基于改进量子遗传算法的地下水参数反演

刘明龙; 夏源; 肖茂原; 郑伟源

doi:10.12404/j.issn.1671-1815.2409466

科学技术与工程 ›› 2026, Vol. 26 ›› Issue (1) :421-432 DOI: 10.12404/j.issn.1671-1815.2409466

环境科学、安全科学

基于改进量子遗传算法的地下水参数反演

刘明龙 ¹^,²^,³ ,
夏源 ¹^,²^,³^,^* ,
肖茂原 ¹^,²^,³ ,
郑伟源 ¹^,²^,³

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Groundwater Parameter Estimation Based on Improved Quantum Genetic Algorithm

LIU Ming-long ¹^,²^,³ ,
XIA Yuan ¹^,²^,³^,^* ,
XIAO Mao-yuan ¹^,²^,³ ,
ZHENG Wei-yuan ¹^,²^,³

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摘要

针对地下水数值模拟参数反演中因目标函数复杂性导致的局部最优问题,基于小生境技术、精英保留策略,提出一种随迭代次数改变的模拟二进制交叉方法替代旋转门策略的改进量子遗传算法(improved quantum genetic algorithm,IQGA),并将改进算法与动态时间规整(dynamic time warping,DTW)算法结合。通过小生境机制维持种群多样性,结合精英解集动态更新种群策略与动态变化的交叉策略增强全局搜索能力,引入DTW距离量化模拟值与时间序列观测数据的形态相似度以筛选全局最优参数组合。通过测试函数、较为理想的算例1与实际算例2,对比IQGA与传统遗传算法(genetic algorithm,GA)、差分进化算法(differential evolution,DE)、粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)及基础量子遗传算法(quantum genetic algorithm,QGA)的性能。实验表明:IQGA在测试函数测试的迭代过程中误差最小值、最大值和平均值均优于其余算法,收敛稳定性显著提升,在理想算例与复杂算例测试中性能均优于其余算法。结果表明,IQGA通过协同优化机制有效规避局部最优陷阱,为复杂地下水模型的高精度参数识别提供了可靠方法。

Abstract

To address the problem of local optima caused by the complexity of the objective function in parameter inversion for groundwater numerical modeling, an improved quantum genetic algorithm (IQGA) was proposed. Based on niche technology and elitist preservation strategy, a simulated binary crossover method varying with the number of iterations to replace the traditional rotation gate strategy was introduced. Furthermore, the improved algorithm was combined with the dynamic time warping (DTW) technique. Population diversity was maintained through the niche mechanism, while global search capability was enhanced by dynamically updating the population using an elite solution set and a crossover strategy that evolved over iterations. Additionally, DTW distance was employed to quantify the morphological similarity between simulated values and time-series observational data, facilitating the selection of globally optimal parameter combinations. The performance of IQGA was evaluated through benchmark functions, a relatively ideal case study (Case 1), and a real-world complex case (Case 2), and was compared with traditional genetic algorithm (GA), differential evolution (DE), particle swarm optimization (PSO), and basic quantum genetic algorithm (QGA). Experimental results show that during the benchmark function tests, the minimum, maximum, and average errors obtained by IQGA are all superior to those of the other algorithms. Convergence stability is significantly improved, and IQGA consistently outperforms the other algorithms in both the ideal and complex case studies. These results indicate that IQGA, through a synergistic optimization mechanism, effectively avoid the trap of local optima and provide a reliable approach for high-precision parameter identification in complex groundwater models.

Graphical abstract

关键词

改进量子遗传算法 / DTW / 地下水参数 / 反演

Key words

improved quantum genetic algorithm / DTW / groundwater parameter / estimation

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刘明龙, 夏源, 肖茂原, 郑伟源. 基于改进量子遗传算法的地下水参数反演[J]. 科学技术与工程, 2026, 26(1): 421-432 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2409466

LIU Ming-long, XIA Yuan, XIAO Mao-yuan, ZHENG Wei-yuan. Groundwater Parameter Estimation Based on Improved Quantum Genetic Algorithm[J]. Science Technology and Engineering, 2026, 26(1): 421-432 DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2409466

