静压推力轴承

4.2 十杆桁架设计

4.3 各算法CPU运行时间分析

5 结论

参考文献

基金资助