基于广义非线性统一强度理论的锚杆极限抗拔力上限

甘东彪; 周凤玺; 郑宝平; 李敏

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2500788

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (1) :270-276 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2500788

建筑科学

基于广义非线性统一强度理论的锚杆极限抗拔力上限

甘东彪 ¹^,² ,
周凤玺 ²^,^* ,
郑宝平 ¹ ,
李敏 ¹

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Upper Limit of Bolt Failure Based on Generalized Nonlinear Unified Strength Theory

GAN Dong-biao ¹^,² ,
ZHOU Feng-xi ²^,^* ,
ZHENG Bao-ping ¹ ,
LI Min ¹

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摘要

针对平面应变条件下岩体锚固系统的破坏机理展开理论分析。通过整合广义非线性统一强度理论与极限分析上限定理,结合变分法原理,首次建立了包含速度间断线方程组的优化目标函数及锚杆破坏的机动许可速度场。基于该理论模型,系统研究了锚固体与围岩协同破坏模式下锚杆极限抗拔力的确定方法,并定量揭示了关键材料参数对承载性能的影响规律。数值计算结果表明:锚杆极限抗拔力与岩体材料参数(k、s、m)、单轴抗压强度及重度呈正相关关系,而与参数a呈负相关特征;特别地,当锚固段长度处于临界值范围内时,其长度的增加可显著提升锚杆抗拔承载力。研究建立的解析模型为深部岩体锚固工程设计提供了理论依据,所得参数敏感性规律对实际工程中锚杆支护参数的优化具有重要指导价值。

Abstract

Theoretical analysis was conducted on the failure mechanism of rock mass anchoring system under plane strain conditions. By integrating the generalized nonlinear unified strength theory with the upper bound theorem of limit analysis and variational method principles, a novel theoretical framework was developed for the first time, incorporating an optimized objective function with velocity discontinuity equations and a kinematically admissible velocity field for anchor failure. Based on this theoretical framework, the determination method of the ultimate pullout resistance of rock bolts under synergistic failure of the anchorage body and surrounding rock mass was systematically investigated, while quantitatively revealing the influence patterns of key material parameters on load-bearing performance. Numerical results demonstrate that the ultimate pullout resistance shows positive correlations with rock mass parameters (k, s, m), uniaxial compressive strength, and unit weight, but exhibits negative correlation with parameter a. Notably, increasing the anchorage length within a critical range significantly enhances the pullout capacity. The analytical model established provides theoretical guidance for deep rock mass anchorage engineering design, and the identified parameter sensitivity patterns offer valuable insights for optimizing bolt support parameters in practical engineering applications.

Graphical abstract

关键词

平面应变 / 统一强度理论 / 极限上限定理 / 变分法 / 锚杆的破坏

Key words

plane strain / unified strength theory / limit upper limit theorem / variational method / bolt failure

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甘东彪, 周凤玺, 郑宝平, 李敏. 基于广义非线性统一强度理论的锚杆极限抗拔力上限[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(1): 270-276 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2500788

GAN Dong-biao, ZHOU Feng-xi, ZHENG Bao-ping, LI Min. Upper Limit of Bolt Failure Based on Generalized Nonlinear Unified Strength Theory[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(1): 270-276 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2500788

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隧道开挖是一个卸荷的过程,该过程打破了隧道周围岩体的应力平衡状态,使隧道周围塑性区的岩体产生塑性变形,导致隧道周围的岩体应力重分布。而锚杆作为一种有效的支护方式,能有效改变围岩的力学状态,减少岩体的径向位移。通过锚杆对围岩的悬吊、加固补强等作用加固塑性区岩体,确保施工的安全性以及隧道的稳定性。