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地下水作为水资源的重要组成部分,为生活供水、工农业生产和经济可持续发展等提供重要保障^[1]。地下水数值模拟作为一种基于数值方法进行可视化分析以及预测不同条件下地下水系统的手段,能够很好地反映复杂水文地质条件下的地下水运动状态,具有较高的仿真度,并且已经应用到地下水资源评价、地下水资源管理、海水入侵、热量运移以及地下水合理开发等多个方面^[2]。在地下水数值模拟工作流程中,水文地质参数的识别校正(即参数反演)是关键一环,影响着模拟项目完成的进度与精度。目前常用的地下水参数反演方法主要有三类,分别是模拟-优化方法、数学方法以及随机反演方法,其中模拟-优化方法最为常用^[3]。优化算法通常分为非启发式算法与启发式算法,前者常用于简单的参数优化问题,牛顿法、梯度下降法、共轭梯度法等均属于此类,后者相较于前者更适于实际反演中出现的复杂的、非适定问题,遗传算法、差分进化算法、模拟退火算法等均属于启发式算法^[4]。

利用启发式算法解决地下水参数反演问题的流程一般为:确定需要识别校正的模型参数(包括其初值、取值范围等),确定评估反演效果的指标(一般为水头、地下水污染物浓度、沉降量等观测值与模拟值的均方根误差),执行优化算法,得到校正好的参数并计算模拟结果。国内外利用启发式优化算法对地下水参数进行优化的研究在不断进行。储健民等^[5]利用粒子群优化算法(particle swarm optimization,PSO)对场地污染物源强进行识别,其目标函数由土壤监测层As含量观测值与模拟值的均方根误差、地下水As、总磷浓度观测值与模拟值的绝对误差三部分组成。葛渊博^[4]改进了麻雀搜索算法并对利用其地下水重非水相液体(dense nonaqueous-phase liquids,DNAPLs)污染进行污染物位置及其余参数识别。李建华^[6]利用多目标优化算法对污染源位置、源强及污染物泄露时间进行识别,出于瞬时泄漏特性的考虑,该反演目标函数同时考虑了监测井污染物浓度及污染源泄漏时间。高琬玉等^[7]利用自适应权重粒子群优化算法进行污染物位置及其余参数识别。Hou等^[8]为降低低敏感性参数影响优化的准确性,在对地下水DNAPLs污染问题进行逆向建模时提出一种嵌入同伦变异机制的灵敏度相关动态群体智能算法并进行相关研究,该算法将最大反演相对误差由46.22%降低至9.53%。以上研究均涉及与污染源相关的参数,其中源强参数通常会随时间的改变而改变,伴随着这类参数的模型通常具有应力期多、计算时间长等特点,反演优化中更难达到全局优化。在校正这类随时间变化的源强参数时,不仅需要考虑降低模拟值与实际值大小上的差异,更需要尽量保证模拟值与实际值变化趋势上的一致,这不仅要求反演方法具备更广泛的搜索能力,并且在这种更为广泛的搜索能力下要达到一定的精度,同时,反演方法能够比较模拟值与实际值间的趋势差异,以往相关的研究很少关注这一方面。

量子遗传算法是将量子态、概率幅、旋转门等与传统的遗传算法相结合的一种优化算法,由于量子遗传算法染色体单个位置上的实际状态通过测量算子对概率进行计算获得,量子遗传算法的搜索空间相较于传统遗传算法的有较大的扩展^[9]。利用量子遗传算法及其改进算法在工程优化方面存在许多应用。谭婧斌等^[10]利用步进量子旋转角改进量子遗传算法并将其应用于高速电梯横向振动(linear quadratic regulator,LQR)控制策略优化,显著降低了轿厢系统的横向振动位移和加速度。星宁江等^[11]采用量子门旋转角动态调整策略、量子交叉、变异及灾变操作等多种方法对量子遗传算法进行改进,并将改进算法运用于优化极限学习机瓦斯涌出量预测模型。华聪聪等^[12]将传统的量子旋转角改变方式由静态改为动态,并利用改进后的算法优化光伏智能楼宇负荷。大多数的量子遗传算法改进聚焦于旋转门角度变化的改进。

现利用量子遗传算法本身所具有的特点,结合所关注的地下水反演存在的相关问题,采用精英保留与小生境策略,使得算法能够契合反演需求以给出多组最优解,同时通过实数编码、精英保留策略,并且提出一种随迭代次数改变的模拟二进制交叉方法等效的旋转门,降低算法陷入局部最优的概率,保证算法精度。在改进算法给出多个候选解的基础上,尝试引入动态时间规整(dynamic time warping,DTW)对观测值曲线与模拟值曲线的相似度进行评估,以期在较优解中找寻趋势与观测值曲线最为相近的一组解。

