引入误差修正和参数优化的空气质量预测模型

李嘉楠; 颜七笙

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2500650

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (1) :223-238 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2500650

自动化技术、计算机技术

引入误差修正和参数优化的空气质量预测模型

李嘉楠 ¹ ,
颜七笙 ²^,^*

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Air Quality Prediction Model with Error Correction and Parameter Optimization

LI Jia-nan ¹ ,
YAN Qi-sheng ²^,^*

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摘要

为了提高空气质量指数预测的准确性,引入Logistic混沌映射策略、折射反向学习策略、自适应权重、Levy飞行策略和柯西变异策略对共生生物搜索(symbiotic organisms search,SOS)算法进行了改进,将改进算法对变分模态分解(variational mode decomposition,VMD)算法和长短期记忆神经网络(long short-term memory,LSTM)模型的参数进行优化,提出了改进的共生生物搜索(modified symbiotic organisms search,MSOS)算法优化的ARIMAX-VMD-LSTM误差修正空气质量指数组合预测模型。首先采用递归特征消除(recursive feature elimination,RFE)筛选特征;接着利用引入外生变量的自回归移动平均(autoregressive integrated moving average with exogenous input,ARIMAX)模型捕捉空气质量时间序列中的线性关系;其次采用VMD算法对非线性且复杂度较高的ARIMAX误差进行分解,得到若干个模态分量和一个残差余量;然后利用MSOS算法优化的LSTM模型分别对分解的子序列进行预测,捕捉ARIMAX误差中的非线性关系;最后叠加各子序列预测结果得到误差预测结果,并对ARIMAX预测值进行修正。仿真实验结果表明,融合深度学习与统计学算法的组合模型能进一步提高预测精度,变分模态分解不仅能大大降低误差序列的非线性和复杂度,而且还能提高稳定性,误差修正能进一步提高模型的预测能力。与其他模型对比,该组合预测模型的各评价指标均为最优,具有更高的预测精度和泛化性能,为空气质量预测提供了新的方法。

Abstract

In order to improve the accuracy of air quality information prediction, Logistic chaotic mapping strategy, refraction reverse learning strategy, adaptive weights, Levy flight strategy and Cauchy mutation strategy were introduced to improve the symbiotic organisms search (SOS) algorithm. The parameters of variational mode decomposition (VMD) algorithm and long short-term memory(LSTM) neural network model were optimized by the improved algorithm, and the ARIMAX-VMD-LSTM error correction air quality index combined prediction model optimized by the modified symbiotic organisms search (MSOS) algorithm was proposed. Firstly, recursive feature elimination (RFE) was used to filter the features. Secondly, autoregressive integrated moving average with exogenous input (ARIMAX) model was used to capture the linear relationship in air quality time series. Thirdly, VMD algorithm was used to decompose the nonlinear and complex ARIMAX error, and several modal components and a residual margin were obtained. LSTM model optimized by MSOS algorithm was used to predict the decomposed sub-sequences respectively, and the nonlinear relationship in ARIMAX error was captured. Finally, the error prediction result was obtained by superposition of each sub-sequence prediction result, and the ARIMAX prediction value was modified. The simulation results show that the combined model combining deep learning and statistical algorithm can further improve the prediction accuracy, and the variational mode decomposition can not only greatly reduce the nonlinear and complexity of the error sequence, but also improve the stability, and the error correction can further improve the prediction ability of the model. Compared with other models, the combined prediction model has the best evaluation indexes, higher prediction accuracy and generalization performance, and provides a new method for air quality prediction.

Graphical abstract

关键词

空气质量指数预测 / 共生生物搜索算法 / 误差修正 / 组合预测

Key words

air quality index forecast / symbiotic search algorithm / error correction / combinatorial forecasting

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李嘉楠, 颜七笙. 引入误差修正和参数优化的空气质量预测模型[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(1): 223-238 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2500650

LI Jia-nan, YAN Qi-sheng. Air Quality Prediction Model with Error Correction and Parameter Optimization[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(1): 223-238 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2500650

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近年来,中国的经济保持持续增长,全国范围内的城市化和工业化迅速发展,伴随而来的是城市空气污染问题愈发严重,阻碍了中国城市可持续发展目标的实现,城市空气质量问题已经引起了政府和社会以及公众的关注^[1]。中国在2012年修订并发布了新版《环境空气质量标准》(GB 3095—2012),首次将细颗粒物(PM_2.5)等关键污染物纳入强制监测范围,旨在改善环境质量^[2]。党的十九大将“坚持人与自然和谐共生”作为新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略之一。党的二十大报告提出:“要推进美丽中国建设,坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理,统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化,协同推进降碳、减污、扩绿、增长,推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展。”面对持续加剧的空气污染挑战,亟需依托高精度空气质量预测技术,支撑相关部门制定科学、精准的治理策略。构建先进的空气质量预测模型,已成为推进城市环境治理现代化、实现可持续发展目标的重要路径。