由于锚杆具有支护效果好、操作简便及使用灵活等众多优点,其破坏机理一直以来都是中外学者研究的重点。汪波等^[1]基于统一强度理论及非关联流动法则,得出了不同工况下深埋圆形隧道围岩-预应力锚杆(索)协同耦合的理论解,以及计算锚杆(索)位移差的解析解,为高地应力隧道弹塑性分析提供一定的思路;王凤云等^[2]基于室内模型试验,研究了短锚杆对深埋隧洞软弱围岩的影响,锚固围岩强度均一化理论得出了,短锚杆主要是增加浅层洞壁处围岩的有效支护力的结论;张帅等^[3]基于双剪统一强度理论建立了不同因素的无黏性土主动土压力计算模型,研究了平移模式下的墙背垂直挡土墙非极限主动土压力,得出了不考虑中间主应力效应的摩尔库伦强度准则解答偏保守,弹-脆-塑性模型相比理想弹塑性模型更适合隧道塑性分析的结论;牛顿等^[4]基于应力波检测法,运用小波阈值函数、STA/LTA等算法,通过锚杆锚固数值模拟,得出软件计算出的锚杆长度总体误差可以控制在5%之内的结论;张常光等^[5]基于统一强度理论和弹-脆-塑性模型,综合考虑围岩强度的中间主应力效应和脆性软化,得出了不考虑中间主应力效应的Mohr-Coulomb强度准则解答偏保守,弹-脆-塑性模型相比理想弹塑性模型更适合隧道塑性分析的结论;郑刚等^[6]针对多道锚杆支护基坑局部锚杆失效的问题,采用有限差分法研究了多道锚杆支护体系中局部锚杆失效规律,得出了加强冠梁及腰梁对多道锚杆支护基坑安全性有重要意义;杨继强等^[7]针对地基承载力公式中没有考虑中间主应力影响的问题,将双剪统一强度理论代替地基土摩尔库伦准则,得出其他参数不变的情况下,地基承载力随着中间主应力影响系数的增大而增大;李杭州等^[8]将统一强度理论引入黄土的本构模型中,分析了黄土的强度构成,确定了黄土的胶结元和摩擦元两种参考介质的模型;赵均海等^[9]基于统一强度理论,解答了临坡地基的极限承载力问题,得出了中间主应力效应较大时,坡脚的增加导致临坡地基极限承载力降低明显;马甲宽等^[10]以太沙基极限平衡原理和统一强度理论为基础,推导了不同模式下螺纹桩的极限承载力计算方法,得出了中间主应力影响系数从0到1变化时,螺纹桩极限承载力理论计算值增加48%的结论;晏青等^[11]考虑了统一强度理论中间主应力对加筋地基不同破坏模式下地基承载力的影响,推导了临坡条形基础地基承载力的解析解,得出了临坡加筋地基承载力随中间主应力效应的增大而增大的结论;郭建强等^[12]针对传统理论对深部岩体的适用性不足的问题,引入变形参数建立了适用于深部岩体的半理论半经验的广义统一强度理论;孟波等^[13]自制实验系统研究破碎岩石的锚固机理,分析了受力过程中预紧力对结构内部压力和锚杆锚托力的影响规律,提出了一套适用于破碎岩体的支护理念;杨凯丞等^[14]针对全长锚杆受锚杆间距的影响,推导出基于Mindlin解的双锚杆锚固段应力分布近似解,得出轴向应力随锚杆间距的减小而增大的结论。

隧道开挖卸荷引发的围岩应力路径改变是锚固系统破坏机理研究的核心科学问题。现有研究在锚杆-围岩相互作用机制方面取得重要进展^[1-14],但在理论建模与方法体系层面仍存在三重局限:第一,经典强度理论框架下^[1,3,5,7,9]难以准确表征深部岩体非线性强度特征与中间主应力效应的耦合关系;第二,传统极限分析方法^[10-11]多采用预设滑移面假设,无法描述锚固系统渐进破坏过程中速度场的动态演化;第三,既有参数敏感性研究^[2,14]多局限于单一材料参数分析,缺乏多因素耦合作用下锚杆承载性能的系统量化表征。

现首次将广义非线性统一强度理论与极限分析上限定理有机融合,构建能同时反映岩体非线性强度特性和中间主应力效应的动态破坏判据,提升计算精度;基于变分原理建立含速度间断线方程组的优化目标函数,实现锚固系统破坏模式的自主演化识别,突破几何约束限制。