1 地下水模拟-优化问题

模拟-优化方法将地下水数值模拟与优化模型相结合,通过多次迭代,利用优化算法求解出令目标函数最优的参数组合^[13]。所涉及的自动优化模型通常需要具有以下的特征:①观测值为时间序列数据;②数值模型一般具有多个应力期(不同应力期的参数取值可以不同)。

对于一个具有N个输入变量、M口观测井的多应力期地下水数值模型而言,其目标函数可表示为如式(1)所示,B的计算公式如式(2)所示,优化模型的约束条件如式(3)所示。

(1)$\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}E=\Vert c-c\text{'}{\Vert }_{p}=\sqrt[w]{\stackrel{B}{\sum _{i=1}}{\left|{c}_{i}-{c\text{'}}_{i}\right|}^{w}},w\in \mathrm{R}$

(2)$B=\stackrel{M}{\sum _{i=1}}{T}_{i}$

(3)${O}_{k\_\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le {O}_{k}\le {O}_{k\_\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},k\in [1,N]$

式中:c与c'均为一个大小为1×B的数组,分别为模型的观测值与模拟值;w为范数阶数;T为每口观测井观测数据的个数;O_k为第k个变量。

2 改进的量子遗传算法

2.1 量子遗传算法简介

量子遗传算法(quantum genetic algorithm,QGA)作为遗传算法的一类变种,通过将量子态矢量引入遗传编码,利用量子逻辑门实现染色体的演化,能够达到比常规遗传算法更好的效果。通常来说,一个单量子比特的状态可表示为如式(4)所示形式,且概率幅α与β满足如式(5)所示的归一化条件^[14]。

(4)$|\psi >=\alpha |0>+\beta |1>$

(5)${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}=1$

式中:$|\psi >$代表叠加态,在算法内将状态|0>和状态|1>简化为二进制编码的0和1;α、β为概率幅。

在完成当前种群所有个体的适应度计算并获取最优适应度后,QGA通常通过式(6)所示的旋转门调整概率幅,进而更新种群,式(6)中的旋转角度θ的具体值由事先设置的调整策略所决定,包括查表法^[15]、旋转角动态更新^[16]、云模型量子旋转角更新^[17]、双链法^[18]、量子熵^[19]、适应度函数最大最小偏导数^[20]等。

(6)$\left[\begin{array}{l}{\alpha }_{ij}^{\mathrm{*}}\\ {\beta }_{ij}^{\mathrm{*}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta & -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\alpha }_{ij}\\ {\beta }_{ij}\end{array}\right]$

式(6)中:(${\alpha }_{ij}^{\mathrm{*}}$,${\beta }_{ij}^{\mathrm{*}}$)^T与(α_ij,β_ij)^T分别为第i个染色体上第j个量子比特更新前后的概率幅;θ为旋转角度。

2.2 实数编码

经典的量子遗传算法采用二进制编码,这类编码在解决0-1问题时具有优越性,但在面对地下水参数反演这类问题时,由于无法提前准确把握参数所需精度,二进制编码存在过短导致精度不足的可能性。在这种情况下,作为二进制编码的替代的实数编码是一种更为简单、实用的方法^[21]。

考虑量子遗传算法概率幅的归一化特性,将角度作为改进算法的染色体编码,并通过式(7)的方式对编码进行解码。采用该编码的染色体解码后将会获得在解空间内完全对称的两个群体(图1),在搜索效率上较常规编码有所提升,在编写适应度函数时需要将同一染色体对应的两个适应度值按照需求取较大者或者较小者作为染色体对应的适应度值。

(7)$\left\{\begin{array}{l}a={x}_{k\_\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+({x}_{k\_\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{x}_{k\_\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}{\theta }_{k}\\ b={x}_{k\_\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+({x}_{k\_\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{x}_{k\_\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{2}{\theta }_{k}\end{array}\right.$

式(7)中:x_{k_min}与x_{k_max}分别为第k个变量的最大最小值;θ_k为第k个变量在实数编码的染色体上对应的角度,θ_k的取值范围为[0°,90°]。