到目前为止,对于空气质量预测的方法主要包括数值计算法、统计预测方法、机器学习预测方法和组合模型预测方法。统计预测方法主要包括线性回归模型、时间序列模型和灰色模型等^[3]。而传统的统计预测方法存在着预测精度较低和处理不了复杂的空气质量数据的非线性关系等问题^[4],机器学习预测方法则应运而生。机器学习预测方法一般具有较强的计算能力,能够处理复杂的非线性关系和多维度的数据。在机器学习算法模型中,如朱珈莹等^[5]基于南京地区的空气质量和气象数据建立轻量级梯度提升机(light gradient boosting machine,LightGBM)的O₃浓度预测模型,结果证明LightGBM预测精度高和泛化能力良好。高愈霄等^[6]基于BP神经网络法对京津冀及周边城市和长三角地区等95个城市建立PM_2.5预报模型。目前大量的研究证明长短期记忆神经网络(long short-term memory,LSTM)模型在庞大且复杂的空气质量浓度数据预测中表现更好,能出色地识别空气质量数据中的复杂非线性信息^[7-10]。如Wu等^[11]基于黑龙江省2017—2023年的日空气质量数据集,并结合森林火灾干扰和气候数据作为辅助数据,提出了一种新颖的LSTM模型,以有效预测空气污染物的情况。

现如今,组合模型预测方法由于能显著提高单一机器学习模型的预测精度和稳定性被广泛应用于空气质量预测,其一般指的是两个或多个算法模型通过结合相互弥补自身的短板和发挥各自的优点,达到提高组合模型预测精度的效果。其中优化算法由于能提高模型的预测精度和避免人工调参带来的困难而被广泛应用于模型预测。如Zhang等^[12]提出了一种结合模糊时间序列、互补集合经验模态分解(complementary ensemble empirical mode decomposition,CEEMD)、多目标蝙蝠优化算法(multi objective bat algorithm,MOBA)优化BP神经网络的组合模型,该模型考虑了空气质量数据的模糊性,能提高空气质量预测的准确性,同时MOBA算法的引入进一步提高了模型的预测效果。钟琳等^[13]基于差分进化算法(differential evolution,DE)优化的极限学习机(extreme learning machine,ELM)对北京市空气质量进行研究,结果表明DE-ELM模型的预测精度高于ELM模型。邓国取等^[14]基于非等权聚类结合粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)和支持向量回归(support vector regression,SVR)的模型对短期空气质量进行预测,结果表明该模型的预测精度优于传统机器学习模型。张天娇等^[15]提出了结合云平台技术、麻雀搜索算法(sparrow search algorithm,SSA)、变分模态分解(variational mode decomposition,VMD)和门控循环单元(gated recurrent unit,GRU)的组合模型来预测空气质量指数(air quality index,AQI),结果显示结合SSA算法能进一步提高空气质量预测的精度。虽然原始优化算法在一定程度上能提高模型的预测效果,但是其仍然存在易陷入局部最优和收敛精度慢等问题,需要进一步改进。误差修正通过识别和修正模型预测中的误差,可以使得预测值更加接近真实值,提升模型的预测效果和鲁棒性,因此被应用于许多预测领域中。魏振宇等^[16]提出了结合自适应噪声完备集合经验模态分解(complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise,CEEMDAN)、VMD、改进的蜣螂优化算法(improved dung beetle optimizer,IDBO)和双向长短期记忆神经网络(bidirectional long short-term memory,BiLSTM)的误差修正模型对风电功率进行短期预测,结果表明该误差修正模型预测效果较优,然而其只考虑了数据的非线性信息,而忽略了线性信息。龙宇等^[17]将数据的线性信息也考虑在内,采用结合差分自回归移动平均(autoregressive integrated moving average model,ARIMA)、LSTM、极端梯度提升(extreme gradient boosting,XGBoost)的误差修正模型对铁路货运量进行预测,结果显示误差修正模型的预测精度明显优于单一预测模型。

综上所述,建立一个预测精度较高的空气质量指数预测模型非常重要,现有的模型预测效果虽然较好,但对于空气质量预测还存在以下问题:一是空气质量指数时间序列数据中的线性与非线性信息共存,而目前对于空气质量预测多以单独捕捉其序列的线性关系或非线性关系为主;二是目前大多数研究单独考虑数据本身时序特性,而忽略了外部影响空气质量的相关因素的影响;三是优化算法的性能显著影响预测结果的精度^[18-20]。

鉴于此,现采用改进的共生生物搜索算法优化的误差修正模型ARIMAX-VMD-MSOS-LSTM来预测空气质量指数。将气象和污染物因素综合考虑进来,为模型预测提供更多有用的信息,同时为了避免特征冗余,采用递归特征消除(recursive feature elimination,RFE)进行特征筛选从而降低模型复杂度和提高模型预测精度。将空气质量时间序列数据的线性和非线性部分分开考虑,采用综合考虑外部影响空气质量的相关因素和数据本身时序特性影响的ARIMAX模型对线性关系进行预测,得到非线性程度较高的误差序列,对误差序列进行分解并利用LSTM模型进行修正,进一步提取误差中的信息,提升模型的预测性能。引入Logistic混沌映射、折射反向学习、自适应权重结合Levy飞行和柯西变异改进共生生物搜索(symbiotic organisms search,SOS)算法,提高算法收敛精度和避免陷入局部最优的能力,并利用改进的算法优化LSTM模型参数,以进一步提高模型预测效果。

1 相关方法

1.1 数据预处理

(1)IterativeImputer多变量缺失值填充。IterativeImputer是Sklearn库中提供的一种缺失值填充方式,该方法会考虑数据在高维空间中的整体分布情况,然后对有缺失值的样本进行填充。