1 理论和计算方法

在平面应变状态条件下,由文献[15]可得广义非线性统一强度理论剪切破坏方程为

(1)$\begin{array}{l}\frac{\tau }{{\sigma }_{\mathrm{c}}}=C({\left\{\frac{\left[\frac{m(kn+1)}{k+1}-\frac{k(1-n)}{k+1}BC\right]\frac{\sigma }{{\sigma }_{\mathrm{c}}}+s}{1-ABC}\right\}}^{a}-\\ \frac{k(1-n)}{k+1}\frac{\sigma }{{\sigma }_{\mathrm{c}}})\end{array}$

式(1)中:k为中间主应力的影响系数;σ_c为单轴抗压强度;m、s、a为反映岩体特征的无量纲参数;σ和τ分别为平面应变条件下岩体破坏面的正应力和剪应力;A、B、C为广义非线性统一强度理论剪切破坏方程的简化系数;n为该理论引入的中间主应力影响系数,其范围为[0,1],平面应变及小变形状态下,n=1,故式(1)可转化为

(2)$\frac{\tau }{{\sigma }_{\mathrm{c}}}=\frac{C}{{(1-ABC)}^{a}}{\left(m\frac{\sigma }{{\sigma }_{\mathrm{c}}}+s\right)}^{a}$

(3)$\left\{\begin{array}{l}A=\frac{(k+2)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta }{ma(k+1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta )}\\ B=\frac{(k+1)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta }{k+2}\\ C=\frac{m(k+1)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta -m}{(k+1)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta }\end{array}\right.$

式(3)中:β为莫尔圆包络线的切线与水平方向的夹角。

由基本理论,令$D=\frac{C}{{(1-ABC)}^{a}}$,则基本方程可化为

(4)$\frac{\tau }{{\sigma }_{\mathrm{c}}}=D{\left(m\frac{\sigma }{{\sigma }_{\mathrm{c}}}+s\right)}^{a}$

将基本理论用摩尔的${\sigma }_{\mathrm{n}}-{\tau }_{\mathrm{n}}$平面表示得

(5)${\tau }_{\mathrm{n}}=\pm D{\sigma }_{\mathrm{c}}{\left(m\frac{{\sigma }_{\mathrm{n}}}{{\sigma }_{\mathrm{c}}}+s\right)}^{a}$

式(5)中:σ_n、${\tau }_{\mathrm{n}}$分别为破裂面任意点处正应力、剪应力。

图1为平面应变条件下岩体破坏时应力状态的莫尔应力圆,是剪切破坏方程的基本理论。

由于岩体中存在软弱夹层及结构面,在锚固拉拔荷载作用下,当围岩整体强度小于灌浆体界面的黏结强度时,锚固围岩会发生整体破裂。极限上限定理表明,由内外力做功的虚功方程可确定最接近真实值的极限上限解。由此建立锚固体围岩整体破坏曲线模型如图2所示。

假定破坏岩体关于z轴对称且岩体处于关联塑性状态。以右半部分为例${\tau }_{\mathrm{n}}$为正,则广义非线性统一强度下的塑性势函数^[16]为

(6)$R={\tau }_{\mathrm{n}}-D{\sigma }_{\mathrm{c}}{\left(m\frac{{\sigma }_{\mathrm{n}}}{{\sigma }_{\mathrm{c}}}+s\right)}^{a}$

在弹塑性力学中,塑性势函数正比于塑性应变增量的应力梯度,故

(7)$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{·}{\epsilon }}_{\mathrm{n}}=\lambda \frac{\partial R}{\partial \sigma }=-\lambda maD{\left(m\frac{\sigma }{{\sigma }_{\mathrm{c}}}+s\right)}^{a-1}\\ {\stackrel{·}{\gamma }}_{\mathrm{n}}=\lambda \frac{\partial R}{\partial \tau }=\lambda \end{array}\right.$