当采用实数编码后,基于二进制编码的变异策略便不再适用。采用了高斯变异(Gaussian mutation)作为变异算子^[22]。高斯变异是改进遗传算法对重点搜索区域的局部搜索性能的另外一种变异操作方法,在进行变异时用一个均值为μ、方差为σ²的正态分布的一个随机数来替换原有基因值,其操作过程与均匀变异类似。图2通过10 000次重复取样展示了值为1.0的变量在进行均值为0.0、方差为1.0高斯变异后值的分布的直方图与密度图。

2.3 基于精英保留的旋转门替代策略与小生境技术

经典的量子遗传算法通过量子旋转门来实现种群更新,其实质上是将当前个体与最优个体进行一种类似于交叉的操作,最终会获得一个角度值在最优个体与当前个体之间的新个体。这种操作会增大优化陷入局部最优的概率。引入精英保留策略^[21],保留当前及之前迭代所有个体的前n个个体作为精英种群加入下一代种群,精英个体保留会避免算法重新发现丢失优秀候选解所造成的潜在时间浪费,除精英种群外其余个体将采用两种方式更新:有p₁的概率与精英个体进行模拟二进制交叉,有p₂的概率与非精英个体进行模拟二进制交叉,p₁与迭代次数及p₂与p₁的关系如式(8)、式(9)所示。

(8)${p}_{1}=\frac{\sigma }{10\sigma \text{'}}$

(9)${p}_{2}=1-{p}_{1}$

式中:σ为当前迭代数;σ'为总迭代数。

模拟二进制交叉是模仿二进制编码中的单点交叉操作的一种交叉方式,对于父代E₁与E₂,采用式(10)得到对应的子代E'₁与E'₂,γ通过式(11)得到,当γ=1时,新个体是E₁与E₂的复制;当γ<1时,新个体间的距离比E₁与E₂间更近;当γ>1时,新个体间的距离比E₁与E₂间更远^[21]。

(10)$\begin{array}{l}{E\text{'}}_{1}=\frac{1}{2}\left[\right(1+\gamma ){E}_{1}+(1-\gamma \left){E}_{2}\right]\\ {E\text{'}}_{2}=\frac{1}{2}\left[\right(1-\gamma ){E}_{1}+(1+\gamma \left){E}_{2}\right]\end{array}$

(11)$\left\{\begin{array}{ll}\gamma ={\left(2u\right)}^{\frac{1}{\eta +1}},& u\le 0.5\\ \gamma ={\left[\frac{1}{2(1-u)}\right]}^{\frac{1}{\eta +1}},& \mathrm{其}\mathrm{他}\end{array}\right.$

式中:γ为一个随机数;u为在0~1均匀分布的随机值;参数η为分布指数的常数,通常在10~20。

主要采用串行小生境技术避免多个最优解中的遗漏。对某一个体其操作流程为:首先计算当前个体与当前种群其余个体间的欧式距离,当两个个体间的距离D小于某一阈值DT时,将会对初始值为1的参数S加上S',S'的计算公式如式(12)所示。直至当前个体与所有其余个体完成距离计算,而后将该个体对应的适应度值除以参数S,进而完成了对小生境内适应度的共享操作。随着迭代次数的增加,该操作能够逐渐寻找出多个最优解^[15]。

(12)$S\text{'}=1-\frac{D}{\mathrm{D}\mathrm{T}}\frac{1}{\mathrm{S}\mathrm{E}}$

式(12)中:SE为共享范围参数。

3 动态时间规整(DTW)算法

DTW是基于动态规划策略对两个时间序列通过非线性时域对准调整以便于正确计算两序列间相似度的一种算法^[23]。DTW通过在时间维度上对序列的时间点进行拉伸或压缩来找到两个时间序列之间最优的匹配路径^[24]。在这个过程中,DTW保持了原始序列中事件的先后顺序,但允许对时间点的持续时间进行调整,从而允许对齐过程中对时间尺度进行“扭曲”。DTW算法因能够有效处理时间序列数据中的时间对齐问题而广泛应用于语音识别、手势识别、生物信息学、金融时间序列分析等领域^[25]。