(2)极差规范化。变量或指标的单位不同,造成有些指标数据值非常大,而有些非常小,在模型运算过程中大的数据会把小的数据覆盖,造成模型失真和影响模型精度,因此需要对这些数据进行规范化处理。

1.2 引入外生变量的自回归移动平均模型

引入外生变量的自回归移动平均模型(autoregressive integrated moving average with exogenous input,ARIMAX)是一种用于分析和预测时间序列数据的统计模型,其基本思想是利用数据本身的历史信息,试图通过数据的自相关性和差分的方式,提取出隐藏在数据背后的时间序列模式,并加入外生变量来捕捉时间序列数据与外部因素之间的线性关系。ARIMAX模型根据变量历史值可以预测变量未来值,同时考虑外生变量对该变量历史值的影响。ARIMAX模型由以下4个部分组成。

(1)自回归模型(AR)。用于处理时间序列的自回归部分,它考虑了过去若干个时期的观测值对当前值的影响,公式如式(1)所示。

(1)Y_t=c+Φ₁Y_t_-1+…+Φ_pY_t_-_p+ε_t

式(1)中:Y_t为当前时间序列值;c为常数项;Φ₁,Φ₂,…,Φ_p为AR模型的参数,p为AR模型的阶数;ε_t为在t时间点的误差项。

(2)移动平均模型(MA)。用于处理时间序列的移动平均部分,它考虑了过去的预测误差对当前值的影响,公式如式(2)所示。

(2)Y_t=c+θ₁ε_t+…+θ_qε_t_-_q+ε_t

式(2)中:θ₁,θ₂,…,θ_q为MA模型的参数,q为MA模型的阶数。

(3)差分(I)。用于使非平稳时间序列达到平稳,通过一阶或二阶等差分处理,消除了时间序列中的趋势和季节性因素。

(4)外生变量(X)。模型预测值还依赖于其他外部因素的值。通常情况下ARIMAX模型的公式如式(3)所示。

(3)$Y_{t}=c+\varepsilon_{t}+\sum_{i=1}^{p} \Phi_{i} Y_{t-i}+\sum_{j=1}^{q} \theta_{j} \varepsilon_{t-j}+\sum_{l=0}^{k} \beta_{l} x_{l, t}$

式(3)中:k为外生变量个数;β_l为外生变量的系数;x_l_,_t为外生变量的观测值。

1.3 变分模态分解

变分模态分解(VMD)是一种基于维纳滤波和希尔伯特变换的新的自适应分解方法。设待分解的信号为f(t),即

(4)$f\left(t\right)=\stackrel{K}{\sum _{k=1}}{u}_{k}\left(t\right)+\eta $

式(4)中:u_k(t)为分解后信号的各个模态分量;K为预设的分解模态的个数;η为待分解信号f(t)与分解后各模态分量的残差。

对于给定的待分解信号,需要找到K个窄带模态分量,并且使每个窄带模态分量的带宽估计之和达到最小,同时应该满足待分解信号f(t)与各个窄带本征模态的和相等。将实信号f(t)转化为复信号,并进行混频后,其带有约束条件的最优化问题可表示为

(5)$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}{n}_{\left\{{\mathrm{u}}_{\mathrm{k}}\right\},\left\{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{k}}\right\}}\left\{\stackrel{\mathrm{K}}{\sum _{\mathrm{k}=1}}={\partial }_{\mathrm{t}}\left\{\left[\mathrm{\delta }\left(\mathrm{t}\right)+\frac{j}{\pi \mathrm{t}}\right]\mathrm{*}{u}_{k}\left(t\right)\right\}\mathrm{*}{e}^{-j{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{k}}t}{=}_{2}^{2}\right\}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\stackrel{\mathrm{K}}{\sum _{\mathrm{k}=1}}{u}_{k}\left(t\right)=f\left(t\right)\end{array}\right.$

式(5)中:ω_k为第k个模态的中心频率;∂为梯度算子;δ(t)+$\frac{\mathrm{j}}{\mathrm{\pi }t}$为希尔伯特变换算子;*为卷积运算;${\left({\partial }_{\mathrm{t}}\left\{\left[\mathrm{\delta }\left(\mathrm{t}\right)+\frac{j}{\pi \mathrm{t}}\right]\mathrm{*}{u}_{k}\left(t\right)\right\}\mathrm{*}{e}^{-j{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{k}}t}\right)}_{2}^{2}$为计算时间梯度L范数的平方值,用于估计模态分量的带宽。

通过引入拉格朗日算子λ和二次惩罚函数因子α,将上述约束性变分问题转化为无约束问题,其表达式如式(6)所示。

(6)$ \begin{aligned} \Gamma\left(\boldsymbol{u}_{k}, \omega_{k}, \lambda\right)= & \alpha \sum_{k=1}^{K} \| \partial_{t}\left[\delta(t)+\frac{\mathrm{j}}{\pi t}\right] * \\ & \boldsymbol{u}_{k}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_{k} t}\left\|_{2}^{2}+\right\| \boldsymbol{f}(t)- \\ & \sum_{k=1}^{K} \boldsymbol{u}_{k}(t) \|+\langle\lambda(t), \boldsymbol{f}(t)-\sum_{k=1}^{K} \boldsymbol{u}_{k}(t)\rangle \end{aligned} $