式(7)中:λ为应力梯度系数。

由法向塑性应变与切向塑性应变的关系,可得$\beta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left[Da{\sigma }_{\mathrm{c}}{\left(m\frac{{\sigma }_{\mathrm{n}}}{{\sigma }_{\mathrm{c}}}+s\right)}^{a-1}\right]$。

同理,某点处的法向塑性应变增量和切向塑料应变增量可由该点处切线的斜率f'(x)经三角函数变换求得,可表示为

(8)$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{·}{\epsilon }}_{\mathrm{n}}=\frac{\stackrel{·}{u}}{\omega }[1+f\text{'}{\left(x\right)}^{2}{]}^{-\frac{1}{2}}\\ {\stackrel{·}{\gamma }}_{\mathrm{n}}=-\frac{\stackrel{·}{u}}{\omega }f\text{'}\left(x\right)[1+f\text{'}{\left(x\right)}^{2}{]}^{-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$

式(8)中:ω为塑性间断面的厚度;u为塌落块速度矢量;$\stackrel{·}{u}$为u对时间t的导数;z=f(x)为破坏岩体沿破裂面的速度间断线方程;f'(x)分别为f(x)对x的导数,表达式为

(9)$\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x}\\ \stackrel{·}{u}=\frac{\partial u}{\partial t}\end{array}\right.$

由式(7)和式(8)得

(10)$\lambda =-\frac{\stackrel{·}{u}}{\omega }f\text{'}\left(x\right)[1+f\text{'}{\left(x\right)}^{2}{]}^{-\frac{1}{2}}$

故正应力可表示为

(11)${\sigma }_{\mathrm{n}}=-\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}s+\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}{\left(maD\right)}^{\frac{1}{1-a}}f\text{'}{\left(x\right)}^{\frac{1}{1-a}}$

将式(11)代入式(5)得

(12)${\tau }_{\mathrm{n}}=D{\sigma }_{\mathrm{c}}{\left(maD\right)}^{\frac{a}{1-a}}f\text{'}{\left(x\right)}^{\frac{a}{1-a}}$

考虑到锚固体与周围岩体整体破坏机制是关于z轴对称的,由此可得其表达式为

(13)$\begin{array}{l}\stackrel{·}{\Psi }\left[f\right(x),f\text{'}(x),x]={\int }_{0}^{L}[{\stackrel{·}{E}}_{i}\omega \sqrt{1+f\text{'}{\left(x\right)}^{2}}-{\stackrel{·}{W}}_{\mathrm{e}}]dx\\ ={\int }_{0}^{L}G\left[f\right(x),f\text{'}(x),x]\mathrm{d}x\end{array}$

在锚固体围岩整体与母岩分离的薄变形层上,可得

(14)$\begin{array}{l}{\stackrel{·}{E}}_{i}={\sigma }_{\mathrm{n}}{\stackrel{·}{\epsilon }}_{\mathrm{n}}+{\tau }_{\mathrm{n}}{\stackrel{·}{\gamma }}_{\mathrm{n}}=\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}[{\left(maD\right)}^{\frac{1}{1-a}}\times \\ f\text{'}{\left(x\right)}^{\frac{1}{1-a}}-s\left]\right(\stackrel{·}{u}/\omega \left)\right[1+f\text{'}{\left(x\right)}^{2}{]}^{-\frac{1}{2}}+\\ D{\sigma }_{\mathrm{c}}{\left(maD\right)}^{\frac{a}{1-a}}f\text{'}{\left(x\right)}^{\frac{a}{1-a}}(-\stackrel{·}{u}/\omega )f\text{'}\left(x\right)\times \\ [1+f\text{'}{\left(x\right)}^{2}{]}^{-\frac{1}{2}}\\ =\left\{-\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}s+\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}(1-{a}^{-1})[maDf\text{'}{\left(x\right)]}^{\frac{1}{1-a}}\right\}\times \\ {\left\{\omega \right[1+f\text{'}{\left(x\right)}^{2}{]}^{-\frac{1}{2}}\}}^{-1}\stackrel{·}{u}\end{array}$