以两个时间序列Q=[2,5,6,3,3],P=[3,6,6,3,4]为例,通过计算任意两位间差的绝对值,得到图4所示的数组,从左上角开始,每次可以向右、左及右下方前进,比较朝这3个方向前进的累加值,选择累加值最小的方向作为前进方向,最终得到累加值最小的路径如图3标红数据所示,将标红数据相加即为两时间序列间的最短距离。图4分别展示了模拟水头与观测水头趋势相差较大[图4(a)]与较小[图4(b)]的情况,通过DTW可以得到图4(a)两时间序列的距离为1.49,图4(b)两时间序列的距离为1.06,表明图4(b)两时间序列在趋势上更为相近,这与观察的实际相符。

4 基于改进量子遗传算法和DTW的地下水参数反演流程

利用改进量子遗传算法与DTW进行地下水参数反演的步骤及流程如下。

步骤1 输入待反演变量与目标函数,对改进算法各参数进行初始化。

步骤2 通过随机函数获取种群初始值。

步骤3 通过改写的适应度函数获取种群适应度。

步骤4 对当前(迭代次数为1)或者当前及之前(迭代次数大于1)的所有个体通过适应度排序,前n个个体归类为精英个体。

步骤5 对非精英个体执行小生境技术。

步骤6 对非精英个体执行旋转门替代策略与高斯变异。

步骤7 判断是否达到迭代终止条件,如果达到执行步骤8,否则执行步骤3。

步骤8 对精英种群的n个个体执行DTW,选取出值最小的个体作为最优解。

步骤9 输出反演后的待反演变量。

参数反演流程如图5所示。

5 算法性能测试与数值算例

5.1 算法性能测试

利用改进量子遗传算法(improved quantum genetic algorithm,IQGA)、遗传算法、差分进化算法、粒子群优化算法和量子遗传算法分别进行10轮迭代数为300、种群数为300的试验,测试函数为标准测试函数8(F8),变量维度为30,式(13)所示为F8与最小值的计算公式。图6展示了各种算法的平均迭代过程及每一次迭代的最大与最小值,表1展示了各种算法最终误差的平均值、最大值与最小值。测试结果表明,改进量子遗传算法最终误差的平均值、最大值、最小值均优于遗传算法、差分进化算法、粒子群优化算法及经典的量子遗传算法。

(13)$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=-\stackrel{n}{\sum _{i=1}}{x}_{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\sqrt{\left|{x}_{i}\right|},\\ 　　x=({x}_{1},{x}_{2},\dots,{x}_{n}),{x}_{i}\in [-\mathrm{500,500}]\\ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left[f\right(x\left)\right]=-418.98n,n\in \{\mathrm{1,2},3,\dots \}\end{array}\right.$

式(13)中:n为变量的维度。

5.2 数值算例1

数值算例1取自MODFLOW 6自带的溶质运移算例9。MODFLOW 6 是一个面向对象的程序和框架,是美国地质调查局发布的 MODFLOW 的第六个核心版本(之前的核心版本分别于 1984 年、1988 年、1996 年、2000 年和 2005 年发布),旨在提供一个平台来支持同一仿真中的多个模型和多种类型的模型。在该框架内,单个模拟中可以包含任意数量的模型,这些模型可以彼此独立,也可以相互交换信息,同时也可以通过将它们添加到相同的数值计算中进行矩阵级别的紧密耦合。在这个新框架中,一个区域尺度的地下水模型可以与多个局部尺度的地下水模型相结合,也可以将地表水流模型与多个地下水流模型耦合。该框架内包括溶质运移模拟的程序^[26]。

算例水流模型的数学模型如式(14)~式(17)所示,溶质运移的数学模型如式(18)、式(19)所示。

(14)$\frac{\partial }{x}\left({K}_{xx}\frac{\partial h}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{y}\left({K}_{yy}\frac{\partial h}{\partial y}\right)+\frac{\partial }{z}\left({K}_{zz}\frac{\partial h}{\partial z}\right)+W={S}_{\mathrm{s}}\frac{\partial h}{\partial t}$

(15)$h(x,y,z,t)={h}_{0}(x,y,z),(x,y,z)\in {\Gamma }_{1},t\ge 0$

(16)$h(x,y,z,0)={h}_{1}(x,y,z)$

(17)$K\frac{\partial h(x,y,z,t)}{\partial n}=q(x,y,z,t),(x,y,z)\in {Z}_{0},t\ge 0$

(18)$\begin{array}{l}\frac{\partial c}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left({D}_{xx}\frac{\partial c}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left({D}_{yy}\frac{\partial c}{\partial y}\right)+\\ \frac{\partial }{\partial z}\left({D}_{zz}\frac{\partial c}{\partial z}\right)-\frac{\partial \left({u}_{x}c\right)}{\partial x}-\frac{\partial \left({u}_{y}c\right)}{\partial y}-\\ \frac{\partial \left({u}_{z}c\right)}{\partial z}+f\end{array}$