通过乘法算子交替方向法(ADMM)更新的u_k、ω_k和λ的值,直至满足约束条件。其中,u_k、ω_k和λ的更新方式如式(7)所示。

(7)${\hat{\mathrm{u}}}_{\mathrm{k}}^{n+1}\left(\omega \right)=\frac{\hat{\mathrm{f}}\left(\mathrm{\omega }\right)-\stackrel{K}{\sum _{l\ne k}}{\hat{\mathrm{u}}}_{\mathrm{k}}\left(\mathrm{\omega }\right)-\frac{\hat{\mathrm{\lambda }}\left(\mathrm{\omega }\right)}{2}}{1+2\mathrm{\alpha }(\omega -{\omega }_{k}{)}^{2}}$

式(7)中:$\hat{\mathrm{f}}$(ω)为待分解信号f(t)的功率谱。

(8)${\omega }_{k}^{n+1}\left(\omega \right)=\frac{{\int }_{0}^{\infty }\mathrm{\omega }{\left|{\hat{\mathrm{u}}}_{\mathrm{k}}\left(\mathrm{\omega }\right)\right|}^{2}d\mathrm{\omega }}{{\int }_{0}^{\infty }{\left|{\hat{\mathrm{u}}}_{\mathrm{k}}\left(\mathrm{\omega }\right)\right|}^{2}d\mathrm{\omega }}$

(9)$\lambda \left(\omega \right)\leftarrow {\lambda }^{n}\left(\omega \right)+\tau \left[\hat{\mathrm{f}}\left(\mathrm{\omega }\right)-\stackrel{K}{\sum _{l\ne k}}{\hat{\mathrm{u}}}_{\mathrm{k}}\left(\mathrm{\omega }\right)\right]$

VMD算法迭代的终止判断条件如式(10)所示。

(10)$\sum _{k}\frac{\Vert {u}_{k}^{\mathrm{n}+1}-{u}_{k}^{n}{\Vert }_{2}^{2}}{\Vert {u}_{k}^{n}{\Vert }_{2}^{2}}<\epsilon $

式(10)中:ε为VMD算法的输入参数之一,用于判断迭代是否收敛。

1.4 长短期记忆网络

长短期记忆神经网络LSTM是循环神经网络(recurrent neural network,RNN)的一种优秀变体,它主要通过增加门控机制来控制信息传递的路径,从而有效解决RNN存在的梯度消失与爆炸问题。LSTM单元结构如图1所示。

LSTM模型的流程如下。

(1)遗忘门f_t控制上一个时刻的内部状态c_t_-1 遗忘多少信息,计算公式为

(11)f_t=σ(W_f[h_t_-1,x_t]+b_f)

式(11)中:σ(·)为Logistic函数;W_f为遗忘门的权重矩阵;x_t为当前时刻的输入;h_t_-1为上一时刻的外部状态;b_f为遗忘门的偏置项。

(2)输入门i_t控制当前时刻的候选状态${\stackrel{~}{C}}_{t}$有多少信息保存,计算公式如式(12)、式(13)所示。

(12)i_t=σ(W_i[h_t_-1,x_t]+b_i)

(13)$\tilde{\boldsymbol{C}}_{t}=\tanh \left(\boldsymbol{W}_{\mathrm{c}}\left[\boldsymbol{h}_{t-1}, \boldsymbol{x}_{t}\right]+\boldsymbol{b}_{\mathrm{c}}\right)$

式中:σ(·)为Logistic函数;W_i和W_c为输入门和候选状态的权重矩阵;x_t为当前时刻的输入;h_t_-1为上一时刻的外部状态;b_i和b_c为输入门和候选状态的偏置项;tanh为激活函数。

(3)结合遗忘门和输入门的值更新细胞状态C_t,计算公式为

(14)$C_{t}=f_{t} C_{t-1}+i_{t} \tilde{C}_{t}$

式(14)中:C_t_-1为前t-1时刻状态。

(4)输出门o_t控制当前时刻的内部状态c_t有多少信息输出给外部状态h_t,计算公式如式(15)、式(16)所示。

(15)o_t=σ(W_o[h_t_-1,x_t]+b_o)

(16)h_t=o_ttanh(C_t)

式中:σ(·)为Logistic函数;W_o为输出门的权重矩阵;x_t为当前时刻的输入;h_t_-1表示上一时刻的外部状态;h_t为当前时刻的外部状态;b_o为输出门的偏置项。

1.5 共生生物搜索算法

共生生物搜索SOS算法是Cheng等^[21]于2014年提出的一种启发式优化算法,其灵感来源于自然界中生物之间的共生关系。这种算法模拟了生物体在生态系统中为了生存和繁殖而形成的相互作用,通过模拟生物间的共生关系,提供了一种有效的优化策略。该算法参数少的同时稳定性又好,其优化能力强。SOS算法基于以下几个生物学原理。

(1)互利共生。两种或多种不同生物物种之间的长期相互依赖关系,彼此都从中受益。在生态系统中,个体X_i与另一个体X_j交互,两个个体在交互后的更新公式和互利向量R_MV的表达式分别如式(17)~式(19)所示。