式(14)中:${\stackrel{·}{E}}_{i}$为单位体积的内能耗散率。

在区间[c,d]上,对式(14)积分可得薄变形层上内部能量耗散率大小,其表达式为

(15)$\begin{array}{l}{\stackrel{·}{W}}_{\mathrm{e}}={\int }_{0}^{s}(\frac{\left\{-\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}s+\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}(1-{a}^{-1})[maDf\text{'}{\left(x\right)]}^{\frac{1}{1-a}}\right\}}{\omega [1+f\text{'}{\left(x\right)}^{2}{]}^{-\frac{1}{2}}})\times \\ 2\mathrm{\pi }x\omega \mathrm{d}x\stackrel{·}{u}\\ ={\int }_{c}^{d}\left\{-\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}s+\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}(1-{a}^{-1})[maDf\text{'}{\left(x\right)]}^{\frac{1}{1-a}}\right\}\times \\ 2\mathrm{\pi }x\mathrm{d}x\stackrel{·}{u}\end{array}$

式(15)中:d为破坏岩体的底端宽度,$d=\sqrt{1+f\text{'}{\left(x\right)}^{2}}\mathrm{d}x$。

由于锚固体自重与周围岩体相比可忽略不计,故外力做功主要考虑极限抗拔力P_u和锚固体周围岩体自重两部分。

锚固体周围岩体自重做功功率为

(16)${\stackrel{·}{W}}_{\mathrm{r}}={\int }_{c}^{d}2\mathrm{\pi }\gamma x[L-c(x)-f(x\left)\right]\mathrm{d}x\stackrel{·}{u}$

式(16)中:c(x)为隧道断面方程。

极限抗拔力P_u做功功率为

(17)${\stackrel{·}{W}}_{\mathrm{P}}=-{P}_{\mathrm{u}}\stackrel{·}{u}$

根据虚功原理,由外力做功功率与内部能量耗散率相等可得

(18)${\stackrel{·}{W}}_{\mathrm{e}}={\stackrel{·}{W}}_{\mathrm{P}}+{\stackrel{·}{W}}_{\gamma }$

将式(15)~式(17)代入式(18),可得极限抗拔力P_u为

(19)${P}_{\mathrm{u}}={\int }_{c}^{d}2\mathrm{\pi }G\left[f\right(x),f\text{'}(x),x]\mathrm{d}x$

式(19)中:$\Lambda \left[f\right(x),f\text{'}(x),x]=\{\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}s+\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}({a}^{-1}-1)\times [maDf\text{'}{\left(x\right)]}^{\frac{1}{1-a}}\}x-\gamma xf(x)-\gamma xc(x)+\gamma Lx$。

以圆形隧道为例,当半径为R时,c(x)可表示为

(20)$c\left(x\right)=-\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}+\sqrt{{R}^{2}-{x}^{2}}$

式(20)中:f(x)为泛函,是典型的变分问题,只要求得极限抗拔力的极值,即可得其上限解。利用欧拉方程,可得

(21)$\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{\partial G}{\partial f\text{'}\left(x\right)}\right]=\frac{\partial G}{\partial f\left(x\right)}$

式(21)中:

(22)$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial G}{\partial f\left(x\right)}=-\gamma x,\\ \frac{\partial G}{\partial f\text{'}\left(x\right)}=-\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}{a}^{-1}{\left(maD\right)}^{\frac{1}{1-a}}f\text{'}{\left(x\right)}^{\frac{a}{1-a}}x\end{array}\right.$

将式(22)代入式(21)得

(23)$\begin{array}{l}\gamma x+\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}{a}^{-1}{\left(maD\right)}^{\frac{1}{1-a}}f\text{'}{\left(x\right)}^{\frac{a}{1-a}}+\frac{{\sigma }_{c}}{m}{a}^{-1}\times \\ 　　{\left(maD\right)}^{\frac{1}{1-a}}{(1-a)}^{-1}f\text{'}{\left(x\right)}^{\frac{2a-1}{1-a}}f″\left(x\right)=0\end{array}$