(19)$f=\left\{\begin{array}{ll}\frac{{W}_{\mathrm{R}}}{\varphi }{c}^{\mathrm{*}},& (x,y,z)\in {Z}_{0}\\ -\frac{{W}_{\mathrm{P}}}{\varphi }c,& (x,y,z)\in {Z}_{1}\end{array}\right.$

式中:KX_xx、K_yy、K_zz分别为3个主轴方向上的渗透系数,m/s;W为源汇项,s^-1;D_xx、D_yy、D_zz分别为3个主轴方向上的弥散系数;W_R为单位时间单位体积含水层注水量;W_P为单位时间单位体积含水层抽水量;φ为孔隙度;c^*与c分别为注入浓度与抽出浓度;S_s为贮水率;Γ₁为定水头边界;Z₀、Z₁为井边界位置,Z₀为注入井的点位集合,Z₁为抽水井的点位集合。

算例9描述了以下的溶质运移问题(图7)。在1 400 m×1 800 m×10 m的区域中,其内部通过渗透系数K的大小可分为两个部分,较小部分的渗透系数值K为1.474×10^-7 m/s,较大部分的渗透系数值K为1.474×10^-4 m/s,整个区域南北侧均为定水头边界,其中北侧边界恒定水头为250 m,南侧边界由西至东的水头为20~52.5 m,其梯度为2.5/100 m/m,渗透系数较小区域南北两侧分布有3口井,北侧两口为污染物注入井,南侧为抽水井,注入流量与抽水流量保持恒定,前者大小为0.001 m³/s,后者大小为0.018 9 m³/s,注入污染物浓度随时间改变而改变。

将算例1区域划分为14×18个网格,单个网格长、宽、高分别为100、100、10 m。

为使得污染物释放过程更符合实际,将正向模型划分为50个应力期,每10个应力期长度为365 d,每口注入井的浓度在这10个应力期内保持相对稳定(图8),而在进行数值模型构建时则通常会进行模拟尺度的选择及应力期的概化,故反演模型只划分出5个应力期,单个应力期长度为365 d,注入井及抽水井周边设置了4口观测井进行污染物浓度的观测(图7)。模型计算与反演程序均采用Python程序包FloPy^[27]进行编写,使用MODFLOW 6 的GWF(groundwater flow)模块进行水流模拟,GWT(groundwater transport)模块进行溶质运移模拟。正向模拟后各个观测井污染物浓度曲线如图9所示。模型反演首先通过DEAP(distributed evolutionary algorithms in Python)框架编写改进算法,进而通过FloPy编写适应度函数,将4口观测井处污染物浓度观测值与模拟值的均方根误差(root mean square error,RMSE)加1的倒数作为适应度函数,RMSE及适应度fitness计算公式如式(20)所示。设置迭代种群大小为100,迭代次数为60,改进算法精英保留数为10,距离阈值为0.01,交叉率0.9,变异率0.5,另外利用遗传算法、粒子群优化算法、差分进化算法以及量子遗传算法进行了同种群数目及迭代次数的反演,最终迭代的过程比对图如图10所示。

(20)$\begin{array}{l}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}=\sqrt{\frac{1}{m}\stackrel{m}{\sum _{i=1}}({c}_{i}-{c\text{'}}_{i}{)}^{2}}\\ \mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}=\frac{1}{1+\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}\end{array}$

式(20)中:m为观测数据的总数;c_i与c'_i分别为浓度的实际值与模拟值。

利用改进量子遗传算法、遗传算法、粒子群优化算法、差分进化算法和量子遗传算法对算例1反演结束最终的适应度分别为0.95、0.88、0.83、0.92、0.74,改进量子遗传算法最高,而量子遗传算法最低,说明改进策略能够极大提高该算法的优化精度。

如表2所示,基于改进量子遗传算法的反演获取了10组适应度均为0.95的候选解。可以看出,10个候选解的差异主要集中在注入井1第1、2阶段及第5个阶段,这是由于注入井1的附近介质变化较大,观测井对其影响应更为明显。模拟值误差主要来源于第1、2口观测井的1、2、5阶段(图11),这与候选解的差异表现一致,这是由于观测井1与注入井1更近、观测井2与注入井2更近,这两个观测井对于注入井的浓度差最为敏感。