(17)$\boldsymbol{X}_{i}^{\text {new }}=\boldsymbol{X}_{i}+\operatorname{rand}(0,1)\left(\boldsymbol{X}_{\text {best }}-\boldsymbol{R}_{\mathrm{MV}} \mathrm{bf}_{1}\right)$

(18)$\boldsymbol{X}_{j}^{\text {new }}=\boldsymbol{X}_{j}+\operatorname{rand}(0,1)\left(\boldsymbol{X}_{\text {best }}-\boldsymbol{R}_{\mathrm{MV}} \mathrm{bf}_{2}\right)$

(19)R_MV=(X_i+X_j)/2

式中:rand(0,1)为[0,1]的随机数;R_MV为两个个体的交互关系; X_best为最优个体; bf₁和bf₂为个体从相互关系中获得的利益水平,可以随机选择为1或2。

(2)偏利共生。一种生物从另一种生物那里获益,而后者并不受益或受到轻微伤害的关系。由这种相互作用产生的新个体则用式(20)描述。

(20)$\boldsymbol{X}_{i}^{\text {new }}=\boldsymbol{X}_{i}+\operatorname{rand}(-1,1)\left(\boldsymbol{X}_{\text {best }}-\boldsymbol{X}_{j}\right)$

式(20)中:X_best-X_j表示X_j对X_i提供的好处,即X_j帮助X_i提高对生态系统的适应程度。

(3)寄生。一种生物从另一种生物那里获得好处,并导致其受到伤害的关系。选取寄生向量X_i,并通过随机向量对本体的复制和改动生成变异载体R_PV。若变异载体比宿主X_i更适应生态系统,它可能会替代宿主;反之则变异载体被淘汰,从而说明宿主对变异载体有免疫,具体如式(21)、式(22)所示。

(21)R_PV=X_i

(22)R_PV(p)=rand[1,length(p)]×[ub(p)-lb(p)]+lb(p)

式(22)中:p为变异体;ub为搜索上界;lb为搜索下界。

1.6 改进共生生物搜索算法

传统的共生生物搜索算法存在性能低、收敛速度慢和易陷入局部最优等问题,为了进一步提高预测精度和收敛速度,提出改进共生生物搜索(modified symbiotic organisms search,MSOS)算法,主要采用以下策略对其进行改进。

1.6.1 Logistic混沌映射和折射反向学习策略改进SOS原始初始化种群方式

混沌序列在模拟复杂系统、加密和优化算法中非常有用。而Logistic混沌映射是一种二次多项式的映射递推关系式,是一个由简单非线性方程式产生混沌现象的经典范例,其数学公式如式(23)所示。

(23)X_i₊₁=μX_i(1-X_i)

式(23)中:X_i∈[0,1];μ∈(0,4];μ越接近4,X的取值范围越均匀分布到整个[0,1]区域,μ取4时,系统处于完全混沌状态,映射分布均匀性达到极值。

折射反向学习(refracted opposition-based learning,ROBL)是一种新颖的算法改进方法,可以有效提高算法跳出局部最优的概率,以实现更有效的全局和局部搜索。

MSOS使用Logistic混沌映射系统生成种群的初始解,可有效解决解聚集、解空间覆盖率不高以及个体间差异小的问题。采用折射反向学习策略初始化种群,当位置超出了范围时,则重新生成一个在这个范围内的随机值,并使初始解位置更加靠近最优解,优异的种群能为迭代执行提供良好的基础。这两种改进策略的结合可以增加解的随机性和多样性,从而有助于算法探索解空间的不同区域。

1.6.2 自适应权重结合莱维飞行策略改进偏利共生阶段

SOS在进行局部寻优时,主要以式(20)逼近局部最优解,然而其局部寻优能力较弱,因此提出加入自适应权重因子,使其全局寻优和局部寻优能力平衡。自适应权重因子公式如式(24)所示。

(24)$\omega =\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{t}{\mathrm{I}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}-1}{\mathrm{e}-1}$

式(24)中:t为当前迭代次数;Itermax为最大迭代次数。

莱维飞行策略能提高算法的全局搜索能力,避免过早地陷入局部最优解,通过引入长距离的随机跳跃,算法能够在解空间中探索更多的可能性,从而增加找到全局最优解的概率。

位置更新公式如式(25)所示。

(25)$x_{i}^{t+1}=x_{i}^{t}+\boldsymbol{\beta} \oplus \boldsymbol{R}_{\text {Levy }} $

式(25)中:β为步长因子;行进方向和步长由R_Levy决定;􀱇表示点对点的乘法,先前位置更新的概率决定当前位置。

R_Levy随机分布的公式如式(26)所示。

(26)$\left\{\begin{array}{l}{R}_{Levy}~\left|\mathrm{s}\right|\\ 1<\lambda \le 3\end{array}\right.$

式(26)中:s为随机的莱维步长;λ为莱维分布的稳定性系数。

随机步长s的公式如式(27)所示。

(27)$s=\mu /{\left|v\right|}^{1/\mathrm{\beta }}$

式(27)中:β=1.5;μ~N(0,σ²);v~N(0,1);其中$\sigma ={\left[\frac{Г(1+\beta )\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }\beta /2)}{{2}^{(\beta -1)/2}Г\left[\right(1+\beta )/2]\beta }\right]}^{1/\beta }$。