对式(23)关于x积分得

(24)$\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}{a}^{-1}{\left(maD\right)}^{\frac{1}{1-a}}f\text{'}{\left(x\right)}^{\frac{a}{1-a}}x+\frac{1}{2}\gamma {x}^{2}={c}_{0}$

整理得

(25)$f\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{{c}_{0}}{\delta x}-\frac{\gamma x}{2\delta }\right)}^{\frac{1-a}{a}}$

式(25)中:$\delta =\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}{a}^{-1}{\left(maD\right)}^{\frac{1}{1-a}}$;c₀为待定常数。

同理,可得f(x)的表达式为

(26)$f\left(x\right)=-{\left(mD\right)}^{-\frac{1}{a}}{\gamma }^{\frac{1-a}{a}}{\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}\right)}^{\frac{a-1}{a}}{\left(-x+\frac{{c}_{1}}{\gamma }\right)}^{\frac{1}{a}}+{c}_{2}$

式(26)中:c₁、c₂均为待定常数。

在区间[c,d]上,可得该方程平面应变状态的边界条件为

(27)$\left\{\begin{array}{l}f(x=c)=0\\ f(x=d)=L\\ f\text{'}\left(x\right)=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta \end{array}\right.$

利用边界条件可得f(x)的表达式为

(28)$\begin{array}{l}f\left(x\right)={\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}\right)}^{\frac{a-1}{a}}{\left(mD\right)}^{-\frac{1}{a}}{\gamma }^{\frac{1-a}{a}}\left\{\right[-c+d+\\ \frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}{\left(maD\right)}^{\frac{1}{1-a}}{\left(\gamma a\right)}^{-1}{{\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta \right)}^{\frac{a}{1-a}}]}^{\frac{1}{a}}-\\ [-x+d+\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}{\left(maD\right)}^{\frac{1}{1-a}}{\left(\gamma a\right)}^{-1}\times \\ {{\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta \right)}^{\frac{a}{1-a}}]}^{\frac{1}{a}}\}\end{array}$

式(28)中:破坏岩体的宽度d满足条件为

(29)$\begin{array}{l}d=c+[L{\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}\right)}^{\frac{a-1}{a}}{\left(ma\right)}^{-\frac{1}{a}}{\gamma }^{\frac{a-1}{a}}+{\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}\right)}^{\frac{1}{a}}+\\ {\left(maD\right)}^{\frac{1}{a(1-a)}}{\left(\gamma a\right)}^{-\frac{1}{a}}{{\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta \right)}^{\frac{1}{1-a}}]}^{a}-\\ \frac{{\sigma }_{\mathrm{c}}}{m}{\left(maD\right)}^{\frac{1}{1-a}}{\left(\gamma a\right)}^{-1}{\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta \right)}^{\frac{a}{1-a}}\end{array}$

将f(x)和f'(x)的表达式代入式(19)中,可得P_u满足以下条件的表达式,即

(30)$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{P}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{d}\theta }=0\\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}{P}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{d}{\theta }^{2}}>0\end{array}\right.$

2 算例分析

取锚固钻孔直径为130 mm,锚杆长分别取1、2、3、4 m。分析广义非线性统一强度理论不同参数对锚杆极限抗拔力的影响。

2.1 参数a对不同长度锚杆极限抗拔力P_u的影响

当k=0.2,σ_c=1.0 MPa,γ=25 kN/m³,R=3.75 m,m=5,s=0.2时,P_u随a的变化如图3所示。可以看出,不同长度锚杆极限抗拔力P_u随着a的增大不断减小,随着L的增大而增大,且L=4 m时P_u随着a的增大减小的较快。a是反映剪切破坏时的剪胀特性,说明剪切破坏时的剪胀特性的提高对锚杆极限抗拔力有不利的影响。