为从这10组候选解中挑选出最优解,利用DTW将每组候选解对应的4口观测井的模拟值时间序列曲线与观测值进行相似度计算。表3所示为10个候选解在4口观测井处的模拟值时间序列与观测值时间序列间的DTW距离,通过DTW距离计算可以发现,候选解1模拟值与第1、4口观测井观测曲线最为契合,而候选解2、4则与第2、3口观测井观测曲线最为契合,这表明所提出的方法能够应用于不同观测点的数据质量不同而需要筛选反演的参数值的场景,平均来看,候选解1在4口观测井处对应的模拟值与观测值曲线的DTW平均距离最短。综合各时段的相似度,候选解1为最优解。

5.3 算例2

为进一步验证改进算法的实用性,选用算例2进行验证,算例2是由Ayvaz^[28]提出并被Xing等^[29]、Secci等^[30]采用的案例研究。图12所示为该模型的离散网格、参数分区、边界条件等特征。在一个2 500 m×1 500 m×30 m的区域内,含水层分布如图12所示,含水层可划分为5个分区,每个分区具有不同的贮水率S_s与渗透系数(北部区域为K,南部区域为K₁),区域左上角及右下角为定水头边界,值分别为100 m与80 m,区域内存在两口注入井用于模拟污染源,通过5口观测井记录污染物浓度变化数据。参数设置如表4、表5所示。为模拟实际监测过程中所产生的误差,向5口观测井数据分别添加5%的高斯噪声用于模拟真实数据。

模型反演采用的方法与算例1相同,将5口观测井处污染物浓度观测值5%加噪数据与模拟值的均方根误差加1的倒数作为适应度函数,迭代种群大小为100,迭代次数为100,待估计参数包括注入井的位置、两口注入井各应力期的污染物注入浓度,其中注入井的行取值范围为[0,15)、列取值范围为[0,25),单应力期取值范围为0~100 g/m³。待估计参数个数总共为16个,优化算法其余超参数与算例1一致,另外利用遗传算法、粒子群优化算法、差分进化算法以及量子遗传算法进行了同种群数目及迭代次数的反演,最终迭代的过程比对图如图13所示(改进算法迭代过程由适应度转换为均方根误差数据以便于对比),表6列出了各算法搜索得出的污染源位置与实际位置。

通过表6可以得出,在同种群大小及迭代次数下,改进算法相较于其余算法能够准确地估计出两个污染源分布的位置,而图13则表明改进算法最终优化结果的均方根误差远小于其余算法,尤其是量子遗传算法,这说明改进算法在应对较为复杂的模型时较原算法有一定的优势。

将10组精英解的待求参数输入模型获得对应的观测井污染物浓度模拟数据。为从这10组候选解中获取最优解,将每组候选解对应的各观测井计算所得时间序列曲线与实际值加噪数据进行DTW计算,选取DTW平均值最小的解作为最优解,通过计算各精英解与实际的注入浓度输入参数间的RMSE发现(表7),通过DTW计算所得的最优解与实际注入参数间的RMSE最小,说明改进算法联合DTW算法能够筛选出与实际情况更为符合的参数。

6 结论

通过对量子遗传算法采用小生境、精英保留、基于精英保留的动态模拟二进制交叉等技术或策略进行改进。将改进算法与遗传算法、差分进化算法、粒子群优化算法以及传统的量子遗传算法利用测试函数F8进行测试,并且采用较为理想的算例1与实际算例2进行了反演试验。测试函数测试结果表明,改进量子算法在历次迭代中误差的最大值、最小值、平均值均小于其他算法,改进量子遗传算法能够提升优化精度。在两个算例的测试中,相较于其他算法,改进算法均能取得最优结果。在算例1中,改进算法最终适应度大于其余算法,在算例2中,只有改进算法能够准确估计污染源位置,并且优化结果的RMSE小于其余算法。

由于改进量子遗传算法能够提供多个候选解,提出了DTW算法对候选解进行筛选,最终得到最优解。通过理想算例1及实际算例2的测试,表明DTW方法能够有效地筛选出最优解。

综合上述,所提出的改进量子遗传算法联合DTW算法的反演流程能够有效提升地下水参数反演的准确性。

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