在偏利共生阶段中,引入非线性权重因子ω可以起到调节个体在种群中位置更新对当前个体信息依赖程度的作用,平衡MSOS的探索和开发这两个优化重要阶段,在寻优前期,较小的ω减少了个体位置更新对当前解的依赖,从而增强了算法在全局范围内搜索最优解的能力。在寻优后期,较大的ω则通过强化当前位置信息与个体更新之间的紧密联系,加快了算法收敛到最优解的过程。引入莱维飞行策略,利用短距离运动加强局部开发,长距离运动提高全局搜索能力,结合了随机性和有目的性的搜索,从而提高了找到全局最优解的概率,能够大大增强算法的全局搜索能力^[22-23],改进的数学公式如式(28)所示。

(28)$ \boldsymbol{X}_{i}^{\text {new }}=\boldsymbol{X}_{i} \omega+\operatorname{Levy}\left(\boldsymbol{X}_{\text {best }}-\boldsymbol{X}_{j}\right)$

1.6.3 柯西变异策略改进全局位置更新阶段

柯西变异策略是一种在优化算法中用于增强全局搜索能力和避免陷入局部最优的改进手段,它通过引入柯西分布的特性,为算法提供了一种有效的变异机制。利用柯西变异能够在当前变异的个体附近生成更大的扰动从而使得柯西分布函数的范围比较广,使算法更容易跳出局部最优值^[24],标准柯西分布函数公式如式(29)所示。

(29)$f\left(x\right)=\frac{1}{\mathrm{\pi }}\frac{1}{{x}^{2}+1}$

全局位置更新阶段引入柯西变异策略调整新解,柯西变异可以增加种群的多样性,提高算法的全局搜索能力,扩大搜索空间。在求得当前最优解后,使用式(30)对当前全局最优解进行变异扰动处理。通过这种变异的方式,MSOS算法能够有效地搜

索解空间,避免陷入局部最优解,并提高找到全局最优解的机会。

(30)$ \boldsymbol{X}_{i}^{\text {new }}=\boldsymbol{X}_{\text {best }}+\boldsymbol{X}_{\text {best }} \text { Cauchy }(0,1)$

式(30)中:Cauchy(0,1)为标准柯西分布函数。

改进的共生生物搜索算法运行流程如图2所示。

2 模型建立与实验验证

2.1 算法性能测试

为了验证MSOS算法的性能,采用Python 3.9.18进行仿真实验,计算机配置为Window11 64位操作系统,集成显卡为Intel(R) UHD Graphics 630,独立显卡为NVIDIA GeForce GTX 1660 Ti,CPU为Intel(R) Core(TM) i5-9400,主频为2.90 GHz,内存为8 GB。选取了如表1所示的6个CEC测试函数,其中F₁、F₂、F₃和F₄为单峰函数,F₅和F₆为多峰函数,将MSOS与传统SOS、黏菌算法(slime mould algorithm,SMA)、鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm,WOA)、灰狼优化算法(grey wolf optimizer,GWO)和粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)这5种群智能优化算法进行极值寻优对比实验。所有算法的种群个数设置为30,最大迭代次数为200,在同一环境下重复独立运行50次,各算法的参数设置如表2所示,实验结果如表3所示,收敛曲线如图3所示。

由表3可知,MSOS求解各个基准测试函数的平均值比其余算法更接近理论全局最优值,表明其寻优精度更高,最优值和最差值均为最优。标准差为最低,标准差低表明求解数据波动较小,寻优过程鲁棒性更强,重复精度更高。因此MSOS算法在寻优性能上相较于PSO、GWO、WOA、SMA和SOS等算法寻优精确度更高,更容易找到全局最优解。由图3可知,无论是在单峰还是多峰函数下,MSOS均有着最优的收敛性能,其收敛曲线更加平滑,较大的拐点很少。与其他五种算法相比,MSOS曲线一直处于最下方,表明收敛速度更快,收敛精度更高。

2.2 模型步骤

(1)数据预处理。采用IterativeImputer方法对数据缺失值进行填充,对数据进行极差归一化处理以消除量纲的影响。

(2)特征筛选。采用RFE进行特征筛选以识别并消除冗余特征从而降低模型复杂度和提高模型预测精度。

(3)ARIMAX模型预测。首先对数据进行平稳性检验,若不通过,则需要进行差分平稳化处理。其次对数据进行白噪声检验,若不通过检验则说明数据不是白噪声,能对数据进行下一步研究。接着采用自动寻优寻找p和q的最佳参数,并对初步拟合的模型和参数进行显著性检验。最后将得到的最终ARIMAX模型进行预测得到预测值,并将真实值与ARIMAX 预测值相减得到含有非线性关系信息且复杂度较高的误差序列数据。

(4)信号分解。采用MSOS优化的VMD算法对空气质量时序误差数据进行模态分解,得到若干个模态分量和一个残差余量,降低原始误差序列的非线性和复杂度,提高稳定性。

(5)MSOS-LSTM模型预测和误差修正。优化算法的适应度函数设为LSTM模型的验证集预测均方根误差RMSE,目的是要找到使得RMSE最小的最佳超参数组合。将所得到的各个最优的LSTM模型分别对模态分量和残差余量进行预测,并将各预测结果融合得到误差预测结果。最后根据“误差补偿”的思想利用误差预测值对ARIMAX预测结果进行修正,得到组合预测结果即为最终的空气质量预测结果。