2.2 中间主应力影响系数k对不同长度锚杆极限抗拔力P_u的影响

当a=0.8,σ_c=1.0 MPa,γ=25 kN/m³,R=3.75 m,m=5,s=0.2时,P_u随k变化如图4所示。可得,随着k的增加,锚杆极限抗拔力P_u不断增大,且k的大小对曲线的陡缓程度影响明显,表明k的增大对锚杆极限抗拔力存在有利影响。

2.3 参数s对不同长度锚杆极限抗拔力P_u的影响

当k=0.2,a=0.8,σ_c=1.0 MPa,γ=25 kN/m³,R=3.75 m,m=5时,P_u随s的变化如图5所示。可得,随着s的增加,P_u不断增大。表明岩体越完整,极限抗拔力越大。

**2.4 单轴抗压强度σ_c对不同长度锚杆极限抗拔力P_u的影响**

当k=0.2,a=0.8,γ=25 kN/m³,R=3.75 m,m=5,s=0.2时,P_u随σ_c的变化如图6所示。可得,随着单轴抗压强度σ_c的增加,P_u呈增大趋势。σ_c为岩体的单轴抗压强度, σ_c越大,则岩体承压性能越强。表明岩石的单轴抗压强度的提高有助于提高锚杆极限抗拔力P_u。

2.5 重度γ对不同长度锚杆极限抗拔力P_u的影响

当k=0.2,σ_c=1.0 MPa,R=3.75 m,a=0.8,m=5,s=0.2,P_u随γ的变化如图7所示。可得,岩石重度γ的变化对锚杆极限抗拔力P_u的影响不大。

2.6 参数m对不同长度锚杆极限抗拔力P_u的影响

当k=0.2,a=0.8,σ_c=1.0 MPa,γ=25 kN/m³,R=3.75 m,s=0.2时,P_u随m的变化如图8所示。可得,P_u随m增大而不断增大。参数m反映岩石的脆性强弱,当m在10~25变化时,岩石表现为脆性;而在5~10变化时,岩石变现为韧性,表明脆性岩石有利于提高岩体的极限抗拔力。

另外,在一定范围内,随着锚杆锚固段长度增加,极限抗拔明显增大。表明适当增加锚固体的长度有利于提高锚杆的极限抗拔力。

数值计算理论成果与文献[17]、文献[18]结论一致,验证了该结论的正确性。相比文献[17],本文模型在理论融合、破坏机制建模、临界参数识别及多目标优化方法上均实现了显著创新,尤其通过动态协同破坏分析和临界效应揭示;相比文献[18],本文模型能够同时考虑中间主应力效应、材料非线性等复杂特性,突破了传统静态塑性分析的局限,适用于更广泛的岩体类型,实现了动态破坏过程的数学描述。

3 结论

基于广义非线性统一强度理论及极限分析上限定理,针对平面应变状态下锚固体系的破坏机制展开理论分析,构建了锚杆-岩体协同破坏的机动许可速度场模型。通过建立锚固体与围岩整体破坏时的能量平衡方程(即内能耗散功率与外力做功功率等效原理),推导出锚杆极限抗拔力的理论解,并系统探讨了关键参数对锚杆抗拔承载特性的影响规律。主要结论如下。

(1)广义非线性统一强度理论经验参数对锚杆极限抗拔力呈现显著参数敏感性。抗拔承载力与参数k、s、m呈正相关,而与参数a呈负相关关系。该现象验证了强度准则参数对围岩强度特征的量化表征作用。

(2)岩体物理力学参数影响方面,在给定参数区间内,锚杆抗拔力与岩石单轴抗压强度呈现显著的正向线性关系;岩体重度对抗拔力的贡献率相对有限,表明重力场效应对浅层锚固体系的影响具有弱敏感性。

(3)锚固参数优化分析表明,当锚固段长度处于临界锚固长度范围内时,抗拔承载力随锚固长度增加呈近似线性增长趋势;超过临界锚固长度后呈现明显的尺寸效应递减特征。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

[1]	汪波, 喻炜, 訾信, 等. 基于统一强度理论的围岩-锚杆(索)弹塑性耦合分析[J]. 岩石力学与工程学报, 2023, 42(11): 2613-2627.

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