(6)模型对比分析。将所提出的组合预测模型与当前应用较多的主流空气质量预测模型进行对比分析,突出本文模型的准确性和实用性。

流程图如图4所示。

2.3 数据处理与描述

由于空气质量指数(AQI)与空气污染物和气象因素有关,故选择了北京市2013年12月2日—2023年2月15日共3 362条日空气质量数据集作为实验数据,数据来源于中国环境监测总站平台(https://www.cnemc.cn/)。数据集可分为空气质量指数(AQI)指标、空气质量等级指标、大气污染物指标(PM_2.5、PM₁₀、NO₂、SO₂、O₃、CO)和气象因素指标(平均风速、平均气温、最高气温、最低气温、地面气压、相对湿度和海平面气压)。将数据进行IterativeImputer缺失值填充后,数据集的具体情况如表4和图5所示。

2.4 评价指标

选取均方根误差(root mean squared error,RMSE)、平均绝对误差(mean absolute error,MAE)和平均绝对百分比误差(mean absolute percentage error,MAPE)共3个评价指标作为实验结果的评价标准,具体如式(31)~式(33)所示。

(31)$\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}=\sqrt{\frac{1}{N}\stackrel{N}{\sum _{i=1}}({y}_{i}-{y\text{'}}_{i}{)}^{2}}$

(32)$\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{E}=\frac{1}{N}\stackrel{N}{\sum _{i=1}}\left|{y}_{i}-{y\text{'}}_{i}\right|$

(33)$\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{E}=\frac{1}{N}\stackrel{N}{\sum _{i=1}}\left|\frac{{y}_{i}-{y\text{'}}_{i}}{{y}_{i}}\right|$

式中:N为总样本数;y_i为真实值;y'_i为预测值。

2.5 特征筛选

采用RFE对若干个影响AQI的因素指标进行特征筛选,以进一步提高模型的预测效果,设置训练评估器为随机森林(random forest,RF),筛选6个特征,全部特征的重要性排名如图6所示。

2.6 ARIMAX模型预测

2.6.1 平稳性和白噪声检验

经过单位根ADF(augmented Dickey-Fuller)检验,各时序数据ADF统计量的P都小于显著性水平α=0.01,所以拒绝原假设(时序数据为非平稳时间序列),认为各时序数据为平稳时间序列,无需差分处理,即d=0,可用ARIMAX模型进行预测。经过Ljung-Box检验,各时序数据延迟4、8、16、32阶LB统计量的P都小于显著性水平α=0.01,所以拒绝原假设(时序数据为白噪声序列),认为各时序数据为非白噪声序列。

2.6.2 ARIMAX模型识别

由图7北京市AQI时序的相关图和偏自相关图可以看出,ACF和PACF均为拖尾,根据ACF和PACF可基本确定q和p的取值范围均为[1,3]。

2.6.3 ARIMAX模型选择

采用自动寻阶的方法定阶,根据AIC和BIC值最小的准则发现当p=3,q=1时达到最小分别为28 363和28 422,因此确定最优模型为ARIMAX(3,0,1),根据P将这些影响不显著的自变量剔除后得到新模型的各参数,剩余自变量都对AQI影响显著,说明模型拟合达到效果的同时,参数的选取也是合理的。

2.6.4 ARIMAX参数和模型显著性检验

参数检验的目的是为了使模型精简,同理若通不过参数检验则需要重新拟合模型,ARIMAX(3,0,1)模型参数均显著非零,因此通过参数显著性检验。模型检验主要检验预测后的误差是否为白噪声,若是则说明拟合的模型显著即充分提取了数据中几乎所有的样本相关信息,若不是则说明拟合模型不够有效,需要重新拟合模型。而ARIMAX(3,0,1)模型延迟4、8、16、32阶LB统计量的P值都大于显著性水平α=0.01,不能拒绝原假设(误差序列中没有残留相关信息),即说明误差序列是白噪声序列,即该拟合模型显著成立。

2.6.5 ARIMAX模型预测和误差正态性检验

基于已通过模型诊断和参数显著性检验的ARIMAX(3,0,1)模型进行预测,得到误差序列如图8(a)所示。由图8(b)可知误差序列基本与标准正态分布一致,符合正态分布。

2.7 误差模态分解

首先采用MSOS对VMD进行优化,利用全部IMF分量的平均信息熵作为适应度函数,目的是为了寻找使得平均信息熵最小的参数K和alpha。参数K和alpha的寻优范围设置为[3,12]和[100,4 000],部分MSOS算法参数设置如下:种群大小为10,最大迭代次数为20,迭代曲线如图9(a)所示。得到的最优参数K约为3,alpha约为596,接着再利用优化后的VMD对误差序列进行分解,得到3个模态分量和1个残差余量,分解结果如图9(b)所示。

2.8 MSOS-LSTM模型预测误差和修正

优化算法寻找模型的超参数组合不仅能提高模型的预测精度和收敛的速度,而且能避免人工调参数所带来的繁杂工作和困难。将这3个IMF分量和残差余量通过滑动窗口划分为70%的训练集、10%的验证集和20%的测试集,并将各个IMF分量和残差余量分别作为MSOS-LSTM模型的特征输出,利用6个指标作为特征输入进行预测。其中MSOS优化算法寻找LSTM模型的隐含层层数、隐含层神经元个数、批次大小、训练次数、初始学习率、丢弃率和时间步长,指定均方根误差(RMSE)作为模型训练时的损失函数,在训练过程中使用AdamW优化器,为防止模型过拟合,在隐含层和全连接层之间加入Dropout层。

其中部分MSOS参数设置如下:种群大小为10,最大迭代次数为20;MSOS算法优化LSTM模型的超参数范围设置如下:隐含层层数为[1,3],隐含层神经元个数为[8,256],批次大小为[5,128],训练次数为[30,80],初始学习率为[0.001,0.1],丢弃率为[0.1,0.9],时间步长为[1,100]。将优化算法的适应度函数设置为LSTM模型验证集的均方根误差,各模态分量和残差余量的LSTM模型最优参数如表5所示。

将各IMF分量和残差余量通过MSOS算法优化得到的最优超参数代入LSTM模型中进行训练,将各预测结果融合得到的最终误差预测结果如图10所示,用误差预测结果修正ARIMAX预测结果,误差修正之后的预测结果如图11所示。

2.9 消融实验与模型验证

为了验证模型的预测效果和避免模型训练次数不足所造成的数据误差,取5次模型训练预测后所得数据的平均值,对5组实验进行对比分析。

2.9.1 与不进行特征筛选对比

LSTM模型(已筛选)与LSTM模型(未筛选)进行对比分析,对比结果如表6所示。其中已筛选的LSTM模型预测效果要优于未筛选的LSTM模型,说明特征筛选可以避免特征冗余,进一步提高模型的预测精度。

2.9.2 与单变量输入对比

将ARIMAX模型与ARIMA模型、LSTM模型(已筛选)与LSTM模型(单变量)进行对比分析,对比结果如表6所示。其中ARIMAX模型的预测精度高于ARIMA模型,LSTM模型(已筛选)的预测精度高于LSTM模型(单变量),说明将影响AQI的因素指标考虑进来能为模型预测提供更多有用信息从而增强模型的预测能力。

2.9.3 基准模型对比

LSTM模型(已筛选)与ARIMA、ARIMAX、SVR和BPNN模型进行对比分析,对比结果如表6所示,其中LSTM模型(已筛选)在3种误差评价指标上均为最优。

2.9.4 与单独捕捉线性和非线性关系对比

ARIMAX-VMD-LSTM模型与ARIMAX和LSTM模型进行对比分析,对比结果如表6所示。其中ARIMAX-VMD-LSTM模型的预测效果相较于ARIMAX和LSTM模型更好是因为AQI序列既具有线性特征又具有非线性特征,说明将它们进行组合可以在预测线性和非线性关系上实现优势互补。

2.9.5 与不进行超参数寻优对比

ARIMAX-VMD-MSOS-LSTM模型与ARIMAX-VMD-LSTM模型进行对比分析,对比结果如表6所示,其中ARIMAX-VMD-MSOS-LSTM模型预测效果更好说明性能好的优化算法能显著提高预测结果的精度。

提出的组合预测模型在所有评价指标中均是最好的,表明该模型具有较好的预测效果,相比于其他模型的预测效果更好、预测精度更高、拟合程度更好,更加适用于空气质量的预测。值得注意的是,实际数据集的均值为95.88,标准差为62.16,这意味着数据集存在相当大的变异性和范围,尽管如此,所提出的模型仍然能够保持

低水平的RMSE、MAE和MAPE,这表明它在面对数据集的多样性时能够表现出较高的鲁棒性。由图12可知,所提出的组合预测模型与参照点的距离较近,表明其预测结果更为契合真实值。

3 结论

空气质量的精准预测有益于公众预防和治理环境政策的制定,旨在解决非线性和复杂度高的空气质量数据序列的预测问题,为提高空气质量预测精度,通过引入Logistic混沌映射策略、折射反向学习策略、自适应权重、Levy飞行策略和柯西变异策略对SOS算法进行了改进,以提高其优化效果。再综合大气污染物因素和空气质量指数的时序特性,结合ARIMAX统计模型、VMD算法和采用MSOS算法对LSTM参数寻优,提出基于误差修正和参数优化的ARIMAX-VMD-MSOS-LSTM空气质量预测模型。主要结论如下。

(1)对比不同优化算法在测试函数的寻优实验中,MSOS相较于SOS和其他智能优化算法具有更优的种群多样性、避免陷入局部最优和全局寻优能力,收敛性能和寻优精度更高。

(2)实验证明,ARIMAX和LSTM模型在预测线性和非线性关系上优势互补,其中ARIMAX模型综合考虑外部影响空气质量的相关因素和数据本身时序特性影响,VMD算法可以大大减少误差序列的非线性和复杂度,提高稳定性,从而提高模型的预测效果和精度,利用LSTM模型进行误差修正可以充分捕捉误差序列的非线性和长期时间依赖性,MSOS优化算法可以进一步提高LSTM模型对空气质量的预测能力。

(3)与各模型进行比较,结果显示所提出的组合预测模型有着最低的RMSE、MAE和MAPE,表明此模型有着较高的预测效果和精度,能够很好地预测空气质量状况,为环境治理和出台相关的生态环境政策提供了模型依据,从而达到改善空气质量的效果,减少由于空气质量差对人们身体造成的危害。

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Received	Published
2025-01-27	2026-01-08
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2026-05-27

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